Universidad de los Andes
Facultad De Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Tesis 2
Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías
parcialmente llenas de sección circular, con Números de Froude
supercríticos menores a 4
Preparado por:
Ing. Laura Elizabeth Montaño Luna
Asesor:
Ing. Juan Saldarriaga
Informe Final Proyecto de grado
Bogotá, Junio 2013
Agradecimientos
Para culminar cualquier trabajo se requiere de dedicación, esfuerzos y sacrificios, los cuales son
superados gracias a todas aquellas personas que de una u otra forma fueron un apoyo en la escalera
para culminar con éxito esta etapa. Por esta razón quiero agradecer primero que todo a Dios que me
ha permitido ir avanzado poco a poco en mi proyecto de vida, a mis padres que han sido siempre un
apoyo incondicional y mi fuerza en el camino, a mi asesor de tesis Juan Saldarriaga, quien me fue
orientando poco a poco hasta obtener el resultado de éste proyecto, a Jaysson Guerrero por
acompañarme desde un inicio en ésta etapa, a John Calvo por brindarme el tiempo y la dedicación
en el Laboratorio de Hidráulica, y finalmente a CIACUA y a todas aquellas personas que de una u
otra forma participaron en éste proyecto, dedicándome su tiempo, su amistad y colaboración.
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Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
I
Tabla de contenido
Índice de Tablas ................................................................................................................................ IV
Índice de Ilustraciones ....................................................................................................................... VI
Índice de Ecuaciones ........................................................................................................................ VII
Notación ............................................................................................................................................. X
1.
Introducción ................................................................................................................................ 1
1.1 Objetivos .................................................................................................................... 3
1.1.1.
Objetivo General ............................................................................................. 3
1.1.2.
Objetivos Específicos ...................................................................................... 3
2.
Antecedentes ................................................................................................................ 4
3.
Marco Teórico ............................................................................................................ 29
3.1.
Resaltos Hidráulicos ............................................................................................. 29
3.1.1.
Definición .................................................................................................... 29
3.1.2.
Tipos de Resaltos Hidráulicos ......................................................................... 30
3.1.3.
Cálculo de profundidades subsecuentes en el Resalto Hidráulico......................... 31
3.1.4.
Análisis del comportamiento del resalto hidráulico ............................................ 35
4.
Diseño del modelo ....................................................................................................... 37
4.1.
Ubicación ............................................................................................................ 37
4.2.
Proceso de diseño ................................................................................................. 37
4.3.
Aparatos de medición ........................................................................................... 38
4.3.1.
Sensor Ultrasónico U – GAGE T30 ................................................................. 38
4.3.2.
ADV (Velocímetro Doppler acústico) .............................................................. 39
4.3.3.
Piezómetros .................................................................................................. 40
4.3.4.
Caudalímetro ................................................................................................ 41
4.4.
Metodología y proceso de medición ....................................................................... 41
4.4.1.
Profundidad del flujo ..................................................................................... 41
4.4.1.1.
Parámetros de medición ............................................................................. 41
4.4.1.2.
Metodología de medición............................................................................ 42
4.1.1.3.
Lista de caudales y pendientes .................................................................... 42
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II
4.4.2.
Distribución de velocidades ............................................................................ 46
4.4.2.1.
Parámetros de medición ............................................................................. 46
4.4.2.2.
Metodología de medición............................................................................ 46
4.4.2.3.
Lista de caudales y pendientes .................................................................... 46
5.
Pruebas de verificación de los parámetros hidráulicos de la tubería.................................... 48
5.1.
Comprobación de Diseño ...................................................................................... 48
5.2.
Análisis caudales máximos para diferentes pendientes .............................................. 51
5.3.
Análisis del valor máximo del Número de Froude .................................................... 52
5.4 Análisis Comparativo con otros autores para el cálculo de la profundidad subsecuente al
resalto hidráulico ............................................................................................................ 56
5.4.1 Silvester ............................................................................................................. 56
5.4.2 Straub ................................................................................................................ 61
5.4.3 French ............................................................................................................... 62
5.4.4 Hager ................................................................................................................. 65
5.4.5 FHWA ............................................................................................................... 68
5.4.5 Conclusiones ...................................................................................................... 71
5.5 Análisis comparativo con otros autores para el cálculo de la longitud del resalto hidráulico 72
5.5.1 Silvester ............................................................................................................. 72
5.5.2 Hager ................................................................................................................. 74
5.5.3 FWHA ............................................................................................................... 74
6.
Resultados y Análisis de Resultados .............................................................................. 76
6.1.
Resultados ........................................................................................................... 76
6.1.1.
Registro Fotográfico ...................................................................................... 76
6.1.2.
Profundidad de flujo ...................................................................................... 78
6.1.3.
Longitud del resalto hidráulico........................................................................ 80
6.1.4.
Distribución de Velocidades ........................................................................... 84
6.2.
Análisis de Resultados .......................................................................................... 87
6.2.1.
Análisis profundidades subsecuentes ............................................................... 87
6.2.2.
Análisis del comportamiento de la Energía en el resalto hidráulico ...................... 92
6.2.3.
Análisis Conservación del Momentum ............................................................. 96
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III
6.2.4.
Comparación entre los resultados empíricos y teóricos de las profundidades
subsecuentes ............................................................................................................... 99
6.2.5.
Ecuación profundidades subsecuentes en el Resalto Hidráulico ......................... 101
6.2.6.
Análisis del comportamiento de la longitud en el Resalto Hidráulico ................. 102
6.2.7.
Comparación entre los resultados empíricos y teóricos de la longitud del resalto
hidráulico ................................................................................................................. 105
6.2.8.
Ecuación longitud del resalto hidráulico para tuberías circulares ....................... 105
6.2.9.
Análisis de disipación de energía en el Resalto Hidráulico ............................... 105
6.2.10.
Análisis del comportamiento de la distribución de velocidades en el resalto
hidráulico ................................................................................................................. 107
7.
Conclusiones ............................................................................................................ 112
8.
Recomendaciones ...................................................................................................... 113
8.1.
Recomendaciones de diseño ................................................................................ 113
8.2.
Recomendaciones para futuras pruebas ................................................................. 113
9.
Glosario ................................................................................................................... 114
10.
Bibliografía ........................................................................................................... 115
11.
Anexos ................................................................................................................. 117
11.1.
Cálculo de la profundidad normal del flujo ........................................................ 118
11.2.
Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico mediante el método
desarrollado por Silvester .............................................................................................. 121
11.3.
Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico por el Método
desarrollado por French ................................................................................................. 124
11.4.
Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico por el Método
desarrollado por Hager ................................................................................................. 126
11.5.
Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico por el Método
desarrollado por FHWA. ............................................................................................... 128
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IV
Índice de Tablas
Tabla 1. Valores de k' dependiendo de la relación de llenado (Silvester, 1964). .............................. 10
Tabla 2. Coeficientes para tuberías circulares horizontales (FHWA, 2006). .................................... 27
Tabla 3. Tipos de Resaltos Hidráulicos en fondos sin pendiente (Gonzales Rodríguez, 1992). ....... 30
Tabla 4. Lista de caudales y pendientes. .......................................................................................... 42
Tabla 5. Lista de caudales y pendientes para el análisis del comportamiento de la velocidad. ....... 46
Tabla 6. Diámetros seleccionados que superen el caudal de diseño y no superen los 48 cm de altura
con relaciones de llenado del 50 %. .................................................................................................. 50
Tabla 7. Diámetros seleccionados que superen el caudal de diseño y no superen los 48 cm de altura
con relaciones de llenado del 85 %. .................................................................................................. 50
Tabla 8. Diámetros seleccionados que superen el caudal de diseño y no superen los 48 cm de altura
con relaciones de llenado del 92.9 %. ............................................................................................... 51
Tabla 9. Valores de k' dependiendo de la relación de llenado (Silvester, 1964). .............................. 57
Tabla 10. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente del 1.9%. .............................. 57
Tabla 11. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente del 3.1%. .............................. 58
Tabla 12. Cálculo de la profundidad subsecuente para un caudal de 0.01 m
3
/s. ............................... 59
Tabla 13. Cálculo de la profundidad subsecuente para un caudal de 0.1 m
3
/s. ................................. 60
Tabla 14. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente de 0.019 mediante la
metodología planteada por Straub. .................................................................................................... 62
Tabla 15. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente de 0.031 mediante la
metodología planteada por Straub. .................................................................................................... 62
Tabla 16. Resultados obtenidos mediante la metodología de French para una S = 0.019. ............... 64
Tabla 17. Resultados obtenidos mediante la metodología de French para una S = 0.031. ............... 64
Tabla 18. Resultados obtenidos para una pendiente de 0.019 con la metodología planteada por
Hager. ................................................................................................................................................ 65
Tabla 19. Resultados obtenidos para una pendiente de 0.031 con la metodología planteada por
Hager. ................................................................................................................................................ 66
Tabla 20. Resultados de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico para la aproximación
teórica con una pendiente de 0.019. .................................................................................................. 67
Tabla 21. Resultados de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico para la aproximación
teórica con una pendiente de 0.031. .................................................................................................. 67
Tabla 22. Resultados para el cálculo de la profundidad subsecuente del resalto mediante la
metodología planteada por la FHWA, para una pendiente de 0.019. ................................................ 69
Tabla 23. Resultados para el cálculo de la profundidad subsecuente del resalto mediante la
metodología planteada por la FHWA, para una pendiente de 0.031. ................................................ 69
Tabla 24. Cálculo de la longitud mediante la metodología planteada por Silvester. ........................ 73
Tabla 25. Cálculo longitudes en el resalto hidráulico de acuerdo con la metodología planteada por
Hager. ................................................................................................................................................ 74
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V
Tabla 26. Cálculo de la longitud del resalto con la metodología de FWHA. .................................... 75
Tabla 27. Registro fotográfico del resalto hidráulico para caudales cercanos a 30 L/s. ................... 76
Tabla 28. Comportamiento de la velocidad de las partículas en diferentes secciones transversales
para S = 1.2 % y Q = 24 L/s. ............................................................................................................. 84
Tabla 29. Comportamiento de la velocidad de las partículas en diferentes secciones verticales para S
= 1.2 % y Q = 24 L/s. ........................................................................................................................ 85
Tabla 30. Comportamiento de la velocidad de las partículas en diferentes secciones transversales
para S = 1.6 % y Q = 24 L/s. ............................................................................................................. 86
Tabla 31. Comportamiento de la velocidad de las partículas en diferentes secciones verticales para S
= 1.6 % y Q = 24 L/s. ........................................................................................................................ 87
Tabla 32. Ecuaciones sin corrección que describen el comportamiento del resalto hidráulico en
tuberías. ............................................................................................................................................. 93
Tabla 33. "m" y "k" para cada pendiente. ........................................................................................ 94
Tabla 34. Ecuaciones sin corrección que describen el comportamiento del resalto hidráulico en
tuberías. ............................................................................................................................................. 97
Tabla 35. “m” y “k” para cada pendiente. ......................................................................................... 98
Tabla 36. Error cuadrático medio para las diferentes ecuaciones evaluadas................................... 100
Tabla 37. Rango de validez de laEcuación 84 y la Ecuación 85. ................................................... 100
Tabla 38. Error cuadrático medio para las diferentes ecuaciones evaluadas................................... 105
Tabla 39. Comportamiento de la distribución de la velocidad en el resalto hidráulico. ................. 108
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VI
Índice de Ilustraciones
Ilustración 1. Montaje realizado por Kindsvater y Lane (Kindsvater, 1938). ..................................... 4
Ilustración 2. Montaje de Kalinske y Robertson (Robertson & Kalinske, 1943). ............................... 5
Ilustración 3. Datos típicos de profundidades y presiones en un Resalto Hidráulico (Robertson &
Kalinske, 1943). .................................................................................................................................. 7
Ilustración 4. Diagrama de niveles en la tubería. .............................................................................. 15
Ilustración 5. Vista lateral de diferentes resaltos hidráulicos (Stahl & Hager, 1999). ...................... 19
Ilustración 6. Vista en perfil de los diferentes tipos de Resalto Hidráulico (Stahl & Hager, 1999). . 20
Ilustración 7. Longitudes del resalto hidráulico planteadas por Hager (Stahl & Hager, 1999). ........ 20
Ilustración 8. Resalto Hidráulico (Akan, 2006). ............................................................................... 29
Ilustración 9. Profundidad subsecuente menor al diámetro de la tubería (Ghamry, Shames, &
Branch, 2002). ................................................................................................................................... 29
Ilustración 10. Profundidad subsecuente mayor al diámetro de la tubería (Ghamry, Shames, &
Branch, 2002). ................................................................................................................................... 29
Ilustración 11. Tipos de Resaltos Hidráulicos (Gonzales Rodríguez, 1992). .................................... 31
Ilustración 12. Canal donde su ubicó el montaje. .............................................................................. 37
Ilustración 13. Vista dentro de la tubería. ......................................................................................... 38
Ilustración 14. Vista de la compuerta con el neumático. ................................................................... 38
Ilustración 15. Vista de la compuerta en el montaje. ........................................................................ 38
Ilustración 16. Vista perfil de la compuerta. ..................................................................................... 38
Ilustración 17. Características del U - GAGE T30 (Banner Engineering). ...................................... 39
Ilustración 18. U - GAGE T30. ......................................................................................................... 39
Ilustración 19. ADV (SonTek, 2012). ............................................................................................... 40
Ilustración 20. Adaptación del ADV en la tubería. ........................................................................... 40
Ilustración 21. Piezómetros en la tubería. ......................................................................................... 41
Ilustración 22. Caudalímetro ABB. ................................................................................................... 41
Ilustración 23.Matriz geométrica de medición de la Distribución de Velocidades. .......................... 46
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VII
Índice de Ecuaciones
Ecuación 1. Ecuación para hallar la ecuación de fuerza del resalto (Silvester, 1964). ....................... 8
Ecuación 2. Ecuación para hallar la fuerza del resalto (Silvester, 1964). ........................................... 8
Ecuación 3. Número de Froude. .......................................................................................................... 8
Ecuación 4. Proceso para encontrar profundidades subsecuentes. ...................................................... 8
Ecuación 5. Proceso para hallar profundidades subsecuentes. ............................................................ 8
Ecuación 6. Ecuación 5 reorganizada.................................................................................................. 8
Ecuación 7. Relación Número de Froude (Silvester, 1964). ............................................................... 9
Ecuación 8. Número de Froude aguas abajo del resalto. ..................................................................... 9
Ecuación 9. Proceso para encontrar las profundidades subsecuentes en cualquier forma de canal. ... 9
Ecuación 10. Profundidades subsecuentes para cualquier tipo de canal (Silvester, 1964). ................ 9
Ecuación 11. Valor de la proporción entre la profundidad de llenado y el centro de masa para
tuberías parcialmente llenas (Silvester, 1964). .................................................................................. 10
Ecuación 12. Profundidades subsecuentes para tuberías parcialmente llenas (Silvester, 1964). ...... 10
Ecuación 13. Valor de la proporción entre la profundidad de llenado y el centro de gravedad para
tuberías llenas (Silvester, 1964). ....................................................................................................... 10
Ecuación 14. Profundidades subsecuentes para tuberías llenas (Silvester, 1964). ............................ 10
Ecuación 15. Longitud de un resalto hidráulico para cualquier tipo de sección (Silvester, 1964). ... 11
Ecuación 16. Cálculo del Momentum en Resaltos Hidráulicos (Rajaratnam, 1965). ....................... 12
Ecuación 17. Conservación del Momentum (Rajaratnam, 1965)...................................................... 13
Ecuación 18. Ecuación del Número de Froude según Rajaratnam (Rajaratnam, 1965). .................. 13
Ecuación 19. Conservación del Momentum (Rajaratnam, 1965)...................................................... 13
Ecuación 20. Cálculo de la profundidad crítica. ............................................................................... 14
Ecuación 21. Aproximación Número de Froude (French, 2007). ..................................................... 14
Ecuación 22. Cálculo profundidad subsecuente para Números de Froude menores a 1.7 (French,
2007). ................................................................................................................................................ 14
Ecuación 23. Cálculo profundidad subsecuente para Números de Froude mayores a 1.7 (French,
2007). ................................................................................................................................................ 14
Ecuación 24. Cálculo del Momentum. (French, 2007). .................................................................... 15
Ecuación 25. Distancia del centro de la tubería de agua. .................................................................. 15
Ecuación 26. Distancia del centro de la tubería al centroide de masa de agua. ................................ 16
Ecuación 27. Distancia desde la superficie de agua hasta el centroide de la masa de agua. ............. 16
Ecuación 28. Igualando Momentums. ............................................................................................... 16
Ecuación 29. Aproximación del área (Stahl & Hager, 1999). ........................................................... 16
Ecuación 30. Aproximación Presión (Stahl & Hager, 1999). ........................................................... 16
Ecuación 31. Ecuación del Momentum (Stahl & Hager, 1999). ....................................................... 17
Ecuación 32. Aproximación del Número de Froude (Hager, 1990). ................................................. 17
Ecuación 33. Proceso para encontrar la profundidad subsecuente del resalto hidráulico. ................ 17
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VIII
Ecuación 34. Relación entre las relaciones de llenado aguas arriba y aguas abajo del resalto (Stahl
& Hager, 1999). ................................................................................................................................. 17
Ecuación 35. Proceso para encontrar la profundidad subsecuente en un resalto hidráulico. ............ 18
Ecuación 36. Profundidad subsecuente en el resalto hidráulico (Stahl & Hager, 1999). .................. 18
Ecuación 37. Profundidad subsecuente con Números de Froude mayores a 2 (Stahl & Hager, 1999).
........................................................................................................................................................... 18
Ecuación 38. Profundidad subsecuente para Números de Froude mayores a 2 (Stahl & Hager,
1999). ................................................................................................................................................ 19
Ecuación 39. Relación entre la longitud de recirculación y la profundidad aguas abajo del resalto
(Stahl & Hager, 1999). ...................................................................................................................... 21
Ecuación 40. Determinación de la longitud de recirculación a partir del Número de Froude. ......... 21
Ecuación 41. Relación entre la longitud de aireación y la profundidad aguas abajo del resalto (Stahl
& Hager, 1999). ................................................................................................................................. 21
Ecuación 42. Determinación de la longitud de aireación a partir del Número de Froude (Stahl &
Hager, 1999). ..................................................................................................................................... 21
Ecuación 43. Estimación para resaltos Ondulares Tipo C y D (Gargano & Hager, 2002). .............. 22
Ecuación 44. Sumergencia en la compuerta (Ghamry, Shames, & Branch, 2002). .......................... 23
Ecuación 45. Sumergencia (Ghamry, Shames, & Branch, 2002). .................................................... 23
Ecuación 46. Cálculo Momentum Específico en Canales Rectangulares (Akan, 2006). .................. 24
Ecuación 47. Procedimiento cálculo altura subsecuente de los resaltos hidráulicos en canales
rectangulares (Akan, 2006). .............................................................................................................. 24
Ecuación 48. Caudal por unidad de ancho. ....................................................................................... 24
Ecuación 49. Procedimiento cálculo profundidades subsecuentes. ................................................... 25
Ecuación 50. Conservación de la masa. ............................................................................................ 25
Ecuación 51. Cálculo velocidad aguas abajo a partir de los parámetros aguas arriba. ..................... 25
Ecuación 52. Cálculo profundidades subsecuentes en canales rectangulares. .................................. 26
Ecuación 53. Cálculo profundidad subsecuente para profundidades subsecuentes menores al
diámetro (FHWA, 2006). .................................................................................................................. 26
Ecuación 54. Cálculo profundidad subsecuente para profundidades subsecuentes mayores al
diámetro (FHWA, 2006). .................................................................................................................. 27
Ecuación 55. Determinación de la longitud del resalto cuando la profundidad aguas abajo es menor
al diámetro. (FHWA, 2006) .............................................................................................................. 28
Ecuación 56. Determinación longitud del resalto cuando la profundidad aguas abajo es mayor al
diámetro (FHWA, 2006). .................................................................................................................. 28
Ecuación 57. Conservación del Momentum Específico. ................................................................... 31
Ecuación 58. Dimensiones del Resalto Hidráulico en canales cuadrados reorganizada (SMITH &
CHEN, 1989). .................................................................................................................................... 32
Ecuación 59. Profundidad subsecuente en el resalto hidráulico (Stahl & Hager, 1999). .................. 34
Ecuación 60. Profundidad subsecuente con Números de Froude mayores a 2 (Stahl & Hager, 1999).
........................................................................................................................................................... 34
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IX
Ecuación 61. Cálculo de la intensidad de la turbulencia (Lopardo, 2012). ....................................... 36
Ecuación 62. Cálculo del parámetro adimensional para determinar la turbulencia del resalto
hidráulico (Lopardo, 2012). .............................................................................................................. 36
Ecuación 63. Cálculo de la relación de llenado. ................................................................................ 48
Ecuación 64. Cálculo de
. ............................................................................................................... 48
Ecuación 65. Cálculo del área mojada. ............................................................................................. 48
Ecuación 66. Cálculo del perímetro mojado. .................................................................................... 48
Ecuación 67. Cálculo del radio hidráulico. ....................................................................................... 49
Ecuación 68. Cálculo de la velocidad. .............................................................................................. 49
Ecuación 69. Cálculo del caudal. ...................................................................................................... 49
Ecuación 70. Cálculo del Número de Reynodls. ............................................................................... 49
Ecuación 71. Cálculo del ancho de la superficie. .............................................................................. 49
Ecuación 72. Cálculo de la profundidad hidráulica. ......................................................................... 49
Ecuación 73. Cálculo del Número de Froude.................................................................................... 49
Ecuación 74. Cálculo de la altura total del soporte. .......................................................................... 49
Ecuación 75. Curva que describe el Número de Froude máximo. .................................................... 56
Ecuación 76. Cálculo de la profundidad crítica. ............................................................................... 61
Ecuación 77. Aproximación Número de Froude (French, 2007). ..................................................... 61
Ecuación 78. Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico por un método iterativo
de acuerdo con la metodología planteada por Hager. ....................................................................... 65
Ecuación 79. Aproximación teórica para cálculos de la profundidad subsecuente del resalto
hidráulico........................................................................................................................................... 66
Ecuación 80. Aproximación empírica para el cálculo de la profundidad subsecuente del resalto
hidráulico........................................................................................................................................... 67
Ecuación 81. Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico menor al diámetro. ..... 69
Ecuación 82. Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico mayor al diámetro. ..... 69
Ecuación 83. Relación entre el caudal y la gravedad y el diámetro de la tubería. (Sturm, 2010) ..... 89
Ecuación 84. Ecuación empírica de la profundidad subsecuente para
. ............................... 91
Ecuación 85. Ecuación empírica de la profundidad subsecuente para
. ............................... 91
Ecuación 86. Ecuación empírica de la profundidad subsecuente de acuerdo a la Energía Específica.
........................................................................................................................................................... 95
Ecuación 87. Ecuación empírica de la profundidad subsecuente de acuerdo al Momentum
Específico. ......................................................................................................................................... 99
Ecuación 88. Cálculo del Error Cuadrático Medio. .......................................................................... 99
Ecuación 89. Cálculo del Error Cuadrático Medio Promedio. .......................................................... 99
Ecuación 90. Ecuación lineal para determinar la longitud del resalto hidráulico en tuberías. ........ 104
Ecuación 91. Ecuación potencial para determinar la longitud del resalto hidráulico en tuberías. .. 104
Ecuación 92. Ecuación para determinar el valor de la disipación de energía. ................................ 107
Ecuación 93. Cálculo disipación de Energía ................................................................................... 114
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X
Notación
SÍMBOLO UNIDADES S.I. DEFINICIÓN
m²
Área mojada de la sección.
m
Diámetro de la tubería.
%
Disipación de Energía relativa respecto a la energía aguas arriba.
m
Energía específica aguas arriba del resalto.
m
Energía específica aguas abajo del resalto.
-
Número de Froude aguas arriba del resalto.
m/s²
Aceleración de la gravedad.
m
Longitud del resalto hidráulico.
m³
Momentum específico aguas arriba del resalto hidráulico.
m
3
Momentum específico aguas abajo del resalto hidráulico.
m
Perímetro mojado de la sección.
m³/s
Caudal.
%
Coeficiente de determinación.
-
Número de Reynolds.
-
Pendiente de la tubería.
m/s
Velocidad del flujo.
m/s
Componente de la velocidad en la dirección longitudinal.
m/s
Componente de la velocidad en la dirección transversal.
m/s
Componente de la velocidad en la dirección vertical.
m
Profundidad crítica del flujo.
m
Profundidad normal del flujo.
m
Profundidad subsecuente aguas arriba del resalto
m
Profundidad subsecuente aguas abajo del resalto
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1. Introducción
El estudio del fenómeno de resaltos hidráulicos en tuberías ha sido un tema de baja investigación a nivel
nacional e internacional dada la dificultad de su análisis. Sin embargo, dada la importancia de analizar
los alcantarillados y sus fenómenos de sobrecarga, es importante realizar un estudio para definir ciertas
características de los resaltos hidráulicos en tuberías fluyendo parcialmente llenas.
El resalto hidráulico es un fenómeno generado cuando la profundidad del flujo varía rápidamente; es
decir, cuando en un canal (abierto o cerrado) existe un cambio de flujo supercrítico a subcrítico. Éste
fenómeno ocurre por la presencia de altas pendientes u obstáculos (como las compuertas) que generan
un aumento importante del flujo aguas abajo, afectando las condiciones del flujo aguas arriba.
Adicionalmente, cuando los Números de Froude sean más grandes (flujo supercrítico), la altura
subsecuente aguas abajo del resalto será mayor.
Las principales características de un resalto hidráulico son: las pérdidas de energía, la longitud del
resalto y su localización. Las pérdidas de energía son causadas por la turbulencia generada en el resalto,
y se calculan como la diferencia de energía específica entre el flujo aguas abajo del resalto y el flujo
aguas arriba. La longitud del resalto se mide desde el lugar donde inicia la turbulencia hasta el lugar
donde finaliza: según la literatura encontrada, existen relaciones empíricas que permiten encontrar la
longitud del resalto hidráulico dependiendo del Número de Froude y de la altura del flujo aguas arriba
del resalto en canales rectangulares, trapeciales, triangulares y en el caso de tuberías circulares, se
encontró una ecuación empírica en el artículo de Silvester (Silvester, 1964) con un rango de validez
muy pequeño, dada la dificultad de medir resaltos cuando la tubería se presuriza. Por último, la
localización del resalto varía de acuerdo con el impacto que genere el obstáculo que se encuentre aguas
abajo, por lo tanto, es una variable que en estudios del resalto en el laboratorio puede ser modificada.
Por lo tanto, el presente trabajo presenta un estudio de resaltos hidráulicos en tuberías, el cual se realiza
en un modelo realizado en el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Los Andes. El diseño y
construcción del modelo se realizaron previamente a este trabajo, por lo cual, en éste proyecto se
muestran los resultados de la construcción previa y sus modificaciones para ubicar aparatos que
permitan realizar la medición de las variables a estudiar. Adicionalmente, presenta una revisión
bibliográfica de estudios anteriores en el tema, una comparación de las diferentes metodologías
planteadas, y un estudio de los resultados esperados en el modelo construido.
El Capítulo 2 presenta todos los estudios y metodologías planteadas previamente para el análisis de
resaltos hidráulicos en tuberías, presentando gráficas y ecuaciones desarrolladas. El Capítulo 3 explica
el fenómeno de los resaltos hidráulicos en tuberías, los diferentes tipos de resaltos hidráulicos
planteados y las diferentes características que puede tener este fenómeno. En el Capítulo 4 se muestra el
resultado del diseño y construcción del montaje, los aparatos de medición requeridos para la toma de
datos de las variables a analizar, y la metodología que se llevará a cabo en el proceso de análisis. En el
siguiente capítulo se realiza un análisis para determinar los comportamientos esperados en el resalto
hidráulico, determinando profundidades que generarán un resalto hidráulico más fuerte, y un análisis
teórico de las metodologías encontradas en el Capítulo 2, tanto para el cálculo de la profundidad
subsecuente aguas abajo del resalto como para el cálculo de la longitud del mismo. En el Capítulo 6 se
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2
encuentran los resultados obtenidos con los datos tomados para las variables medidas (y
1
, y
2
, L)
1
,
mediante gráficos e ilustrando los perfiles del flujo cuando la profundidad aguas abajo del resalto es
mayor al diámetro de la tubería; en este capítulo también se muestra el análisis de los resultados
obtenidos, mediante la comparación con las metodologías analizadas previamente y gráficos que
permitan inferir el comportamiento del resalto hidráulico en la tubería. En el Capítulo 7 y 8 se describen
algunas conclusiones mostradas en el proyecto y las recomendaciones que se plantearán para futuras
investigaciones en el tema. En el siguiente capítulo se presenta un glosario con los términos importantes
llevados a cabo en el proyecto, y posteriormente se presenta la bibliografía requerida e investigada, y
finalmente en el Capítulo 11 se presentan los anexos, los cuales se componen de diferentes códigos
desarrollados en Macros de Excel, y los planos diseñados y requeridos para la construcción del montaje.
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3
1.1 Objetivos
1.1.1. Objetivo General
Estudiar el comportamiento de los resaltos hidráulicos en tuberías fluyendo parcialmente llenas de
sección circular mediante la toma de datos experimentales en el modelo físico construido anteriormente.
El estudio se realizará teniendo como restricción Números de Froude menores a 4.0 y pendientes
menores al 2.5%.
1.1.2. Objetivos Específicos
Para llevar a cabo el estudio de resaltos hidráulicos en tuberías se requiere realizar una recopilación
bibliográfica de modelos y estudios realizados anteriormente, analizando las metodologías encontradas
en esta recopilación, y aplicarlas a las condiciones físicas que tiene el montaje realizado.
Adicionalmente, se deben determinar las variables que se trabajarán en el modelo, las cuales deben
cumplir con las condiciones físicas e hidráulicas de este; y con las variables identificadas, se debe
proceder a realizar la toma de datos en el modelo, las cuales deben permitir realizar un análisis del
comportamiento de los resaltos hidráulicos en tuberías. Es importante tener en cuenta que el modelo se
debe adaptar para la ubicación de los sensores, por lo cual, se requiere un diseño de las modificaciones
necesarias para medir los diferentes parámetros.
Por otra parte, se determinarán ecuaciones empíricas que describan el comportamiento de los resaltos
hidráulicos en las tuberías, mostrando la diferencia de éstas ecuaciones empíricas respecto a las
ecuaciones encontradas en la literatura, con lo cual se obtendrán las herramientas suficientes para
determinar el comportamiento de los resaltos hidráulicos.
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2. Antecedentes
Los antecedentes mostrados a continuación se encuentran en la tesis de pregrado denominada “Diseño y
construcción de un modelo para estudiar el comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías fluyendo
parcialmente llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4” (Montaño
Luna, 2012).
El proceso para entender la formación y el comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías ha sido
estudiando experimental y teóricamente. En éste capítulo se mostrarán los diferentes estudios que han
trabajado algunos investigadores para entender el fenómeno.
Kindsvater y Lane (1938)
El primer análisis de resaltos hidráulicos en tuberías circulares fluyendo parcialmente llenas fue
realizado por Kindsvater y Lane en el año 1938, a raíz de los estudios que se venían realizando de
resaltos hidráulicos en canales rectangulares.
Kindsvater y Lane, en la Universidad de Iowa, establecieron que la mejor forma para analizar el
comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías circulares, era mediante análisis experimentales; por
lo tanto, para su montaje usaron una tubería transparente de 150 mm de diámetro y 6 m de longitud en
posición horizontal. Los resaltos hidráulicos los produjeron con 3 obstrucciones: la primera que ocupaba
el 40% del diámetro, la segunda el 60% y la tercera el 80% del diámetro. (Ver Ilustración 1).
Ilustración 1. Montaje realizado por Kindsvater y Lane (Kindsvater, 1938).
La variación del nivel del agua era medida mediante piezómetros aguas abajo de las constricciones; por
lo tanto, se podía analizar la variación de la altura del resalto a medida que aumentaba o disminuía el
caudal de entrada, y la longitud a la cual ocurría tal como se muestra en la Gráfica 1.
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Gráfica 1. Alturas medidas con caudal variable (Kindsvater, 1938).
Kindsvater y Lane concluyeron que con caudales muy bajos, la tubería no se alcanzaba a presurizar
aguas abajo del resalto; mientras que a caudales grandes, el resalto presurizaba completamente la
tubería. También, como el montaje tenía ventilación, el aire aumentaba la presión sobre la superficie del
agua, lo cual hacía que el resalto se moviera hacia la contracción y lo terminara ahogando.
Finalmente, como los análisis de resaltos hidráulicos se basan en la variación del Momentum aguas
arriba y aguas abajo de la contracción, Kindsvater y Lane observaron que el Momentum era
relativamente mayor aguas arriba de la constricción que aguas abajo; a lo que argumentaban la fricción
causada por la tubería, la falta de uniformidad de la velocidad aguas abajo del resalto y la omisión de las
burbujas de agua en los cálculos del Momentum.
Kalinske y Robertson (1943)
Posteriormente, en 1943, Kalinske y Robertson estudiaron la salida de paquetes de aire como
consecuencia de la formación de resaltos hidráulicos en tuberías con pendiente; su montaje consistió en
una tubería de diámetro de 150 mm, y aproximadamente 10 m de longitud; y las pendientes que
estudiaron fueron de 0.2%, 2%, 5%, 10%, 20% y 30%. En la Ilustración 2 se puede observar el montaje
para pendientes del 2% y el 30%.
Ilustración 2. Montaje de Kalinske y Robertson (Robertson & Kalinske, 1943).
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Previo a éste artículo, Kennison había indicado en el artículo “The Design of Pipes Lines” publicado en
la Revista Americana N.E.W.W.A. (New England Water Works Association) en 1933, que si la
pendiente de la tubería es menor a la línea de gradiente hidráulico, las burbujas se moverán a lo largo de
la tubería sin ninguna dificultad. Por lo tanto, Kalinske y Robertson aplicando este criterio, buscarían en
su montaje el aire entrante en las tuberías.
Los resultados de su estudio arrojaron que la intensidad del resalto es dependiente del Número de
Froude aguas arriba del resalto, de la pendiente, ya que ésta determina la entrada de aire en la tubería y
finalmente de la relación de llenado, la cual va relacionada directamente con la pendiente de la tubería.
Por lo tanto, para entender el comportamiento, realizaron una relación entre el caudal de aire que
entraba en la tubería (
) y el Caudal de agua (
) y lo graficaron respecto al Número de Froude; se
observa que con cualquier pendiente, mientras mayor es la relación entre los caudales, el Número de
Froude aumenta.
También analizaron que para diferentes relaciones de llenado, existe un Número de Froude crítico en
donde la tubería solo transporta parte del aire en el resalto (Ver Gráfica 2):
Gráfica 2. Valores críticos experimentales del Número Froude para diferentes relaciones de llenado (Robertson & Kalinske,
1943).
En la Gráfica 2
se observa que con un Número de Froude seleccionado, la relación de llenado es más
alta en la pendiente más alta, y más baja cuando la pendiente es más baja; por ejemplo, con un Número
de Froude de 10, la pendiente del 2% tiene una relación de llenado cercana a 0.19; con una pendiente
del 5%, la relación de llenado es cercana a 0.21; con una pendiente del 10%, la relación de llenado es de
0.22; con una pendiente de 20% la relación es de 0.24 y con una pendiente del 30%, la relación de
llenado es de 0.25. Además cuando la pendiente es de 2%, el Número de Froude se mantiene constante
en un valor cercano a 2 mientras la relación de llenado varía entre 0.58 y 0.68.
Adicionalmente, en la Ilustración 3 se observan diferentes comportamientos del flujo para diversos
caudales con sus respectivos datos típicos.
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(a)
0.147
8.2
0.720
0.060
2 %
(b)
0.127
7.5
0.482
0.039
5 %
(c)
0.290
2.6
0.848
0.014
10 %
Ilustración 3. Datos típicos de profundidades y presiones en un Resalto Hidráulico (Robertson & Kalinske, 1943).
En la Ilustración 3 se puede analizar que cuando la pendiente es más alta hay más resaltos. Además,
según Robertson y Kalinske, con cada resalto hidráulico, la cantidad de presión de aire que hay en la
tubería aumenta mientras el Número de Froude y la profundidad subsecuente se mantienen constantes,
tal como se observa en la Imagen C de la Ilustración 3, donde la altura aguas abajo de cada uno de los
tres resaltos tiene a tener un valor constante. También Robertson y Kalinske observan que cuando la
profundidad aguas arriba del primer resalto es menor que la profundidad aguas arriba del segundo
resalto, el primer resalto entregará mayor cantidad de aire a la segunda profundidad y por lo tanto la
separación entre estos dos resaltos será mayor. Mientras que cuando la profundidad aguas arriba del
segundo resalto es mayor a la profundidad del primer resalto, el primer resalto entregará menor cantidad
de aire y se encontrarán a menor distancia.
Richard Silvester (1964)
En el año 1964, Richard Silvester realizó un análisis de resaltos hidráulicos que se formaban en
cualquier tipo de canal horizontal (rectangular, triangular, parabólico, circular y trapecial). El planteó
que las características principales para cualquier disipador de energía (incluido el resalto hidráulico);
son: la relación de las profundidades subsecuentes, las pérdidas de energía y la longitud del resalto.
En cuanto a las profundidades subsecuentes, se debe tener en cuenta el radio, la relación entre las
profundidades (d
1
/d
2
), el caudal, y para tuberías circulares, el centro de masa del agua. Silvester incluye
en su artículo la ecuación de fuerza del resalto para cualquier tipo de canal horizontal (Ver Ecuación 1):
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8
(
) (
)
Ecuación 1. Ecuación para hallar la ecuación de fuerza del resalto (Silvester, 1964).
donde:
= Área de la sección de agua
= Proporción de la profundidad al centro de gravedad del canal circular
= Caudal
= Gravedad
La Ecuación 1 puede escribirse como:
(
)
Ecuación 2. Ecuación para hallar la fuerza del resalto (Silvester, 1964).
También se conoce que el Número de Froude es (Ver Ecuación 3):
Ecuación 3. Número de Froude.
donde:
= Número de Froude
= Profundidad de sección
Por lo tanto, se puede inferir que:
(
)
Ecuación 4. Proceso para encontrar profundidades subsecuentes.
Luego, reemplazando la Ecuación 4 en la Ecuación 2, se tiene que:
Ecuación 5. Proceso para hallar profundidades subsecuentes.
La Ecuación 5 se puede reescribir como:
Ecuación 6. Ecuación 5 reorganizada.
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Por otra parte, la relación entre el Número de Froude aguas abajo del resalto sobre el Número de Froude
aguas arriba del resalto se muestra en la Ecuación 7:
Ecuación 7. Relación Número de Froude (Silvester, 1964).
Y si se despeja el Número de Froude aguas abajo del resalto:
Ecuación 8. Número de Froude aguas abajo del resalto.
Entonces, reemplazando la Ecuación 8 en la Ecuación 6:
(
)
Ecuación 9. Proceso para encontrar las profundidades subsecuentes en cualquier forma de canal.
Y para encontrar las profundidades subsecuentes, se divide la Ecuación 9 por el Área y la profundidad
de sección aguas arriba del resalto (
):
(
)
[
]
Ecuación 10. Profundidades subsecuentes para cualquier tipo de canal (Silvester, 1964).
Cómo en tuberías circulares la profundidad subsecuente puede tener dos condiciones (mayor o menor al
diámetro), el cálculo de ésta profundidad se divide en dos casos:
Tubería Parcialmente Llena:
Cuando la tubería está parcialmente llena, la proporción de la profundidad del agua al centro de masa
del agua (
) es variable, y se calcula con la Ecuación 11:
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10
( (
)
(
)
)
Ecuación 11. Valor de la proporción entre la profundidad de llenado y el centro de masa para tuberías parcialmente llenas
(Silvester, 1964).
donde:
= Proporción de la profundidad del flujo respecto al centro de gravedad
= Altura del flujo
= Diámetro de la tubería
= Área mojada de la tubería
Y los respectivos valores de k para diferentes profundidades de llenado son:
Tabla 1. Valores de k' dependiendo de la relación de llenado (Silvester, 1964).
d/D
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k'
0.41
0.413
0.416
0.419
0.424
0.432 0.445 0.462 0.473
0.5
Finalmente, reemplazando la Ecuación 11 en la Ecuación 10 se tiene que:
[
]
Ecuación 12. Profundidades subsecuentes para tuberías parcialmente llenas (Silvester, 1964).
Tubería Llena
En aquellas tuberías que quedan presurizadas luego de un resalto hidráulico, la ecuación de la
proporción entre la profundidad de llenado y el centro de gravedad se calcula con la Ecuación 13
.
(
)
Ecuación 13. Valor de la proporción entre la profundidad de llenado y el centro de gravedad para tuberías llenas (Silvester,
1964).
Y reemplazando la Ecuación 13 en la Ecuación 10 se tiene que:
[
]
Ecuación 14. Profundidades subsecuentes para tuberías llenas (Silvester, 1964).
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Luego, Silvester en su artículo, muestra un diagrama en el cual compara el valor del Número de Froude
respecto a la profundidad de llenado en diferentes tipos de secciones (Ver Gráfica 3):
Gráfica 3. Curvas Analíticas para d
2
/d
1
y F
1
(Silvester, 1964).
En la Gráfica 3 se puede observar que en tuberías circulares, para relaciones de llenado bajas aguas
arriba del resalto (d
1
/D = 0.2), el Número de Froude es más alto que para relaciones de llenado altas
(d
1
/D = 0.6). También se puede observar que cuando la tubería fluye parcialmente llena luego del resalto
hidráulico, existe una región válida de resultados, la cual se va incrementando a medida que aumenta la
relación d
2
/d
1
. Otro aspecto importante que se debe considerar, es que la relación de llenado del 20%
presenta el Número de Froude más alto, el cual se va aproximando a 8.
Adicionalmente, Silvester fue el primer investigador que aproximó una ecuación para hallar la longitud
del resalto hidráulico en tuberías circulares, teniendo como parámetros L/d
1
, L/d
2
, y L/(d
2
– d
1
). Por lo
tanto, para comparar las longitudes en la tubería, Silvester tomó el experimento realizado por
Kindsvater en 1934, y supuso las longitudes como la distancia entre el inicio del resalto, hasta el punto
donde la altura aguas abajo alcanzaba un máximo, teniendo en cuenta las pérdidas por fricción.
Su aproximación se basó en usar la Ecuación 15 y adaptarla para cada tipo de sección.
(
)
Ecuación 15. Longitud de un resalto hidráulico para cualquier tipo de sección (Silvester, 1964).
donde:
: Relación entre la longitud y la altura aguas arriba del resalto. Depende de la sección del canal
: Constante determinada experimentalmente según la sección del canal
: Se determina por la relación
En tuberías circulares, la longitud del resalto se determinó en el experimento realizado por Kindsvater
en 1934, con el cual, Silvester adaptó las mediciones y estableció la Gráfica 4:
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Gráfica 4. Variación diferencia de alturas del resalto vs Longitud (Silvester, 1964).
En la Gráfica 4 se puede observar que a medida que aumenta la relación de llenado aguas arriba del
resalto, la longitud del resalto es menor; esto puede ir relacionado conjuntamente con la disminución del
Número de Froude a medida que disminuye la relación de llenado (Ver Gráfica 3). Esto ocurre porque
cuando hay menor relación de llenado, la velocidad aumenta por lo cual el Número de Froude aumenta,
haciendo que el resalto adquiera más fuerza y se aumente la longitud.
Rajaratnam (1965)
En 1965, Rajaratnam realizó un nuevo análisis de resaltos hidráulicos en tuberías de sección
exponencial y circular para canales horizontales. Su análisis de basó nuevamente en las conclusiones
dadas por Kindsvater (1938), y el análisis realizado por Kalinske (1943) para las masas de aire que salen
por la tubería luego de un resalto hidráulico.
Por lo tanto, teniendo en cuenta el análisis de Momentum mediante la Ecuación 16:
Ecuación 16. Cálculo del Momentum en Resaltos Hidráulicos (Rajaratnam, 1965).
donde:
: Peso específico del agua
: Presión
Momentum
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: Son funciones de la relación de llenado aguas arriba (y
1
/D)
: Diámetro de la tubería
: Caudal
: Altura en el punto de medición
Y conociendo que el Momentum se conserva (Ver Ecuación 17):
Ecuación 17. Conservación del Momentum (Rajaratnam, 1965).
Y tomando el Número de Froude como:
Ecuación 18. Ecuación del Número de Froude según Rajaratnam (Rajaratnam, 1965).
donde
y
son funciones de
, se reemplaza la Ecuación 17 en la Ecuación 16 y se simplifica
obteniendo finalmente la ecuación de conservación del Momentum:
(
)
Ecuación 19. Conservación del Momentum (Rajaratnam, 1965).
A partir de la Ecuación 19, Rajaratnam estableció una gráfica con relaciones de llenado inferiores a 0.8
(Ver Gráfica 5), ya que en el análisis, Rajaratnam observó que para relaciones de llenado superiores a
0.8, el comportamiento del flujo no permite ningún análisis
Gráfica 5. Análisis de Froude vs y
2
/y
1
(Rajaratnam, 1965).
En la Gráfica 5, Rajaratnam analiza que cuando el Número de Froude llega aproximadamente a 3, las
curvas de las diferentes relaciones de llenado empiezan a diverger, y sus límites se encuentran entre las
relaciones de llenado de 0.2 y 0.5.
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Straub (1978)
En 1978, Straub planteó las siguientes ecuaciones para determinar las profundidades subsecuentes en
resaltos hidráulicos, partiendo de la siguiente ecuación semiempírica:
(
) (
)
Ecuación 20. Cálculo de la profundidad crítica.
La Ecuación 20 es válida únicamente si:
Posteriormente, se calcula el Número de Froude aguas arriba del resalto mediante la Ecuación 21:
(
)
Ecuación 21. Aproximación Número de Froude (French, 2007).
donde:
: Número de Froude aguas arriba del resalto [-]
: Profundidad crítica [m]
: Profundidad aguas arriba del resalto [m]
Luego realiza dos aproximaciones de la profundidad subsecuente con base en el Número de Froude,
dependiendo si el Número de Froude es menor a 1.7 o mayor.
Cuando el Número de Froude es menor a 1.7, la profundidad subsecuente es calculada como:
Ecuación 22. Cálculo profundidad subsecuente para Números de Froude menores a 1.7 (French, 2007).
Y cuando el Número de Froude es mayor a 1.7:
Ecuación 23. Cálculo profundidad subsecuente para Números de Froude mayores a 1.7 (French, 2007).
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Richard H. French (1988)
Richard French propuso igualar momentos tal cual lo hicieron otros autores, pero con la siguiente
ecuación:
(
) ̅
Ecuación 24. Cálculo del Momentum. (French, 2007).
donde:
: Momentum [m
3
]
: Caudal [m
3
/s]
: Gravedad [m/s
2
]
̅: Distancia desde la superficie de agua al centroide de masa [m]
: Área [m
2
]
Para hallar la distancia desde la superficie de agua al centroide se realiza el siguiente procedimiento:
Ilustración 4. Diagrama de niveles en la tubería.
1. Calcular el radio de la tubería (r).
2. Calcular la distancia del centro de la tubería a la superficie de agua (z)
Ecuación 25. Distancia del centro de la tubería de agua.
3. Calcular la distancia desde el centro de la tubería al centroide de masa del agua (
̂).
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16
̂
(
)
Ecuación 26. Distancia del centro de la tubería al centroide de masa de agua.
4. Calcular la distancia desde la superficie de agua hasta el centroide de la masa de agua (
̅).
̅ ( ̂)
Ecuación 27. Distancia desde la superficie de agua hasta el centroide de la masa de agua.
Entonces igualando los momentos se tiene que:
(
)
̅
(
)
̅
Ecuación 28. Igualando Momentums.
Luego, con la Ecuación 28 se despeja la altura subsecuente al resalto mediante un método iterativo.
Hager y Stahl (1999)
En 1999 Willi H. Hager y Helmut Stahl realizaron un nuevo análisis enfocado en tuberías circulares
fluyendo parcialmente llenas en una sola fase (sin tener en cuenta la relación aire – agua analizada
anteriormente por otros autores como Smith y Chen).
Para calcular la profundidad subsecuente, tuvieron en cuenta aproximaciones a las ecuaciones que
calcular el área y la fuerza de presión en una tubería circular:
Ecuación 29. Aproximación del área (Stahl & Hager, 1999).
2
Ecuación 30. Aproximación Presión (Stahl & Hager, 1999).
donde:
Área
: Diámetro de la tubería
2
Las Ecuación 29 y Ecuación 30 tienen un error máximo del 20% cuando y se encuentra entre 0.2 y 0.9, el cual es
aceptable para Stahl y Hager porque se ajustarán empíricamente.
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17
: Relación de llenado
Presión
: Densidad
: Gravedad
Por lo tanto la Ecuación del Momentum resulta en:
Ecuación 31. Ecuación del Momentum (Stahl & Hager, 1999).
Por otra parte, Hager realizó otro análisis en 1990 en el libro “Froudezahl im Kreisprofil (Froude
number in circular conduits)” para determinar que el Número de Froude en tuberías podía aproximarse
a:
√
Ecuación 32. Aproximación del Número de Froude (Hager, 1990).
donde:
: Número de Froude
: Caudal
: Diámetro de la tubería
: Profundidad del flujo
Ahora, dividiendo la Ecuación 31 entre
:
(
)
Ecuación 33. Proceso para encontrar la profundidad subsecuente del resalto hidráulico.
Y sabiendo que:
Ecuación 34. Relación entre las relaciones de llenado aguas arriba y aguas abajo del resalto (Stahl & Hager, 1999).
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18
Y aproximando 3.75
4 y remplazando las Ecuación 34 y Ecuación 32 en la Ecuación 33:
(
)
Ecuación 35. Proceso para encontrar la profundidad subsecuente en un resalto hidráulico.
Ecuación 36. Profundidad subsecuente en el resalto hidráulico (Stahl & Hager, 1999).
Además, la Ecuación 36 puede modificarse a la Ecuación 37 cuando
:
Ecuación 37. Profundidad subsecuente con Números de Froude mayores a 2 (Stahl & Hager, 1999).
Analizando la parte teórica, Stahl y Hager realizaron un experimento para verificar la Ecuación 37,
determinar un criterio de choque y determinar el comportamiento de los resaltos hidráulicos en tuberías
circulares. El diámetro de la tubería en acrílico que utilizaron fue de 240 mm, la pendiente fue de 0.5%
y la longitud fue de 6 m (equivalente a 25 veces el diámetro). El resalto se formó colocando placas al
final de la tubería y el caudal fue medido con un vertedero en V.
Gráfica 6. Profundidad subsecuente según el Número de Froude (Stahl & Hager, 1999).
En las 18 medidas realizadas, los Números de Froude oscilaron entre 1.5 y 6.5 (siempre en el rango
supercrítico), y se estableció que la Ecuación 37 había sido sobrestimada a causa de la viscosidad. Por lo
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19
tanto, la Ecuación 37 podía ser reemplazada por la Ecuación 38 (estimada con los resultados obtenidos
en los experimentos y mostrados en la Gráfica 6).
Ecuación 38. Profundidad subsecuente para Números de Froude mayores a 2 (Stahl & Hager, 1999).
Adicionalmente, Stahl y Hager realizaron un análisis para los tipos de resaltos
3
que se pueden formar:
Cuando el Número de Froude es 1.5, el tipo de resalto hidráulico que se forma es ondular y permanece a
lo largo de la tubería; cuando el Número de Froude oscila entre 1.5 y 2, las ondas del resalto hidráulico
se pierden aguas abajo porque la tubería se presuriza; cuando el Número de Froude es mayor a 2, se
producen dos tipos de resaltos hidráulicos, los cuales dependen de la relación de llenado de la tubería:
cuando la relación de llenado es inferior a 1/3, se forman remolinos laterales que recirculan, mientras el
flujo que continua se concentra en la superficie, cuando la relación de llenado es superior a 1/3, el
resalto se comporta normalmente, teniendo la zona de recirculación en la superficie.
En la Ilustración 5 se muestran diferentes tipos de resaltos hidráulicos dependiendo del Número de
Froude:
Imagen Número de Froude
Tipo de Resalto
a
1.1
Ondular
b
2.3
Normal
c
4.1
Flujo recirculante
d
6.5
Con tubería presurizada
Ilustración 5. Vista lateral de diferentes resaltos hidráulicos (Stahl & Hager, 1999).
3
Los tipos de resaltos hidráulicos se explicarán en el Numeral 3 (Marco Teórico).
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En la Ilustración 6 se observan las fluctuaciones ocurridas en los flujos, y las zonas de recirculación.
Ilustración 6. Vista en perfil de los diferentes tipos de Resalto Hidráulico (Stahl & Hager, 1999).
Hager y Stahl analizan las longitudes desde dos perspectivas: longitudes de recirculación y longitudes
de aireación (Ver Ilustración 7).
Ilustración 7. Longitudes del resalto hidráulico planteadas por Hager (Stahl & Hager, 1999).
Imagen Número de Froude
Tipo de Resalto
a
2.3
Normal
b
4.1
Flujo recirculante
c
6.5
Con tubería presurizada
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La longitud de recirculación (
) se mide desde el extremo aguas arriba de los remolinos hasta el punto
de estancamiento. Por lo tanto, para expresar una ecuación que determine la longitud de recirculación
del resalto hidráulico, Hager y Stahl determinan una relación entre longitud y altura del flujo aguas
abajo del resalto:
Ecuación 39. Relación entre la longitud de recirculación y la profundidad aguas abajo del resalto (Stahl & Hager, 1999).
Y
se calcula en función del Número de Froude:
Ecuación 40. Determinación de la longitud de recirculación a partir del Número de Froude.
La longitud de aireación se mide desde el extremo aguas arriba del resalto donde comienzan los
remolinos hasta el lugar donde no hay burbujas de aire (Esta longitud es base para encontrar la longitud
del resalto). Para determinarla, Hager y Stahl nuevamente calcularon una relación entre la longitud del
resalto y la profundidad aguas abajo del resalto y encontraron una ecuación en función del Número de
Froude:
Ecuación 41. Relación entre la longitud de aireación y la profundidad aguas abajo del resalto (Stahl & Hager, 1999).
Ecuación 42. Determinación de la longitud de aireación a partir del Número de Froude (Stahl & Hager, 1999).
Rudy Gargano y Willi H. Hager (2002)
En el año 2002, el investigador Willi H. Hager realizó otro análisis en resaltos hidráulicos pero
enfocados únicamente en los resaltos hidráulicos ondulares, analizando la longitud de las olas y los
perfiles. El experimento se realizó en un modelo similar al usado en 1999 (diámetro de 240 mm y de 6
m de longitud y el material de construcción fue acrílico).
Las relaciones de llenado oscilaron entre 0.3 y 0.8, variándolas cada 0.05. Se trabajaron 3 pendientes:
0.001, 0.0015 y 0.003, y los Números de Froude oscilaron entre 1.25 y 2.0 (Números de Froude
característicos de resaltos hidráulicos ondulares).
Como los resaltos hidráulicos ondulares son muy inestables, cualquier perturbación afecta el flujo en el
resalto; además, dependiendo del Número de Froude aguas arriba del resalto, se pueden determinar los
siguientes tipos de resaltos hidráulicos ondulares:
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1. Resalto Ondular Tipo A: Ocurre cuando los Números de Froude aguas arriba del resalto son bajos
(F<1.20). Las ondas fluyen libremente en el flujo.
2.
Resalto Ondular Tipo B: Ocurre cuando la pendiente es pronunciada y el flujo va aumentado de
aguas arriba hacia aguas abajo sin la formación de ondas. (1.20<F<1.28)
3.
Resalto Ondular Tipo C: Ocurre cuando el Número de Froude oscila entre 1.28 y 1.36.
4.
Resaltos Ondular Tipo D: Ocurre cuando los Números de Froude aguas arriba del resalto son
grandes (1.28<F<1.60).
En la Gráfica 7 se muestran los diferentes tipos de resaltos hidráulicos generados en los experimentos
realizados:
Gráfica 7. Tipos de resaltos hidráulicos generados en los experimentos realizados por Hager y Gargano (Gargano & Hager,
2002).
Por lo tanto, según la Gráfica 7, se obtienen los siguientes resultados:
1. Resalto Ondular Tipo A: Ocurre para Números de Froude menores a 1.5
2. Resalto Ondular Tipo B: Ocurre para relaciones de llenado entre 0.3 y 0.45.
3. Resaltos Ondulares Tipo C y D: Se forman de acuerdo con la siguiente ecuación:
Ecuación 43. Estimación para resaltos Ondulares Tipo C y D (Gargano & Hager, 2002).
Como conclusión Gargano y Hager comentan que el pico de la onda ocurre en la primera onda, además
la longitud de la onda depende exclusivamente de
⁄ . Por último, para evitar problemas en las redes
de alcantarillado, los Números de Froude deben ser menores a 0.75 o mayores a 2 para evitar la
inestabilidad del flujo y no producir resaltos ondulares, los cuales tienen las mismas características que
un resalto normal.
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H.K. Ghamry, Ain Shames y Fayoum Branch (2002)
En el año 2002 se realizó otro experimento para analizar los resaltos hidráulicos en tuberías; el diámetro
era de 0.3 m, longitud de 1.37 m, el caudal variaba entre 7 y 35 L/s y la variación de los Números de
Froude oscilaban entre 1.29 y 6.43.
Para calcular el resalto, introducen el término de sumergencia (S):
Ecuación 44. Sumergencia en la compuerta (Ghamry, Shames, & Branch, 2002).
donde:
: Sumergencia en la compuerta
: Altura aguas arriba de la compuerta
: Altura en la compuerta
Ecuación 45. Sumergencia (Ghamry, Shames, & Branch, 2002).
donde:
: Sumergencia
: Altura aguas arriba del resalto
: Altura aguas abajo del resalto
Estos investigadores realizaron una comparación entre la sumergencia en la compuerta y la sumergencia
en el resalto y concluyeron que la relación es proporcional, aunque para una sumergencia del resalto
específica, la sumergencia en la compuerta empieza a aumentar cuando aumenta el Número de Froude
(Ver Gráfica 8).
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Gráfica 8. Comparación sumergencia del resalto vs sumersión de la compuerta (Ghamry, Shames, & Branch, 2002).
Por último, para Números de Froude bajos, con variaciones bajas en la sumergencia, varía de manera
importante la sumergencia en la compuerta; sin embargo, a medida que aumenta el Número de Froude,
la sumergencia en la compuerta y la sumergencia varían igual. Además, la relación entre la energía
específica en la compuerta respecto a las diferentes energías a lo largo del resalto tiene un leve aumento
cuando la sumergencia aumenta.
Osman Akan (2006)
La profundidad subsecuente de un resalto hidráulico en canales rectangulares fue planteada por Akan
como la igualdad de los momentos específicos aguas arriba y aguas abajo del resalto hidráulico:
Ecuación 46. Cálculo Momentum Específico en Canales Rectangulares (Akan, 2006).
Igualando los momentos específicos aguas arriba y aguas abajo usando la Ecuación 46 se tiene que:
Ecuación 47. Procedimiento cálculo altura subsecuente de los resaltos hidráulicos en canales rectangulares (Akan, 2006).
Y conociendo que el caudal por unidad de ancho es igual a:
Ecuación 48. Caudal por unidad de ancho.
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25
donde:
: Caudal [m³/s]
: Caudal por unidad de ancho [m³/s*m]
: Ancho del canal [m]
Reemplazando la Ecuación 48 en la Ecuación 47:
Ecuación 49. Procedimiento cálculo profundidades subsecuentes.
Teniendo en cuenta la ecuación de conservación de la masa:
Ecuación 50. Conservación de la masa.
Ecuación 51. Cálculo velocidad aguas abajo a partir de los parámetros aguas arriba.
Reemplazando la Ecuación 51 y la Ecuación 47 en la Ecuación 49:
(
)
y reorganizando:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
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(
)
√
Ecuación 52. Cálculo profundidades subsecuentes en canales rectangulares.
La longitud del resalto hidráulico para canales rectangulares puede ser medida mediante la Gráfica 9, la
cual puede presentar errores cuando el resalto hidráulico presenta una superficie muy plana.
Gráfica 9. Cálculo de la longitud del Resalto Hidráulico. (FHWA, 2006).
National Highway Institute (2006)
En el 2006 aparecen publicadas en la Circular de Ingeniería Hidráulica N° 14 del Departamento de
Transporte de Estados Unidos (U.S. Department of Transportation), ecuaciones y gráficas para
determinar resaltos hidráulicos en tuberías. Estas ecuaciones se escogen dependiendo si la profundidad
aguas abajo es menor o mayor al diámetro:
Cuando la profundidad aguas abajo es menor al diámetro se tiene que:
(
)
Ecuación 53. Cálculo profundidad subsecuente para profundidades subsecuentes menores al diámetro (FHWA, 2006).
donde:
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: Profundidad aguas abajo del resalto
: Profundidad aguas arriba del resalto
: Número de Froude aguas arriba del resalto
: Funciones de y/D, y sus valores se encuentran en la Tabla 2.
Cuando la profundidad aguas abajo es mayor al diámetro, se realizan los cálculos con la Ecuación 54:
(
)
(
)
Ecuación 54. Cálculo profundidad subsecuente para profundidades subsecuentes mayores al diámetro (FHWA, 2006).
donde:
: Profundidad aguas abajo del resalto
: Profundidad aguas arriba del resalto
: Número de Froude aguas arriba del resalto
: Funciones de y/D, y sus valores se encuentran en la Tabla 2.
Tabla 2. Coeficientes para tuberías circulares horizontales (FHWA, 2006).
y/D
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1,000
K
0.41 0.413 0.416 0.419 0.424 0.432 0.445 0.462 0.473
0.5
C
0.041 0.112 0.198 0.293 0.393 0.494 0.587 0.674 0.745 0.748
Adicionalmente, la longitud del resalto (medida desde el punto donde inicia la turbulencia hasta el lugar
donde la profundidad aguas abajo alcanza el máximo) cuando la profundidad aguas abajo es menor al
diámetro se puede determinar mediante la Gráfica 10:
Gráfica 10. Determinación de la longitud del resalto para profundidades subsecuentes menores al diámetro (FHWA, 2006).
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28
En la Gráfica 10 se puede observar que existe una aproximación experimental para hallar la longitud del
resalto dependiendo si
es mayor o menor al diámetro:
Cuando la profundidad aguas abajo del resalto es menor al diámetro y para Números de Froude menores
a 6:
Ecuación 55. Determinación de la longitud del resalto cuando la profundidad aguas abajo es menor al diámetro. (FHWA,
2006)
Cuando la profundidad aguas abajo del resalto es mayor al diámetro:
(
)
Ecuación 56. Determinación longitud del resalto cuando la profundidad aguas abajo es mayor al diámetro (FHWA, 2006).
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3. Marco Teórico
El marco teórico presentado a continuación se encuentra en la tesis de pregrado denominada “Diseño y
construcción de un modelo para estudiar el comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías fluyendo
parcialmente llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4” (Montaño
Luna, 2012).
3.1. Resaltos Hidráulicos
3.1.1. Definición
Los resaltos hidráulicos son fenómenos físicos presentados cuando hay un cambio de flujo supercrítico a
flujo subcrítico, lo cual genera pérdidas de energía, turbulencia, rompimiento en la superficie del flujo
(en algunos casos) y entrampamiento de aire. Su comportamiento se puede observar en la Ilustración 8:
Ilustración 8. Resalto Hidráulico (Akan, 2006).
En tuberías circulares, existen dos tipos de resaltos; el primero ocurre cuando la profundidad
subsecuente del resalto es menor al diámetro de la tubería (y
2
<D), (Ver Ilustración 9), y el segundo tipo,
cuando la profundidad subsecuente supera el diámetro (y
2
>D) (Ilustración 10).
Ilustración 9. Profundidad subsecuente menor al diámetro de la tubería (Ghamry, Shames, & Branch, 2002).
Ilustración 10. Profundidad subsecuente mayor al diámetro de la tubería (Ghamry, Shames, & Branch, 2002).
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30
Los resaltos hidráulicos cumplen la función de disipar energía debido a la turbulencia generada en éste
fenómeno y la incorporación de aire; por lo tanto son útiles en zonas donde la potencia del agua puede
causar daños en las estructuras y erosiones en los canales, o en las plantas de tratamiento de agua
residual o plantas de tratamiento de agua potable, donde se usan para mezclar sustancias mientras ocurre
el fenómeno.
A continuación se mencionan otras funciones del resalto hidráulico en canales abiertos (CIVIL
ENGINEERING PORTAL, 2011):
Disipación de energía en flujos sobre diques, vertederos y otras estructuras hidráulicas.
Establecimiento de alturas altas, apropiadas para canales usados en la distribución de agua o
irrigación de cultivos.
Reducción de las presiones altas que se encuentran debajo de las estructuras.
Mezcla de sustancias químicas usadas para tratamiento de agua.
Aireación de flujos y declorinado en los procesos de tratamiento de agua.
Eliminación de paquetes de aire presentados en canales circulares.
Identificación de las condiciones del flujo mediante mediciones, y así tomar medidas de
regulación.
Adicionalmente, la formación de resaltos hidráulicos se presenta cuando el canal tiene altas pendientes,
obstáculos en el canal o cambios de pendiente.
3.1.2. Tipos de Resaltos Hidráulicos
Según la US Bureau of Reclamation, los resaltos hidráulicos se identifican de acuerdo con el Número de
Froude:
Tabla 3. Tipos de Resaltos Hidráulicos en fondos sin pendiente (Gonzales Rodríguez, 1992).
Número de Froude
Características
Froude = 1.0
No existe formación de Resalto
Hidráulico porque se encuentra en la
profundidad crítica
1.0 < Froude < 1.7
Resalto Ondular
1.7 < Froude < 2.5
Resalto Débil
2.5 < Froude < 4.5
Resalto Oscilante
4.5 < Froude < 9.0
Resalto Permanente
Froude > 9.0
Resalto Fuerte
Resalto Ondular: Cómo se explicó en los Antecedentes, un resalto hidráulico ondular genera baja
disipación de energía, su disipación oscila entre el 0 y el 8%.
Resalto Débil: En la superficie del resalto se presenta una pequeña turbulencia, con disipaciones de
energía entre el 10 y el 20%.
Resalto Oscilante: Hay una turbulencia no periódica, la cual va generando a su paso problemas de
erosión tanto en las orillas del canal como en el fondo. La disipación de energía oscila entre 20 y
45%.
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31
Resalto Permanente: Éste resalto no tiene en cuenta el comportamiento del flujo aguas abajo, por lo
tanto, su comportamiento es más periódico. La disipación de energía oscila entre 45 – 70%.
Resalto fuerte: Es un resalto violento, que alcanza disipaciones de energía del 85%.
Ilustración 11. Tipos de Resaltos Hidráulicos (Gonzales Rodríguez, 1992).
3.1.3. Cálculo de profundidades subsecuentes en el Resalto Hidráulico
Cómo las pérdidas de energía son considerables, no se puede usar la ecuación de conservación de la
energía para encontrar la relación entre las profundidades aguas arriba del resalto y aguas abajo, sino
que se debe usar la conservación del Momentum planteada en la Ecuación 57.
Ecuación 57. Conservación del Momentum Específico.
En canales rectangulares el análisis de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico se realiza
mediante la demostración planteada por Akan, obteniendo como resultado la Ecuación 52:
√
Ecuación 52. Cálculo profundidades subsecuentes en canales rectangulares.
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32
O mediante la
Ecuación 58
planteada por Smith y Chen:
(
)
[
(
) ]
[(
)
(
) ]
(
)
Ecuación 58.
Dimensiones del Resalto Hidráulico en canales cuadrados reorganizada (SMITH & CHEN, 1989).
Además, la longitud del resalto se puede medir mediante la Gráfica 11:
Gráfica 11. Cálculo de la longitud del Resalto Hidráulico (FHWA, 2006).
El análisis de Momentum para tuberías circulares se puede explicar en el análisis planteado por Stahl y
Hager (Ver Ecuación 31), en el cual se obtiene la siguiente ecuación de conservación del Momentum:
Ecuación 31. Ecuación del Momentum (Stahl & Hager, 1999).
Adicionalmente, en otro análisis, realizado por Osman Akan en el libro Open Channel Hydraulics, la
solución de la Ecuación 31 requiere de procedimientos de prueba y error, por lo tanto se han graficado
diagramas de Momentum para encontrar la solución en canales circulares:
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33
Gráfica 12. Diagrama de Momentum en canales circulares (Akan, 2006).
Como se observa en la Gráfica 12, todas las líneas tienen un límite en el inicio de la curva, lo que indica
que en tuberías circulares, siempre se tendrá una zona supercrítica antes de la formación del resalto, y
aguas abajo se tienen dos opciones, que el flujo siga a superficie libre o que la tubería se presurice.
Por lo tanto, partiendo de las Ecuaciones de Momentum y diversos experimentos, se encuentran las
siguientes ecuaciones para encontrar las profundidades subsecuentes:
La primera ecuación fue calculada por Silvester en 1964 a partir de los datos obtenidos en el
experimento de Kindsvater. La Ecuación 12 funciona para tuberías fluyendo parcialmente llenas:
[
]
Ecuación 12. Profundidades subsecuentes para tuberías parcialmente llenas (Silvester, 1964).
La Ecuación 14 se utiliza en tuberías presurizadas:
[
]
Ecuación 14. Profundidades subsecuentes para tuberías llenas.
En 1978, Straub plantea ecuaciones para determinar la profundidad subsecuente del resalto hidráulico a
partir de una aproximación en el cálculo del Número de Froude:
(
)
Ecuación 21. Aproximación Número de Froude (French, 2007).
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34
Cuando el Número de Froude es menor a 1.7:
Ecuación 22. Cálculo profundidad subsecuente para Números de Froude menores a 1.7 (French, 2007).
Y cuando el Número de Froude es mayor a 1.7:
Ecuación 23. Cálculo profundidad subsecuente para Números de Froude mayores a 1.7 (French, 2007).
En 1999 Stahl y Hager plantearon dos ecuaciones a partir de sus resultados experimentales, la primera
calculada para Números de Froude generales:
Ecuación 59. Profundidad subsecuente en el resalto hidráulico (Stahl & Hager, 1999).
donde
Y la siguiente para Números de Froude mayores a 2:
Ecuación 60. Profundidad subsecuente con Números de Froude mayores a 2 (Stahl & Hager, 1999).
Y por último, en la Circular 14 de Ingeniería Hidráulica del Departamento de Transporte de Estados
Unidos se establecen las siguientes ecuaciones para encontrar las profundidades subsecuentes:
Cuando la profundidad aguas abajo es menor al diámetro se tiene que:
(
)
Ecuación 53. Cálculo profundidad subsecuente para profundidades subsecuentes menores al diámetro (FHWA, 2006).
donde:
: Profundidad aguas abajo del resalto
: Profundidad aguas arriba del resalto
: Número de Froude aguas arriba del resalto
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35
: Funciones de y/D, y sus valores se encuentran en la Tabla 2
Cuando la profundidad aguas abajo es mayor al diámetro, se realizan los cálculos con la Ecuación 54:
(
)
(
)
Ecuación 54. Cálculo profundidad subsecuente para profundidades subsecuentes mayores al diámetro (FHWA, 2006).
donde:
: Profundidad aguas abajo del resalto
: Profundidad aguas arriba del resalto
: Número de Froude aguas arriba del resalto
: Funciones de y/D, y sus valores se encuentran en la Tabla 2
Adicionalmente, la longitud del resalto (medida desde el punto donde inicia la turbulencia hasta el lugar
donde la profundidad aguas abajo alcanza el máximo) cuando la profundidad aguas abajo es menor al
diámetro se puede determinar mediante la Gráfica 13:
Gráfica 13. Determinación de la longitud del resalto para profundidades subsecuentes menores al diámetro (FHWA, 2006).
3.1.4. Análisis del comportamiento del resalto hidráulico
El comportamiento del resalto hidráulico es inestable y no se puede medir, salvo por análisis
probabilísticos; sin embargo, se puede evaluar la variación de la turbulencia en diferentes zonas del
resalto hidráulico, mediante la medición de velocidad y presión.
Para medir la intensidad de la turbulencia isotrópica, se usa la siguiente ecuación:
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36
√
̅̅̅̅
Ecuación 61. Cálculo de la intensidad de la turbulencia (Lopardo, 2012).
donde:
: Velocidad de fluctuación
: Velocidad media en el punto considerado
Ésta intensidad también puede ser calculada mediante un parámetro adimensional (
):
√
̅̅̅̅̅
Ecuación 62. Cálculo del parámetro adimensional para determinar la turbulencia del resalto hidráulico (Lopardo, 2012).
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37
4. Diseño del modelo
4.1.
Ubicación
El montaje se realizó en el laboratorio de Hidráulica de la Universidad de los Andes, sobre el canal
rectangular ubicado en el extremo derecho del laboratorio (Ver plano anexo).
Ilustración 12. Canal donde su ubicó el montaje.
4.2.
Proceso de diseño
El proceso ampliado de construcción del montaje se encuentra en la Tesis “Diseño y Construcción de un
modelo para estudiar el comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente llenas de
sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4 (Montaño Luna, 2012)”.
En general, el montaje consta de 6 tuberías de 2 m de longitud, y una tubería de 1 m de longitud, la cual
cuenta con una compuerta para controlar la ubicación del resalto hidráulico. Para sostener la tubería, se
realizó un soporte de acero dividido en 4 secciones de 3 m, el cual permite variar la pendiente de la
tubería sin poner en riesgo la estructura de la misma.
El montaje final realizado en la tesis de Montaño se muestra a continuación:
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38
Ilustración 13. Vista dentro de la tubería.
Ilustración 14. Vista de la compuerta con el neumático.
Ilustración 15. Vista de la compuerta en el montaje.
Ilustración 16. Vista perfil de la compuerta.
Posteriormente, para la lectura de los diferentes parámetros, se adaptaron en la tubería soportes y
adiciones para colocar los sensores de nivel y caudal, lo cual se puede observar en el Numeral 4.3.
4.3.
Aparatos de medición
4.3.1. Sensor Ultrasónico U – GAGE T30
El medidor ultrasónico de nivel U – GAGE T30, es un medidor de fácil manejo y programación. Su
funcionamiento consiste en lanzar un pulso de ultrasonido sobre una superficie, cuando el pulso
encuentra la superficie se refleja y emite la señal al receptor.
Las características del equipo son:
Su rango de acción se encuentra entre los 15 cm hasta 1 m.
El rango de temperatura varía entre – 20°C y 70°C.
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39
El tiempo de respuesta es de 48 milisegundos para la salida discreta y la análoga.
Ilustración 17. Características del U - GAGE T30 (Banner Engineering).
Sin embargo, como el sensor tiene una zona muerta de 15 cm, se requirió una adaptación de la tubería
para colocar los sensores, la cual consistió en adaptar un tubo en cada tubería donde se requiriera el
sensor; y en los casos en los cuales la tubería se presurice aguas abajo, el sensor será retirado y el nivel
del flujo se medirá con los piezómetros.
Ilustración 18. U - GAGE T30.
4.3.2. ADV (Velocímetro Doppler acústico)
El velocímetro Doppler acústico, es un instrumento que permite medir con alta precisión el
comportamiento de la velocidad en las 3 dimensiones.
Consta de 3 elementos para ejecutar la medición: una sonda, un módulo de acondicionamiento de la
señal y un procesador. El área muerta de medición del equipo es de 5 cm, por lo cual todas las
mediciones que se realizan en el resalto deben superar dicha altura. El rango de velocidad de medición
posible está entre
3 cm/s a 250 cm/s.
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40
Ilustración 19. ADV (SonTek, 2012).
Para adaptar el ADV en la tubería, se realizó un montaje que permite el movimiento tridimensional del
equipo, así poder medir el comportamiento de la velocidad en determinados puntos.
Ilustración 20. Adaptación del ADV en la tubería.
4.3.3. Piezómetros
Para medir el nivel de la tubería aguas abajo del resalto, cuando la tubería se encuentre presurizada, se
adaptaron unos piezómetros aguas abajo del sensor ADV. Estos piezómetros se encuentran a una
distancia de 20 cm entre ellos, dando lugar a 17 piezómetros de medición.
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41
Ilustración 21. Piezómetros en la tubería.
4.3.4. Caudalímetro
El caudal que pasa por la tubería es medido por un Caudalímetro Electromagnético ABB, el cual
funciona bajo la Ley de inducción de Faraday. El caudal máximo que puede pasar por el tanque de
abastecimiento es de 110 L/s, sin embargo, debido a las condiciones del canal, de la tubería y los
tanques aguas arriba y aguas abajo del montaje, el caudal máximo que pasará por la tubería fue de 80
L/s.
Ilustración 22. Caudalímetro ABB
.
4.4.
Metodología y proceso de medición
4.4.1. Profundidad del flujo
4.4.1.1.
Parámetros de medición
Los parámetros a medir en la tubería son:
Altura del nivel del flujo aguas arriba y aguas abajo del resalto hidráulico.
Longitud del resalto hidráulico (Longitud de la formación de las burbujas y del resalto
hidráulico como tal).
Temperatura del resalto hidráulico.
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42
Temperatura del flujo aguas arriba y aguas abajo del resalto hidráulico.
4.4.1.2.
Metodología de medición
1. Variación de las pendientes
4
.
2. Abertura de la válvula.
3. Purga de piezómetros.
4. Variación de los caudales.
5. Toma de datos de niveles, caudal y velocidad.
6. Medición de la temperatura aguas arriba y aguas abajo del resalto hidráulico.
7. Medición de la longitud de las burbujas y la longitud del resalto.
4.1.1.3. Lista de caudales y pendientes
Teniendo en cuenta el caudal y la pendiente máxima permitidos en el montaje, se realizó la siguiente
lista, en la cual también se muestra el valor del Número de Froude, ya que con este valor se puede
estimar la fuerza del resalto hidráulico:
Tabla 4. Lista de caudales y pendientes.
5
# Escenario
S
(-)
Q
(m
3
/s)
y
n
(m)
y
n
/d
(-)
Número de
Froude
(-)
1
0.005
0.005
0.048
0.198
0.241
2
0.005
0.015
0.084
0.346
0.699
3
0.005
0.025
0.111
0.458
1.137
4
0.005
0.035
0.135
0.559
1.555
5
0.005
0.045
0.160
0.661
1.956
6
0.005
0.055
0.188
0.776
2.331
7
0.007
0.005
0.044
0.181
0.242
8
0.007
0.015
0.076
0.314
0.705
9
0.007
0.025
0.100
0.412
1.148
10
0.007
0.035
0.121
0.500
1.576
11
0.007
0.045
0.141
0.583
1.989
12
0.007
0.055
0.162
0.668
2.386
13
0.007
0.065
0.185
0.763
2.762
14
0.007
0.075
0.222
0.919
3.082
15
0.009
0.005
0.041
0.169
0.243
16
0.009
0.015
0.071
0.292
0.708
17
0.009
0.025
0.093
0.382
1.156
18
0.009
0.035
0.112
0.461
1.590
4
Las pendientes y los caudales variarán de acuerdo con la lista presentada en el Numeral 4.1.1.3.
5
La convención (-) indica que la variable es adimensional.
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43
Continuación Tabla 4. Lista de caudales y pendientes.
# Escenario
S
(-)
Q
(m
3
/s)
y
n
(m)
y
n
/d
(-)
Número de
Froude
(-)
19
0.009
0.045
0.129
0.535
2.011
20
0.009
0.055
0.147
0.608
2.418
21
0.009
0.065
0.165
0.683
2.811
22
0.009
0.075
0.186
0.767
3.185
23
0.011
0.005
0.039
0.160
0.243
24
0.011
0.015
0.067
0.276
0.711
25
0.011
0.025
0.087
0.360
1.162
26
0.011
0.035
0.105
0.433
1.600
27
0.011
0.045
0.121
0.501
2.026
28
0.011
0.055
0.137
0.566
2.441
29
0.011
0.065
0.153
0.631
2.843
30
0.011
0.075
0.169
0.700
3.231
31
0.013
0.005
0.037
0.153
0.244
32
0.013
0.015
0.064
0.263
0.713
33
0.013
0.025
0.083
0.343
1.166
34
0.013
0.035
0.100
0.411
1.608
35
0.013
0.045
0.115
0.474
2.038
36
0.013
0.055
0.129
0.535
2.458
37
0.013
0.065
0.144
0.594
2.867
38
0.013
0.075
0.158
0.655
3.264
39
0.015
0.005
0.036
0.147
0.244
40
0.015
0.015
0.061
0.253
0.715
41
0.015
0.025
0.080
0.329
1.170
42
0.015
0.035
0.095
0.394
1.614
43
0.015
0.045
0.110
0.453
2.048
44
0.015
0.055
0.123
0.510
2.471
45
0.015
0.065
0.137
0.565
2.885
46
0.015
0.075
0.150
0.620
3.289
47
0.017
0.005
0.034
0.142
0.244
48
0.017
0.015
0.059
0.244
0.716
49
0.017
0.025
0.077
0.317
1.173
50
0.017
0.035
0.092
0.380
1.620
51
0.017
0.045
0.106
0.436
2.056
52
0.017
0.055
0.118
0.489
2.483
53
0.017
0.065
0.131
0.541
2.900
54
0.017
0.075
0.143
0.593
3.309
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44
Continuación Tabla 4. Lista de caudales y pendientes.
# Escenario
S
(-)
Q
(m
3
/s)
y
n
(m)
y
n
/d
(-)
Número de
Froude
(-)
55
0.019
0.005
0.033
0.138
0.245
56
0.019
0.015
0.057
0.237
0.717
57
0.019
0.025
0.074
0.307
1.176
58
0.019
0.035
0.089
0.367
1.624
59
0.019
0.045
0.102
0.421
2.063
60
0.019
0.055
0.114
0.472
2.492
61
0.019
0.065
0.126
0.521
2.913
62
0.019
0.075
0.138
0.570
3.325
63
0.021
0.005
0.033
0.134
0.245
64
0.021
0.015
0.056
0.230
0.718
65
0.021
0.025
0.072
0.299
1.178
66
0.021
0.035
0.086
0.356
1.628
67
0.021
0.045
0.099
0.409
2.069
68
0.021
0.055
0.111
0.458
2.500
69
0.021
0.065
0.122
0.505
2.924
70
0.021
0.075
0.133
0.550
3.340
71
0.023
0.005
0.032
0.131
0.245
72
0.023
0.015
0.054
0.224
0.719
73
0.023
0.025
0.070
0.291
1.180
74
0.023
0.035
0.084
0.347
1.632
75
0.023
0.045
0.096
0.398
2.074
76
0.023
0.055
0.108
0.445
2.508
77
0.023
0.065
0.119
0.490
2.934
78
0.023
0.075
0.129
0.534
3.352
79
0.025
0.005
0.031
0.128
0.245
80
0.025
0.015
0.053
0.219
0.720
81
0.025
0.025
0.069
0.284
1.182
82
0.025
0.035
0.082
0.339
1.635
83
0.025
0.045
0.094
0.388
2.078
84
0.025
0.055
0.105
0.433
2.514
85
0.025
0.065
0.115
0.477
2.942
86
0.025
0.075
0.126
0.519
3.363
87
0.027
0.005
0.030
0.126
0.245
88
0.027
0.015
0.052
0.215
0.721
89
0.027
0.025
0.067
0.278
1.184
90
0.027
0.035
0.080
0.331
1.637
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45
Continuación Tabla 4. Lista de caudales y pendientes.
# Escenario
S
(-)
Q
(m
3
/s)
y
n
(m)
y
n
/d
(-)
Número de
Froude
(-)
91
0.027
0.045
0.092
0.379
2.083
92
0.027
0.055
0.102
0.423
2.520
93
0.027
0.065
0.113
0.465
2.950
94
0.027
0.075
0.123
0.506
3.373
95
0.029
0.005
0.030
0.123
0.245
96
0.029
0.015
0.051
0.211
0.722
97
0.029
0.025
0.066
0.272
1.185
98
0.029
0.035
0.079
0.324
1.640
99
0.029
0.045
0.090
0.371
2.086
100
0.029
0.055
0.100
0.414
2.525
101
0.029
0.065
0.110
0.455
2.957
102
0.029
0.075
0.120
0.495
3.382
103
0.031
0.005
0.029
0.121
0.246
104
0.031
0.015
0.050
0.207
0.722
105
0.031
0.025
0.065
0.267
1.187
106
0.031
0.035
0.077
0.318
1.642
107
0.031
0.045
0.088
0.364
2.090
108
0.031
0.055
0.098
0.406
2.530
109
0.031
0.065
0.108
0.446
2.963
110
0.031
0.075
0.117
0.484
3.390
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46
4.4.2. Distribución de velocidades
4.4.2.1.
Parámetros de medición
Los parámetros necesarios para entender el comportamiento de la distribución de la velocidad del flujo
son:
Velocidad en cada uno de los puntos de medición.
Profundidad del flujo aguas arriba del resalto.
Caudal de entrada en la tubería.
4.4.2.2.
Metodología de medición
La medición de los datos está organizada de acuerdo con la siguiente matriz geométrica:
Ilustración 23.Matriz geométrica de medición de la Distribución de Velocidades.
Con la matriz de medición establecida, se variaba la ubicación del ADV para cubrir cada uno de los
puntos deseados, mediante el montaje expuesto en el Numeral 4.3.2.
4.4.2.3.
Lista de caudales y pendientes
El listado de caudales y pendientes que se evaluarán, cumplirán con la condición de generar un resalto
hidráulico estable, es decir, solo se tomarán caudales y pendientes tales que el caudal sea mayor a 10 L/s
y menor a 50 L/s, y pendientes mayores al 1.1%.
Tabla 5. Lista de caudales y pendientes para el análisis del comportamiento de la velocidad.
# Escenario
Pendiente (-)
Caudal (m³/s)
1
0.012
0.024
2
0.012
0.030
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47
# Escenario
Pendiente (-)
Caudal (m³/s)
3
0.016
0.019
4
0.016
0.024
5
0.017
0.019
6
0.017
0.026
7
0.020
0.020
8
0.020
0.025
9
0.021
0.019
10
0.021
0.025
11
0.022
0.021
12
0.022
0.026
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48
5. Pruebas de verificación de los parámetros hidráulicos de la tubería
Los Numerales 5.1, 5.2 y 5.3 se encuentran en la tesis de pregrado denominada “Diseño y construcción
de un modelo para estudiar el comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías fluyendo parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4” (Montaño Luna, 2012).
5.1. Comprobación de Diseño
El proceso de comprobación de diseño se realizó para determinar cuál era el diámetro que se debía
elegir para transportar el caudal de 77.6 L/s, evitando tener una relación de llenado muy baja, y alturas
menores a 48 cm (altura máxima permitida por el canal en la compuerta aguas arriba).
Por lo tanto, se realizó un análisis para relaciones de llenado del 50%, 85 % y 92.9% con una pendiente
del 1.88%, y una variación del diámetro cada 0.05 m.
A continuación se presentan los cálculos realizados para la primera iteración, la cual se llevó a cabo para
un diámetro de 0.2 m:
1. Cálculo de la profundidad normal:
( )
Ecuación 63. Cálculo de la relación de llenado.
2. Cálculo de
:
(
)
(
)
Ecuación 64. Cálculo de
.
3. Cálculo del área
( ( ))
( ( ))
Ecuación 65. Cálculo del área mojada.
4. Cálculo del perímetro
Ecuación 66. Cálculo del perímetro mojado.
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49
5. Cálculo del radio hidráulico
Ecuación 67. Cálculo del radio hidráulico.
6. Cálculo de la velocidad
√
((
)
( )
√
)
Ecuación 68. Cálculo de la velocidad.
7. Cálculo del caudal
Ecuación 69. Cálculo del caudal.
8. Cálculo del Número de Reynolds
Ecuación 70. Cálculo del Número de Reynodls.
9. Cálculo del ancho de la superficie
( (
))
Ecuación 71. Cálculo del ancho de la superficie.
10. Cálculo de la profundidad hidráulica
Ecuación 72. Cálculo de la profundidad hidráulica.
11. Cálculo del Número de Froude
√
√
Ecuación 73. Cálculo del Número de Froude.
12. Altura total del soporte y el diámetro de la tubería
Ecuación 74. Cálculo de la altura total del soporte.
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50
Siguiendo el procedimiento planteado, se obtienen las siguientes tablas:
Tabla 6. Diámetros seleccionados que superen el caudal de diseño y no superen los 48 cm de altura con relaciones de llenado
del 50 %.
d
(m)
yn
(m)
(-)
Á
(m²)
P
(m)
R
(m)
V
(m)
Q
(m³/s)
Re
(-)
T
(m)
D
(m)
Número
de
Froude
(-)
h
soporte
(m)
d +
soporte
(m)
0,2
0,1
3,142 0,016
0,314
0,050
2,315
0,036
406173,515
0,200 0,079
2,638
0,100
0,300
0,25
0,125
3,142 0,025
0,393
0,063
2,676
0,066
586753,110
0,250 0,098
2,726
0,100
0,350
0,3
0,15
3,142 0,035
0,471
0,075
3,009
0,106
791802,752
0,300 0,118
2,799
0,100
0,400
0,35
0,175
3,142 0,048
0,550
0,088
3,321
0,160
1019595,837
0,350 0,137
2,860
0,100
0,450
0,4
0,2
3,142 0,063
0,628
0,100
3,616
0,227
1268764,140
0,400 0,157
2,913
0,100
0,500
0,45
0,225
3,142 0,080
0,707
0,113
3,897
0,310
1538186,062
0,450 0,177
2,960
0,100
0,550
0,5
0,25
3,142 0,098
0,785
0,125
4,165
0,409
1826918,772
0,500 0,196
3,001
0,100
0,600
0,55
0,275
3,142 0,119
0,864
0,138
4,424
0,525
2134154,161
0,550 0,216
3,039
0,100
0,650
En la Tabla 6 se resaltan los diámetros que cumplen con caudales cercanos al caudal máximo permitido
en el montaje y no superan los 48 cm de la compuerta. Cabe destacar, que las tuberías con diámetros de
200 mm y 250 mm mueven un caudal menor que el caudal máximo con una relación de llenado del
50%, lo que indica que se puede realizar una variación mayor de las relaciones de llenado en éstos
diámetros respecto a los diámetros de 300 mm.
Tabla 7. Diámetros seleccionados que superen el caudal de diseño y no superen los 48 cm de altura con relaciones de llenado
del 85 %.
d
(m)
yn
(m)
(-)
Á
(m²)
P
(m)
R
(m)
V
(m)
Q
(m³/s)
Re
(-)
T
(m)
D
(m)
Número
de
Froude
(-)
h
soporte
(m)
d +
soporte
(m)
0.1
0.085
4.692
0.007
0.235
0.030
2.158
0.015
229631.7
0.071
0.100
2.183
0.1
0.200
0.15
0.128
4.692
0.016
0.352
0.045
2.814
0.045
449084.9
0.107
0.149
2.324
0.1
0.250
0.2
0.17
4.692
0.028
0.469
0.061
3.388
0.096
721077.9
0.143
0.199
2.423
0.1
0.300
0.25
0.213
4.692
0.044
0.587
0.076
3.909
0.174
1039829.5
0.179
0.249
2.501
0.1
0.350
0.3
0.255
4.692
0.064
0.704
0.091
4.390
0.281
1401297.5
0.214
0.299
2.563
0.1
0.400
0.35
0.298
4.692
0.087
0.821
0.106
4.840
0.422
1802433.9
0.250
0.349
2.617
0.1
0.450
0.4
0.34
4.692
0.114
0.938
0.121
5.265
0.599
2240825.9
0.286
0.399
2.663
0.1
0.500
0.45
0.383
4.692
0.144
1.056
0.136
5.669
0.817
2714497.0
0.321
0.448
2.703
0.1
0.550
0.5
0.425
4.692
0.178
1.173
0.152
6.055
1.077
3221787.4
0.357
0.498
2.739
0.1
0.600
0.55
0.468
4.692
0.215
1.290
0.167
6.427
1.383
3761274.8
0.393
0.548
2.772
0.1
0.650
En la Tabla 7 se puede observar que con relaciones de llenado del 85 % (relación de llenado máxima
permitida por el RAS), los diámetros cercanos al caudal máximo son los de 200 mm, 250 mm y 300
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51
mm; pero al igual que con la relación de llenado del 50 %, los diámetros de 200 mm y 250 mm
permiten análisis con relaciones de llenado más altas dado que el caudal que transportan sigue siendo
menor que el caudal máximo que puede transportar el montaje.
Tabla 8. Diámetros seleccionados que superen el caudal de diseño y no superen los 48 cm de altura con relaciones de llenado
del 92.9 %.
d
(m)
yn
(m)
(-)
A
(m²)
P
(m)
R
(m)
V
(m/s)
Q
(m³/s)
Re
(-)
h
(m)
d + soporte
(m)
0,1
0,093 5,204
0,008
0,260
0,029
1,627
0,012
166855,528
0,100
0,200
0,15
0,139 5,204
0,017
0,390
0,044
2,125
0,036
326990,425
0,100
0,250
0,2
0,186 5,204
0,030
0,520
0,058
2,563
0,078
525738,360
0,100
0,300
0,25
0,232 5,204
0,048
0,651
0,073
2,959
0,141
758879,656
0,100
0,350
0,3
0,279 5,204
0,068
0,781
0,088
3,326
0,228
1023461,122
0,100
0,400
0,35
0,325 5,204
0,093
0,911
0,102
3,669
0,342
1317254,232
0,100
0,450
0,4
0,372 5,204
0,122
1,041
0,117
3,993
0,486
1638493,834
0,100
0,500
0,45
0,418 5,204
0,154
1,171
0,132
4,302
0,663
1985733,499
0,100
0,550
0,5
0,465 5,204
0,190
1,301
0,146
4,597
0,874
2357757,724
0,100
0,600
0,55
0,511 5,204
0,230
1,431
0,161
4,881
1,123
2753524,982
0,100
0,650
En la Tabla 8 se está realizando el mismo análisis pero con la relación de llenado que produce el
máximo caudal posible que puede transportar la tubería; por lo tanto, como supera la normatividad, se
esperaría que no se encuentren relaciones de llenado del 92.9 % en los alcantarillados del país. Sin
embargo, para analizar un ejemplo extremo, se realiza éste análisis, el cual muestra que el único
diámetro que cumple con el caudal cercano al caudal máximo que puede pasar por la tubería es el de
200 mm, mientras que el diámetro de 250 mm ya se ha alejado 70 L/s del caudal máximo, por lo cual el
único diámetro que permitiría realizar un análisis con todas las posibles relaciones de llenado sería el de
200 mm, pero con base en la norma y en la capacidad de visualizar el resalto, se elige el diámetro de
250 mm.
5.2. Análisis caudales máximos para diferentes pendientes
Luego de elegir el diámetro, se realizó un análisis con dos tipos de pendientes y diferentes relaciones de
llenado para observar la variación del Número de Froude obteniendo los siguientes resultados:
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Gráfica 14. Variación del Número de Froude respecto a la relación de llenado para diferentes pendientes.
La línea azul se calculó con la pendiente original del canal (1.9%), el coeficiente de rugosidad del PVC,
la viscosidad del agua de
y con relaciones de llenado variantes entre el 10% y el
100% y la línea rosada se calculó con una pendiente de 3.1 % (pendiente máxima que podrá tomar el
montaje) y los demás valores idénticos a la línea azul.
Por lo tanto, observando la Gráfica 14, se puede observar que para relaciones de llenado menores al
30%, el Número de Froude aumenta a medida que aumenta la relación de llenado; para relaciones de
llenado mayores al 30%, el Número de Froude disminuye a medida que aumenta la relación de llenado
y cuando la relación de llenado es aproximadamente del 30%, se observa el valor máximo del Número
de Froude. También se observa que el rango de variación del Número de Froude es mayor en la línea
rosada que en la línea azul, debido a que el aumento de la pendiente aumenta la variación en la
velocidad del flujo.
Para corroborar el valor máximo del Número de Froude, se realizó un análisis más detallado de
diferentes pendientes y diferentes caudales para encontrar la curva que representa la variación del
Número de Froude respecto a las relaciones de llenado.
5.3. Análisis del valor máximo del Número de Froude
Para encontrar la curva que describiría en qué relaciones de llenado se encuentran los valores máximos
del Número de Froude, se realizó un análisis con diferentes pendientes (las cuales variaban entre el
0.5% al 2.5%) para encontrar las relaciones de llenado qué cumplían con un rango de caudales entre
0.01 L/s hasta 77.6 L/s. El proceso del análisis de describirá mediante las gráficas mostradas
posteriormente.
La primera gráfica refleja la forma como varía el caudal n respecto a la relación de llenado (Ver Gráfica
15):
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.650
2.150
2.650
3.150
3.650
y/
d
(
-)
Froude (-)
Variación Froude vs y/d
So = 0.019
So = 0.031
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Gráfica 15. Variación del caudal respecto a la relación de llenado.
La Gráfica 15 permite observar que cuando la pendiente es más baja, la variación de la relación de
llenado mueve un rango de caudales más bajo que las pendientes más altas. Ésta afirmación se
explicaba también con la Gráfica 14, puesto que en la pendiente más alta (3.1%), el Número de Froude
tenía mayor rango de variación, y como el Número de Froude y el caudal son proporcionales a la
velocidad, se concluye que cuando aumenta la pendiente, el rango de variación de la velocidad aumenta.
También se observa que cuando las pendientes aumentan, las curvas se van acercando entre sí, lo que
indica que el comportamiento del flujo empieza a ser similar.
Posteriormente, se compara la variación del Número de Froude para diversos caudales (Ver Gráfica 16):
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Q
(m
³/
s)
y/d (-)
Comparación Pendientes
S = 0.005
S = 0.01
S = 0.015
S = 0.02
S = 0.025
S = 0.03
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Gráfica 16. Variación del Número de Froude para diversos caudales.
En la Gráfica 16 se observa un valor del Número de Froude máximo para diferentes caudales, el cual se
va desplazando hacia la derecha a medida que aumenta la pendiente, lo que permite concluir que a
mayor pendiente, el máximo valor del Número de Froude se encuentra en caudales más altos. Además
los rangos del Número de Froude aumentan con el incremento de la pendiente, lo que sustenta las
afirmaciones expuestas en las anteriores gráficas, donde a mayor pendiente, mayor velocidad, es decir,
mayor Número de Froude.
Luego, se realiza una gráfica similar a la Gráfica 16 pero para los caudales expuestos en éste análisis, lo
cual se observa en la siguiente ilustración:
0.800
1.300
1.800
2.300
2.800
3.300
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
N
ú
m
e
ro
d
e
Fr
o
u
d
e
(
-)
Q (m
3
/s)
Comparación de Pendientes
S = 0.005
S = 0.01
S = 0.015
S = 0.0175
S = 0.02
S = 0.025
S = 0.03
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55
Gráfica 17. Variación del Número de Froude para diferentes relaciones de llenado.
La Gráfica 17 muestra nuevamente que el Número de Froude máximo se encuentra con relaciones de
llenado cercanas al 30%, pero la ilustración no permite obtener una ecuación coherente de la recta; por
lo tanto, se requiere otro tipo de análisis para encontrar una curva que pueda representar el máximo en el
Número de Froude para el montaje.
El análisis requiere aumentar el número de caudales elegidos para el análisis, puesto que con los
caudales analizados, se está parcializando el valor de las relaciones de llenado; por lo tanto, para
encontrar ésta curva se hizo uso de una macro en Excel con el lenguaje VBA (Anexo 1), la cual
converge mediante el método de la bisección (Ver Gráfica 18), en la cual el caudal aumenta cada 0.25
L/s:
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.900
1.400
1.900
2.400
2.900
3.400
y/d
(
-)
Froude (-)
Froude vs y/d (S total)
S = 0.005
S = 0.01
S = 0.015
S = 0.0175
S = 0.02
S = 0.025
S = 0.03
Número de Froude Máximo
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Gráfica 18. Comparación Número de Froude respecto a diferentes relaciones de llenado.
La Gráfica 18 permite demostrar que la curva que describe mejor en qué relación de llenado se
encuentran los Números de Froude máximos se ajusta a una curva potencial, la cual se calcula mediante
la Ecuación 75:
Ecuación 75. Curva que describe el Número de Froude máximo.
Por lo cual, en el montaje que se realizará, los Números de Froude máximos se encontrarán entre las
relaciones de llenado de 0.28 y 0.30, es decir, que el resalto hidráulico más fuerte se presentará cuando
la profundidad aguas arriba del resalto se encuentre entre 0.28 a 0.30 veces el diámetro.
5.4 Análisis Comparativo con otros autores para el cálculo de la profundidad
subsecuente al resalto hidráulico
El análisis comparativo que se mostrará a continuación para el cálculo de la profundidad subsecuente al
resalto hidráulico, se realizará con los datos del montaje realizado; es decir, el material de la tubería es
acrílico, con una rugosidad de
m, una longitud de 13 m, diámetro interno de 0.242 m,
viscosidad dinámica de
y con dos pendientes posibles del canal: 0.019 y 0.031.
A continuación se presentan los cálculos realizados con las ecuaciones mostradas en el Numeral 2.
5.4.1 Silvester
De acuerdo con lo establecido por Silvester, se graficó una curva para determinar el k’:
0.020
0.120
0.220
0.320
0.420
0.520
0.620
0.720
0.820
0.920
0.750
1.250
1.750
2.250
2.750
3.250
3.750
y/
d
(
-)
Froude (-)
Comparación Froude vs y/d
S =0.005
S = 0.01
S = 0.015
S = 0.02
S = 0.025
S = 0.03
MAX
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Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
57
Tabla 9. Valores de k' dependiendo de la relación de llenado (Silvester, 1964).
d/D 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
k'
0.41 0.413 0.416 0.419 0.424 0.432 0.445 0.462 0.473 0.5
Gráfica 19. Curva para determinar k'.
Teniendo el k’, entonces se calcula la profundidad subsecuente del resalto hidráulico teniendo en cuenta
la variación de las ecuaciones cuando la profundidad subsecuente es menor o mayor al diámetro. Para
tal fin, se desarrolló una macro (Anexo 2) que calculara la profundidad subsecuente para dos pendientes:
la primera corresponde a 0.019, la cual corresponde a la pendiente promedio que se presentará en el
montaje, y la segunda corresponde a 0.031 que correspondería a la pendiente máxima.
Así se obtuvieron los siguientes resultados:
Tabla 10. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente del 1.9%.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
Perímetro
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
k
1
'
(-)
y
2
(m)
y
2/
y
1
(-)
0.242 0.1 0.024 1.287 0.002
0.156
0.015
1.045
0.003
56377.905 0.145 0.016
2.599
0.413 0.071 2.942
0.242 0.2 0.048 1.855 0.007
0.224
0.029
1.611
0.011 164939.800 0.194 0.034
2.796
0.412 0.154 3.182
0.242 0.3 0.073 2.319 0.012
0.281
0.041
2.028
0.024 294376.898 0.222 0.052
2.831
0.413 0.238 3.280
0.242 0.4 0.097 2.739 0.017
0.331
0.052
2.350
0.040 427500.511 0.237 0.072
2.787
0.418 0.312 3.224
0.242 0.5 0.121 3.142 0.023
0.380
0.061
2.598
0.060 551433.772 0.242 0.095
2.690
0.424 0.366 3.022
0.242 0.6 0.145 3.544 0.029
0.429
0.067
2.780
0.080 655306.625 0.237 0.122
2.546
0.434 0.381 2.622
0.242 0.7 0.169 3.965 0.034
0.480
0.072
2.898
0.100 728969.002 0.222 0.155
2.350
0.446 0.354 2.089
0.242 0.8 0.194 4.429 0.039
0.536
0.074
2.948
0.116 761416.848 0.194 0.204
2.085
0.460 0.300 1.551
0.242 0.9 0.218 4.996 0.044
0.605
0.072
2.909
0.127 736268.556 0.145 0.300
1.695
0.477 0.250 1.150
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llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
58
Tabla 11. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente del 3.1%.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
Perímetro
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
k
1
'
(-)
y
2
(m)
y
2
/y
1
(-)
0.242 0.1 0.024 1.287 0.002
0.156
0.015
1.389
0.003
74903.831
0.145 0.016
3.453
0.413 0.092 3.792
0.242 0.2 0.048 1.855 0.007
0.224
0.029
2.133
0.014
218395.095 0.194 0.034
3.702
0.412 0.200 4.131
0.242 0.3 0.073 2.319 0.012
0.281
0.041
2.681
0.031
389159.110 0.222 0.052
3.742
0.413 0.320 4.413
0.242 0.4 0.097 2.739 0.017
0.331
0.052
3.104
0.053
564604.302 0.237 0.072
3.681
0.418 0.443 4.578
0.242 0.5 0.121 3.142 0.023
0.380
0.061
3.429
0.079
727829.080 0.242 0.095
3.551
0.424 0.528 4.365
0.242 0.6 0.145 3.544 0.029
0.429
0.067
3.667
0.106
864573.169 0.237 0.122
3.359
0.434 0.544 3.745
0.242 0.7 0.169 3.965 0.034
0.480
0.072
3.823
0.131
961518.952 0.222 0.155
3.099
0.446 0.484 2.860
0.242 0.8 0.194 4.429 0.039
0.536
0.074
3.888
0.153 1004216.549 0.194 0.204
2.750
0.460 0.376 1.943
0.242 0.9 0.218 4.996 0.044
0.605
0.072
3.837
0.167
971124.647 0.145 0.300
2.236
0.477 0.273 1.255
En las Tabla 10 y Tabla
11 se observa que mientras el flujo sea más supercrítico, la relación entre las
profundidades aguas arriba y aguas abajo del resalto será más alta, por lo tanto, para los valores
obtenidos en la pendiente más alta, la relación entre las alturas del resalto son mayores, lo cual se
confirma con la siguiente gráfica:
Gráfica 20. Comportamiento de las profundidades subsecuentes.
En la Gráfica 20 también se observa para un mismo Número de Froude, la relación entre las
profundidades del resalto se ven afectadas por la pendiente de la tubería, en donde a mayor pendiente, se
tienen valores menores en la relación entre las profundidades.
Por otra parte, se realizó otro análisis en el cual se establecieron dos caudales fijos y se variaba la
pendiente para cada uno de ellos. El primer caudal es de 0.01 m
3
/s, y el segundo de 0.1 m
3
/s. Los
resultados se observan en las siguientes tablas:
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llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
59
Tabla 12. Cálculo de la profundidad subsecuente para un caudal de 0.01 m
3
/s.
s
(-)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
Perímetro
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Caudal
(m
3
/s)
Re
(-)
T
(m)
D
(m)
F
(-)
k
1
'
(-)
y
2
(m)
y
2
/y
1
(-)
0.050 0.149 0.036 1.583 0.004
0.192
0.022
2.334
0.01
495567.5 0.172 0.025 4.733 0.412 0.183 5.097
0.051 0.148 0.036 1.579 0.004
0.191
0.022
2.354
0.01
499633.3 0.172 0.025 4.783 0.412 0.184 5.144
0.052 0.147 0.036 1.576 0.004
0.191
0.022
2.372
0.01
503618.2 0.172 0.025 4.832 0.412 0.185 5.192
0.053 0.147 0.035 1.571 0.004
0.190
0.022
2.389
0.01
507048.2 0.171 0.024 4.881 0.412 0.186 5.238
0.054 0.146 0.035 1.567 0.004
0.190
0.022
2.407
0.01
510870.2 0.171 0.024 4.929 0.412 0.186 5.284
0.055 0.145 0.035 1.563 0.004
0.189
0.022
2.424
0.01
514615.9 0.170 0.024 4.977 0.412 0.187 5.330
0.056 0.144 0.035 1.559 0.004
0.189
0.022
2.442
0.01
518286.8 0.170 0.024 5.025 0.412 0.188 5.375
0.057 0.144 0.035 1.555 0.004
0.188
0.022
2.458
0.01
521884.1 0.170 0.024 5.072 0.412 0.188 5.420
0.058 0.143 0.035 1.551 0.004
0.188
0.022
2.475
0.01
525409.2 0.169 0.024 5.119 0.412 0.189 5.463
0.059 0.142 0.034 1.548 0.004
0.187
0.021
2.491
0.01
528863.3 0.169 0.024 5.165 0.412 0.190 5.507
0.060 0.142 0.034 1.544 0.004
0.187
0.021
2.507
0.01
532247.5 0.169 0.024 5.211 0.412 0.190 5.550
0.061 0.141 0.034 1.540 0.004
0.186
0.021
2.523
0.01
535563.0 0.168 0.023 5.256 0.412 0.191 5.593
0.062 0.140 0.034 1.536 0.004
0.186
0.021
2.538
0.01
538810.8 0.168 0.023 5.301 0.412 0.191 5.636
0.063 0.140 0.034 1.533 0.004
0.186
0.021
2.556
0.01
542526.7 0.168 0.023 5.347 0.412 0.192 5.679
0.064 0.139 0.034 1.530 0.004
0.185
0.021
2.570
0.01
545648.1 0.168 0.023 5.391 0.412 0.193 5.720
0.065 0.139 0.034 1.527 0.004
0.185
0.021
2.587
0.01
549250.8 0.167 0.023 5.436 0.412 0.194 5.762
0.066 0.138 0.033 1.523 0.004
0.184
0.021
2.602
0.01
552249.6 0.167 0.023 5.479 0.412 0.194 5.803
0.067 0.138 0.033 1.520 0.004
0.184
0.021
2.618
0.01
555742.8 0.167 0.023 5.523 0.412 0.195 5.844
0.068 0.137 0.033 1.517 0.004
0.184
0.021
2.632
0.01
558622.5 0.166 0.023 5.566 0.412 0.195 5.884
0.069 0.137 0.033 1.514 0.004
0.183
0.021
2.647
0.01
562009.4 0.166 0.023 5.609 0.412 0.196 5.924
0.070 0.136 0.033 1.510 0.004
0.183
0.021
2.661
0.01
564773.1 0.166 0.023 5.651 0.412 0.196 5.963
0.071 0.136 0.033 1.507 0.004
0.182
0.020
2.676
0.01
568056.9 0.166 0.023 5.694 0.412 0.197 6.003
0.072 0.135 0.033 1.505 0.004
0.182
0.020
2.691
0.01
571292.8 0.165 0.022 5.736 0.412 0.197 6.043
0.073 0.135 0.033 1.502 0.004
0.182
0.020
2.706
0.01
574481.7 0.165 0.022 5.778 0.412 0.198 6.083
0.074 0.134 0.032 1.498 0.004
0.181
0.020
2.718
0.01
577028.3 0.165 0.022 5.818 0.412 0.198 6.119
0.075 0.134 0.032 1.496 0.004
0.181
0.020
2.733
0.01
580119.5 0.165 0.022 5.860 0.412 0.199 6.158
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Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
60
Tabla 13. Cálculo de la profundidad subsecuente para un caudal de 0.1 m
3
/s.
s
(-)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
Perímetro
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Caudal
(m
3
/s)
Re
(-)
T
(m)
D
(m)
F
(-)
k
1
'
(-)
y
2
(m)
y
2
/y
1
(-)
0.050 0.492 0.119 3.109 0.023
0.376
0.060
4.439
0.100
942370.7
0.242 0.093 4.645 0.424 0.788 6.617
0.051 0.489 0.118 3.095 0.022
0.374
0.060
4.474
0.100
949699.2
0.242 0.092 4.703 0.424 0.798 6.754
0.052 0.486 0.118 3.084 0.022
0.373
0.059
4.511
0.100
957583.8
0.242 0.092 4.759 0.423 0.809 6.887
0.053 0.483 0.117 3.070 0.022
0.371
0.059
4.544
0.100
964563.4
0.242 0.091 4.816 0.423 0.819 7.025
0.054 0.480 0.116 3.059 0.022
0.370
0.059
4.579
0.100
972132.8
0.242 0.090 4.870 0.423 0.830 7.157
0.055 0.477 0.115 3.048 0.022
0.369
0.059
4.614
0.100
979554.8
0.242 0.089 4.925 0.423 0.841 7.290
0.056 0.474 0.115 3.037 0.021
0.368
0.058
4.649
0.100
986831.7
0.242 0.089 4.979 0.423 0.851 7.422
0.057 0.472 0.114 3.027 0.021
0.366
0.058
4.682
0.100
993965.6
0.242 0.088 5.033 0.422 0.862 7.555
0.058 0.469 0.113 3.016 0.021
0.365
0.058
4.715
0.100
1000958.5 0.242 0.088 5.086 0.422 0.872 7.687
0.059 0.466 0.113 3.005 0.021
0.364
0.058
4.748
0.100
1007812.3 0.241 0.087 5.139 0.422 0.882 7.819
0.060 0.464 0.112 2.998 0.021
0.363
0.058
4.783
0.100
1015377.9 0.241 0.087 5.190 0.422 0.893 7.947
0.061 0.461 0.112 2.987 0.021
0.361
0.057
4.814
0.100
1021972.8 0.241 0.086 5.243 0.422 0.902 8.079
0.062 0.459 0.111 2.976 0.021
0.360
0.057
4.845
0.100
1028433.7 0.241 0.085 5.295 0.421 0.911 8.210
0.063 0.457 0.111 2.969 0.020
0.359
0.057
4.879
0.100
1035651.8 0.241 0.085 5.345 0.421 0.922 8.338
0.064 0.455 0.110 2.958 0.020
0.358
0.057
4.908
0.100
1041863.8 0.241 0.084 5.396 0.421 0.931 8.467
0.065 0.452 0.109 2.951 0.020
0.357
0.057
4.941
0.100
1048862.2 0.241 0.084 5.445 0.421 0.941 8.595
0.066 0.450 0.109 2.940 0.020
0.356
0.056
4.969
0.100
1054831.2 0.241 0.083 5.496 0.421 0.950 8.725
0.067 0.448 0.109 2.935 0.020
0.355
0.056
5.003
0.100
1062086.0 0.241 0.083 5.544 0.421 0.960 8.850
0.068 0.446 0.108 2.926 0.020
0.354
0.056
5.032
0.100
1068301.6 0.241 0.083 5.594 0.421 0.969 8.978
0.069 0.444 0.108 2.919 0.020
0.353
0.056
5.064
0.100
1074890.1 0.240 0.082 5.642 0.420 0.979 9.105
0.070 0.442 0.107 2.910 0.020
0.352
0.056
5.092
0.100
1080893.3 0.240 0.082 5.691 0.420 0.988 9.231
0.071 0.440 0.107 2.902 0.020
0.351
0.056
5.122
0.100
1087284.6 0.240 0.081 5.738 0.420 0.997 9.357
0.072 0.439 0.106 2.895 0.019
0.350
0.055
5.152
0.100
1093582.3 0.240 0.081 5.786 0.420 1.006 9.482
0.073 0.437 0.106 2.886 0.019
0.349
0.055
5.178
0.100
1099279.1 0.240 0.080 5.834 0.420 1.014 9.608
0.074 0.435 0.105 2.879 0.019
0.348
0.055
5.207
0.100
1105386.5 0.240 0.080 5.881 0.420 1.023 9.733
0.075 0.433 0.105 2.872 0.019
0.347
0.055
5.236
0.100
1111403.4 0.240 0.080 5.928 0.420 1.032 9.857
El análisis de los datos obtenidos en la Tabla
12
y en la Tabla
13
se presenta en la Gráfica 21:
Gráfica 21. Comportamiento de las profundidades subsecuentes con caudal constante.
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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA
Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
61
En la Gráfica 21 se observa que a mayor caudal, aumenta la relación entre las profundidades
subsecuentes del resalto, y ésta variación aumenta a medida que aumenta el Número de Froude.
También se observa que para el caudal más alto, la pendiente que representa la variación de la relación
de llenado es más alta que la pendiente obtenida con el caudal más bajo.
5.4.2 Straub
Siguiendo la metodología planteada por Straub, se calculan las ecuaciones para calcular la profundidad
crítica, el Número de Froude, y según el valor de este número se establece la ecuación para calcular la
profundidad subsecuente.
A continuación se presenta la iteración para la primera fila calculada:
d
(m)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m
3
/s)
Reynolds
(-)
T (m)
D
(m)
Froude
(-)
0.242
0.1
0.024
1.287
0.002
0.156
0.015
1.045
0.0025
56377.905
0.145
0.016
2.599
Entonces el primer paso es calcular la profundidad crítica mediante la Ecuación 20:
(
) (
)
(
) (
)
Ecuación 76. Cálculo de la profundidad crítica.
Luego se comprueba que la Ecuación 20 es válida mediante la siguiente condición:
Posteriormente, se calcula el Número de Froude aguas arriba del resalto mediante la Ecuación 21:
(
)
(
)
Ecuación 77. Aproximación Número de Froude (French, 2007).
Teniendo el Número de Froude, se procede a calcular la profundidad subsecuente de acuerdo con el
valor de este número. Como el Número de Froude es mayor a 1.7 se tiene que:
Realizando el mismo proceso para todas las relaciones de llenado en la tubería se tiene que:
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Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
62
Tabla 14. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente de 0.019 mediante la metodología planteada por Straub.
d
(m)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
y
c
(m)
y
c
/d
(-)
y
2
(m)
y
2
/y
1
(-)
0.242
0.1
0.024
1.287
0.002
0.156
0.015
1.045
0.003
56377.9
0.145
0.016
2.599
0.040
0.164
0.046
1.885
0.242
0.2
0.048
1.855
0.007
0.224
0.029
1.611
0.011
164939.8
0.194
0.034
2.796
0.085
0.340
0.102
2.107
0.242
0.3
0.073
2.319
0.012
0.281
0.041
2.028
0.024
294376.9
0.222
0.052
2.831
0.124
0.511
0.158
2.170
0.242
0.4
0.097
2.739
0.017
0.331
0.052
2.350
0.040
427500.5
0.237
0.072
2.787
0.162
0.671
0.209
2.157
0.242
0.5
0.121
3.142
0.023
0.380
0.061
2.598
0.060
551433.8
0.242
0.095
2.690
0.198
0.819
0.254
2.095
0.242
0.6
0.145
3.544
0.029
0.429
0.067
2.780
0.080
655306.6
0.237
0.122
2.546
0.230
0.950
No cumple
0.242
0.7
0.169
3.965
0.034
0.480
0.072
2.898
0.100
728969.0
0.222
0.155
2.350
0.257
1.061
No cumple
0.242
0.8
0.194
4.429
0.039
0.536
0.074
2.948
0.113
761416.8
0.194
0.204
2.085
0.277
1.147
No cumple
0.242
0.9
0.218
4.996
0.044
0.605
0.072
2.909
0.127
736268.6
0.145
0.300
1.695
0.290
1.198
No cumple
Tabla 15. Cálculo de la profundidad subsecuente para una pendiente de 0.031 mediante la metodología planteada por Straub.
d
(m)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
y
c
(m)
y
c
/d
(-)
y
2
(m)
y
2
/y
1
(-)
0.242
0.1
0.024
1.287
0.002
0.156
0.015
1.389
0.003
74903.831
0.145
0.016
3.453
0.046
0.190
0.046
1.885
0.242
0.2
0.048
1.855
0.007
0.224
0.029
2.133
0.014
218395.095
0.194
0.034
3.702
0.095
0.392
0.102
2.107
0.242
0.3
0.073
2.319
0.012
0.281
0.041
2.681
0.031
389159.110
0.222
0.052
3.742
0.142
0.588
0.158
2.170
0.242
0.4
0.097
2.739
0.017
0.331
0.052
3.104
0.053
564604.302
0.237
0.072
3.681
0.187
0.773
0.209
2.157
0.242
0.5
0.121
3.142
0.023
0.380
0.061
3.429
0.079
727829.080
0.242
0.095
3.551
0.228
0.942
0.254
2.095
0.242
0.6
0.145
3.544
0.029
0.429
0.067
3.667
0.106
864573.169
0.237
0.122
3.359
0.264
1.092
No cumple
0.242
0.7
0.169
3.965
0.034
0.480
0.072
3.823
0.131
961518.952
0.222
0.155
3.099
0.295
1.220
No cumple
0.242
0.8
0.194
4.429
0.039
0.536
0.074
3.888
0.153
1004216.549
0.194
0.204
2.750
0.319
1.319
No cumple
0.242
0.9
0.218
4.996
0.044
0.605
0.072
3.837
0.167
971124.647
0.145
0.300
2.236
0.334
1.378
No cumple
El análisis de los resultados obtenidos en las Tabla 14 y Tabla 15 se presenta en la Gráfica 22:
Gráfica 22. Comparación de los valores obtenidos en las dos pendientes.
La Gráfica 22 muestra que la pendiente más alta presenta valores más altos del Número de Froude, y
para valores más altos de este número, la relación entre las profundidades del resalto es mayor. También
se observa que para cada pendiente, en los valores más altos del Número de Froude, existe un dato
atípico en el valor de la relación de las profundidades subsecuentes.
5.4.3 French
De acuerdo con lo establecido por French, se calcula la posición del centroide del flujo y se calcula el
Momentum respectivo aguas arriba, para posteriormente despejar por métodos iterativos, la profundidad
subsecuente del resalto hidráulico aguas abajo.
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Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
63
A continuación se presentarán los cálculos realizados para una pendiente de 0.019, y una relación de
llenado de 0.1, y con las siguientes características hidráulicas:
d
(m)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
v
(m/s)
Q
(m
3
/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Número
de Froude
(-)
0.242
0.1
0.024
1.287
0.002
0.156
0.015
1.045
0.0025
56377.905
0.145
0.016
2.599
1. Calcular el radio de la tubería (r).
2. Calcular la distancia del centro de la tubería a la superficie de agua (z)
3. Calcular la distancia desde el centro de la tubería al centroide de masa del agua (
̂).
̂
(
)
(
( )
)
4. Calcular la distancia desde la superficie de agua hasta el centroide de la masa de agua (
̅).
̅ ( ̂) ( ( ))
5. Calcular el Momento para el flujo aguas arriba del resalto:
(
)
6. Calcular la altura del flujo aguas abajo mediante un método iterativo, el cual se logra mediante
el método de la bisección (Ver Anexo 3), en este caso, la altura de flujo subsecuente que
satisface la condición en la cual el Momentum aguas arriba sea igual al Momentum aguas abajo
es y
2
= 0.06 m.
Finalmente, los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 16 y la Tabla 17:
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llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
64
Tabla 16. Resultados obtenidos mediante la metodología de French para una S = 0.019.
d
(m)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Á
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
v
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
z
1
(m)
̂
(m)
̅
(m)
M
1
(m
3
)
y
2
(m)
̅
(m)
Á
2
(m
2
)
Prueba
M
(m
3
)
0.242
0.1
0.024
1.287 0.002 0.156 0.015
1.045
0.003
56362.599
0.145
0.016
2.598
-
0.097
-
0.107
0.010 0.0003 0.054 0.022 0.008 0.0003
0.242
0.2
0.048
1.855 0.007 0.224 0.029
1.610
0.011
164895.568
0.194
0.034
2.795
-
0.073
-
0.092
0.020 0.0019 0.117 0.050 0.022 0.0016
0.242
0.3
0.073
2.319 0.012 0.281 0.041
2.028
0.024
294298.411
0.222
0.052
2.830
-
0.048
-
0.078
0.030 0.0052 0.181 0.081 0.037 0.0045
0.242
0.4
0.097
2.739 0.017 0.331 0.052
2.350
0.040
427386.929
0.237
0.072
2.787
-
0.024
-
0.065
0.040 0.0104 0.241 0.120 0.046 0.0091
0.242
0.5
0.121
3.142 0.023 0.380 0.061
2.597
0.060
551287.595
0.242
0.095
2.690
0.000
-
0.051
0.051 0.0170 0.187 0.084 0.038 0.0128
0.242
0.6
0.145
3.544 0.029 0.429 0.067
2.779
0.080
655133.174
0.237
0.122
2.545
0.024
-
0.039
0.063 0.0245 0.199 0.091 0.040 0.0198
0.242
0.7
0.169
3.965 0.034 0.480 0.072
2.897
0.100
728776.229
0.222
0.155
2.349
0.048
-
0.026
0.075 0.0320 0.211 0.098 0.043 0.0280
0.242
0.8
0.194
4.429 0.039 0.536 0.074
2.947
0.116
761215.568
0.194
0.204
2.084
0.073
-
0.015
0.088 0.0384 0.223 0.106 0.044 0.0358
0.242
0.9
0.218
4.996 0.044 0.605 0.072
2.909
0.127
736073.869
0.145
0.300
1.695
0.097
-
0.006
0.103 0.0421 0.235 0.115 0.046 0.0412
En la Tabla 16 se observa que los valores resaltados indican los puntos donde la altura subsecuente del
resalto cumple con el Momentum aguas arriba, mientras que las filas que no se encuentran resaltadas,
encuentran alturas del flujo subsecuentes que no satisfacen el Momentum, es decir, que con las alturas
aguas arriba (y
1
) no se alcanza a formar un resalto hidráulico.
También se observan los resultados obtenidos para una pendiente S = 0.031.
Tabla 17. Resultados obtenidos mediante la metodología de French para una S = 0.031.
d
(m)
y/d
(-)
y
n
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
v
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
z
1
(m)
̂
(m)
̅
(m)
M
1
(m
3
)
y
2
(m)
̅
(m)
Área
2
(m
2
)
Prueba
M
(m
3
)
0.242 0.1 0.024 1.287 0.002 0.156 0.015 1.389 0.003
74903.83
0.145 0.016
3.453
-
0.097
-
0.107
0.010 0.0005 0.077 0.032 0.013 0.0005
0.242 0.2 0.048 1.855 0.007 0.224 0.029 2.133 0.014
218395.10
0.194 0.034
3.702
-
0.073
-
0.092
0.020 0.0032 0.170 0.075 0.034 0.0032
0.242 0.3 0.073 2.319 0.012 0.281 0.041 2.681 0.031
389159.11
0.222 0.052
3.742
-
0.048
-
0.078
0.030 0.0089 0.162 0.071 0.033 0.0053
0.242 0.4 0.097 2.739 0.017 0.331 0.052 3.104 0.053
564604.30
0.237 0.072
3.681
-
0.024
-
0.065
0.040 0.0176 0.174 0.077 0.035 0.0109
0.242 0.5 0.121 3.142 0.023 0.380 0.061 3.429 0.079
727829.08
0.242 0.095
3.551
0.000
-
0.051
0.051 0.0287 0.187 0.084 0.038 0.0199
0.242 0.6 0.145 3.544 0.029 0.429 0.067 3.667 0.106
864573.17
0.237 0.122
3.359
0.024
-
0.039
0.063 0.0413 0.199 0.091
0.04
0.0318
0.242 0.7 0.169 3.965 0.034 0.480 0.072 3.823 0.131
961518.95
0.222 0.155
3.099
0.048
-
0.026
0.075 0.0538 0.211 0.098 0.043 0.0456
0.242 0.8 0.194 4.429 0.039 0.536 0.074 3.888 0.153 1004216.55 0.194 0.204
2.750
0.073
-
0.015
0.088 0.0642 0.223 0.106 0.044 0.0588
0.242 0.9 0.218 4.996 0.044 0.605 0.072 3.837 0.167
971124.65
0.145 0.300
2.236
0.097
-
0.006
0.103 0.0699 0.235 0.115 0.046 0.0678
En la Tabla 17 se observa que tan solo dos alturas aguas arriba satisfacen la condición de generar un
resalto hidráulico para una pendiente del 3.1%. Las otras alturas no satisfacen la condición en la cual el
Momentum aguas arriba del resalto sea igual al Momentum aguas abajo.
Universidad de los Andes
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA
Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
65
Gráfica 23. Comportamiento de las profundidades subsecuentes.
En la Gráfica 23 se tiene que para pendientes más altas, la relación entre las profundidades subsecuentes
del resalto es más alta y con Números de Froude mayores.
5.4.4 Hager
Hager plantea tres ecuaciones para el cálculo de la profundidad subsecuente al resalto hidráulico. La
primera ecuación planteada, se basa en igualar los Momentos aguas arriba y aguas abajo del resalto, y la
forma de resolverla es por un método iterativo:
(
)
(
)
Ecuación 78. Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico por un método iterativo de acuerdo con la
metodología planteada por Hager.
El método iterativo que se usó, fue el método de la bisección, el cuál se encuentra en el Anexo 4, y los
resultados obtenidos se presentan en las Tabla 18 y
Tabla
19
:
Tabla 18. Resultados obtenidos para una pendiente de 0.019 con la metodología planteada por Hager.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
Perímetro
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
A
y
2
(m)
0.242
0.1
0.0242
1.287
0.00239
0.156
0.015
1.045
0.003
56377.905
0.145
0.016
2.599
14.511
0.064
0.242
0.2
0.0484
1.855
0.00655
0.224
0.029
1.611
0.011
164939.800
0.194
0.034
2.796
16.638
0.136
0.242
0.3
0.0726
2.319
0.01161
0.281
0.041
2.028
0.024
294376.898
0.222
0.052
2.831
17.026
0.207
0.242
0.4
0.0968
2.739
0.01718
0.331
0.052
2.350
0.040
427500.511
0.237
0.072
2.787
16.540 Presurizado
0.242
0.5
0.1210
3.142
0.02300
0.380
0.061
2.598
0.060
551433.772
0.242
0.095
2.690
15.476 Presurizado
0.242
0.6
0.1452
3.544
0.02882
0.429
0.067
2.780
0.080
655306.625
0.237
0.122
2.546
13.962 Presurizado
0.242
0.7
0.1694
3.965
0.03439
0.480
0.072
2.898
0.100
728969.002
0.222
0.155
2.350
12.043 Presurizado
0.242
0.8
0.1936
4.429
0.03945
0.536
0.074
2.948
0.116
761416.848
0.194
0.204
2.085
9.695
Presurizado
0.242
0.9
0.2178
4.996
0.04360
0.605
0.072
2.909
0.127
736268.556
0.145
0.300
1.695
6.747
Presurizado
Universidad de los Andes
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA
Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
66
Tabla 19. Resultados obtenidos para una pendiente de 0.031 con la metodología planteada por Hager.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
Perímetro
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
A
y
2
(m)
0.242
0.1
0.02420
1.287
0.00239
0.156
0.015
1.389
0.003
74903.831
0.145
0.016
3.453
24.850
0.082
0.242
0.2
0.04840
1.855
0.00655
0.224
0.029
2.133
0.014
218395.095
0.194
0.034
3.702
28.417
0.174
0.242
0.3
0.07260
2.319
0.01161
0.281
0.041
2.681
0.031
389159.110
0.222
0.052
3.742
29.007 Presurizado
0.242
0.4
0.09680
2.739
0.01718
0.331
0.052
3.104
0.053
564604.302
0.237
0.072
3.681
28.106 Presurizado
0.242
0.5
0.12100
3.142
0.02300
0.380
0.061
3.429
0.079
727829.080
0.242
0.095
3.551
26.219 Presurizado
0.242
0.6
0.14520
3.544
0.02882
0.429
0.067
3.667
0.106
864573.169
0.237
0.122
3.359
23.562 Presurizado
0.242
0.7
0.16940
3.965
0.03439
0.480
0.072
3.823
0.131
961518.952
0.222
0.155
3.099
20.212 Presurizado
0.242
0.8
0.19360
4.429
0.03945
0.536
0.074
3.888
0.153
1004216.549
0.194
0.204
2.750
16.124 Presurizado
0.242
0.9
0.21780
4.996
0.04360
0.605
0.072
3.837
0.167
971124.647
0.145
0.300
2.236
10.997 Presurizado
De acuerdo con los resultados obtenidos, se observa que con la pendiente más alta, los valores de la
profundidad subsecuente al resalto son mayores. Por lo mismo, en la pendiente de 3.1%, la tubería se
presuriza más rápido. Adicionalmente, para ver el comportamiento de la variación del Número de
Froude con respecto a la relación de llenado, se realiza la Gráfica 24.
Gráfica 24. Comparación de la variación de las pendientes con el método iterativo de Hager
La Gráfica 24 muestra que para Números de Froude mayores, se presenta mayor relación entre las
profundidades de flujo, al igual que en todas las comparaciones anteriores.
La segunda ecuación planteada por Hager, resulta en una aproximación que corresponde a un error de
2 %, y solo aplica para valores del Número de Froude mayores a 2:
6
Ecuación 79. Aproximación teórica para cálculos de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico.
6
se refiere a la altura subsecuente aguas abajo del resalto, y se le adiciona el subíndice “a” para diferenciar el
de las otras ecuaciones planteadas por Hager.
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,003
0,003
0,004
0,004
y
2
/y
1
[
-]
F
1
[-]
Comparación pendientes (Hager - iterativo)
S = 0.019
S = 0.031
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Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
67
Y luego de realizar los experimentos, Hager observó que podía corregir la Ecuación 79 a una mejor
aproximación:
7
Ecuación 80. Aproximación empírica para el cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico.
Los valores obtenidos aplicando la Ecuación 79 y Ecuación
80
se encuentran en las siguientes tablas:
Tabla 20. Resultados de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico para la aproximación teórica con una pendiente de
0.019.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
v
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
y
2
(m)
y
2
a
(m)
y
2
b
(m)
0.242 0.1
0.0242
1.287
0.00239
0.156
0.015
1.045
0.003
56377.905
0.145
0.016
2.599
0.064
0.063
0.057
0.242 0.2
0.0484
1.855
0.00655
0.224
0.029
1.611
0.011
164939.800
0.194
0.034
2.796
0.136
0.135
0.122
0.242 0.3
0.0726
2.319
0.01161
0.281
0.041
2.028
0.024
294376.898
0.222
0.052
2.831
0.207
0.204
0.185
0.242 0.4
0.0968
2.739
0.01718
0.331
0.052
2.350
0.040
427500.511
0.237
0.072
2.787
Presurizado
0.268
0.244
0.242 0.5
0.1210
3.142
0.02300
0.380
0.061
2.598
0.060
551433.772
0.242
0.095
2.690
Presurizado
0.326
0.295
0.242 0.6
0.1452
3.544
0.02882
0.429
0.067
2.780
0.080
655306.625
0.237
0.122
2.546
Presurizado
0.373
0.337
0.242 0.7
0.1694
3.965
0.03439
0.480
0.072
2.898
0.100
728969.002
0.222
0.155
2.350
Presurizado
0.406
0.365
0.242 0.8
0.1936
4.429
0.03945
0.536
0.074
2.948
0.116
761416.848
0.194
0.204
2.085
Presurizado
0.419
0.375
0.242 0.9
0.2178
4.996
0.04360
0.605
0.072
2.909
0.127
736268.556
0.145
0.300
1.695
Presurizado
0.396
0.350
Tabla 21. Resultados de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico para la aproximación teórica con una pendiente de
0.031.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
P
(m)
Radio
(m)
v
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
y
2
(m)
y
2
a
(m)
y
2
b
(m)
0.242
0.1
0.024
1.287
0.002
0.156
0.015
1.389
0.003
74903.831
0.145
0.016
3.453
0.082
0.080
0.074
0.242
0.2
0.048
1.855
0.007
0.224
0.029
2.133
0.014
218395.095
0.194
0.034
3.702
0.174
0.171
0.157
0.242
0.3
0.073
2.319
0.012
0.281
0.041
2.681
0.031
389159.110
0.222
0.052
3.742
Presurizado
0.259
0.238
0.242
0.4
0.097
2.739
0.017
0.331
0.052
3.104
0.053
564604.302
0.237
0.072
3.681
Presurizado
0.340
0.313
0.242
0.5
0.121
3.142
0.023
0.380
0.061
3.429
0.079
727829.080
0.242
0.095
3.551
Presurizado
0.412
0.379
0.242
0.6
0.145
3.544
0.029
0.429
0.067
3.667
0.106
864573.169
0.237
0.122
3.359
Presurizado
0.472
0.432
0.242
0.7
0.169
3.965
0.034
0.480
0.072
3.823
0.131
961518.952
0.222
0.155
3.099
Presurizado
0.514
0.469
0.242
0.8
0.194
4.429
0.039
0.536
0.074
3.888
0.153
1004216.549
0.194
0.204
2.750
Presurizado
0.531
0.481
0.242
0.9
0.218
4.996
0.044
0.605
0.072
3.837
0.167
971124.647
0.145
0.300
2.236
Presurizado
0.501
0.449
7
se refiere a la altura subsecuente aguas abajo del resalto, y se le adiciona el subíndice “b” para diferenciar el
de las otras ecuaciones planteadas por Hager.
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Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
68
Gráfica 25.Comparación de las pendientes para los tres métodos propuestos por Hager.
En la Gráfica 25 se observan los resultados para los tres métodos propuestos por Hager. Se puede
observar que los dos métodos teóricos tienen la misma tendencia, y solo difieren por un error de 1.43 %,
mientras que al comparar el método teórico iterativo con el método empírico, el error sube a 10.15 %, y
al comparar el método aproximado y el método empírico el error es de 8.85 %. Con estos resultados se
podría inferir que se deben revisar los datos obtenidos en el método empírico, para acercar más los
resultados a los métodos teóricos.
5.4.5 FHWA
El Departamento de Transporte de Estados Unidos establece una metodología muy parecida a la
planteada por Silvester, es decir, plantean una ecuación basada en el coeficiente k´, y también usan dos
ecuaciones diferentes para calcular la profundidad subsecuente del resalto hidráulico. Sin embargo, a
diferencia de Silvester, no usan el área como una variable a calcular en las ecuaciones, sino que se basan
en un nuevo coeficiente “C”, el cual es un número fijo para relaciones de llenado definidas:
Gráfica 26. Coeficiente para determinar la profundidad subsecuente en el resalto hidráulico en tuberías.
Universidad de los Andes
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA
Estudio del comportamiento de resaltos hidráulicos en tuberías parcialmente
llenas de sección circular, con Números de Froude supercríticos menores a 4
69
Entonces, las ecuaciones establecidas son:
Para profundidades subsecuentes del resalto hidráulico menores al diámetro:
Ecuación 81. Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico menor al diámetro.
Para profundidades subsecuentes del resalto hidráulico mayores al diámetro:
(
)
Ecuación 82. Cálculo de la profundidad subsecuente del resalto hidráulico mayor al diámetro.
Por lo cual, mediante el método de la bisección (Anexo 5), se obtienen los siguientes resultados:
Tabla 22. Resultados para el cálculo de la profundidad subsecuente del resalto mediante la metodología planteada por la
FHWA, para una pendiente de 0.019.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2
)
Perímetro
(m)
Radio
(m)
Velocidad
(m/s)
Q
(m³/s)
Reynolds
(-)
T
(m)
D
(m)
Froude
(-)
y2
(m)
y
2
/y
1
(-)
0.242
0.1
0.024
1.287
0.002
0.156
0.015
1.045
0.003
56377.905
0.145
0.016
2.599
0.074
3.065
0.242
0.2
0.048
1.855
0.007
0.224
0.029
1.611
0.011
164939.800
0.194
0.034
2.796
0.152
3.136
0.242
0.3
0.073
2.319
0.012
0.281
0.041
2.028
0.024
294376.898
0.222
0.052
2.831
0.240
3.300
0.242
0.4
0.097
2.739
0.017
0.331
0.052
2.350
0.040
427500.511
0.237
0.072
2.787
0.328
3.388
0.242
0.5
0.121
3.142
0.023
0.380
0.061
2.598
0.060
551433.772
0.242
0.095
2.690
0.324
2.681
0.242
0.6
0.145
3.544
0.029
0.429
0.067
2.780
0.080
655306.625
0.237
0.122
2.546
0.311
2.142
0.242
0.7
0.169
3.965
0.034
0.480
0.072
2.898
0.100
728969.002
0.222
0.155
2.350
0.293
1.732
0.242
0.8
0.194
4.429
0.039
0.536
0.074
2.948
0.116
761416.848
0.194
0.204
2.085
0.271
1.401
0.242
0.9
0.218
4.996
0.044
0.605
0.072
2.909
0.127
736268.556
0.145
0.300
1.695
0.243
1.116
Con el método planteado por la FHWA se observa que al igual que en la metodología de Silvester, para
una pendiente de 1.9%, la tubería se presuriza con relaciones de llenado mayores al 30%.
Tabla 23. Resultados para el cálculo de la profundidad subsecuente del resalto mediante la metodología planteada por la
FHWA, para una pendiente de 0.031.
d
(m)
y/d
(-)
y
1
(m)
teta
(-)
Área
(m
2