Diseño Optimizado de Redes Abiertas con Demandas Dependientes

El presente documento describe una aproximación al diseño optimizado de redes de distribución de agua potable (RDAP) a través de metodologías que combinan Programación Lineal con conceptos relacionados con el uso energético de la red. Con lo anterior, se busca obtener la combinación de diámetros de menor costo para la red en el menor tiempo posible, asegurando su validez hidráulica. Esta aproximación fue aplicada a diferentes redes abiertas con demandas dependientes de la presión (DDP), las cuales se modelaron a través de emisores, alcanzando así un primer paso para el establecimiento de metodologías que permitan diseñar redes con DDP de mayor complejidad.

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DISEÑO OPTIMIZADO DE REDES ABIERTAS CON DEMANDAS 

DEPENDIENTES DE LA PRESIÓN USANDO PROGRAMACIÓN LINEAL 

“XII Simposio Iberoamericano sobre planificación de sistemas de 

abastecimiento y drenaje” 

 

Camilo Salcedo (1), Diego Páez (2), David Hernández (3), Laura Manrique (4), Juan 

Saldarriaga (5) 

 
 (1) Investigador, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de los 
Andes  (CIACUA),  Carrera  1  No.  18ª-10,  Bogotá,  Colombia.  Teléfono:  3394949  Ext:  2810.  Email: 
ca.salcedo959@uniandes.edu.co. 
(2) Profesor Instructor, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad 
de  los  Andes  (CIACUA),  Carrera  1  No.  18ª-10,  Bogotá,  Colombia.  Teléfono:  3394949  Ext:  2810. 
Email:da.paez27@uniandes.edu.co.  
(3, 4) Investigador, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de los 
Andes  (CIACUA),  Carrera  1  No.  18ª-10,  Bogotá,  Colombia.  Teléfono:  3394949  Ext:  2810.  Email: 
da.hernandez39@uniandes.edu.co, l.manrique83@uniandes.edu.co,  
(5) Profesor Titular, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de 
los  Andes  (CIACUA),  Carrera  1  No.  18ª-10, Bogotá,  Colombia.  Teléfono:  3394949 Ext:  2810.  Email: 
jsaldarr@uniandes.edu.co.  
 

RESUMEN 

 
El  presente  documento  describe  una  aproximación  al  diseño  optimizado  de  redes  de  distribución  de  agua 
potable  (RDAP)  a  través  de  metodologías  que  combinan  Programación  Lineal  con  conceptos  relacionados 
con  el  uso  energético  de  la  red.  Con  lo  anterior,  se  busca  obtener  la  combinación  de  diámetros  de  menor 
costo  para  la  red  en  el  menor  tiempo  posible,  asegurando  su  validez  hidráulica.  Esta  aproximación  fue 
aplicada a diferentes redes abiertas con demandas dependientes de la presión (DDP), las cuales se modelaron 
a  través  de  emisores,  alcanzando  así  un  primer  paso  para  el  establecimiento  de  metodologías  que  permitan 
diseñar redes con DDP de mayor complejidad. 
 
Palabras claves: Emisores, Programación Lineal, Tuberías en Serie, RDAP, Demandas Dependientes de la 
Presión. 
 

ABSTRACT 

 
This paper describes an approximation to the optimal design of water distribution networks (WDN) through 
a methodology which combines linear programming with energy-based concepts. As result, it is expected to 
obtain  a  set  of  diameters  which  have  the  minimum  cost  in  the  least  computational  time  possible,  and  also 
ensuring its hydraulic operation.   This approximation was applied to different WDN’s with pressure driven 
demands  (PDD),  which  were  modeled  through  the  use  of  emitters,  and  establishing  the  first  step  of  a 
methodology that allows the design of more complex networks whose demands behave as PDD. 
 
Key words:  Emitters, Linear Programming, Pipes in Series, WDN, Pressure-Driven Demands. 
 
 

SOBRE EL AUTOR PRINCIPAL 

 
Camilo  Andrés  Salcedo  Ballesteros:  Estudiante  de  Maestría  en  Ingeniería  Civil  con  énfasis  en  Recursos 
Hídricos e Hidroinformática en la Universidad de los Andes, Colombia, en donde también obtuvo sus títulos 
de  pregrado  como  Ingeniero  Civil  e  Ingeniero  Industrial  en  Marzo  del  2013.  Actualmente  se  desempeña 
como investigador del Centro de Investigaciones  en  Acueductos  y Alcantarillados  de la Universidad de los 
Andes (CIACUA).  
 
 

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INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES  

 

Una red abierta está conformada por un conjunto de 
tuberías formando un sistema en árbol con al menos 
un  embalse  de  alimentación,  y  distintos  nudos  de 
demanda,  comformando  así  a  un  tipo  de  sistema  de 
distribución  de  agua  potable  (RDAP).  En  la 
clasificación  de  las  redes  de  distribución  según  sus 
demandas  se  pueden  diferenciar  dos  tipos:  Aquellas 
en  donde  la  demanda  en  cada  nudo  es  conocida  o 
independiente,  y  aquellas  en  donde  esta  es 
dependiente  de  la  presión  en  al  menos  uno  de  los 
nudos  de  la  red.  Estas  últimas  se  conocen  como 
redes  con  demandas  dependientes  de  la  presión 
(DDP). 
 
Para  el  diseño  optimizado  de  los  sistemas  con 
demandas  independientes  se  han  desarrollado 
metodologías 

metaheurísiticas 

de 

diseño 

optimizado  enfocadas  a  la  minimización  de  los 
costos  constructivos  del  sistema,  las  cuales  se 
encargan  de  escoger  una  combinación  de  diámetros 
para la red tal que para cada nudo se cumpla con una 
presión  mayor  o  igual  a  la  mínima  establecida  y  se 
entreguen  los  caudales  demandados.  Dentro  de  las 
metaheurísticas probadas en este tipo de sistemas se 
pueden  mencionar  los  Algoritmos  Genéticos  (Savic 
&  Waters  (1997);  Wu  &  Simpson  (2001);  Reca  et 
al.,  
2006),  Simulated  Annealing  (Cunha  &  Sousa 
(1999);  Reca,  et  al.,  2007),  Búsqueda  de  Armonía 
(Geem  (2002);  Gemm  (2009)),  y  la  Colonia  de 
Hormigas  (Zecchin  et  al.,  2006,  Ostfled  et  al., 
2008),  entre  otros.  También  investigadores  como 
Ipai  Wu  (1975)  y  Ochoa  y  Saldarriaga  (2009)  han 
propuesto  y  desarrollado  metodologías  que  utilizan 
el  conocimiento  hidráulico  de  una  red  cerrada  para 
optimizar  el  uso  de  la  energía  disponible  y  llevar  a 
diseños  de  mínimos  costo;  entre  estas  últimas  se 
encuentran  los  métodos  de  superficie  óptima  de 
gradiente  hidráulico  (SOGH)  y  superficie  de  uso 
óptimo de potencia (OPUS). 
 
Por su parte, en el caso de los modelos dependientes 
de  la  presión  se  han  probado  un  número  menor  de 
metaheurísticas,  dentro  de  las  cuales  la  mayoría  se 
han  aplicado  para  diseñar  redes  de  riego  haciendo 
uso de emisores en cada uno de sus nudos. Dentro de 
dichas  metaheurísticas  se  pueden  encontrar  los 
Algorítmos  Genéticos  (Farmani  et  al.,  2007), 
Programación Lineal Difusa (Spiliotis et al., 2007) y 
Diseños  Recursivos  (González-Cebollada  et  al.
2011).  
 
Usualmente, el diseño de las redes de distribución se 
ha  realizado  de  forma  tal  que  la  demanda  es 
independiente de la presión en los nudos, hecho que 

no  refleja  la  realidad  de  todas  las  RDAP.  Para  esta 
investigación,  por  el  contrario,  el  tipo  de  RDAPs 
utilizado  incluye  demandas  dependientes  de  la 
presión,  haciendo  uso  de  emisores,  los  cuales  han 
probado  ser  útiles  al  modelar  fugas,  redes  contra 
incendios  y  sistemas  de  riego.  Este  documento 
muestra  los  resultados  obtenidos  al  aplicar  una 
metodología  donde  se  combinan  los  conceptos  de 
energía 

anteriormente 

expuestos 

con 

una 

formulación de Programación Lineal en un software 
especializado,  buscando  alcanzar  diseños  cuyos 
costos  constructivos  sean  mínimos,  en  el  menor 
tiempo posible. Para lo anterior, se diseñaron varias 
RDAP  con  DDP  utilizando  las  metodologías 
convencionales  de  diseño  óptimo  y  la  metodología 
propuesta.  Las  redes  diseñadas  están  conformadas 
por varias tuberías en serie, y se diferenciaban entre 
sí por su topografía y los parámetros utilizados para 
modelar los emisores.  
 
Esta  investigación  puede  ser  considerada  como  el 
primer paso para establecer metodologías  enfocadas 
a  solucionar  el  problema  de  diseño  optimizado  de 
redes  de  distribución  de  agua  potable  aplicado  al 
caso de sistemas cuyas demandas sean dependientes 
de la presión, con un nivel de complejidad mayor, y 
fundamentándose en conceptos hidráulicos en vez de 
basarse en métodos heurísticos.  
 

 
 

MARCO TEÓRICO 

 

Línea Óptima de Gradiente Hidráulico Para 
Tuberías en Serie 
 

Basados  en  los  resultados  de  Ipai-Wu  (1975),  
Ochoa 

Saldarriaga 

(2009) 

definieron 

la 

metodología  de  diseño  conocida  como  Superficie 
Óptima 

de 

Gradiente 

Hidráulico 

(SOGH), 

posteriormente  modificada  en  Superficie  de  Uso 
Óptimo  de  Potencia  (OPUS),  la  cual  se  encuentra 
basada en la hidráulica de la red. De acuerdo con los 
resultados  de  Wu,  el  diseño  de  mínimo  costo  en  un 
tramo  de  tuberías  en  serie  usualmente  forma  una 
línea  de  gradiente  hidráulico    (LGH)  parabólica. 
Para  establecer  el  comportamiento  de  la  ecuación 
cuadrática del gradiente hidráulico se deben conocer 
tres  puntos  que  describan  la  función  parabólica. 
Estos puntos se muestran en la Figura 1, y son: 
 

  H

max

La altura piezométrica disponible para 

toda la red, y así como la altura del embalse, 
se encuentra ubicado en la abscisa d = 0. 

  H

min

:  La  altura  piezométrica  mínima  para  el 

nudo crítico, el cual bien puede ser la unión 

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final  de  la  red,  o  bien  aquel  que  tenga  una 
altura  total  cercana  a  la  mínima  como 
consecuencia  de  su  elevación.  En  caso  que 
esta  sea  definida  en  el  nudo  final,  se 
encontrará en la abscisa d = d

total

  H

flecha

:  Corresponde  a  la  altura  en  el  punto 

de máxima curvatura de la línea de gradiente 
hidráulico  (LGH).  Este  punto  se  define  por 
la  flecha,  la  cual  es  un  porcentaje  de  la 
altura  disponible  en  la  red,  es  decir,  la 
diferencia  entre  H

max 

y  H

min

.  Este  punto 

siempre se localiza en la abscisa d = d

total

/2. 

 

 

Figura 1. Línea de Gradiente Hidráulico 

Objetivo, Basada en Tres Puntos Conocidos 

Como  se  puede  observar  en  la  Figura  1,  existe  una 
línea  recta  correspondiente  al  caso  cuando  la  LGH 
es  lineal.  Cuando  la  flecha  es  igual  a  0%,  el 
gradiente  será  igual  a  esta  línea  recta,  pero  cuando 
este porcentaje es distinto a 0% la altura en la mitad 
de  la  serie  de  tuberías  será  igual  a  la  altura  en  el 
punto  medio  de  la  línea  recta  menos  la  flecha 
multiplicada por la altura disponible en el sistema.  
 
De  acuerdo  con  lo  anterior,  la  línea  de  gradiente 
hidráulico objetivo se puede  encontrar  a partir de la 
Ecuación 1. 
 

d

d

LGH

j

2

 (1) 

 

En donde LGH

j

 corresponde a la altura en  el nudo j 

ubicada  a  una  distancia  d  desde  la  reserva,  F  es  la 
flecha  seleccionada  y  H

max 

y  H

min 

son  las  alturas  en 

los puntos mencionados. Asimismo, cada uno de los 
coeficientes utilizados (α, β y 

)

  se describe en las 

ecuaciones a continuación: 
 

2

m in

m ax

)

(

4

total

d

H

H

F

 (2) 

 

total

d

H

H

F

)

(

)

4

1

(

m in

m ax

 (3) 

 

m ax

H

 (4) 

 
 

Formulación Para el Diseño Optimizado de 
Redes Abiertas Utilizando Programación 
Lineal  
 

El  diseño  optimizado  consiste  en  encontrar  la 
combinación  de  diámetros  con  el  menor  costo 
constructivo posible a partir de parámetros dados de 
una  red  tales  como  su  topología,  la  longitud  de  las 
tuberías,  su  topografía,  el  requerimiento  de  presión 
mínima  y  la  conexión  entre  nudos  y  conductos.  La 
solución  obtenida  debe  obedecer  los  principios  de 
conservación  de  masa  y  energía,  así  como  los 
requerimientos  mínimos  de  presión  en  cada  nudo. 
Asimismo,  es  importante  mencionar  que  dentro  del 
alcance  de  la  presente  investigación  no  se 
consideraron  otro  tipo  de  restricciones  como  las 
velocidades máxima ni mínima.   
 
La  formulación  matemática  de  este  problema  se 
muestra a continuación. 
 
Función Objetivo 
 
La función objetivo consiste en minimizar los costos 
constructivos  de  la  red,  los  cuales  se  calculan  a 
través de la Ecuación 5. 
 

      ∑   

 

 

 

 

  

   

  (5) 

 

en donde NP corresponde a número de tuberías de la 
red, 

 

 

  es  la  longitud  de  la  tubería  i, 

 

 

  es  el 

diámetro  de  la  tubería  i,  y  los  parámetros  K    y  x  se 
obtienen a partir de una regresión ajustada a la curva 
de  costos  unitarios  de  las  tuberías  en  función  de  su 
diámetro.  
 
Restricciones del Problema 
 
Las  restricciones  del  problema  de  optimización 
asociado con el diseño se describen a continuación: 
 

  Conservación de la masa 

 

 

 

   

(  

 

    

 

)

            

      

               

              

(6) 

 

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donde 

 

 

 es el caudal total en la tubería i, 

  

 

 es la 

demanda  base  en  el  nudo  j,  y 

  

 

  es  el  caudal  del 

emisor en el nudo j, el cual depende de la presión en 
dicho nudo.  
 

  Conservación de la Energía 

 

 

 

   

 

 

∑ ( 

 

 

   

  

)

        

        

      

          

           

(7) 

 
donde 

 

 

  es  la  altura  total  en  el  nudo  j, 

 

 

  es  la 

altura  total  en  el  embalse, 

 

 

 

  son  las  pérdidas  por 

fricción en la tubería i, 

 

  

 las pérdidas menores en 

la  tubería  i,  y  NN  representa  el  número  total  de 
nudos en la red. Para esta investigación, las pérdidas 
por  fricción  se  calcularon  utilizando  la  ecuación  de 
Darcy-Weisbach.  
 

  Presión Mínima en Nudos de Demanda 

 

 

 

     

 

     

             (8) 

 

donde 

 

 

     

  es  la  altura  mínima  requerida  en  el 

nudo  j,  la  cual  corresponde  a  la  mínima  presión 
admisible.  
 

  Diámetros de las Tuberías 

 

 

 

       

 

                 (9) 

 
Los  diámetros  de  las  tuberías  únicamente  pueden 
tomar  valores  discretos,  pertenecientes  a  la  lista 
comercial representada por  

 

 

.  

 
Finalmente, es importante recordar que al tratarse de 
demandas  dependientes  de  la  presión,    el  caudal  en 
cada  nudo  no  se  conoce  con  antelación  a  la 
realización  del  diseño.  Por  esta  razón,  no  se  puede 
aplicar  directamente  Programación 

Lineal  al 

problema para encontrar su óptimo global. 
 

 
Diseño de Submódulos de Riego Utilizando 
Programación Lineal 
 

Para  el  diseño  de  redes  abiertas  con  demandas 
constantes 

se 

han 

propuesto 

formulaciones 

utilizando  Programación  Lineal,  las  cuales  han 
obtenido buenos resultados. Sin embargo, cuando se 
trata  de  redes  con  demandas  dependientes  de  la 
presión,  estas  formulaciones  dejan  de  ser  aplicables 

directamente  al  problema  de  optimización  asociado 
ya  que  el  caudal  en  cada  nudo  va  a  depender  de  la 
presión que se tenga  en un dado instante de tiempo, 
razón por la cual no se puede conocer la demanda de 
forma previa a la realización del diseño (Hernández, 
2012). Como solución a este problema se propuso la 
utilización de una superficie de gradiente hidráulico, 
con  el  fin  de  poder  asignar  a  cada  emisor  una 
presión, y así conocer el caudal demandado por este.  
 
Sin embargo, se detectó un  segundo problema en  el 
uso  de  programación  lineal  atribuido  al  uso  de 
emisores;  este  fue  la  sensibilidad  del  diseño  a  la 
flecha  inicial  utilizada.  Por  lo  anterior,  se  buscó 
establecer  un  rango  de  flechas  que  permitieran 
obtener resultados factibles, y a su vez que arrojaran 
el diseño de menor costo posible.    
 
Para  resolver  los  problemas  descritos  anteriormente 
de  forma  simultánea,  Hernández  (2012)  planteó  un 
algoritmo  de  11  pasos  en  donde  se  combina  la 
Programación  Lineal  con  la  metodología  conocida 
como  OPUS  con  el  fin  de  realizar  diseños  de 
submódulos  de  riego.  Los  pasos  de  dicho  algoritmo 
son: 
 
1.  Conocer  la  topología  del  submódulo  de  riego,  el 
caudal  medio  demandado  por  planta,  el  número  de 
emisores  en  cada  nudo  con  su  respectivas 
ecuaciones,  el coeficiente de uniformidad (CU) y  el 
de variabilidad (CV).  
 
2.  Determinar  la  Presión  de  Entrada  al  Submódulo 
(PES)  y  la  presión  mínima  aceptable  en  los 
emisores. 
 
3.  Establecer  la  superficie  de  gradiente  hidráulico 
deseado  utilizando  la  metodología  OPUS.  Esto  se 
debe realizar para la flecha de 0  y de 0.25.  
 
4. Luego de obtener las presiones en la red, calcular 
los caudales en cada  nudo, y luego asignarlos como 
demanda  base  a  cada  unión,  suponiéndose 
constantes  en  la  modelación.  Se  debe  recordar  que 
este  procedimiento  se  debe  realizar  para  ambas 
flechas estudiadas (0 y 0.25).  
 
5. Calcular las matrices de costo, de pérdidas totales, 
de conectividad, y de LGH mínimas. Con lo anterior 

la 

formulación 

de 

programación 

lineal 

implementada,  realizar  el  diseño  del  submódulo  de 
interés. Se obtendrán dos diseños, el más económico 
asociado  con  la  flecha  de  0.25,  y  el  más  costoso 
asociado con la flecha de 0.  
 

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6.  Dado que  en  el  paso  anterior  se  realizó  el  diseño 
considerando  demandas  constantes,  es  necesario 
verificar  el  comportamiento  del  sistema  una  vez  se 
modelen  los  emisores.  Por  lo  tanto,  utilizando  los 
diseños  obtenidos  en  el  paso  anterior  con  emisores 
se  obtendrá  para  cada  nudo  el  caudal  emitido. 
Posteriormente,  se  deben  sumar  los  caudales 
emitidos por cada nudo, para cada una de las  flechas 
utilizadas (0 y 0.25). 
  
7.  En  cada  nudo,  se  deben  promediar  los  caudales 
emitidos  para  las  flechas  de  0  y  0.25,  y 
posteriormente se asignará esta demanda constante a 
dichas  uniones.  Como  resultado  de  esto,  se  obtuvo 
un  nuevo  submódulo  de  riego  con  las  mismas 
características  topológicas  iniciales,  pero  con 
caudales  constantes  obtenidos  a  partir  de  promediar 
los resultantes del paso 6.  
 
Los  pasos  8  y  9  de  la  metodología  propuesta  por 
Hernández (2012) consisten en repetir el paso 5 y 6, 
pero  esta  vez  utilizando  únicamente  los  caudales 
promediados, obtenidos en el paso 7.  
 
10. Comprobar la factibilidad del diseño obtenido en 
el  paso  anterior,  verificando  que  el  coeficiente  de 
uniformidad (CU) sea mayor al establecido, y que en 
ningún  nudo  del  sistema  se  presenten  presiones 
inferiores  a  la  mínima.  Si  el  diseño  resulta  ser 
factible,  el  algoritmo  termina  y  se  concluye  que  se 
obtuvo  una  solución.  En  caso  contrario  se  debe 
proceder al paso 11.  
 
11.  Para  continuar  con  la  búsqueda  de  la  solución 
óptima  se  debe  establecer  a  cual  diseño  se  le 
asignará  el  encontrado  en  el  paso  9.  Para  esto,  se 
establecerá  que  si  existen  nudos  con  déficit  de 
presión,  el  diseño  de  la  flecha  0.25  asumirá  los 
valores  de  la  iteración  anterior;  por  el  contrario,  si 
no  hay  nudos  con  déficit  de  presión,  será  el  diseño 
de  la  flecha  0  quien  tomará  el  valor  de  la  iteración 
anterior.  Una  vez  reasignado  este  valor,  se  debe 
volver al paso 7 hasta que el diseño resulte factible. 
Este procedimiento sigue un algoritmo de bisección, 
el cual alcanza el diseño óptimo luego de la quinta o 
sexta iteración.  
 
Luego  de  probar  el  algoritmo  descrito  en  diferentes 
submódulos  de  riego  utilizados  como  casos  de 
estudio  se  pudo  llegar  a  algunas  conclusiones,  con 
las  cuales se logró extrapolar  la metodología que se 
describirá más adelante.  
 
Dentro  de  las  conclusiones  más  importantes  se 
encontró  que  el  diseño  de  mínimo  costo  para  este 
tipo de sistemas tiene una flecha ubicada en el rango 

entre 0 y 0.25. Asimismo, se obtuvo que al iniciar el 
proceso  de  optimización  con  una  flecha  de  0  se 
obtenía  una  solución  factible,  en  donde  todos  los 
nudos cumplían con la restricción de presión mínima 
pero sus costos constructivos eran los más altos. Por 
el  contrario,  al  iniciar  con  una  flecha  de  0.25  se 
obtenían  alternativas  no  factibles  ya  que  algunos 
nudos incumplían la restricción de presión mínimas, 
pero  tenían  el  costo  constructivo  más  bajo.  Estas 
últimas alternativas se podían volver válidas a través 
del  proceso  iterativo,  llegando  así  a  la  solución 
óptima  del  diseño  (Hernández,  2012).  Por  lo 
anterior,  se  sugiere  que  la  superficie  de  gradiente 
hidráulico inicial se encuentre lo más cerca posible a 
la flecha de 0.25.    
 
                    

Emisores en Redes con Demandas 
Dependientes de la Presión (DDP) 
 

Como  ya  se  mencionó,  las  redes  con  demandas 
dependientes de la presión (DDP) se caracterizan por 
la  inclusión  de  emisores,  los  cuales  son  accesorios 
presentes  en  los  sistemas  de  riego  encargados  de 
suministrar  a  cada  planta  de  un  cultivo  el  caudal  y 
nutrientes 

necesarios 

para 

su 

desarrollo  

(Saldarriaga, 2007). 
 
Sin  embargo,  dado  que  su  caudal  es  función  de  su 
presión,  han  resultado  bastante  útiles  también  en  la 
modelación  de  fugas  en  redes  de  distribución,  y  
redes contra incendio.  
 
En  cuanto  al  comportamiento  hidráulico  de  estos 
accesorios,  se  puede  observar  que  relacionan  la 
presión en el nudo con el caudal demandado a través 
de la curva descrita en la Ecuación 10.  
 

      

 

     

(10) 

 

en  donde  Q  es  el  caudal  del  emisor,  h  la  altura  de 
presión,  k  el  coeficiente  del  accesorio  y  x  su 
exponente.    Es  importante  recordar  que  esta 
ecuación no es dimensionalmente homogénea, razón 
por  la  cual  k  y  x  dependen  del  sistema  de  unidades 
utilizado (Saldarriaga, 2007).  
 

 

METODOLOGÍA PARA EL DISEÑO 

OPTIMIZADO DE REDES ABIERTAS CON 

DEMANDAS DEPENDIENTES DE LA 

PRESIÓN 

 

La metodología utilizada para el diseño optimizado 
de redes abiertas con demandas dependientes de la 

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/a2784cfa112e1ef9034e093c165ebda0/index-html.html
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presión se muestra en la Figura 2, y su descripción 
se realiza a continuación. 

 

Figura 2. Diagrama de Flujo de la 

Metodología Utilizada 

Definición de la LGH Ideal 
 

Como  ya  fue  descrito  por  Hernández  (2012),  como 
primer  paso  para  resolver  el  problema  de  diseño  de 
redes  abiertas  con  demandas  dependientes  de  la 
presión  se  debe  establecer  una  superficie  de 
gradiente  hidráulico  para  así  poder  asignar  una 
demanda  constante  a  cada  nudo  de  la  red.  Para  este 
fin,  se  buscó  que  la  LGH  estuviera  lo  más  cercana 
posible  a  la  flecha  de  0.25,  como  se  muestra  en  la 
Figura  3,  lo  cual  se  logró  asignando  la  presión 
mínima  en  cada  nudo  de  la  red.  Para  esta 
investigación se estableció que la presión mínima en 
cada nudo debía ser 15 mca.  
 

Este procedimiento se realizó como consecuencia de 
lo  establecido  por  Hernández  (2012)  respecto  a  la 
sensibilidad  del  diseño  a  la  flecha  inicial  utilizada, 
en donde se encontró al iniciar el algoritmo con una 
flecha  de  0.25  se  obtienen  los  menores  costos 
constructivos,  pero  no  se  satisface  la  restricción  de 
presiones por la subestimación de los caudales de los 
emisores.     
 

 

Figura 3. LGH Ideal para comenzar el Diseño 

Comparado con la Flecha 0 

 

Cálculo de las Demandas de la Red 

 
El caudal demandado en cada uno de los nudos de la 
red  se  puede  dividir  en  dos  términos:  La  demanda 
base y el caudal del emisor.  
 
La  demanda  base  de  los  nudos  se  establece  por  el 
diseñador. Por su parte, el caudal de cada uno de los 
emisores presentes en la red se obtiene haciendo uso 
de la Ecuación 10, en donde k es un coeficiente  y  x 
el exponente del accesorio.  
 
Finalmente,  el  caudal  demandado  en  cada  nudo  se 
puede establecer a través de la Ecuación 11.  
 

 

 

     

     

     

 

 

   

(11) 

 

Diseño de la Red Utilizando Programación 
Lineal 
 

Una  vez  calculados  los  caudales  en  cada  nudo  se 
debe  realizar  el  diseño  de  la  red  haciendo  uso  de  la 
Programación  Lineal.  Para  este  fin  se  siguió  la 
metodología de Hernández (2012), en donde con los 
caudales  se  formaba  un  archivo  que  sería  ingresado 
al  software  optimizador,  y  el  cual  se  compone  de  4 
matrices: 
 
1. Matriz de Costo: Dado la longitud de cada tramo 
de  la  red,  y  la  lista  de  diámetros  comerciales,  esta 
matriz relaciona cada tramo de tubería de la red con 

INICIO

Topología del sistema, 

Hmin, Hmax, Presión 

Mínima, Diámetros, ks

Definición de la 

LGH Ideal

Cálculo de las 

Demandas de la 

Red 

Diseño de la red 

utilizando 

Programación 

Lineal

Ejecución 

Hidráulica de la 

Red con DDP

¿La presión en todos los 

nodos es mayor a 15 mca?

FIN

Asignar 

P = Pmin en los 

nodos con 

déficit de 

presión

SI

NO

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/a2784cfa112e1ef9034e093c165ebda0/index-html.html
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su costo, mostrando como alternativas los diferentes 
diámetros disponibles.  
 
2. Matriz de Pérdidas Totales: Para cada tramo de la 
red,  reúne  el  valor  de  las  pérdidas  de  presión  para 
cada  uno  de  los  diámetros  disponibles.  Este  cálculo 
se  realiza  a  través  de  la  ecuación  de  Darcy-
Weisbach.  
 
3. Matriz de Conectividad: Indica las conexiones en 
la  topología  del  sistema  a  través  de  tuberías 
asignando  el  valor  de  1.0  donde  esta  condición  se 
cumpla.  
 
4.  Matriz  de  LGH  Mínimas:  Para  cada  nudo  de  la 
red, recopila la línea de gradiente hidráulico mínima.  
 
Una  vez  definidas  las  matrices,  se  ingresa  esta 
información  al  software  optimizador,  en  donde 
previamente se implementó la formulación mostrada 
a continuación.  
 
Formulación 
 
Para  comenzar,  se  definió  N  como  el  conjunto  de 
nudos  en  la  red, 

 

 

  como  el  conjunto  de  diámetros 

comerciales  disponibles,  y 

 

   

  como  una  variable 

de  decisión  la  cual  tomará  el  valor  de  1  si  a  la 
tubería que va desde el nudo i 

  N hasta el nudo j   

N se le asignó el diámetro d 

   

 

, o toma el valor de 

0 en caso contrario. Asimismo, se definió la variable 
auxiliar 

 

 

,  la  cual  representa  la  altura  total  en  el 

nudo i 

  N.  

 
La  función  objetivo  utilizada  en  la  formulación  del 
problema de optimización asociado con el diseño de 
la red se muestra a continuación en la Ecuación 12. 

 

∑ ∑ ∑  

   

   

   

   

 

   

 

(12) 

 

en donde 

 

   

 es el costo de asignarle el diámetro d 

  D a la tubería que va del nudo i   N  hasta el nudo 

  N.  

 
En  cuanto  a  las  restricciones  utilizadas,  estas  se 
describen a continuación: 
 

  Restricción  de  la  presión  mínima  permitida,  la 

cual  se  estableció  en  la  Ecuación  8,  mostrada  en 
el marco teórico.   

  Restricción  que  asegura  la  conservación  de 

energía  para  cada  tubería.  La  altura  total  en  el 
nudo j 

  N aguas abajo del nudo i   N será igual 

a  la  altura  total  en  el  nudo  i  menos  las  pérdidas 
totales  de  presión  producidas  en  el  tubo  que  va 
del nudo i 

  N al nudo j   N cuando el diámetro 

  D fue asignado.  

 

 

 

   

 

  ∑   

   

   

 

   

 

(13) 

                             

 
en donde 

 

 

 es la altura aguas abajo del nudo, 

 

 

 la 

altura  aguas  arriba  del  mismo, 

  

   

  las  pérdidas 

totales de presión que ocurren en el tubo que conecta 
al nudo i 

  N con el nudo j   N cuando el diámetro d 

  D es asignado, y w(i,j) es una función que toma el 
valor de 1 cuando el tubo que va de i a j existe, y 0 
en caso contrario.  
 

  Restricción  que  asegura  que  solamente  un 

diámetro sea asignado a cada tubería.  

 

∑  

   

   

                                      

(14) 

 
Luego  de  realizar  el  diseño  con  la  presentación 
formulada, se obtiene como resultado un conjunto de 
diámetros para toda la red. 
 

Ejecución Hidráulica de la Red con 
Demandas Dependientes de la Presión 
 

Recordando  que  el  diseño  obtenido  en  el  paso 
anterior  fue  realizado  con  demandas  constantes,  es 
importante verificar el comportamiento hidráulico de 
la  solución  obtenida  al  ser  modelada  con  demandas 
dependientes de la presión.   
 
Para  este  fin,  se  realiza  una  ejecución  hidráulica  de 
la  red  calculando  las  presiones  en  cada  uno  de  los 
nudos. Con este paso se termina la primera iteración 
del algoritmo propuesto. 
 

Proceso Iterativo 
 

Una  vez  obtenidas  las  presiones  a  partir  de  la 
ejecución  hidráulica  del  paso  anterior,  se  debe 
verificar  que  se  cumpla  la  restricción  de  presión 
mínima  en  cada  uno  de  los  nudos  de  la  red.  Para 
todos  aquellos  nudos  que  presenten  déficit  de 
presión,  se  les  deberá  asignar  el  valor  mínimo  (15 
mca)  y  se  iniciará  una  nueva  iteración.  El  proceso 
iterativo finaliza una vez no se tenga ningún nudo en 
la red con déficit de presión.  
 

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CASOS DE ESTUDIO 

 

La metodología propuesta se probó en un total de 12 
redes,  las  cuales  tenían  una  configuración  igual  en 
cuanto a la cantidad de tubos (25 tuberías en serie) y 
su  topología,  así  como  en  la  demanda  base  en  cada 
uno  de  los  nudos,  la  cual  se  fue  de  4.5  L/s.  La  lista 
de diámetros comerciales utilizada en los diseños se 
compuso  por  tubos  de  50,  75,  100,  150,  200,  250, 
300, 350, 400, 450, 500, 600 y 750 milímetros, con 
una  rugosidad absoluta (k

s

)  igual  a 0.0015 mm. Los 

parámetros  utilizados  en  la  función  de  costos 
asociados  con  la  tubería  se  muestran  en  la 
Ecuación15.    
 

            

 

 

 

    

  (15) 

 
Asimismo, se utilizó una presión mínima de 15 mca, 
las  pérdidas  por  fricción  se  calcularon  utilizando  la 
ecuación  de  Darcy-Weisbach  y  se  consideró  que  no 
se tenían pérdidas menores en el sistema.  
 
Las  redes  utilizadas  como  casos  de  estudio  fueron 
diseñadas  también  con  la  metodología  SOGH  con 
flechas entre 0 y 0.25 a fin de tener valores base para 
comparar  con  los  resultados  obtenidos  por  la 
aproximación propuesta.  
 
En  cuanto  a  las  características  que  diferenciaban 
cada  uno  de  los  12  sistemas  respecto  los  demás  se 
tenía  en  primer  lugar  la  topografía  de  la  red,  y  en 
segundo  lugar,  los  parámetros  característicos  de  los 
emisores 

utilizados. 

Como 

se 

mostrará 

continuación,  se  analizaron  4  combinaciones 
posibles  de  emisores  en  la  red,  así  como  3 
topografías distintas, resultando un total de 12 redes 
distintas para ser analizadas.  
 
En  cuanto  a  los  parámetros  utilizados  para  la 
modelación  de  los  emisores,  se  consideraron  dos 
coeficientes  diferentes,  así  como  cuatro  exponentes 
de  estos.  Estos  emisores  fueron  colocados  en  todos 
los nudos de la red según diferentes combinaciones, 
las cuales se muestran en la Tabla 1. 
 

Tabla 1. Coeficientes y Exponentes 

Utilizados en los Emisores 

Combinación 

Coeficiente 

Exponente 

0.3 

0.25 

0.3 

0.5 

0.3 

1.0 

0.03 

2.0 

  
Para la topografía de la red, se plantearon tres casos, 
los cuales se muestran en las figuras a continuación. 
El  primer  caso,  mostrado  en  la  Figura  4  

denominado  MA,  corresponde  a  una  topografía 
suave, con  un  embalse  cuya  altura  total es de 20 m. 
El  segundo  caso,  mostrado  en  la  Figura  5  
denominado SA, se trata de una topografía empinada 
con orientación descendiente, y cuyo  embalse posee 
una  altura  total  de  70  m.  Finalmente,  el  tercer  caso 
mostrado  en  la  Figura  6  y  denominado  SB,  se  trata 
de  una  topografía  empinada,  cuyo  embalse  se 
encuentra a una altura total de 105 m.    
 

 

Figura 4. Topografía Suave (M)  

 
 

 

Figura 5. Topografía Empinada A (SA)

 

 
 

 

Figura 6. Topografía Empinada B (SB) 

 

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PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE 

RESULTADOS 

 

Una  vez  aplicada  la  metodología  a  las  12  redes 
utilizadas  como  caso  de  estudio  se  obtuvieron  los 
resultados que se describirán a continuación.  
 

 

Figura 7. Costos Totales de las Redes en la 

Topografía Suave A (MA) 

 
 

 

Figura 8. Costos Totales de las Redes en la 

Topografía Empinada A (SA) 

 
 

 

Figura 9. Costos Totales de las Redes en la 

Topografía Empinada B (SB) 

 

El  primer  resultado  destacable  de  la  metodología 
propuesta  corresponde  a  la  reducción  en  costos  de 
los  diseños  resultantes.  A  continuación,  en  las 
Figuras  7,  8  y  9,  se  muestran  los  resultados 

obtenidos  para  cada  una  de  las  redes  tanto  para 
OPUS  y  las  flechas  entre  0  y  0.25  así  como para  la 
metodología  propuesta  (línea  recta  en  las  gráficas). 
Como  ya  se  mencionó,  para  cada  topografía  se 
tienen  combinaciones  de  parámetros  de  emisores 
como  (0.3,  0.25),  (0.3,  0.5),  (0.3,  1.0)  y  (0.03,  2.0), 
correspondientes  a  los  números  1,  2,  3  y  4  en  cada 
figura. 
 
Como se puede observar en la Figura 8, así como en 
la Tabla 2, la mayor reducción en los costos se logró 
en  la  Red  SA-4.  Por  su  parte,  en  la  Red  SB-1  se 
presentó  un  sobrecosto  de  la  metodología  propuesta 
respecto  a  OPUS.  Dado  que  de  los  12  casos  de 
estudio  analizados,    en  11  se  obtuvieron  costos 
menores  a  los  de  OPUS,  se  puede  concluir  que  el 
algoritmo  propuesto  está  encontrando  soluciones 
muy cercanas a la óptima en todas las redes.  
 

Tabla 2. Reducción en Costos en Cada Una 

de las Redes 

Red 

K 

x 

SA 

SB 

MA 

0,3 

0,25  $ 2,891.28 $ -1,082.81  $  429.17 

0,3 

0,5  $ 2,273.03  $    170.35  $  951.07 

0,3 

1,0  $ 3,082.67 $  5,019.52 $ 1,904.25 

0,03 

2,0  $ 32,440.1 $ 281,44.26 $ 1,857.13 

  
El  segundo  resultado  destacable  de  la  metodología 
propuesta es el número de iteraciones requerido para 
llegar  a  la  solución  óptima  respecto  a  otras 
metodologías  utilizadas  como  OPUS  o  Algoritmos 
Genéticos.   
 

 

Figura 10. Número de Iteraciones Según la 

Metodología Utilizada para la Red SA-4 

 

Como se puede observar en la  Figura 10, al  diseñar 
la  Red  SA-4  se  realizaron  solamente  42  iteraciones 
de  la  metodología  propuesta,  mientras  que  a  OPUS 
le tomó en promedio 209 iteraciones y a Algoritmos 
Genéticos  le  tomó  109,501  iteraciones.  Es 
importante  mencionar  que  dentro  de  las  42 
iteraciones realizadas por la aproximación propuesta 

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se 

encuentran 

39 

repeticiones 

considerando 

demandas  constantes,  mientras  que  3  de  ellas  si 
consideran  las demandas dependientes de la  presión 
a  través  de  los  emisores.  Por  su  parte,  a  pesar  que 
OPUS  y  AG  consideran  los  caudales  en  función  de 
la presión, se demoran una cantidad significativa de 
iteraciones  adicionales  a  las  de  la  metodología 
propuesta,  mostrando  así  una  de  las  principales 
ventajas de esta respecto a las demás.   
 
Ahora bien, al analizar la  Tabla 3 se puede observar 
la  reducción  porcentual  en  el  número  de  iteraciones 
de la metodología propuesta respecto a las realizadas 
por OPUS para alcanzar el óptimo (únicamente para 
la  flecha  óptima).  De  acuerdo  con  lo  anterior,  las 
mayores  reducciones,  superiores  al  52%,  se 
obtuvieron para la topografía suave (MA),  y  para la 
empinada (SA).  En el caso de la  topografía SB fue 
necesario  realizar  más  iteraciones,  las  cuales  se 
pueden  atribuir  a  que  esta  topografía  presenta  más 
oscilaciones en el terreno, e incluso un pico, lo cual 
afecta  el  cumplimiento  del  requerimiento  de  las 
presiones. 
 

Tabla 3. Reducción Porcentual de 

Iteraciones Respecto OPUS Para Alcanzar el 

Óptimo   

Red 

SA 

SB 

MA 

0,3 

0,25 

78.95% 

17.65% 

52.54% 

0,3 

0,5 

79.90% 

59.22% 

79.41% 

0,3 

1,0 

66.67% 

18.25% 

68.42% 

0,03 

2,0 

82.28% 

27.84% 

65.22% 

Es importante recordar que en la Tabla 3 se muestra 
la  reducción  de  iteraciones  de  la  metodología 
propuesta  respecto  a  OPUS,  pero  únicamente 
considerando  la  flecha  que  llegó  a  la  solución 
óptima.  Dado  que  se  trató  con  demandas 
dependientes de la presión no fue posible identificar 
a priori la flecha que llevaría a la solución óptima ya 
que esta depende de la distribución de demandas en 
el sistema, y estas no se conocen antes de realizar el 
diseño. Por lo anterior, resulta interesante analizar la 
reducción  de  iteraciones  que  tuvo  la  metodología 
propuesta  respecto  al  número  total  de  ejecuciones 
hidráulicas  realizadas  por  OPUS  para  el  total  de 
flechas probadas.  
 
Como  se  puede  observar  en  la  Tabla  4,  en  la 
topografía  que  se  logró  una  mayor  reducción  en  el 
número  de  iteraciones  fue  en  la  SB,  lo  cual  resulta 
interesante  ya  que  al  analizar  la  reducción  en  la 
cantidad  de  ejecuciones  hidráulicas  para  alcanzar  el 
óptimo  en  este  tipo  de  terreno  fue  el  que  obtuvo  la 
menor  reducción.  Finalmente,  dado  que  en  las  tres 

topografías se obtuvo una reducción superior al 95% 
respecto  OPUS  se  puede  concluir  que  la 
metodología propuesta es muy eficiente en cuanto el 
tiempo computacional requerido.      

 

Tabla 4. Reducción Porcentual del Total de 

Iteraciones Respecto OPUS    

Red 

SA 

SB 

MA 

0,3 

0,25 

98.62% 

99.96% 

97.56% 

0,3 

0,5 

98.00% 

99.98% 

97.50% 

0,3 

1,0 

97.41% 

99.95% 

96.55% 

0,03 

2,0 

98.88% 

99.95% 

95.79% 

 

 

CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES, Y 

TRABAJO FUTURO 

 

Se  presentó,  y  aplicó  a  12  redes  diferentes  una 
metodología  de  diseño  que  combina  criterios 
hidráulicos  para  predefinir  una  línea  de  gradiente 
hidráulico  objetivo  con  Programación  Lineal 
enfocada hacia sistemas con demandas dependientes 
de  la  presión.  Como  resultado,  esta  mostró 
beneficios en cuanto a la calidad de la solución, y la 
cantidad  de  tiempo  computacional  requerido.  El 
primer  beneficio  se  reflejó  en  la  obtención  de 
menores costos constructivos que OPUS en todas las 
redes  analizadas,  la  cual  se  utilizó  como  valor  base 
al  fin  de  comparar  los  resultados.  Asimismo,  la 
segunda ventaja se hizo evidente al lograr una mayor 
eficiencia  en  el  tiempo  computacional  requerido, 
reflejándose  esto  en  un  menor  número  de 
ejecuciones  hidráulicas  realizadas  para  alcanzar  el 
óptimo  respecto  a  la  metodología  utilizada 
anteriormente (OPUS). 
 
Se  ratificó  la  importancia  de  la  flecha  inicial 
utilizada  en  la  generación  de  la  superficie  de 
gradiente  hidráulico,  la  cual  como  concluyó 
Hernández (2012), obtendrá resultados con  menores 
costos  constructivos  entre  esta  más  cercana  sea  a 
0.25.  
 
Esta  investigación  establece  el  primer  paso  de 
futuros  desarrollos  en  cuanto  a  metodologías  que 
resuelvan  el  problema  de  diseño  optimizado  de 
RDAP 

aplicado 

sistemas 

con 

demandas 

dependientes  de  la  presión  en  redes  de  mayor 
complejidad.  Lo  anterior  resulta  muy  útil  en  el 
diseño  de  redes  contra  incendios,  la  modelación  de 
RDAP considerando fugas, entre otros. 

 
 
 
 

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