Modelación física de los procesos de mezcla de sustancias en redes de distribución de agua potable

El objetivo del presente proyecto, es la cuantificación de los porcentajes de mezcla de cloro residual en los nudos de redes de distribución de agua potable. Para lo anterior se hará uso del modelo físico de mezcla completa construido en el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Los Andes.

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PROYECTO DE GRADO INGENIERÍA AMBIENTAL 

 
 
 

MODELACIÓN FÍSICA DE LOS PROCESOS DE MEZCLA DE SUSTANCIAS EN REDES DE 

DISTRIBUCIÓN DE AGUA POTABLE 

 

 
 

PRESENTADO POR: 

NICOLÁS EDUARDO PÁEZ RINCÓN 

 

 
 

ASESOR: 

JUAN GUILLERMO SALDARRIAGA VALDERRAMA 

 
 

 

 

 
 

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES 

FACULTAD DE INGENIERÍA 

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL 

BOGOTÁ D.C. 

JUNIO DE 2014 

 

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A Dios, 

A mis papás, a mi familia y a mis amigos, 

por su apoyo y amor incondicional. 

 

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Universidad de Los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigación en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA 

“Modelación física de los procesos de mezcla de sustancias en redes de distribución de agua 
potable” 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Tabla de Contenido 

 

 
1.  Introducción ........................................................................................................................................................ 1 
1.1.  Objetivos ........................................................................................................................................................... 5 

1.1.1. 

Objetivo general .................................................................................................................................... 5 

1.1.2. 

Objetivos específicos ........................................................................................................................... 5 

2.  Antecedentes ...................................................................................................................................................... 6 

2.1. 

Aproximaciones iniciales al fenómeno de mezcla completa ................................................... 6 

2.1.1. 

Flujo laminar ...................................................................................................................................... 6 

2.1.2. 

Flujo turbulento ................................................................................................................................ 8 

2.2. 

Modelo de mezcla completa ............................................................................................................... 11 

2.3. 

Modelo de mezcla incompleta ........................................................................................................... 12 

2.4. 

Combinación de los modelos ............................................................................................................. 16 

2.5. 

Comparación entre los modelos teóricos y los experimentos realizados ....................... 17 

2.6. 

Modelación del cloro residual ........................................................................................................... 21 

2.6.1. 

Antecentes ....................................................................................................................................... 21 

2.6.2. 

Modelo de cloro residual ........................................................................................................... 22 

3.  Tesis anteriores .............................................................................................................................................. 26 

3.1. 

Construcción de un modelo físico para la medición de mezcla en nudos de redes de 

distribución de agua potable ............................................................................................................................ 26 

3.1.1. 

Diseño y construcción del modelo físico ............................................................................. 26 

3.1.2. 

Pruebas cualitativas ..................................................................................................................... 26 

3.1.3. 

Conclusiones ................................................................................................................................... 30 

3.2. 

Efectos de una mezcla no completa ni homogénea en los nudos sobre el contenido 

residual de cloro en redes de distribución de agua potable................................................................ 31 

3.2.1. 

Adecuación del modelo físico .................................................................................................. 31 

3.2.2. 

Pruebas cuantitativas .................................................................................................................. 32 

3.2.3. 

Conclusiones ................................................................................................................................... 34 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigación en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA 

“Modelación física de los procesos de mezcla de sustancias en redes de distribución de agua 
potable” 

ii 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

3.3. 

Análisis de la dilución de concentraciones de NaCl en una unión tipo cruz .................. 34 

3.3.1. 

Modelo físico ................................................................................................................................... 34 

3.3.2. 

Resultados ........................................................................................................................................ 35 

3.3.3. 

Conclusiones ................................................................................................................................... 39 

4.  Marco Teórico ................................................................................................................................................. 40 

5.1. 

Modelación hidráulica .......................................................................................................................... 40 

5.1.1. 

Método del gradiente .................................................................................................................. 42 

5.1.2. 

Ejemplo de aplicación ................................................................................................................. 46 

5.2. 

Modelación de la calidad del agua ................................................................................................... 59 

5.2.1. 

Modelos estáticos .......................................................................................................................... 60 

5.2.2. 

Modelos dinámicos....................................................................................................................... 62 

5.3. 

Procesos difusivos .................................................................................................................................. 63 

5.3.1. 

Definición ......................................................................................................................................... 63 

5.3.2. 

Ley de Fick ....................................................................................................................................... 65 

5.3.3. 

Tipos de difusión ........................................................................................................................... 67 

5.3.4. 

Concentración ................................................................................................................................ 68 

6.  Modelo físico .................................................................................................................................................... 72 

6.1. 

Descripción del modelo físico ........................................................................................................... 72 

6.1.1. 

Sistema de alimentación ............................................................................................................ 72 

6.1.2. 

Modelo físico ................................................................................................................................... 78 

6.1.3. 

Sistema de recirculación ............................................................................................................ 79 

6.1.4. 

Instrumentos de medición ........................................................................................................ 80 

7.  Resultados ......................................................................................................................................................... 88 

7.1. 

Casos de análisis ..................................................................................................................................... 88 

7.2. 

Resultados ................................................................................................................................................. 89 

7.2.1. 

Caso 1: Todas las válvulas al 25% .......................................................................................... 90 

7.2.2. 

Caso 2: Todas las válvulas al 50% .......................................................................................... 91 

7.2.3. 

Caso 3: Todas las válvulas al 75% .......................................................................................... 92 

7.2.4. 

Caso 4: Todas las válvulas al 100% ....................................................................................... 93 

7.2.5. 

Caso 5: Válvula 1 al 25%; válvulas 2, 3 y 4 al 100% ....................................................... 94 

7.2.6. 

Caso 6: Válvula 2 al 25%; válvulas 1, 3 y 4 al 100% ....................................................... 95 

7.2.7. 

Caso 7: Válvula 3 al 25%; válvulas 1, 2 y 4 al 100% ....................................................... 96 

7.2.8. 

Caso 8: Válvula 4 al 25%; válvulas 1, 2 y 3 al 100% ....................................................... 97 

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potable” 

iii 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

7.2.9. 

Caso 9: Válvula 1 al 50%; válvulas 2, 3 y 4 al 100% ....................................................... 98 

7.2.10.  Caso 10: Válvula 2 al 50%; válvulas 1, 3 y 4 al 100% .................................................... 99 
7.2.11.  Caso 11: Válvula 3 al 50%; válvulas 1, 2 y 4 al 100% ................................................. 100 
7.2.12.  Caso 12: Válvula 4 al 50%; válvulas 1, 2 y 3 al 100% ................................................. 101 
7.2.13.  Caso 13: Válvula 1 al 75%; válvulas 2, 3 y 4 al 100% ................................................. 102 
7.2.14.  Caso 14: Válvula 2 al 75%; válvulas 1, 3 y 4 al 100% ................................................. 103 
7.2.15.  Caso 15: Válvula 3 al 75%; válvulas 1, 2 y 4 al 100% ................................................. 104 
7.2.16.  Caso 16: Válvula 4 al 75%; válvulas 1, 2 y 3 al 100% ................................................. 105 

7.3. 

Análisis de resultados ........................................................................................................................ 106 

8.  Conclusiones y recomendaciones ..................................................................................................... 107 
9.  Agradecimientos ......................................................................................................................................... 110 
10. 

Bibliografía ............................................................................................................................................... 111 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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potable” 

iv 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Índice de Figuras 

 

 

Figura 1. Comportamiento de cloro residual de acuerdo a la dosis agregada (Ocasio & López Díez, 

2007). ........................................................................................................................................................ 4

 

Figura 2. Simulación de flujo en CFD. ............................................................................................................ 10

 

Figura 3. Flujos con diferentes impulsos (Ho, 2008). .................................................................................. 12

 

Figura 4. Concentraciones normalizadas, medidas y predichas para la salida con trazador para 

diferentes caudales de entrada e iguales caudales de salida (Ho, 2008). .......................................... 18

 

Figura 5. Concentraciones normalizadas, medidas y predichas para la salida con trazador para 

diferentes caudales de salida e iguales caudales de entrada (Ho, 2008). .......................................... 20

 

Figura 6. Concentración normalizada en la tubería 3 (Cotes Gómez, 2013). ............................................. 33

 

Figura 7. Concentración normalizada en la tubería 4 (Cotes Gómez, 2013). ............................................. 33

 

Figura 8. Resultados obtenidos para la concentración en la tubería 4 (Buitrago, 2013). ......................... 38

 

Figura 9. Resultados obtenidos para la concentración en la tubería 3 (Buitrago, 2013). ......................... 39

 

Figura 10. Red del ejemplo. ............................................................................................................................ 47

 

Figura 11. Convergencia de las alturas en los nudos con el método del gradiente. ................................... 58

 

Figura 12. Convergencia de los caudales en las tuberías con el método del gradiente. ............................ 58

 

Figura 13. Esquema de conservación de masa en el nudo j (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). .................. 60

 

Figura 14. Proceso de difusión (Universidad de Valencia, 2006). ............................................................... 64

 

Figura 15. Proceso de difusión en función del tiempo (Mompremier, 2009). ........................................... 64

 

Figura 16. Flujo de materia (Mompremier, 2009). ....................................................................................... 66

 

Figura 17. Ecuación de Fick (Mompremier, 2009). ...................................................................................... 66

 

Figura 18. Fenómeno de difusión (Mompremier, 2009). ............................................................................. 67

 

Figura 19. Difusión convectiva (Mompremier, 2009). ................................................................................. 68

 

Figura 20. Difusión turbulenta (Mompremier, 2009). ................................................................................. 68

 

Figura 21. Esquema de balance de masa en la unión de tuberías (Mompremier, 2009)........................... 69

 

Figura 22. Modo de operación del caudalímetro (Kobold, 2009). .............................................................. 81

 

Figura 23. Precisión del caudalímetro (Kobold, 2009). ............................................................................... 82

 

Figura 24. Esquema del sensor de cloro (Endress - Hauser, 2007). ........................................................... 84

 

Figura 25. Esquemas del portaelectrodos (Endress Hauser, 2009). ........................................................... 85

 

Figura 26. Esquema del montaje a realizar (Endress Hauser, 2009). ......................................................... 86

 

 

 

 

 

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Centro de Investigación en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA 

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potable” 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Índice de ecuaciones 

 

 

Ecuación 1. Ecuación bidimensional de advección-difusión (Tzatchkov, Buchberger, Li, Romero - 

Gómez, & Choi, 2009). .............................................................................................................................. 7

 

Ecuación 2. Ecuación unidimensional de advección-difusión (Tzatchkov, Buchberger, Li, Romero - 

Gómez, & Choi, 2009). .............................................................................................................................. 7

 

Ecuación 3. Balance de masa del soluto (Ho, 2008). .................................................................................... 11

 

Ecuación 4. Balance de masa del soluto (Ho, 2008). .................................................................................... 11

 

Ecuación 5. Impulso del flujo (Ho, 2008). ..................................................................................................... 13

 

Ecuación 6. Criterio de impulso en tuberías (Ho, 2008). ............................................................................. 13

 

Ecuación 7. Relación entre los caudales y las concentraciones en las tuberías 1 y 4 (Ho, 2008). ............ 14

 

Ecuación 8. Relación entre los caudales y las concentraciones en las tuberías 1 y 4 (Ho, 2008). ............ 14

 

Ecuación 9. Balance de masa del soluto en el nudo (Ho, 2008). .................................................................. 14

 

Ecuación 10. Concentración de soluto en la tubería 3 (Ho, 2008). ............................................................. 14

 

Ecuación 11. Relación entre los caudales de entrada (Ho, 2008). .............................................................. 15

 

Ecuación 12. Relación entre los caudales de salida (Ho, 2008). .................................................................. 15

 

Ecuación 13. Conservación de masa en la unión (Ho, 2008). ...................................................................... 15

 

Ecuación 14. Relación entre los caudales en las tuberías 2 y 3 (Ho, 2008). ............................................... 15

 

Ecuación 15. Relación entre los caudales en las tuberías 1 y 4 (Ho, 2008). ............................................... 15

 

Ecuación 16. Concentración de soluto en la tubería 3, en términos de las variables "x" y "y" (Ho, 2008).

 ................................................................................................................................................................. 16

 

Ecuación 17. Número de Reynolds. ............................................................................................................... 16

 

Ecuación 18. Concentración en la tubería 3, en términos del número de Reynolds (Ho, 2008). .............. 16

 

Ecuación 19. Concentración combinada en un tubo de salida (Ho, 2008). ................................................ 16

 

Ecuación 20. Ecuación de conservación de la masa para el cloro libre (Rossman, Clark, & Grayman , 

1994).. ..................................................................................................................................................... 22

 

Ecuación 21. Balance de masa para el cloro en la pared de la tubería (Rossman, Clark, & Grayman , 

1994). ...................................................................................................................................................... 23

 

Ecuación 22. Balance de masa del cloro con reacción en la pared de la tubería (Rossman, Clark, & 

Grayman , 1994). .................................................................................................................................... 23

 

Ecuación 23. Coeficiente de transferencia de masa (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). ...................... 23

 

Ecuación 24. Número de Sherwood (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). ................................................ 24

 

Ecuación 25. Número de Schmidt (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). ................................................... 24

 

Ecuación 26. Conservación de masa del cloro en el tubo i-ésimo (Rossman, Clark, & Grayman , 1994).  24

 

Ecuación 27. Constante total de decaimiento del cloro (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). ................ 25

 

Ecuación 28. Ecuación de conservación de masa del cloro con condición de contorno (Rossman, Clark, & 

Grayman , 1994). .................................................................................................................................... 25

 

Ecuación 29. Ecuación estándar (Buitrago, 2013). ...................................................................................... 36

 

Ecuación 30. Ecuación para el cálculo de la concentración C

3

 planteada por Buitrago León (Buitrago, 

2013). ...................................................................................................................................................... 37

 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigación en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA 

“Modelación física de los procesos de mezcla de sustancias en redes de distribución de agua 
potable” 

vi 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Ecuación 31. Ecuación para el cálculo de la concentración C4 planteada por Buitrago León (Buitrago, 

2013). ...................................................................................................................................................... 37

 

Ecuación 32. Conservación de masa en los nudos de la red (Saldarriaga, 2007)....................................... 40

 

Ecuación 33. Caudal en una tubería (Saldarriaga, 2007). ............................................................................ 40

 

Ecuación 34. Conservación de la energía (Saldarriaga, 2007). ................................................................... 41

 

Ecuación 35. Altura piezométrica teniendo en cuenta pérdidas menores causadas por accesorios 

(Saldarriaga, 2007). ............................................................................................................................... 41

 

Ecuación 36. Parámetro α (Saldarriaga, 2007). ............................................................................................ 42

 

Ecuación 37. Ecuación de conservación de la energía (Saldarriaga, 2007). ............................................... 43

 

Ecuación 38. Matriz A11 (Saldarriaga, 2007). .............................................................................................. 44

 

Ecuación 39. Ecuación de continuidad para todos los nudos (Saldarriaga, 2007). ................................... 44

 

Ecuación 40. Combinación de las ecuaciones de conservación de energía y continuidad (Saldarriaga, 

2007). ...................................................................................................................................................... 44

 

Ecuación 41. Ecuación obtenida al aplicar el operador gradiente (Saldarriaga, 2007). ............................ 45

 

Ecuación 42. Matriz A11' (Saldarriaga, 2007). ............................................................................................. 45

 

Ecuación 43. Desbalance de energía en cada tubería (Saldarriaga, 2007). ................................................ 45

 

Ecuación 44. Desbalance de caudal en cada nudo (Saldarriaga, 2007). ..................................................... 45

 

Ecuación 45. Diferencia de caudal para cada tubería en dos iteraciones sucesivas (Saldarriaga, 2007). 45

 

Ecuación 46. Diferencia de altura piezométrica para cada nudo en dos iteraciones sucesivas 

(Saldarriaga, 2007). ............................................................................................................................... 45

 

Ecuación 47. Sistema solucionado con el método del gradiente. ................................................................ 46

 

Ecuación 48. Cálculo de alturas piezométricas (Saldarriaga, 2007). .......................................................... 46

 

Ecuación 49. Cálculo de caudales (Saldarriaga, 2007). ................................................................................ 46

 

Ecuación 50. Ecuación de continuidad para la modelación de calidad del agua (Vidal, Martínez, & Ayza, 

1994). ...................................................................................................................................................... 60

 

Ecuación 51. Concentración de soluto en el nudo j (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). ................................ 61

 

Ecuación 52. Tiempo de permanencia medio para el nudo j (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). ................. 61

 

Ecuación 53. Transporte de sustancias conservativas (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). .......................... 62

 

Ecuación 54. Transporte de sustancias no conservativas (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). ..................... 62

 

Ecuación 55. Ecuación general de difusión (Mompremier, 2009). ............................................................. 64

 

Ecuación 56. Ecuación de difusión con coeficiente de difusión constante (Mompremier, 2009)............. 65

 

Ecuación 57. Cálculo de concentración (Mompremier, 2009)..................................................................... 68

 

Ecuación 58. Aporte de masa a la unión i (Mompremier, 2009). ................................................................ 70

 

Ecuación 59. Salida de masa del nudo i (Mompremier, 2009). ................................................................... 70

 

Ecuación 60. Concentración de la mezcla (Mompremier, 2009). ................................................................ 71

 

Ecuación 61. Definición de campo eléctrico (Kobold, 2009). ...................................................................... 81

 

 

 

 

 

 

 

 

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potable” 

vii 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Índice de Tablas 

 

 

Tabla 1. Enfermedades relacionadas con el agua (Organización Mundial de la Salud, 2009). ................... 2

 

Tabla 2. Casos de análisis planteados por Cotes Gómez (Cotes Gómez, 2013). ......................................... 27

 

Tabla 3. Casos de análisis planteados por Cotes Gómez (Cotes Gómez, 2013). ......................................... 32

 

Tabla 4. Casos de análisis planteados por Buitrago León (Buitrago, 2013). .............................................. 35

 

Tabla 5. Ecuaciones para el cálculo de las concentraciones C

3

 y C

4

 de acuerdo a la relación de los 

caudales Q

1

 y Q

2

, según las restricciones planteadas por Ho (Buitrago, 2013). ................................ 36

 

Tabla 6. Ecuaciones para el cálculo de las concentraciones C

y C

4

 de acuerdo a la relación de los 

caudales Q

1

 y Q

2

, según las restricciones planteadas por Pedro Romero-Gómez (Buitrago, 2013). 37

 

Tabla 7. Características de las tuberías. ........................................................................................................ 47

 

Tabla 8. Caudal de demanda en cada nudo. .................................................................................................. 47

 

Tabla 9. Escenarios planteados para el presente proyecto. ......................................................................... 88

 

Tabla 10. Velocidades y números de Reynolds para cada porcentaje de abertura de las válvulas. ......... 88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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viii 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

 

Índice de Ilustraciones 

 

 

Ilustración 1. Acueducto romano (France monthly, s.f.). ............................................................................... 1

 

Ilustración 2. Vista en planta de la prueba 1 (Cotes Gómez, 2013). ............................................................ 27

 

Ilustración 3. Vista en planta de la prueba 2 (Cotes Gómez, 2013). ............................................................ 28

 

Ilustración 4. Vista en planta de la prueba 3 (Cotes Gómez, 2013). ............................................................ 28

 

Ilustración 5. Vista en planta de la prueba 4 (Cotes Gómez, 2013). ............................................................ 29

 

Ilustración 6. Vista en planta de la prueba 5 (Cotes Gómez, 2013). ............................................................ 29

 

Ilustración 7. Vista en planta de la prueba 6 (Cotes Gómez, 2013). ............................................................ 30

 

Ilustración 8. Vista en planta de la prueba 7 (Cotes Gómez, 2013). ............................................................ 30

 

Ilustración 9. Modelo físico realizado (Buitrago, 2013). .............................................................................. 35

 

Ilustración 10. Tubería del laboratorio que alimenta el modelo. ................................................................ 72

 

Ilustración 11. Válvula que permite el paso de agua al modelo. ................................................................. 73

 

Ilustración 12. Tubería de alimentación al modelo. ..................................................................................... 73

 

Ilustración 13. Bifurcación de la tubería de alimentación y válvulas reguladoras de caudal a los tanques.

 ................................................................................................................................................................. 74

 

Ilustración 14. Tuberías de alimentación a los tanques. .............................................................................. 74

 

Ilustración 15. Tanque de agua limpia. ......................................................................................................... 75

 

Ilustración 16. Tubería de rebose del tanque de agua limpia. ..................................................................... 75

 

Ilustración 17. Tanque de agua clorada, previo a las modificaciones. ........................................................ 76

 

Ilustración 18. Tanque modificado en funcionamiento. .............................................................................. 77

 

Ilustración 19. Fugas en el tanque modificado. ............................................................................................ 77

 

Ilustración 20. Tuberías de entrada al modelo físico. .................................................................................. 78

 

Ilustración 21. Válvulas de entrada. .............................................................................................................. 78

 

Ilustración 22. Modelo físico. ......................................................................................................................... 79

 

Ilustración 23. Especificaciones de los dos tanques comprados para el sistema de recirculación (PAVCO, 

2013). ...................................................................................................................................................... 79

 

Ilustración 24. Caudalímetro magnético. ...................................................................................................... 83

 

Ilustración 25. Sensor de cloro. ..................................................................................................................... 84

 

Ilustración 26. Portaelectrodos para cloro libre. .......................................................................................... 87

 

Ilustración 27. Nomenclatura para las vistas en planta. .............................................................................. 89

 

Ilustración 28. Nomenclatura para las vistas en perfil. ................................................................................ 89

 

Ilustración 29. Vista en planta........................................................................................................................ 90

 

Ilustración 30. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 90

 

Ilustración 31. Vista en planta........................................................................................................................ 91

 

Ilustración 32. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 91

 

Ilustración 33. Vista en planta........................................................................................................................ 92

 

Ilustración 34. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 92

 

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ix 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Ilustración 35. Vista en planta........................................................................................................................ 93

 

Ilustración 36. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 93

 

Ilustración 37. Vista en planta........................................................................................................................ 94

 

Ilustración 38. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 94

 

Ilustración 39. Vista en planta........................................................................................................................ 95

 

Ilustración 40. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 95

 

Ilustración 41. Vista en planta........................................................................................................................ 96

 

Ilustración 42. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 96

 

Ilustración 43. Vista en planta........................................................................................................................ 97

 

Ilustración 44. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 97

 

Ilustración 45. Vista en planta........................................................................................................................ 98

 

Ilustración 46. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 98

 

Ilustración 47. Vista en planta........................................................................................................................ 99

 

Ilustración 48. Vista en perfil. ........................................................................................................................ 99

 

Ilustración 49. Vista en planta...................................................................................................................... 100

 

Ilustración 50. Vista en perfil. ...................................................................................................................... 100

 

Ilustración 51. Vista en planta...................................................................................................................... 101

 

Ilustración 52. Vista en perfil. ...................................................................................................................... 101

 

Ilustración 53. Vista en planta...................................................................................................................... 102

 

Ilustración 54. Vista en perfil. ...................................................................................................................... 102

 

Ilustración 55. Vista en planta...................................................................................................................... 103

 

Ilustración 56. Vista en perfil. ...................................................................................................................... 103

 

Ilustración 57. Vista en planta...................................................................................................................... 104

 

Ilustración 58. Vista en perfil. ...................................................................................................................... 104

 

Ilustración 59. Vista en planta...................................................................................................................... 105

 

Ilustración 60. Vista en perfil. ...................................................................................................................... 105

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

1. Introducción 

El acueducto fue inventado en Roma en el año 313  A.C. Inicialmente, los romanos contaban 
con el  río  Tiber  y  los  pozos  de  la  ciudad; sin embargo,  el  agua  obtenida no  era  de la  mejor 
calidad y mostró ser insuficiente ante el rápido crecimiento de la ciudad, así como por su uso 
en los juegos navales y baños públicos. Ante tal necesidad, se inventó el acueducto como un 

modo de transporte de agua desde las colinas que rodeaban la ciudad (Pontificia Universidad 
Javeriana Cali, 2014). 

Con  el  paso  de  los  años,  el  número  de  acueductos  aumentó  paulatinamente,  hasta  que  en 
tiempos  de  Procopio  existían  14.  Tal  era  su  nivel  de  complejidad,  que  Plinio  expresó  su 
admiración en el siguiente pasaje: “Pero si alguien calcula cuidadosamente la cantidad de agua 
suministrada al público, para baños, reservorios, casas, canales, jardines y casas de campo; y 

la distancia que recorre, los arcos construidos, las montañas perforadas, los valles nivelados; 
confesará que nunca antes hubo algo más maravilloso en el mundo entero”. 

 

Ilustración 1. Acueducto romano (France monthly, s.f.). 

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potable” 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

En  dicha  época,  se  contaba  con  un  equipo  de  460  esclavos  bajo  la  orden  de  los  curatores 
aquarum para atender los acueductos. Entre ellos se encontraban los Villici, encargados de las 

tuberías;  los  castellari,  que  supervisaban  las  castellas;  los  circuitores  que  vigilaban  a  los 
obreros; los silicarii, que removían el pavimento cuando se requería intervenir las tuberías; y 
los tectores, encargados de la construcción de los acueductos. 

Si  bien  con  el  paso  de  los  años se  ha mantenido  el  uso  de  los  acueductos como  sistema  de 
transporte y distribución de agua, nuevas necesidades han surgido; tales que han contribuido 
al desarrollo y cambio continuo de dichos sistemas, mientras suple de agua a la población. En 
particular, la Revolución Industrial conllevó al aumento en la cantidad de agua distribuida; así 

como el inicio de los procesos modernos de potabilización en la década de 1930 mostraron la 
importancia en la calidad del agua distribuida. 

Actualmente,  la  calidad  del  agua  distribuida  se  ha  convertido  en  tema  de  interés  global.  Se 
estima que 5 millones de personas mueren al año debido a enfermedades transmitidas por el 
agua  (Water  Treatment  Solutions  LENNTECH,  2014).  Las  más  importantes  de  dichas 
enfermedades se muestran a continuación: 

 

Tabla 1. Enfermedades relacionadas con el agua (Organización Mundial de la Salud, 2009). 

Debido  a  lo  anterior,  se  hace  prioritaria  la  potabilización  del  agua.  Dicho  tratamiento  se 

encuentra  a  su  vez  compuesto  por  varios  procesos,  como  lo  son  la  coagulación,  la 
sedimentación,  la  filtración,  y  por  último  el  proceso  de  desinfección.  De  entre  los  procesos 
anteriormente  mencionados,  el  proceso  de  desinfección  de  agua  cobra  una  especial 
importancia  para  propósitos  del  presente  trabajo.  En  dicho  proceso,  se  remueven  los 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

organismos  patógenos  presentes  en  el  agua,  y  que  pueden  encontrarse  asociados  con  las 
enfermedades descritas anteriormente. 

El cloro es el desinfectante más utilizado a nivel mundial para la potabilización del agua.  Al 
entrar  en  contacto  con  el  agua,  reacciona  para  producir  ácido  hipocloroso,  el  cual  con  su 

capacidad oxidante, penetra en la célula y destruye las enzimas, ocasionando eventualmente 
la muerte celular. Adicionalmente es de fácil manejo y bajo costo (Water Treatment Solutions 
LENNTECH, Desinfectantes, 2014).  

En el proceso de desinfección no sólo se añade el cloro suficiente para eliminar los patógenos 
presentes en el agua en dicho momento. Adicionalmente, se añade una cantidad extra bajo el 
supuesto que a lo largo de la red de distribución, pueden ocurrir eventos de contaminación 
del  agua.  Dicha  cantidad  extra  recibe  el  nombre  de  cloro  residual.  Se  espera  que  con  dicha 

cantidad,  el  agua  tenga  una  capacidad  de  autodepuración  suficiente  en  casos  de 
contaminación microbiológica durante su transporte y almacenaje en la red. 

La cantidad de cloro que se añade depende de los estándares de calidad, y varían de acuerdo 
con  el  país.  Por  ejemplo,  la  EPA  ha  establecido  que  la  concentración  de  cloro  residual  no 
puede ser inferior a 0,1 mg/l ni superior a 0,3 mg/l (Ocasio & López Díez, 2007). Sin embargo, 
se coincide en que depende de la demanda de cloro, es decir, de la cantidad de cloro que se 

debe aplicar a una muestra de agua para producir una determinada cantidad de cloro residual 
disponible  después  de  cierto  tiempo  de  contacto.  De  esta  forma  la  demanda  de  cloro  es  la 
diferencia entre la cantidad de cloro aplicada inicialmente, y la cantidad de cloro remanente 
después del período de contacto (Cotes Gómez, 2013).  

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potable” 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

Figura 1. Comportamiento de cloro residual de acuerdo a la dosis agregada (Ocasio & López Díez, 2007). 

En  la  Figura  1  se  muestra  el  comportamiento  de  cloro  residual  de  acuerdo  con  la  dosis 
agregada  a  la  muestra  de  agua.  El  punto  A  muestra  la  cantidad  de  cloro  requerida  para 

satisfacer  la  demanda  de  los  agentes  reductores,  y  su  adición  en  exceso  conlleva  a  la 
formación  de  cloraminas,  las  cuales  son  desinfectantes  efectivos  contra  las  bacterias 
presentes. Una vez los agentes reductores han reaccionado, el cloro residual aumenta (curva 
A-B). Dicho cloro residual oxida las cloraminas previamente formadas, por lo que disminuye 
de nuevo (Curva B-C). Una vez las cloraminas han sido eliminados (Punto C), el agua sale de la 
planta de tratamiento y hacia la red (Ocasio & López Díez, 2007). 

La  dosis  de  cloro  a  añadir  depende  de  la  red,  en  cuanto  a  que  debe  asegurar  que  el  agua 

cuente  con  la  capacidad  de  autodepuración  a  lo  largo  del  tiempo  de  viaje.  Adicionalmente, 
supone que en los nudos de la red existe un proceso de mezcla completo y homogéneo, de tal 
manera que las concentraciones de salida en las tuberías de salida de una unión tengan una 
concentración igual. Sin embargo, estudios recientes han demostrado que dichos procesos de 
mezcla en los nudos de la red no son completos ni homogéneos. 

 

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potable” 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

1.1.  Objetivos 

1.1.1. 

Objetivo general 

El objetivo del presente proyecto, es la  cuantificación de los porcentajes de mezcla de cloro 
residual en los nudos de redes de distribución de agua potable. Para lo anterior se hará uso 
del  modelo  físico  de  mezcla  completa  construido  en  el  Laboratorio  de  Hidráulica  de  la 
Universidad de Los Andes. 

1.1.2. 

Objetivos específicos 

Se espera poder realizar un estudio cualitativo de los procesos de mezcla que se presentan en 
los nudos de las redes de distribución de agua potable. Para esto, se van a utilizar tuberías de 
vidrio y trazadores, con los cuales se pueda apreciar visualmente lo que ocurre en la unión de 
las tuberías. 

Adicionalmente, se cuantificarán las concentraciones de cloro en las entradas y salidas de la 
unión  en  cruz,  junto  con  los  caudales  en  dichas  tuberías.  De  esta  forma  se  espera  obtener 

resultados sobre los porcentajes de mezcla de sustancias en las uniones de tuberías mediante 
el uso de trazadores no conservativos.  

A  partir  de  los  resultados  obtenidos,  se  espera  determinar  los  parámetros  con  mayor 
influencia  en  el  proceso  de  mezcla,  y  corroborar  los  resultados  obtenidos  en  estudios 
anteriores. 

 

 

 

 

 

 

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potable” 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

2. 

Antecedentes 

2.1.  Aproximaciones iniciales al fenómeno de mezcla completa 

A  medida  que  las  empresas  prestadoras  del  servicio  de  agua  potable  evolucionan,  tienen la 
obligación de no sólo entregar agua de alta calidad, sino de asegurar la seguridad de la misma. 
Para esto, los modelos computacionales han evolucionado para simular de una mejor forma el 
transporte de químicos y agentes biológicos. Dichos modelos se conforman típicamente por 
dos modelos: Uno hidráulico, y otro de calidad del agua.  

Entre los fenómenos caracterizados por los modelos de calidad del agua, se encuentra el de la 

mezcla de agua en los nudos de las redes de distribución. Mays (2004) declaró que en todos 
los nudos de la red se presenta una mezcla perfecta e instantánea del agua que llega a dichos 
nudos.  Sin  embargo,  ya  en  1991,  Fowler  y  Jones  cuestionaban  la  ocurrencia  de  una  mezcla 
perfecta en los nudos de las redes.  Debido a lo anterior, una de las preocupaciones sobre la 
modelación de calidad del agua radica en que la suposición de mezcla perfecta es considerada 

como una causa potencialmente significativa en las discrepancias entre las predicciones de los 
modelos y los valores reales (Romero Gómez, Ho, & Choi, 2008).  

2.1.1. 

Flujo laminar 

En redes de distribución de agua potable es común encontrar zonas con condiciones de bajo 
caudal.  Dependiendo  de  la  hora  del  día,  dichas  condiciones  pueden  predominar  en 
aproximadamente el 20% a 50% de la red, según los patrones de demanda. Bajo la presencia 
de flujo laminar, la dispersión axial puede ser un factor importante al predecir la calidad del 
agua. Por ejemplo, el tiempo de viaje del agua a través de un sistema de distribución se supone 

normalmente como el tiempo de residencia hidráulico nominal, o estimado como el tiempo de 
residencia mediante el uso de programas de modelación hidráulica como EPANET. En ambos 
casos, no se tiene en cuenta el proceso de dispersión que se pueda presentar. Sin embargo, es 
posible que un soluto en la red viaje bajo condiciones de Advección – Dispersión, en lugar que 
bajo  advección  pura.  De  forma  similar,  bajo  condiciones  de  transporte  A  –  D,  una  parte  del 

soluto no se moverá tanto como lo esperado bajo condiciones de advección pura (Tzatchkov, 
Buchberger, Li, Romero - Gómez, & Choi, 2009). 

El transporte de un trazador conservativo que se mueve bajo flujo laminar constante a través 
de una tubería, se describe por la ecuación bidimensional de advección – difusión: 

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“Modelación física de los procesos de mezcla de sustancias en redes de distribución de agua 
potable” 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

𝜕𝐶

𝜕𝑡

= 𝐷 (

𝜕

2

𝐶

𝜕𝑟

2

+

1
𝑟

𝜕𝐶

𝜕𝑟

+

𝜕

2

𝐶

𝜕𝑥

2

) − 2𝑈 (1 −

𝑟

2

𝑎

2

)

𝜕𝐶

𝜕𝑥

− 𝐾𝐶 

Ecuación 1. Ecuación bidimensional de advección-difusión (Tzatchkov, Buchberger, Li, Romero - Gómez, & Choi, 2009). 

donde, 

𝐶(𝑟, 𝑥, 𝑡), es la concentración del soluto en cualquier punto de la sección transversal. 

𝐷, es el coeficiente de difusión molecular del soluto en el agua (difusividad). 

𝑈, es la velocidad media en la dirección axial. 

𝐾, es la velocidad constante de reacción de primer orden. 

𝑎, es el radio de la tubería. 

𝑟, es la posición radial. 

𝑥, es la posición axial. 

𝑡, es el tiempo. 

De acuerdo con la teoría clásica de Taylor para dispersión, la Ecuación 1 se puede simplificar a 
la  ecuación  unidimensional  de  advección  –  dispersión,  siempre  y  cuando  una  cierta 
inicialización del proceso de difusión ha transcurrido: 

𝜕𝐶

𝜕𝑡

+ 𝑈

𝜕𝐶

𝜕𝑥

= 𝐸

𝜕

2

𝐶

𝜕𝑥

2

− 𝐾𝐶 

Ecuación 2. Ecuación unidimensional de advección-difusión (Tzatchkov, Buchberger, Li, Romero - Gómez, & Choi, 

2009). 

donde, 

𝐶, es la concentración media en la sección transversal. 

𝐸, es el coeficiente axial de dispersión, el cual es constante. 

Al  utilizar  esta  ecuación  con  un  coeficiente  de  dispersión  constante,  se  tiene  como 
consecuencia  un  proceso  de  difusión  estable.  Sin  embargo,  debido  al  pequeño  valor  de  la 

difusividad  del  agua  (𝐷 = 10

−5

 𝑐𝑚

2

𝑠

⁄ )  y  el  constante  cambio  del  flujo  en  las  redes  de 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

distribución,  el  proceso  de  dispersión  es  inestable  y  la  teoría  de  Taylor,  descrita 
anteriormente, no tiene validez. Lo que quiere decir que es importante medir la concentración 

del  soluto  de  manera independiente  espacialmente  y  no  se  puede  tomar una  concentración 
media.  A  partir  de  lo  anterior,  los  científicos  llegaron  a  la  conclusión  de  que  este  último 
modelo, subestima significativamente las concentraciones en los nodos obtenidas mediante la 
resolución  de  la  ecuación  de  advección-dispersión  a  baja  velocidad  de  flujo  (Tzatchkov, 
Buchberger, Li, Romero - Gómez, & Choi, 2009). 

2.1.2. 

Flujo turbulento 

El  régimen  de  flujo  más  común  en  redes  de  distribución  de  agua  potable  es  el  de  flujo 
turbulento, por lo que el número de estudios que se han realizado es mayor en comparación 
con el régimen laminar. En primer lugar, Ashgriz (2001) examinó dos corrientes en chorro e 

indicó que en su intersección, los flujos se bifurcan en lugar de mezclarse si las velocidades del 
flujo son bajas. Para velocidades altas (mayores a 10 m/s), los flujos se atomizan y se logran 
condiciones  de  mezcla  adecuadas.  Resultados  experimentales  y  analíticos  indican  que  para 
tuberías,  es  poco  probable  que  los  flujos  entrantes  atraviesen  a  través  del  otro  bajo 
condiciones típicas (Orear 2005). Sin embargo, si las velocidades de entrada eran diferentes, 

podría  ocurrir  mezcla  si  la  corriente  con  mayor  momentum  empujaba  a  la  corriente  con 
menor  momentum  a  través  de  la  unión  (Austin,  van  Bloemen  Waanders,  McKenna,  &  Choi, 
2008). 

Van Bloemen Waanders (2005) estudió el transporte de químicos en modelos de redes para 
flujos  presurizados  que  convergen  en  un  nudo.  En  dicho  estudio,  dos  flujos  de  entrada 
adyacentes con igual número de Reynolds (Re = 44000) se mezclaron en un nudo, y fueron 

descargados por dos tuberías de salida adyacentes con los mismos números de Reynolds. Se 
utilizó cloruro de sodio como trazador en una de las tuberías de entrada, y adicionalmente se 
realizaron simulaciones mediante CFD. Si ocurriera mezcla completa, el flujo en cada tubería 
de salida debería cargar el 50% de la masa de cloruro de sodio añadida. Sin embargo, tanto 
experimental como computacionalmente se demostró que dicha mezcla completa no ocurrió, 

sino  que  las  concentraciones  de  salida  en  las  tuberías  de  salida  adyacente  y  opuesta  a  la 
tubería de entrada del trazador, fue del 85% y 15%, respectivamente. De ahí se concluyó que 
el  suponer  mezcla  completa  en  los  nudos  de  la  red  puede  conllevar  a  discrepancias 
significativas (Romero Gómez, Ho, & Choi, 2008). 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Ho (2006) investigó diversas geometrías en los nudos (como por ejemplo uniones en cruz y en 
doble  tee),  así  como  redes  de  3  x  3  nudos  con  dos  fuentes  de  agua  con  diferentes 

concentraciones  de  NaCl.  Se  simuló  mediante  CFD,  con  números  de  Reynolds  entre  5000  y 
80000.  Adicionalmente,  se  modificó  el  número  turbulento  de  Schmidt  para  determinar  si 
difusividad  turbulenta  se  podía  usar  para  representar  la  mezcla  en  los  nudos.  En  el 
experimento  se  utilizaron  números  de  Schmidt  entre  0,001  y  0,1  para  simular  la  mezcla 
producida  por  inestabilidades  en  la  interfaz  entre los  dos  flujos.  Los  resultados observados 

sugirieron  que  el  ajuste  de  dicho  parámetro  podrían  mejorar  los  resultados  obtenidos 
mediante modelos computacionales. 

Romero Gómez (2006) estudió un gran rango de números de Reynolds para generalizar los 
hallazgos  anteriores.  Los  radios  entre  los  números  de  Reynolds  fueron  definidos  como  los 
parámetros adimensionales significativos para determinar el porcentaje de mezcla en nudos 
bajo condiciones de flujo turbulento (Re>10000), e integró los resultados obtenidos mediante 
las  simulaciones  CFD  en  EPANET.  Las  curvas  de  contorno  obtenidas  muestran  que  los 

patrones espaciales de concentración cambiaron significativamente al ingresar los resultados 
obtenidos con CFD. 

Adicionalmente,  van  Bloemen  Waanders  (2005)  investigó  la  precisión  de  los  modelos  de 
mezcla para configuraciones de bajo número de nudos, mediante el uso del modelo de Navier 
Stokes combinado con una formulación de convección  – difusión. Dicho estudio predijo que 
sólo una pequeña fracción de los dos flujos entrantes se mezcla. Romero Gómez (2008) aplicó 
un modelo CFD (Dinámica de Fluidos Computacional) utilizando un modelo bajo condiciones 

de estado estable para estudiar los mecanismos de mezcla en uniones de tuberías. Webb y van 
Bloemen  Waanders  (2006)  utilizaron  un  modelo  LES  para  describir  el  comportamiento 
espacial y temporal de los fenómenos de mezcla, y encontraron que el comportamiento de la 
mezcla  era  altamente  transiente  debido  a  las  fluctuaciones  de  velocidad  de  los  flujos 
entrantes. Webb (2007) también aplicó un modelo LES para el caso de flujos con velocidades 

de entrada muy diferentes entrando en una unión. Ellos encontraron que la interfaz de mezcla 
se formaba en cercanías a la pared en lugar del eje de la unión debido a la diferencia entre los 
momentos de las corrientes de flujo (Song, Romero - Gómez, & Choi, 2009). 

Austin (2008) caracterizó más detalladamente el comportamiento de los procesos de mezcla 
para  uniones  en  cruz  bajo  diversas  condiciones  hidráulicas  para  flujos  turbulentos.  Él 

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correlacionó los porcentajes de mezcla con los radios del número de Reynolds entre los dos 
flujos entrantes, y los dos flujos salientes en una unión, e incorporó dichos resultados en un 

modelo de calidad del agua para una red. Por ende, primero se determinaron los caudales en 
la red mediante un modelo hidráulico, y posteriormente, se calcularon las concentraciones de 
soluto  de  acuerdo  con  los  radios  de  número  de  Reynolds  calculados  para  cada  una  de  las 
uniones de la red.  

Por último, Plesniak y Cusano (2005) investigaron la mezcla de flujos en uniones tipo T  en la 
que  los  dos  flujos  convergen  (típicamente  a  90°)  en  una  única  tubería.  Los  resultados 
mostraron que el porcentaje de mezcla se incrementaba si había estructuras que promovieran 

la turbulencia en la interfaz de los dos flujos. También encontraron el porcentaje de mezcla en 
uniones tipo Tee dependía del ángulo de intersección de los dos flujos entrantes, así como de 
la distancia aguas abajo donde se medía, debido a la presencia de vórtices aguas debajo de la 
unión (Ho, 2008).  

Los resultados obtenidos mediante modelos CFD muestran el siguiente comportamiento: 

 

Figura 2. Simulación de flujo en CFD. 

La Figura  2 muestra como  los flujos entrantes actúan como  cuerpos rígidos, tal que chocan 
entre  sí  y  se  redirigen  hacia  las  tuberías  de  salida  adyacentes.  La  mezcla  se  limita  a  la 

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superficie  de  contacto  entre  los  dos  flujos.  Adicionalmente,  el  modelo  muestra  como  una 
porción de la corriente de mayor caudal (la corriente azul) cruza la unión y sale por la tubería 
opuesta, deflectando al flujo de menor caudal (la corriente roja). 

2.2.  Modelo de mezcla completa 

El  modelo  de  mezcla  completa  es  el  que  actualmente  utilizan  los  programas  que  modelan 
redes  de  distribución  de  agua  potable,  entre  ellos  EPANET.  Este  modelo  supone  que  el 
proceso de mezcla al interior de los nudos de la red es completo e instantáneo. Por ende, la 

concentración en el fluido inmediatamente después que sale del nudo es uniforme e igual en 
todas las tuberías de salida, y depende de las concentraciones de flujo ponderadas que entran 
al nudo. 

Al realizar el balance de masa del soluto se obtiene la siguiente ecuación: 

𝑐

𝑜𝑢𝑡

=

𝑄

𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐶

𝑖

𝑄

𝑜𝑢𝑡

 

Ecuación 3. Balance de masa del soluto (Ho, 2008). 

Dado que no hay acumulación de masa en el nudo, se obtiene la siguiente ecuación: 

𝑐

𝑜𝑢𝑡

=

𝑄

𝑖

𝑛

𝑖=1

𝐶

𝑖

𝑄

𝑖

𝑛

𝑖=1

 

Ecuación 4. Balance de masa del soluto (Ho, 2008). 

donde, 

𝑄

𝑖

, es el caudal de entrada al nudo desde la tubería i. 

𝐶

𝑖

, es la concentración de soluto en la tubería de entrada i. 

𝑛, es el número de tuberías que llegan a la unión. 

El modelo de mezcla completa predice la mayor mezcla posible que puede ocurrir físicamente 

al interior de un nudo. Sin embargo, no tiene en cuenta los procesos físicos de mezcla que se 
han observado en experimentos y simulaciones, mediante el uso de modelos CFD para muchas 
configuraciones  de  flujo.  Por  ende,  la  no  inclusión  de  dichos  fenómenos  puede  producir 
concentraciones significativamente diferentes a las reales para muchos tipos de nudos. 

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2.3.  Modelo de mezcla incompleta 

El  modelo  de  mezcla  incompleta  ha  sido  desarrollado  como  un  complemento  al  modelo  de 
mezcla completa, mediante la inclusión de un límite inferior para la determinación de mezcla 
de sustancias en los nudos de la red. Para esto, el modelo usa como base el conocimiento de 
las velocidades de flujo relativas, así como las concentraciones de entrada y salida del nudo. 

El impulso desigual de diferentes flujos que convergen en un nudo de la red provocará una 
transferencia  masiva  de  fluidos,  así  como  de  los  solutos  allí  presentes  entre  los  flujos 

entrantes  y  salientes,  tal  y  como  se  muestra  en  la  Figura  3.  Para  caudales  diferentes,  los 
modelos CFD realizados muestran que el impulso adicional realizado por una corriente, puede 
llegar a ser suficiente para que este flujo cruce la cruz y salga por la tubería opuesta. Como 
resultado  de  este  fenómeno,  el  impulso  adicional  del  flujo  con  mayor  impulso  causa  que  el 
flujo con mayor impulso empuje el otro flujo a través del nudo.   

 

Figura 3. Flujos con diferentes impulsos (Ho, 2008). 

Las situaciones anteriormente descritas se muestran en la Figura 2. En este caso, la velocidad 

del flujo de entrada de agua limpia es un 80% mayor con respecto a la velocidad del flujo de 
entrada del agua con trazador, mientras las velocidades del flujo de salida son iguales. Como 
resultado,  el  impulso  adicional  en  el  flujo  de  agua  limpia  causa  que  este  flujo  empuje  al  de 
agua  con  trazador,  de  tal  forma  que  por  la  tubería  de salida adyacente  a  la  del agua  limpia 
únicamente sale agua limpia, mientras que por la otra tubería de salida sale una mezcla entre 

agua limpia y agua con trazador, lo cual diluye la concentración del trazador en dicha tubería 

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de salida. Similar pero opuesto será el comportamiento de los flujos si la velocidad de entrada 
del agua con trazador fuese superior a la velocidad de entrada del agua limpia, manteniendo 
iguales las velocidades de los flujos de salida.  

El modelo de mezcla incompleta supone que la mezcla sólo se produce por la interacción del 

fluido a granel. Si las velocidades de todos los flujos fuesen iguales, el flujo se bifurcaría por 
completo  de  tal  forma  que  no  se  presentaría  mezcla.  Por  ende,  este modelo  proporciona  el 
límite inferior, físicamente basado, del porcentaje de mezcla que puede ocurrir en el nudo. 

El modelo de mezcla incompleta se obtiene suponiendo que se conocen las tasas de entrada 
del flujo, o que se pueden calcular. El procedimiento es el siguiente: 

1.  Calcular  la  tasa  de  impulso  total  del  fluido  en  pares  de  tubos  opuestos,  es  decir, 

entradas y salidas situados a 180° entre ellos, mediante la siguiente ecuación: 

𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 =

𝜌𝑄

𝑖

2

𝐴

𝑖

 

Ecuación 5. Impulso del flujo (Ho, 2008). 

donde 𝐴

𝑖

, es el área transversal de la tubería 𝑖. 

2.  Para el par de tubos con el mayor impulso, asignar “1” para la tubería de entrada y “3” 

para la tubería de salida. 

3.  Asignar “2” para la tubería de entrada restante y “4” para la tubería de salida restante. 

Suponiendo que la densidad del agua es constante, el criterio de impulso es el siguiente: 

𝑄

1

2

𝐴

1

+

𝑄

3

2

𝐴

3

>

𝑄

2

2

𝐴

2

+

𝑄

4

2

𝐴

4

 

Ecuación 6. Criterio de impulso en tuberías (Ho, 2008). 

En  este  caso  se  considera  que  todas  las  tuberías  tienen  igual  sección  transversal.  En  los 
ejemplos  presentados  en  la  Figura  3,  se  encuentran  diferentes  velocidades  de  flujo  en  los 

tubos individuales que causan un impulso dominante en unos de los pares de tubos opuestos. 
En  la  Figura  3a,  el  impulso  dominante  es  de  arriba  abajo,  mientras  que  en  la  Figura  3b,  el 
impulso dominante es de izquierda a derecha.  

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Dado  que  las  tuberías  1  y  3  corresponden  a  la  entrada  y  la  salida,  respectivamente,  de  la 
tubería con el mayor impulso; la totalidad del flujo que entra por la tubería 2 fluye hacia la 

tubería 3, junto con parte del flujo que entra por la tubería 1. Por ende, la concentración en la 
tubería de salida “3” corresponderá a la mezcla de los flujos provenientes de las tuberías 1 y 2. 
Por  otro  lado,  la  concentración  en  la  tubería  de  salida  4 será  igual  a  la  concentración  de  la 
tubería de entrada 1, dado que es la única fuente que le proporciona flujo a dicha tubería. 

Suponiendo  que  la  velocidad  del  flujo  en  cada  tubería  es  conocida  junto  con  las 
concentraciones de entrada C

1

 y C

2

𝑄

4

𝐶

4

= 𝑄

1→4

𝐶

1

 

Ecuación 7. Relación entre los caudales y las concentraciones en las tuberías 1 y 4 (Ho, 2008). 

donde, 

𝑄

1→4

, es la porción del flujo de la tubería de entrada 1 que fluye hacia la tubería de salida 4. 

Como se supone que el flujo de la tubería 2 no sale por la tubería 4, todo el flujo que sale de la 
tubería 4 proviene del tubo de entrada 1, es decir,  𝑄

1→4

= 𝑄

4

. Es entonces que se establece 

que  la  concentración  en  la  tubería  de  salida  4  es  igual  a  la  concentración  en  la  tubería  de 
entrada 1, 𝐶

4

= 𝐶

1

𝑄

4

𝐶

4

= 𝑄

1→4

𝐶

1

= 𝑄

4

𝐶

1

 

Ecuación 8. Relación entre los caudales y las concentraciones en las tuberías 1 y 4 (Ho, 2008). 

La concentración en la tubería de salida se calcula mediante la realización del balance de masa 
del soluto en el nudo: 

𝑄

1

𝐶

1

+ 𝑄

2

𝐶

2

= 𝑄

3

𝐶

3

+ 𝑄

4

𝐶

4

 

Ecuación 9. Balance de masa del soluto en el nudo (Ho, 2008). 

Despejando la concentración de la tubería 3, se obtiene: 

𝐶

3

=

𝑄

2

𝐶

2

+ (𝑄

1

−𝑄

4

)𝐶

1

𝑄

3

 

Ecuación 10. Concentración de soluto en la tubería 3 (Ho, 2008). 

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“Modelación física de los procesos de mezcla de sustancias en redes de distribución de agua 
potable” 

15 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Las Ecuaciones 8 y 10 describen las soluciones analíticas del modelo de mezcla incompleta. En 
una red, estas soluciones pueden aplicarse secuencialmente a cada unión aguas abajo a partir 

de la  unión aguas arriba donde se conocen las concentraciones de entrada. La velocidad de 
flujo en cada tubería es típicamente calculada de antemano en los modelos CFD de red o sobre 
las  condiciones  prescritas  de  límite  de  presión  y/o  las  tasas  de  flujo.  En  las  simulaciones 
transitorias, la solución del  modelo de mezcla incompleta se puede  aplicar en cada  paso  de 
tiempo con velocidades de flujo actualizadas en cada unión. 

La solución para la concentración en la tubería de salida 3 puede reescribirse en términos de 
las relaciones entre los caudales de entrada y salida, mediante la siguiente definición: 

𝑥 =

𝑄

1

𝑄

2

 

Ecuación 11. Relación entre los caudales de entrada (Ho, 2008). 

𝑦 =

𝑄

4

𝑄

3

 

Ecuación 12. Relación entre los caudales de salida (Ho, 2008). 

Los caudales expresados en la Ecuación 10 pueden ser derivados utilizando las Ecuaciones 11 
y 12, y utilizando la conservación de masa en la unión se tiene lo siguiente: 

𝑄

1

+ 𝑄

2

= 𝑄

3

+ 𝑄

4

 

Ecuación 13. Conservación de masa en la unión (Ho, 2008). 

Reemplazando: 

𝑄

2

𝑄

3

=

𝑦 + 1
𝑥 + 1

 

Ecuación 14. Relación entre los caudales en las tuberías 2 y 3 (Ho, 2008). 

𝑄

1

𝑄

4

=

𝑦 + 1
1

𝑥 + 1

 

Ecuación 15. Relación entre los caudales en las tuberías 1 y 4 (Ho, 2008). 

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16 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Utilizando las 2 últimas ecuaciones en la Ecuación 10, se puede determinar la concentración 
en la tubería 3: 

𝐶

3

= (

𝑦 + 1
𝑥 + 1

) 𝐶

2

+ (

𝑥 − 𝑦
𝑥 + 1

) 𝐶

1

 

Ecuación 16. Concentración de soluto en la tubería 3, en términos de las variables "x" y "y" (Ho, 2008). 

Las relaciones de flujo  también son equivalentes si se expresan en términos del número de 
Reynolds para cada tubería, en lugar de los caudales medios en las tuberías: 

𝑅𝑒

𝑖

=

𝑣

𝑖

𝑑

𝑖

𝜈

 

Ecuación 17. Número de Reynolds. 

donde, 

𝑣

𝑖

, es la velocidad media del flujo en cada tubería. 

𝑑

𝑖

, es el diámetro de cada tubería. 

𝜈, es la viscosidad cinemática del agua. 

Finalmente, la concentración en la tubería 3 sería: 

𝐶

3

=

𝑅𝑒

2

𝐶

2

+ (𝑅𝑒

1

−𝑅𝑒

4

)𝐶

1

𝑅𝑒

3

 

Ecuación 18. Concentración en la tubería 3, en términos del número de Reynolds (Ho, 2008). 

2.4.  Combinación de los modelos 

Dado que los modelos de mezcla completa e incompleta proporcionan los límites superior e 
inferior, respectivamente, del proceso de mezcla, la cantidad real de la mezcla se encontrará 
entre  estos  dos  límites.  Por  lo  tanto,  es  posible  definir  un  parámetro  de  escala  0  <  𝑆  <  1 
para estimar la concentración en un tubo de salida. 

𝐶

𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎

= 𝐶

𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎

+ 𝑆(𝐶

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎

− 𝐶

𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎

Ecuación 19. Concentración combinada en un tubo de salida (Ho, 2008). 

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17 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

El valor del parámetro de escala 𝑆, depende de las propiedades del fluido, las condiciones del 
flujo y la configuración geométrica de la conexión de tubos. Lo anterior puede contribuir a la 

presencia de inestabilidades locales en la interfaz incidente, y la mezcla turbulenta dentro de 
la unión. 

2.5.  Comparación entre los modelos teóricos y los experimentos realizados 

Los resultados de los modelos de mezcla completa e incompleta han sido comparados con los 
resultados  obtenidos  por  diversos  investigadores,  entre  ellos,  Romero  Gómez  (2006)  y 

McKenna (2007). En los experimentos realizados por Romero Gómez, se investigó el efecto de 
diferentes radios entre los caudales de entrada y salida de la unión. En un primer conjunto de 
experimentos, los caudales en la entrada de la unión variaron, mientras los caudales de salida 
de la unión permanecieron constantes. En un segundo conjunto de experimentos, los caudales 
de entrada permanecieron constantes mientras se variaron los de salida. En los experimentos 

realizados  por  McKenna,  sólo  se  variaron  los  caudales  de  entrada  a  la  unión,  mientras  los 
caudales de salida permanecieron constantes.  

Las  Figuras  4  y  5  muestran  las  concentraciones  de  trazador  normalizadas,  analíticas  y 
experimentales  para  la  salida  con  mayor  concentración  de  trazador  para  diferentes 
configuraciones  de caudal.  En  la  Figura  4,  se  muestran  los  resultados  obtenidos cuando  los 
caudales de salida permanecen constantes mientras se varían los de entrada. En la Figura 5, se 
muestran los resultados para el caso contrario. 

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18 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

Figura 4. Concentraciones normalizadas, medidas y predichas para la salida con trazador para diferentes caudales de 

entrada e iguales caudales de salida (Ho, 2008). 

Los  resultados  obtenidos  confirman  que  los  modelos  de  mezcla  completa  e  incompleta 
proporcionan los límites para cualquier combinación de radios en los caudales de entrada y 

salida de la unión. Mayores porcentajes de mezcla se ven indicados por menores valores en la 
concentración normalizada en la salida de trazador.  

Como  se  ha  discutido  previamente,  el  modelo  de  mezcla  completa  supone  que  las 
concentraciones en las tuberías de salida son iguales, y son causadas por la mezcla completa e 
instantánea dentro de la unión. Por ende, este modelo proporciona el límite inferior para las 
concentraciones normalizadas en la tubería por la que sale la mayor parte del trazador para 
todos  los  casos.  El  modelo  de  mezcla  incompleta  predice  concentraciones  normalizadas 

mayores  en  la  tubería  de  salida  del  trazador  para  cualquier  radio  de  caudales  de  entrada 
porque  la  mezcla  del  trazador  es  causada  por  la  mezcla  de  los  flujos,  y  no  por  difusión  o 
mezcla turbulenta. 

En  la  Figura  4,  radios  de  entrada  (trazador/limpio)  menores  a  uno  indican  que  un  mayor 
caudal  de  agua  limpia  llega  a  la  unión  en  comparación  con  el  caudal  de  agua  con  trazador. 
Para radios mayores a uno, el caudal de agua con trazador que llega a la unión es mayor que el 

caudal  de  agua  limpia.  Adicionalmente,  los  resultados  experimentales  se  encuentran 

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potable” 

19 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

delimitados por los valores analíticos obtenidos mediante los modelos de mezcla completa e 
incompleta, y se observa que la tendencia de los datos experimentales es similar a la de los 
modelos.  

A  medida  que  un  mayor  caudal  de  agua  con  trazador  se  introduce  en  el  modelo  en 

comparación  con  el  caudal  de  agua  limpia,  el  porcentaje  de  dilución  disminuye  y  la 
concentración normalizada se incrementa hasta un valor cercano a 1. Sin embargo, debido a 
las  inestabilidades  transitorias  causadas  por  el  flujo  turbulento,  se  presenta  un  pequeño 
porcentaje de dilución, aun cuando el radio de los caudales de entrada es superior a 1. Para 
radios de caudales de entrada entre 0,3 y 3, los valores experimentales pueden ser predichos 

por el modelo combinado con un parámetro de mezcla S entre 0,2 y 0,5. Para radios inferiores 
a  0,3  y  superiores  a  3,  los  datos  experimentales  son  más  precisamente  predichos  por  un 
modelo  combinado  con  parámetro  de  mezcla  entre  0,5  y  0,8.  Esto  implica  que  la  mezcla 
aumenta cuando existe una discrepancia significativa entre los caudales de entrada, mayor a 
un factor de 3. 

Como se mencionó previamente, los diámetros de las tuberías utilizadas en los dos conjuntos 
de  experimentos  realizados  por  Romero  –  Gómez  y  McKenna  son  diferentes.  Además,  las 

uniones  en  PVC  utilizadas  en  ambos  conjuntos  de  experimentos  fueron  construidas  por 
diferentes  empresas.  Los  accesorios  utilizados  por  Romero  Gómez  en  2006  crearon  una 
conexión  más  al  ras  entre  el  diámetro  interno  de  las  tuberías  y  el  diámetro  interno  de  la 
unión,  en  comparación  con  los  accesorios  utilizados  por  McKenna  en  2007.  Estos  últimos 
accesorios permitieron una mayor expansión del fluido cuando entró a la unión, por lo que se 

esperarían  mayores  porcentajes  de  mezcla  asociados  con  este  fenómeno.  Este 
comportamiento se ve reflejado en cierta medida en los datos obtenidos por McKenna, aunque 
las tendencias son bastante comparables para el rango de relaciones de flujo de entrada que 
se superponen en los dos conjuntos de datos. 

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20 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

Figura 5. Concentraciones normalizadas, medidas y predichas para la salida con trazador para diferentes caudales de 

salida e iguales caudales de entrada (Ho, 2008). 

La Figura 5 muestra los resultados obtenidos para diferentes relaciones de flujos de salida y 
relaciones iguales de flujos de entrada. Sólo se considera el trabajo realizado por Romero  – 
Gómez, dado que McKenna no analizó esta configuración de caudales. Cuando la relación de 

los  flujos  de  salida  (trazador/limpia)  es  menor  a  1,  un  mayor  caudal  de  agua  sale  por  la 
tubería limpia en comparación con la tubería del trazador. Cuando la relación es mayor a 1, un 
mayor caudal de agua sale por la tubería del trazador, en comparación con la tubería limpia. 
Dado  que  la  relación  entre  los  caudales  de  entrada  es  igual,  el  modelo  de  mezcla  completa 
predice que las concentraciones de salida serán la mitad de las concentraciones normalizadas 

en  la  tubería  de  entrada  de  trazador,  aun  cuando  los  caudales  de  salida  son  diferentes.  Sin 
embargo, los datos experimentales y el modelo de mezcla incompleta muestran desviaciones 
significativas del modelo de mezcla completa. En los casos en que las relaciones en los flujos 
de salida son mayores a 1, el mayor flujo a través de la salida del trazador se complementa por 
el agua de la entrada limpia, lo que diluye la concentración de trazador. A muy altas relaciones 

en los caudales de salida, casi toda el agua que entran por las dos tuberías de entrada sale por 
la tubería de trazador, por lo que la concentración de trazador en dicha tubería se acerca de 
forma asintótica a 0,5. 

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21 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Para  relaciones  menores  a  1,  la  Figura  5  muestra  que  las  concentraciones  normalizadas 
experimentales  tienden  a  1  ya  que  el  agua  que  sale  a  través  de  la  tubería  de  trazador,  se 

compone principalmente del agua que entra a la unión a través de la tubería de entrada de 
agua con trazador. El modelo de mezcla incompleta predice concentraciones normalizadas de 
1 para estas condiciones porque supone que el flujo predominante que viene de la tubería de 
entrada  de  agua  con  trazador  previene  que  el  agua  limpia  cruce  a  través  de  la  unión  para 
diluir el agua que sale a través de la tubería de salida de trazador. En general, las tendencias 

en  los  datos  experimentales  están  bien  acompañadas  por  las  predicciones  del  modelo  de 
mezcla incompleta, especialmente para relaciones de flujo de salida mayores que un factor de 
2  o  3.  Para  relaciones  menores  a  2,  el  modelo  de  mezcla  combinado  con  un  parámetro  de 
mezcla  de  aproximadamente  0,1  o  0,2  predice  el  comportamiento  de  los  datos 
experimentales. 

2.6.  Modelación del cloro residual 

2.6.1. 

Antecentes 

El  cloro  es  ampliamente  utilizado  como  desinfectante  en  las  redes  de  distribución  de  agua 
potable  a  través  del  mundo.  La  mayoría  de  proveedores  de  agua  tratan  de  mantener  una 

concentración  detectable  de  cloro  residual  en  la  red  de  distribución  para  minimizar  el 
potencial de crecimiento microbiano.  

Sin embargo, a medida que el cloro viaja por las tuberías de la red de distribución, reacciona 
con  una  variedad  de  materiales,  tanto  en  el  agua  como  en  las  paredes  de  la  tubería.  Estas 
reacciones disminuyen la concentración de cloro, dependiendo del tiempo de viaje a través de 
la red y del tiempo de residencia en los tanques de almacenamiento. 

Clark et al. (1993) demostró que el cloro residual varía durante el día en diferentes lugares de 
la red de distribución dependiendo del camino del flujo y el tiempo de residencia del agua que 

llega a cierto lugar de la red. Los estudios demuestran que la tasa de decaimiento en la tubería 
es muchas veces más grandes que la tasa de decaimiento para una misma masa de agua, en un 
frasco (Wable et al 1991). Lo anterior demuestra que la pared de la tubería de alguna forma 
contribuye  a  la  demanda  de  cloro  en  las  redes  de  distribución.  Hunt  y  Kroon  (1991) 
describieron  un  modelo  de  red  para  cloro  residual  en  el  que  utilizaron  una  reacción  de 

decaimiento  de  primer  orden  con  una  única  tasa  constante  para  cada  tubería  y  tanque  de 

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potable” 

22 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

almacenamiento.  Al  calibrar  el  modelo,  notaron  que  tuberías  de  menor  diámetro  requerían 
mayores  constantes  de  decaimiento  para  coincidir  con  los  datos  observados.  Lo  anterior  es 

consistente  en  cuanto a que  tuberías  de menor diámetro  tienen  una mayor  área  superficial 
por  unidad  de  volumen  para  la  reacción.  Biswas  et  al.  (1993)  desarrolló  un  modelo  de 
decaimiento de cloro bajo condiciones de flujo estable que incluían las reacciones dentro del 
flujo, difusión radial y la reacción en las paredes de la tubería (Rossman, Clark, & Grayman , 
1994). 

2.6.2. 

Modelo de cloro residual 

Basados  en  los  trabajos  previos,  parece  razonable  suponer  que  el  decaimiento  de  cloro 
residual obedece a una cinética de primer orden. Se supone que este decaimiento se da por 
reacciones dentro de flujo, y en las paredes de la tubería (o en cercanías a ésta). Las tasas de 

estas reacciones pueden ser diferentes, con la tasa de reacción en la pared siendo afectada por 
la tasa con la cual el cloro es transportado desde el flujo hacia la pared.  

La  ecuación  unidimensional  de  conservación  de  la  masa  para  una  concentración  diluida  de 
cloro en agua que fluye a través de una sección de tubería es: 

𝜕𝐶

𝜕𝑡

= −𝑢

𝜕𝐶

𝜕𝑥

− 𝑘

𝑏

𝐶 −

𝑘

𝑓

𝑟

(𝐶 − 𝐶

𝑤

Ecuación 20. Ecuación de conservación de la masa para el cloro libre (Rossman, Clark, & Grayman , 1994).. 

donde, 

𝐶, es la concentración de cloro en el flujo global. 

𝑡, es el tiempo. 

𝑢, es la velocidad del flujo en la tubería. 

𝑥, es la distancia a lo largo de la tubería. 

𝑘

𝑏

, es la constante de descomposición del cloro en el flujo. 

𝑘

𝑓

, es el coeficiente de transferencia de masa. 

𝑟

, es el radio hidráulico de la tubería. 

𝐶

𝑤

, es la concentración de cloro en la pared de la tubería. 

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potable” 

23 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

El  término  del  lado  izquierdo  de  la  Ecuación  20  representa  la  tasa  de  cambio  de  la 
concentración de cloro dentro de una sección diferencial del tubo. El primer término del lado 

derecho de la ecuación representa la advección del cloro en el flujo a través de la sección. El 
segundo  término  representa  la  descomposición  del  cloro  en  el  flujo;  y  el  tercer  término 
representa el transporte de cloro a partir del flujo y hacia la pared de la tubería, así como su 
posterior reacción. La inversa del radio hidráulico representa el área de superficie específica, 
es decir, el área de la pared de la tubería por unidad de volumen, disponible para la reacción. 

Suponiendo  que  la  reacción  del  cloro  en  la  pared  de  la  tubería  es  de  primer  orden  con 
respecto  a  la  concentración  𝐶

𝑤

  de  la  pared,  y  que  tiene  la  misma  velocidad  que  la  tasa  de 

transporte de cloro a la pared, de tal modo que no se presente acumulación de cloro en las 
paredes, se tiene como resultado el siguiente balance de masa para el cloro en la pared: 

𝑘

𝑓

(𝐶 − 𝐶

𝑤

) = 𝑘

𝑤

𝐶

𝑤

 

Ecuación 21. Balance de masa para el cloro en la pared de la tubería (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). 

donde, 

𝑘

𝑤

, es una constante de decaimiento con unidades de longitud sobre tiempo. 

Resolviendo la Ecuación 21 para 𝐶

𝑤

 y sustituyendo en la Ecuación 20, se obtiene: 

𝜕𝐶

𝜕𝑡

= −𝑢

𝜕𝐶

𝜕𝑥

− 𝑘

𝑏

𝐶 −

𝑘

𝑤

𝑘

𝑓

𝐶

𝑟

(𝑘

𝑤

+ 𝑘

𝑓

)

 

Ecuación 22. Balance de masa del cloro con reacción en la pared de la tubería (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). 

En  la  literatura  se  pueden  encontrar  coeficientes  de  transferencia  de  masa  𝑘

𝑓

  como  los 

siguientes (Edwards et al. 1976): 

𝑘

𝑓

= 𝑆ℎ

𝐷

𝑑

 

Ecuación 23. Coeficiente de transferencia de masa (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). 

𝑆ℎ = 0,023𝑅𝑒

0,83

𝑆𝑐

0,333

                              para Re > 2300 

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24 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

𝑆ℎ = 3,65 +

0,0668 (

𝑑

𝐿) (𝑅𝑒𝑆𝑐)

1 + 0,04 [(

𝑑

𝐿) (𝑅𝑒𝑆𝑐)]

2

3

    para Re < 2300 

Ecuación 24. Número de Sherwood (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). 

𝑅𝑒 =

𝑣𝑑

𝜈

 

𝑆𝑐 =

𝜈

𝑑

 

Ecuación 25. Número de Schmidt (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). 

donde, 

𝑆ℎ, es el número de Sherwood. 

𝑅𝑒, es el número de Reynolds. 

𝑆𝑐, es el número de Schmidt. 

𝐷, es la difusividad molecular del cloro en el agua. 

𝜈, es la viscosidad cinemática del agua. 

𝑑, es el diámetro de la tubería. 

𝐿, es la longitud de la tubería. 

Para una determinada especie química, 𝑘

𝑓

 es función del diámetro de la tubería, la velocidad 

del flujo, y la temperatura, que a su vez afecta la difusividad y la viscosidad del fluido. 

La Ecuación 22 describe la variación en el tiempo del cloro a lo largo de un solo tubo. Para un 
sistema de distribución, la ecuación de conservación de masa para el tubo i-ésimo se puede 
expresar como: 

𝜕𝐶

𝑖

𝜕𝑡

= −𝑢

𝑖

𝜕𝐶

𝑖

𝜕𝑥

𝑖

− 𝑘

𝑖

𝐶

𝑖

 

Ecuación 26. Conservación de masa del cloro en el tubo i-ésimo (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). 

donde, 

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25 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

𝑘

𝑖

, es una constante total de decaimiento que tiene en cuenta la constante de decaimiento del 

cloro,  el  radio  hidráulico,  el  coeficiente  de  transferencia  de  masa  y  la  constante  de 
decaimiento de la pared: 

𝑘

𝑖

= 𝑘

𝑏

+

𝑘

𝑤

𝑘

𝑓

𝑟

ℎ𝑖

(𝑘

𝑤

+𝑘

𝑓

)

 

Ecuación 27. Constante total de decaimiento del cloro (Rossman, Clark, & Grayman , 1994). 

Para sistemas hidráulicos conocidos que pueden cambiar en el tiempo, la Ecuación 26 puede 
ser resuelta con una condición inicial  para el cloro  a través de la  red en el tiempo  0,  y una 
condición de frontera en el cruce de tuberías. Suponiendo que se produce mezcla completa e 
instantánea  en  los  nudos,  esta  condición  de  contorno  se  puede  expresar  con  la  siguiente 
ecuación de conservación de masa: 

𝐶

𝑖|𝑥=0

=

∑ 𝑞

𝑘

𝐶

𝑘|𝑥=𝐿

+ 𝑀

𝑖

∑ 𝑞

𝑘

+ 𝑆

𝑖

 

Ecuación 28. Ecuación de conservación de masa del cloro con condición de contorno (Rossman, Clark, & Grayman , 

1994). 

donde, 

𝑞

𝑘

, es el caudal aguas arriba de la unión de la tubería. 

𝑀

𝑖

, es cualquier flujo de masa de cloro externo introducido en la tubería principal i. 

𝑆

𝑖

, es cualquier flujo externo de agua introducida en la tubería principal i. 

 

 

 

 

 

 

 

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potable” 

26 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

3. 

Tesis anteriores 

3.1.  Construcción de un modelo físico para la medición de mezcla en nudos 

de redes de distribución de agua potable 

3.1.1. 

Diseño y construcción del modelo físico 

Esta  tesis,  realizada  durante  el  periodo  2013  –  10  por  la  estudiante  Laura  Natalia  Cotes 
Gómez,  es  la  primera  en  tratar  el  fenómeno  de  mezcla  completa  en  los  nudos  de  la  red  de 
distribución de agua potable. Durante este periodo, Cotes Gómez, en conjunto con el técnico 
del  Laboratorio  de  Hidráulica,  Jhon  Adalberto  Calvo,  diseñaron  y  construyeron  el  modelo 
físico que se utiliza en la actualidad para cuantificar los porcentajes de mezcla en uniones. 

Las tuberías que comprenden el modelo se ubicaron encima de una serie de vertederos, por lo 
que se diseñó una plataforma en madera de pino que cubriese los vertederos y que además, 
permitiese  una  toma  de  pruebas  más  cómoda  y  sencilla,  así  como  fuese  estéticamente 
agradable a la vista. 

Posteriormente, se definieron los diámetros de las tuberías que conformarían el modelo y a 
partir  de  éstos,  se  mandaron  a  fabricar  las  tuberías  de  vidrio,  las  cuales  incluyen  la 
intersección  de  las  tuberías.  En  la  unión  entre  las  tuberías  de  vidrio  y  PVC  se  utilizaron 

cauchos  y  silicona  fría  para  evitar  las  fugas.  Adicionalmente,  se  instalaron  las  válvulas  que 
regulan los caudales de entrada y salida del modelo. 

Por otro lado, el sistema de alimentación del modelo se construyó a partir de parte del modelo 
8, el cual ya se encontraba construido, mas no en funcionamiento. El canal que hace parte de 
dicho  modelo  se  adecuó  y  dividió  de  tal  forma  que  allí  funcionasen  los  tanques  de 
alimentación del modelo. Las tuberías que suplen agua a dichos tanques se instalaron a partir 
del punto de abastecimiento más cercano de agua potable. 

3.1.2. 

Pruebas cualitativas 

Al  final  del  proceso  de  construcción  se  realizaron  las  primeras  pruebas  cualitativas  en  el 
modelo recientemente construido. Para lo anterior, se utilizó permanganato de potasio como 
trazador, el cual se disolvió en uno de los dos tanques de alimentación al modelo.  

Las válvulas se nombraron de la siguiente forma:  

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Válvula 1: Válvula de la tubería de entrada de agua limpia. 

Válvula 2: Válvula de la tubería de entrada de agua con trazador. 

Para  las  pruebas,  se  identificaron  7  diferentes  casos  de  análisis  como  se  muestra  a 
continuación: 

 

Apertura de Válvulas 

Prueba  Válvula 1  Válvula 2 

100% 

100% 

50% 

50% 

100% 

50% 

50% 

100% 

100% 

0% 

0% 

100% 

75% 

75% 

Tabla 2. Casos de análisis planteados por Cotes Gómez (Cotes Gómez, 2013). 

Los resultados se muestran a continuación: 

Prueba 1: 

 

Ilustración 2. Vista en planta de la prueba 1 (Cotes Gómez, 2013). 

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Prueba 2: 

 

Ilustración 3. Vista en planta de la prueba 2 (Cotes Gómez, 2013). 

Prueba 3: 

 

Ilustración 4. Vista en planta de la prueba 3 (Cotes Gómez, 2013). 

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29 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Prueba 4: 

 

Ilustración 5. Vista en planta de la prueba 4 (Cotes Gómez, 2013). 

Prueba 5: 

 

Ilustración 6. Vista en planta de la prueba 5 (Cotes Gómez, 2013). 

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Prueba 6: 

 

Ilustración 7. Vista en planta de la prueba 6 (Cotes Gómez, 2013). 

Prueba 7: 

 

Ilustración 8. Vista en planta de la prueba 7 (Cotes Gómez, 2013). 

3.1.3. 

Conclusiones 

Al  finalizar  la  tesis,  Cotes  Gómez  concluyó  que  efectivamente,  no  se  presenta  una  mezcla 
completa  en  la  unión  de  las  tuberías.  Más  específicamente,  cuando  el  caudal  por  las  dos 

tuberías  de  entrada  es  el  mismo,  el  porcentaje  de  mezcla  es  pequeño.  Sin  embargo,  si  se 
aumenta el caudal de agua con trazador, en comparación con el caudal de agua limpia, parece 

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31 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

aumentar  el  porcentaje  de  mezcla  en  la  unión.  A  medida  que  aumenta  dicha  diferencia  de 
caudales, el proceso de mezcla en la unión es cada vez más completo.  

Si  por  el  contrario,  se  aumenta  el  caudal  de  entrada  de  agua  limpia  en  comparación  con  el 
caudal  de  agua  con  trazador,  también  se  fomenta  el  proceso  de  mezcla,  pero  las 

concentraciones aguas abajo de la unión son muy pequeñas dada la pequeña masa de trazador 
que llega a la unión debido al bajo caudal por dicha tubería. 

3.2.  Efectos de una mezcla no completa ni homogénea en los nudos sobre el 

contenido residual de cloro en redes de distribución de agua potable 

Esta  tesis,  realizada  durante  el  período  2013  –  20  por  la  estudiante  Laura  Natalia  Cotes 
Gómez, es la continuación de la tesis previamente realizada por ella misma, con el objetivo de 
cuantificar  más  detalladamente  los  porcentajes  de  mezcla  en  uniones  de  las  redes  de 
distribución de agua potable. 

3.2.1. 

Adecuación del modelo físico 

Durante  el  periodo  de  la  tesis  se  diseñaron  los  sistemas  de  rebose  en  los  dos  tanques  de 
alimentación. Para el tanque de agua limpia, se decidió evacuar el agua por encima del nivel 
del rebose, hasta el sifón más cercano. Por otro lado, para el tanque de agua con trazador se 

decidió modificar la estructura de caída del modelo 8 para que funcionase como un tanque. 
Para  esto,  se  retiraron  las  placas  inclinadas  de  dicha  estructura,  se  realizó  una  limpieza  de 
material oxidado y silicona, y se colocó una plataforma en triplex de pino en el fondo de dicha 
cámara. Para evitar el pandeo de la plataforma debido al peso del agua se colocó un refuerzo. 

Los  sistemas  de  rebose  se  diseñaron  con  el  fin  de  tener  una  altura  constante  en  los  dos 
tanques de alimentación y por ende, asegurar un caudal constante durante las pruebas. Dado 

que era necesario conservar la misma concentración de trazador en el agua de dicho tanque, 
se decidió que el agua rebosara al  tanque modificado  y, una vez llenos los dos tanques a la 
misma altura, se inyectara el trazador. Posteriormente, mediante una bomba se recirculaba el 
agua  del  tanque  modificado  al  tanque  de  agua  con  trazador,  con  el  fin  de  tener  un  sistema 
cerrado en el que se conservara la altura del nivel del agua. 

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32 

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3.2.2. 

Pruebas cuantitativas 

Una  vez  modificado  el  modelo  físico,  se  realizaron  pruebas  cuantitativas  con  trazadores 
conservativos (Cloruro de sodio) y no conservativos (Cloro). Los casos de análisis definidos se 
muestran a continuación: 

 

Apertura de Válvulas 

Prueba  Válvula 1  Válvula 2  Válvula 3  Válvula 4 

100% 

100% 

100% 

100% 

50% 

50% 

100% 

100% 

100% 

50% 

100% 

100% 

50% 

100% 

100% 

100% 

75% 

75% 

100% 

100% 

100% 

100% 

50% 

100% 

100% 

100% 

100% 

50% 

Tabla 3. Casos de análisis planteados por Cotes Gómez (Cotes Gómez, 2013). 

donde, 

Válvula 1: Válvula de la tubería de entrada de agua limpia. 

Válvula 2: Válvula de la tubería de entrada de agua con trazador. 

Válvula 3: Válvula de la tubería de salida de agua con trazador. 

Válvula 4: Válvula de la tubería de salida de agua limpia. 

Los resultados obtenidos se condensan en las siguientes 2 figuras: 

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33 

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Figura 6. Concentración normalizada en la tubería 3 (Cotes Gómez, 2013). 

 

Figura 7. Concentración normalizada en la tubería 4 (Cotes Gómez, 2013). 

La  Figura  6  muestra  como  a  medida  que  aumenta  el  caudal  relativo,  disminuye  la 
concentración adimensional de cloro en la tubería 3. Lo anterior se debe a que a medida que 
aumenta el caudal de la tubería 1 con respecto al caudal de la tubería 2, la masa de trazador 
que se desvía hacia la tubería 3 es menor. 

Por otra parte, la Figura 7 muestra el aumento de la concentración adimensional de cloro en la 

tubería 4 al aumentar el caudal relativo. Lo anterior se debe a que a medida que aumenta el 

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34 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

caudal de la tubería 1 con respecto al caudal de la tubería 2, la masa de trazador que se desvía 
hacia la tubería 4 es mayor. 

De esta forma se puede observar que los resultados de las concentraciones adimensionales de 
las tuberías 3 y 4 son complementarios, lo que es consistente con la conservación de masa que 
se debe presentar en cualquier sistema cerrado. 

3.2.3. 

Conclusiones 

Al finalizar la tesis, se corroboró que el proceso de mezcla en la unión no es completo, por lo 

que en una de las dos tuberías de salida siempre sale una mayor parte del trazador inyectado. 
En  particular,  se  determinó  que  el  porcentaje  de  trazador  que  sale  por  dicha  tubería  se 
encuentra entre el 60% y el 75% del total, dependiendo del caso que se esté analizando. Por 
otro lado, para la tubería por la que sale la menor parte del trazador, el porcentaje de trazador 
en dicha tubería se encuentra entre el 25% y el 40% del total.  

Para las pruebas con cloro, no se tuvo en cuenta los procesos de reacción de este trazador, ya 
que  se consideró  que  su  tiempo  de  permanencia dentro  de  las  tuberías  del  modelo  es muy 

pequeño, por lo que no se alcanza a presentar una degradación significativa de dicho trazador. 
Por ende, los resultados obtenidos mediante el uso de dicho trazador fueron similares a los 
obtenidos mediante el uso de cloruro de sodio. 

A  partir  de  los  resultados  obtenidos,  se  concluyó  que  uno  de  los  factores  que  influye 
significativamente en los procesos de mezcla, es la velocidad en las tuberías de entrada y por 
ende, el régimen de flujo en las mismas. 

3.3.  Análisis de la dilución de concentraciones de NaCl en una unión tipo cruz 

Esta tesis, realizada en el periodo 2013 – 20 por el ingeniero Iván Alexander Buitrago León, 
pretendió  cuantificar  el  porcentaje  de  mezcla  obtenido  en  tuberías,  y  más  específicamente 
uniones en PVC, en comparación con Cotes Gómez, quien utilizó tuberías de vidrio. 

3.3.1. 

Modelo físico 

El modelo físico realizado por Buitrago en su tesis se muestra a continuación: 

 

 

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potable” 

35 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Ilustración 9. Modelo físico realizado (Buitrago, 2013). 

3.3.2. 

Resultados 

Los casos planteados por Buitrago León se muestran a continuación: 

Caso  Válvula 1 

Válvula 2 

Válvula 3 

Válvula 4 

1  Abierta 

Abierta 

Abierta 

Abierta 

2  Abierta 

Cerrada 25°  Abierta 

Abierta 

3  Abierta 

Cerrada 45°  Abierta 

Abierta 

4  Abierta 

Cerrada 65°  Abierta 

Abierta 

5  Cerrada 25°  Abierta 

Abierta 

Abierta 

6  Cerrada 45°  Abierta 

Abierta 

Abierta 

7  Cerrada 65°  Abierta 

Abierta 

Abierta 

8  Abierta 

Abierta 

Cerrada 25°  Abierta 

9  Abierta 

Abierta 

Cerrada 45°  Abierta 

10  Abierta 

Abierta 

Cerrada 65°  Abierta 

11  Cerrada 45°  Abierta 

Abierta 

Cerrada 45° 

12  Cerrada 45°  Abierta 

Cerrada 45°  Abierta 

Tabla 4. Casos de análisis planteados por Buitrago León (Buitrago, 2013). 

3.3.2.1. 

Metodologías utilizadas para el cálculo de las concentraciones 

Buitrago  León  calculó  las  concentraciones  de  salida,  C

y  C

4

,  mediante  4  diferentes 

metodologías.  Posteriormente  comparó  los  resultados  obtenidos  con  el  promedio  de  los 
valores medidos con el fin de confirmar que la propuesta metodológica para determinar una 

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potable” 

36 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

ecuación que relacionaba las concentraciones de salida en función de las variables conocidas, 
se aproximara a los valores obtenidos en las mediciones realizadas sobre el modelo físico del 
experimento.  

3.3.2.1.1. 

Ecuación estándar 

La  ecuación  estándar  corresponde  al  balance  de  masa  para  el  soluto  en  la  unión  de  las 
tuberías, es decir: 

𝑄

1

𝐶

1

+ 𝑄

2

𝐶

2

= 𝑄

3

𝐶

3

+ 𝑄

4

𝐶

4

 

Ecuación 29. Ecuación estándar (Buitrago, 2013). 

 

3.3.2.1.2. 

Formulación para el cálculo de la concentración a partir de la ecuación de 
Clifford K. Ho 

En el planteamiento realizado por Ho, el cálculo de las concentraciones C

3

 y C

4

 depende de la 

relación  entre  los  caudales  de  entrada  a  la  cruz  Q

1

  y  Q

2

.  En  la  Tabla  5  se  encuentran  las 

ecuaciones obtenidas mediante el planteamiento realizado por Ho: 

 

Tabla 5. Ecuaciones para el cálculo de las concentraciones C

3

 y C

4

 de acuerdo a la relación de los caudales Q

1

 y Q

2

según las restricciones planteadas por Ho (Buitrago, 2013). 

 

3.3.2.1.3. 

Formulación para el cálculo de la concentración a partir de la ecuación de 
Pedro Romero-Gómez 

En el  planteamiento  realizado por Romero-Gómez, el  cálculo  de las concentraciones C

3

 y C

4

 

depende  de  la  relación  entre  los  caudales  de  entrada  a  la  cruz  Q

1

  y  Q

2

.  En  la  Tabla  6  se 

encuentran  las  ecuaciones  obtenidas  mediante  el  planteamiento  realizado  por  Romero-
Gómez: 

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37 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

Tabla 6. Ecuaciones para el cálculo de las concentraciones C

y C

4

 de acuerdo a la relación de los caudales Q

1

 y Q

2

según las restricciones planteadas por Pedro Romero-Gómez (Buitrago, 2013). 

 

3.3.2.1.4. 

Formulación para el cálculo de la concentración planteado por Buitrago León 

Buitrago  León  creó  2  ecuaciones  para  el  cálculo  de  las  concentraciones  C

3

  y  C

4

  a  partir  de 

regresiones  realizadas  a  los  resultados  obtenidos  en  sus  experimentos.  En  este  caso,  las 
ecuaciones no varían dependiendo de la relación entre los caudales Q

1

 y Q

2

. A continuación se 

muestran las ecuaciones obtenidas por Buitrago León: 

𝐶

3

=

𝑄

1

𝐶

1

+ 𝑄

2

𝐶

2

𝑄

3

[

1

0,3580 ln (

𝑄

1

𝐶

1

𝑄

2

𝐶

2

) − 2,0724

+ 1]

 

Ecuación 30. Ecuación para el cálculo de la concentración C

3

 planteada por Buitrago León (Buitrago, 2013). 

𝐶

4

=

𝑄

1

𝐶

1

+ 𝑄

2

𝐶

2

𝑄

4

[

1

0,3580 ln (

𝑄

1

𝐶

1

𝑄

2

𝐶

2

) − 1,0724

]

 

Ecuación 31. Ecuación para el cálculo de la concentración C4 planteada por Buitrago León (Buitrago, 2013). 

3.3.2.2. 

Resultados obtenidos 

Dichos resultados se ilustran a continuación: 

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38 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

Figura 8. Resultados obtenidos para la concentración en la tubería 4 (Buitrago, 2013). 

Como se puede observar, la ecuación estándar es de las cuatro evaluadas la que más se ajusta 
a  las  mediciones  realizadas;  sin  embargo  es  importante  tener  en  cuenta  que  su  uso  se 
restringe al conocimiento de las concentraciones de tres de las tuberías que componen la cruz, 
situación que no es real debido a que en los modelos hidráulicos de redes de distribución de 

agua a presión las concentraciones de salida son de por sí las incógnitas. Entre las ecuaciones 
explícitas para el cálculo de C

4

, se puede observar que la propuesta en el presente estudio es la 

que  más  se  ajusta  a  los  valores  medidos,  incluso  más  que  las  ecuaciones  de  Ho  y  Romero-
Gómez debido  a las diferencias notables en el modelo  físico  de los experimentos realizados 
por los diferentes autores. 

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39 

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Figura 9. Resultados obtenidos para la concentración en la tubería 3 (Buitrago, 2013). 

En este caso se puede observar que tal como ocurrió en el caso anterior, la ecuación propuesta 
muestra un alto nivel de ajuste a las mediciones realizadas en las pruebas del experimento. 
Adicionalmente, confirma que el choque de dos flujos genera una redirección de éstos, tal que 
las concentraciones de salida son similares a las concentraciones de entrada. Sin embargo, si 

la  diferencia  de  velocidades  es  importante,  el  flujo  con  mayor  velocidad  logra  salir  por  la 
tubería opuesta a aquella  por la  que entró. En esta tubería se presentará mezcla de los dos 
flujos, mientras en la otra tubería de salida saldrá un flujo con las mismas características que 
las del flujo de entrada de mayor velocidad. 

3.3.3. 

Conclusiones 

Al  finalizar  la  tesis,  se  concluyó  que  algunas  de  las  ecuaciones  para  determinar  las 
concentraciones  en  las  tuberías  de  salida  se  ajustan  más  a  los  resultados  obtenidos 
experimentalmente, en comparación con otras. En particular, las dos mejores ecuaciones son 
la propuesta por Buitrago León y la ecuación estándar.  

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40 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

4. 

Marco Teórico 

5.1.  Modelación hidráulica 

En la modelación hidráulica se realiza el cálculo de los caudales en las tuberías, y las presiones 
en los nudos de la red; por ende, se debe cumplir la ecuación de conservación en cada uno de 
los nudos de la red. De acuerdo con esto, la ecuación de continuidad es la siguiente: 

∑ 𝑄

𝑖𝑗

− 𝑄

𝐷𝑖

+ 𝑄

𝑒𝑖

= 0

𝑁𝑇

𝑖

𝑗=𝑖

 

Ecuación 32. Conservación de masa en los nudos de la red (Saldarriaga, 2007). 

donde, 

𝑁𝑇

𝑖

, es el número de tuberías. 

𝑄

𝐷𝑖

, es el caudal demandado en la unión i. 

𝑄

𝑒𝑖

, es el caudal de entrada al nudo i. 

𝑄

𝑖𝑗

, es el caudal de la tubería. 

Para el cálculo de los caudales se hace uso de la ecuación de Darcy  – Weisbach en conjunto 
con la ecuación de Colebrook – White. De esta forma se obtiene una ecuación explícita para el 

caudal, en la que se observa claramente como la relación entre las pérdidas por fricción y el 
caudal para cada uno de las tuberías que conforman la red, no es lineal: 

𝑄 = 2

√2𝑔𝑑ℎ

𝑓

√𝑙

𝐴𝑙𝑜𝑔

10

(

𝑘

𝑠

3,7𝑑

+

2,51𝜈√𝑙

𝑑√2𝑔𝑑ℎ

𝑓

Ecuación 33. Caudal en una tubería (Saldarriaga, 2007). 

donde, 

𝑔, es la aceleración de la gravedad. 

𝑑, es el diámetro de la tubería. 

𝑓

, es la altura por pérdidas de fricción. 

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41 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

𝑙, es la longitud de la tubería. 

𝑘

𝑠

, es la rugosidad absoluta de la tubería. 

𝜈, es la viscosidad cinemática del fluido. 

Por  otro  lado,  para  el  cálculo  de  las  alturas  piezométricas  se  supone  que  en  cada  tubo,  la 
energía total disponible se gasta en pérdidas por fricción y en pérdidas menores: 

𝐻

𝑇

= ℎ

𝑓

+ ∑ ℎ

𝑚

 

Ecuación 34. Conservación de la energía (Saldarriaga, 2007). 

Al  tener  en  cuenta  las  pérdidas  menores  causadas  por  cualquier  tipo  de  accesorios  y/o 
bombas  en  algunos  de  los  tubos  de  la  red,  la  ecuación  anterior  se  modifica  de  la  siguiente 
manera: 

𝐻

𝑇

= 𝛼𝑄

𝑛

+ 𝛽𝑄 + 𝛾 

Ecuación 35. Altura piezométrica teniendo en cuenta pérdidas menores causadas por accesorios (Saldarriaga, 2007). 

donde, 

𝑛, es un exponente que depende de la ecuación de fricción utilizada. Para la ecuación de Darcy 
– Weisbach es 2, mientras para la ecuación de Hazen – Williams es 0,85. 

𝛼, 𝛽, 𝛾, son los parámetros característicos del tubo, las válvulas y las bombas. 

Por lo general, en las tuberías sólo se presentan pérdidas por fricción y pérdidas menores, las 
cuales son función únicamente de la altura de velocidad. Esta situación se presenta ya que en 
la red es rara la presencia de bombas u otros accesorios diferentes a los típicamente utilizados 

(Saldarriaga, 2014). En este caso, se puede utilizar la ecuación anterior para definir el valor de 
𝛼: 

𝐻

𝑇

= 𝛼𝑄

𝑛

 

𝑓

+ ∑ ℎ

𝑚

= 𝛼𝑄

𝑛

 

 

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42 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Utilizando la ecuación de Darcy – Weisbach, esta última ecuación se transforma en: 

(𝑓

𝐿
𝑑

+ ∑ 𝑘

𝑚

)

𝑄

2

2𝑔𝐴

2

= 𝛼𝑄

𝑛

 

Despejando 𝛼: 

𝛼 =

(𝑓

𝐿

𝑑 + ∑ 𝑘

𝑚

)

2𝑔𝐴

2

 

Ecuación 36. Parámetro α (Saldarriaga, 2007). 

El  parámetro  𝛼  es  un  parámetro  característico  de  la  tubería  que  incluye  los  factores  de 
pérdidas por fricción y pérdidas menores. Por otro lado, en el caso de accesorios especiales en 
la  tubería,  como  algunos  tipos  de  válvulas,  el  parámetro  𝛼  establece  su  relación  con  𝑄

𝑛

 

adicional a las relaciones para las pérdidas antes mencionadas. Para bombas colocadas en las 

tuberías  se  requieren  los  tres  parámetros  𝛼, 𝛽, 𝛾  ya  que  la  relación  entre  la  altura 
piezométrica suministrada por la bomba y el canal es polinomial (Saldarriaga, 2007). 

5.1.1.  Método del gradiente 

El método del gradiente fue desarrollado por los profesores E. Todini y E. P. O’Connell en la 
Universidad  de  Newcastle  upon  Tyne  y  por  R.  Salgado,  como  parte  de  su  tesis  doctoral  en 
1982-1983. El método plantea que las ecuaciones de energía individuales para cada tubería se 
combinan con las ecuaciones de masa individuales en cada unión, con el fin de obtener una 
solución simultánea tanto de los caudales en las tuberías como de las alturas piezométricas en 
los nudos (Saldarriaga, 2007).  

El método del gradiente linealiza las ecuaciones de energía mediante el uso de expansiones en 

series de Taylor, y las ecuaciones se resuelven utilizando un esquema imaginativo que se basa 
en la inversión de la matriz de coeficientes originales. 

El  método  se  basa  en  el  hecho  de  que  al  tener  un  flujo  permanente,  se  garantiza  que  se 
cumplan  las  ecuaciones  de  conservación  de  la  masa  en  cada  uno  de  los  nudos  de  la  red,  al 
tiempo que se cumple la ecuación de conservación de la energía en los circuitos de la misma. 

Para  utilizar  este  método  se  deben  cumplir  3  condiciones,  basadas  en  las  ecuaciones 
previamente presentadas: 

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43 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

1.  En cada nudo se debe cumplir la ecuación de continuidad. 
2.  Debe haber una relación no lineal entre las pérdidas por fricción y el caudal para cada 

uno de los tubos. 

3.  En cada tubo, la energía total se gasta en pérdidas por fricción y en pérdidas menores. 

El  método  de  gradiente  hidráulico  describe  la  topología  de  la  red  en  forma  matricial.  Para 
esto, hace uso de las siguientes definiciones: 

𝑁𝑇, es el número de tuberías en la red. 

𝑁𝑁, es el número de nudos con alturas piezométricas desconocidas. 

[𝐴12],  es  la  “matriz  de  conectividad”  asociada  con  cada  uno  de  los  nudos  de  la  red.  Su 
dimensión es 𝑁𝑇 𝑥 𝑁𝑁 con sólo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila: Es -1 en la 
columna correspondiente al nudo inicial al tramo i, y es 1 en la columna correspondiente al 
nudo final del tramo i. 

𝑁𝑆, es el número de nudos de altura piezométrica conocida. 

[𝐴10], es la matriz topológica tramo a nudo para los NS nudos de altura piezométrica fija. Su 
dimensión  es  𝑁𝑇 𝑥 𝑁𝑆  con  un  valor  de  -1  en  las  filas  correspondientes  a  los  tramos 
conectados a los nudos de altura piezométrica fija. 

De esta manera, la pérdida de altura piezométrica en cada tramo de tubería que conecte dos 
nudos de la red es: 

[𝐴11][𝑄] + [𝐴12][𝐻] = −[𝐴10][𝐻

0

Ecuación 37. Ecuación de conservación de la energía (Saldarriaga, 2007). 

donde, 

[𝐴11], es la matriz diagonal de 𝑁𝑇 𝑥 𝑁𝑇 definida de la siguiente forma: 

 

 

 

 

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44 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

[𝐴11] =

[

 

 

 

 

 

 𝛼

1

𝑄

1

(𝑛

1

−1)

+ 𝛽

1

+

𝛾

1

𝑄

1

0

0

𝛼

2

𝑄

2

(𝑛

2

−1)

+ 𝛽

2

+

𝛾

2

𝑄

2

0 0
0 0

0                                        0

0                                        0

0

0 𝛼

𝑛

𝑄

𝑛

(𝑛

𝑛

−1)

+ 𝛽

𝑛

+

𝛾

𝑛

𝑄

𝑛

]

 

 

 

 

 

 

 

Ecuación 38. Matriz A11 (Saldarriaga, 2007). 

 [𝑄], es el vector de caudales con dimensiones 𝑁𝑇 𝑥 1. 

[𝐻], es el vector de alturas piezométricas desconocidas con dimensiones 𝑁𝑁 𝑥 1. 

[𝐻

0

], es el vector de alturas piezométricas fijas con dimensiones 𝑁𝑆 𝑥 1. 

La ecuación de continuidad para todos los nudos de la red es: 

[𝐴21][𝑄] = [𝑞] 

Ecuación 39. Ecuación de continuidad para todos los nudos (Saldarriaga, 2007). 

donde, 

[𝐴21], es la matriz transpuesta de [𝐴12]. 

[𝑞], es el vector de consumo o de entrada en cada nudo de la red, con dimensiones 𝑁𝑁 𝑥 1. 

En forma compacta, las ecuaciones de conservación de energía y continuidad para los nudos 
se pueden expresar en términos matriciales: 

[

[𝐴11] [𝐴12]
[𝐴21]

[0]

] [

[𝑄]
[𝐻]

] = [

−[𝐴10] [𝐻

0

]

[𝑞]

Ecuación 40. Combinación de las ecuaciones de conservación de energía y continuidad (Saldarriaga, 2007). 

Esta ecuación no puede resolverse en forma directa, ya que la parte superior no es lineal. Por 

ende, es necesario utilizar algún método iterativo. En el método del gradiente se utiliza una 
expansión truncada de Taylor, en donde al operar simultáneamente sobre el campo ([𝑄], [𝐻]) 
y aplicar el operador gradiente se obtiene: 

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potable” 

45 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

[

[𝑁][𝐴11]′ [𝐴12]

[𝐴21]

[0]

] [

[𝑑𝑄]
[𝑑𝐻]

] = [

[𝑑𝐸]

[𝑑𝑞]]

 

Ecuación 41. Ecuación obtenida al aplicar el operador gradiente (Saldarriaga, 2007). 

donde, 

[𝑁], es la matriz diagonal (𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑁𝑇) con dimensiones 𝑁𝑇 𝑥 𝑁𝑇. 

[𝐴11]′, es la matriz con dimensión 𝑁𝑇 𝑥 𝑁𝑇 definida como: 

[𝐴11]

=

[

 

 

 

 𝛼

1

𝑄

1

(𝑛

1

−1)

0

0

𝛼

2

𝑄

2

(𝑛

2

−1)

0 0
0 0

0                   0

0                   0

0

0 𝛼

𝑛

𝑄

𝑛

(𝑛

𝑛

−1)

]

 

 

 

 

 

Ecuación 42. Matriz A11' (Saldarriaga, 2007). 

En cualquier iteración i, [𝑑𝐸] representa el desbalance de energía por unidad de peso (altura 
piezométrica) en cada tubería y [𝑑𝑞] representa el desbalance de caudal en cada nudo. Esos 
desbalances se definen, respectivamente, por las siguientes ecuaciones: 

[𝑑𝐸] = [𝐴11][𝑄

𝑖

] + [𝐴12][𝐻

𝑖

] + [𝐴10][𝐻

0

Ecuación 43. Desbalance de energía en cada tubería (Saldarriaga, 2007). 

[𝑑𝑞] = [𝐴21][𝑄

𝑖

] − [𝑞] 

Ecuación 44. Desbalance de caudal en cada nudo (Saldarriaga, 2007). 

El método del gradiente soluciona el sistema descrito mediante la Ecuación 41, teniendo en 
cuenta para cada iteración que: 

[𝑑𝑄] = [𝑄

𝑖+1

] − [𝑄

𝑖

Ecuación 45. Diferencia de caudal para cada tubería en dos iteraciones sucesivas (Saldarriaga, 2007). 

[𝑑𝐻] = [𝐻

𝑖+1

] − [𝐻

𝑖

Ecuación 46. Diferencia de altura piezométrica para cada nudo en dos iteraciones sucesivas (Saldarriaga, 2007). 

 

 

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potable” 

46 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

La solución puede calcularse resolviendo el siguiente sistema: 

[

[𝑑𝑄]

[𝑑𝐻]

] = [

[𝑁][𝐴11]′ [𝐴12]

[𝐴21]

[0]

]

−1

[

[𝑑𝐸]

[𝑑𝑞]]

 

Ecuación 47. Sistema solucionado con el método del gradiente. 

Utilizando el álgebra matricial, es posible calcular de forma explícita los caudales y las alturas 
de la siguiente manera: 

𝐻

𝑖+1

= −([𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴12])

−1

([𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

([𝐴11][𝑄] + [𝐴10][𝐻

𝑜

])

− ([𝐴21][𝑄] − [𝑞])) 

Ecuación 48. Cálculo de alturas piezométricas (Saldarriaga, 2007). 

𝑄

𝑖+1

= {([𝐼] − ([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴11])[𝑄] − (([𝑁][𝐴11]′)

−1

([𝐴12][𝐻

𝑖+1

] + [𝐴10][𝐻

𝑜

]))} 

Ecuación 49. Cálculo de caudales (Saldarriaga, 2007). 

Para  solucionar  cualquier  problema  con  el  método  del  gradiente  se  deben  seguir  los 
siguientes pasos iterativamente: 

1.  Se  suponen  unos  caudales  iniciales  en  cada  uno  de  los  tubos  de  la  red  (no 

necesariamente balanceados, lo cual implica ahorro de tiempo). 

2.  Se resuelve el sistema representado por la Ecuación 48 utilizando un método estándar 

para la solución de ecuaciones lineales simultáneas. 

3.  Con [𝐻

𝑖+1

] calculado se utiliza la Ecuación 49 para determinar [𝑄

𝑖+1

]. 

4.  Con el [𝑄

𝑖+1

] se vuelve a ensamblar el sistema 48 para encontrar un nuevo [𝐻

𝑖+1

]. 

5.  El proceso se repite hasta que en dos iteraciones sucesivas se cumpla que   [𝐻

𝑖+1

] ≈

[𝐻

𝑖

]. 

5.1.2.  Ejemplo de aplicación 

El ejemplo que se muestra a continuación es realizado por el autor: 

La red mostrada en la Figura 10 tiene accesorios en todas sus tuberías, tal que producen unas 
pérdidas  menores  locales.  Analizar  los  caudales  y  presiones  en  la  red.  Los  caudales  están 
dados en L/s. La viscosidad cinemática del agua es de 1,14 x 10

-6 

m

2

/s. 

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47 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

Figura 10. Red del ejemplo. 

Tubería  Diámetro (mm)  Σk

m

  Longitud (m) 

k

s

 (m) 

1-2 

300 

10,1 

1000 

0,0000015 

1-3 

300 

11,7 

1486,6 

0,0000015 

2-3 

250 

8,4 

1100 

0,0000015 

2-4 

300 

7,3 

1200 

0,0000015 

3-5 

300 

12 

1200 

0,0000015 

4-5 

250 

5,7 

1100 

0,0000015 

4-6 

250 

8,4 

1300 

0,0000015 

5-7 

250 

5,7 

1300 

0,0000015 

6-7 

200 

3,8 

1100 

0,0000015 

Tabla 7. Características de las tuberías. 

Nudo 

Q

demanda

 (L/s) 

78 

45 

55 

50 

24 

33 

Tabla 8. Caudal de demanda en cada nudo. 

Para  todos  los  tramos  de  tuberías  se  ha  supuesto  un  caudal  inicial  de  100  L/s  con  las 
direcciones mostradas en la figura, las cuales fueron supuestas de forma arbitraria. 

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48 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Para realizar el cálculo de las presiones y caudales  en la red es necesario efectuar el siguiente 
planteamiento de matrices y vectores, teniendo en cuenta que: 

NT = 9 

NN = 6 

NS = 1 

[𝐴12] = Matriz de conectividad, cuya dimensión es (9x6). 

-1 

-1 

-1 

-1 

-1 

-1 

-1 

 

[𝐴21] = Matriz transpuesta de [𝐴12], cuya dimensión es (6x9). 

-1 

-1 

-1 

-1 

-1 

-1 

-1 

 

[𝐴10] = Matriz topológica tramo a nodo, cuya dimensión es (9x1). 

[𝑄] = Vector de caudales, cuya dimensión es (9x1). 

[𝐻] = Vector de alturas piezométricas desconocidas, cuya dimensión es (6x1). 

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49 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

[𝐻

0

] = Vector de alturas piezométricas fijas, cuya dimensión es (1x1). 

[𝑞] = Vector de consumo, cuya dimensión es (6x1). 

A10 

 

 

 

 

H

o

 

-1 

 

0,1 

 

H

2

 

 

0,078 

 

30 

-1 

 

0,1 

 

H

3

 

 

0,045 

 

 

 

0,1 

 

H

4

 

 

0,055 

 

 

 

0,1 

 

H

5

 

 

0,05 

 

 

 

0,1 

 

H

6

 

 

0,024 

 

 

 

0,1 

 

H

7

 

 

0,033 

 

 

 

0,1 

 

 

 

 

 

 

 

0,1 

 

 

 

 

 

 

 

0,1 

 

 

 

 

 

 

 

[𝑁] = Matriz diagonal, cuya dimensión es (9x9). Presenta el valor de 2 en la diagonal, ya que se 
utiliza la ecuación de Darcy – Weisbach como la ecuación de fricción. 

 

 

 

 

 

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50 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

[𝐼] = Matriz identidad, cuya dimensión es (9x9). 

 

Primera iteración 

Las matrices anteriormente definidas son válidas para todas las iteraciones necesarias en el 
cálculo de la red. Las expuestas a continuación varían de una iteración a otra. 

[𝐴11] = Matriz diagonal cuya dimensión es (9x9). Presenta el valor 𝛼

𝑖

𝑄

𝑖

(𝑛

𝑖

−1)

+ 𝛽

𝑖

+

𝛾

𝑖

𝑄

𝑖

 en la 

diagonal, los coeficientes 𝛽 y 𝛾 son ceros, ya que no existen bombas en la red. 

La siguiente tabla resume el cálculo de los coeficientes 𝛼. 

Tubería  Q (m

3

/s)  v (m/s)  N. Reynolds 

𝛼 

1-2 

0,100 

1,415  372292,265  0,014 

577,368 

1-3 

0,100 

1,415  372292,265  0,014 

824,503 

2-3 

0,100 

2,037  446750,717  0,014 

1435,246 

2-4 

0,100 

1,415  372292,265  0,014 

643,674 

3-5 

0,100 

1,415  372292,265  0,014 

691,618 

4-5 

0,100 

2,037  446750,717  0,014 

1378,134 

4-6 

0,100 

2,037  446750,717  0,014 

1663,894 

5-7 

0,100 

2,037  446750,717  0,014 

1606,783 

6-7 

0,100 

3,183  558438,397  0,013 

3892,929 

 

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51 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Matriz [𝐴11]: 

57,736 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

82,450 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000  143,524  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

64,367  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  69,161  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  137,813  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  166,389  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  160,678  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  389,292 

 

[𝐴11]′ = Matriz diagonal cuya dimensión es (9x9). Presenta el valor 𝛼

𝑖

𝑄

𝑖

(𝑛

𝑖

−1)

 en la diagonal. 

Para esta red, la matriz [𝐴11]′ resulta ser igual a la matriz [𝐴11].  

57,736 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

82,450 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000  143,524  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

64,367  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  69,161  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  137,813  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  166,389  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  160,678  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  389,292 

 

Cálculo de H

i

+1 

Para el cálculo de H

i+1

 se utiliza la ecuación: 

𝐻

𝑖+1

= −([𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴12])

−1

([𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

([𝐴11][𝑄] + [𝐴10][𝐻

𝑜

])

− ([𝐴21][𝑄] − [𝑞])) 

De la solución sistemática de esta ecuación resultan las siguientes matrices: 

 

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potable” 

52 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

([𝑁][𝐴11]′) 

115,473  0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000  164,900 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000 

287,049 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000 

128,734  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000  138,323  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  275,626  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  332,778  0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  321,356  0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  0,0000  778,585 

 

([𝑁][𝐴11]′)

−1

 

0,0087 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0061 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0035 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0078 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0072 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0036 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0030 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0031 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0013 

 

[𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

 

0,0087  0,0000  0,0035  -0,0078 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000  0,0061  -0,0035  0,0000 

-0,0072 

0,0000 

0,0000 

0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0078 

0,0000 

0,0036 

-0,0030 

0,0000  0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0072 

-0,0036 

0,0000 

-0,0031  0,0000 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0030 

0,0000  -0,0013 

0,0000  0,0000  0,0000  0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

0,0031  0,0013 

 

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potable” 

53 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

[𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴12] 

0,0199 

-0,0035 

-0,0078 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

-0,0035 

0,0168 

0,0000 

-0,0072 

0,0000 

0,0000 

-0,0078 

0,0000 

0,0144 

-0,0036 

-0,0030 

0,0000 

0,0000 

-0,0072 

-0,0036 

0,0140 

0,0000 

-0,0031 

0,0000 

0,0000 

-0,0030 

0,0000 

0,0043 

-0,0013 

0,0000 

0,0000 

0,0000 

-0,0031 

-0,0013 

0,0044 

 

([𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴12])

−1

 

-86,6427 

-41,1717 

-74,8933 

-53,7962 

-69,9931 

-58,5282 

-41,1717  -106,1059  -57,9502 

-88,0777 

-64,9479 

-81,3202 

-74,8933 

-57,9502  -165,9861  -98,3959  -150,2869  -113,5563 

-53,7962 

-88,0777 

-98,3959  -178,4795  -116,9970  -160,5169 

-69,9931 

-64,9479  -150,2869  -116,9970  -398,0388  -199,1055 

-58,5282 

-81,3202  -113,5563  -160,5169  -199,1055  -399,2606 

 

[𝐴11][𝑄] 

 

[𝐴10][𝐻

𝑜

 

[𝐴11][𝑄] + [𝐴10][𝐻

𝑜

5,7737 

 

-30,0000 

 

-24,2263 

8,2450 

 

-30,0000 

 

-21,7550 

14,3525 

 

0,0000 

 

14,3525 

6,4367 

 

0,0000 

 

6,4367 

6,9162 

 

0,0000 

 

6,9162 

13,7813 

 

0,0000 

 

13,7813 

16,6389 

 

0,0000 

 

16,6389 

16,0678 

 

0,0000 

 

16,0678 

38,9293 

 

0,0000 

 

38,9293 

 

 

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potable” 

54 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

[𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

([𝐴11][𝑄]

+ [𝐴10][𝐻

𝑜

])

 

 

[𝐴21][𝑄] 

 

([𝐴21]([𝑁][𝐴11]′)

−1

([𝐴11][𝑄]

+ [𝐴10][𝐻

𝑜

])

− ([𝐴21][𝑄] − [𝑞]))

 

-0,2098 

 

0,1000 

 

-0,2318 

-0,2319 

 

-0,1000 

 

-0,0869 

0,0500 

 

0,1000 

 

0,0050 

-0,0500 

 

-0,1000 

 

0,1000 

0,0000 

 

0,0000 

 

0,0240 

0,1000 

 

0,2000 

 

-0,0670 

 

Luego,  

Nudo 

 

Altura (m) 

 

20,150 

 

13,559 

15,730 

 

9,733 

 

13,206 

 

25,988 

 

Cálculo de Q

i

+1 

Para el cálculo de Q

i+1

 se utilizará la ecuación: 

𝑄

𝑖+1

= {([𝐼] − ([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴11])[𝑄] − (([𝑁][𝐴11]′)

−1

([𝐴12][𝐻

𝑖+1

] + [𝐴10][𝐻

𝑜

]))} 

De la solución sistemática de esta ecuación resultan las siguientes matrices: 

 

 

 

 

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potable” 

55 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

[𝐴12][𝐻

𝑖+1

]

 

 

[𝐴12][𝐻

𝑖+1

]

+ [𝐴10][𝐻

𝑜

]

 

 

([𝑁][𝐴11]′)

−1

([𝐴12][𝐻

𝑖+1

]

+ [𝐴10][𝐻

𝑜

])

 

20,1502 

 

-9,8498 

 

-0,0853 

13,5593 

 

-16,4407 

 

-0,0997 

6,5909 

 

6,5909 

 

0,0230 

-4,4206 

 

-4,4206 

 

-0,0343 

-3,8262 

 

-3,8262 

 

-0,0277 

5,9965 

 

5,9965 

 

0,0218 

-2,5234 

 

-2,5234 

 

-0,0076 

16,2552 

 

16,2552 

 

0,0506 

12,7821 

 

12,7821 

 

0,0164 

 

([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴11] 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

 

 

 

 

 

 

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potable” 

56 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

([𝐼] − ([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴11]) 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

0,5 

 

 

([𝐼] − ([𝑁][𝐴11]′)

−1

[𝐴11])[𝑄]

 

0,05 

0,05 
0,05 
0,05 
0,05 
0,05 

0,05 
0,05 
0,05 

 

 

 

 

 

 

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potable” 

57 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Luego, 

Tubería 

 

Caudal (m

3

/s) 

1-2 

 

0,1353 

1-3 

 

0,1497 

2-3 

 

0,0270 

2-4 

 

0,0843 

3-5 

0,0777 

4-5 

 

0,0282 

4-6 

 

0,0576 

5-7 

 

-0,0006 

6-7 

 

0,0336 

 

Para las siguientes iteraciones se repite el procedimiento anterior y finalmente, en la quinta 
iteración se obtienen los siguientes resultados: 

Nudo 

 

Altura (m) 

 

16,797 

 

16,842 

12,295 

 

12,296 

 

10,695 

 

10,590 

 

Tubería 

 

Caudal (m

3

/s) 

1-2 

 

0,1562 

1-3 

 

0,1288 

2-3 

 

0,0041 

2-4 

 

0,0823 

3-5 

0,0797 

4-5 

 

0,0005 

4-6 

 

0,0278 

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potable” 

58 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

5-7 

 

0,0292 

6-7 

 

0,0038 

 

Para mostrar el proceso de convergencia del método del gradiente se encuentran las Figuras 
11 y 12: 

 

Figura 11. Convergencia de las alturas en los nudos con el método del gradiente. 

 

Figura 12. Convergencia de los caudales en las tuberías con el método del gradiente. 

En las Figuras 11 y 12 se puede apreciar la rápida velocidad de convergencia que se alcanza 
mediante  la  implementación  del  método  del  gradiente.  Para  el  caso  particular  del  presente 

0

5

10

15

20

25

30

0

1

2

3

4

5

6

Altu

ra

 (m)

Número de Iteraciones

Convergencia de alturas - Método del Gradiente

Nudo 2

Nudo 3

Nudo 4

Nudo 5

Nudo 6

Nudo 7

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0

1

2

3

4

5

6

Cau

d

al 

(L/s

Número de Iteraciones

Convergencia de caudales - Método del Gradiente

Tubería 1-2

Tubería 1-3

Tubería 2-3

Tubería 2-4

Tubería 3-5

Tubería 4-5

Tubería 4-6

Tubería 5-7

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potable” 

59 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

ejemplo, se puede concluir que con 3 iteraciones se alcanza un nivel de precisión adecuado. 
Con  el  uso  de  más  iteraciones  no  se  alcanzarán  cambios  significativos  en  la  precisión 

alcanzada,  aunque  el  método  garantiza  la  solución  en  máximo  NN  iteraciones  (Saldarriaga, 
Hidráulica de Tuberías, 2007). 

5.2.  Modelación de la calidad del agua 

La modelación de la calidad del agua constituye uno de los temas de mayor auge en el campo 
de  la  hidráulica  urbana  durante  los  últimos  años.  La  preocupación  por  la  calidad  del  agua 

potable  mientras permanece en la  red de distribución, una vez  ha abandonado  la  planta de 
tratamiento,  surgió  en  EE.UU.  en  la  década  de  los  ochenta  por  el  endurecimiento  que 
estableció la EPA sobre los requisitos de calidad que debía tener el agua al llegar a los puntos 
de consumo (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

El control de la calidad del agua y el análisis del comportamiento hidráulico de las redes han 
constituido durante mucho tiempo dos campos de estudio independientes en relación con el 
suministro de agua potable a las poblaciones. Por una parte, en las plantas de tratamiento se 

pretende  asegurar  que  el  agua  cumpla  con  los  requisitos  de  calidad  establecidos,  tomando 
como referencia usualmente el punto de salida de la planta o el de entrada a la red. Por otra 
parte,  los  modelos  hidráulicos  se  han  utilizado,  tanto  en  la  fase  de  proyecto  como  en  la  de 
operación  de  la  red,  para  garantizar  fundamentalmente  que  el  agua  llegue  a  los  puntos  de 
consumo en las condiciones de presión y caudal requeridas, sin preocuparse por la calidad del 
agua en el momento de ser consumida  

Durante el tiempo que el agua permanece en la red, las sustancias más reactivas contenidas en 

la misma, reaccionan o se combinan con otras sustancias presentes en el agua o adheridas a 
las  paredes  de  las  tuberías.  En  el  caso  de  los  desinfectantes,  su  concentración  disminuye  a 
través  de  la  red  favoreciendo  el  crecimiento  bacteriológico,  con  el  consiguiente  riesgo 
sanitario si no se garantiza una concentración mínima. 

El  diseño hidráulico  de una red suele realizarse para  el  consumo  punta,  buscando  asegurar 
unas  condiciones  de  suministro  aceptables  ante  cualquier  situación.  El  resultado  es  el 

sobredimensionamiento  de  la  red,  y  como  consecuencia,  la  presencia  de  tramos  con 
velocidades  muy  bajas  que  conducen  a  largos  tiempos  de  permanencia  del  agua  en  la  red, 
provocando el deterioro de la calidad del agua. La situación más desfavorable corresponde a 

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potable” 

60 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

la  de  bajos  consumos,  período  durante  el  cual  debe  procurarse  que  los  tiempos  de 
permanencia del agua en la red resulten lo más cortos posibles. 

En la modelación de la calidad del agua existen dos modelos de cálculo: Los modelos estáticos 
y los modelos dinámicos. 

5.2.1.  Modelos estáticos 

En  los  modelos  estáticos  se  supone  que  los  caudales  demandados  e  inyectados  a  la  red 
permanecen  constantes,  y  se  admite  que  no  varían  las  condiciones  de  operación  de  la  red, 

definidas por el estado de las válvulas y equipos de bombeo, y por los niveles de los depósitos 
(Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

Estos  modelos  se  aplican  al  estudio  de  transporte  de  contaminantes  conservativos  en  las 
redes  de  distribución  de  agua  potable,  determinando  sus  rutas,  procedencias  y  tiempos  de 
permanencia en la misma bajo condiciones estáticas de operación. 

Procedencias 

La conservación de masa para cada nudo de la red se describe con la ecuación de continuidad, 
en  donde  se  define  el  porcentaje  de  la  demanda  en  un  nudo  𝑗  procedente  de  la  fuente  𝑖 
como 𝐶(𝑖, 𝑗) y se puede expresar de la siguiente manera: 

 

Figura 13. Esquema de conservación de masa en el nudo j (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

∑ 𝑐(𝑖, 𝑘)𝑞

𝑘𝑗

+ 𝑄

𝑠

(𝑖) = 𝑐(𝑖, 𝑗) ∑ 𝑄

0

(𝑗)

𝑁𝑗

𝑘=1

 

Ecuación 50. Ecuación de continuidad para la modelación de calidad del agua (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

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61 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

donde, 

𝑁𝑗, es el conjunto de nudos adyacentes al nudo j desde los que fluye caudal hacia dicho nudo. 

𝑐(𝑖, 𝑘), son los factores de contribución de la fuente i en los nudos 𝑁𝑗. 

𝑞

𝑘𝑗

, es el caudal que fluye del nudo 𝑘 al nudo 𝑗. 

𝑄

𝑠

(𝑖), es el caudal que alimenta directamente al nudo 𝑗 desde la fuente 𝑖. 

∑ 𝑄

0

(𝑗), es el caudal total que abandona el nudo 𝑗. 

Concentración de mezclas 

En  la  concentración  de  mezclas  se  determinan  las  concentraciones  de  determinadas 
sustancias en cada uno de los nudos de la red, considerando la mezcla de aguas procedentes 
de  fuentes  de  distinta  calidad.  Por  ende,  la  concentración  de  un  cierto  contaminante  no 
reactivo en el nudo 𝑗 suponiendo mezcla completa, se describe de la siguiente forma: 

𝐶

𝑗

=

(𝑞

𝑘𝑗

𝐶

𝑘

) + ∑ (𝑄

𝑠

(𝑖)𝐶

𝑠

(𝑖))

𝑖∈𝑆

𝐾∈𝑁𝑗

(𝑞

𝑘𝑗

) + ∑ (𝑄

𝑠

(𝑖))

𝑖∈𝑆

𝐾∈𝑁𝑗

 

Ecuación 51. Concentración de soluto en el nudo j (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

donde, 

𝐶

𝑘

, es la concentración de la sustancia en los nudos aguas arriba adyacentes al nudo 𝑗. 

𝐶

𝑠

(𝑖), es la concentración de dicha sustancia en la fuente 𝑖 que alimenta al nudo 𝑗. 

Tiempos de permanencia 

Dado que el caudal desde el punto de alimentación hasta un nudo determinado puede seguir 
distintas rutas, el tiempo de permanencia del agua en la red desde que se inyecta en 𝑖 hasta 
que  llega  a  un  nudo  𝑗  puede  ser  muy  variable.  Para  considerar  la  mezcla  de  flujos  con 

diferentes antigüedades y tiempos de tránsito, se define el tiempo de permanencia medio 𝐴𝐴

𝑗

para un nudo 𝑗 como: 

𝐴𝐴

𝑗

=

∑ 𝑞

𝑖

𝐴

𝑖

𝑞

𝑖

 

Ecuación 52. Tiempo de permanencia medio para el nudo j (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

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62 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

donde, 

𝑞

𝑖

, es el caudal que llega al nudo en estudio por el camino 𝑖. 

𝐴

𝑖

, es la edad del agua en el punto de alimentación. 

5.2.2.  Modelos dinámicos 

Los  modelos  dinámicos  consideran  el  movimiento  y  reacción  de  los  contaminantes  bajo 
condiciones variables en el  tiempo, como sucede en realidad con las demandas, cambios de 
nivel en los depósitos, cierre y apertura de válvulas, arranque y paro de bombas, entre otros. 
En  la  evolución  de  los  contaminantes  a  través  de  una  red  de  distribución  de  agua  potable 
están implicados básicamente tres procesos: El transporte por convección en las tuberías, el 

decaimiento o crecimiento de las concentraciones en el tiempo por reacción, y los procesos de 
mezcla en los nudos de la red (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

Sustancias conservativas 

El proceso de transporte a lo largo de una línea 𝑖 está descrito por: 

𝛿𝑐𝑖(𝑥, 𝑡)

𝛿𝑡

+ 𝑢

𝑖

𝛿𝑐𝑖(𝑥, 𝑡)

𝛿𝑥

= 0 

Ecuación 53. Transporte de sustancias conservativas (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

donde,  

𝑐𝑖(𝑥, 𝑡), es la concentración de la sustancia en la sección de cálculo 𝑥 y el instante 𝑡. 

𝑢

𝑖

, es la velocidad media del agua en la línea, la cual puede ser variable en el tiempo si se 

cambian las condiciones hidráulicas. 

𝑥, es la distancia de la sección de cálculo al extremo de la línea. 

Sustancias no conservativas 

El proceso de transporte a lo largo de una línea 𝑖 está descrito por: 

𝛿𝑐𝑖(𝑥, 𝑡)

𝛿𝑡

+ 𝑢

𝑖

𝛿𝑐𝑖(𝑥, 𝑡)

𝛿𝑥

+ 𝜃(𝑐𝑖(𝑥, 𝑡)) = 0 

Ecuación 54. Transporte de sustancias no conservativas (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

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Para  resolver  esta  última  ecuación,  se  debe  dividir  cada  línea  de  corriente  en  segmentos, 
dentro de los cuales se producen las reacciones, mientras que las mezclas tienen lugar en los 
nudos. 

Tiempos de permanencia y procedencia 

Se puede modelar la edad del agua mediante un modelo dinámico, sin más que interpretar la 
variable 𝑐 de la Ecuación 54 como el tiempo de permanencia en la red, con lo que el término 𝜃 
pasaría a ser una constante igual a 1 (Vidal, Martínez, & Ayza, 1994). 

Asimismo, para determinar el porcentaje de agua que le llega a un nudo de la red desde otro 
nudo  de  suministro  mediante  el  modelo  dinámico,  basta  con  interpretar  la  variable  𝑐  de  la 
Ecuación  53  como  el  factor  de  contribución  de  la  fuente  de  referencia  al  nudo  deseado,  no 
debiendo considerar en este caso término de reacción alguno. El valor de la variable 𝑐 en los 

puntos  de  suministro  será  en  este  caso  100,  actuando  como  condición  de  retorno  (Vidal, 
Martínez, & Ayza, 1994). 

5.3.  Procesos difusivos 

El descubrimiento de la difusión se dio por Graham entre los años de 1828 y 1833. Para gases, 
demostró  que  el  flujo  a  través  de  un  tapón  poroso  es  inversamente  proporcional  a  la  raíz 

cuadrada  de  las  densidades  de  los  gases  empleados.  Para  líquidos  trató  de  encontrar  una 
relación similar, sin éxito alguno (Mompremier, 2009). 

Años  más  tarde,  Adolf  Eugen  Fick  planteó  los  experimentos  de  Graham  sobre  bases 
cuantitativas y descubrió la ley de difusión.  

5.3.1.  Definición 

La  difusión  es  el  proceso  por  el  cual  las  moléculas,  iones  u  otras  pequeñas  partículas 
espontáneamente  se  mezclan,  moviéndose  de  regiones  de  relativamente  alta  concentración 
hacia  regiones  de  baja  concentración,  generando  un  gradiente  de  concentración 
(Mompremier, 2009).  

La velocidad de difusión molecular en los líquidos es mucho menor que en los gases. Esto se 
da  debido  a  que  las  moléculas  de  un  líquido  se  encuentran  muy  cercanas  entre  sí  en 

comparación  con  las  de un  gas.  Por  lo  tanto,  las moléculas  de un soluto  A  que se  difunden, 
chocarán  contra  las  moléculas  de  un  líquido  B  con  mayor  frecuencia  y  se  difundirán  con 

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mayor lentitud que en los gases. Por ende, el coeficiente de difusión de un gas es de un orden 
de magnitud 100 veces mayor que en un líquido. 

El proceso de difusión se puede observar en la siguiente imagen: 

 

Figura 14. Proceso de difusión (Universidad de Valencia, 2006). 

El perfil de concentración de cualquiera de las sustancias que se difunde de un lado al otro 
está representado por la Figura 15 a tres tiempos diferentes (inicial, intermedio e infinito). 

 

Figura 15. Proceso de difusión en función del tiempo (Mompremier, 2009). 

5.3.1.1. 

Ecuación de difusión 

La ecuación de difusión describe las fluctuaciones de densidad en un material que se difunde. 
Es  también  usada  para  describir  procesos  exhibiendo  un  comportamiento  de  difusión.  La 
ecuación es la siguiente: 

𝜕∅

𝜕𝑡

= ∇(𝐷(∅,𝑟⃗)∇∅(𝑟⃗, 𝑡)) 

Ecuación 55. Ecuación general de difusión (Mompremier, 2009). 

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donde, 

∅, es la densidad del material que se difunde. 

𝑡, es el tiempo de difusión. 

𝐷, es el coeficiente de difusión colectivo. 

𝑟⃗, es la coordenada espacial. 

∇, es el vector operador diferencial nabla. 

Si el coeficiente de difusión depende de la densidad, entonces la ecuación no es lineal; de otra 
forma es lineal. Si 𝐷 es constante, entonces la ecuación se reduce a la siguiente ecuación lineal: 

𝜕∅

𝜕𝑡

= 𝐷∇

2

∅(𝑟⃗, 𝑡) 

Ecuación 56. Ecuación de difusión con coeficiente de difusión constante (Mompremier, 2009). 

Más generalmente, cuando 𝐷 es una matriz simétrica definida y positiva, la ecuación describe 
una difusión anisotrópica.  

5.3.1.2. 

Coeficiente de difusión 

El coeficiente de difusión representa la facilidad con que cada soluto en particular, se mueve 
en un solvente determinado, y depende de tres factores: 

 

Tamaño y forma del soluto. 

 

Viscosidad del solvente. 

 

Temperatura. 

5.3.2.  Ley de Fick 

Lay ley de Fick describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que 
inicialmente  no  existe  equilibrio  térmico  o  químico.  En  situaciones  en  las  que  existen 

gradientes  de  concentración  de  una  sustancia,  o  de  temperatura,  se  produce  un  flujo  de 
partículas o de calor que tiende a homogeneizar la disolución y uniformizar la concentración o 
la temperatura. El flujo homogeneizador es una consecuencia del movimiento azaroso de las 
partículas.  Así,  los  procesos  físicos  de  difusión    son  vistos  como  procesos  físicos  o 
termodinámicos irreversibles. 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Para que tenga lugar el fenómeno de difusión, la distribución espacial de moléculas no debe 
ser homogénea, debe existir una diferencia o gradiente de concentración entre dos puntos del 
medio. 

 

Figura 16. Flujo de materia (Mompremier, 2009). 

Si se supone que la concentración varía con la posición a lo largo del eje X, sea 𝐽 la densidad de 
corriente de partículas, es decir, el número efectivo de partículas que atraviesan en la unidad 
de tiempo un área unitaria perpendicular a la dirección en la que tiene lugar la difusión. La ley 

de  Fick  afirma  que  la  densidad  de  corriente  de  partículas  es  proporcional  al  gradiente  de 
concentración: 

𝐽 = −𝐷

𝜕𝑛
𝜕𝑥

 

Figura 17. Ecuación de Fick (Mompremier, 2009). 

donde, 

𝐷, es el coeficiente de difusión, y es característico tanto del soluto como del medio en el que se 
disuelve. 

La  acumulación  de  partículas  en  la  unidad  de  tiempo  que  se  produce  en  el  elemento  de 

volumen 𝑆𝑑𝑥 es igual a la diferencia entre el flujo entrante 𝐽𝑆, menos el flujo saliente 𝐽

𝑆, es 

decir: 

𝐽𝑆 − 𝐽

𝑆 =

𝜕𝐽

𝜕𝑥

𝑆𝑑𝑥 

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La acumulación de partículas en la unidad de tiempo es: 

𝑆𝑑𝑥

𝜕𝑛

𝜕𝑡

 

Igualando ambas expresiones y utilizando la Ley de Fick se obtiene: 

𝜕

𝜕𝑥

(𝐷

𝜕𝑛
𝜕𝑥

) =

𝜕𝑛

𝜕𝑡

 

La  ecuación  anterior  describe  el  fenómeno  de  difusión.  Por  otro  lado,  si  el  coeficiente  de 
difusión D no depende de la concentración, se tiene la siguiente ecuación: 

1

𝐷

𝜕𝑛

𝜕𝑡

=

𝜕

2

𝑛

𝜕𝑥

2

 

Figura 18. Fenómeno de difusión (Mompremier, 2009). 

5.3.3.  Tipos de difusión 

5.3.3.1. 

Difusión por reacción 

Toda  sustancia contenida  en  el  agua  puede  entrar  en  reacción  con  otras sustancias, con  las 

paredes  de  la  tubería,  con  el  agua,  o  con  microorganismos;  y  como  resultado  de  diferentes 
procesos  químicos  o  bioquímicos  puede  variar  su  concentración.  Según  la  forma  de  la 
reacción, las sustancias en el agua se pueden dividir en tres grupos: 

 

Conservativas: No reaccionan con el agua ni con las tuberías.  

 

No  conservativas  y  decrecientes:  Su  concentración  decrece  con  el  tiempo  de 
permanencia en el agua. 

 

No conservativas y crecientes: Son compuestos químicos que se forman en el agua y su 
concentración crece con el tiempo de permanencia.  

5.3.3.2. 

Difusión convectiva 

Conocida  también  como  difusión  por  advección,  considera  los  cambios  de  concentración 

generados  por  la  velocidad  del  flujo.  La  agitación  no  es  un  proceso  molecular  pero  es  un 
proceso microscópico que cambia porciones de fluidos sobre distancias largas. 

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Figura 19. Difusión convectiva (Mompremier, 2009). 

5.3.3.3. 

Difusión molecular 

La  difusión  molecular  es  la  mezcla  de  químicos  disueltos  debido  al  movimiento  al  azar  o 
aleatorio  de  las  moléculas  dentro  del  fluido  causado  por  movimiento  molecular  vibratorio, 
rotacional o transversal. En el movimiento, las sustancias disueltas se mueven de regiones de 
altas concentraciones a regiones de bajas concentraciones, de acuerdo a la Ley de Fick. 

5.3.3.4. 

Difusión turbulenta 

La difusión turbulenta es la mezcla de sustancias particuladas finas debido a la turbulencia en 
micro escala causada por fuerza del rozamiento dentro del cuerpo de agua. 

 

Figura 20. Difusión turbulenta (Mompremier, 2009). 

5.3.4.  Concentración 

Se  entiende  por  concentración  a  la  cantidad  relativa  de  una  sustancia  en  un  cierto  punto  y 
tiempo dado. Se puede expresar en unidades de masa, peso, volumen o número de partículas 
por unidad de volumen.  

𝐶

𝐴

=

𝑚

𝐴

𝑚

𝐴

+ 𝑚

𝐵

 

Ecuación 57. Cálculo de concentración (Mompremier, 2009). 

 

 

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O bien,  

𝐶

𝐵

=

𝑚

𝐵

𝑚

𝐴

+ 𝑚

𝐵

 

Por otra parte se tiene que 

𝑚

𝐴

+ 𝑚

𝐵

= 𝑚 

En el caso que la sustancia A tuviese mucho mayor masa en comparación con la sustancia B, se 
tiene el siguiente planteamiento: 

𝑚

𝐴

+ 𝑚

𝐵

= 𝑚 ≈ 𝑚

𝐴

 

Entonces, 

𝐶

𝐴

=

𝑚

𝐴

𝑚

𝐴

 

O bien,  

𝐶

𝐵

=

𝑚

𝐵

𝑚

𝐴

 

5.3.4.1. 

Balance de masa en las uniones de varias tuberías 

Las tuberías que confluyen en un nudo se clasifican en dos grupos: El primero, formado por 
las tuberías por las que llega caudal al nudo, y el segundo, con las tuberías por las que sale 
caudal del nudo, tal y como se muestra en la siguiente figura: 

 

Figura 21. Esquema de balance de masa en la unión de tuberías (Mompremier, 2009). 

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70 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

Se considera que las aportaciones de masa de cada una de las tuberías del primer grupo a un 
nudo en particular es igual a: 

𝑚

𝑖

= ∑ 𝑐

𝑘

𝑖

𝑄

𝑖

∆𝑡

𝑁

𝑖=1

 

Ecuación 58. Aporte de masa a la unión i (Mompremier, 2009). 

donde, 

𝑄

𝑖

, es el caudal de entrada al nudo 𝑖 desde una tubería de entrada. 

𝑁, es el número de tuberías de entrada. 

𝑐

𝑘

𝑖

, es la concentración de algún componente en las tuberías de entrada. 

Así mismo, por las tuberías de salida, saldrá desde el nudo, un flujo con una mezcla uniforme 
de concentración, por lo que la masa que sale se describe como: 

𝑚

𝑠

= 𝑐

𝐸

(∑ 𝐺

𝑖

+ 𝑞

𝐸

𝑀

𝑖=1

Ecuación 59. Salida de masa del nudo i (Mompremier, 2009). 

donde, 

𝐺

𝑖

, es el caudal de salida por cada tubería de salida. 

𝑀, es el número de tuberías de salida. 

𝑞

𝐸

, es el caudal de concesión que se les suministra a los usuarios de la red. 

Dado que se debe cumplir la conservación de la masa, entonces: 

𝑚

𝑖

= 𝑚

𝑠

 

Al reemplazar las correspondientes ecuaciones, se despeja la concentración de la mezcla, la 
cual sería completa y uniforme, de la siguiente manera: 

 

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potable” 

71 

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𝑐

𝐸

=

𝑐

𝑘

𝑖

𝑄

𝑖

𝑁

𝑖=1

𝐺

𝑖

+ 𝑞

𝐸

𝑀

𝑖=1

 

Ecuación 60. Concentración de la mezcla (Mompremier, 2009). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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72 

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6.  Modelo físico 

6.1.  Descripción del modelo físico 

El  modelo físico se encuentra ubicado  en el  Laboratorio  de Hidráulica de la Universidad de 
Los Andes. El modelo fue diseñado por la estudiante Laura Natalia Cotes Gómez, quien a su 
vez lo construyó en conjunto con el técnico del laboratorio, Jhon Adalberto Calvo Ovalle.  

6.1.1.  Sistema de alimentación 

El sistema de alimentación inicia con una válvula de cobre tipo cortina, que permite el paso 
del  agua  desde  la  tubería  de  abastecimiento  más  cercana  al  modelo,  hasta  los  tanques  de 
alimentación. Una vez el agua pasa a través de la válvula, se lleva a través de una tubería en 

PVC  de  1

1/2

  pulgada  de  diámetro  hasta  las  inmediaciones  del  modelo,  lugar  en  el  cual  la 

tubería se bifurca en dos tuberías de igual material y diámetro. Posteriormente, en cada una 
de  las  dos  tuberías  se  encuentra una  válvula  de  bola  con  la  cual se  regula e  independiza  el 
caudal de agua que entra a cada uno de los tanques de alimentación. 

 

Ilustración 10. Tubería del laboratorio que alimenta el modelo. 

 

 

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Ilustración 11. Válvula que permite el paso de agua al modelo. 

 

Ilustración 12. Tubería de alimentación al modelo. 

 

 

 

 

 

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74 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Ilustración 13. Bifurcación de la tubería de alimentación y válvulas reguladoras de caudal a los tanques. 

Los tanques de alimentación del modelo  tienen como  objetivo  principal,  el almacenamiento 
del  agua  que  se  utilizará  posteriormente  durante  las  pruebas.  Los  tanques  no  fueron 
construidos para tal función, sino la de “cámaras de paso”, es decir, actuaban como un canal 

mediante  el  cual  pasaba  agua.  Sin  embargo,  se  añadieron  paredes  para  poder  almacenar  el 
agua,  y  se  modificaron  de  tal  forma  que  el  nivel  de  agua  en  su  interior  permaneciese 
constante.  

 

Ilustración 14. Tuberías de alimentación a los tanques. 

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El tanque de agua limpia recibe agua de manera continua a través de su respectiva tubería de 
alimentación. Para impedir el rebosamiento del tanque se abrió un  agujero de 2 pulgadas a 

una altura de 0,40 metros, medidos desde el fondo del tanque. Al agujero se le conectó una 
tubería de igual diámetro, con el fin de evacuar toda el agua que se encuentre por encima del 
nivel del agujero hasta el sifón más cercano. Por último, la tubería de rebose cuenta con una 
válvula de bola para regular el flujo de agua en ella. 

 

Ilustración 15. Tanque de agua limpia. 

 

 

Ilustración 16. Tubería de rebose del tanque de agua limpia. 

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Al tanque de agua clorada también se le abrió un agujero de 2 pulgadas a una altura de 0,40 
metros, medidos desde el fondo del tanque. Sin embargo, dicho agujero no llevaba el agua a 

una  tubería  sino  a  un  tercer  tanque.  El  tercer  tanque  funcionaba  como  una  estructura  de 
caída, pero se le insertó una plataforma en triplex de pino de 1,02 m x 0,39 m x 0,019 m, y se 
colocó un refuerzo en la parte de abajo para evitar el pandeo debido al peso del agua. 

 

Ilustración 17. Tanque de agua clorada, previo a las modificaciones. 

Inicialmente, el tanque de agua clorada funcionaba de tal forma que, cuando el nivel del agua 
alcanzaba el nivel del agujero, rebosaba a través de éste y llenaba el tanque modificado. Una 
vez los dos tanques tuviesen la misma altura de agua, se cerraba la válvula de alimentación al 

tanque de agua clorada (a diferencia de la válvula de alimentación al tanque de agua limpia); y 
una  vez  iniciadas  las  pruebas,  se  utilizaba  una  bomba  sumergible  que  llevaba  el  agua  del 
tanque  modificado  al  tanque  2,  mientras  que  el  agua  de  éste  seguía  rebosando  al  tanque 
modificado. De esta forma se mantenía el nivel de agua constante en el tanque 2, al igual que 
la concentración de cloro inicial. 

 

 

 

 

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Ilustración 18. Tanque modificado en funcionamiento. 

Sin embargo, el tanque modificado no fue diseñado como un tanque sino como una estructura 
de caída.  Debido  a esto, su  llenado  ocasionó  un pandeo  de las paredes laterales del tanque, 
dado que no se diseñaron para soportar las presiones hidrostáticas de la columna de agua allí 
almacenada. Como medida temporal se utilizó silicona para sellar las fugas en el tanque, pero 
el  pandeo  generado  por  el  agua  terminaba  despegando  la  silicona,  con  lo  cual  se  volvían  a 
presentar dichas fugas. 

 

Ilustración 19. Fugas en el tanque modificado. 

Como solución, se compraron dos tanques botella, cada uno con una capacidad de 600 litros y 
se colocaron a ambos lados del tanque modificado. Así, el agua rebosada a través del tanque 
de agua clorada ahora pasa a uno de los dos tanques botella. Allí, una bomba redirige el agua 

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hacia el otro tanque; y de este último, una segunda bomba lleva el agua clorada de vuelta al 
tanque de agua clorada. 

6.1.2.  Modelo físico 

De  cada  uno  de  los  2  tanques  de  alimentación  sale  una  tubería  vertical  en  PVC  de  1  in  de 
diámetro, cada una con una válvula de cobre tipo cortina. Posteriormente, mediante un codo 
ambas tuberías pasan a ser horizontales y convergen en la cruz.  

 

Ilustración 20. Tuberías de entrada al modelo físico. 

 

Ilustración 21. Válvulas de entrada. 

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Para el modelo, dicha cruz es en vidrio, con un diámetro interno de 30 mm y un espesor de 2 
mm, longitud de las tuberías de 40 cm y ángulo de 90° entre tuberías adyacentes.  

 

Ilustración 22. Modelo físico. 

Una vez el agua pasa a través de la cruz, las dos tuberías de salida de la cruz se conectan con 2 
tuberías en PVC de 1 in de diámetro. En dichas tuberías también se encuentran válvulas de 
cobre tipo cortina para regular los caudales de salida de la cruz. Por último, cada una de las 2 
tuberías de salida descarga el caudal a un tanque de plástico con las siguientes dimensiones: 

6.1.3.  Sistema de recirculación 

El sistema de recirculación se encuentra conformado por dos tanques tipo botella, cada uno 
de 600 litros con las siguientes especificaciones: 

 

Ilustración 23. Especificaciones de los dos tanques comprados para el sistema de recirculación (PAVCO, 2013). 

La capacidad total del sistema de recirculación, sin contar con el volumen de agua en el tanque 

de alimentación de agua clorada es de 1200 litros. Para una apertura total de la válvula de la 

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tubería de entrada de agua clorada al modelo, se obtiene un caudal de aproximadamente 50 
litros/min. Por ende, el sistema de recirculación permite realizar pruebas durante un tiempo 
de aproximadamente 25 minutos, mientras se utiliza el agua almacenada en los dos tanques. 

6.1.4.  Instrumentos de medición 

En  la  tesis  realizada  por  Cotes  Gómez,  la  medición  de  los  caudales  se  realizaba  mediante  4 
caudalímetros  volumétricos,  los  cuales  registraban  el  cambio  en  el  volumen  acumulado  de 

agua  que  pasaba  a  través  de  ellos.  La  medición  de  las  concentraciones  de  cloro  se  hacía 
mediante el uso de instrumentos portátiles, otorgados por la coordinación de los laboratorios 
del Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad de Los Andes. 

Los caudalímetros volumétricos son de tipo intrusivo, es decir, se encontraban conectados a 
las  tuberías  del  modelo  para  medir  el  caudal  de  agua.  Por  otro  lado,  la  medición  de  las 
concentraciones se realizaba mediante la toma de muestras en los tanques de alimentación y 

de descarga del modelo. Sin embargo, dado que los datos obtenidos carecían de la precisión 
deseada, se realizó la compra de 3 caudalímetros magnéticos, así como de 2 sensores de cloro 
residual, los cuales fueron entregados a mitad del semestre en el  que se realiza el  presente 
trabajo. 

Los  caudalímetros  volumétricos  fueron  retirados  del  modelo,  y  dichos  tramos  fueron 
reemplazados  por  tuberías  en  PVC  del  mismo  diámetro  que  las  tuberías  anexas,  que  se 
conectaron con las tuberías existentes mediante uniones universales.  

6.1.4.1. 

Caudalímetros magnéticos 

El  modelo  físico  cuenta  con  tres  caudalímetros  magnéticos,  todos  de  marca  Kobold.  Estos 

instrumentos  son  utilizados  para  medir  o  monitorear  el  caudal  de  fluidos  con  o  sin 
concentraciones  de  sólidos,  lodos,  pastas  u  otros  medios  conductores  eléctricos,  mientras 
minimiza  las  pérdidas  de  energía.  Adicionalmente,  los  cambios  en  presión,  temperatura, 
densidad y viscosidad no afectan las mediciones realizadas (Kobold, 2009).  

De acuerdo con la ley de inducción electromagnética de Faraday, cuando un líquido conductor 
se desplaza a una velocidad 𝑣 por un un campo magnético 𝐵, se produce un campo eléctrico 𝐸 
tal que: 

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𝐸 = 𝑣𝐵 

Ecuación 61. Definición de campo eléctrico (Kobold, 2009). 

 

Figura 22. Modo de operación del caudalímetro (Kobold, 2009). 

La  Figura  22  ilustra  el  funcionamiento  del  Caudalímetro.  El  caudalímetro  funciona  de  tal 

forma que cuando  el fluido fluye a través del tubo  (1) con un revestimiento aislante (2), se 
produce  un  circuito  de  medición  de  voltaje  en  los  dos  electrodos  (4)  perpendiculares  a  la 
dirección del flujo y al campo magnético generado por las bobinas (3). La magnitud del campo 
eléctrico generado es directamente proporcional a la velocidad del flujo, y por ende, al caudal. 

El caudalímetro cuenta con una precisión igual a: 

±[0,3% 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 + 0,01% ∗ (𝑄 𝑝𝑎𝑟𝑎 10 𝑚/𝑠)] 

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Figura 23. Precisión del caudalímetro (Kobold, 2009). 

A  medida  que  aumenta  la  velocidad  del  flujo,  la  precisión  de  la  medición  disminuye  y  se 
estabiliza. De acuerdo a la Figura 23, se puede concluir que para velocidades de flujo entre 2,5 
m/s y 10 m/s, la precisión es independiente de la velocidad, y aproximadamente igual al 0,3% 
de la medición. 

Entre las condiciones de operación del caudalímetro dadas por el proveedor, se encuentran: 

1.  Los caudalímetros deben ser instalados de tal forma que inmediatamente aguas arriba 

y aguas abajo de éstos, y hasta una distancia igual a diez veces el diámetro nominal en 

la sección aguas arriba, y cinco veces el diámetro nominal en la sección aguas abajo de 
la tubería, no debe existir ningún accesorio que pueda perturbar el perfil del flujo.  

2.  El fluido debe tener una conductividad mayor a 5 μS/cm. 
3.  La  tubería  siempre  debe  encontrarse  presurizada  cuando  se  haga  uso  del 

caudalímetro. 

4.  La velocidad mínima del flujo no puede ser inferior a 0,5 m/s. 

 

 

 

 

 

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Ilustración 24. Caudalímetro magnético. 

6.1.4.2. 

Sensores de cloro 

El  sensor  de  cloro  monitorea  de  forma  continua  la  concentración  de  cloro  residual  en 
efluentes de procesos industriales o agua potable. Para esto, analiza la corriente de agua que 
pasa  a  través  del  portaelectrodos  en  donde  debe  ir  instalado  el  sensor.  Dicho  conjunto 
portaelectrodos – sensor debe utilizarse en conjunto para asegurar la correcta medición de las 
concentraciones.  

La  concentración  de  cloro  residual  se  determina  de  acuerdo  con  principio  de  medida 

amperométrica.  El  ácido  hipocloroso  (HOCl)  contenido  en  el  flujo  se  difunde  a  través  de  la 
membrana del sensor y se reduce a iones cloruro (Cl

-

) en el cátodo de oro del sensor. Por otro 

lado, en el ánodo de plata, la plata se oxida a cloruro de plata. La liberación de electrones en el 
cátodo y su viaje hasta el ánodo genera una corriente que es proporcional a la concentración 
de cloruro en el medio (Endress - Hauser, 2007).  

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El rango de medición del sensor de cloro se encuentra entre 0,05 mg/L y 20 mg/L, y tiene una 
precisión igual a ±0,5% del valor medido. Para mediciones máximas de 20 mg/L, la precisión 
de la medida será de 0,1 mg/L (Endress - Hauser, 2007). 

 

Figura 24. Esquema del sensor de cloro (Endress - Hauser, 2007).

 

 

Ilustración 25. Sensor de cloro. 

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6.1.4.3. 

Portaelectrodos para cloro libre 

El  portaelectrodos  ha  sido  especialmente  diseñado  para  la  instalación  de  los  sensores  de 

cloro, o los sensores de Dióxido de Cloro. También incluye conexiones para instalar otros dos 
electrodos (uno de pH y otro de Redox). El cuerpo está fabricado en plexiglass, y dispone de 
una válvula de aguja para ajustar el caudal de agua y un rotámetro para el control visual del 
caudal (Endress Hauser, 2009).  

 

Figura 25. Esquemas del portaelectrodos (Endress Hauser, 2009). 

Para el correcto funcionamiento del sistema portaelectrodos – sensor, se debe instalar en la 
manguera aguas arriba de la celda, una válvula y un filtro de partículas. Adicionalmente, en la 
manguera aguas abajo del portaelectrodo se debe instalar otra válvula para regular el flujo de 
agua. 

 

 

 

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“Modelación física de los procesos de mezcla de sustancias en redes de distribución de agua 
potable” 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Figura 26. Esquema del montaje a realizar (Endress Hauser, 2009). 

El portaelectrodos se puede instalar de tal manera que la manguera aguas abajo se conecte de 
nuevo con la tubería en PVC, o descargue libremente. Si se conecta de nuevo a la tubería, es 

necesario que exista una diferencia de la presión en los dos puntos de conexión del by-pass 
con la tubería principal. Dado que la tubería principal es en PVC, se espera que la diferencia de 
presión entre ambos puntos de conexión sea mínimo, lo cual puede evitar el correcto flujo a 
través del portaelectrodos (Endress Hauser, 2009).  

Como  solución,  para  el  proyecto se  decidió  no  realizar  la  conexión  de  vuelta  con  la  tubería 
principal sino que la manguera aguas abajo de cada portaelectrodos descargue a un tanque. 
Para  el  sensor  ubicado  en  la  tubería  de  entrada  de  agua  con  cloro,  el  portaelectrodos  se 

encuentra aguas arriba del caudalímetro, de tal forma que el caudal registrado corresponda al 
que llega a la cruz y no tenga en cuenta el caudal perdido a través del portaelectrodo. Para el 
sensor ubicado en una de las tuberías de salida, el portaelectrodos se encuentra aguas abajo 
del caudalímetro, y la manguera aguas debajo de éste descarga directamente al mismo tanque 
donde descarga la tubería principal. 

 

 

 

 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

 

 

Ilustración 26. Portaelectrodos para cloro libre. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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88 

Nicolás Eduardo Páez Rincón 

7.  Resultados 

7.1.  Casos de análisis 

Los casos de análisis utilizados para el presente proyecto se muestran a continuación: 

Caso  Válvula 1  Válvula 2  Válvula 3  Válvula 4 

25% 

25% 

25% 

25% 

50% 

50% 

50% 

50% 

75% 

75% 

75% 

75% 

100% 

100% 

100% 

100% 

25% 

100% 

100% 

100% 

100% 

25% 

100% 

100% 

100% 

100% 

25% 

100% 

100% 

100% 

100% 

25% 

50% 

100% 

100% 

100% 

10 

100% 

50% 

100% 

100% 

11 

100% 

100% 

50% 

100% 

12 

100% 

100% 

100% 

50% 

13 

75% 

100% 

100% 

100% 

14 

100% 

75% 

100% 

100% 

15 

100% 

100% 

75% 

100% 

16 

100% 

100% 

100% 

75% 

Tabla 9. Escenarios planteados para el presente proyecto. 

Los caudales, las velocidades y los números de Reynolds que se obtienen para cada uno de los 
anteriores porcentajes de abertura de las válvulas, se muestran a continuación: 

Porcentaje de 

Abertura 

Caudal 

(L/min) 

Velocidad 

(m/s) 

Número de 

Reynolds 

Régimen 

25% 

12,5 

0,294 

7756,08 

Turbulento 

50% 

25 

0,589 

15512,17 

Turbulento 

75% 

37,5 

0,884 

23268,26 

Turbulento 

100% 

50 

1,178 

31024,35 

Turbulento 

Tabla 10. Velocidades y números de Reynolds para cada porcentaje de abertura de las válvulas. 

La definición de los escenarios se hizo tal que varíen los radios entre los caudales de entrada y 
salida, para determinar la influencia de éstos en el proceso de mezcla. 

 

 

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7.2.  Resultados 

Para los resultados que se muestran a continuación se usa la siguiente nomenclatura: 

 

Ilustración 27. Nomenclatura para las vistas en planta. 

 

Ilustración 28. Nomenclatura para las vistas en perfil. 

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7.2.1.  Caso 1: Todas las válvulas al 25% 

 

Ilustración 29. Vista en planta. 

 

Ilustración 30. Vista en perfil. 

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7.2.2.  Caso 2: Todas las válvulas al 50% 

 

Ilustración 31. Vista en planta. 

 

Ilustración 32. Vista en perfil. 

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7.2.3.  Caso 3: Todas las válvulas al 75% 

 

Ilustración 33. Vista en planta. 

 

Ilustración 34. Vista en perfil. 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

7.2.4.  Caso 4: Todas las válvulas al 100% 

 

Ilustración 35. Vista en planta. 

 

Ilustración 36. Vista en perfil. 

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7.2.5.  Caso 5: Válvula 1 al 25%; válvulas 2, 3 y 4 al 100% 

 

Ilustración 37. Vista en planta. 

 

Ilustración 38. Vista en perfil. 

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7.2.6.  Caso 6: Válvula 2 al 25%; válvulas 1, 3 y 4 al 100% 

 

Ilustración 39. Vista en planta. 

 

Ilustración 40. Vista en perfil. 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

7.2.7.  Caso 7: Válvula 3 al 25%; válvulas 1, 2 y 4 al 100% 

 

Ilustración 41. Vista en planta. 

 

Ilustración 42. Vista en perfil. 

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7.2.8.  Caso 8: Válvula 4 al 25%; válvulas 1, 2 y 3 al 100% 

 

Ilustración 43. Vista en planta. 

 

Ilustración 44. Vista en perfil. 

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7.2.9.  Caso 9: Válvula 1 al 50%; válvulas 2, 3 y 4 al 100% 

 

Ilustración 45. Vista en planta. 

 

Ilustración 46. Vista en perfil. 

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7.2.10. Caso 10: Válvula 2 al 50%; válvulas 1, 3 y 4 al 100% 

 

Ilustración 47. Vista en planta. 

 

Ilustración 48. Vista en perfil. 

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7.2.11. Caso 11: Válvula 3 al 50%; válvulas 1, 2 y 4 al 100% 

 

Ilustración 49. Vista en planta. 

 

Ilustración 50. Vista en perfil. 

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7.2.12. Caso 12: Válvula 4 al 50%; válvulas 1, 2 y 3 al 100% 

 

Ilustración 51. Vista en planta. 

 

Ilustración 52. Vista en perfil. 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

7.2.13. Caso 13: Válvula 1 al 75%; válvulas 2, 3 y 4 al 100% 

 

Ilustración 53. Vista en planta. 

 

Ilustración 54. Vista en perfil. 

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7.2.14. Caso 14: Válvula 2 al 75%; válvulas 1, 3 y 4 al 100% 

 

Ilustración 55. Vista en planta. 

 

Ilustración 56. Vista en perfil. 

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7.2.15. Caso 15: Válvula 3 al 75%; válvulas 1, 2 y 4 al 100% 

 

Ilustración 57. Vista en planta. 

 

Ilustración 58. Vista en perfil. 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

7.2.16. Caso 16: Válvula 4 al 75%; válvulas 1, 2 y 3 al 100% 

 

Ilustración 59. Vista en planta. 

 

Ilustración 60. Vista en perfil. 

 

 

 

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7.3.  Análisis de resultados 

Los casos 1 a 4, que son aquellos en los cuales se presentan los mismos caudales de entrada y 
salida, muestran resultados similares. Cuando los caudales de entrada son similares, los flujos 

chocan entre sí y salen por las tuberías adyacentes a aquellas por las cuales entran. Esto se 
evidencia porque, prácticamente, la coloración en las tuberías de salida es igual a la coloración 
en las de entrada, lo cual muestra bajos porcentajes de mezcla entre los dos flujos.  

En  el  resto  de  casos,  en  los  cuales  variaba  el  porcentaje  de  apertura  de  una  válvula  con 
respecto a las otras, se observa que a medida que aumenta la  diferencia de los caudales de 
entrada, se observa una mayor mezcla de los dos flujos. Sin embargo, se observa que la mezcla 
se presenta en una de las dos tuberías únicamente, siendo ésta la que se encuentra opuesta a 

la  tubería  de  entrada  del  flujo  de  mayor  impulso,  mientras  que  por  la  tubería  de  salida 
adyacente sale una porción del flujo de mayor impulso, sin que se mezcle. 

Para  los casos  5,  9  y  13, en  los  que  el  flujo  de  entrada  de  agua  limpia  es menor  al  flujo  de 
entrada  de  agua  con  trazador,  el  flujo  por  la  tubería  de  salida  adyacente  a  la  tubería  de 
entrada de agua limpia, comprende una mezcla de los dos flujos; mientras que por la tubería 
de salida adyacente a la tubería de entrada de agua con trazador sale agua con trazador, sin 
que se presente mezcla alguna. 

Para los casos 6, 10 y 14, en los que el flujo de entrada de agua limpia es mayor al flujo de 

entrada  de  agua  con  trazador,  el  flujo  por  la  tubería  de  salida  adyacente  a  la  tubería  de 
entrada de agua limpia, es de agua limpia; mientras que por la tubería de salida adyacente a la 
tubería  de  entrada  de  agua  con  trazador  sale  agua  mezclada.  Es  decir,  el  comportamiento 
obtenido es inverso al obtenido en los casos 5, 9 y 13. 

Por último, para los casos 7, 8, 11, 12, 15 y 16 el comportamiento es variable. En general, se 
observa que la variación de los flujos de salida no ejerce el mismo efecto sobre el porcentaje 
de  mezcla  que  ejerce  la  variación  de  los  flujos  de  entrada.  Sin  embargo,  dependiendo  del 

porcentaje de apertura de las válvulas de salida, el fenómeno de mezcla puede aproximarse 
más al fenómeno de mezcla en una Tee, en lugar de al fenómeno de mezcla en una cruz. 

 

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8.  Conclusiones y recomendaciones 

La mezcla de dos flujos con diferentes características en las uniones entre tuberías, no es en 
ningún modo completa e instantánea, como se sugiere por algunos autores. Por el contrario, 
es  incompleta  y  altamente  dependiente  de  diversos  parámetros,  como  lo  es  el  régimen  de 
flujo, que a su vez depende de las características físicas de la tubería y del caudal. 

Para tuberías de igual diámetro y material, el parámetro decisivo que determina el porcentaje 
de mezcla en los nudos es el régimen de flujo. Para flujos que tienen velocidades similares de 

entrada, el impulso generado es similar y al llegar al nudo, los dos flujos chocan entre sí con 
igual  fuerza  y  el  choque  los  redirige  a  las  tuberías  de  salida  adyacentes  a  aquellas  por  las 
cuales entraron. Entonces, la mezcla entre los dos flujos se limita únicamente a la interfaz de 
contacto entre ellos en el nudo, lo que genera bajos porcentajes de mezcla. 

A medida que la diferencia de velocidades entre los dos flujos de entrada es más significativa, 
el  flujo  con  mayor  velocidad  genera  un  mayor  impulso  con  respecto  al  flujo  de  menor 
velocidad.  Entonces,  cuando  los  flujos  convergen  en  la  cruz,  el  flujo  con  mayor  impulso  es 

capaz de salir por la tubería opuesta a aquella por la cual entra, siendo que por ésta también 
sale la totalidad del otro flujo. Este fenómeno genera un mayor contacto entre los dos flujos, lo 
cual incrementa el porcentaje de mezcla de éstos. Sin embargo, por la otra tubería de salida 
sale  únicamente  una  porción  del  flujo  de  mayor  impulso.  En  esta  tubería,  el  porcentaje  de 
mezcla es 0%. 

Por otro lado, cuando se mantienen constantes los flujos de entrada y se varían los de salida, 
el efecto sobre los procesos de mezcla parece ser menor. En estos casos, la variación de los 

flujos no afecta los porcentajes de mezcla de la misma forma que sí lo afectan las variaciones 
en  los  flujos  de  entrada.  Sin  embargo,  la  variación  de  los  flujos  de  salida  sirve  como 
aproximación  para  estudiar  el  fenómeno  de  mezcla  en  uniones  Tee,  en  las  cuales  sólo  se 
presenta una salida. 

Los resultados obtenidos con las pruebas cualitativas concuerdan con la teoría previamente 
mencionada.  En  aquellos  escenarios  en  los  que  los  dos  flujos  de  entrada  cuentan  con  un 

mismo  caudal,  independientemente  del  caudal,  la  mezcla  es  altamente  incompleta.  Esto  se 
muestra en los dos flujos de salida de la unión, con concentraciones similares a los flujos de 
entrada. Los mayores porcentajes de mezcla se presentan para los escenarios en los que los 

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caudales en las tuberías no son iguales, y aumenta de forma proporcional con la diferencia de 
caudales entre las tuberías. 

Los  resultados  muestran  como  es  necesario  cambiar  la  concepción  que  se  tiene  sobre  los 
fenómenos  de  mezcla  en  los  nudos  de  las  redes  de  distribución.  Es  necesario  modificar  los 

programas de modelación de calidad del agua en redes de distribución de agua potable, tal 
que  incluyan  fenómenos  de  mezcla  incompleta  en  los  nudos.  Lo  anterior  cambiará  por 
completo la distribución de concentraciones a lo largo de la red, e indicará sitios en los que 
posiblemente  la  concentración  de  cloro  residual  se  encuentre  por  debajo  del  mínimo 
permisible. 

El  fenómeno  estudiado  puede  convertirse  en  una  problemática  de  salud  pública  si  la 
concentración de cloro se encuentra por debajo de los mínimos permisibles. En tal caso, ante 

un evento de contaminación, la concentración de cloro residual puede no ser suficiente para 
que  se  realice  un  adecuado  proceso  de  autodepuración  del  agua,  y  el  agua  que  reciben  los 
usuarios podría tener una concentración remanente de microorganismos. Por ende, se debe 
contar con modelos adecuados de calidad del agua, y en caso que se presenten deficiencias en 
la concentración, se puede considerar la implementación de sistemas de inyección de cloro a 
lo largo de las redes de distribución. 

El  presente  trabajo  no  incluye  la  cuantificación  de  los  porcentajes  de  mezcla  dadas  las 
dificultades  presentadas  durante  el  semestre  para  la  implementación  de  los  sistemas  de 
adquisición  de  datos.  Por  ende,  el  siguiente  trabajo  contendrá  dicha  cuantificación  para 
uniones en vidrio y PVC, así como para uniones tipo Doble Tee. 

Entre las recomendaciones se encuentran: 

 

La  completa  implementación  de  un  sistema  de  adquisición  de  datos  es  importante 
para  contar  con  un  registro  preciso  y  agilizar  el  proceso  de  toma  de  datos,  en 
comparación a como se realizó en tesis anteriores. 

 

Se debe realizar una limpieza continua del modelo, que comprenda principalmente, la 
limpieza  de  las  tuberías  y  el  pulido  de  la  base  en  madera.  Dicha  limpieza  se  hace 
necesaria debido a la continua manipulación que se realiza sobre dichos elementos, y 
tiene como fin tener un modelo bien visto desde el punto de vista estético. 

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Durante  el  periodo  intersemestral  se  modificará  el  sistema  de  rebose,  tal  que  se 
instalará una Tee y una tubería para que el tanque de agua clorada pueda rebosar a los 

dos tanques de almacenamiento. Adicionalmente, en cada una de las dos tuberías se 
instalarán  válvulas  tipo  bola.  Lo  anterior  con  el  fin  de  contar  con  un  sistema  de 
recirculación que utilice un único tanque y una única bomba. Cuando dicho tanque se 
vacíe, se volverá a llenar a partir del agua almacenada en el otro tanque. 

 

Durante el periodo intersemestral se realizará la instalación de los portaelectrodos de 

cloro, con el fin de comenzar a realizar las pruebas cuantitativas. 

 

Es recomendable realizar pruebas para régimen laminar. Para el presente trabajo se 
trató  de  realizar  pruebas  en  dicho  régimen,  pero  el  caudal  necesario  para  tener 
números  de  Reynolds  de  aproximadamente  1000  es  significativamente  menor  al 

caudal  mínimo  que  pueden  registrar  los  caudalímetros  magnéticos.  Por  ende,  se 
descartó la realización de pruebas para dicho tipo de flujo. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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9.  Agradecimientos 

La realización del presente proyecto no pudo haber concluido en mejor término sin la guía y 
asesoría del profesor Juan Guillermo Saldarriaga, quien siempre se interesó por el estado del 
proyecto, y me corrigió y apoyó para llevar a cabo las modificaciones al modelo realizado, así 
como la toma de los datos experimentales. 

También, deseo agradecer al técnico del Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Los 
Andes,  Jhon  Adalberto  Calvo,  quien  me  ayudó  con  las  modificaciones  realizadas  al  modelo 

físico,  y me enseñó muchas  cosas necesarias para ser un mejor profesional, pero sobretodo 
una mejor persona. 

A Jimmy Salgado, quien me colaboró con la instrumentación del modelo, y estuvo pendiente 
de las gestiones asociadas con la adquisición e instalación de los equipos necesarios para la 
toma de datos. 

A  los  integrantes  del  CIACUA,  quienes  fueron  de  gran  ayuda  durante  la  realización  del 
proyecto. En especial, quiero agradecer a mis amigas Laura Natalia Cotes, quien construyó el 
modelo físico y me brindó especial asesoría durante las diferentes etapas de mi proyecto; y a 
Natalia Duque Villarreal y  María Ximena Borrero, quienes me apoyaron incondicionalmente 
durante el desarrollo de este proyecto. 

Por último, pero no menos importante, agradezco a mis papás por su apoyo y confianza en mí, 
a mi familia, y a mis amigos. 

 

 

 

 

 

 

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Nicolás Eduardo Páez Rincón 

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