Metodología para el diseño optimizado de redes de alcantarillado

Desarrollar una metodología para la selección del trazado y el diseño hidráulico costo-óptimo de redes de alcantarillado, teniendo en cuenta los aspectos hidráulicos que aseguran el funcionamiento adecuado del sistema de drenaje urbano, siguiendo las normas colombianas: Reglamento Técnico del Sector de Agua Potable y Saneamiento Básico – RAS (2000).

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TESIS  DE MAESTRÍA 

 INGENIERÍA CIVIL 

 

 

 
 

METODOLOGÍA PARA EL DISEÑO OPTIMIZADO DE REDES DE ALCANTARILLADO 

 

 
 

PRESENTADO POR: 

NATALIA DUQUE VILLARREAL

a

 

 
 
 

 

ASESOR: 

JUAN GUILLERMO SALDARRIAGA VALDERRAMA

a

 

 

Centro de Investigación en Acueductos y Alcantarillados (CIACUA), Departamento de Ingeniería 

Civil y Ambiental, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia 

 

 

CO-ASESOR: 

DANIEL DUQUE VILLARREAL

b

 

Centro para la Optimización y Probabilidad Aplicada (COPA), Departamento de Ingeniería 

Industrial, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia 

 
 
 

 

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES 

FACULTAD DE INGENIERÍA 

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL 

BOGOTÁ D.C 

JUNIO 2015

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Metodología para el Diseño Optimizado de Redes de Alcantarillado

 

MIC 201510-00 

 

 

Natalia Duque Villarreal 

Tesis I 

 

TABLA DE CONTENIDO 

Introducción ................................................................................................................................ 1 

1.1 

Objetivos ............................................................................................................................. 2 

1.1.1 

Objetivo General ......................................................................................................... 2 

1.1.2 

Objetivos Específicos ................................................................................................... 2 

1.2 

Antecedentes ...................................................................................................................... 3 

Marco teórico .............................................................................................................................. 6 

2.1 

Redes de drenaje urbano .................................................................................................... 6 

2.1.1 

Efectos de la urbanización ........................................................................................... 6 

2.1.2 

Componentes de las redes de drenaje urbano ........................................................... 7 

2.1.3 

Fallas en redes de drenaje urbano ............................................................................ 10 

2.2 

Sistema integrado de drenaje urbano ............................................................................... 11 

2.3 

Generalidades sobre el diseño hidráulico de los sistemas de alcantarillado .................... 12 

2.3.1 

Supuestos del diseño ................................................................................................. 12 

2.3.2 

Ecuaciones de diseño ................................................................................................ 14 

2.3.3 

Restricciones de diseño ............................................................................................. 19 

2.3.4 

Función de costos ...................................................................................................... 22 

Definición del problema ............................................................................................................ 25 

3.1 

Problemas de flujo en redes ............................................................................................. 25 

3.2 

Componentes la red de alcantarillado .............................................................................. 26 

3.3 

Selección del trazado de la red ......................................................................................... 27 

3.3.1 

Datos de entrada para la selección del trazado ........................................................ 30 

3.4 

Diseño hidráulico de la red ................................................................................................ 30 

3.4.1 

Datos de entrada para el diseño hidráulico .............................................................. 31 

Metodología para el diseño optimizado de redes de alcantarillado ........................................ 33 

4.1 

Metodología para la selección del trazado de redes de alcantarillado ............................ 33 

4.1.1 

Definición del grafo para la selección del trazado .................................................... 33 

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Metodología para el Diseño Optimizado de Redes de Alcantarillado

 

MIC 201510-00 

 

 

Natalia Duque Villarreal 

Tesis I 

ii 

 

4.1.2 

Modelaje matemático para la selección del trazado ................................................ 37 

4.2 

Metodología para el diseño hidráulico de redes de alcantarillado ................................... 42 

4.2.1 

Definición del grafo para el diseño hidráulico .......................................................... 42 

4.2.2 

Método de optimización ........................................................................................... 55 

4.2.3 

Modelaje matemático para el diseño hidráulico ...................................................... 58 

4.2.4 

Implementación ........................................................................................................ 60 

4.3 

Estimación de la función de costos para la selección del trazado .................................... 70 

4.3.1 

Generación de trazados aleatorios ........................................................................... 71 

4.4 

Metodología para el diseño de redes de alcantarillado .................................................... 71 

Resultados y análisis de resultados ........................................................................................... 74 

5.1 

Diseño de una red de alcantarillado ................................................................................. 74 

5.2 

Convergencia del diseño de redes de alcantarillado ........................................................ 80 

Conclusiones y Recomendaciones ............................................................................................ 82 

6.1 

Problema de selección del trazado ................................................................................... 82 

6.2 

Problema de diseño hidráulico ......................................................................................... 83 

Referencias ................................................................................................................................ 84 

Anexos ....................................................................................................................................... 87 

 

 

 

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Natalia Duque Villarreal 

Tesis I 

iii 

 

ÍNDICE DE FIGURAS 

Figura 2.1 Interacciones del Sistema de Drenaje Urbano. Tomado y Modificado de Butler & Davies (2011). .. 6

 

Figura 2.2 Efectos de la urbanización. Tomado de Muth, Brinson, & Bernhar (2010). ...................................... 7

 

Figura 2.3 Fallas en redes de drenaje urbano. ................................................................................................. 11

 

Figura 2.4 Sistema Integrado de Drenaje Urbano. ........................................................................................... 12

 

Figura 2.5 Flujo uniforme en canales abiertos. Tomado y modificado de Salcedo (2012). .............................. 14

 

Figura 2.6 Sección transversal de tubería fluyendo parcialmente llena. Tomada de Salcedo (2012). ............. 14

 

Figura 2.7 Proyección del trapecio que produce el área excavada para una tubería de alcantarillado. Tomada 

de (CIACUA, 2013) ................................................................................................................................... 23

 

Figura 3.1 Grafo. Tomado de Ahuja & et Al (1993). ......................................................................................... 26

 

Figura 3.2. Topología de una red de alcantarillado. ......................................................................................... 27

 

Figura 3.3 Red de alcantarillado. ...................................................................................................................... 28

 

Figura 3.4 Trazado de una red de alcantarillado. ............................................................................................. 29

 

Figura 3.5. Diseño hidráulico de una tubería (diámetro-pendiente). ............................................................... 31

 

Figura 4.1 Tipos de tuberías para cada tramo de una red de alcantarillado. ................................................... 34

 

Figura 4.2 Grafo para la selección del trazado de una red de alcantarillado. .................................................. 35

 

Figura 4.3 Posibles variables de decisión por tramo. ....................................................................................... 35

 

Figura 4.4 Oferta/Demanda en cada nodo del grafo. ....................................................................................... 37

 

Figura 4.5 Conjunto de nodos que pertenecen a un mismo pozo de inspección. ............................................ 44

 

Figura 4.6 Representación de un arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

). ............................................................................................. 45

 

Figura 4.7 Representación de un tramo de alcantarillado. .............................................................................. 45

 

Figura 4.8 Representación de una tubería en el grafo auxiliar para el diseño hidráulico. ............................... 46

 

Figura 4.9 Grafo auxiliar para el diseño hidráulico de un tramo. ..................................................................... 47

 

Figura 4.10. Series de tuberías de una red de alcantarillado. .......................................................................... 48

 

Figura 4.11 Grafo auxiliar para el diseño hidráulico de una serie de  2 tramos. .............................................. 49

 

Figura 4.12 Solución del grafo auxiliar 𝒢

𝐷

 para el diseño hidráulico de una serie de  2 tramos. ..................... 50

 

Figura 4.13. Representación del trazado de la red como un árbol. ................................................................. 51

 

Figura 4.14. Configuración de diámetros en el grafo para el diseño 𝒢

𝐷

. ......................................................... 53

 

Figura 4.15. Grafo auxiliar 𝒢

𝐷

 para el diseño hidráulico de una red de alcantarillado. ................................... 54

 

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Natalia Duque Villarreal 

Tesis I 

iv 

 

Figura 4.16. Conexión entre los diferentes grafos. .......................................................................................... 55

 

Figura 4.17. Metodología para el diseño hidráulico optimizado de redes de alcantarillado. .......................... 61

 

Figura 4.18. Grafo de diseño 𝒢

𝐷

 reversado. ..................................................................................................... 64

 

Figura 4.19. Solución para el diseño hidráulico de la red. ................................................................................ 67

 

Figura 4.20. Pozos de caída .............................................................................................................................. 68

 

Figura 4.21. Función de costos para un tramo de una red de alcantarillado ................................................... 70

 

Figura 4.22 Diagrama de flujo para el diseño de redes de alcantarillado. ....................................................... 72

 

Figura 5.1 Red 4x4 ............................................................................................................................................ 74

 

Figura 5.2. Primer trazado aleatorio obtenido utilizando Xpress-MP. ............................................................. 75

 

Figura 5.3 Representación de la solución del mejor trazado de la red tras 100 iteraciones ............................ 78

 

Figura 9.1. Trazado del mejor diseño encontrado al utilizar ∇= 10 𝑐𝑚. ......................................................... 90

 

 

ÍNDICE DE GRÁFICAS 

Gráfica 5.1.Convergencia al mejor trazado de la red de alcantarillado (∇= 1 𝑐𝑚). ........................................ 80

 

Gráfica 5.2. Convergencia al mejor trazado de la red de alcantarillado (∇= 10 𝑐𝑚). ..................................... 81

 

 

 

 

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Natalia Duque Villarreal 

Tesis I 

 

ÍNDICE DE TABLAS 

Tabla 2.1 Tipos de flujo..................................................................................................................................... 13

 

Tabla 2.2 Resumen de propiedades geométricas del alcantarillado. Tomado y adaptado de Butler & Davies 

(2011) y Salcedo (2012). .......................................................................................................................... 15

 

Tabla 2.3 Límites de la profundidad a cota clave de la tubería. ....................................................................... 21

 

Tabla 2.4 Resumen de restricciones hidráulicas de diseño. Tomado y modificado de Butler & Davies (2011).

 ................................................................................................................................................................. 21

 

Tabla 2.5 Lista de diámetros comerciales ........................................................................................................ 21

 

Tabla 5.1 Datos de entrada para la selección del trazado de una red de alcantarillado .................................. 74

 

Tabla 5.2.  Resultado del primer trazado aleatorio en la iteración. ................................................................. 76

 

Tabla 5.3. Diseño hidráulico de la red 𝑡 = 1 .................................................................................................... 77

 

Tabla 5.4. Mejor diseño hidráulico de la red tras 100 iteraciones. .................................................................. 78

 

Tabla 9.1 Coeficientes aleatorios para la función de costos de cada tubería. ................................................. 87

 

Tabla 9.2. Diseño hidráulico del primer trazado aleatorio. .............................................................................. 88

 

Tabla 9.3. Mejor diseño hidráulico de la red tras 100 iteraciones (∇= 1 𝑐𝑚). ............................................... 89

 

Tabla 9.4. Mejor diseño hidráulico de la red tras 100 iteraciones (∇= 10 𝑐𝑚). ............................................. 91

 

 

 

 

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MIC 201510-00 

 

 

Natalia Duque Villarreal 

Tesis I 

vi 

 

ÍNDICE DE ECUACIONES 

Ecuación 2.1 ..................................................................................................................................................... 15

 

Ecuación 2.2 ..................................................................................................................................................... 15

 

Ecuación 2.3 ..................................................................................................................................................... 15

 

Ecuación 2.4 ..................................................................................................................................................... 16

 

Ecuación 2.5 ..................................................................................................................................................... 16

 

Ecuación 2.6 ..................................................................................................................................................... 16

 

Ecuación 2.7 ..................................................................................................................................................... 16

 

Ecuación 2.8 ..................................................................................................................................................... 16

 

Ecuación 2.9 ..................................................................................................................................................... 16

 

Ecuación 2.10 ................................................................................................................................................... 17

 

Ecuación 2.11 ................................................................................................................................................... 17

 

Ecuación 2.12 ................................................................................................................................................... 17

 

Ecuación 2.13 ................................................................................................................................................... 18

 

Ecuación 2.14 ................................................................................................................................................... 18

 

Ecuación 2.15 ................................................................................................................................................... 18

 

Ecuación 2.16 ................................................................................................................................................... 22

 

Ecuación 2.17 ................................................................................................................................................... 22

 

Ecuación 2.18 ................................................................................................................................................... 23

 

Ecuación 2.19 ................................................................................................................................................... 23

 

Ecuación 2.20 ................................................................................................................................................... 24

 

Ecuación 4.1 ..................................................................................................................................................... 36

 

Ecuación 4.2 ..................................................................................................................................................... 36

 

Ecuación 4.3 ..................................................................................................................................................... 36

 

Ecuación 4.4 ..................................................................................................................................................... 36

 

Ecuación 4.5 ..................................................................................................................................................... 38

 

Ecuación 4.6 ..................................................................................................................................................... 39

 

Ecuación 4.7 ..................................................................................................................................................... 39

 

Ecuación 4.8 ..................................................................................................................................................... 39

 

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MIC 201510-00 

 

 

Natalia Duque Villarreal 

Tesis I 

vii 

 

Ecuación 4.9 ..................................................................................................................................................... 39

 

Ecuación 4.10 ................................................................................................................................................... 39

 

Ecuación 4.11 ................................................................................................................................................... 39

 

Ecuación 4.12 ................................................................................................................................................... 39

 

Ecuación 4.13 ................................................................................................................................................... 40

 

Ecuación 4.14 ................................................................................................................................................... 40

 

Ecuación 4.15 ................................................................................................................................................... 40

 

Ecuación 4.16 ................................................................................................................................................... 40

 

Ecuación 4.17 ................................................................................................................................................... 45

 

Ecuación 4.18 ................................................................................................................................................... 46

 

Ecuación 4.19 ................................................................................................................................................... 56

 

Ecuación 4.20 ................................................................................................................................................... 56

 

Ecuación 4.21 ................................................................................................................................................... 56

 

Ecuación 4.22 ................................................................................................................................................... 59

 

Ecuación 4.23 ................................................................................................................................................... 59

 

Ecuación 4.24 ................................................................................................................................................... 59

 

Ecuación 4.25 ................................................................................................................................................... 60

 

Ecuación 4.26 ................................................................................................................................................... 60

 

 

 

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Metodología para el Diseño Optimizado de Redes de Alcantarillado

 

ICYA4202-201510

 

 

 

Natalia Duque Villarreal 

Tesis II 

 

1  INTRODUCCIÓN 

El diseño de las redes de alcantarillado es un problema complejo que tiene dos componentes 

fundamentales: la topología de la red y el diseño hidráulico. El primer componente define el trazado 
de la red, es decir, el recorrido del agua a través de un camino sobre la red de alcantarillado. Una 
vez definido el trazado de la red, se puede pasar a realizar el diseño hidráulico, en donde se debe 
determinar  el  tamaño  y  posición  de  cada  tubería  de  forma  que  cumplan  con  una  serie  de 
restricciones hidráulicas establecidas por las normas de construcción de cada país.  

El diseño de este tipo de sistemas urbanos, es de vital importancia para la preservación de la 

salud  pública  en  zonas  urbanas.  Sin  embargo,  dados  los  altos  costos  de  construcción,  un  gran 
número de ciudades en el mundo, sobre todo en países en vía de desarrollo, todavía no cuentan con 
un  sistema  de  drenaje  urbano  (redes  de  alcantarillado)  adecuado  ya  que  cuentan  con  bajos 
presupuestos.  Se  sabe  además,  que  la  diferencia  en  costos  de  construcción  de  una  red  de 
alcantarillado, entre dos posibles trazados puede llegar a ser de hasta un 85% (Saldarriaga, et al., 
2014). De acuerdo con lo anterior, es relevante hacer una buena selección tanto del trazado como 
del diseño hidráulico para reducir los costos de construcción de estos sistemas y hacerlos asequibles 
a más ciudades.  

De  acuerdo  con  lo  anterior,  varios  autores  han  implementado  diferentes  metodologías  en 

donde se involucran componentes de optimización para resolver este problema. Algunos ejemplos 
son: Programación Lineal (LP) (Elimam, et al., 1989), Programación No Lineal (NLP) (Dajani, et al., 
1972)  y  Programación  Dinámica  (DP)  (Kulkarni  &  Khanna,  1985).  Otros  autores  implementaron 
aproximaciones heurísticas para el diseño hidráulico de la red, que ofrecían buenos resultados en 
un tiempo computacional mucho menor. Entre las metodologías utilizadas se encuentran Particle 
Swarm  Optimization
 (PSO)  (Izquierdo, et al., 2008),  Cellular Automata  (CA)  (Afshar, et al., 2011), 
Genetic  Algorithms  (GA)  (Afshar,  2012),  Ant  Collony  Optimization  Algorithms  (ACOA)  (Moeini  & 
Afshar, 2012), entre otros. 

Se pretende desarrollar una nueva metodología de diseño de redes de alcantarillado, en donde 

la selección del trazado de la red está basada en un modelo de optimización entera mixto conocido 
en la literatura como Network Design Problem (NDP). En este modelo, el costo del diseño total se 
aproxima utilizando herramientas estadísticas, en donde se ajustan diferentes funciones (lineales) 
para modelar el costo de las diferentes tuberías en la red. Una vez definido el trazado de la red que 
podría  representar  el  diseño  de  menor  costo,  se  pasa  a  realizar  el  diseño  hidráulico  de  la  red 
mediante  una  extensión  de  la  metodología  propuesta  por  Duque  et  al.  (2013).  En  esta  segunda 
etapa, se utiliza una adaptación de un algoritmo de ruta más corta (Ahuja, et al., 1993) sobre un 
grafo que representa el tamaño y posición de cada tubería en la red de alcantarillado. 

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Metodología para el Diseño Optimizado de Redes de Alcantarillado

 

ICYA4202-201510

 

 

 

Natalia Duque Villarreal 

Tesis II 

 

El  resto  del  documento  está  organizado  de  la  siguiente  manera:  la  Sección  2  presenta  la 

descripción de los sistemas de alcantarillado, la Sección 3 define formalmente los dos problemas 
que componen el diseño de redes de alcantarillado: la selección del trazado y el diseño hidráulico 
de la red. Posteriormente, la metodología para el diseño optimizado de redes de alcantarillado en 
la Sección 4, especificando el modelo matemático para la selección del trazado. Finalmente, en la 
Sección 5, se presentan los resultados de la implementación de esta metodología sobre una red de 
17 pozos de inspección. 

 

1.1  Objetivos 

 

1.1.1  Objetivo General 

 

Desarrollar una metodología para la selección del trazado y el diseño hidráulico costo-óptimo 

de  redes  de  alcantarillado,  teniendo  en  cuenta  los  aspectos  hidráulicos  que  aseguran  el 
funcionamiento  adecuado  del  sistema  de  drenaje  urbano,  siguiendo  las  normas  colombianas: 
Reglamento Técnico del Sector de Agua Potable y Saneamiento Básico – RAS (2000). 

 

1.1.2  Objetivos Específicos 

 

 

Realizar  una  búsqueda  bibliográfica  sobre  las  metodologías  que  se  han  utilizado  para  el 
diseño de redes de alcantarillado a nivel mundial. 

 

Modelar la red de alcantarillado como un grafo dirigido, sobre el cual se definirá el sentido 
de flujo y tipo de cada arco, definiendo así el trazado de la red. 

 

Determinar el trazado óptimo de la red de alcantarillado a partir de los datos de entrada. 

 

Establecer una función de costos en función del caudal por tubería, según la cual se defina 
el trazado óptimo. 

 

Una  vez  definido  el  trazado  se  modelará  la  red  de  alcantarillado  como  un  grafo  auxiliar 
dirigido, que representará todas las posibles alternativas de diseño hidráulico. 

 

Establecer la metodología de optimización que se utilizará sobre los grafos, de forma que 
se obtenga una solución exacta, para garantizar el óptimo global. 

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Determinar el diseño hidráulico óptimo  de la red de alcantarillado para caudales de diseño 
dados, definiendo el diámetro y la pendiente de las tuberías. Estos diseños deben cumplir 
con las normas establecidas por el RAS (2000).  

 

Analizar  el  tiempo  computacional  evaluando  la  influencia  de  la  precisión  con  la  que  se 
decide diseñar. 

 

Entregar una herramienta de apoyo que permita realizar el diseño de redes de alcantarillado 
a partir de un conjunto de datos de entrada dados. 

 

1.2  Antecedentes 

 

Teniendo en cuenta que el diseño redes de alcantarillado involucra dos problemas diferentes, 

la definición del trazado y el diseño hidráulico de la red, no es común encontrar metodologías que 
los resuelvan simultáneamente debido a la complejidad del problema. De hecho, las estrategias de 
solución  disponibles  en  la  literatura  proponen  resolver  ambos  problemas  secuencialmente,  sin 
embargo, el problema del diseño hidráulico ha recibido más atención a través de métodos exactos 
y heurísticos. 

 Diferentes autores han propuesto metodologías exactas para resolver el problema del diseño 

hidráulico  de  las  redes.  Haith  (1966)  utilizó  Programación  Dinámica  (PD)  para  obtener  el  diseño 
óptimo  de  una  serie  de  tuberías  considerando  una  sola  línea  (tubería)  dividida  en  diferentes 
secciones, cada una con un caudal de entrada y parámetros de costos constantes. Se toman como 
variables  de  decisión  la  cota  batea  al  final  de  cada  sección  y  su  diámetro.  Sin  embargo,  esta 
metodología tuvo limitaciones computacionales debido a la tecnología en aquel momento. Kulkarni 
y Khanna (1985) también utilizaron una aproximación basada en Programación Dinámica (PD) para 
diseñar  la  red  de  alcantarillado  con  bombeo  por  gravedad  de  mínimo  costo,  utilizando  una 
modificación  de  la  Ecuación  de  Hazen-Williams.  Dada  la  complejidad  y  dimensionamiento  del 
problema,  los  autores  dividieron  el  problema  de  diseño  óptimo  utilizando  el  concepto  de 
agrupaciones  factibles  en  las  uniones  por  rentabilidad  y  eficiencia;  en  consecuencia,  esta 
metodología no puede asegurar el óptimo global. Esta metodología de PD fue dividida en dos partes: 
la primera define las variables de control asociadas con cada enlace y las almacena, y la segunda 
calcula  la  hidráulica  y  los  costos.  La  mayoría  de  las  metodologías  de  PD  sufre  del  problema  de 
dimensionalidad, que las hace difíciles de aplicar en los casos a gran escala. Li y Matthew (1990) 
utilizan  el  modelo  de  programación  no  lineal  (PNL)  para  establecer  los  factores  topográficos  e 
hidráulicos tales como flujo, tamaños y pendientes de  tuberías. En esta metodología los autores 
dividen  el  problema  en  dos  etapas.  La  primera  corresponde  a  la  optimización  de  los  tamaños  y 
pendientes de tuberías y la ubicación de las estaciones de bombeo de un diseño. El segundo deja 

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todas las variables constantes excepto la tasa de flujo, buscando tuberías donde el flujo necesita ser 
modificado para disminuir el valor de función objetivo que depende de la velocidad del flujo, la cota 
corona de  las tuberías y la ubicación de  las estaciones  de  bombeo; por medio de  una búsqueda 
dirigida utilizando el algoritmo de ruta más corta de Dijkstra. Más recientemente Swamee y Sharma 
(2013) utilizan programación lineal (LP) para obtener el diseño óptimo de una serie de tuberías, sin 
necesidad  de  linealizar  la  función  objetivo  ni  las  restricciones,  ya  que  se  fijan  las  longitudes  y 
diámetros  de  cada  sección,  a  partir  de  los  diámetros  comerciales  disponibles.  Este  problema  se 
resuelve utilizando el método Simplex. 

Así  mismo,  algunos  enfoques  heurísticos  han  sido  aplicados  a  este  problema  de  diseño 

hidráulico. Holland (1966) utiliza una rutina de optimización general para el diseño de una red de 
alcantarillado con un trazado dado. Esta rutina de optimización realiza una búsqueda al azar que 
funciona con diámetros continuos que se redondean al siguiente diámetro comercial, poniendo en 
peligro la optimalidad de la solución del problema. Elimam et  al (1989) utiliza una aproximación 
heurística basada en Programación Lineal (PL) para el diseño de redes de alcantarillado utilizando 
una linealización a  trozos de  los términos no lineales  tales como el costo y algunas restricciones 
hidráulicas.  Como resultado,  se obtienen diámetros continuos que son  redondeados  al diámetro 
comercial más cercano disponible, que satisface todas las restricciones hidráulicas. El método más 
popular utilizado por varios autores son los Algoritmos Genéticos (AG). Haghighi A. y Bakhshipuor 
A.E. (2012) y Palumbo A. et al (2014) utilizan un AG estándar para el diseño de redes de drenaje 
urbano,  decidiendo  sobre  el  tamaño  de  las  tuberías  y  las  cotas  del  terreno.  También  se  han 
combinado diferentes metodologías con los AG como Cisty M. (2010) que propone un híbrido entre 
AG y PL; Pan y Kao (2009) combinan los AG con Programación Cuadrática (PC) y Haghighi A., Samani 
H. y Samani Z. (2011) usa AG con Programación Entero (PE) aplicada en redes de distribución de 
agua. AFSHAR (2012) desarrolló un AG de renacimiento que lleva a cabo un primer diseño rápido 
usando  un  AG estándar,  posteriormente  reduce  el  espacio  de  solución  alrededor  de  las mejores 
soluciones  obtenidas  y  luego  crea  una  nueva  población  que  se  evalúa  en  el  nuevo  espacio  de 
solución, obteniendo soluciones cercanas a la óptima en un menor tiempo. Esta metodología reduce 
la sensibilidad de los AG al número de individuos de la población. Sanchez A., Medina N., Vojinovic 
Z.  y  Price  R.  (2014)  utilizan  el  algoritmo  evolucionario,  Algoritmo  Genético  de  Clasificación  No 
Ordenada-II  (NSGA  II)  junto  con  el  programa  SWWM  para  el  diseño  de  las  tuberías  para  futuras 
expansiones de una red de alcantarillado existente. Este algoritmo multiobjetivo elige como la mejor 
solución, aquella con el diseño más barato y que no genera inundaciones. Se han utilizado otras 
metodologías  heurísticas  para  el  diseño  de  sistemas  de  alcantarillado  como  el  Algoritmo  de  la 
Colonia de Hormigas (ACOA) (Afshar, 2010; Moeini y Afshar, 2012); Recocido Simulado (SA) (Sousa 
J., A. Ribeiro, Cunha M. C. y A. Antunes, 2002; Yen y Chu, 2011); Búsqueda Tabú (TS) (Yen y Chu, 
2011; Haghighi y Bakhshipour, 2014). 

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 En este trabajo se propone una metodología exacta para encontrar el diseño de costo óptimo 

de  una  red  de  alcantarillado  utilizando  un  método  basado  en  Programación  Dinámica  DP  y 
Programación Entera Mixta (PEM). Los problemas del trazado y el diseño hidráulico son resueltos 
secuencialmente, utilizando un grafo que representa el problema de la selección del trazado y un 
grafo auxiliar sobre el cual se resuelve el problema del diseño hidráulico de la red. 

 

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2  MARCO TEÓRICO 

2.1  Redes de drenaje urbano  

 

Las redes de drenaje urbano son obras civiles necesarias dentro del desarrollo de zonas urbanas 

debido a la constante interacción entre el hombre y el ciclo natural del agua. Dicha interacción se 
presenta por la necesidad del hombre de abastecerse de agua para su consumo y por el proceso de 
urbanización que desvía los sistemas de drenaje naturales originales. De estas dos actividades se 
producen  aguas  residuales  y  pluviales  que  deben  ser  canalizadas  y  tratadas.  EL  propósito  de  las 
redes de drenaje urbano es minimizar posibles problemas causados a seres humanos o al ambiente 
(Butler & Davies, 2011).  

La  Figura  2.1  muestra  las  interacciones  del  sistema  de  drenaje  urbano  con  la  población  y  el 

medio ambiente. En este sentido, el propósito de las redes de drenaje urbano se traduce en evitar 
problemas de inundación y reducir los problemas de contaminación que se generan al no evacuar 
las aguas residuales y pluviales de una población. 

 

 

Figura 2.1 Interacciones del Sistema de Drenaje Urbano. Tomado y Modificado de Butler & Davies (2011). 

 

2.1.1  Efectos de la urbanización 

 

El  crecimiento  poblacional  acelerado,  que  se  ha venido  experimentando  en el mundo  desde 

principios  del  siglo  XX,  ha  generado  un  aumento  significativo  en  la  densidad  de  viviendas  y  el 
movimiento de la gente de zonas rurales a zonas urbanas. La afluencia de personas en las zonas 
urbanas exige la realización de obras civiles para facilitar las actividades que allí se desenvuelven y 
suplir las necesidades de la gente. La pavimentación de las vías y la construcción de edificios hacen 
parte de dicho proceso de urbanización, donde la impermeabilización del suelo impide la infiltración 
del agua lluvia (Muth, et al., 2010).  

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Figura 2.2 Efectos de la urbanización. Tomado de Muth, Brinson, & Bernhar (2010). 

 

La  Figura  2.2  presenta  la  relación  entre  la  impermeabilización  del  suelo  y  la  escorrentía

1

 

superficial. Como se observa, la impermeabilización del suelo aumenta la escorrentía superficial y 
disminuye las infiltraciones y la evaporación del agua, lo que afecta el ciclo hidrológico normal. Esto 
genera acumulación de aguas lluvias que pueden generar problemas de control de inundaciones. 
Además, existe la necesidad de evacuar las aguas residuales domésticas, comerciales o industriales 
para prevenir problemas de salud pública y contaminación ambiental.  

 

2.1.2  Componentes de las redes de drenaje urbano 

 

Para recolectar y transportar las aguas residuales y pluviales, desde donde se origina la descarga 

hasta  el  sitio  donde  se  va  a  depositar  y  tratar  el  agua,  se  necesita  un  sistema  completamente 

                                                           

1

  Escorrentía:  Lámina  de  agua  que  corre  por  la  superficie  de  una  cuenca  de  drenaje.  En  áreas  urbanas  la 

escorrentía se da sobre zonas impermeables. 

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artificial de alcantarillado. Esto quiere decir que las redes están compuestas por componentes de 
captación, de conducción, de inspección y conexión, de regulación y alivio y de bombeo (Saldarriaga, 
2013).  

 

2.1.2.1  Estructuras de captación 

 

El  principal  componente  de  captación  de  agua  lluvia  es  el  agua superficial  que  cae  en  zonas 

impermeables. Las estructuras que recolectan las aguas pluviales y residuales son: 

 

Sumideros: estructuras para la captación de la escorrentía superficial que se drena a través 
de las calles. Estas pueden ser diseñadas en forma lateral o transversal al sentido del flujo, 
y se localizan en las vías vehiculares o peatonales del proyecto (RAS, 2000).  

 

Canaletas  y  bajantes: Estructuras  complementarias de  captación  que  ayudan a  drenar el 
agua  desde  los  techos  hasta  el  sistema  de  alcantarillado  o  a  la  calle,  donde  se  colocan 
sumideros. 

En el caso de las aguas residuales la captación se realiza directamente. Las aguas residuales se 

clasifican de acuerdo con su procedencia: domésticas o no domésticas (comerciales o industriales) 
(Butler  &  Davies,  2011).  En  ambos  casos  el  agua  es  conducida  directamente  desde  el  punto  de 
descarga hasta la red de alcantarillado, por medio de tuberías. 

 

2.1.2.2  Estructuras de conducción 

 

Los componentes de conducción corresponden a las tuberías que se encargan de transportar el 

agua a lo largo y ancho de la red de drenaje urbano. Estas conforman el mayor porcentaje de área 
de la red y son su componente principal.  

 

2.1.2.3  Estructuras de inspección y conexión 

 

Los componentes de inspección y conexión de colectores corresponden a: 

 

Pozos de inspección: Estructuras hidráulicas con tapa removible, que permiten el acceso a 
la red de alcantarillado, para el mantenimiento e inspección de la misma. Estas estructuras 
son utilizadas cuando se debe cambiar la dirección del flujo, cambiar la pendiente, cambiar 

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el  diámetro  de  las  tuberías,  realizar  conexiones  con otros  ramales,  asegurar  aireación  al 
alcantarillado o cada 90 m. 
 

 

Pozos de caída: Estructuras diseñadas para dirigir el flujo que entra a un pozo de inspección 
con  mucha  energía,  de  forma  que  se  pueda  disipar  gran  cantidad  de  su  energía  para 
proteger la infraestructura de la red contra impactos del flujo sobre las paredes.  
 

2.1.2.4  Estructuras de regulación y alivio 

 

Para el buen funcionamiento del sistema se necesitan los componentes de regulación y alivio, 

que corresponden a:  

 

Sifones invertidos: Estructuras en forma de U dispuestas entre  dos pozos en caso que el 
sistema  de  alcantarillado  requiera  atravesar  un  cuerpo  de  agua  o  se  quiera  evitar  la 
interferencia del trazado de la red con otros servicios públicos. Estos sifones trabajan como 
tuberías a presión.  
 

 

Sistemas de almacenamiento temporal: Tanques subterráneos para retener el agua con el 
objetivo  de  disminuir  los  picos  de  caudal  a  fin    de  evitar  la  evacuación  rápida  de  los 
contaminantes desde el sistema hacia al cuerpo receptor, en un evento de precipitación. 
Sin embargo, el tiempo de retención no debe ser muy grande puesto que puede ocasionar 
problemas de olores.  
 

 

Aliviaderos: Estructuras que permiten la salida de cierto volumen del agua que viaja por el 
alcantarillado, cuando se presenta un evento extremo de precipitación.  
 

 

Canales abiertos: Estructuras de conducción de escorrentía pluvial, diseñados para manejar 
velocidades mínimas que eviten la sedimentación de sólidos arrastrados por el agua lluvia y 
velocidades máximas que evitan daños en la estructura por erosión, cuyo valor depende del 
material de la misma.  
 

 

Estructuras  de  disipación  de  energía:  Estructuras  que  reducen  la  velocidad  del  flujo 
generando un cambio de régimen de supercrítico a subcrítico, permitiendo entregar el agua 
con un nivel de energía bajo. Esto ayuda a minimizar el riesgo de socavación o erosión en 
los  puntos  de  descarga  del  sistema  de  alcantarillado  (Planta  de  tratamiento  o  cuerpo 
receptor). 

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2.1.2.5  Estructuras de bombeo 

 

Finalmente, los componentes de bombeo son necesarios cuando la energía hidráulica en una 

zona  es  demasiado  baja  para  que  las    aguas  residuales  sean  evacuadas  por  gravedad  y  necesite 
bombearse.  En otras  palabras,  se  requiere  bombeo cuando  se  deba  elevar  la  línea  de  gradiente 
hidráulico para vencer una diferencia de alturas topográficas y el flujo por gravedad no lo permita.  

 

2.1.3  Fallas en redes de drenaje urbano  

 

El diseño de las redes de drenaje urbano debe cumplir con ciertos requerimientos  de forma que 

se tenga una buena operación del sistema y se eviten fallas que puedan llegar a generar problemas 
de salud pública, problemas ambientales o daños en la infraestructura de la misma. Los tipos de 
fallas más comunes son (López, 2012):  

 

Fallas estructurales: Se pueden presentar por problemas de corrosión

2

 o cargas aplicadas 

que  pueden  agrietar  o  ahuecar  las  tuberías,  causando  una  pérdida  en  la  capacidad 
hidráulica

3

  y  el  aumento  de  infiltraciones  y  exfiltraciones.  Este  tipo  de  falla  se  puede 

observar en la Figura 2.3 (a). 
 

 

Sedimentación  de  partículas  sólidas:  La  sedimentación  se  refiere  a  la  acumulación  de 
partículas en el fondo de las tuberías, causando pérdidas en la capacidad hidráulica de la 
red. Pueden ser de tipo sanitario, superficial o de alcantarillado. Las sanitarias corresponden 
a las partículas finas de materia orgánica o fecal, papel y material vegetal, que recoge la red; 
la sedimentación superficial se refiere a las partículas que entran a la red arrastradas por 
aguas  superficiales,  como  material  vegetal  o  basura  en  general  y  finalmente  la 
sedimentación de alcantarillado hace referencia a la sedimentación de las partículas propias 
del sistema o sus áreas circundantes. Este tipo de falla se puede observar en la Figura 2.3 
(b). 
 

                                                           

2

 Corrosión: cualquier proceso, involuntario, que sea químico, físico, biológico o eléctrico cómo la oxidación 

de  los  metales,  agentes  electroquímicos,  descargas  industriales,  agua  subterránea  con  alto  contenido  de 
sulfato,  erosión  y  agentes  microbiológicos,  que  implique  deterioro,  degradación  o  destrucción  de  los 
componentes del sistema de recolección de agua y que sea debido a la operación natural del mismo  (ASCE, 
2007). 

3

 Capacidad Hidráulica: Caudal máximo que puede transportar una tubería. 

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11 

 

 

Sobrecargas:  Se  da  al  sobrepasar  una  relación  de  llenado

4

  del  80%  que  genera  una 

desaceleración del flujo y aumento de la profundidad hasta alcanzar una relación de llenado 
del  94%  donde  la  tubería  lleva  el  máximo  caudal  posible.  De  seguir  aumentando  la 
profundidad del agua la tubería se presuriza, a lo que se denomina sobrecarga. Este tipo de 
falla  es  el  más  importante  de  controlar  para  prevenir  inundaciones,  ya  que  el agua  está 
altamente contaminada y puede generar grandes problemas de salud pública y ambiental. 
Este tipo de falla se puede observar en la Figura 2.3 (c). 
 

 

(a) 

(b) 

(c) 

Figura 2.3 Fallas en redes de drenaje urbano. 

 

2.2  Sistema integrado de drenaje urbano 

 

Actualmente  se  sabe  que  el  crecimiento  de  las  zonas  urbanas  y  la  densidad  poblacional  es 

inevitable. Por lo mismo, se deben diseñar las ciudades para que estén en la capacidad de resistir la 
demanda del futuro. Esto sin duda aumenta la cantidad y la contaminación del agua a tratar, lo que 
se traduce en la necesidad de construir plantas de tratamiento de aguas residuales (PTAR). Las PTAR, 
tienen como fin descontaminar el agua, captada y transportada por las redes de alcantarillado, antes 
de depositarla en el cuerpo receptor. Esto se requiere cuando la capacidad de autodepuración

5

 del 

cuerpo receptor es muy baja o los niveles de contaminación del agua son muy altos (Saldarriaga, 
2013). 

Se entiende entonces, como Sistema Integrado de Drenaje Urbano al conjunto conformado por 

las redes de drenaje urbano (alcantarillado), la planta de tratamiento de aguas residuales (PTAR) y 
el cuerpo receptor, como una unidad. Este concepto tiene en cuenta la cantidad y calidad del agua 

                                                           

4

 Relación de Llenado: Relación entre la profundidad del flujo en la tubería con respecto al diámetro interno 

de la misma. 

5

  Autodepuración:  es  el  proceso  de  recuperación  de  un  curso  de  agua  después  de  un  episodio  de 

contaminación orgánica. 

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en  cada  uno  de  los  componentes  del  sistema.  El  papel  del  alcantarillado  es  recolectar  las  aguas 
residuales  y  lluvias,  y  transportarlas  hacia  la  PTAR.  La  red  de  alcantarillado  debe  asegurar 
hermeticidad  en  las  redes,  minimizando  infiltraciones  y  exfiltraciones,  además  de  lograr  algún 
tratamiento preliminar, controlando la cantidad y la calidad del agua residual que  llega al tramo 
(interceptor) aguas arriba de dichas plantas (RAS, 2000). A continuación se muestra un esquema del 
sistema integrado de drenaje urbano en la Figura 2.4. 

 

 

Figura 2.4 Sistema Integrado de Drenaje Urbano. 

 

La PTAR es necesaria, siempre que la capacidad de autodepuración del cuerpo receptor no sea 

lo suficientemente alta para que este se recupere de la contaminación de la descarga que recibe. La 
PTAR se encarga de entregar una descarga que cumpla con ciertos parámetros de calidad que se 
establecen de acuerdo con la capacidad de autodepuración del cuerpo receptor y al uso que se le 
dará al agua aguas abajo.  

 

2.3  Generalidades sobre el diseño hidráulico de los sistemas de 

alcantarillado 

 

2.3.1  Supuestos del diseño  

 

A la hora de diseñar se debe suponer un tipo de flujo que describa la hidráulica. Es decir, que 

establezca cómo es el comportamiento hidráulico de un flujo en espacio y tiempo.  Dado que se está 

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tratando con agua, por lo que el primer supuesto de diseño considera un fluido incompresible, lo 
que quiere decir que su densidad es constante. También, se tiene una suposición del tipo de flujo. 

Las condiciones de flujo se clasifican según su variación en espacio y tiempo.  La variación del 

flujo en el espacio puede ser uniforme o variable. Así mismo, las características del flujo pueden ser 
constantes en el tiempo formando un flujo permanente o pueden ser variables (no permanente). 
Se  forman  entonces,  cuatro  tipos  de  flujo  como  se  muestra  en  la  Tabla  2.1.  Sin  embargo,  es 
imposible que el flujo variado no permanente se de en la naturaleza, dejando sólo tres tipos de flujo 
(Saldarriaga, 2013). 

Tabla 2.1 Tipos de flujo 

Espacio\Tiempo  Flujo Permanente 

Flujo No-Permanente 

Flujo Uniforme 

Flujo Uniforme  

Flujo Uniforme- No Permanente 

Flujo Variable 

Flujo Variado-Permanente 

Flujo Variado- No Permanente 

 

En  el  caso  del  flujo  en  tuberías  de  alcantarillado  se  considera  que  el  flujo  mantiene  sus 

características en tiempo y espacio, es decir que se considera un Flujo Uniforme (Flujo Uniforme - 
Permanente).  

Este  tipo de  flujo se  da gracias a que  las fuerzas gravitacionales, las fuerzas de presión y las 

fuerzas viscosas están  en equilibrio;  las  gravitacionales  aceleran  el  flujo  y  las  viscosas  le oponen 
resistencia.  Analizando  un  canal  abierto  en  dos  puntos,  se  puede  observar  cómo  la  altura  de  la 
lámina  de  agua  (altura  por  presión  hidrostática)  𝑦,  la  altura  por  velocidad  v

2

/2𝑔  y  demás 

propiedades geométricas e hidráulicas permanecen constantes a lo largo del canal. De ahí que, la 
pendiente 𝑠

𝑓

 de Línea de Energía Total (LET), la pendiente 𝑠

𝑤

 de Línea de Gradiente Hidráulico agua 

(LGH)  y  pendiente  𝑠

𝑜

  del  fondo  del  canal  son  la  misma  (𝑠 = 𝑠

𝑓

= 𝑠

𝑤

= 𝑠

0

),  es  decir  que  son 

paralelas. Por lo tanto, las pérdidas por fricción serán constantes en toda la longitud de la tubería 
(Saldarriaga, 2007). 

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Figura 2.5 Flujo uniforme en canales abiertos. Tomado y modificado de Salcedo (2012). 

 

2.3.2  Ecuaciones de diseño  

 

En sistemas de alcantarillado las tuberías trabajan bajo la condición de flujo libre por gravedad, 

debido a que las tuberías deben ir fluyendo parcialmente llenas. Este tipo de flujo es un caso especial 
del flujo en canales abiertos, por lo cual aplican las mismas teorías (Butler & Davies, 2011). En este 
caso se manejan secciones transversales circulares como la que se muestra en la Figura 2.6. 

 

Figura 2.6 Sección transversal de tubería fluyendo parcialmente llena. Tomada de Salcedo (2012). 

 

De acuerdo con lo anterior, las ecuaciones de diseño se modifican en función de la profundidad 

de llenado 𝑦 y el diámetro de la tubería 𝑑, que forman un ángulo 𝜃 a partir del cual se calcula el 
resto de las propiedades geométricas descritas en la Tabla 2.2.  

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Tabla 2.2 Resumen de propiedades geométricas del alcantarillado. Tomado y adaptado de Butler & Davies (2011) y 

Salcedo (2012). 

Propiedad 

Geométrica 

Símbolo 

Descripción 

Unidades 

(SI) 

Profundidad de flujo 

𝑦

𝑛

 

Altura del agua por encima de la cota de 

batea. 

[m] 

Ángulo 

𝜃 

Ángulo formado en el centro de la tubería 

por la superficie libre. 

[rad] 

Área Mojada 

𝐴 

Área mojada de la sección transversal. 

[m

2

Perímetro Mojado 

𝑃 

Porción del perímetro del flujo que está 

en contacto con el canal. 

[m] 

Radio Hidráulico 

𝑅 

Área por unidad de perímetro. 

[m] 

Ancho de la 

Superficie 

𝑇 

Ancho del flujo en la superficie libre del 

agua. 

[m] 

Profundidad 

Hidráulica 

𝐷 

Área por unidad de ancho en la 

superficie. 

[m] 

Cota de Batea 

𝑎 

El punto más bajo de la sección 

transversal de la tubería. 

[m] 

Cota Clave 

𝑏 

El punto más alto de la sección 

transversal de la tubería. 

[m] 

 

Las  expresiones  que  describen  los  elementos  geométricos  para  una  tubería  fluyendo 

parcialmente llena, se exponen a continuación (Saldarriaga, 2013). 

 

Ángulo  

𝜃 = 𝜋 + 2 sin

−1

(

𝑦

𝑛

− 𝑑/2

𝑑/2

Ecuación 2.1 

 

 

Área Mojada 

𝐴 =

1
8

(𝜃 − sin 𝜃)𝑑

2

 

Ecuación 2.2 

 

 

Perímetro Mojado  

𝑃 =

𝑑
2

𝜃 

Ecuación 2.3 

 

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Radio Hidráulico 

𝑅 =

𝐴
𝑃

=

1
4

(𝜃 − sin 𝜃)𝑑 

Ecuación 2.4 

 

 

Ancho de la Superficie 

𝑇 = 𝑑 cos (sin

−1

(

𝑦

𝑛

− 𝑑/2

𝑑/2

)) 

Ecuación 2.5 

 

 

Profundidad Hidráulica 

𝐷 =

𝐴
𝑇

=

(𝜃 − sin 𝜃)𝑑

8 cos (sin

−1

(

𝑦

𝑛

− 𝑑/2

𝑑/2 ))

 

Ecuación 2.6 

 

A continuación se presentan algunas propiedades hidráulicas relacionadas con las propiedades 

geométricas. 

 

Número de Froude 

𝐹𝑟 =

v

√𝑔𝐷

 

Ecuación 2.7 

 

 

Número de Reynolds 

𝑅𝑒 =

4𝑄𝜌

𝜋𝑑𝜇

 

Ecuación 2.8 

 

 

Esfuerzo cortante en la pared 

𝜏

0

= 𝜌𝑔𝑅𝑠 

Ecuación 2.9 

donde: 

𝜌:  

Densidad del fluido (agua). 

𝑔 ∶ 

La aceleración de la gravedad. 

𝑅 ∶ 

Radio hidráulico. 

𝑠 ∶ 

Pendiente de diseño. 

 

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17 

 

Además de estas propiedades hidráulicas también se debe calcular la velocidad del flujo que si 

bien es función del radio hidráulico 𝑅 y la pendiente 𝑠, se puede calcular de dos formas. La primera 
es la Ecuación de Manning, propuesta en 1889 por Robert Manning. Esta ecuación es empírica y fue 
deducida a partir de los experimentos realizados por Darcy y Bazin en 1865 sobre canales reales 
abiertos fluyendo bajo la condición de flujo uniforme. Estás condiciones implican que la Ecuación 
de  Manning  sólo  es  aplicable  para  el  caso  de  flujo  uniforme  turbulento  hidráulicamente  rugoso 
(Saldarriaga, 2013). La Ecuación de Manning para el cálculo de la velocidad entonces es: 

v =

1
𝑛

𝑅

2/3

𝑠

1/2

 

Ecuación 2.10 

 

donde 𝑛 es una constante que se calcula en función a la rugosidad absoluta (conocida como 𝑛 de 
Manning) y se supone uniforme a lo largo del canal. Estudios posteriores de la Asociación Americana 
de  Ingenieros  Civiles  (ASCE  por  sus  siglas  en  inglés)  establecieron  valores  constantes  del  𝑛  de 
Manning  para  diferentes  materiales  de  la  tubería,  encontrando  así  un  rango  de  valores  de  𝑛 
partiendo de un caudal y una sección transversal dados. Sin embargo, el uso de esta ecuación en la 
actualidad es inapropiado ya que los materiales modernos, como el PVC o el GRP, son muy lisos e 
invalidan la suposición de Flujo Turbulento Hidráulicamente Rugoso (Saldarriaga, 2013).  

La segunda forma de calcular la velocidad es a partir de una ecuación físicamente basada. La 

Ecuación de Chézy describe la velocidad bajo la condición de flujo uniforme y está dada por: 

v = 𝐶√𝑅𝑠 

Ecuación 2.11 

 

donde 𝑅 es el radio hidráulico de la tubería, 𝑠 la pendiente de la misma y 𝐶 es el coeficiente de 
Chézy

6

. Dicho coeficiente es un factor que describe la rugosidad del canal por el cual fluye el agua. 

Ahora bien, se deben tener en cuenta las pérdidas de energía por fricción que representan las 

pérdidas  de  presión  por  unidad  de  longitud.  Estás,  según  los  experimentos  de  Reynolds  (1884), 
varían  linealmente  con  respecto  a  la  velocidad  del  flujo  cuando  el  flujo  es  laminar  o  turbulento 
(Saldarriaga,  2007).  Las  pérdidas  por  fricción  se  calculan  según  la  ecuación  físicamente  basada, 
planteada por  Darcy-Weisbach, mostrada a continuación. 

 

Pérdidas por Fricción (Darcy-Weisbach) 

𝑓

= 𝑓

𝑙

𝑑

v

2

2𝑔

 

Ecuación 2.12

 

                                                           

6

 Saldarriaga, J. (2007). Hidráulica de tuberías: abastecimiento de agua, redes, riegos. Bogotá: Alfaomega. 

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18 

 

 

Combinando la Ecuación de Chézy con la Ecuación físicamente basada de Darcy-Weisbach, se 

obtiene la siguiente relación (Salcedo, 2012): 

 

Relación entre el 𝐶 de Chézy y las pérdidas por fricción 

𝐶 = √

8𝑔

𝑓

 

Ecuación 2.13 

 

donde 𝑓 es el factor de fricción descrito por la Ecuación de Colebrook-White.  

 

Factor de fricción (Colebrook-White) 

1

√𝑓

= −2 log

10

(

𝑘

𝑠

14.8𝑅

+

2.51

𝑅𝑒√𝑓

Ecuación 2.14

 

 

Reemplazando la Ecuación 2.13 en la Ecuación 2.14, se obtiene coeficiente 𝐶 en términos del 

rádio hidráulico de la tubería 𝑅, la rugosidad absoluta de  la tubería 𝑘

𝑠

  y el número de Reynolds 

descrito  en  la  Ecuación  2.8.  Posteriormente,  se  reemplaza  la  ecuación  de  velocidad  de  Chézy 
(Ecuación  2.11),  en  esta  última  para  obtener  así  la  velocidad  en  función  de  las  propiedades 
mencionadas, como se muestra en la Ecuación 2.15. 

 

Ecuación de Darcy-Weisbach en conjunto con Colebrook-White 

v = −2 √8𝑔𝑅𝑠 log

10

(

𝑘

𝑠

14.8𝑅

+

2.51𝜈

4𝑅√8𝑔𝑅𝑠

Ecuación 2.15 

 

Las ventajas de utilizar la Ecuación 2.15 para el cálculo de la velocidad son: primero, que es una 

ecuación explícita por lo cual su cálculo no requiere de métodos numéricos; en segundo lugar, que 
es físicamente basada y por lo mismo es la que mejor describe la resistencia fluida (Salcedo, 2012). 
Además, esta ecuación es válida para cualquier tipo de flujo, abarcando desde el Flujo Turbulento 
Hidráulicamente Liso FTHL hasta el Flujo Turbulento Hidráulicamente Rugoso FTHR. Gracias a que 
funciona  para  cualquier  valor  de  𝑘

𝑠

  y  cualquier  fluido  newtoniano,  esta  ecuación  tiene  mayor 

aplicación hoy en día que la Ecuación de Manning (Saldarriaga, 2013). 

 

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19 

 

2.3.3  Restricciones de diseño  

 

2.3.3.1  Restricciones hidráulicas  

 

Las  restricciones  hidráulicas  buscan  garantizar  que  el  diseño  de  las  redes  de  alcantarillado 

cumpla  con  la  capacidad  de  demanda  y  aseguren  un  proceso  de  auto-limpieza  de  la  red.  A 
continuación  se  mencionan  las  restricciones  hidráulicas  para  redes  de  drenaje  urbano  de  aguas 
residuales y para redes de drenaje urbano pluvial y combinado (residual y pluvial) (RAS, 2000). 

1.  Diámetro mínimo  

En sistemas de alcantarillado de aguas residuales el diámetro interno mínimo de las tuberías 
debe ser de 170 mm, para evitar la obstrucción del sistema por objetos de gran tamaño que 
logren entrar al sistema. En el caso de las redes de aguas lluvias el diámetro mínimo es de 
250 mm puesto que se corre mayor riesgo de que entren objetos al sistema arrastrados por 
el agua superficial (Saldarriaga, 2013). Para este proyecto se utilizó un diámetro mínimo de 
200 mm establecido por el RAS (2000). 

2.  Relación de llenado máxima 

Esta relación de llenado máxima se establece con el fin de evitar problemas de sobrecarga 
del sistema y asegurar la aireación del mismo para evitar problemas ambientales. A partir 
de  esta  se  establecen  las  profundidades  máximas  del  flujo  de  acuerdo  con  el  diámetro 
interno  de  la  tubería.  La  máxima  relación  de  llenado  entonces  corresponde  al  85%.  Sin 
embargo, para las tuberías con diámetros menores a 600 mm la relación de llenado máxima 
es del 70%. Adicionalmente, se recomienda establecer una relación de llenado máxima del 
80% siempre que se presente flujo cuasi-crítico, i.e, que el número de Froude 𝐹𝑟 esté entre 
0.7 y 1.5, donde una pequeña alteración en la energía específica del flujo causa variaciones 
bruscas  en  la  profundidad  de  la  lámina  de  agua,  lo  que  puede  generar  problemas  de 
sobrecarga (Copete, 2012). 

Para el caso de este proyecto, se manejaron relaciones de llenado máximas del 70% para 
tuberías de diámetros menores a 500 mm o para cuando se presente flujo cuasi-crítico, 80% 
para  tuberías  con  diámetros  entre  500  y  1000  mm  y  85%  para  tuberías  con  diámetros 
mayores a 1000 mm. Esto, con el fin de hacer comparable los resultados de este proyecto 
con los resultados obtenidos utilizando la metodología propuesta por el CIACUA. 

 

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3.  Velocidad mínima  

La  velocidad  mínima  busca  evitar  problemas  de  sedimentación  y/o  acumulación  de 
partículas  sólidas  dentro  de  las  tuberías.  De  esta  forma  se  evita  la  obstrucción  de  las 
tuberías,  lo  que  podría  causar  problemas  de  sobrecarga  de  la  misma.  Para  tuberías  de 
alcantarillado  el  RAS  (2000)  sugiere  una  velocidad  mínima  de  0.75  m/s  para  diámetros 
menores a 450 mm. 

4.  Esfuerzo cortante mínimo 

El esfuerzo cortante en el fondo de una tubería de alcantarillado de aguas residuales debe 
ser  igual  o mayor  que  2 Pa en tuberías  de  diámetros mayores  o  iguales  a 450  mm,  para 
asegurar  un  proceso  de  auto-limpieza.  En  el  caso  de  alcantarillados  de  aguas  lluvias  el 
esfuerzo cortante debe ser mayor o igual a 3 Pa en tuberías de diámetros mayores o iguales 
a 450 mm (RAS, 2000). 

5.  Velocidad máxima  

La velocidad máxima se establece con el fin de evitar problemas de erosión en las tuberías, 
problemas  de  cavitación

7

,  entrampamiento  de  aire,  generación  de  resaltos  hidráulicos 

dentro de la red, entre otros. El RAS 2000 recomienda que la velocidad máxima sea de 5 
m/s y para tuberías termoplásticas (PVC) de 10 m/s.      

6.  Pendiente máxima y mínima  

Las  pendientes  pueden  variar  en  un  rango  en  el  cual  se  cumplen  las  restricciones  de 
velocidad mínima y máxima. En este sentido, el valor mínimo para la pendiente debe ser 
aquel  para  el  cual  el  flujo  alcanza  la  velocidad  mínima  y  cumple  con  la  restricción  del 
esfuerzo cortante mínimo. Así mismo, la pendiente máxima será aquella para la cual el flujo 
alcanza la velocidad máxima. 

7.  Profundidad a cota clave de la tubería.  

La profundidad mínima a cota clave de la tubería debe ser tal se asegure la protección de 
las tuberías y que las descargas domiciliarias sin sótano puedan ser drenadas por gravedad. 
Así mismo, se establece una profundidad máxima por razones constructivas y para limitar 

                                                           

7

 Cavitación: Fenómeno en el cual el agua en estado líquido pasa a estado gaseoso (vapor de agua) a raíz de 

una disminución de la presión y posterior mente estas burbujas de vapor vuelven a pasar a estado líquido 
repentinamente y con presiones muy altas que generan daños en la infraestructura de la red  (Saldarriaga, 
2011) 

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las cargas que deberá soportar la tubería. Estos límites de excavación se presentan  en la 
Tabla 2.3. 

Tabla 2.3 Límites de la profundidad a cota clave de la tubería. 

Tipo de Vía 

𝒉

𝒎𝒊𝒏

 (𝒎) 

𝒉

𝒎𝒂𝒙

 (𝒎) 

Peatonal o Zona Verde 

0.7 

5.0 

Vehicular 

1.2 

5.0 

 

La  Tabla  2.4  resume  las  restricciones  hidráulicas  utilizadas  para  el  diseño  de  tuberías  en 

sistemas de alcantarillado. 

Tabla 2.4 Resumen de restricciones hidráulicas de diseño. Tomado y modificado de Butler & Davies (2011). 

Restricción 

Valor 

Condición 

Diámetro nominal mínimo 

200 mm 

Siempre 

Relación de llenado máxima 

0.7 

𝑑 ≤ 600 mm 

0.8 

0.7 ≤ 𝐹𝑟 ≤ 1.5 

0.85 

Siempre 

Velocidad mínima 

0.75 m/s 

𝑑 < 450 mm 

Velocidad máxima 

5 m/s 

𝑘

𝑠

 > 0.0001 

10 m/s 

𝑘

𝑠

 < 0.0001 

5

 

Mínimo esfuerzo de cortante

 

2 Pa

 

𝑑 ≥ 450 mm

 

Pendiente mínima 

Aquella que cumple la velocidad mínima y el esfuerzo 

de cortante mínimo. 

Pendiente máxima 

Aquella para la que se obtiene la velocidad máxima 

real. 

 

2.3.3.2  Restricciones comerciales  

 

El  diámetro  asignado a  cada  tubería  del  sistema  de alcantarillado,  sólo  puede tomar valores 

discretos  que  pertenecen  al  conjunto  de  diámetros  comercialmente  disponibles  (PAVCO,  2013). 
Para este proyecto se utilizó la siguiente lista de diámetros comerciales. 

 

Tabla 2.5 Lista de diámetros comerciales 

Diámetros 

Pequeños (m) 

0.200 

0.250 

0.300 

0.350 

0.400 

0.450 

0.500 

Diámetros 

Grandes (m) 

0.600 

0.675 

0.750 

0.825 

0.900 

1.000 

1.100 

 

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2.3.4  Función de costos  

 

Con  base  en  un  estudio  realizado  por  el  Trenchless  Technology  Center  de  Louisiana  Tech 

University,  De  Oro  Vergara  (2008)  propuso  una  ecuación  para  analizar  los  costos  asociados  con 
sistemas de alcantarillado.  Dicha ecuación presenta los costos como una función del diámetro de 
la tubería y la profundidad a la que se instale la misma. 

 

𝐶 = 693.62 ∗ 𝑑

1.088

∗ 𝐻

0.303

 

Ecuación 2.16 

donde: 

𝐶:  

Costo por metro lineal de tubería [COP/m]. 

𝑑: 

Diámetro de la tubería en milímetros [mm]. 

𝐻:  

Profundidad de la Instalación en metros [m]. 

 

Posteriormente, esta ecuación fue ajustada de acuerdo con información de las bases de datos 

del Ministerio de Medio Ambiente, Vivienda y Desarrollo Territorial (MAVDT), del Fondo Financiero 
de Proyectos de Desarrollo
 (FONADE) y de empresas encargadas de prestar el servicio, por medio de 
un estudio análisis de inversiones en acueducto y alcantarillado, desarrollado por la  Comisión de 
Regulación de Agua Potable y Saneamiento Básico 
(CRA) (Navarro, 2009).  

Se encontró entonces que los costos de las tuberías, son función del diámetro de la misma y se 

pueden la calcular de acuerdo con la Ecuación 2.17. 

 

𝐶 = 9579.31 ∗ 𝑎 ∗ 𝑑

0.5737

∗ 𝑙 

Ecuación 2.17 

 

donde:  

𝐶:  

Costo por metro lineal de tubería a Mayo de 2009 [COP/m]. 

𝑑:  

Diámetro de la tubería en milímetros [mm]. 

𝑎:  

Factor  de  conversión  de  pesos  de  Diciembre  de  2007  a  Mayo  de  2009.  Este  fue 
calculado como: (1 + 𝐼𝑃𝐶

2008

) ∗ (1 + 𝐼𝑃𝐶

06/2009

)   =  1.32. 

𝑙: 

Longitud de la tubería. 

 

Análogamente, los costos de excavación son función del volumen de excavación necesario para 

la instalación de la tubería, como plantea la Ecuación 2.18. 

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𝐶 = 1163.77 ∗ 𝑎 ∗ V

1.31

 

Ecuación 2.18 

donde: 

𝐶:   

Costo por metro lineal de tubería a Mayo de 2009 [COP/m]. 

V:  

Volumen de excavación por tubería [m

3

]. 

𝑎:  

Factor  de  conversión  de  pesos  de  Diciembre  de  2007  a  Mayo  de  2009.  Este  fue 
calculado como: (1 + 𝐼𝑃𝐶

2008

) ∗ (1 + 𝐼𝑃𝐶

06/2009

)   =  1.32. 

 

A continuación se  presenta la ecuación para el cálculo del volumen de  excavación necesario 

para la instalación de una tubería, de acuerdo con el análisis de la Figura 2.7 (CIACUA, 2013). 

 

Figura 2.7 

Proyección del trapecio que produce el área excavada para una tubería de alcantarillado. Tomada 

de (CIACUA, 2013)

 

 

𝑉 = ([

𝐻 + 𝐻′

2

] + 𝑑 + 2𝑒 + ℎ) ∗ (2𝐵 + 2𝑒 + 𝑑) ∗ (𝑙 cos[tan

−1

𝑠]) 

Ecuación 2.19 

 
donde:  

 

𝑉: 

Volumen excavado para poner la tubería.  

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24 

 

 

𝐻: 

Profundidad de excavación hasta la cota clave aguas arriba de la tubería.  

 

𝐻 ’: 

Profundidad de excavación hasta la cota clave aguas abajo de la tubería.  

 

𝑑:  

Diámetro interno de la tubería  

 

𝑒:  

Espesor de la pared de la tubería.  

 

ℎ: 

Relleno  que  debe  disponerse  bajo  la  tubería.  Depende  de  la  reglamentación  del 
lugar  donde  se  lleve  a  cabo  el  diseño.  Para  los  ejemplos  se  siguieron  las 
recomendaciones del RAS (2000): ℎ = 15 𝑐𝑚.  

 

𝐵: 

Espacio lateral que debe dejarse a ambos lados de la tubería para ponerla.  

 

𝑠: 

Pendiente en la que se dispone la tubería.  

 

𝑙: 

Longitud de la tubería.  

 

De  acuerdo  con  lo  anterior,  los  costos  asociados  con  la  construcción  de  sistemas  de 

alcantarillado se calculan como la suma entre los costos de las tuberías como tal (Ecuación 2.17) 
los costos de la excavación (Ecuación 2.18), tal como plantea Navarro I. (2009) en la Ecuación 2.20.  

 

𝐶 = 𝑎 ∗ (9579.31 ∗ 𝑑

0.5737

∗ 𝑙 + 1163.77 ∗ 𝑉

1.31

Ecuación 2.20 

 

Esta será entonces la ecuación que se utilizará para analizar los costos de construcción de los 

tramos de las redes de alcantarillado diseñadas; teniendo en cuenta que, aunque simplifica todos 
los costos reales asociados a la construcción de un tramo (entibado, mano de obra, relleno, etc.), es 
una buena aproximación a los costos de construcción reales puesto que los costos de excavación y 
de tuberías son los más relevantes.  

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25 

 

3  DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 

El diseño de las redes de alcantarillado es un problema complejo que tiene dos componentes 

fundamentales: la definición del trazado de la red y el diseño hidráulico. El trazado, se refiere a la 
forma en que se deben poner las tuberías, de forma que se define el sentido de flujo en cada tubería 
y el  tipo  de  tubería.  A  esto  se  le  conoce  como el  trazado  de  la  red.  Simultáneamente,  el  diseño 
hidráulico se refiere a la selección del diámetro y la pendiente de cada tubería de manera que se 
tenga un diseño hidráulico que cumpla con una serie de requisitos y restricciones hidráulicas, según 
el  Plan  de  Saneamiento  y  Manejo  de  Vertimientos  PSMV  regional.  Adicionalmente,  durante  el 
diseño de la red se hace una evaluación económica para encontrar aquel diseño que tiene el mínimo 
costo de construcción. Esto teniendo en cuenta que el uso de técnicas de optimización, hardware y 
software  moderno;  permite  encontrar  un  diseño  optimizado  en  costos  dentro  de  millones  de 
alternativas. 

En este trabajo, el problema se divide en dos partes: en primer lugar, se buscará encontrar el 

mejor trazado para la red siguiendo criterios de selección presentados en la Sección 4.1; en segundo 
lugar, se busca encontrar el diseño hidráulico de la red partiendo de un trazado ya definido. Ambos 
problemas se abordan como problemas de optimización de flujo en redes. 

 

3.1  Problemas de flujo en redes 

 

Los problemas de flujo en redes buscan encontrar la solución a un problema que se modela a 

través de un grafo como por ejemplo, encontrar un camino óptimo (según el caso, podría ser el más 
económico, más corto, con mayor capacidad, etc.). Un grafo se representa a partir de un conjunto 
de Nodos 𝒩 y un conjunto de Arcos 𝒜. Cada arco, es un elemento que conecta pares de nodos 
diferentes (Ahuja, et al., 1993), como los que se muestran en la Figura 3.1. 

Cada grafo, puede tener múltiples caminos para ir de un nodo inicial a uno final dados. Cada 

elemento del grafo tiene atributos. Por ejemplo, los nodos tienen atributos que determinan cuál es 
el nodo de inicio y cuál el nodo final, mientras los arcos tienen como atributo un costo asociado, una 
distancia, una capacidad, entre otros.  

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26 

 

 

(a) Grafo Dirigido 

(b) Grafo No-Dirigido 

Figura 3.1 Grafo. Tomado de Ahuja & et Al (1993). 

En la Figura 3.1 (a) se muestra un grafo dado por un conjunto de nodos 𝒩 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 

y arcos 𝒜 = {(1, 2), (1, 3), (2,3), (2,4), (5,2), … }, para los cuales se conoce su dirección. Por otro 
lado la Figura 3.1 (b) presenta otro grafo dado por el conjunto de nodos 𝒩 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y con 
arcos no dirigidos que pueden ser definidos en ambos sentidos, por ejemplo (1,2) ∈ 𝒜 ó (2,1) ∈
𝒜.  

De acuerdo con la Figura 3.1 un camino para el grafo dirigido, entre los Nodos 1 y 7 podría estar 

definido de diferentes maneras. Por ejemplo, un camino puede ser el comprendido por los Arcos 
(1, 2), (2,4)  y  (4,7).  Otro  camino  puede  ser  (1, 2), (2,3), (3,6)  y  (6,7),  entre  otras  posibles 
combinaciones de  arcos. Así mismo, también se pueden dar ciclos como el comprendido por los 
Arcos (2, 4), (4,5) y (5,2). 

 

3.2  Componentes la red de alcantarillado 

 

Para recolectar y transportar las aguas residuales y pluviales, desde donde se origina la descarga 

hasta  el  sitio  donde  se  va  a  depositar  y  tratar  el  agua,  se  necesita  un  sistema  artificial  de 
alcantarillado. Los principales componentes de la red son los pozos de inspección y las tuberías entre 
estos.  Los  pozos  de  inspección  son  estructuras  de  la  red  diseñadas  para  permitir  el  acceso  a  la 
misma,  para  realizar  cierto  tipo  de  mantenimiento  al  sistema  y  además  son  las  estructuras  que 
permiten la conexión entre dos o más tuberías contiguas.  

Por otro lado las tuberías, son los principales elementos de conducción del sistema, a través de 

los cuales se transporta el agua residual y las aguas lluvias que genera una ciudad o zona urbana. De 
acuerdo con lo anterior, y por simplicidad de los modelos de estas redes, solo se van a tener en 

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cuenta estos dos componentes principales para la modelación. Además, se sabe que los costos de 
construcción más importantes son aquellos relacionados a dichos componentes.  

  

3.3  Selección del trazado de la red 

 

La selección del trazado de una red de drenaje urbano consiste en indicar hacia dónde fluye el 

agua desde cada pozo de inspección, cómo se conectan las tuberías entre sí y qué tipo de tubería se 
tiene en cada tramo. Sin embargo, para definir esto es necesario conocer la topología y topografía 
de la red, que establece dónde están ubicados los pozos de inspección (coordenadas) y cómo se 
deben conectar entre sí. Se debe tener en cuenta que en cada calle de la ciudad debe haber una 
tubería,  en  cada  intersección  entre  calles  debe  existir  un  pozo  de  inspección,  cada  pozo  de 
inspección  sólo puede drenar hacia una tubería y la ubicación del punto de descarga debe estar 
definida previamente. Además, cada pozo de inspección recibe un caudal de entrada que contempla 
un caudal sanitario asociado con un área aferente al pozo (ver Figura 3.2) y un caudal que recibe de 
las tuberías que llegan a éste. De acuerdo con lo anterior se define la topología de la red, i.e.,  cómo 
están los pozos conectados entre sí,  de acuerdo con la planeación de la malla vial y la ubicación del 
punto de descarga, como presenta la Figura 3.2. 

 

 

Figura 3.2. Topología de una red de alcantarillado. 

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28 

 

En una red de alcantarillado, como la que se muestra en la Figura 3.3, los círculos representan 

los pozos de inspección;  las flechas punteadas, los tramos de tuberías entre ellos y el triángulo, el 
punto de descarga. Como se puede observar, para cada tramo existen dos posibles sentidos de flujo 
excepto para los tramos que estén directamente conectados al punto de descarga.  

 

Figura 3.3 Red de alcantarillado. 

Adicionalmente, las redes de alcantarillado son redes abiertas (i.e., tiene estructura de árbol), a 

pesar de que deben tener tuberías en todos los tramos. Al ser redes abiertas, este tipo de sistemas 
no debe tener ciclos buscando evitar que el agua residual recircule por el mismo sitio. En este orden 
de ideas, se  tienen dos tipos de tuberías: tuberías de inicio y tuberías continuas. Las tuberías de 
inicio  son  aquellas  que  están  no  tienen  tuberías  conectadas  aguas  arriba,  es  decir,  están  en  los 
extremos de cada una de las ramas del árbol. Este tipo de tuberías únicamente recibe como caudal 
de entrada el aportado como caudal sanitario asociado con un área aferente al pozo aguas arriba

8

Por el contrario, las tuberías continuas se encuentran en los tramos de la red que reciben el caudal 
de las tuberías que llegan desde aguas arriba, más el caudal aportado por el área aferente del pozo 
aguas arriba. La  Figura 3.4 muestra un ejemplo de estos dos tipos de tuberías, y permite ver cómo 
todos los inicios están conectados a la descarga siguiendo una ruta específica. 

                                                           

8

 Con relación a sistemas hídricos, se dice que un punto está aguas arriba si se encuentra antes del punto que 

se  está  considerando,  avanzando  en  dirección  contraria  a  la  corriente;  en  cambio  los  puntos  que  se 
encuentran después del punto considerado, avanzando en el sentido de la corriente, se dice que están aguas 
abajo. 

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Tubería de inicio 

Tubería continua 

Figura 3.4 Trazado de una red de alcantarillado. 

Adicionalmente, se puede observar que de cada pozo de inspección puede salir máximo una 

tubería continua o tantas tuberías de inicio como pozos adyacentes tenga dicho pozo. En el ejemplo 
anterior se observa cómo del  pozo  superior izquierdo salen dos tuberías de inicio y del resto de 
nodos sale solo una tubería continua. Esto se debe a que las tuberías continuas deben ir acumulando 
los caudales de las tuberías que llegan a estas más el caudal que aporte el pozo aguas arriba de esta; 
mientras que las tuberías iniciales solo operan como entradas del caudal al sistema. Cuando de un 
pozo sale más de una tubería de inicio, el caudal aportado por este pozo se debe distribuir entre 
dichas tuberías. Lo mismo sucede si salen una tubería continua y una o más tuberías de inicio, el 
caudal se divide entre éstas (no necesariamente de forma proporcional). 

Por otro lado, todos los pozos de inspección aportan un caudal de entrada al sistema que sólo 

puede salir por el punto de descarga, i.e., no se puede perder ni almacenar agua dentro del sistema 
de alcantarillado. Por consiguiente, la suma de los caudales de entrada debe ser igual al caudal que 
llega al punto de descarga. 

 

 

 

 

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3.3.1  Datos de entrada para la selección del trazado 

 

Se  reciben  como  datos  de  entrada  la  topografía  de  la  zona  donde  se  planea  construir  o 

reemplazar la red de alcantarillado, además de las características de  la red. Específicamente,  los 
parámetros de entrada son los siguientes: 

• 

ℳ : 

Conjunto de pozos de inspección que conforman la red de alcantarillado. 

 

ℳ  =  { 𝑚

1

 ,  𝑚

2

 ,  𝑚

3

, 𝑚

4

 , … ,  𝑚

|ℳ|

} 

donde el pozo 𝑚

|ℳ|

 será el punto de descarga del sistema de alcantarillado. 

• 

𝑄

𝑘

Caudal de entrada del pozo 𝑚

𝑘

∈  ℳ . 

• 

𝑃𝑜𝑠𝑋

𝑘

: Posición en 𝑥  del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

• 

𝑃𝑜𝑠𝑌

𝑘

:   Posición en 𝑦 del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

• 

𝛻

𝑘

Cota del terreno (Posición en 𝑧) del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

• 

𝑐: 

Costo por unidad de flujo transportado para cada tubería. 

 

3.4  Diseño hidráulico de la red 

 

En  cuanto  al  diseño  hidráulico  de  la  red,  una  vez  definido  el  trazado,  se  busca  encontrar  la 

combinación diámetro-pendiente para cada tubería que conforma la red, teniendo en cuanta que 
se  quiere  minimizar  el  costo  total  de  construcción  de  la  red  y  asegurar  el  funcionamiento  de  la 
misma.  El  diseño  debe  cumplir  con  las  restricciones  de  diseño  (hidráulicas  y  constructivas) 
establecidas por las normas de cada país, que en caso colombiano hacen referencia a las normas 
presentadas en la Sección 2.3.3.  

Partiendo de una  red y un trazado establecido como por ejemplo el que se muestra en la Figura 

3.4, se conoce el caudal de diseño 𝑄

𝑑

, el sentido del flujo y el tipo de tubería para cada tramo. Según 

el caudal de diseño de cada tramo, se debe seleccionar el tamaño (diámetro 𝑑) y posición (pendiente 
𝑠) de la tubería a instalar para que el caudal pueda ser transportado (ver Figura 3.5)

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Figura 3.5. Diseño hidráulico de una tubería (diámetro-pendiente). 

 

Ahora bien, en el caso del diseño hidráulico de toda la red de alcantarillado se debe asegurar 

que la conexión entre sus tuberías sea consistente. Es decir, que se tenga siempre un flujo a favor 
de la gravedad, que las tuberías estén conectadas a altura de sus cotas de batea y que todas las 
tuberías de inicio estén conectadas a la descarga. Una vez se cumplen estas condiciones el diseño 
hidráulico se considera factible. Sin embargo, dada la cantidad de alternativas de diseño hidráulico 
que puede tener una red, se debe buscar aquella que representa el menos costo de construcción. 
Este último será entonces el diseño hidráulico óptimo de la red, para el trazado dado. 

 

3.4.1  Datos de entrada para el diseño hidráulico 

 

Para el diseño hidráulico, es necesario conocer el trazado de la red, i.e, sentidos de flujo, tipos 

de tuberías; además de la topografía y topología de la misma. También es necesario conocer las 
propiedades del fluido con el que se va a trabajar (agua residual) y las características de las tuberías 
que se van a utilizar. En ese orden de ideas, del fluido se debe conocer su viscosidad cinemática 𝜈; 
y de las tuberías se debe conocer la rugosidad absoluta 𝑘

𝑠

  del material y los posibles diámetros que 

se podrían utilizar en el diseño (según la disponibilidad comercial). Específicamente, los parámetros 
de entrada son los siguientes:  

• 

ℳ : 

Conjunto de pozos de inspección que conforman la red de alcantarillado. 

 

ℳ  =  { 𝑚

1

  ,  𝑚

2

 ,  𝑚

3

 ,  𝑚

4

 , … ,  𝑚

|ℳ|

} 

donde el pozo 𝑚

𝑚

 será el punto de descarga del sistema de alcantarillado. 

• 

𝑃𝑜𝑠𝑋

𝑘

:  Posición en 𝑥  del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

• 

𝑃𝑜𝑠𝑌

𝑘

:   Posición en 𝑦 del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

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• 

𝛻

𝑘

Cota del terreno (Posición en 𝑧) del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

• 

𝒯: 

Tipos de tuberías. 

𝒯  =  {𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜, 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎} 

• 

𝒫: 

Conjunto de tramos que conforman la red de alcantarillado. 

𝒫  =  {(𝑘, 𝑘

)|𝑚

𝑘

∈ ℳ, 𝑚

𝑘

∈ ℳ} 

• 

𝑡

𝑘,𝑘

:  Tipo de tubería del tramo (𝑘, 𝑘

) ∈ 𝒫, donde 𝑡

𝑘,𝑘

∈ 𝒯. 

• 

𝑄

𝑑

(𝑘, 𝑘

): Caudal de diseño de cada tubería (𝑘, 𝑘’) ∈ 𝒫. 

• 

𝐷: 

  Conjunto de diámetros comerciales disponibles. 

 

𝐷  =  { 𝑑

1

,  𝑑

2

 ,  𝑑

3

 ,  𝑑

4

, … , 𝑑

|𝐷|

}  

• 

𝑘

𝑠

  Rugosidad absoluta de las tuberías. 

• 

𝜈 : 

  Viscosidad cinemática del agua. 

 

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33 

 

4  METODOLOGÍA  PARA  EL  DISEÑO  OPTIMIZADO  DE  REDES  DE 

ALCANTARILLADO 

En  general  los  procesos  de  optimización  buscan  encontrar  la  mejor  solución  dentro  de  un 

conjunto de soluciones que respetan una serie de restricciones y persiguen uno o varios criterios de 
selección (e.g., costos, beneficio, tiempo, etc.). En el caso del diseño de sistemas de alcantarillado, 
un diseño óptimo es aquel que cumple con todos los aspectos hidráulicos de diseño y cuyo costo de 
construcción es mínimo. Al igual que otros problemas de optimización, en este problema existen 
cuatro  componentes  importantes  para  el  modelaje  y  solución:  los  parámetros,  las  variables  de 
decisión,  las  restricciones  y  la  función  objetivo.  Los  parámetros  proporcionan  la  información 
necesaria (o conocida) que se tiene de los problemas. Las variables de decisiones son los aspectos 
del problema sobre los cuales el decisor tiene injerencia. Las restricciones limitan las decisiones del 
problema estableciendo las reglas que se  deben cumplir en una solución. Finalmente,  la función 
objetivo guía la búsqueda de la solución que se quiere encontrar. 

En este trabajo, el problema se divide en dos partes: en primer lugar, se buscará encontrar el 

mejor trazado para la red siguiendo criterios de selección presentados en la Sección 4.1; en segundo 
lugar, se busca encontrar el diseño hidráulico de la red partiendo de un trazado ya definido. Ambos 
problemas se abordan como problemas de optimización de flujo en redes. 

 

4.1  Metodología para la selección del trazado de redes de alcantarillado 

 

De acuerdo con la definición del problema que se planteó en la Sección 3.3, se estableció una 

metodología  para  la  selección  del  trazado  de  la  red  en  la  que  se  hace  un  modelaje  matemático 
basado en el problema de Diseño de Redes (Network Design Problem) (Guy, et al., 2005). Este es un 
problema de Programación Entera Mixta en el que se involucran variables de decisión que modelan 
el flujo y variables de decisión que modelan la elección de un sentido de flujo.  

 

4.1.1  Definición del grafo para la selección del trazado 

 

Para  resolver  este  problema,  se  puede  modelar  la  red  de  alcantarillado  como  un  grafo 

dirigido 𝒢

𝐿

= (𝒩

𝐿

, 𝒜

𝐿

, 𝒯), donde: 

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34 

 

 

𝒩

𝐿

=  { 𝑣

1

, 𝑣

2

, 𝑣

3

, 𝑣

4

 , … … , 𝑣

|ℳ|

}  es  el  conjunto  de  nodos  que  representa  los  pozos  de 

inspección  que  componen  la  red  de  alcantarillado.  Cada  nodo  𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

  va  a  tener  una 

oferta/demanda 𝑏

𝑖

 (𝑏

𝑖

> 0 oferta y 𝑏

𝑖

< 0 demanda), que representarán los caudales de 

entrada en cada pozo y el caudal de salida en el punto de descarga. Teniendo en cuenta 
que  no  hay  pérdidas  ni  almacenamiento  de  agua  en  la  red,  la  suma  de  los  caudales  de 
entrada debe ser igual al caudal de salida desde cada pozo. 

 

𝒯 =  { 𝐼, 𝐶} es el conjunto tipos de tuberías posibles, donde 𝐼 es una tubería de inicio y 𝐶 
es una tubería continua.  

 

𝒜

𝐿

=  

{(

𝑖, 𝑗, 𝑡

)

| 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯

}  el  conjunto  de  arcos  que  representa  las 

tuberías entre los pozos (nodos) adyacentes 

𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

 y 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

 

del tipo 𝑡 ∈ 𝒯. Cada arco 

tiene  atributos que  definen un  costo  por unidad  caudal transportada, una capacidad de 
transporte y el tipo de tubería. 

𝑐

𝑖𝑗

Costo por unidad de flujo transportado del arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

𝑢

𝑖𝑗𝑡

:  Capacidad de transporte del arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 

𝑡

𝑖𝑗 

Tipo de tubería del arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 

En la definición del grafo se establecieron los arcos que representan los dos sentidos de flujo y 

los dos  tipos de  tuberías en la red  (de  inicio o continuas),  como se observa en  la Figura 4.1.  Las 
tuberías de inicio (líneas punteadas rojas) son aquellos tramos donde la red se va a abrir para formar 
un  árbol  y  reciben  un  caudal  de  entrada  aportado  por  el  pozo  aguas  arriba.  Análogamente,  las 
tuberías continuas  (líneas punteadas verdes), son aquellas que llevan el caudal de las tuberías aguas 
arriba de estas además de los caudales de entrada en el pozo aguas arriba. 

 

Tubería de inicio 

Tubería continua 

Figura 4.1 Tipos de tuberías para cada tramo de una red de alcantarillado. 

En  este  sentido, el  grafo  que  modela  el  trazado  de  una  la  red  de  alcantarillado  tiene  cuatro 

posibles arcos por tramo, como se muestra en la Figura 4.2. 

 

 

 

 

 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
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35 

 

 

Tubería de inicio 

Tubería continua 

Figura 4.2 Grafo para la selección del trazado de una red de alcantarillado. 

 

Según esto, se tiene una variable de decisión 𝑥

𝑖𝑗𝑡

 que va a determinar si el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 

define o no el trazado de la red, tal como se establece en la Ecuación 4.1. De acuerdo con lo anterior, 
para cada tramo se debe seleccionar un sentido de flujo y el tipo de tubería, de forma que se conozca 
la trayectoria del agua desde cada pozo de inspección hasta el punto de descarga. Se debe tener en 
cuenta que la conexión entre los dos tipos de tuberías solo se puede dar de una tubería de inicio a 
una continua o entre dos continuas para llegar a un trazado como el que presenta la Figura 3.4. En 
este sentido, la Figura 4.3 presenta las posibles variables de decisión por tramo con cuatro arcos 
que hacen referencia a las posibles combinaciones entre los sentidos de flujo y el tipo de las tuberías. 
De estos cuatro posibles arcos se debe escoger sólo uno por tramo.  

 

Figura 4.3 Posibles variables de decisión por tramo. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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36 

 

 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

{ 1 si el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡)  define el trazado de la red 

0                                                                                 𝑑. 𝑙. 𝑐

  ∀ 𝑣

𝑖

, 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯 

Ecuación 4.1 

 

Por otro lado, el problema de Flujo de Costo Mínimo, busca la forma más económica de enviar 

cierta cantidad de flujo a través de una red (Karger, 2006).  Entonces, se quiere modelar el flujo para 
conocer  cuánto  caudal  pasaría  por  cada  tubería,  de  acuerdo  con  el  trazado  evaluado.  Para  este 
modelo la función objetivo se deberá dejar en términos del flujo (caudal), por lo cual se define 𝑦

𝑖𝑗𝑡

 

como  el  flujo  que  pasa  por  el  arco  (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

  y  se  evalúan  los  costos  por  unidad  de  flujo 

transportado,  desde  los  nodos  que  ofertan  hasta  los  nodos  que  demandan.  Según  lo  anterior, 
matemáticamente este problema se define de la siguiente manera: 

min ∑

𝑐

𝑖𝑗

𝑦

𝑖𝑗𝑡

(𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

𝑡 ∈𝒯

 

Ecuación 4.2 

𝑦

𝑖𝑗𝑡

{

𝑗

|

(𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿}

𝑡 ∈𝒯

− ∑

𝑦

𝑗𝑖𝑡

{

𝑗

|

(𝑗, 𝑖, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿}

𝑡 ∈𝒯

= 𝑏

𝑖

   ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

 

Ecuación 4.3 

0 ≤ 𝑦

𝑖𝑗𝑡

≤ 𝑢

𝑖𝑗𝑡

 ∀(𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 

Ecuación 4.4 

 

Finalmente, la Figura 4.4 muestra el grafo que representa todas las posibles conexiones entre 

pozos de inspección y por ende, todos los posibles trazados. Además se muestra la oferta/demanda 
en cada pozo.  El Pozo 10 es el último y por ende se establece como el punto de descarga, con una 

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37 

 

demanda de 𝑏

10

= −9 que es igual a la suma de las ofertas del resto de nodos de la red, pues cada 

pozo oferta 1 unidad de agua.  

 

Figura 4.4 Oferta/Demanda en cada nodo del grafo. 

 
Ahora bien, la metodología para la selección del trazado de redes de alcantarillado involucra los 

dos  tipos  de  problemas  mencionados;  se  tienen  variables  de  decisión  que  modelan  el  flujo  y 
variables  de  decisión  que  modelan  la  elección  de  un  sentido  de  flujo.  La  combinación  de  dichas 
variables de decisión hacen que el problema deje de ser un Problema de Flujo de Costo Mínimo 
únicamente, para pasar a ser un problema denominado Network Design Problem (NDP), que es un 
problema de Programación Entera Mixta (MIP) (Larry, 2005). 

 

4.1.2  Modelaje matemático para la selección del trazado 

 

4.1.2.1  Variables de decisión 

 

Para  el  problema  de  selección  del  trazado  se  tienen  dos  variables  de  decisión:  𝑥

𝑖𝑗𝑡

,  es  una 

variable binaria que toma el valor de uno (1) si el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 define el trazado de la red o 

toma el valor de cero (0) de lo contrario, como se plantea en la Ecuación 4.1 (a). 

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38 

 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

∈   {0,1}                         ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯 

Ecuación 4.1(a) 

 

La segunda variable de decisión es el flujo 𝑦

𝑖𝑗𝑡

 que pasa por cada arco (𝑖, 𝑗, 𝑡)   ∈ 𝒜

𝐿

. Esta es una 

variable de decisión real que toma un valor entre 0 y la capacidad máxima de cada arco  𝑢

𝑖𝑗𝑡

, como 

se muestra en la Ecuación 4.4. 

0 ≤ 𝑦

𝑖𝑗𝑡

≤ 𝑢

𝑖𝑗𝑡

                                          ∀(𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 

Ecuación 4.4 

 

4.1.2.2  Función Objetivo 𝒇. 𝒐. 

 

La función objetivo es la planteada en la Ecuación 4.2 donde 𝑐

𝑖𝑗

 corresponde a un costo por 

unidad de flujo transportado que se estima de acuerdo con la función de costos de construcción por 
tramo, planteada en la Ecuación 2.20. Esta última depende del diámetro 𝑑 de la tubería y el volumen 
de excavación 𝑉 necesario para su instalación, de acuerdo con las cotas de batea de la tubería en 
los pozos aguas arriba y aguas abajo del tramo correspondiente.  

𝐶 = 𝑘 ∗ (9579.31 ∗ 𝑑

0.5737

+ 1163.77 ∗ 𝑉

1.31

Ecuación 2.20 

 

Se  debe  recordar  que  hasta  este  punto  no  se  conoce  el  diseño  hidráulico  (diámetros  y 

pendientes)  asociado  con  una  tubería,  sino  que  apenas  se  está  definiendo  la  el  trazado.  En 
consecuencia, el costo de construcción de la red se debe estimar utilizando una función de costos 
en términos del caudal (flujo) que pasa por cada tubería y su sentido correspondiente. Este proceso 
específico se explica en la Sección 4.3. 

De forma general la función objetivo sería entonces la planteada en la Ecuación 4.5. 

min ∑

𝑐

𝑖𝑗

𝑦

𝑖𝑗𝑡

(𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

𝑡 ∈𝒯

+ ∑

𝑎

𝑖𝑗

𝑥

𝑖𝑗𝑡

(𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

𝑡 ∈𝒯

 

Ecuación 4.5 

 

 

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39 

 

4.1.2.3  Modelo Matemático 

 

El  modelo  matemático  que  describe  este  problema  de  selección  del  trazado  de  la  red,  se 

muestra a continuación.  

min ∑

𝑐

𝑖𝑗

𝑦

𝑖𝑗𝑡

(𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

𝑡 ∈𝒯

+ ∑

𝑎

𝑖𝑗

𝑥

𝑖𝑗𝑡

(𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

𝑡 ∈𝒯

 

Ecuación 4.5 

𝑠. 𝑎. 

𝑦

𝑖𝑗𝑡

{

𝑗

|

(𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿}

𝑡 ∈𝒯

− ∑

𝑦

𝑗𝑖𝑡

{

𝑗

|

(𝑗, 𝑖, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿}

𝑡 ∈𝒯

= 𝑏

𝑖

             ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

 

Ecuación 4.6 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

𝑏

𝑖

𝑛

≤ 𝑦

𝑖𝑗𝑡

                     ∀ 𝑣

𝑖

 , 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯 

Ecuación 4.7 

𝑦

𝑖𝑗𝑡

≤ M ∗ 𝑥

𝑖𝑗𝑡

                       ∀ 𝑣

𝑖

 , 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯 

Ecuación 4.8 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

𝑡 ∈𝒯 | (𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

 

+

𝑥

𝑖𝑗𝑖𝑡

𝑡 ∈𝒯 | (𝑗,𝑖,𝑡)∈𝒜

𝐿

= 1               ∀ 𝑣

𝑖

 , 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

 

Ecuación 4.9 

∑ 𝑥

𝑖𝑗𝐶

𝑣

𝑗

 ∈𝒩

𝐿

= 1                                           ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

  

Ecuación 4.10 

∑  ∑ 𝑥

𝑗𝑖𝑡

𝑡 ∈𝒯

𝑣

𝑗

 ∈𝒩

𝐿

≤ M ∗ ∑  𝑥

𝑖𝑗𝐶

𝑣

𝑗

 ∈𝒩

𝐿

                    ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

| 𝑣

𝑖

≠ 𝑣

𝐿

 

Ecuación 4.11 

∑  ∑ 𝑥

𝑗𝑖𝑡

𝑡 ∈𝒯

𝑣

𝑗

 ∈𝒩

𝐿

≥ ∑  𝑥

𝑖𝑗𝐶

𝑣

𝑗

 ∈𝒩

𝐿

                    ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

| 𝑣

𝑖

≠ 𝑣

𝐿

 

Ecuación 4.12 

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40 

 

 

Para encontrar la solución óptima a este problema, se implementó el modelo matemático en 

Xpress-MP que es un software de optimización que cuenta con un solver de optimización entera 
mixta. 

 

4.1.2.4  Restricciones para la selección del trazado 

 

Las restricciones para la selección del trazado incluyen aquellas definidas dentro del Problema de 
Flujo de Costo Mínimo y otras que se aseguran de que no se creen conexiones infactibles entre las 
tuberías adyacentes. Entre las restricciones del problema, se encuentran las siguientes: 

 

Restricción de Balance: 
Esta se asegura de que la diferencia entre el flujo que sale de cada nodo 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

 y el flujo 

que entra a dicho nodo, sea igual a la oferta/demanda en el mismo 𝑏

𝑖

. En el caso de este 

problema también ayuda a verificar que todos los caudales de entrada en los pozos lleguen 
al punto de descarga, de forma que no haya almacenamientos o pérdidas de agua en la red. 
Esta restricción se expresa matemáticamente con la Ecuación 4.6. 
 

 

Límite inferior para el flujo:  
En caso de que el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 exista, es decir que 𝑥

𝑖𝑗𝑡

= 1, entonces el flujo mínimo 

por el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 será mayor o igual a la oferta del Nodo 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

 dividida en los 𝑛 

∑ 𝑦

𝑖𝑗𝐼

𝑣

𝑗

 ∈𝒩

𝐿

≤ 𝑏

𝑖

                                          ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

| 𝑣

𝑖

≠ 𝑣

𝐿

 

Ecuación 4.13 

𝑥

𝑣

𝐿

−1,𝑣

𝐿

,𝐶

= 1             

Ecuación 4.14 

𝑦

𝑣

𝐿

−1,𝑣

𝐿

,𝐶

= ∑ 𝑏

𝑖

𝑣

𝐿

−1

𝑖=1

 

Ecuación 4.15 

𝑦

𝑖𝑗𝑡

≥ 0                                   ∀ 𝑣

𝑖

 , 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯 

Ecuación 4.16 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

 {1,0}                                  ∀ 𝑣

𝑖

, 𝑣

𝑗

∈ 𝒩

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯 

Ecuación 4.1(a)  

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Tesis II 

41 

 

nodos  adyacentes,  como  se  muestra  en  la  Ecuación  4.7.  Esto  debido  a  que  el  caudal  de 
entrada en el nodo 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

 se debe repartir entre todas las tuberías de salida, que pueden 

ser varias tuberías de inicio y/o máximo una tubería continua. 
 

 

Límite superior para el flujo:  
En caso de que el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 exista, es decir que 𝑥

𝑖𝑗𝑡

= 1, entonces el flujo del arco 

(𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

  puede  tomar  cualquier  valor,  ya  que  debe  ser  menor  a  M,  donde  M  es  un 

número muy grande. Así mismo, si  el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 no existe, es decir que 𝑥

𝑖𝑗𝑡

= 0, 

entonces el flujo máximo será de 0. La Ecuación 4.8 muestra la expresión matemática que 
representa esta restricción. 
 

 

Restricción de tuberías por tramo:  
Esta restricción se asegura que sólo se escoja uno de los cuatro arcos posibles (Ver Figura 
4.3)
, teniendo en cuenta que sólo puede existir una tubería por tramo, tal como se muestra 
en la Ecuación 4.9. 
 

 

Restricción de tuberías salida por pozo:  
En una red de alcantarillado, únicamente se permite una tubería de salida de cada pozo de 
inspección, por lo cual se debe restringir en número de tuberías de tipo continuo 𝐶 ∈ 𝒯 
 de cada nodo 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

, como se muestra en la Ecuación 4.10. En el caso de las tuberías de 

inicio 𝐼 ∈ 𝒯 si se permite más de una saliendo de cada pozo de inspección, ya que en la 
construcción éstas no están conectadas con dicho pozo. 
 

 

Restricción de conexiones entre tuberías adyacentes:  
Teniendo en cuenta que la conexión entre las tuberías sólo se puede dar de una tubería de 
inicio  a  una  continua  y  entre  dos  tuberías  continuas,  se  formuló  la  Ecuación  4.11  y  la 
Ecuación  4.12  para  restringir  las  conexiones  incorrectas  entre  dos  tuberías  de  inicio 
contiguas o una tubería continua seguida por una de inicio, ya que esto interrumpiría el flujo 
de agua a través de la red. 
 

 

Restricción de flujo para las tuberías de inicio:  
Teniendo en cuenta que las tuberías de inicio, no están conectadas a otras tuberías aguas 
arriba, estas sólo pueden tener un flujo menor o igual al caudal de entrada en el pozo aguas 
arriba de la misma, como se plantea en la Ecuación 4.13. En caso de que el flujo no sea igual 
al  caudal  de  entrada,  el  resto  del  caudal se  transportará  por  otras  tuberías salientes  del 
mismo pozo, sea continua o no. 
 

 

Restricción de sentido de flujo y tipo de tubería en la descarga:  

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42 

 

La tubería que está directamente conectada al punto de descarga, que siempre se definirá 
como el último nodo de la red ( 𝑣

𝐿

∈ 𝒩

𝐿

), deberá ir dirigida hacia dicho nodo y deberá ser 

de tipo continuo 𝐶 ∈ 𝒯. Para esto se estableció la  Ecuación 4.14. 
 

 

Restricción de flujo de tubería en la descarga:  
El flujo transportado por la tubería conectada directamente al punto de descarga debe ser 
igual  a  la  suma  de  todos  los  caudales  de  entrada  (Oferta/demanda  de  cada  Nodo  𝑣

𝑖

𝒩

𝐿

|𝑣

𝑖

≠ 𝑣

𝐿

), como se muestra en la Ecuación 4.15. 

 

 

Restricción de no negatividad:  
Estas restricciones indican que las variables de decisión no pueden tomar valores negativos, 
como se indica en la Ecuación 4.16 para 𝑦

𝑖𝑗𝑡

 

 

Naturaleza de la variable:  
Teniendo en cuenta que una de las variables de decisión es binaria, esto se debe especificar 
en las restricciones tal como plantea la Ecuación 4.1(a) para la variable 𝑥

𝑖𝑗𝑡

 
 
 

4.2  Metodología para el diseño hidráulico de redes de alcantarillado 

 

Para  encontrar  el  diseño  hidráulico  de  una  red  de  alcantarillado  se  propone  extender  la 

metodología planteada en Duque N. et al. (2015). En este trabajo, se modela el problema del diseño 
hidráulico de una serie de tuberías como un Problema de Ruta Más Corta (RMC). El problema de 
RMC se resuelve sobre grafo que representa diámetros y pendientes de cada tramo de la serie. Para 
extender esta metodología al caso de las redes, se parte del mismo modelaje del grafo haciendo 
algunas modificaciones que permiten modelar las tuberías de inicio y la unión de las mismas hasta 
la descarga. 

 

4.2.1  Definición del grafo para el diseño hidráulico  

 

Dado  un  trazado,  el  diseño  hidráulico  se  realiza  a  partir  de  un  grafo  auxiliar   𝒢

𝐷

  que  va  a 

representar  todas  las  posibles  combinaciones  de  diseño  hidráulico  en  la  red.  Este  grafo,  ya  no 
representará direcciones de flujo y tipos de tuberías como en el caso del problema de selección de 

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Tesis II 

43 

 

trazado, sino los posibles diámetros y pendientes que pueden tener las tuberías de tal forma que se 
pueda transportar el caudal de diseño requerido. 

Este proceso comienza recibiendo un trazado con el sentido de flujo de cada tubería, el tipo de 

tubería  (Inicio,  Continua)  y  el  flujo  que  pasa  por  cada  tubería  (caudal  de  diseño).  Con  esta 
información y los datos de entrada descritos en la Sección 3.4.1, se construye el grafo auxiliar  𝒢

𝐷

=

(𝒩

𝐷

, 𝒜

𝐷

), donde: 

 

𝒩

𝐷

 es el conjunto de nodos y representan una combinación entre una profundidad a la cual 

se podría instalar la tubería a cota de batea y un diámetro comercial. 

 

𝒜

𝐷

 es el conjunto de arcos en donde cada arco representa una posible tubería con cierto 

diámetro y cierta pendiente que depende los nodos en 𝒩

𝐷

 que conecte.  

De acuerdo con esto, a continuación se explicará cómo se representan en el grafo para el diseño 

hidráulico  𝒢

𝐷

 un pozo de inspección, una tubería, tuberías en serie y por último toda la red. 

 

4.2.1.1  Representación de una tubería 

 

La  representación  de  cada  tramo  requiere  que  los  pozos  de  inspección  sean  representados 

como grupos de nodos (Duque, et al., 2015). Cada nodo representa una profundidad a la cual se 
puede instalar la tubería a cota de batea y un diámetro comercial disponible. En general se tiene un 
conjunto global de nodos para el diseño hidráulico 𝒩

𝐷

, que se agrupan en subconjuntos 𝒩

𝐷

𝑘

 que 

contienen los nodos que pertenecen a un pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ, como se observa en la Figura 4.5. Esto 

permite conocer cuántos nodos hay por pozo.  

La notación que se utiliza se muestra a continuación: 

• 

𝒩

𝐷

Conjunto de nodos de diseño hidráulico. 

 

𝒩

𝐷

=  { 𝑣

0

,  𝑣

1

 ,  𝑣

2

 ,  𝑣

3

, … , 𝑣

𝐷

}  

• 

𝒩

𝐷

𝑘

:  Conjunto de nodos que pertenecen al pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

 

𝒩

𝐷

𝑘

=  {𝑣

1

𝑘

, 𝑣

2

𝑘

, 𝑣

3

𝑘

, … , 𝑣

|𝒩

𝐷

𝑘

|

𝑘

}  

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44 

 

 

 

Figura 4.5 Conjunto de nodos que pertenecen a un mismo pozo de inspección. 

 

Para  efectos  del  modelaje  del  problema,  cada  nodo  𝑣

𝑖

𝑘

∈ 𝒩

𝑘

  va  a  tener  dos  atributos.  El 

primero, es la cota en metros sobre un nivel de referencia ∇(𝑣

𝑖

𝑘

) y el segundo es el diámetro δ(𝑣

𝑖

𝑘

). 

El primer atributo representa la cota batea de una tubería y el segundo representa el diámetro de 
una tubería asociada con el tramo aguas arriba del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ.    

EL grafo también está conformado por arcos (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) que se definen entre dos nodos 𝑣

𝑖

𝑘

  ∈

𝒩

𝐷

𝑘

  y 𝑣

𝑗

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

, donde 𝑣

𝑖

𝑘

 es el i-ésimo nodo del pozo 𝑚

𝑘

  ∈ ℳ y 𝑣

𝑗

𝑘

 es el j-ésimo nodo del pozo 

estrictamente siguiente 𝑚

𝑘

∈ ℳ (ver Figura 4.6). Además, cada arco tiene un costo asociado que 

representa el costo total de construcción, es decir la suma entre el costo de la tubería y los costos 
de  excavación,  según  la  función  de  costos  presentada  en  la  Sección  2.3.4  (Ecuación  2.20).  A 
continuación se muestra la notación y una representación de un arco. 

 

• 

𝒜

𝐷

:  Conjunto de arcos. 

 

𝒜

𝐷

=   {  (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) |𝑣

𝑖

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

 , 𝑣

𝑗

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

, (𝑘, 𝑘

) ∈ 𝒫} 

• 

𝑐(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

): 

Costo del arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

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45 

 

 

 

Figura 4.6 Representación de un arco (𝒗

𝒊

𝒌

, 𝒗

𝒋

𝒌

)

 

Teniendo en cuenta que quienes cargan la información de los diámetros de las tuberías son los 

nodos, el diámetro de un arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)  adopta el valor del nodo 𝑣

𝑗

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

. Así mismo, los nodos 

cargan la información de la cota batea donde se instalaría cada tubería. 

• 

𝛻(𝑣

𝑖

𝑘

):   

Cota de cada nodo 𝑖 en el pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

• 

𝑑 (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

): 

Diámetro  del  arco  (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)  ∈ 𝒜

𝐷

,  representado  como  un  atributo  del 

nodo 𝑣

𝑗

𝑘

∈ 𝒩

𝑘

𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) = 𝛿 (𝑣

𝑗

𝑘

Ecuación 4.17 

 

 

Figura 4.7 Representación de un tramo de alcantarillado. 

 

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46 

 

La pendiente de cada arco  𝑠(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

), es función de las cotas de los nodos que lo componen y 

la longitud del tramo 𝑙. Esta se calcula como: 

𝑠(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) =

𝛻(𝑣

𝑖

𝑘

) − 𝛻 (𝑣

𝑗

𝑘

)

𝑙

 

Ecuación 4.18 

 

En la Figura 4.8 se presenta la representación de tres tuberías de diferentes diámetros en un 

grafo. Los tres arcos salen del mismo nodo y tienen la misma pendiente, pero cada uno llega a un 
nodo diferente, debido a que cada uno representa un diámetro distinto. Como se puede observar, 
cada arco (flecha) representa una tubería de cierto diámetro que está ubicada con una pendiente 𝑠 

específica.  El  arco  entonces  tiene  un  diámetro  asociado  𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)  y  una  pendiente  asociada 

𝑠(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

). Con base en esto, se calcula el costo asociado 𝑐(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) de cada arco como se observa. 

 

Figura 4.8 Representación de una tubería en el grafo auxiliar para el diseño hidráulico.

 

 

Siguiendo con el ejemplo, la Figura 4.9 presenta el grafo 𝒢

𝐷

 de un tramo con dos nuevos nodos 

de  diseño  en  el  pozo  𝑚

𝑘

∈ ℳ,  𝑣

2

𝑘

  y  𝑣

3

𝑘

,  tal  que  𝛻(𝑣

1

𝑘

) = 𝛻(𝑣

2

𝑘

) = 𝛻(𝑣

3

𝑘

)  y  𝛿(𝑣

1

𝑘

) < 𝛿(𝑣

2

𝑘

) <

𝛿(𝑣

3

𝑘

).  Así  mismo,  considera tres  nodos  de  diseño más  en  el  pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ,  tal  que 𝛻(𝑣

4

𝑘

) =

𝛻(𝑣

5

𝑘

) = 𝛻(𝑣

6

𝑘

);  sin  embargo,  𝛻(𝑣

1

𝑘

) = 𝛻(𝑣

2

𝑘

) = 𝛻(𝑣

3

𝑘

) > 𝛻(𝑣

4

𝑘

) = 𝛻(𝑣

5

𝑘

) = 𝛻(𝑣

6

𝑘

),  i.e., 

los nodos de diseño 𝑣

4

𝑘

, 𝑣

5

𝑘

, y 𝑣

6

𝑘

 representan los tres diámetros iniciales, pero están ubicados a 

una profundidad mayor que los primero tres nodos. La diferencia entre ambas profundidades está 
dada  por  el  cambio  entre  cotas  ∇

̃.

 

Además,  de  cada  nodo  salen  arcos  hacia  los  nodos  del  pozo 

siguiente que  tengan diámetros y profundidades mayores  o iguales. De  esta forma se  cumple la 

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47 

 

restricción hidráulica de  diámetros y se  evitan pendientes adversas. Según esto, para nodos con 
diámetros mayores y a mayores profundidades existen menos alternativas de diseño. 

 

Figura 4.9 Grafo auxiliar para el diseño hidráulico de un tramo.

 

 

4.2.1.2  Representación de tuberías en serie 

 

Una vez creados los conjuntos de nodos para cada pozo 𝒩

𝐷

𝑘

, y los arcos (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

 de cada 

tramo,  se  deben  conectar  dichos  arcos  para  formar  caminos.  La  conexión  de  los  arcos  entre 
diferentes tramos debe seguir el trazado de la red, de forma que se formen las series de tuberías 
que describen la red. Es decir que los arcos de un tramo se deben conectar directamente con los 
arcos  de  los  tramos  adyacentes,  de  acuerdo  con  el  trazado.  A  modo  de  ejemplo,  la  Figura  4.10 
presenta  la vista en planta de  una red de  alcantarillado, donde  se observa una serie de tuberías 
(azules) desde un nodo inicial hasta la descarga. Como se observa, la conexión entre arcos debe 
seguir esta serie de tuberías, conectando los diferentes tramos que la conforman. 

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48 

 

 

Figura 4.10. Series de tuberías de una red de alcantarillado. 

 

 Ahora bien, el grafo  𝒢

𝐷

 para la representación de tuberías en serie desde una vista de perfil se 

presenta en la Figura 4.11, donde se tiene una serie de 2 tramos, desde el Pozo 𝑚

1

∈ ℳ hasta el 

Pozo 𝑚

3

∈ ℳ de acuerdo con la Figura 4.10. Se utilizaron 3 diámetros comerciales disponibles y 3 

posibles cotas a las cuales se pueden ubicar las tuberías. Al ampliar el problema se observa mejor la 
complejidad del mismo, dado el aumento de alternativas de diseño

9

 que  se presenta.  Así como en 

el caso de un solo tramo, se puede observar que de cada nodo salen arcos hacia los nodos del pozo 
siguiente que tengan diámetros y profundidades mayores o iguales, evitando obstrucciones en el 
sistema y pendientes adversas, respectivamente.  

 

 

                                                           

9

 Alternativa de diseño: se refiere una combinación de tuberías factibles (una de cada tramo), que conforman 

una serie. 

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49 

 

 

Figura 4.11 Grafo auxiliar para el diseño hidráulico de una serie de  2 tramos. 

 

Para encontrar cuál de todas las alternativas de diseño es la óptima se debe conocer el costo 

total de cada una de ellas y buscar la más económica. El costo total de una alternativa es entonces 
la  suma  del  costo  de  cada  una  de  las  tuberías  que  componen  la  serie.  La  solución  se  encuentra 
resolviendo un problema de RMC sobre este grafo, en donde el camino resultante representa las 
diferentes tuberías que serán utilizadas a lo largo de la serie. El nodo inicial del problema de RMC 
se supone como un nodo ficticio que se conecta a los nodos de la primera cámara de la serie a un 
costo de cero.  

La Figura 4.12 muestra un ejemplo de la solución sobre el grafo. El camino involucra los nodos 

{𝑣

1

2

, 𝑣

2

2

, 𝑣

5

3

} lo cual representa que una serie de tuberías en donde los dos tramos tienen tuberías 

del mismo diámetro (el segundo diámetro comercial),  pero la pendiente de cada tramo varía según 
las cotas de cada nodo siguiendo la Ecuación 4.18.   

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50 

 

 

 

Figura 4.12 Solución del grafo auxiliar 𝓖

𝑫

 para el diseño hidráulico de una serie de  2 tramos. 

 

4.2.1.3  Representación de la red de alcantarillado 

 

El  modelaje  del  grafo  auxiliar  para  el  diseño  hidráulico  de  una  red  de  alcantarillado  es  una 

extensión  del  modelaje  propuesto  para  representar  el  diseño  hidráulico  en  series  de  tuberías 
(Duque, et al., 2015), teniendo en cuenta que en el caso de las redes se puede tener más de un 
tramo  adyacente.  Esto  es  relevante  debido  a  que,  en  caso  de  tener  inicios  (tramos  iniciales),  se 
deben crear pozos imaginarios con las mismas características del original, de forma que construya 
la red de alcantarillado como una red abierta, i.e., con una estructura de árbol. Esto además asegura 
que todos los inicios se conecten a la descarga por un único camino (serie de tuberías).  

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51 

 

Para representar la red de alcantarillado como un red abierta, primero se hace una abstracción 

del grafo que representa el trazado (𝒢

𝐿

) a un grafo que represente un árbol o red abierta (𝒢

𝑇

).  La 

Figura 4.13 muestra el grafo 𝒢

𝑇

 que modela la red abierta para un trazado particular 𝒢

𝐿

 de una red 

con 5 pozos y 5 tramos. Ambos grafos representan el trazado de la red; sin embargo, el Grafo 𝒢

𝐿

 

describe los sentidos de flujo y los tipos de tuberías (sección 3.3), mientras que en el Grafo 𝒢

𝑇

 tiene 

nodos adicionales para lograr la estructura de árbol. Puntualmente, el grafo  𝒢

𝑇

 tiene un nodo por 

cada tubería de inicio, y tanto arcos como tramos originales. 

 

Figura 4.13. Representación del trazado de la red como un árbol. 

En este ejemplo, del nodo del trazado 𝑣

1

∈ 𝒩

𝐿

 salen dos tuberías de inicio que se representan 

en  el  grafo  𝒢

𝑇

  con  los  nodos  de  árbol  𝑣

0

∈ 𝒩

𝑇

  y  𝑣

1

∈ 𝒩

𝑇

.  Estos  nodos  en  𝒩

𝑇

  conservan  las 

características topográficas y topológicas del nodo del trazado 𝑣

1

∈ 𝒩

𝐿

. De esta forma se tienen dos 

series de tuberías desde cada nodo de inicio (Nodos del árbol 𝑣

0

 y 𝑣

1

) hasta la descarga (𝑣

5

∈ 𝒩

𝐿

𝑣

5

∈ 𝒩

𝑇

).  De  esta  manera,  la  red de  alcantarillado se  representa  a  partir  de  múltiples series  de 

tuberías que se modelan en a partir de los nodos de árbol 𝒩

𝑇

 

 

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Tesis II 

52 

 

La notación para el grafo que modela el trazado de la red como una red abierta (árbol) es la 

siguiente:  

• 

𝒢

𝑇

= (𝒜

𝑇

, 𝒩

𝑇

) es el grafo que representa el trazado de la red como una red abierta. 

• 

𝒩

𝑇

=  { 𝑣

1

, 𝑣

2

, 𝑣

3

, 𝑣

4

 , 𝑣

5

… … , 𝑣

𝑇

} es el conjunto de nodos del árbol. 

• 

𝒩

𝑇

𝑖

= 𝒩

𝑇𝐼

𝑖

∪ 𝒩

𝑇𝐶

𝑖

=  {𝑣

1

𝑖

, 𝑣

2

𝑖

, 𝑣

3

𝑖

, … , 𝑣

𝑇

𝑖

}: es el subconjunto de nodos del árbol asociados con 

el nodo del trazado 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

; 𝒩

𝑇𝐼

𝑖

 es el subconjunto de nodos del árbol que modelan inicios 

en el nodo de trazado 𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

; y 𝒩

𝑇𝐶

𝑖

 es el subconjunto de nodos de árbol que modelan 

uniones de series de tuberías (comienzo de una tubería continua) en el nodo de trazado 
𝑣

𝑖

∈ 𝒩

𝐿

• 

𝒜

𝑇

 es el conjunto de arcos del árbol que se definen de acuerdo  con la siguiente 

función.

 

𝒜

𝑇

= {

{(𝑘, 𝑘

)| 𝑣

𝑘

𝒩

𝑇𝐼

𝑖

, 𝑣

𝑘

𝒩

𝑇𝐶

𝑗

,

(

𝑖, 𝑗, 𝑡

)

𝒜

𝐿

}

𝑠𝑖 𝑡

𝑘,𝑘

= 𝐼

{(𝑘, 𝑘

)| 𝑣

𝑘

𝒩

𝑇𝐶

𝑖

, 𝑣

𝑘

𝒩

𝑇𝐶

𝑗

,

(

𝑖, 𝑗, 𝑡

)

𝒜

𝐿

} 𝑠𝑖 𝑡

𝑘,𝑘

= 𝐶

  

 

De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que se dijo que los nodos de diseño 𝒩

𝐷

 están 

agrupados en subconjuntos 𝒩

𝐷

𝑘

 para cada pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ, se puede decir ahora que esos mismos 

conjuntos 𝒩

𝐷

𝑘

representan los nodos de diseño para cada nodo del árbol 𝑣

𝑘

∈ 𝒩

𝑇

. Entonces, para 

el diseño hidráulico se tiene: 

• 

𝒢

𝐷

= (𝒜

𝐷

, 𝒩

𝐷

) es el grafo que representa el diseño hidráulico de la red. 

• 

𝒩

𝐷

=  { 𝑣

1

, 𝑣

2

, 𝑣

3

, 𝑣

4

 , 𝑣

5

… … , 𝑣

𝐷

} es el conjunto de nodos del grafo del diseño hidráulico.  

• 

𝒩

𝐷

𝑘

= {𝑣

1

𝑘

, 𝑣

2

𝑘

, 𝑣

3

𝑘

, … , 𝑣

𝐷

𝑘

} es el subconjunto de nodos del diseño hidráulico asociados con 

el nodo del árbol 𝑣

𝑘

∈ 𝒩

𝑇

• 

𝒜

𝐷

=

{(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)

𝑣

𝑖

𝑘

𝒩

𝐷

𝑘

,

𝑣

𝑗

𝑘

𝒩

𝐷

𝑘

,

(𝑘, 𝑘

) ∈ 𝒜

𝑇

} es el conjunto de arcos de diseño 

hidráulico.  

Al igual que se explicó para la representación de series de tuberías, los nodos de diseño que 

representan los diferentes diámetros se agrupan dentro de los recuadros rojos que representan una 
misma  cota.  Esto  se  observa  en  la  Figura  4.14,  donde  se  presenta  un  ejemplo  con  4  diámetros 
disponibles y 3 profundidades (cotas) a las cuales se pueden ubicar las tuberías. Como se observa, 
los diámetros están dispuestos de forma ascendente y se tienen tantas cotas como se pueda dentro 

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Tesis II 

53 

 

de  los  límites  de  excavación  ℎ

𝑚𝑖𝑛 

  y  ℎ

𝑚𝑎𝑥

  establecidos  (ver  Tabla  2.3),  teniendo  en  cuenta  la 

variación entre cotas ∇

̃ establecida según la precisión que se quiera en el diseño. 

 

Figura 4.14. Configuración de diámetros en el grafo para el diseño 𝓖

𝑫

 

Según  esto,  la  Figura  4.15  presenta  el  grafo  para  el  diseño  𝒢

𝐷

  hidráulico  de  una  red  de 

alcantarillado,  siguiendo  el  trazado  de  la  Figura  4.13.    En  la  figura  se  simplifica  el  grafo  𝒢

𝐷

 

representando los arcos entre diferentes cotas, que tienen diámetros diferentes, como un solo arco; 
sin embargo, la modelación real de este grafo 𝒢

𝐷

 sigue los mismos lineamientos que se plantearon 

para la representación de tuberías en serie. Es decir que también se cumple que, si el nodo de diseño 

𝑣

𝑖

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

 está aguas arriba del nodo de diseño 𝑣

𝑗

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

,

 el diámetro aguas arriba debe ser 

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Tesis II 

54 

 

menor o igual al diámetro aguas abajo 

𝛿(𝑣

𝑖

𝑘

)   ≤ 𝛿(𝑣

𝑗

k

)

 y las pendientes deben ser positivas (a 

favor de la gravedad)  𝑠 (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) > 0 ≡  

𝛻

(

𝑣

𝑖

𝑘

)

> 𝛻

(

𝑣

𝑗

𝑘

).  

 

 

Figura 4.15. Grafo auxiliar 𝓖

𝑫

 para el diseño hidráulico de una red de alcantarillado. 

 

La Figura 4.16 presenta entonces la representación de todo el problema de diseño de redes de 

alcantarillado, realizando la conexión entre los tres grafos involucrados para la representación de la 
solución al problema de selección del trazado de la red, su traducción a una estructura tipo árbol y 
la  posterior  representación  del  grafo  con  todas  las  alternativas  de  diseño  hidráulico  para  dicho 
trazado. Notese que representar la red como un árbol permite que dos tuberías salgan de un mismo 
pozo desde cotas diferentes. Esto es válido cuando son tuberías de inicio, ya que permite evaluar 
más alternativas que si se considera empezar las dos tuberías desde la misma cota.  

 

 

 

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Tesis II 

55 

 

 

Figura 4.16. Conexión entre los diferentes grafos. 

 

Sobre este grafo de diseño hidráulico 𝒢

𝐷

 se corre un método de optimización para conocer la 

solución óptima del mismo. Esta solución será el diseño hidráulico óptimo de la red, para el trazado 
dado. El método de optimización que se utilizó se presenta a continuación en la Sección 4.2.2. 

 

4.2.2  Método de optimización 

 

Teniendo en cuenta la representación del problema de diseño hidráulico en un grafo, se plantea 

resolver este problema como un Problema de Ruta Más Corta (RMC) en donde se quiere la ruta más 
corta desde todos los inicios hasta el punto de descarga. De acuerdo con lo anterior, se utiliza el 
Algoritmo  de  Bellman-Ford  que  encuentra  la  ruta  más  corta  desde  un  punto  de  partida  a  todos 

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Tesis II 

56 

 

nodos  del  grafo,  y  es  particularmente  eficiente  sobre  grafos  acíclicos;  teniendo  en  cuenta  la 
estructura particular del grafo presentado en la Sección 4.2.1.3, i.e., un grafo dirigido y acíclico. 

 

4.2.2.1  Problema de la ruta más corta (RMC) 

 

El  problema  de  la  ruta  más  corta  pertenece  a  la  rama  de  la  optimización  que  estudia  los 

problemas de flujo en redes. En un grafo dado, este problema  busca encontrar el camino de mínimo 
costo (distancia o tiempo de  recorrido)  desde  un nodo específico inicial hasta un nodo final. Las 
principales  aplicaciones  de  estos  modelos  de  optimización  se  encuentran  en  problemas  de 
transporte,  donde  se  busca  minimizar  tiempos  de  recorrido  de  un  punto  a  otro  (Ahuja  &  et  Al, 
Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, 1993).

  

Matemáticamente, un problema de ruta más corta se define como: 

min ∑ 𝑐

𝑖𝑗

𝑥

𝑖𝑗

(𝑣

𝑖

,𝑣

𝑗

)∈𝒜

     

Ecuación 4.19 

𝑥

𝑖𝑗

{

𝑗

|

(𝑣

𝑖,

𝑣

𝑗

) ∈ 𝒜

}

𝑥

𝑗𝑖

{

𝑗

|

(𝑣

𝑗

, 𝑣

𝑖

) ∈ 𝒜

}

= {

1

𝑣

𝑖

= 𝑣

𝑠

0

𝑣

𝑖

≠ 𝑣

𝑠

, 𝑣

𝑡

−1

𝑣

𝑖

= 𝑣

𝑡

   ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩  

Ecuación 4.20 

𝑥

𝑖𝑗

∈ {0,1} ∀ 𝑣

𝑖

∈ 𝒩, 𝑣

𝑗

∈ 𝒩 

Ecuación 4.21 

 

donde, 𝑥

𝑖𝑗

, es una variable binaria que toma el valor de uno si el arco (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒜 está en la solución 

del problema (el camino) o toma el valor de cero de lo contrario. 𝑐

𝑖𝑗

 es el costo de utilizar el arco 

(𝑖, 𝑗) ∈ 𝒜  en el camino, 𝑣

𝑠

 es el nodo inicial del cual parte el camino y 𝑣

𝑡

 es el nodo final del camino. 

La Ecuación 4.2 determina la función objetivo del problema, que busca la minimización de los costos 
del camino. La  Ecuación 4.3  determina las restricciones  que  garantizan que  un camino parta del 
nodo  𝑣

𝑠

  y  llegue  al  nodo  𝑣

𝑡

  y  finalmente  la  Ecuación  4.4  establece  la  naturaleza  binaria  de  las 

variables. 

 

 

 

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57 

 

4.2.2.2  Algoritmo de Bellman-Ford 

 

El Algoritmo de Bellman-Ford nace por la necesidad de conocer el camino que representa el 

mínimo tiempo de viaje entre dos ciudades que hacen parte de un conjunto de 𝒩 ciudades, donde 
cada  par  de  ciudades  están  interconectadas  entre  sí  por  una  vía  que  tiene  un  tiempo  de  viaje 
asociado. Estos tiempos no son directamente proporcionales a las distancias, debido a la cantidad 
de rutas que existen para viajar de una ciudad a otra y la variación del tráfico en cada una de ellas 
(Bellman, 1956). 

 

Definición y notación 

Los  parámetros  de  entrada  para este  problema  de  ruta más corta  son  (𝐺, 𝑣

𝑠

, 𝑐): donde 𝐺 =

(𝒩, 𝒜)  es un grafo dirigido, 𝑐 es la función de costo o distancia asociada a cada arco (𝑣

𝑖

, 𝑣

𝑗

) ∈ 𝒜 

(e.g.,  distancia,  costo)  y  el  nodo  inicial  𝑣

𝑠

 que  pertenece  al  conjunto  de  nodos 𝒩  del  grafo.  El 

objetivo es encontrar la ruta más corta desde el nodo  𝑣

𝑠

∈ 𝒩 a todos los otros nodos del grafo 𝐺.  

Este método de corrección de etiquetas comienza estableciendo un costo acumulado 𝑉(𝑣

𝑠

) =

0 para el nodo inicial 𝑣

𝑠

∈ 𝒩 y 𝑉(𝑣

𝑘

) = ∞ para el resto de nodos del grafo. Posteriormente, cada 

nodo 𝑣

𝑖

∈ 𝒩 se evalúa en orden topológico, evaluando cada arco (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒜. Si 𝑉(𝑣

𝑗

) >  𝑉(𝑣

𝑖

) +

𝑐

𝑖𝑗

; entonces la etiqueta para el nodo 𝑣

𝑗

∈ 𝒩 se actualiza con el nuevo costo mínimo acumulado  

𝑉(𝑣

𝑗

) =  𝑉(𝑣

𝑖

) + 𝑐

𝑖𝑗

 así como su nodo predecesor 𝑝(𝑣

𝑗

) = 𝑣

𝑖

. Cuando todos los nodos han sido 

evaluados, el costo de las etiquetas es óptimo (Ahuja M.H, et al., 1993). El algoritmo de Bellman-
Ford se describe entonces, como se muestra en el algoritmo presentado en  el Algoritmo 4.1. 

 

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58 

 

 

Algoritmo 4.1. Algoritmo de Bellman-Ford. Tomado y modificado de Goldberg & Radzik (1993). 

Como se observa, el método empieza asignarle a cada nodo un costo acumulado, de forma que si el 
costo acumulado 𝑉(𝑣

𝑖

) del nodo 𝑣

𝑖

  ∈ 𝒩 más el costo del arco (𝑣

𝑖

, 𝑣

𝑗

) ∈ 𝒜 es menor que el costo 

acumulado 𝑉(𝑣

𝑗

) del nodo 𝑣

𝑗

∈ 𝒩, entonces se actualiza el  costo acumulado 𝑉(𝑣

𝑗

). De lo contrario 

se mantiene el costo acumulado 𝑉(𝑣

𝑗

), obtenido por otro camino y se relaja (elimina) el nodo 𝑣

𝑖

𝒩 que no hace parte de la ruta más corta (Introduction to Algorithms: Bellman-Ford Algorithm, 
2011). Para encontrar una ruta más corta en particular, entre un nodo inicial y uno final, se comienza 
en el nodo final y se van evaluando sus nodos predecesores. El camino conformado por estos nodos 
forma entonces la ruta más corta. 

 

4.2.3  Modelaje matemático para el diseño hidráulico 

 

4.2.3.1  Variables de decisión 

 

La variable de decisión es una variable binaria que toma el valor de uno (1) si el arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈

𝒜

𝐷

 pertenece al camino que forma la ruta más corta o toma el valor de cero (0) de lo contrario, 

como se plantea en la Ecuación 4.21 (b). 

𝑥

𝑖𝑗

∈ {0,1} ∀ 𝑣

𝑖

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

 

Ecuación 4.21 (b) 

 

 

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59 

 

La  escogencia  de  un  arco  (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

  implica  escoger  un  diámetro  𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)  y  una 

pendiente de diseño  𝑠(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

). 

 

4.2.3.2  Función objetivo 𝒇. 𝒐. 

 

La función objetivo para el problema de diseño hidráulico se presenta en la Ecuación 4.2; sin 

embargo,  al ser planteada para cada arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

, queda como la que se  muestra  en la 

Ecuación 4.22 (Duque, et al., 2015). La Ecuación 4.23 presenta el costo 𝑐(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) para cada arco 

(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

  según  la  función  de  costos  planteada  en  la  Ecuación  2.20  (Navarro,  2009),  en 

función del diámetro del arco 𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) y las cotas de los nodos que lo componen 𝛻(𝑣

𝑖

𝑘

) y 𝛻 (𝑣

𝑗

𝑘

). 

El objetivo es minimizar la función de costos para encontrar el diseño que, cumpliendo con todas 
las restricciones, sea el más económico. De acuerdo con esto, la función objetivo sería: 

min

𝑐(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)𝑥

𝑖𝑗

(𝑣

𝑖

𝑘

,𝑣

𝑗

𝑘′

)∈𝒜

𝐷

     

Ecuación 4.22 

 

𝑐(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) = 𝑎 ∗ (9579.31 ∗ 𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)

0.5737

∗ 𝑙 + 1163.77 ∗ 𝑉(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)

1.31

Ecuación 4.23

 

 

Recordando la Ecuación 2.19, el volumen se calcula en términos del diámetro de la tubería y la 

profundidad a la que se instale. Dicha profundidad se calcula de acuerdo con las cotas de batea del 
nodo 𝑣

𝑖

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

 y el nodo 𝑣

𝑗

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

 de cada arco, como se explica a continuación: 

 

𝑉(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) = ([

𝐻 + 𝐻′

2

] + 𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) + 2𝑒 + ℎ) ∗ (2𝐵 + 2𝑒 + 𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

))

∗ (𝑙 cos [tan

−1

𝑠(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

)]) 

Ecuación 4.24 

 
donde:  

 

𝑉(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

): 

Volumen excavado para poner la tubería. 

 

𝐻: 

 

Profundidad de excavación hasta la cota clave aguas arriba de la tubería.  

 

𝐻

 

Profundidad de excavación hasta la cota clave aguas abajo de la tubería.   

 

𝑑 (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

):   Diámetro del arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

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Metodología para el Diseño Optimizado de Redes de Alcantarillado

 

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Tesis II 

60 

 

 

𝑒:  

 

Espesor de la pared de la tubería.  

 

ℎ: 

Relleno que debe disponerse bajo la tubería. Depende de la reglamentación 
del lugar donde se lleve a cabo el diseño. Para los ejemplos se siguieron las 
recomendaciones del RAS:  ℎ = 15 𝑐𝑚.  

 

𝐵: 

Espacio lateral que debe dejarse a ambos lados de la tubería para 
colocarla.  

 

𝑠 (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

): 

Pendiente asociada con el arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

 (Ecuación 4.18). 

 

𝑙: 

 

Longitud de la tubería.  

 

La profundidad de excavación, se refiere a la diferencia entre la cota del terreno y la cota clave 

de  la tubería. La  Ecuación 4.25  y  la Ecuación  4.26  describen  la profundidad de excavación aguas 
arriba y aguas abajo de la tubería, respectivamente. 

 

𝐻 = ∇

𝑘

− 𝛻(𝑣

𝑖

𝑘

) + 𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

Ecuación 4.25 

donde: 

 

𝐻: 

 

Profundidad de excavación hasta la cota clave aguas arriba de la tubería.  

 

𝑘

 

Cota del terreno del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

 

𝛻(𝑣

𝑖

𝑘

):   

Cota del nodo de salida 𝑣

𝑖

𝑘

∈   𝒩

𝐷

𝑘

 

𝑑 (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

):   Diámetro interno de la tubería.  

 
 

𝐻′ = ∇

𝑘

− 𝛻 (𝑣

𝑗

𝑘

) + 𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘+1

Ecuación 4.26 

 

donde: 

 

𝐻

 

Profundidad de excavación hasta la cota clave aguas abajo de la tubería.  

 

𝑘

 

Cota del terreno del pozo 𝑚

𝑘

∈ ℳ. 

 

𝛻 (𝑣

𝑗

𝑘

): 

Cota del nodo de llegada 𝑣

𝑗

𝑘

∈   𝒩

𝐷

𝑘

 

𝑑 (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

): 

Diámetro interno de la tubería.  

 

4.2.4  Implementación 

 

Con la representación de la red de alcantarillado a partir de los grafos 𝒢

𝐿

, 𝒢

𝑇

 y  𝒢

𝐷

, esta sección 

describe la metodología de diseño hidráulico de redes de alcantarillado. El diagrama de flujo de la 

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61 

 

Figura 4.17 muestra los pasos para obtener el diseño hidráulico dado un trazado y parámetros de 
entrada adicionales.  

 

Figura 4.17. Metodología para el diseño hidráulico optimizado de redes de alcantarillado. 

 

El diagrama anterior recibe los datos de entrada mencionados en la Sección 3.4.1. Con el grafo 

𝒢

𝑇

  se  conocen  los  nodos  𝒩

𝑇

  que  representan  cada  uno  de  los  pozos  ℳ  que  conforman  la  red, 

teniendo en cuenta la creación de nodos individuales para los  inicios. Dado que cada nodo 𝑣

𝐾

∈ 𝒩

𝑇

 

guarda la misma información de su pozo padre 𝑚

𝑘

∈ ℳ, se conocen las coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑧 de 

cada uno. Adicionalmente, se tiene el conjunto de arcos 𝒜

𝑇

 que representan cada uno de los tramos 

que conforman el trazado de la red 𝒫. Los sentidos de flujo de cada tramo están descritos por cada 
uno de los arcos (𝑘, 𝑘

) ∈ 𝒜

𝑇

 y el tipo de tubería se deduce a partir de los nodos que componen 

cada arco. Se  sabe que  si el nodo aguas arriba del tramo  𝑣

𝑘

∈ 𝒩

𝑇

  no recibe al menos un tramo 

desde aguas arriba, entonces este corresponde a uno de los extremos del árbol y por ende el arco 
(𝑘, 𝑘

) ∈ 𝒜

𝑇

 representa una tubería de inicio. 

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62 

 

Por otro lado de la solución del tazado también se conoce el flujo 𝑦

𝑖𝑗𝑡

 que pasa por cada arco 

(𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

. Este flujo lo que representa es el caudal que debe ser transportado en cada tramo, 

denominado 𝑄

𝑑

(𝑘, 𝑘

) para cada arco (𝑘, 𝑘

) ∈ 𝒜

𝑇

. Este es entonces el caudal de diseño para cada 

arco (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

, que se utiliza para definir el diseño hidráulico de dicho tramo. Finalmente, se 

recibe el conjunto de diámetros comerciales disponibles 𝐷, la viscosidad cinemática del fluido (agua) 
𝜈, la rugosidad absoluta de las tuberías denominado 𝑘

𝑠

 y el cambio entre cotas ∇

̃ que define una 

mayor o menor precisión del diseño hidráulico. Con estos últimos datos de entrada se realizan los 
cálculos hidráulicos y se define cuáles combinaciones diámetro-pendiente tienen la capacidad de 
transportar el caudal de diseño 𝑄

𝑑

(𝑘, 𝑘

), solución que se conoce como el diseño hidráulico de la 

red.  

De acuerdo con dichos datos de entrada el proceso de diseño comienza con la generación los 

nodos de diseño 𝒩

𝐷

 para cada nodo del árbol 𝒩

𝑇

. Esto quiere decir que se crea un nodo para cada 

combinación  de  diámetro  𝛿(𝑣

𝑖

𝑘

)  y  cota  ∇(𝑣

𝑖

𝑘

)  como  describe  el  Algoritmo  4.2,  mostrado  a 

continuación. Como se observa, de los datos de entrada para el diseño hidráulico sólo se utiliza el 
grafo 𝒢

𝑇

, teniendo en cuenta toda la información que carga; el conjunto de diámetros comerciales 

disponibles 𝐷 y la variación entre cotas ∇

̃ que se va a utilizar, para este proceso en particular. La 

Línea 1 recorre cada uno de los nodos del árbol 𝒩

𝑇

, de acuerdo con el grafo 𝒢

𝑇

. Las Líneas 2 y 3 

establecen  los  límites  de  excavación  superior  e  inferior,  de  acuerdo  con  la  restricción  de 
profundidades  que  muestra  la  Tabla  2.3.  Estos  límites  establecen  el  espacio  de  solución  para  el 
diseño hidráulico. De la Línea 4 a la Línea 10 se realiza el proceso de creación de nodos de diseño 
para cada nodo del árbol 𝑣

𝑘

∈ 𝒩

𝑇

. Se comienza con un recorrido por la lista de diámetros 𝐷 en la 

Línea 4, se establece la cota inicial en el límite superior en la Línea 5 y continúa con el recorrido por 
las cotas batea a las cuales se podría instalar la tubería dentro de los límites de excavación en la 
Línea 6. La Línea 7 crea el nuevo nodo de diseño con el diámetro 𝑑 y cota ∇

𝑖

𝑘

  evaluados, como 

atributos del nodo 𝛿(𝑣

𝑖

𝑘

) y ∇(𝑣

𝑖

𝑘

), respectivamente. Este nodo se guarda dentro del conjunto de 

nodos de diseño 𝒩

𝐷

 del nodo del árbol 𝒩

𝑇

 correspondiente, en la Línea 8. Finalmente,  en la Línea 

9 se realiza la variación a una cota inferior de acuerdo con el cambio de cota ∇

̃ establecido, para 

continuar con la evaluación de las demás cotas. 

 

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63 

 

 

 

Algoritmo 4.2

.

 Generación de nodos de diseño  

 

Después de creados todos los nodos se pasa a generar el grafo para el diseño hidráulico 𝒢

𝐷

 con 

los arcos factibles. Esto quiere decir que solo se crean aquellos arcos (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

 que cumplan 

con  todas  las  condiciones  y  restricciones  hidráulicas.  Ahora  bien,  teniendo  en  cuenta  que  el 
Algoritmo de Bellman- Ford busca es encontrar la ruta más corta desde un nodo inicial  𝑣

𝑠

∈ 𝒩, en 

este caso la descarga 𝑣

𝑇

∈ 𝒩

T

, a todos los otros nodos de un grafo; se realizó la construcción del 

grafo de diseño hidráulico 𝒢

𝐷

 hacia atrás (desde la descarga hasta cada uno de los inicios). Es decir, 

que  el  proceso  de  modelaje  de  un  grafo  para  el  diseño  hidráulico  de  una  red  de  alcantarillado 
expuesto en la Sección 4.2.2.2, se reversó de forma que se obtuviera un grafo como el que presenta 
la Figura 4.16, sobre el cual se puede correr el Algoritmo de Bellman-Ford desde un nodo a todos 
los  demás  nodos  de  la  red.  Como  se  puede  observar,  la  estructura  del  grafo  es  la  misma  y  se 
mantienen las todas las restricciones, pues solo se debe precisar que el arco de diseño para el tramo 
(𝑘, 𝑘

) ∈ 𝒜

𝑇

 ahora se define en sentido contrario como (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

.  La Figura 4.16 también 

presenta un nodo imaginario que se conecta, con líneas punteadas, a los nodos de diseño 𝒩

i

T

 del 

nodo de la descarga 𝑣

𝑇

∈ 𝒩

T

. Este nodo no posee ningún atributo, simplemente representa el nodo 

inicial  𝑣

𝑠

∈ 𝒩  que  describe  el  Algoritmo  de  Bellman-Ford  (ver  Sección  4.2.2.2),  desde donde  se 

empieza el proceso de etiquetas hasta cada uno de los inicios del árbol. 

 

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64 

 

 

Figura 4.18. Grafo de diseño 𝓖

𝑫

reversado. 

 

De acuerdo con lo anterior, el Algoritmo 4.3 presenta este proceso  de creación del grafo de 

diseño 𝒢

𝐷

 que involucra también el proceso de etiquetas con el que se calcula la Ruta Más Corta. 

Durante  la  creación  del  grafo  auxiliar  se  evalúa  si  el  arco  (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜 es  factible  hidráulica  y 

económicamente; de ser factible, se actualizan las etiquetas de los nodos de diseño 𝒩

𝐷

, siguiendo 

el Algoritmo de Bellman-Ford, como se mencionó en la Sección 4.2.2.2. 

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65 

 

  

 

Algoritmo 4.3

.

 Construcción del grafo auxiliar para el diseño hidráulico. 

 

Para la generación de los arcos entre los nodos de diseño 𝒩

𝐷

 de los correspondientes nodos del 

árbol 𝒩

𝑇

, se utiliza un arreglo de nodos de árbol que almacena los nodos que están 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 por 

analizar. La Línea 1 muestra que este arreglo empieza almacenando el último nodo del árbol 𝑣

𝑇

𝒩

𝑇

 que representa la descarga, ya que la construcción del grafo se realiza de atrás hacia adelante, 

desde la descarga hacia cada uno de los inicios. La Línea 2 evalúa si el arreglo de 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 tiene 
al menos un nodo que todavía no haya sido evaluado para que  los demás nodos del árbol  𝑣

𝑘

∈ 𝒩

𝑇

 

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66 

 

que están en la lista de 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 sean evaluados en el orden en que fueron agregados. La Línea 
3 comienza la evaluación de los 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 tomando como el nodo aguas abajo del tramo  (a la 
salida) 𝑣

𝑑𝑜𝑤𝑛

∈ 𝒩

𝑇

 aquel que esté en la primera posición  del arreglo de 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 y sacándolo 

una vez haya sido evaluado. La Línea 4 realiza un recorrido entre los arcos del árbol 𝒜

𝑇

. Se toma el 

nodo 𝑣

𝑘

 del arco y se guarda como el nodo aguas arriba del tramo (a la entrada) 𝑣

𝑢𝑝

∈ 𝒩

𝑇

 en la 

Línea 5. Además, 𝑣

𝑢𝑝

 se agrega al arreglo de 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 en la Línea 6, para que sea evaluado en la 

siguiente iteración. Una vez definido el par de nodos de layout adyacentes entre los cuales se van a 
generar los arcos de diseño (𝑣

𝑢𝑝

, 𝑣

𝑑𝑜𝑤𝑛

) ∈ 𝒜

𝑇

, las Líneas 7 y 8 recorren sus respectivos nodos de 

diseño    𝑣

𝑖

𝑑𝑜𝑤𝑛

∈ 𝒩

𝐷

𝑑𝑜𝑤𝑛

  y  𝑣

𝑗

𝑢𝑝

∈ 𝒩

𝐷

𝑢𝑝

,  evaluando  si  los  diámetros  crecen  o  se mantienen  hacía 

aguas abajo 𝛿(𝑣

𝑑𝑜𝑤𝑛

) ≥ 𝛿(𝑣

𝑢𝑝

) en la Línea 9. En caso de que la restricción de diámetros se cumpla, 

la Línea 10 calcula la longitud entre los nodos del árbol 𝑣

𝑢𝑝

 y 𝑣

𝑑𝑜𝑤𝑛

 para calcular en la Línea 11 la 

pendiente entre sus nodos de diseño 𝒩

𝐷

𝑢𝑝

 y 𝒩

𝐷

𝑑𝑜𝑤𝑛

, respectivamente. Posteriormente, la Línea 12 

evalúa que la pendiente sea positiva, es decir que  ∇(𝑣

𝑗

𝑢𝑝

) ≥ ∇(𝑣

𝑖

𝑑𝑜𝑤𝑛

) para que vaya a favor de la 

gravedad. Si la pendiente es positiva, se calcula el costo 𝐶

𝑖𝑗

 del arco (𝑣

𝑖

𝑑𝑜𝑤𝑛

 , 𝑣

𝑗

𝑢𝑝

) en la Línea 13. 

La  Línea  14  muestra  la  implementación  del  Algoritmo  de  Bellman-Ford,  evaluando  si  el  costo 

acumulado del nodo de diseño aguas arriba V(𝑣

𝑗

𝑢𝑝

) es mayor que la suma entre el costo acumulado 

del nodo de diseño aguas abajo V(𝑣

𝑖

𝑑𝑜𝑤𝑛

) más el costo del arco 𝐶

𝑖𝑗

. En ese caso, se debe reescribir 

el costo acumulado del nodo de diseño aguas arriba V(𝑣

𝑗

𝑢𝑝

) con el nuevo costo mínimo para ese 

nodo; sin embargo, se  deben evaluar las restricciones  hidráulicas antes, para saber si el arco de 
diseño (tubería) (𝑣

𝑗

𝑢𝑝

, 𝑣

𝑖

𝑑𝑜𝑤𝑛

) ∈ 𝒜

𝐷

 es factible hidráulicamente. Para esto se calcula el caudal que 

transporta el arco 𝑄(𝑣

𝑗

𝑢𝑝

, 𝑣

𝑖

𝑑𝑜𝑤𝑛

) en la Línea 15 y se evalúan las restricciones hidráulicas en las Línea 

16 y 17. La Línea 16 se asegura que el caudal que puede transportar dicho arco sea mayor o igual al 
caudal de diseño 𝑄

𝑑

(𝑢𝑝, 𝑑𝑜𝑤𝑛) para el arco (𝑣

𝑢𝑝

, 𝑣

𝑑𝑜𝑤𝑛

) ∈ 𝒜

𝑇

. La Línea 17 se asegura que se estén 

cumpliendo  las  restricciones  hidráulicas  descritas  en  la  Tabla  2.4.  Una  vez  estas  restricciones 
hidráulicas se cumplen, se tiene un arco factible y se pasa a terminar el proceso de etiquetado del 
Algoritmo de Bellman-Ford en las Líneas 18 y 19. El finalizar este proceso ya se tiene construido, 
diseñado y etiquetado cada arco 𝒜

𝐷

 y cada nodo  𝒩

𝐷

 del grafo de diseño hidráulico 𝒢

𝐷

Para  encontrar  la  solución    del  grafo  𝒢

𝐷

  se  debe  seguir  el  procedimiento  planteado  por  el 

Algoritmo 4.4.  La solución para el diseño hidráulico óptimo se está compuesta por las rutas más 
cortas  desde  cada  nodo  inicial  del  árbol  hasta  la  descarga.  A  modo  de  ejemplo,  la  Figura  4.19 
muestra la solución del grafo 𝒢

𝐷

 para el diseño hidráulico, donde se observa un diseño para cada 

serie  de  tuberías.  El  primero  recorre  los  nodos  del  árbol  𝑣

0

, 𝑣

2

, 𝑣

4

, 𝑣

5

∈ 𝒩

𝑇

  con  un  diseño  que 

selecciona  las  siguientes  combinaciones  de  diametrós  y  cotas:  𝑣

0

: (

𝑑

2

, ∇

1

)

;

  𝑣

2

(𝑑

2

, ∇

2

); 

𝑣

4

(𝑑

3

, ∇

2

); 

𝑣

5

(𝑑

4

, ∇

3

). El segundo 

recorre los nodos del árbol 𝑣

1

, 𝑣

3

, 𝑣

4

, 𝑣

5

∈ 𝒩

𝑇

 con un diseño 

que  selecciona  las  siguientes  combinaciones  de  diámetros  y  cotas:  𝑣

1

: (

𝑑

1

, ∇

1

)

;

  𝑣

3

: (

𝑑

1

, ∇

2

)

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67 

 

𝑣

4

: (

𝑑

4

, ∇

3

)

𝑣

5

:  

(𝑑

4

, ∇

3

). Nótese que en ambos casos los diámetros van en aumento hacia 

aguas abajo y la serie de tuberías se va profundizando. 

 

 

 

Figura 4.19. Solución para el diseño hidráulico de la red. 

 

El  diseño  de  tramos  por  líneas  independientes  no  garantiza  el  empalme  adecuado  de  las 

tuberías, por lo que se deben corregir los diseños. En el anterior ejemplo se observa cómo en el 
Nodo 𝑣

4

 confluyen dos ramas del árbol (dos series de tuberías). En estos casos, se puede dar que 

todas las series de tuberías lleguen a un mismo nodo de diseño, lo que quiere decir que todas las 
tuberías llegan a una misma cota y el flujo continúa por la misma tubería (diámetro-pendiente) en 
el tramo aguas abajo. Este es el caso en el que se tienen pozos de inspección comunes con varias 
entradas y una única salida. Sin embargo, cuando las tuberías que llegan a un mismo nodo del árbol,  
llegan a nodos de diseño diferentes (con cotas diferentes), quiere decir que existen dos arcos de 
diseño  𝒜

𝐷

  diferentes  en  el  tramo  aguas  abajo.  Dado  que  por  cada  tramo  solo  debe  existir  una 

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tubería, se debe escoger para el diseño hidráulico, el arco (𝑣

𝑗

𝑘

, 𝑣

𝑖

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

 que represente la tubería 

más profunda. Esto debido a que se deben evitar bombeos dentro del sistema de alcantarillado, 
teniendo en cuenta que el agua debe fluir por gravedad. En estos casos se requiere construir un 
pozo de caída, en el cual las tuberías de entrada están por encima de la tubería de salida, como se 
muestra en la Figura 4.20. En el caso de los diámetros no se tiene este problema ya que las tuberías 
son  diseñadas  para  un  caudal  de  diseño  que  ya  contempla  el  caudal  proveniente  de  todas  las 
tuberías de entrada, más el caudal sanitario aportado por el pozo aguas arriba. A pesar de que los 
nodos de  diseño a los que llega cada tramo en el  Nodo 𝑣

4

  tienen diferentes diámetros, esto no 

afecta el tramo aguas abajo cuyo diámetro está representado por el nodo de diseño del Nodo 𝑣

5

que 

resulta ser el mismo (𝑑

4

, según la Figura 4.14) pues las tuberías se diseñan para el mismo caudal de 

diseño 𝑄

𝑑

(4,5) (flujo en 𝑦

45𝐶

 definido por el trazado).  

 

 

Figura 4.20. Pozos de caída 

 

El Algoritmo 4.4 muestra entonces, el procedimiento anterior de forma detallada. Se reciben los 

grafos  del  árbol  𝒢

𝑇

  y  del  diseño  hidráulico  𝒢

𝐷

,  que  se  recorren  hacia  adelante  (en  el  sentido 

contrario al que fue creado el grafo 𝒢

𝐷

), desde cada uno de los inicios hasta la descarga. La Línea 1 

plantea un recorrido entre todos los nodos del árbol 𝒩

𝑇

 que son Inicios, en los cuales se debe buscar 

cuál de sus nodos de diseño 𝑣

𝑖

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

𝑘

 que tiene el menor costo de construcción acumulado. La Línea 

2 establece una variable temporal 𝑚𝑖𝑛

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜

= 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 que almacena el valor del costo mínimo que 

se ha encontrado entre los nodos de diseño. Este valor se va actualizando a medida que se vayan 
encontrando valores menores, hasta encontrar el mínimo (Líneas 3- 8). Una vez encontrado el nodo 
de diseño que tiene el mínimo costo para el nodo del árbol de inicio que está siendo evaluado, se 
buscan sus nodos de diseño predecesores para conformar la ruta más corta, tal como se muestra 
entre las Líneas 9 a 15, guardando cada nodo y arco de diseño que pertenece a la ruta más corta en 
un grafo que representa la solución del problema 𝒢

𝑠𝑜𝑙

= (𝒩

𝑠𝑜𝑙

, 𝒜

𝑠𝑜𝑙

). Finalmente, se debe revisar 

si en algún tramo pasa más de una serie de tuberías y por ende existe más de una tubería. En estos 

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casos se selecciona la tubería más profunda para que el agua caida por gravedad, como se observa 
entre las Líneas 16 y 26. 

 

 

Algoritmo 4.4. Obtención de la solución óptima para el diseño hidráulico 

 

 

 

 

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4.3  Estimación de la función de costos para la selección del trazado 

 

Teniendo  en  cuenta  las  metodologías  planteadas  para  los  dos  problemas  involucrados  en  el 

diseño de redes de alcantarillado, es claro que se tienen funciones de costos diferentes para cada 
uno, como se observa en la Figura 4.21. Esto se debe a que la función objetivo en ambos problemas 
busca  minimizar  los  costos  y  por  ende  las  funciones  de  costos  deben  estar  en  términos  de  las 
variables de decisión que son diferentes para cada problema. En el caso del problema de selección 
del trazado, dado que no se conocen los diámetros y pendientes de cada tubería, se debe estimar 
una  función  de  costos  aproximada  en  función  del  flujo  𝑦

𝑖𝑗𝑡

  en  el  arco  (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

  y  la  variable 

binaria 𝑥

𝑖𝑗𝑡

 que define si el arco (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

 hace parte o no del trazado, para cada tramo de la 

red de alcantarillado. Para el problema del diseño hidráulico, dado que ya se conoce el diámetro, la 
longitud  y  las  cotas  a  las  que  está  instalada  cada  tubería,  se  utiliza  la  ecuación  de  costos  real 
planteada por Navarro, I. (2009).  

 

Figura 4.21. Función de costos para un tramo de una red de alcantarillado 

 

En este sentido, para tener una buena aproximación a una función de costos para el problema 

de selección del trazado, se deben estimar los coeficientes 𝑐

𝑖𝑗

 y 𝑎

𝑖𝑗

. Para calcular cuánto debería 

ser  el  costo por unidad de flujo 𝑐

𝑖𝑗

  para cada tramo, se debe  hacer una estimación con base en 

costos  reales,  que  tengan  en  cuenta  los  costos  de  las  tuberías  y  los  costos  de  la  excavación.  Lo 
anterior requiere conocer el costo real de un tramo ya diseñado y su caudal de diseño, para realizar 
una regresión lineal y obtener una función de costos para cada tubería de la forma 𝑦 = 𝛽

𝑜

+ 𝛽

1

𝑥

1

+ 𝛽

2

∗ 𝑥

2

+ ⋯ + 𝛽

𝑛

∗ 𝑥

𝑛

, donde 𝛽

1

 se toma como el costo por unidad de flujo 𝑐

𝑖𝑗

 dado por la 

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pendiente de la regresión, y 𝛽

0

 como el intercepto 𝑎

𝑖𝑗

, que representa un costo asociado con cada 

tubería (arco) en caso de usarla en el trazado. De esta forma se llega a la función objetivo, planteada 
en la Ecuación 4.5, para el problema de selección del trazado. 

min ∑

𝑐

𝑖𝑗

𝑦

𝑖𝑗𝑡

(𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

𝑡 ∈𝒯

+ ∑

𝑎

𝑖𝑗

𝑥

𝑖𝑗𝑡

(𝑖,𝑗,𝑡)∈𝒜

𝐿

𝑡 ∈𝒯

 

Ecuación 4.5 

 

4.3.1  Generación de trazados aleatorios 

 

La generación de trazados aleatorios se propone como un proceso de inicialización al problema, 

de forma que se pueda realizar la estimación de la función de costos para la selección del trazado a 
partir de los resultados del diseño hidráulico de cada trazado aleatorio.  

Cada trazado aleatorio se genera por medio de la  asignación de números aleatorios para los 

coeficientes 𝑐

𝑖𝑗

 de cada tramo. De esta forma se resuelve el problema de selección del trazado a 

partir de dichos coeficientes aleatorios como parte de la función objetivo planteada por la Ecuación 
4.5.  
Este  trazado  entonces,  se  contempla  como  trazado  aleatorio  por  la  naturaleza  de  sus 
coeficientes,  dado  que  al  resolver  el  problema  con  coeficientes  aleatorios  se  pueden  obtener 
diferentes trazados con el modelo.  

 

4.4  Metodología para el diseño de redes de alcantarillado 

 

Como se mencionó anteriormente, el diseño de una red de alcantarillado es la unión de dos 

problemas: la selección del trazado y el diseño hidráulico de la red. Ahora bien, tras haber explicado 
cómo se modeló el problema de la selección del trazado de una red de alcantarillado sobre un grafo 
𝒢

𝐿

, cómo se representó dicho árbol en con una estructura de árbol en un grafo 𝒢

𝑇

 y posteriormente 

cómo se modeló el problema del diseño hidráulico sobre un grafo auxiliar 𝒢

𝐷

, se pretende explicar  

la metodología global para el diseño de redes de alcantarillado en la Figura 4.22.  

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Figura 4.22 Diagrama de flujo para el diseño de redes de alcantarillado. 

 

En la Figura 4.22 se puede observar que el diseño de redes de alcantarillado se plantea como un 

proceso  iterativo,  donde  para  cada  iteración  se  selecciona  un  trazado  (recuadros  verdes)  y  de 
acuerdo  con  este  se  realiza  el  diseño  hidráulico  optimizado  de  la  red  (recuadros  azules). 
Adicionalmente,  con  cada  iteración  se  espera  mejorar  función  de  costos  para  la  selección  del 
trazado, de forma que se puedan encontrar trazados mejores.   

El proceso comienza recibiendo los datos de entrada necesarios para resolver el problema de la 

selección del trazado. Se recibe la topografía del terreno (Coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑧 de cada pozo de 
inspección), los caudales de entrada por pozo 𝑄

𝑘

 y un contador 𝑡 que lleva la cuenta del número de 

iteraciones realizadas hasta llegar al número de máximo de iteraciones 𝑡

𝑚𝑎𝑥

 que definen el criterio 

de parada del problema. Posteriormente, se debe realizar una primera estimación de la función de 
costos en términos del caudal, como se explica en la Sección 4.3; según la cual se encuentra el mejor 
trazado de la red. 

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73 

 

Sin embargo, la estimación de dicha función objetivo requiere de datos verdaderos de costos 

de construcción y caudales de diseño de tramos de tuberías ya diseñadas. En consecuencia, se debe 
realizar una inicialización al problema por medio de la generación de un trazado aleatorio, como se 
explica en la Sección 4.3.1. Posteriormente, se realiza el diseño hidráulico de dicho trazado aleatorio, 
de forma que se pueda estimar una buena función de costos en términos del caudal a partir de los 
costos reales de construcción y los caudales obtenidos.  

Siguiendo  el  diagrama  de  flujo  presentado  en  la  Figura  4.22,  una  vez  definida  la  función  de 

costos para la selección del trazado, se corre un algoritmo que resuelve el Problema de Diseño de 
Redes,  de  acuerdo  con  el  modelo  matemático  planteado  en  la  Sección  4.1.2,  obteniendo  como 
resultado el mejor trazado de la red de alcantarillado, para la función de costos dada.  

A partir del trazado obtenido y con información adicional sobre el material de las tuberías y los 

diámetros comerciales disponibles, se procede a realizar el diseño hidráulico de la red. Para esto se 
genera el grafo para el diseño hidráulico 𝒢

𝐷

, sobre el cual se corre un algoritmo que resuelve el 

problema  de  Ruta  Más  Corta  (ver  Sección  4.2.4).  De  este  proceso  se  obtiene  como  resultado  el 
diseño hidráulico optimizado de la red, para el trazado dado. Es decir que se obtiene el diámetro de 
cada  tubería,  su  ubicación  en  el  terreno  (pendiente  y  profundidad)  y  los  costos  reales  de 
construcción de cada tramo de la red.  

Ahora bien, a pesar de que ya se tiene un diseño completo de la red, donde el diseño hidráulico 

es óptimo para el trazado dado, no se puede asegurar que el diseño de la red sea óptimo. Esto se 
debe a que no se sabe si la función de costos para la selección del trazado representa bien los costos 
reales de construcción para cada tramo de la red de alcantarillado. A raíz de lo anterior se plantea 
el proceso iterativo que propone el Diagrama de Flujo de la Figura 4.22, en el cual con cada diseño 
hidráulico se va mejorando la estimación de la función de costos para la selección del trazado, hasta 
que se encuentre el mejor trazado para la red, tras un número de iteraciones establecido 𝑡

𝑚𝑎𝑥

.  De 

esta forma se va mejorando el ajuste de la función objetivo para la selección del trazado  y al final 
del proceso se puede asegurar que, para el número máximo de iteraciones establecidas, se obtuvo 
el mejor trazado para la red y por ende un diseño optimizado de la red de alcantarillado.  

 

 

 

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5  RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 

5.1  Diseño de una red de alcantarillado  

 

En esta sección se presentarán los resultados del diseño de redes de alcantarillado, siguiendo la 

metodología planteada en la Sección4.3. Se utilizó una red de 17 nodos y 25 tramos, como la que se 
muestra en la Figura 5.1.  

 

 

Figura 5.1 Red 4x4 

Esta red tiene una topografía plana y cuenta con la información concerniente a los caudales de 

entrada en cada pozo de inspección 𝑄

𝑑

 y la topografía del terreno, es decir, las coordenadas 𝑥,𝑦 y 

𝑧 de cada pozo. Estos datos de entrada se presentan a continuación en la Tabla 5.1.  

 

Tabla 5.1 Datos de entrada para la selección del trazado de una red de alcantarillado 

Nodo

 

𝑸

𝒑

 

(m

3

/s) 

𝑿 

(m) 

𝒀 

(m) 

𝒁 

(m) 

0.328  100  500  100 

0.328  200  500  100 

0.328  300  500  100 

0.328  400  500  100 

0.328  100  400  100 

0.328  200  400  100 

0.328  300  400  100 

Nodo

 

𝑸

𝒑

 

(m

3

/s) 

𝑿 

(m) 

𝒀 

(m) 

𝒁 

(m) 

0.328  400  400  100 

0.328  100  300  100 

10 

0.328  200  300  100 

11 

0.328  300  300  100 

12 

0.328  400  300  100 

13 

0.328  100  200  100 

14 

0.328  200  200  100 

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Nodo

 

𝑸

𝒑

 

(m

3

/s) 

𝑿 

(m) 

𝒀 

(m) 

𝒁 

(m) 

15 

0.328  300  200  100 

16 

0.328  400  200  100 

Nodo

 

𝑸

𝒑

 

(m

3

/s) 

𝑿 

(m) 

𝒀 

(m) 

𝒁 

(m) 

17 

(Descarga) 

0.000  400  100  100 

Para definir la función de costos en términos del caudal de diseño de cada tubería, necesaria 

para el problema de selección del trazado, se realizó el proceso de inicialización planteado en  la 
Sección  4.3.1, 

donde  se 

generaron  coeficientes  𝑐

𝑖𝑗

  y  𝑎

𝑖𝑗

  aleatorios  positivos  para  cada  arco  del 

trazado

 (𝑖, 𝑗, 𝑡)

∈ 𝒜

𝐿

 (ver Tabla 8.1), según los cuales se generó una función de costos para cada 

arco, de la forma que plantea la Ecuación 4.17 y se obtuvo el trazado que presenta la Figura 5.2. 

𝑓(𝑦

𝑖𝑗𝑡

) = 𝑐

𝑖𝑗

 𝑦

𝑖𝑗𝑡

+ 𝑎

𝑖𝑗

 

Ecuación 4.17 

 

 

Figura 5.2. Primer trazado aleatorio obtenido utilizando Xpress-MP.  

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76 

 

La Figura 5.2, también destaca que el proceso de selección de trazado es muy rápido, tomando 

menos de 1 segundo para obtener el mejor trazado, de acuerdo con los coeficientes 𝑐

𝑖𝑗

 y 𝑎

𝑖𝑗

 dados 

para cada arco del trazado

 (𝑖, 𝑗, 𝑡)

∈ 𝒜

𝐿

.  

 
 

Tabla 5.2.  Resultado del primer trazado aleatorio en la iteración.

Tramo 

ID Nodo 

Tipo 

𝑸

𝒅

 

(m

3

/s) 

 

𝒊

 

𝒋 

 

0.246 

 

0.082 

 

0.656 

 

1.066 

 

0.082 

 

0.246 

 

0.328 

 

0.082 

 

0.082 

 

10 

0.656 

 

11 

11 

2.133 

 

12 

0.082 

 

13 

12 

0.492 

 

Tramo 

ID Nodo 

Tipo 

𝑸

𝒅

 

(m

3

/s) 

 

𝒊

 

𝒋 

 

14 

10 

0.820 

 

15 

10 

0.082 

 

16 

10 

11 

0.984 

 

17 

10 

14 

0.082 

 

18 

11 

15 

4.348 

 

19 

12 

11 

0.902 

 

20 

13 

0.410 

 

21 

14 

13 

0.082 

 

22 

14 

15 

0.328 

 

23 

15 

16 

5.004 

 

24 

16 

12 

0.082 

 

25 

16 

17 

5.250 

 

 

La  Tabla  5.2  presenta  el  trazado  obtenido,  especificando  el  tipo  de  tubería  (𝐼:  inicio;  𝐶: 

continuo), el caudal  de diseño y  el sentido  de  flujo en cada tramo.  De acuerdo  con  este trazado 
aleatorio, se realizó el diseño hidráulico de la red con cambio entre cotas de  1 cm (∇

̃= 1 𝑐𝑚) y 

utilizando los siguientes diámetros comerciales disponibles en metros.  

𝐷  =  { 0.2 , 0.38 , 0.4 , 0.5 , 0.65 , 0.80 , 0.9 , 1.05 , 1.20 , 1.3 , 1.55 , 1.6 , 1.8 , 2.2}  

La Tabla 5.3 presenta el resultado para el diseño hidráulico optimizado  del trazado aleatorio 

generado en la primera iteración. Esta solución al problema del diseño hidráulico se resolvió en un 
tiempo computacional de 250.21 s (4.17 min). Se presenta el diámetro y las pendientes para cada 

tramo, de acuerdo con las cotas batea de los nodos de diseño 𝑣

𝑖

𝑘

 y 𝑣

𝑗

𝑘

 que componen el tramo 

(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

≡ (𝑖, 𝑗, 𝑡) ∈ 𝒜

𝐿

.  Adicionalmente,  se  presenta  el  costo  de  construcción  de  cada 

tramo y el costo total de la red. El cálculo de todas las variables hidráulicas se presenta en la Tabla 
8.2 
en la sección de Anexos.  

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77 

 

Tabla 5.3. Diseño hidráulico de la red 𝒕 = 𝟏 

Tramo 

ID Nodo 

Tipo 

𝑸

𝒅

 

(m

3

/s) 

𝒅 

(m) 

Cota 

𝒔 

(-) 

Costo 

($COP) 

𝒊

 

𝒋 

𝒊

 

𝒋 

0.246 

0.65 

98.14 

98.03  0.0011 

 $        2 921 502  

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $        1 822 855  

0.656 

0.80 

98.03 

97.85  0.0018 

 $        3 647 217  

1.066 

1.05 

97.85 

97.74  0.0011 

 $        4 873 219  

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $        1 822 855  

0.246 

0.65 

98.14 

98.03  0.0011 

 $        2 921 502  

0.328 

0.65 

98.22 

98.09  0.0013 

 $        2 841 806  

0.082 

0.40 

98.39 

98.23  0.0016 

 $        1 892 045  

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $        1 822 855  

10 

0.656 

0.80 

98.09 

97.91  0.0018 

 $        3 563 901  

11 

11 

2.133 

1.20 

97.74 

97.52  0.0022 

 $        5 856 544  

12 

0.082 

0.40 

98.39 

98.23  0.0016 

 $        1 892 045  

13 

12 

0.492 

0.80 

98.03 

97.93  0.0010 

 $        3 591 600  

14 

10 

0.820 

0.90 

98.02 

97.87  0.0015 

 $        4 019 655  

15 

10 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $        1 822 855  

16 

10 

11 

0.984 

1.05 

97.87 

97.75  0.0012 

 $        4 845 838  

17 

10 

14 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $        1 822 855  

18 

11 

15 

4.348 

1.55 

97.52 

97.25  0.0027 

 $        8 201 123  

19 

12 

11 

0.902 

0.90 

97.93 

97.75  0.0018 

 $        4 183 507  

20 

13 

0.410 

0.65 

98.22 

98.02  0.0020 

 $        2 881 555  

21 

14 

13 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $        1 822 855  

22 

14 

15 

0.328 

0.65 

98.22 

98.09  0.0013 

 $        2 841 806  

23 

15 

16 

5.004 

1.30 

97.10 

96.24  0.0086 

 $        8 641 151  

24 

16 

12 

0.082 

0.40 

98.39 

98.23  0.0016 

 $        1 892 045  

25 

16 

17 

5.250 

1.30 

96.24 

95.29  0.0095 

 $     11 009 027  

Costo Total 

 $     93 454 222 

 

El costo de construcción total de la red fue de $ 93 454 222 COP. Ahora bien, para mejorar el 

trazado  se  procede  a  realizar  el  proceso  iterativo  en  el  cual  se  modifica  la  función  objetivo 
calculando los coeficientes 𝑐

𝑖𝑗

 y 𝑎

𝑖𝑗

 para cada arco del trazado

 (𝑖, 𝑗, 𝑡)

∈ 𝒜

𝐿

, como se explica en la 

Sección 4.3. Para esto se realizó una regresión lineal entre los caudales de diseño de cada tramo y 
su costo de construcción.  En el caso de esta primera iteración, dado que solo se tiene 1 dato de 
caudal y costo para cada tramo, se realizó la regresión lineal para toda la red y no para cada tramo 
de forma individual. Para el resto de las regresiones se realizaron las regresiones lineales para cada 

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78 

 

tramo, de forma que cada arco tuviera asociado un costo por unidad de flujo 𝑐

𝑖𝑗

 y un costo asociado 

con  el  uso  de  la  tubería  como  tal  𝑎

𝑖𝑗

  independientes.  Esto  permite  que  el  análisis  una  mejor 

aproximación  de una función de costos en función del caudal (flujo) para cada tubería.  

Se realizaron en total 1000 iteraciones (𝑡

𝑚𝑎𝑥

= 100), generando un trazado aleatorio inicial y 

entre cada trazado obtenido a partir de la estimación de la función objetivo para la selección del 
trazado.  Es decir que se realizaron 50 diseños con trazados aleatorios y 50 diseños con trazados 
calculados, para un total de 100 diseños de la red ejemplo. Como resultado se obtuvo entonces que 
el trazado para el cual se obtuvo el diseño hidráulico más económico fue el que se presenta en la 
Figura 5.3, y el diseño hidráulico óptimo para dicho trazado es el presentado en la Tabla 5.4, con el 
mejor  costo  encontrado  de  $  87  414  034  COP.  El  cálculo  del  resto  de  variables  hidráulicas  se 
presentan en la Tabla 8.3. 

 

Figura 5.3 Representación de la solución del mejor trazado de la red tras 100 iteraciones 

(obtenido utilizando Xpress-MP). 

 

Tabla 5.4. Mejor diseño hidráulico de la red tras 100 iteraciones. 

Tramo 

ID Nodo 

Tipo 

𝑸

𝒅

 

(m

3

/s) 

𝒅 

(m) 

Cota 

𝒔 

(-) 

Costo 

($COP) 

𝒊

 

𝒋 

𝒊

 

𝒋 

0.0820313  0.4 

98.39 

98.23  0.0016 

 $     1 892 045  

0.246094 

0.65 

98.14 

98.03  0.0011 

 $     2 921 502  

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79 

 

Tramo 

ID Nodo 

Tipo 

𝑸

𝒅

 

(m

3

/s) 

𝒅 

(m) 

Cota 

𝒔 

(-) 

Costo 

($COP) 

𝒊

 

𝒋 

𝒊

 

𝒋 

0.082 

0.4 

98.39 

98.23  0.0016 

 $     1 892 045  

0.328 

0.65 

98.23 

98.1 

0.0013 

 $     2 830 486  

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $     1 822 855  

0.328 

0.65 

98.23 

98.1 

0.0013 

 $     2 830 486  

0.410 

0.65 

98.22 

98.02  0.0020 

 $     2 881 555  

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $     1 822 855  

0.492 

0.8 

98.03 

97.93  0.0010 

 $     3 591 600  

10 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $     1 822 855  

11 

10 

0.656 

0.8 

98.1 

97.92  0.0018 

 $     3 550 080  

12 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $     1 822 855  

13 

11 

0.656 

0.8 

98.1 

97.92  0.0018 

 $     3 550 080  

14 

12 

0.820 

0.9 

98.02 

97.87  0.0015 

 $     4 019 655  

15 

10 

0.738 

0.9 

97.93 

97.81  0.0012 

 $     4 136 470  

16 

13 

0.082 

0.4 

98.39 

98.23  0.0016 

 $     1 892 045  

17 

10 

11 

1.640 

1.05 

97.81 

97.55  0.0026 

 $     5 084 777  

18 

10 

14 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $     1 822 855  

19 

11 

12 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22  0.0020 

 $     1 822 855  

20 

11 

15 

2.542 

1.3 

97.55 

97.34  0.0021 

 $     6 750 058  

21 

12 

16 

1.230 

1.05 

97.87 

97.72  0.0015 

 $     4 873 219  

22 

13 

14 

0.410 

0.65 

98.23 

98.03  0.0020 

 $     2 870 178  

23 

14 

15 

0.820 

0.9 

98.03 

97.88  0.0015 

 $     4 004 164  

24 

15 

16 

3.691 

1.3 

97.34 

96.87  0.0047 

 $     7 562 822  

25 

16 

17 

5.250 

1.3 

96.87 

95.92  0.0095 

 $     9 343 633  

COSTO TOTAL 

 $   87 414 034  

 

La solución a este problema se obtuvo en un tiempo computacional de 10143.30 s (2.82 h), lo 

cual se considera un muy buen tiempo, teniendo en cuenta la cantidad de alternativas evaluadas 
durante las 100 iteraciones. Para esto se utilizó un servidor con 64 GB de memoria RAM, dado que 
en un computador normal de 8 GB solo llegó hasta 75 iteraciones. Una vez finalizado este proceso 
de diseño de toda la red de alcantarillado, se puede decir que se obtuvo un excelente costo en un 
tiempo  considerablemente    bajo,  asegurando  siempre  diseños  hidráulicos  optimizados,  para  los 
trazados calculados. Sin embargo, no se puede asegurar que el trazado sea el óptimo, dado que la 
aproximación de la función de costos en función del caudal o flujo que pasa por cada tubería no 
representa muy bien los costos reales de la red.  

 

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80 

 

5.2  Convergencia del diseño de redes de alcantarillado 

 

La  Gráfica  5.1  presenta  la  convergencia  al  mejor  diseño  de  la  red  encontrado  durante  este 

proceso iterativo. Como se puede observar existe una tendencia a mejorar los trazados, según los 
cuales  se encuentran  diseños  con menores  costos de  construcción, a medida que  se aumenta el 
número de iteraciones. Esto se debe a que al agregar más datos a la regresión lineal, según la cual 
se establecen los coeficientes 𝑐

𝑖𝑗

 y 𝑎

𝑖𝑗

, se mejora la función objetivo para el problema de la selección 

del trazado. Sin embargo, no se  podría asegurar que tras 100 iteraciones se  encontró el trazado 
óptimo, por lo cual no se puede asegurar que para 100 iteraciones del problema de diseño de redes 
de alcantarillado se haya encontrado el diseño óptimo, pero sí uno muy cercano al óptimo. Esto 
teniendo  en  cuenta  que  la  gráfica  de  convergencia  presenta  unas  disminuciones  en  costos 
importantes durante las primeras 25 iteraciones, pero de ahí en adelante las reducciones en costos 
son menores al 1%. 

 

Gráfica 5.1.Convergencia al mejor trazado de la red de alcantarillado (𝛁

̃ = 𝟏 𝒄𝒎).

 

 

Por otro lado, se realizó el diseño de esta misma red, ahora con una variación entre cotas de 10 

cm  (∇

̃= 10 𝑐𝑚), lo que le da al diseño una menor precisión pero permite obtener el resultado 

 $87 000 000

 $88 000 000

 $89 000 000

 $90 000 000

 $91 000 000

 $92 000 000

 $93 000 000

 $94 000 000

0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Co

sto

 (

$CO

P)

No. Iteración

Convergencia del diseño de redes de alcantarillado

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mucho  más  rápido.  Para  esto  se  siguió  el  mismo  procedimiento  que  se  ha  venido  explicando. 
Después de 100 iteraciones, se encontró un diseño con un costo de $ 90 815 559 COP en 334.19 s 
(5.57  min).  De  acuerdo  con  lo  anterior,  se  comprueba  que  al  bajar  la  precisión  del  diseño  se 
incrementa el costo de construcción, pues no se están teniendo en cuenta muchas pendientes que 
podrían ser utilizadas en el diseño. Sin embargo, si lo que se necesita es tener un buen diseño en 
muy poco tiempo, utilizando un computador normal de 8GB de memoria RAM, esta puede ser una 
buena aproximación, teniendo en cuenta que la diferencia en costos no supera el 4%. Para este caso 
se encuentra que la gráfica de convergencia tiene la misma tendencia, como se observa en la Gráfica 
5.2.
 El Trazado y el diseño hidráulico para este caso se muestran en la Figura 8.1 y la Tabla 8.4 de la 
sección de Anexos. 

 

 

 

 

Gráfica 5.2. Convergencia al mejor trazado de la red de alcantarillado (𝛁

̃ = 𝟏𝟎 𝒄𝒎).

 

 

 $90 000 000

 $91 000 000

 $92 000 000

 $93 000 000

 $94 000 000

 $95 000 000

 $96 000 000

 $97 000 000

 $98 000 000

0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Co

sto

 (

$CO

P)

No. Iteración

Convergencia del diseño de redes de alcantarillado

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6  CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 

6.1  Problema de selección del trazado 

 

 

La metodología para la selección del trazado de sistemas de alcantarillado cumple con el 
objetivo  general,  pues  asegura  el  óptimo  global  desde  el  punto  de  vista  económico,  de 
acuerdo con la función objetivo establecida para este análisis. 

 

La determinación de la función objetivo, como una función de costos en términos del caudal 
de  diseño,  es  una  muy  buena  primera  aproximación  para  seleccionar  el  trazado,  que 
posteriormente será diseñado hidráulicamente.  

 

Al  comparar  el  diseño  hidráulico  de  la  red  con  el  trazado  óptimo,  obtenido  con  la 
metodología  propuesta,  se  corroboró  que  la  función  de  costos  utilizada  es  una  buena 
aproximación  a  los  costos  reales  que  tendría  la  red  en  caso  de  tener  ese  trazado 
seleccionado. 

 

Gracias a la forma como se modeló el problema, y la representación de la red utilizando 
cuatro arcos para representar los sentidos de flujo y el tipo de cada tubería, se logró correr 
algoritmos de optimización sobre este grafo para obtener una solución óptima. 

 

Al  modelar  el  problema  como  un  problema  de  optimización  entera  mixta  (Problema  de 
diseño de redes), donde se buscar de forma simultánea el diseño de la topología de la red y 
la solución al problema de Flujo de Costo Mínimo, se obtiene la selección del trazado óptimo 
de una red de alcantarillado, sujeto a la función de costos que se estime.  

 

Los tiempos computacionales para resolver este problema, son de menos de un segundo, 
gracias  al  software  utilizado  que  está  diseñado  para  resolver  este  tipo  de  problemas  de 
optimización.  Según  esto,  se  puede  decir  que  gracias  a  los  avances  tecnológicos  y  los 
diferentes programas que ayudan a solucionar este tipo de problemas, hoy en día se puede 
resolver de forma exacta este tipo de problema de diseño de redes de alcantarillado, lo que 
antiguamente era inimaginable. 

 

Se recomienda buscar otras funciones de costos que no sólo estén en función del caudal, 
sino también del tipo de tubería (de inicio o continua), teniendo en cuenta que las tuberías 
de inicio son más baratas que las continuas, ya que estas segundas llevan un mayor caudal 
y están ubicadas a una mayor profundidad. De esta forma se podría encontrar una función 
de costos que de una mejor aproximación a los costos reales y así poder tener mayor certeza 
de que se está obteniendo el trazado óptimo. 
 

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6.2  Problema de diseño hidráulico 

 

 

La metodología de diseño de redes de alcantarillado cumple con el objetivo general, pues 
asegura el diseño hidráulico óptimo desde el punto de vista económico, teniendo en cuenta 
los aspectos hidráulicos que aseguren el adecuado funcionamiento del sistema, con base en 
las normas colombianas: Reglamento Técnico del Sector de Agua Potable y Saneamiento 
Básico – RAS (2000). 

 

El uso del algoritmo de Bellman-Ford para etiquetar los nodos, permite establecer la ruta 
más cota mientras se genera el grafo desde la descarga hacia todos los inicios de un sistema 
de alcantarillado. 

 

El grafo que representa la red está conformado por nodos 𝑣

𝑖

𝑘

∈ 𝒩

𝐷

, que representan una 

combinación  diámetro  𝛿(𝑣

𝑖

𝑘

)-cota  ∇(𝑣

𝑖

𝑘

)  y  arcos  (𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) ∈ 𝒜

𝐷

  que  representan  las 

tuberías y tienen asociado un diámetro  𝑑(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

), una pendiente 𝑠(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

) y un costo 

𝑐(𝑣

𝑖

𝑘

, 𝑣

𝑗

𝑘

). 

 

La  solución  del  grafo  se  busca  desde  cada  inicio  hacia  aguas  abajo,  buscando  los  nodos 
predecesores que conforman la ruta más corta (la serie de mínimo costo), hasta llegar a la 
descarga. 

 

La precisión del diseño afecta tanto los costos como los tiempos de ejecución del algoritmo, 
ya que un diseño más preciso toma un tiempo mucho mayor, pero lleva a costos menores. 

 

Se encontró que en el diseño hidráulico el costo computacional se reduce drásticamente si 
se  evalúa  primero  la  factibilidad  económica  antes  que  la  hidráulica,  ya  que  la  segunda 
consume más tiempo de ejecución por el número de iteraciones que realiza. 

 

  

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8  ANEXOS 

Tabla 8.1 Coeficientes aleatorios para la función de costos de cada tubería. 

No. Tubería 

(arcos de trazado) 

ID Nodo 

Coeficientes 

𝒊 

𝒋 

𝒄

𝒊𝒋

 

𝒂

𝒊𝒋

 

2  0.410  0.463 

5  0.964  0.630 

1  0.731  0.375 

3  0.208  0.334 

6  0.947  0.508 

2  0.333  0.443 

4  0.006  0.999 

7  0.397  0.429 

3  0.968  0.504 

10 

8  0.294  0.717 

11 

1  0.940  0.910 

12 

6  0.116  0.209 

13 

9  0.805  0.205 

14 

2  0.937  0.491 

15 

5  0.771  0.173 

16 

7  0.660  0.549 

17 

6  10  0.523  0.778 

18 

3  0.348  0.308 

19 

6  0.157  0.555 

20 

8  0.140  0.789 

21 

7  11  0.744  0.225 

22 

4  0.506  0.962 

23 

7  0.378  0.588 

24 

8  12  0.545  0.836 

25 

5  0.695  0.699 

No. Tubería 

(arcos de trazado) 

ID Nodo 

Coeficientes 

𝒊 

𝒋 

𝒄

𝒊𝒋

 

𝒂

𝒊𝒋

 

26 

9  10  0.205  0.637 

27 

9  13  0.540  0.723 

28 

10 

6  0.005  0.255 

29 

10 

9  0.577  0.163 

30 

10  11  0.623  0.009 

31 

10  14  0.974  0.509 

32 

11 

7  0.142  0.983 

33 

11  10  0.185  0.631 

34 

11  12  0.161  0.880 

35 

11  15  0.395  0.153 

36 

12 

8  0.482  0.804 

37 

12  11  0.011  0.208 

38 

12  16  0.432  0.824 

39 

13 

9  0.178  0.707 

40 

13  14  0.890  0.617 

41 

14  10  0.245  0.987 

42 

14  13  0.038  0.482 

43 

14  15  0.592  0.100 

44 

15  11  0.218  0.711 

45 

15  14  0.655  0.617 

46 

15  16  0.120  0.028 

47 

16  12  0.233  0.124 

48 

16  15  0.652  0.591 

49 

16  17  0.984  0.073 

50 

17  16  0.207  0.074 

 

 

 

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Tabla 8.2. Diseño hidráulico del primer trazado aleatorio. 

Tamo 

ID Nodo 

ID Nodo 

Tipo 

𝑸

𝒅

 

𝒅 

cota 

Cota 

𝒔 

Costo 

($COP) 

𝒍 

𝒚𝒏/𝒅 

𝒚𝒏 

𝜽 

𝑹 

𝑨 

𝒗 

𝝉 

𝑭𝒓 

𝒊 

𝒋 

𝒊 

𝒋 

0.246 

0.65 

98.14 

98.03 

0.0011 

$        2 921 502 

100 

0.696 

0.453 

3.949 

0.192 

0.247 

0.998 

2.074 

0.496 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22 

0.002 

$        1 822 855 

100 

0.699 

0.266 

3.962 

0.113 

0.085 

0.968 

2.208 

0.627 

0.656 

0.80 

98.03 

97.85 

0.0018 

$        3 647 217 

100 

0.822 

0.657 

4.540 

0.243 

0.442 

1.485 

4.298 

0.558 

1.066 

1.05 

97.85 

97.74 

0.0011 

$        4 873 219 

100 

0.847 

0.889 

4.673 

0.319 

0.782 

1.364 

3.438 

0.429 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22 

0.002 

$        1 822 855 

100 

0.699 

0.266 

3.962 

0.113 

0.085 

0.968 

2.208 

0.627 

0.246 

0.65 

98.14 

98.03 

0.0011 

$        2 921 502 

100 

0.696 

0.453 

3.949 

0.192 

0.247 

0.998 

2.074 

0.496 

0.328 

0.65 

98.22 

98.09 

0.0013 

$        2 841 806 

100 

0.838 

0.545 

4.626 

0.197 

0.297 

1.105 

2.519 

0.448 

0.082 

0.40 

98.39 

98.23 

0.0016 

$        1 892 045 

100 

0.689 

0.275 

3.915 

0.118 

0.092 

0.889 

1.850 

0.569 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22 

0.002 

$        1 822 855 

100 

0.699 

0.266 

3.962 

0.113 

0.085 

0.968 

2.208 

0.627 

10 

0.656 

0.80 

98.09 

97.91 

0.0018 

$        3 563 901 

100 

0.822 

0.657 

4.540 

0.243 

0.442 

1.485 

4.298 

0.558 

11 

11 

2.133 

1.20 

97.74 

97.52 

0.0022 

$        5 856 544 

100 

0.838 

1.006 

4.629 

0.365 

1.013 

2.106 

7.868 

0.628 

12 

0.082 

0.40 

98.39 

98.23 

0.0016 

$        1 892 045 

100 

0.689 

0.275 

3.915 

0.118 

0.092 

0.889 

1.850 

0.569 

13 

12 

0.492 

0.80 

98.03 

97.93 

0.001 

$        3 591 600 

100 

0.833 

0.667 

4.600 

0.243 

0.448 

1.100 

2.386 

0.405 

14 

10 

0.820 

0.90 

98.02 

97.87 

0.0015 

$        4 019 655 

100 

0.829 

0.746 

4.578 

0.274 

0.564 

1.455 

4.028 

0.509 

15 

10 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22 

0.002 

$        1 822 855 

100 

0.699 

0.266 

3.962 

0.113 

0.085 

0.968 

2.208 

0.627 

16 

10 

11 

0.984 

1.05 

97.87 

97.75 

0.0012 

$        4 845 838 

100 

0.746 

0.784 

4.172 

0.316 

0.693 

1.420 

3.725 

0.520 

17 

10 

14 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22 

0.002 

$        1 822 855 

100 

0.699 

0.266 

3.962 

0.113 

0.085 

0.968 

2.208 

0.627 

18 

11 

15 

4.348 

1.55 

97.52 

97.25 

0.0027 

$        8 201 123 

100 

0.787 

1.220 

4.364 

0.471 

1.593 

2.729 

12.474 

0.778 

19 

12 

11 

0.902 

0.90 

97.93 

97.75 

0.0018 

$        4 183 507 

100 

0.832 

0.748 

4.591 

0.274 

0.565 

1.596 

4.832 

0.556 

20 

13 

0.410 

0.65 

98.22 

98.02 

0.002 

$        2 881 555 

100 

0.842 

0.547 

4.646 

0.197 

0.298 

1.376 

3.873 

0.555 

21 

14 

13 

0.082 

0.38 

98.42 

98.22 

0.002 

$        1 822 855 

100 

0.699 

0.266 

3.962 

0.113 

0.085 

0.968 

2.208 

0.627 

22 

14 

15 

0.328 

0.65 

98.22 

98.09 

0.0013 

$        2 841 806 

100 

0.838 

0.545 

4.626 

0.197 

0.297 

1.105 

2.519 

0.448 

23 

15 

16 

5.004 

1.30 

97.10 

96.24 

0.0086 

$        8 641 151 

100 

0.799 

1.038 

4.422 

0.395 

1.136 

4.403 

33.360 

1.347 

24 

16 

12 

0.082 

0.40 

98.39 

98.23 

0.0016 

$        1 892 045 

100 

0.689 

0.275 

3.915 

0.118 

0.092 

0.889 

1.850 

0.569 

25 

16 

17 

5.250 

1.30 

96.24 

95.29 

0.0095 

$     11 009 027 

100 

0.797 

1.036 

4.413 

0.395 

1.134 

4.629 

36.847 

1.419 

COSTO TOTAL 

$     93 454 222 

 

 

 

 

 

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/9fc419c8f7097508d519217ef7ea7d2e/index-html.html
background image

 

Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Metodología para el Diseño Optimizado de Redes de Alcantarillado

 

ICYA4202-201510

 

 

 

Natalia Duque Villarreal 

Tesis II 

89 

 

 

Tabla 8.3. Mejor diseño hidráulico de la red tras 100 iteraciones (𝛁

̃ = 𝟏 𝒄𝒎)

Tamo 

ID Nodo 

ID Nodo 

Tipo 

𝑸

𝒅

 

𝒅 

cota 

Cota 

𝒔 

Costo 

($COP) 

𝒍 

𝒚𝒏/𝒅 

𝒚𝒏 

𝜽 

𝑹 

𝑨 

𝒗 

𝝉 

𝑭𝒓 

𝒊 

𝒋 

𝒊 

𝒋 

0.0820313 

0.4 

98.39 

98.23 

0.0016 

 $     1 892 045  

100 

0.689 

0.275 

3.915 

0.118 

0.092 

0.889 

1.850 

0.569 

0.246094 

0.65 

98.14 

98.03 

0.0011 

 $     2 921 502  

100 

0.838 

0.545 

4.626 

0.197 

0.297 

1.105 

2.519 

0.448 

0.0820313 

0.4 

98.39 

98.23 

0.0016 

 $     1 892 045  

100 

0.822 

0.657 

4.540 

0.243 

0.442 

1.485 

4.298 

0.558 

0.328125 

0.65 

98.23 

98.1 

0.0013 

 $     2 830 486  

100 

0.696 

0.453 

3.949 

0.192 

0.247 

0.998 

2.074 

0.496 

0.0820313 

0.38 

98.42 

98.22 

0.0020 

 $     1 822 855  

100 

0.833 

0.667 

4.600 

0.243 

0.448 

1.100 

2.386 

0.405 

0.328125 

0.65 

98.23 

98.1 

0.0013 

 $     2 830 486  

100 

0.837 

0.754 

4.622 

0.273 

0.569 

1.298 

3.219 

0.448 

0.410156 

0.65 

98.22 

98.02 

0.0020 

 $     2 881 555  

100 

0.840 

0.882 

4.638 

0.319 

0.777 

2.113 

8.135 

0.671 

0.0820313 

0.38 

98.42 

98.22 

0.0020 

 $     1 822 855  

100 

0.829 

1.078 

4.578 

0.395 

1.177 

2.161 

8.145 

0.629 

0.492188 

0.8 

98.03 

97.93 

0.0010 

 $     3 591 600  

100 

0.799 

1.038 

4.422 

0.395 

1.137 

3.248 

18.232 

0.993 

10 

0.0820313 

0.38 

98.42 

98.22 

0.0020 

 $     1 822 855  

100 

0.797 

1.036 

4.413 

0.395 

1.134 

4.629 

36.847 

1.419 

11 

10 

0.65625 

0.8 

98.1 

97.92 

0.0018 

 $     3 550 080  

100 

0.689 

0.275 

3.915 

0.118 

0.092 

0.889 

1.850 

0.569 

12 

0.0820313 

0.38 

98.42 

98.22 

0.0020 

 $     1 822 855  

100 

0.838 

0.545 

4.626 

0.197 

0.297 

1.105 

2.519 

0.448 

13