Análisis de la geometría fractal de la superficie óptima de presiones en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable

 

 

TESIS DE PREGRADO 

 

ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA FRACTAL DE LA SUPERFICIE ÓPTIMA 

DE PRESIONES EN EL DISEÑO OPTIMIZADO DE REDES DE 

DISTRIBUCIÓN DE AGUA POTABLE  

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

 

 

Asesor: Juan G. Saldarriaga Valderrama 

 

 

 

 

 

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES 

FACULTAD DE INGENIERÍA 

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL 

PREGRADO EN INGENIERÍA AMBIENTAL 

BOGOTÁ D.C. 

2020

 

 

 

AGRADECIMIENTOS 

Agradezco a Dios por guiarme y brindarme fortaleza a lo largo de toda la carrera. A mis padres, por 
motivarme,  apoyarme  y  ser  una  fuente  incondicional  de  confianza  y  amor.  Al  Centro  de 
Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados (CIACUA) y a mi asesor, Juan G. Saldarriaga, por 
brindarme  las  herramientas,  conocimientos  y  consejos  con  los  cuáles  fue  posible  construir  el 
presente trabajo. Finalmente, a la Universidad de los Andes y a los demás profesores encargados 
de mi  formación, cuyos esfuerzos garantizaron mi aprendizaje en el área de la  ingeniería civil  y 
ambiental.  

 

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

2 

 

TABLA DE CONTENIDO 

1 

Introducción ............................................................................................................................... 36 

2 

Objetivos .................................................................................................................................... 37 

2.1.1 

Objetivo General ........................................................................................................ 37 

2.1.2 

Objetivos Específicos.................................................................................................. 37 

3 

Marco teórico ............................................................................................................................. 38 

3.1 

Conceptos de mecánica de fluidos .................................................................................... 38 

3.1.1 

Propiedades del agua ................................................................................................. 38 

3.1.2 

Principio de conservación de la masa ........................................................................ 39 

3.1.3 

Principio de conservación de la energía .................................................................... 40 

3.2 

Conceptos de hidráulica de tuberías ................................................................................. 41 

3.2.1 

Regímenes de flujo ..................................................................................................... 41 

3.2.2 

Pérdidas de energía en una tubería ........................................................................... 42 

3.2.3 

Método del gradiente en redes cerradas .................................................................. 45 

3.3 

Diseño optimizado de redes de distribución de agua potable .......................................... 51 

3.3.1 

Definiciones y restricciones ....................................................................................... 51 

3.3.2 

Criterio de Wu y metodología LOGH para tuberías en serie ..................................... 52 

3.3.3 

Métodos de optimización para redes cerradas ......................................................... 55 

3.3.4 

Redondeo de diámetros............................................................................................. 63 

3.4 

Herramientas computacionales ......................................................................................... 66 

3.4.1 

Programa REDES ........................................................................................................ 66 

3.4.2 

Programa MATLAB ..................................................................................................... 68 

3.4.3 

Programa ArcGIS ........................................................................................................ 70 

3.5 

Geometría fractal ............................................................................................................... 72 

3.5.1 

Autosimilitud .............................................................................................................. 72 

3.5.2 

Dimensión fractal – Hausdorff-Besicovitch................................................................ 72 

3.5.3 

Dimensión fractal – Box Counting.............................................................................. 73 

3.6 

Análisis fractal .................................................................................................................... 74 

 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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3 

 

3.6.1 

Algoritmo Box-Covering ............................................................................................. 74 

3.6.2 

Análisis de Rango Reescalado (R/S) ........................................................................... 76 

3.6.3 

Análisis de la lagunaridad........................................................................................... 78 

4 

Metodología ............................................................................................................................... 81 

4.1 

Definición de las redes ....................................................................................................... 81 

4.2 

Cálculo de diseños óptimos ............................................................................................... 83 

4.3 

Cálculo de diseños no óptimos .......................................................................................... 85 

4.4 

Análisis fractal de las redes ................................................................................................ 86 

4.5 

Trazado de la red................................................................................................................ 87 

4.6 

Generación de las Superficies de Gradiente Hidráulico .................................................... 89 

4.7 

Análisis fractal unidimensional de la superficie ................................................................. 92 

4.8 

Análisis fractal bidimensional de la superficie ................................................................... 94 

5 

Resultados .................................................................................................................................. 97 

5.1 

Diseños óptimos y no óptimos ........................................................................................... 97 

5.1.1 

Costos ......................................................................................................................... 97 

5.1.2 

Distribuciones de diámetros .................................................................................... 105 

5.1.3 

Superficies de Gradiente Hidráulico ........................................................................ 117 

5.2 

Análisis fractal unidimensional de las superficies ............................................................ 163 

5.2.1 

Perfil de dimensiones fractales – Eje X .................................................................... 163 

5.2.2 

Perfil de dimensiones fractales – Eje Y .................................................................... 174 

5.3 

Análisis fractal bidimensional de las superficies .............................................................. 186 

5.3.1 

Modelos Digitales de Elevaciones (DEM)................................................................. 186 

5.3.2 

Dimensiones fractales .............................................................................................. 198 

5.3.3 

Gráficas .................................................................................................................... 204 

5.4 

Correlación de dimensiones fractales – Red vs SOP ........................................................ 225 

6 

Análisis de resultados............................................................................................................... 228 

6.1 

Diseños óptimos y no óptimos ......................................................................................... 228 

6.2 

Superficies de Gradiente Hidráulico ................................................................................ 229 

6.3 

Análisis fractal .................................................................................................................. 230 

 

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4 

 

7 

Conclusiones ............................................................................................................................ 233 

8 

Recomendaciones .................................................................................................................... 234 

9 

Referencias ............................................................................................................................... 235 

10 

Anexos .................................................................................................................................. 246 

10.1  Topología de las redes ..................................................................................................... 246 

10.2  Curvas de costos .............................................................................................................. 251 

10.3  Trazado de red – Algoritmo MATLAB............................................................................... 260 

10.4  Generación de SGH – Algoritmo MATLAB ....................................................................... 263 

10.5  Análisis fractal unidimensional – Algoritmo MATLAB...................................................... 266 

10.6  Análisis fractal bidimensional – Algoritmo MATLAB ........................................................ 268 

10.7  Costos - Diseños ............................................................................................................... 269 

10.8  Conteo de diámetros – Algoritmo MATLAB ..................................................................... 270 

10.9  Diámetros - Diseños ......................................................................................................... 271 

 

 

 

 

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5 

 

ÍNDICE DE FIGURAS 

Figura 1. Flujos similares. ................................................................................................................................... 41

 

Figura 2. Diagrama de flujo 1 - Método del gradiente. ..................................................................................... 50

 

Figura 3. Diagrama de Flujo 2 - Metodología SOGH Parte 1. ............................................................................ 60

 

Figura 4. Diagrama de Flujo 2 - Metodología SOGH Parte 2. ............................................................................ 61

 

Figura 5. Diagrama de Flujo 3 - Redondeo de diámetros Parte A. Adaptado de Saldarriaga (2016). ............... 64

 

Figura 6. Diagrama de flujo 3 - Redondeo de diámetros Parte B. Adaptado de Saldarriaga (2016). ................ 65

 

Figura 7. Interfaz REDES 2019 para la red de ejemplo. ..................................................................................... 66

 

Figura 8. Interfaz REDES 2019 visualización 3D de la SOP. ................................................................................ 67

 

Figura 9. Botones para la construcción de la red. ............................................................................................. 67

 

Figura 10. Ventana de edición de red. ............................................................................................................... 67

 

Figura 11. Pestaña Diseñar. ............................................................................................................................... 68

 

Figura 12. Ventana de resultados del diseño optimizado. ................................................................................ 68

 

Figura 13. Interfaz MATLAB R2018a. ................................................................................................................. 69

 

Figura 14. Interfaz ArcMap. ............................................................................................................................... 71

 

Figura 15. Herramientas de ArcToolbox. ........................................................................................................... 71

 

Figura 16. Diagrama de flujo - Análisis fractal de las redes. Recuperado de Vargas et. al. (2019). .................. 76

 

Figura 17. OPUS en REDES 2019. ....................................................................................................................... 83

 

Figura 18. Asignación de diámetros comerciales, restricciones y coeficientes de función de costos. ............. 84

 

Figura 19. Parámetros OPUS 1 - REDES 2019. ................................................................................................... 84

 

Figura 20. Parámetros OPUS 2 - REDES 2019. ................................................................................................... 84

 

Figura 21. Algoritmos Genéticos en REDES 2019. ............................................................................................. 85

 

Figura 22. Parámetros Algoritmos Genéticos 1 – REDES 2019. ......................................................................... 86

 

Figura 23. Parámetros Algoritmos Genéticos 2 - REDES 2019........................................................................... 86

 

Figura 24. Opción para el cálculo de la dimensión fractal en REDES 2019. ...................................................... 86

 

Figura 25. Ingreso de parámetros para la aplicación del algoritmo Box-Covering. .......................................... 87

 

Figura 26. Diagrama de flujo - Trazado de la red. .............................................................................................. 88

 

Figura 27. Diagrama de flujo - Generación de SGH - Parte 1. ............................................................................ 90

 

Figura 28. Diagrama de flujo - Generación SGH - Parte 2. ................................................................................. 91

 

 

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6 

 

Figura 29. Diagrama de flujo - Análisis fractal unidimensional. ........................................................................ 93

 

Figura 30. Herramienta IDW. ............................................................................................................................. 95

 

Figura 31. Generación de imágenes ".tif". ......................................................................................................... 95

 

Figura 32. Diagrama de flujo - Análisis fractal bidimensional............................................................................ 96

 

Figura 33. Costos - Red Two Loops .................................................................................................................... 97

 

Figura 34. Costos - Red Two Reservoirs. ............................................................................................................ 97

 

Figura 35. Costos - Red Taichung. ...................................................................................................................... 98

 

Figura 36. Costos - Red Hanoi. ........................................................................................................................... 98

 

Figura 37. Costos - Red Blacksburg. ................................................................................................................... 98

 

Figura 38. Costos - Red New York Tunnels. ....................................................................................................... 99

 

Figura 39. Costos - Red BakRyan. ....................................................................................................................... 99

 

Figura 40. Costos - Red Fossolo. ........................................................................................................................ 99

 

Figura 41. Costos - Red R28. ............................................................................................................................ 100

 

Figura 42. Costos - Red Pescara. ...................................................................................................................... 100

 

Figura 43. Costos - Red Modena. ..................................................................................................................... 100

 

Figura 44. Costos - Red Balerma. ..................................................................................................................... 101

 

Figura 45. Costos - Red San Vicente................................................................................................................. 101

 

Figura 46. Costos - Red Cazucá. ....................................................................................................................... 101

 

Figura 47. Costos - Red Elevada. ...................................................................................................................... 102

 

Figura 48. Costos - Red Bolívar. ....................................................................................................................... 102

 

Figura 49. Costos - Red La Cumbre. ................................................................................................................. 102

 

Figura 50. Costos - Red Candelaria. ................................................................................................................. 103

 

Figura 51. Costos - Red Bugalagrande. ............................................................................................................ 103

 

Figura 52. Costos - Red Carmen. ...................................................................................................................... 103

 

Figura 53. Costos - Red Chinú. ......................................................................................................................... 104

 

Figura 54. Costos - Red Sector 35. ................................................................................................................... 104

 

Figura 55. Costos - Red La Enea. ...................................................................................................................... 105

 

Figura 56. Distribución de diámetros - Red Two Loops. .................................................................................. 105

 

Figura 57. Distribución de diámetros - Red Taichung. ..................................................................................... 106

 

Figura 58. Distribución de diámetros - Red Two Reservoirs. ........................................................................... 106

 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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7 

 

Figura 59. Distribución de diámetros - Red Blacksburg. .................................................................................. 107

 

Figura 60. Distribución de diámetros - Red Hanoi. .......................................................................................... 107

 

Figura 61. Distribución de diámetros - Red BakRyan. ..................................................................................... 108

 

Figura 62. Distribución de diámetros - Red New York Tunnels. ...................................................................... 108

 

Figura 63. Distribución de diámetros - Red R28. ............................................................................................. 109

 

Figura 64. Distribución de diámetros - Red Fossolo. ....................................................................................... 109

 

Figura 65. Distribución de diámetros - Red Modena. ...................................................................................... 110

 

Figura 66. Distribución de diámetros - Red Pescara. ....................................................................................... 110

 

Figura 67. Distribución de diámetros - Red San Vicente. ................................................................................ 111

 

Figura 68. Distribución de diámetros - Red Balerma. ...................................................................................... 111

 

Figura 69. Distribución de diámetros - Red Cazucá. ........................................................................................ 112

 

Figura 70. Distribución de diámetros - Red Elevada. ....................................................................................... 112

 

Figura 71. Distribución de diámetros - Red La Cumbre. .................................................................................. 113

 

Figura 72. Distribución de diámetros - Red Bolívar. ........................................................................................ 113

 

Figura 73. Distribución de diámetros - Red Candelaria. .................................................................................. 114

 

Figura 74. Distribución de diámetros - Red Bugalagrande. ............................................................................. 114

 

Figura 75. Distribución de diámetros - Red Carmen. ....................................................................................... 115

 

Figura 76. Distribución de diámetros - Red Chinú. .......................................................................................... 115

 

Figura 77. Distribución de diámetros - Red Sector 35. .................................................................................... 116

 

Figura 78. Distribución de diámetros - Red La Enea. ....................................................................................... 116

 

Figura 79. SOP Red Two Loops - REDES 2019. ................................................................................................. 117

 

Figura 80. SOP Red Two Loops - MATLAB. ....................................................................................................... 117

 

Figura 81. Diseño No Óptimo 1 - Red Two Loops - REDES 2019. ..................................................................... 117

 

Figura 82. Diseño No Óptimo 1 - Red Two Loops - MATLAB. .......................................................................... 117

 

Figura 83. Diseño No Óptimo 2 - Red Two Loops - REDES 2019. ..................................................................... 117

 

Figura 84. Diseño No Óptimo 2 - Red Two Loops - MATLAB. .......................................................................... 117

 

Figura 85. Diseño No Óptimo 3 - Red Two Loops - REDES 2019. ..................................................................... 117

 

Figura 86. Diseño No Óptimo 3 - Red Two Loops - MATLAB. .......................................................................... 117

 

Figura 87. Diseño No Óptimo 4 - Red Two Loops - REDES 2019. ..................................................................... 118

 

Figura 88. Diseño No Óptimo 4 - Red Two Loops - MATLAB. .......................................................................... 118

 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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8 

 

Figura 89. Diseño No Óptimo 5 - Red Two Loops - REDES 2019. ..................................................................... 118

 

Figura 90. Diseño No Óptimo 5 - Red Two Loops - MATLAB. .......................................................................... 118

 

Figura 91. Diseño No Óptimo 6 - Red Two Loops - REDES 2019. ..................................................................... 118

 

Figura 92. Diseño No Óptimo 6 - Red Two Loops - MATLAB. .......................................................................... 118

 

Figura 93. SOP Red Two Reservoirs – REDES 2019. ......................................................................................... 119

 

Figura 94. SOP Red Two Reservoirs - MATLAB. ............................................................................................... 119

 

Figura 95. Diseño No Óptimo 1 - Red Two Reservoirs - REDES 2019. ............................................................. 119

 

Figura 96. Diseño No Óptimo 1 - Red Two Reservoirs - MATLAB. ................................................................... 119

 

Figura 97. Diseño No Óptimo 2 - Red Two Reservoirs - REDES 2019. ............................................................. 119

 

Figura 98. Diseño No Óptimo 2 - Red Two Reservoirs - MATLAB. ................................................................... 119

 

Figura 99. Diseño No Óptimo 3 - Red Two Reservoirs - REDES 2019. ............................................................. 119

 

Figura 100. Diseño No Óptimo 3 - Red Two Reservoirs - MATLAB. ................................................................. 119

 

Figura 101. Diseño No Óptimo 4 - Red Two Reservoirs - REDES 2019. ........................................................... 120

 

Figura 102. Diseño No Óptimo 4 - Red Two Reservoirs - MATLAB. ................................................................. 120

 

Figura 103. Diseño No Óptimo 5 - Red Two Reservoirs - REDES 2019. ........................................................... 120

 

Figura 104. Diseño No Óptimo 5 - Red Two Reservoirs - MATLAB. ................................................................. 120

 

Figura 105. Diseño No Óptimo 6 - Red Two Reservoirs - REDES 2019. ........................................................... 120

 

Figura 106. Diseño No Óptimo 6 - Red Two Reservoirs - MATLAB. ................................................................. 120

 

Figura 107- SOP Red Taichung - REDES 2019. .................................................................................................. 121

 

Figura 108. SOP Red Taichung - MATLAB. ....................................................................................................... 121

 

Figura 109. Diseño No Óptimo 1 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 121

 

Figura 110. Diseño No Óptimo 1 - Red Taichung - MATLAB. ........................................................................... 121

 

Figura 111. Diseño No Óptimo 2 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 121

 

Figura 112. Diseño No Óptimo 2 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 121

 

Figura 113. Diseño No Óptimo 3 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 121

 

Figura 114. Diseño No Óptimo 3 - Red Taichung - MATLAB. ........................................................................... 121

 

Figura 115. Diseño No Óptimo 4 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 122

 

Figura 116. Diseño No Óptimo 4 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 122

 

Figura 117. Diseño No Óptimo 5 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 122

 

Figura 118. Diseño No Óptimo 5 - Red Taichung - MATLAB. ........................................................................... 122

 

 

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9 

 

Figura 119. Diseño No Óptimo 6 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 122

 

Figura 120. Diseño No Óptimo 6 - Red Taichung - REDES 2019. ..................................................................... 122

 

Figura 121. SOP Red Hanoi - REDES 2019. ....................................................................................................... 123

 

Figura 122. SOP Red Hanoi - MATLAB.............................................................................................................. 123

 

Figura 123. Diseño No Óptimo 1 - Red Hanoi - REDES 2019............................................................................ 123

 

Figura 124. Diseño No Óptimo 1 - Red Hanoi - MATLAB. ................................................................................ 123

 

Figura 125. Diseño No Óptimo 2 - Red Hanoi - REDES 2019............................................................................ 123

 

Figura 126. Diseño No Óptimo 2 - Red Hanoi - MATLAB. ................................................................................ 123

 

Figura 127. Diseño No Óptimo 3 - Red Hanoi - REDES 2019............................................................................ 123

 

Figura 128. Diseño No Óptimo 3 - Red Hanoi - MATLAB. ................................................................................ 123

 

Figura 129. Diseño No Óptimo 4 - Red Hanoi - REDES 2019............................................................................ 123

 

Figura 130. Diseño No Óptimo 4 - Red Hanoi - MATLAB. ................................................................................ 123

 

Figura 131. Diseño No Óptimo 5 - Red Hanoi - REDES 2019............................................................................ 124

 

Figura 132. Diseño No Óptimo 5 - Red Hanoi - REDES 2019............................................................................ 124

 

Figura 133. Diseño No Óptimo 6 - Red Hanoi - REDES 2019............................................................................ 124

 

Figura 134. Diseño No Óptimo 6 - Red Hanoi – MATLAB. ............................................................................... 124

 

Figura 135. SOP Red Blacksburg - REDES 2019. ............................................................................................... 125

 

Figura 136. SOP Red Blacksburg - MATLAB...................................................................................................... 125

 

Figura 137. Diseño No Óptimo 1 - Red Blacksburg - REDES 2019.................................................................... 125

 

Figura 138. Diseño No Óptimo 1 - Red Blacksburg - MATLAB. ........................................................................ 125

 

Figura 139. Diseño No Óptimo 2 - Red Blacksburg - REDES 2019.................................................................... 125

 

Figura 140. Diseño No Óptimo 2 - Red Blacksburg - MATLAB. ........................................................................ 125

 

Figura 141. Diseño No Óptimo 3 - Red Blacksburg - REDES 2019.................................................................... 125

 

Figura 142. Diseño No Óptimo 3 - Red Blacksburg - MATLAB. ........................................................................ 125

 

Figura 143. Diseño No Óptimo 4 - Red Blacksburg - REDES 2019.................................................................... 125

 

Figura 144. Diseño No Óptimo 4 - Red Blacksburg - MATLAB. ........................................................................ 125

 

Figura 145. Diseño No Óptimo 5 - Red Blacksburg - REDES 2019.................................................................... 126

 

Figura 146. Diseño No Óptimo 5 - Red Blacksburg - MATLAB. ........................................................................ 126

 

Figura 147. Diseño No Óptimo 6 - Red Blacksburg - REDES 2019.................................................................... 126

 

Figura 148. Diseño No Óptimo 6 - Red Blacksburg - MATLAB. ........................................................................ 126

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

10 

 

Figura 149. SOP Red New York Tunnels - REDES 2019. ................................................................................... 127

 

Figura 150. SOP Red New York Tunnels - MATLAB. ......................................................................................... 127

 

Figura 151. Diseño No Óptimo 1 - Red New York Tunnels - REDES 2019. ....................................................... 127

 

Figura 152. Diseño No Óptimo 1 - Red New York Tunnels - MATLAB. ............................................................ 127

 

Figura 153. Diseño No Óptimo 2 - Red New York Tunnels - REDES 2019. ....................................................... 127

 

Figura 154. Diseño No Óptimo 2 - Red New York Tunnels - MATLAB. ............................................................ 127

 

Figura 155. Diseño No Óptimo 3 - Red New York Tunnels - REDES 2019. ....................................................... 127

 

Figura 156. Diseño No Óptimo 3 - Red New York Tunnels - MATLAB. ............................................................ 127

 

Figura 157. Diseño No Óptimo 4 - Red New York Tunnels - REDES 2019. ....................................................... 127

 

Figura 158. Diseño No Óptimo 4 - Red New York Tunnels - MATLAB. ............................................................ 127

 

Figura 159. Diseño No Óptimo 5 - Red New York Tunnels - REDES 2019. ....................................................... 128

 

Figura 160. Diseño No Óptimo 5 - Red New York Tunnels - MATLAB. ............................................................ 128

 

Figura 161. Diseño No Óptimo 6 - Red New York Tunnels - REDES 2019. ....................................................... 128

 

Figura 162. Diseño No Óptimo 6 - Red New York Tunnels - MATLAB. ............................................................ 128

 

Figura 163. SOP Red BakRyan - REDES 2019. ................................................................................................... 129

 

Figura 164. SOP Red BakRyan - MATLAB. ........................................................................................................ 129

 

Figura 165. Diseño No Óptimo 1 - Red BakRyan - REDES 2019. ...................................................................... 129

 

Figura 166. Diseño No Óptimo 1 - Red BakRyan - MATLAB. ............................................................................ 129

 

Figura 167. Diseño No Óptimo 2 - Red BakRyan - REDES 2019. ...................................................................... 129

 

Figura 168. Diseño No Óptimo 2 - Red BakRyan - MATLAB. ............................................................................ 129

 

Figura 169. Diseño No Óptimo 3 - Red BakRyan - REDES 2019. ...................................................................... 129

 

Figura 170. Diseño No Óptimo 3 - Red BakRyan - MATLAB. ............................................................................ 129

 

Figura 171. Diseño No Óptimo 4 - Red BakRyan - REDES 2019. ...................................................................... 129

 

Figura 172. Diseño No Óptimo 4 - Red BakRyan - MATLAB. ............................................................................ 129

 

Figura 173. Diseño No Óptimo 5 - Red BakRyan - REDES 2019. ...................................................................... 130

 

Figura 174. Diseño No Óptimo 5 - Red BakRyan - MATLAB. ............................................................................ 130

 

Figura 175. Diseño No Óptimo 6 - Red BakRyan - REDES 2019. ...................................................................... 130

 

Figura 176. Diseño No Óptimo 6 - Red BakRyan - MATLAB. ............................................................................ 130

 

Figura 177. SOP Red Fossolo - REDES 2019. .................................................................................................... 131

 

Figura 178. SOP Red Fossolo - MATLAB. .......................................................................................................... 131

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

11 

 

Figura 179. Diseño No Óptimo 1 - Red Fossolo - REDES 2019. ........................................................................ 131

 

Figura 180. Diseño No Óptimo 1 - Red Fossolo - MATLAB. ............................................................................. 131

 

Figura 181. Diseño No Óptimo 2 - Red Fossolo - REDES 2019. ........................................................................ 131

 

Figura 182. Diseño No Óptimo 2 - Red Fossolo - MATLAB. ............................................................................. 131

 

Figura 183. Diseño No Óptimo 3 - Red Fossolo - REDES 2019. ........................................................................ 131

 

Figura 184. Diseño No Óptimo 3 - Red Fossolo - MATLAB. ............................................................................. 131

 

Figura 185. Diseño No Óptimo 4 - Red Fossolo - REDES 2019. ........................................................................ 132

 

Figura 186. Diseño No Óptimo 4 - Red Fossolo - MATLAB. ............................................................................. 132

 

Figura 187. Diseño No Óptimo 5 - Red Fossolo - REDES 2019. ........................................................................ 132

 

Figura 188. Diseño No Óptimo 5 - Red Fossolo - MATLAB. ............................................................................. 132

 

Figura 189. Diseño No Óptimo 6 - Red Fossolo - REDES 2019. ........................................................................ 132

 

Figura 190. Diseño No Óptimo 6 - Red Fossolo - MATLAB. ............................................................................. 132

 

Figura 191. SOP Red R28 - REDES 2019. .......................................................................................................... 133

 

Figura 192. SOP Red R28 - MATLAB. ................................................................................................................ 133

 

Figura 193. Diseño No Óptimo 1 - Red R28 - REDES 2019. .............................................................................. 133

 

Figura 194. Diseño No Óptimo 1 - Red R28 - MATLAB. ................................................................................... 133

 

Figura 195. Diseño No Óptimo 2 - Red R28 - REDES 2019. .............................................................................. 133

 

Figura 196. Diseño No Óptimo 2 - Red R28 - MATLAB. ................................................................................... 133

 

Figura 197. Diseño No Óptimo 3 - Red R28 - REDES 2019. .............................................................................. 133

 

Figura 198. Diseño No Óptimo 3 - Red R28 - MATLAB. ................................................................................... 133

 

Figura 199. Diseño No Óptimo 4 - Red R28 - REDES 2019. .............................................................................. 134

 

Figura 200. Diseño No Óptimo 4 - Red R28 - MATLAB. ................................................................................... 134

 

Figura 201. Diseño No Óptimo 5 - Red R28 - REDES 2019. .............................................................................. 134

 

Figura 202. Diseño No Óptimo 5 - Red R28 - MATLAB. ................................................................................... 134

 

Figura 203. Diseño No Óptimo 6 – Red R28 – REDES 2019. ............................................................................ 134

 

Figura 204. Diseño No Óptimo 6 - Red R28 - MATLAB. ................................................................................... 134

 

Figura 205. SOP Red Pescara - REDES 2019. .................................................................................................... 135

 

Figura 206. SOP Red Pescara - MATLAB........................................................................................................... 135

 

Figura 207. Diseño No Óptimo 1 - Red Pescara - REDES 2019......................................................................... 135

 

Figura 208. Diseño No Óptimo 1 - Red Pescara - MATLAB. ............................................................................. 135

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

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Tesis de Pregrado 

12 

 

Figura 209. Diseño No Óptimo 2 - Red Pescara - REDES 2019......................................................................... 135

 

Figura 210. Diseño No Óptimo 2 - Red Pescara - MATLAB. ............................................................................. 135

 

Figura 211. Diseño No Óptimo 3 - Red Pescara - REDES 2019......................................................................... 135

 

Figura 212. Diseño No Óptimo 3 - Red Pescara - MATLAB. ............................................................................. 135

 

Figura 213. Diseño No Óptimo 4 - Red Pescara - REDES 2019......................................................................... 136

 

Figura 214. Diseño No Óptimo 4 - Red Pescara - MATLAB. ............................................................................. 136

 

Figura 215. Diseño No Óptimo 5 - Red Pescara - REDES 2019......................................................................... 136

 

Figura 216. Diseño No Óptimo 5 - Red Pescara - MATLAB. ............................................................................. 136

 

Figura 217. Diseño No Óptimo 6 - Red Pescara – REDES 2019. ....................................................................... 136

 

Figura 218. Diseño No Óptimo 6 - Red Pescara - MATLAB. ............................................................................. 136

 

Figura 219. SOP Red Modena - REDES 2019. ................................................................................................... 137

 

Figura 220. SOP Red Modena - MATLAB. ........................................................................................................ 137

 

Figura 221. Diseño No Óptimo 1 - Red Modena - REDES 2019. ...................................................................... 137

 

Figura 222. Diseño No Óptimo 1 - Red Modena - MATLAB. ............................................................................ 137

 

Figura 223. Diseño No Óptimo 2 - Red Modena - REDES 2019. ...................................................................... 137

 

Figura 224. Diseño No Óptimo 2 - Red Modena - MATLAB. ............................................................................ 137

 

Figura 225. Diseño No Óptimo 3 - Red Modena - REDES 2019. ...................................................................... 137

 

Figura 226. Diseño No Óptimo 3 - Red Modena - MATLAB. ............................................................................ 137

 

Figura 227. Diseño No Óptimo 4 - Red Modena - REDES 2019. ...................................................................... 138

 

Figura 228. Diseño No Óptimo 4 - Red Modena - MATLAB. ............................................................................ 138

 

Figura 229. Diseño No Óptimo 5 - Red Modena - REDES 2019. ...................................................................... 138

 

Figura 230. Diseño No Óptimo 5 - Red Modena - MATLAB. ............................................................................ 138

 

Figura 231. Diseño No Óptimo 6 - Red Modena - REDES 2019. ...................................................................... 138

 

Figura 232. Diseño No Óptimo 6 - Red Modena - MATLAB. ............................................................................ 138

 

Figura 233. SOP Red Balerma - REDES 2019. ................................................................................................... 139

 

Figura 234. SOP Red Balerma - MATLAB.......................................................................................................... 139

 

Figura 235. Diseño No Óptimo 1 - Red Balerma - REDES 2019........................................................................ 139

 

Figura 236. Diseño No Óptimo 1 - Red Balerma - MATLAB. ............................................................................ 139

 

Figura 237. Diseño No Óptimo 2 - Red Balerma - REDES 2019........................................................................ 139

 

Figura 238. Diseño No Óptimo 2 - Red Balerma - MATLAB. ............................................................................ 139

 

 

Universidad de los Andes 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

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Tesis de Pregrado 

13 

 

Figura 239. Diseño No Óptimo 3 - Red Balerma - REDES 2019........................................................................ 139

 

Figura 240. Diseño No Óptimo 3 - Red Balerma - MATLAB. ............................................................................ 139

 

Figura 241. Diseño No Óptimo 4 - Red Balerma - REDES 2019........................................................................ 139

 

Figura 242. Diseño No Óptimo 4 - Red Balerma - MATLAB. ............................................................................ 139

 

Figura 243. Diseño No Óptimo 5 – Red Balerma - REDES 2019. ...................................................................... 140

 

Figura 244. Diseño No Óptimo 5 - Red Balerma - MATLAB. ............................................................................ 140

 

Figura 245. Diseño No Óptimo 6 - Red Balerma - REDES 2019........................................................................ 140

 

Figura 246. Diseño No Óptimo 6 - Red Balerma - MATLAB. ............................................................................ 140

 

Figura 247. SOP San Vicente - REDES 2019. ..................................................................................................... 141

 

Figura 248. SOP San Vicente - MATLAB. .......................................................................................................... 141

 

Figura 249. Diseño No Óptimo 1 – Red San Vicente - REDES 2019. ................................................................ 141

 

Figura 250. Diseño No Óptimo 1 - Red San Vicente - MATLAB........................................................................ 141

 

Figura 251. Diseño No Óptimo 2 - Red San Vicente - REDES 2019. ................................................................. 141

 

Figura 252. Diseño No Óptimo 2 - Red San Vicente - MATLAB........................................................................ 141

 

Figura 253. Diseño No Óptimo 3 - Red San Vicente - REDES 2019. ................................................................. 141

 

Figura 254. Diseño No Óptimo 3 - Red San Vicente - MATLAB........................................................................ 141

 

Figura 255. Diseño No Óptimo 4 - Red San Vicente - REDES 2019. ................................................................. 142

 

Figura 256. Diseño No Óptimo 4 - Red San Vicente - MATLAB........................................................................ 142

 

Figura 257. Diseño No Óptimo 5 - Red San Vicente - REDES 2019. ................................................................. 142

 

Figura 258. Diseño No Óptimo 5 - Red San Vicente - MATLAB........................................................................ 142

 

Figura 259. Diseño No Óptimo 6 - Red San Vicente - REDES 2019. ................................................................. 142

 

Figura 260. Diseño No Óptimo 6 - Red San Vicente - MATLAB........................................................................ 142

 

Figura 261. SOP Red Cazucá - REDES 2019. ..................................................................................................... 143

 

Figura 262. SOP Red Cazucá - MATLAB. ........................................................................................................... 143

 

Figura 263. Diseño No Óptimo 1 - Red Cazucá - REDES 2019. ......................................................................... 143

 

Figura 264. Diseño No Óptimo 1 - Red Cazucá - MATLAB. .............................................................................. 143

 

Figura 265. Diseño No Óptimo 2 - Red Cazucá - REDES 2019. ......................................................................... 143

 

Figura 266. Diseño No Óptimo 2 - Red Cazucá - MATLAB. .............................................................................. 143

 

Figura 267. Diseño No Óptimo 3 - Red Cazucá - REDES 2019. ......................................................................... 143

 

Figura 268. Diseño No Óptimo 3 - Red Cazucá - MATLAB. .............................................................................. 143

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

14 

 

Figura 269. Diseño No Óptimo 4 - Red Cazucá - REDES 2019. ......................................................................... 144

 

Figura 270. Diseño No Óptimo 4 - Red Cazucá - MATLAB. .............................................................................. 144

 

Figura 271. Diseño No Óptimo 5 - Red Cazucá - REDES 2019. ......................................................................... 144

 

Figura 272. Diseño No Óptimo 5 - Red Cazucá - MATLAB. .............................................................................. 144

 

Figura 273. Diseño No Óptimo 6 - Red Cazucá - REDES 2019. ......................................................................... 144

 

Figura 274. Diseño No Óptimo 6 - Red Cazucá - MATLAB. .............................................................................. 144

 

Figura 275. SOP Red Elevada - REDES 2019. .................................................................................................... 145

 

Figura 276. SOP Red Elevada - MATLAB. ......................................................................................................... 145

 

Figura 277. Diseño No Óptimo 1 - Red Elevada - REDES 2019. ....................................................................... 145

 

Figura 278. Diseño No Óptimo 1 - Red Elevada - MATLAB. ............................................................................. 145

 

Figura 279. Diseño No Óptimo 2 - Red Elevada - REDES 2019. ....................................................................... 145

 

Figura 280. Diseño No Óptimo 2 - Red Elevada - MATLAB. ............................................................................. 145

 

Figura 281. Diseño No Óptimo 3 - Red Elevada - REDES 2019. ....................................................................... 145

 

Figura 282. Diseño No Óptimo 3 - Red Elevada - MATLAB. ............................................................................. 145

 

Figura 283. Diseño No Óptimo 4 - Red Elevada - REDES 2019. ....................................................................... 145

 

Figura 284. Diseño No Óptimo 4 - Red Elevada - MATLAB. ............................................................................. 145

 

Figura 285. Diseño No Óptimo 5 - Red Elevada - REDES 2019. ....................................................................... 146

 

Figura 286. Diseño No Óptimo 5 - Red Elevada - MATLAB. ............................................................................. 146

 

Figura 287. Diseño No Óptimo 6 - Red Elevada - REDES 2019. ....................................................................... 146

 

Figura 288. Diseño No Óptimo 6 - Red Elevada - MATLAB. ............................................................................. 146

 

Figura 289. SOP Red Bolívar - REDES 2019. ..................................................................................................... 147

 

Figura 290. SOP Red Bolívar - MATLAB. ........................................................................................................... 147

 

Figura 291. Diseño No Óptimo 1 - Red Bolívar - REDES 2019. ......................................................................... 147

 

Figura 292. Diseño No Óptimo 1 - Red Bolívar - MATLAB. .............................................................................. 147

 

Figura 293. Diseño No Óptimo 2 - Red Bolívar - REDES 2019. ......................................................................... 147

 

Figura 294. Diseño No Óptimo 2 - Red Bolívar - MATLAB. .............................................................................. 147

 

Figura 295. Diseño No Óptimo 3 - Red Bolívar - REDES 2019. ......................................................................... 147

 

Figura 296. Diseño No Óptimo 3 - Red Bolívar - MATLAB. .............................................................................. 147

 

Figura 297. Diseño No Óptimo 4 - Red Bolívar - REDES 2019. ......................................................................... 148

 

Figura 298. Diseño No Óptima 4 - Red Bolívar - MATLAB................................................................................ 148

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

15 

 

Figura 299. Diseño No Óptimo 5- Red Bolívar - REDES 2019. .......................................................................... 148

 

Figura 300. Diseño No Óptima 5 - Red Bolívar - MATLAB................................................................................ 148

 

Figura 301. Diseño No Óptimo 6 - Red Bolívar - REDES 2019. ......................................................................... 148

 

Figura 302. Diseño No Óptimo 6 - Red Bolívar - MATLAB. .............................................................................. 148

 

Figura 303. SOP Red La Cumbre - REDES 2019. ............................................................................................... 149

 

Figura 304. SOP Red La Cumbre - MATLAB. ..................................................................................................... 149

 

Figura 305. Diseño No Óptimo 1 - Red La Cumbre - REDES 2019. ................................................................... 149

 

Figura 306. Diseño No Óptimo 1 - Red La Cumbre - MATLAB. ........................................................................ 149

 

Figura 307. Diseño No Óptimo 2 - Red La Cumbre - REDES 2019. ................................................................... 149

 

Figura 308. Diseño No Óptimo 2 - Red La Cumbre - MATLAB. ........................................................................ 149

 

Figura 309. Diseño No Óptimo 3 - Red La Cumbre - REDES 2019. ................................................................... 149

 

Figura 310. Diseño No Óptimo 3 - Red La Cumbre - MATLAB. ........................................................................ 149

 

Figura 311. Diseño No Óptimo 4 - Red La Cumbre - REDES 2019. ................................................................... 150

 

Figura 312. Diseño No Óptimo 4 - Red La Cumbre - MATLAB. ........................................................................ 150

 

Figura 313. Diseño No Óptimo 5 - Red La Cumbre - REDES 2019. ................................................................... 150

 

Figura 314. Diseño No Óptimo 5 – Red La Cumbre - MATLAB. ....................................................................... 150

 

Figura 315. Diseño No Óptimo 6 - Red La Cumbre - REDES 2019. ................................................................... 150

 

Figura 316. Diseño No Óptimo 6 - Red La Cumbre - MATLAB. ........................................................................ 150

 

Figura 317. SOP Red Candelaria - REDES 2019. ............................................................................................... 151

 

Figura 318. SOP Red Candelaria - MATLAB. ..................................................................................................... 151

 

Figura 319. Diseño No Óptimo 1 - Red Candelaria – REDES 2019. .................................................................. 151

 

Figura 320. Diseño No Óptimo 1 - Red Candelaria - MATLAB. ........................................................................ 151

 

Figura 321. Diseño No Óptimo 2 - Red Candelaria - REDES 2019. ................................................................... 151

 

Figura 322. Diseño No Óptimo 2 - Red Candelaria - MATLAB. ........................................................................ 151

 

Figura 323. Diseño No Óptimo 3 - Red Candelaria - REDES 2019. ................................................................... 151

 

Figura 324. Diseño No Óptimo 3 - Red Candelaria - MATLAB. ........................................................................ 151

 

Figura 325. Diseño No Óptimo 4 - Red Candelaria - REDES 2019. ................................................................... 152

 

Figura 326. Diseño No Óptimo 4 - Red Candelaria - MATLAB. ........................................................................ 152

 

Figura 327. Diseño No Óptimo 5 - Red Candelaria - REDES 2019. ................................................................... 152

 

Figura 328. Diseño No Óptimo 5 - Red Candelaria - MATLAB. ........................................................................ 152

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

16 

 

Figura 329. Diseño No Óptimo 6 - Red Candelaria - REDES 2019. ................................................................... 152

 

Figura 330. Diseño No Óptimo 6 - Red Candelaria - MATLAB. ........................................................................ 152

 

Figura 331. SOP Red Bugalagrande - REDES 2019. .......................................................................................... 153

 

Figura 332. SOP Bugalagrande - MATLAB. ....................................................................................................... 153

 

Figura 333. Diseño No Óptimo 1 - Red Bugalagrande - REDES 2019. .............................................................. 153

 

Figura 334. Diseño No Óptimo 1 - Red Bugalagrande - MATLAB. ................................................................... 153

 

Figura 335. Diseño No Óptimo 2 - Red Bugalagrande - REDES 2019. .............................................................. 153

 

Figura 336. Diseño No Óptimo 2 - Red Bugalagrande - MATLAB. ................................................................... 153

 

Figura 337. Diseño No Óptimo 3 - Red Bugalagrande - REDES 2019. .............................................................. 153

 

Figura 338. Diseño No Óptimo 3 - Red Bugalagrande - MATLAB. ................................................................... 153

 

Figura 339. Diseño No Óptimo 4 - Red Bugalagrande - REDES 2019. .............................................................. 153

 

Figura 340. Diseño No Óptimo 4 - Red Bugalagrande - MATLAB. ................................................................... 153

 

Figura 341. Diseño No Óptimo 5 - Red Bugalagrande - REDES 2019. .............................................................. 154

 

Figura 342. Diseño No Óptimo 5 - Red Bugalagrande - MATLAB. ................................................................... 154

 

Figura 343. Diseño No Óptimo 6 - Red Bugalagrande - REDES 2019. .............................................................. 154

 

Figura 344. Diseño No Óptimo 6 - Red Bugalagrande - MATLAB. ................................................................... 154

 

Figura 345. SOP Red Carmen - REDES 2019. .................................................................................................... 155

 

Figura 346. SOP Red Carmen - MATLAB. ......................................................................................................... 155

 

Figura 347. Diseño No Óptimo 1 - Red Carmen - REDES 2019. ....................................................................... 155

 

Figura 348. Diseño No Óptimo 1 - Red Carmen - MATLAB. ............................................................................. 155

 

Figura 349. Diseño No Óptimo 2 - Red Carmen - REDES 2019. ....................................................................... 155

 

Figura 350. Diseño No Óptimo 2 - Red Carmen - MATLAB. ............................................................................. 155

 

Figura 351. Diseño No Óptimo 3 - Red Carmen - REDES 2019. ....................................................................... 155

 

Figura 352. Diseño No Óptimo 3 - Red Carmen - MATLAB. ............................................................................. 155

 

Figura 353. Diseño No Óptimo 4 - Red Carmen - REDES 2019. ....................................................................... 155

 

Figura 354. Diseño No Óptimo 4 - Red Carmen - MATLAB. ............................................................................. 155

 

Figura 355. Diseño No Óptimo 5 - Red Carmen - REDES 2019. ....................................................................... 156

 

Figura 356. Diseño No Óptimo 5 - Red Carmen - MATLAB. ............................................................................. 156

 

Figura 357. Diseño No Óptimo 6 - Red Carmen - REDES 2019. ....................................................................... 156

 

Figura 358. Diseño No Óptimo 6 - Red Carmen - MATLAB. ............................................................................. 156

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

17 

 

Figura 359. SOP Red Chinú - REDES 2019. ....................................................................................................... 157

 

Figura 360. SOP Red Chinú - MATLAB. ............................................................................................................. 157

 

Figura 361. Diseño No Óptimo 1 - Red Chinú - REDES 2019. ........................................................................... 157

 

Figura 362. Diseño No Óptimo 1 - Red Chinú - MATLAB. ................................................................................ 157

 

Figura 363. Diseño No Óptimo 2 - Red Chinú - REDES 2019. ........................................................................... 157

 

Figura 364. Diseño No Óptimo 2 - Red Chinú - MATLAB. ................................................................................ 157

 

Figura 365. Diseño No Óptimo 3 - Red Chinú - REDES 2019. ........................................................................... 157

 

Figura 366. Diseño No Óptimo 3 - Red Chinú - MATLAB. ................................................................................ 157

 

Figura 367. Diseño No Óptimo 4 - Red Chinú - REDES 2019. ........................................................................... 157

 

Figura 368. Diseño No Óptimo 4 - Red Chinú - MATLAB. ................................................................................ 157

 

Figura 369. Diseño No Óptimo 5 - Red Chinú - REDES 2019. ........................................................................... 158

 

Figura 370. Diseño No Óptimo 5 - Red Chinú - MATLAB. ................................................................................ 158

 

Figura 371. Diseño No Óptimo 6 - Red Chinú - REDES 2019. ........................................................................... 158

 

Figura 372. Diseño No Óptimo 6 - Red Chinú - MATLAB. ................................................................................ 158

 

Figura 373. SOP Sector 35 - REDES 2019. ........................................................................................................ 159

 

Figura 374. SOP Red Sector 35 - MATLAB. ....................................................................................................... 159

 

Figura 375. Diseño No Óptimo 1 - Red Sector 35 - REDES 2019. ..................................................................... 159

 

Figura 376. Diseño No Óptimo 1 - Red Sector 35 - MATLAB. .......................................................................... 159

 

Figura 377. Diseño No Óptimo 2 - Red Sector 35 - REDES 2019. ..................................................................... 159

 

Figura 378. Diseño No Óptimo 2 - Red Sector 35 - MATLAB. .......................................................................... 159

 

Figura 379. Diseño No Óptimo 3 - Red Sector 35 - REDES 2019. ..................................................................... 159

 

Figura 380. Diseño No Óptimo 3 - Red Sector 35 - MATLAB. .......................................................................... 159

 

Figura 381. Diseño No Óptimo 4 - Red Sector 35 - REDES 2019. ..................................................................... 160

 

Figura 382. Diseño No Óptimo 4 - Red Sector 35 - MATLAB. .......................................................................... 160

 

Figura 383. Diseño No Óptimo 5 - Red Sector 35 - REDES 2019. ..................................................................... 160

 

Figura 384. Diseño No Óptimo 5 - Red Sector 35 - MATLAB. .......................................................................... 160

 

Figura 385. Diseño No Óptimo 6 - Red Sector 35 - REDES 2019. ..................................................................... 160

 

Figura 386. Diseño No Óptimo 6 - Red Sector 35 - MATLAB. .......................................................................... 160

 

Figura 387. SOP Red La Enea - REDES 2019. .................................................................................................... 161

 

Figura 388. SOP Red La Enea - MATLAB. .......................................................................................................... 161

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

18 

 

Figura 389. Diseño No Óptimo 1 - Red La Enea - REDES 2019. ........................................................................ 161

 

Figura 390. Diseño No Óptimo 1 - Red La Enea - MATLAB. ............................................................................. 161

 

Figura 391. Diseño No Óptimo 2 - Red La Enea - REDES 2019. ........................................................................ 161

 

Figura 392. Diseño No Óptimo 2 - Red La Enea - MATLAB. ............................................................................. 161

 

Figura 393. Diseño No Óptimo 3 - Red La Enea - REDES 2019. ........................................................................ 161

 

Figura 394. Diseño No Óptimo 3 - Red La Enea - MATLAB. ............................................................................. 161

 

Figura 395. Diseño No Óptimo 4 - Red La Enea - REDES 2019. ........................................................................ 162

 

Figura 396. Diseño No Óptimo 4 - Red La Enea - MATLAB. ............................................................................. 162

 

Figura 397. Diseño No Óptimo 5 - Red La Enea - REDES 2019. ........................................................................ 162

 

Figura 398. Diseño No Óptimo 5 - Red La Enea - MATLAB. ............................................................................. 162

 

Figura 399. Diseño No Óptimo 6 - Red La Enea - REDES 2019. ........................................................................ 162

 

Figura 400. Diseño No Óptimo 6 - Red La Enea - MATLAB. ............................................................................. 162

 

Figura 401. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Two Loops. ................................................................ 163

 

Figura 402. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Two Reservoirs. ......................................................... 163

 

Figura 403. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Taichung. ................................................................... 164

 

Figura 404. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Hanoi. ........................................................................ 164

 

Figura 405. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Blacksburg. ................................................................ 165

 

Figura 406. Perfil de dimensiones fractales en X - Red New York Tunnels. .................................................... 165

 

Figura 407. Perfil de dimensiones fractales en X - Red BakRyan. .................................................................... 166

 

Figura 408. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Fossolo. ..................................................................... 166

 

Figura 409. Perfil de dimensiones fractales en X - Red R28. ........................................................................... 167

 

Figura 410. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Pescara. ..................................................................... 167

 

Figura 411. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Modena. .................................................................... 168

 

Figura 412. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Balerma. .................................................................... 168

 

Figura 413. Perfil de dimensiones fractales en X - Red San Vicente................................................................ 169

 

Figura 414. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Cazucá. ...................................................................... 169

 

Figura 415. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Elevada. ..................................................................... 170

 

Figura 416. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Bolívar. ...................................................................... 170

 

Figura 417. Perfil de dimensiones fractales en X - Red La Cumbre. ................................................................ 171

 

Figura 418. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Candelaria. ................................................................ 171

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

19 

 

Figura 419. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Bugalagrande. ........................................................... 172

 

Figura 420. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Carmen. ..................................................................... 172

 

Figura 421. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Chinú. ........................................................................ 173

 

Figura 422. Perfil de dimensiones fractales en X - Red Sector 35. .................................................................. 173

 

Figura 423. Perfil de dimensiones fractales en X - Red La Enea. ..................................................................... 174

 

Figura 424. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Two Loops. ................................................................ 174

 

Figura 425. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Two Reservoirs. ......................................................... 175

 

Figura 426. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Taichung. ................................................................... 175

 

Figura 427. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Hanoi. ........................................................................ 176

 

Figura 428. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Blacksburg. ................................................................ 176

 

Figura 429. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red New York Tunnels. .................................................... 177

 

Figura 430. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red BakRyan. .................................................................... 177

 

Figura 431. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Fossolo....................................................................... 178

 

Figura 432. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red R28. ........................................................................... 178

 

Figura 433. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Pescara. ..................................................................... 179

 

Figura 434. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Modena. .................................................................... 179

 

Figura 435. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Balerma. .................................................................... 180

 

Figura 436. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red San Vicente. ............................................................... 180

 

Figura 437. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Cazucá. ...................................................................... 181

 

Figura 438. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Elevada. ..................................................................... 181

 

Figura 439. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Bolívar. ...................................................................... 182

 

Figura 440. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red La Cumbre. ................................................................ 182

 

Figura 441. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Candelaria. ................................................................ 183

 

Figura 442. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Bugalagrande. ........................................................... 183

 

Figura 443. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Carmen. ..................................................................... 184

 

Figura 444. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Carmen. ..................................................................... 184

 

Figura 445. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red Sector 35. .................................................................. 185

 

Figura 446. Perfil de dimensiones fractales en Y - Red La Enea. ..................................................................... 185

 

Figura 447. DEM Two Loops - Óptimo. ............................................................................................................ 186

 

Figura 448. DEM Two Loops - No Óptimo 1..................................................................................................... 186

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

20 

 

Figura 449. DEM Two Loops - No Óptimo 2..................................................................................................... 186

 

Figura 450. DEM Two Loops - No Óptimo 3..................................................................................................... 186

 

Figura 451. DEM Two Loops - No Óptimo 4..................................................................................................... 186

 

Figura 452. DEM Two Loops - No Óptimo 5..................................................................................................... 186

 

Figura 453. DEM Two Loops - No Óptimo 6..................................................................................................... 186

 

Figura 454. DEM Two Reservoirs - Óptimo. ..................................................................................................... 186

 

Figura 455. DEM Two Reservoirs - No Óptimo 1. ............................................................................................ 186

 

Figura 456. DEM Two Reservoirs - No Óptimo 2. ............................................................................................ 186

 

Figura 457. DEM Two Reservoirs - No Óptimo 3. ............................................................................................ 186

 

Figura 458. DEM Two Reservoirs - No Óptimo 4. ............................................................................................ 186

 

Figura 459. DEM Two Reservoirs - No Óptimo 5. ............................................................................................ 186

 

Figura 460. DEM Two Reservoirs - No Óptimo 6. ............................................................................................ 186

 

Figura 461. DEM Taichung - Óptimo. ............................................................................................................... 187

 

Figura 462. DEM Taichung - No Óptimo 1 ....................................................................................................... 187

 

Figura 463. DEM Taichung - No Óptimo 2. ...................................................................................................... 187

 

Figura 464. DEM Taichung - No Óptimo 3. ...................................................................................................... 187

 

Figura 465. DEM Taichung - No Óptimo 4. ...................................................................................................... 187

 

Figura 466. DEM Taichung - No Óptimo 5. ...................................................................................................... 187

 

Figura 467. DEM Taichung - No Óptimo 6. ...................................................................................................... 187

 

Figura 468. DEM Hanoi – Óptimo. ................................................................................................................... 187

 

Figura 469. DEM Hanoi - No Óptimo 1. ........................................................................................................... 187

 

Figura 470. DEM Hanoi - No Óptimo 2. ........................................................................................................... 187

 

Figura 471. DEM Hanoi - No Óptimo 3. ........................................................................................................... 187

 

Figura 472. DEM Hanoi - No Óptimo 4. ........................................................................................................... 187

 

Figura 473. DEM Hanoi - No Óptimo 5. ........................................................................................................... 187

 

Figura 474. DEM Hanoi - No Óptimo 6. ........................................................................................................... 187

 

Figura 475. DEM Blacksburg - Óptimo. ............................................................................................................ 188

 

Figura 476. DEM Blacksburg - No Óptimo 1. ................................................................................................... 188

 

Figura 477. DEM Blacksburg - No Óptimo 2. ................................................................................................... 188

 

Figura 478. DEM Blacksburg - No Óptimo 3. ................................................................................................... 188

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

21 

 

Figura 479. DEM Blacksburg - No Óptimo 4. ................................................................................................... 188

 

Figura 480. DEM Blacksburg - No Óptimo 5. ................................................................................................... 188

 

Figura 481. DEM Blacksburg - No Óptimo 6. ................................................................................................... 188

 

Figura 482. DEM New York Tunnels - Óptimo. ................................................................................................ 188

 

Figura 483. DEM New York Tunnels - No Óptimo 1. ........................................................................................ 188

 

Figura 484. DEM New York Tunnels - No Óptimo 2. ........................................................................................ 188

 

Figura 485. DEM New York Tunnels - No Óptimo 3. ........................................................................................ 188

 

Figura 486. DEM New York Tunnels - No Óptimo 4. ........................................................................................ 188

 

Figura 487. DEM New York Tunnels - No Óptimo 5. ........................................................................................ 188

 

Figura 488. DEM New York Tunnels - No Óptimo 6. ........................................................................................ 188

 

Figura 489. DEM BakRyan - Óptimo................................................................................................................. 189

 

Figura 490. DEM BakRyan - No Óptimo 1. ....................................................................................................... 189

 

Figura 491. DEM BakRyan - No Óptimo 2. ....................................................................................................... 189

 

Figura 492. DEM BakRyan - No Óptimo 3. ....................................................................................................... 189

 

Figura 493. DEM BakRyan - No Óptimo 4. ....................................................................................................... 189

 

Figura 494. DEM BakRyan - No Óptimo 5. ....................................................................................................... 189

 

Figura 495. DEM BakRyan - No Óptimo 6. ....................................................................................................... 189

 

Figura 496. DEM Fossolo - Óptimo. ................................................................................................................. 189

 

Figura 497. DEM Fossolo - No Óptimo 1. ......................................................................................................... 189

 

Figura 498. DEM Fossolo - No Óptimo 2. ......................................................................................................... 189

 

Figura 499. DEM Fossolo - No Óptimo 3. ......................................................................................................... 189

 

Figura 500. DEM Fossolo - No Óptimo 4. ......................................................................................................... 189

 

Figura 501. DEM Fossolo - No Óptimo 5. ......................................................................................................... 189

 

Figura 502. DEM Fossolo - No Óptimo 6. ......................................................................................................... 189

 

Figura 503. DEM R28 - Óptimo. ....................................................................................................................... 190

 

Figura 504. DEM R28 - No Óptimo 1. ............................................................................................................... 190

 

Figura 505. DEM R28 - No Óptimo 2. ............................................................................................................... 190

 

Figura 506. DEM R28 - No Óptimo 3. ............................................................................................................... 190

 

Figura 507. DEM R28 - No Óptimo 4. ............................................................................................................... 190

 

Figura 508. DEM R28 - No Óptimo 5. ............................................................................................................... 190

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

22 

 

Figura 509. DEM R28 - No Óptimo 6. ............................................................................................................... 190

 

Figura 510. DEM Pescara – Óptimo. ................................................................................................................ 190

 

Figura 511. DEM Pescara - No Óptimo 1. ........................................................................................................ 190

 

Figura 512. DEM Pescara - No Óptimo 2. ........................................................................................................ 190

 

Figura 513. DEM Pescara - No Óptimo 3. ........................................................................................................ 190

 

Figura 514. DEM Pescara - No Óptima 4. ......................................................................................................... 190

 

Figura 515. DEM Pescara - No Óptima 5. ......................................................................................................... 190

 

Figura 516. DEM Pescara - No Óptima 6. ......................................................................................................... 190

 

Figura 517. DEM Modena - Óptimo. ................................................................................................................ 191

 

Figura 518. DEM Modena - No Óptimo 1. ....................................................................................................... 191

 

Figura 519. DEM Modena - No Óptimo 2. ....................................................................................................... 191

 

Figura 520. DEM Modena - No Óptimo 3. ....................................................................................................... 191

 

Figura 521. DEM Modena - No Óptimo 4. ....................................................................................................... 191

 

Figura 522. DEM Modena - No Óptimo 5. ....................................................................................................... 191

 

Figura 523. DEM Modena - No Óptimo 6. ....................................................................................................... 191

 

Figura 524. DEM Balerma - Óptimo. ................................................................................................................ 191

 

Figura 525. DEM Balerma - No Óptimo 1. ....................................................................................................... 191

 

Figura 526. DEM Balerma - No Óptimo 2. ....................................................................................................... 191

 

Figura 527. DEM Balerma - No Óptimo 3. ....................................................................................................... 191

 

Figura 528. DEM Balerma - No Óptimo 4. ....................................................................................................... 191

 

Figura 529. DEM Balerma - No Óptimo 5. ....................................................................................................... 191

 

Figura 530. DEM Balerma - No Óptimo 6. ....................................................................................................... 191

 

Figura 531. DEM San Vicente - Óptimo. .......................................................................................................... 192

 

Figura 532. DEM San Vicente - No Óptimo 1. .................................................................................................. 192

 

Figura 533. DEM San Vicente - No Óptimo 2. .................................................................................................. 192

 

Figura 534. DEM San Vicente - No Óptimo 3. .................................................................................................. 192

 

Figura 535. DEM San Vicente - No Óptimo 4. .................................................................................................. 192

 

Figura 536. DEM San Vicente - No Óptimo 5. .................................................................................................. 192

 

Figura 537. DEM San Vicente - No Óptimo 6. .................................................................................................. 192

 

Figura 538. DEM Cazucá - Óptimo. .................................................................................................................. 192

 

 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

23 

 

Figura 539. DEM Cazucá - No Óptimo 1. .......................................................................................................... 192

 

Figura 540. DEM Cazucá - No Óptimo 2. .......................................................................................................... 192

 

Figura 541. DEM Cazucá - No Óptimo 3. .......................................................................................................... 192

 

Figura 542. DEM Cazucá - No Óptimo 4. .......................................................................................................... 192

 

Figura 543. DEM Cazucá - No Óptimo 5. .......................................................................................................... 192

 

Figura 544. DEM Cazucá - No Óptimo 6. .......................................................................................................... 192

 

Figura 545. DEM Elevada - Óptimo. ................................................................................................................. 193

 

Figura 546. DEM Elevada - No Óptimo 1. ........................................................................................................ 193

 

Figura 547. DEM Elevada - No Óptimo 2. ........................................................................................................ 193

 

Figura 548. DEM Elevada - No Óptimo 3. ........................................................................................................ 193

 

Figura 549. DEM Elevada - No Óptimo 4. ........................................................................................................ 193

 

Figura 550. DEM Elevada - No Óptimo 5. ........................................................................................................ 193

 

Figura 551. DEM Elevada - No Óptimo 6. ........................................................................................................ 193

 

Figura 552. DEM Bolívar - Óptimo. .................................................................................................................. 193

 

Figura 553. DEM Bolívar - No Óptimo 1. .......................................................................................................... 193

 

Figura 554. DEM Bolívar - No Óptimo 2. .......................................................................................................... 193

 

Figura 555. DEM Bolívar - No Óptimo 3. .......................................................................................................... 193

 

Figura 556. DEM Bolívar - No Óptimo 4. .......................................................................................................... 193

 

Figura 557. DEM Bolívar - No Óptimo 5. .......................................................................................................... 193

 

Figura 558. DEM Bolívar - No Óptimo 6. .......................................................................................................... 193

 

Figura 559. DEM La Cumbre - Óptimo. ............................................................................................................ 194

 

Figura 560. DEM La Cumbre - No Óptimo 1..................................................................................................... 194

 

Figura 561. DEM La Cumbre - No Óptimo 2..................................................................................................... 194

 

Figura 562. DEM La Cumbre - No Óptimo 3..................................................................................................... 194

 

Figura 563. DEM La Cumbre - No Óptimo 4..................................................................................................... 194

 

Figura 564. DEM La Cumbre - No Óptimo 5..................................................................................................... 194

 

Figura 565. DEM La Cumbre - No Óptimo 6..................................................................................................... 194

 

Figura 566. DEM Candelaria - Óptimo. ............................................................................................................ 194

 

Figura 567. DEM Candelaria - No Óptimo 1. .................................................................................................... 194

 

Figura 568. DEM Candelaria - No Óptimo 2. .................................................................................................... 194

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

24 

 

Figura 569. DEM Candelaria - No Óptimo 3. .................................................................................................... 194

 

Figura 570. DEM Candelaria - No Óptimo 4. .................................................................................................... 194

 

Figura 571. DEM Candelaria - No Óptimo 5. .................................................................................................... 194

 

Figura 572. DEM Candelaria - No Óptimo 6. .................................................................................................... 194

 

Figura 573. DEM Bugalagrande - Óptimo. ....................................................................................................... 195

 

Figura 574. DEM Bugalagrande - No Óptimo 1. ............................................................................................... 195

 

Figura 575. DEM Bugalagrande - No Óptimo 2. ............................................................................................... 195

 

Figura 576. DEM Bugalagrande - No Óptimo 3. ............................................................................................... 195

 

Figura 577. DEM Bugalagrande - No Óptimo 4. ............................................................................................... 195

 

Figura 578. DEM Bugalagrande - No Óptimo 5. ............................................................................................... 195

 

Figura 579. DEM Bugalagrande - No Óptimo 6. ............................................................................................... 195

 

Figura 580. DEM Carmen - Óptimo. ................................................................................................................. 195

 

Figura 581. DEM Carmen - No Óptimo 1. ........................................................................................................ 195

 

Figura 582. DEM Carmen - No Óptimo 2. ........................................................................................................ 195

 

Figura 583. DEM Carmen - No Óptimo 3. ........................................................................................................ 195

 

Figura 584. DEM Carmen - No Óptimo 4. ........................................................................................................ 195

 

Figura 585. DEM Carmen - No Óptimo 5. ........................................................................................................ 195

 

Figura 586. DEM Carmen - No Óptimo 6. ........................................................................................................ 195

 

Figura 587. DEM Chinú - Óptimo. .................................................................................................................... 196

 

Figura 588. DEM Chinú - No Óptimo 1. ............................................................................................................ 196

 

Figura 589. DEM Chinú - No Óptimo 2. ............................................................................................................ 196

 

Figura 590. DEM Chinú - No Óptimo 3. ............................................................................................................ 196

 

Figura 591. DEM Chinú - No Óptimo 4. ............................................................................................................ 196

 

Figura 592. DEM Chinú - No Óptimo 5. ............................................................................................................ 196

 

Figura 593. DEM Chinú - No Óptimo 6. ............................................................................................................ 196

 

Figura 594. DEM Sector 35 - Óptimo. .............................................................................................................. 196

 

Figura 595. DEM Sector 35 - No Óptimo 1. ...................................................................................................... 196

 

Figura 596. DEM Sector 35 - No Óptimo 2. ...................................................................................................... 196

 

Figura 597. DEM Sector 35 - No Óptimo 3. ...................................................................................................... 196

 

Figura 598. DEM Sector 35 - No Óptimo 4. ...................................................................................................... 196

 

 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

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Tesis de Pregrado 

25 

 

Figura 599. DEM Sector 35 - No Óptimo 5. ...................................................................................................... 196

 

Figura 600. DEM Sector 35 - No Óptimo 6. ...................................................................................................... 196

 

Figura 601. DEM La Enea - Óptimo. ................................................................................................................. 197

 

Figura 602. DEM La Enea - No Óptimo 1.......................................................................................................... 197

 

Figura 603. DEM La Enea - No Óptimo 2.......................................................................................................... 197

 

Figura 604. DEM La Enea - No Óptimo 3.......................................................................................................... 197

 

Figura 605. DEM La Enea - No Óptimo 4.......................................................................................................... 197

 

Figura 606. DEM La Enea - No Óptimo 5.......................................................................................................... 197

 

Figura 607. DEM La Enea - No Óptimo 6.......................................................................................................... 197

 

Figura 608. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Two Loops. ............................................... 204

 

Figura 609. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Two Reservoirs. ........................................ 205

 

Figura 610. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Taichung. .................................................. 205

 

Figura 611. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Hanoi. ....................................................... 206

 

Figura 612. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Blacksburg. ............................................... 206

 

Figura 613. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red New York Tunnels..................................... 207

 

Figura 614. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red BakRyan. ................................................... 207

 

Figura 615. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Fossolo. ..................................................... 208

 

Figura 616. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red R28. ........................................................... 208

 

Figura 617. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Pescara. .................................................... 209

 

Figura 618. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Modena. ................................................... 209

 

Figura 619. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Balerma. ................................................... 210

 

Figura 620. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Cazucá. ..................................................... 210

 

Figura 621. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Bolívar....................................................... 211

 

Figura 622. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red La Cumbre. ............................................... 211

 

Figura 623. Análisis fractal bidimensional - Altura unitaria - Red Candelaria. ................................................ 212

 

Figura 624. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Bugalagrande............................................ 212

 

Figura 625. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Carmen. .................................................... 213

 

Figura 626. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Chinú. ....................................................... 213

 

Figura 627. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red Sector 35................................................... 214

 

Figura 628. Análisis fractal bidimensional – Altura unitaria - Red La Enea. .................................................... 214

 

 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

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Tesis de Pregrado 

26 

 

Figura 629. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Two Loops. ........................................... 215

 

Figura 630. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Two Reservoirs. .................................... 215

 

Figura 631. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Taichung. .............................................. 216

 

Figura 632. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Hanoi. ................................................... 216

 

Figura 633. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Blacksburg. ........................................... 217

 

Figura 634. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Fossolo. ................................................. 217

 

Figura 635. Análisis fractal bidimensional – Altura por tanteo - Red R28. ...................................................... 218

 

Figura 636. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Pescara. ................................................ 218

 

Figura 637. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Modena. ............................................... 219

 

Figura 638. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Balerma. ............................................... 219

 

Figura 639. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red San Vicente. .......................................... 220

 

Figura 640. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Cazucá................................................... 220

 

Figura 641. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Elevada. ................................................ 221

 

Figura 642. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Bolívar. .................................................. 221

 

Figura 643. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red La Cumbre. ........................................... 222

 

Figura 644. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Candelaria............................................. 222

 

Figura 645. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Bugalagrande........................................ 223

 

Figura 646. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Carmen. ................................................ 223

 

Figura 647. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red Chinú..................................................... 224

 

Figura 648. Análisis fractal bidimensional - Altura por tanteo - Red La Enea. ................................................ 224

 

Figura 649. Comparación de dimensiones fractales - Altura unitaria. ............................................................ 225

 

Figura 650. Comparación de dimensiones fractales - Altura por tanteo. ....................................................... 226

 

Figura 651. Dimensión fractal de la SOP vs Número de tuberías - Altura por tanteo. .................................... 226

 

Figura 652. Dimensión fractal de la SOP vs Número de nodos - Altura por tanteo. ....................................... 227

 

Figura 653. Dimensión fractal de la SOP. ......................................................................................................... 231

 

Figura 654. Red Two Loops 2D - REDES 2019. ................................................................................................. 246

 

Figura 655. Red Two Reservoirs 2D - REDES 2019. .......................................................................................... 246

 

Figura 656. Red Taichung 2D - REDES 2019. .................................................................................................... 246

 

Figura 657. Red Hanoi 2D - REDES 2019. ......................................................................................................... 246

 

Figura 658. Red New York Tunnels 2D - REDES 2019. ..................................................................................... 246

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

27 

 

Figura 659. Red BakRyan 2D - REDES 2019. ..................................................................................................... 246

 

Figura 660. Red Fossolo 2D - REDES 2019. ...................................................................................................... 247

 

Figura 661. Red R28 2D - REDES 2019. ............................................................................................................ 247

 

Figura 662. Red Pescara 2D - REDES 2019. ...................................................................................................... 247

 

Figura 663. Red Modena 2D - REDES 2019. ..................................................................................................... 247

 

Figura 664. Red Balerma 2D - REDES 2019. ..................................................................................................... 247

 

Figura 665. Red San Vicente 2D - REDES 2019................................................................................................. 248

 

Figura 666. Red Cazucá 2D - REDES 2019. ....................................................................................................... 248

 

Figura 667. Red Elevada 2D - REDES 2019. ...................................................................................................... 248

 

Figura 668. Red Bolívar 2D - REDES 2019. ....................................................................................................... 248

 

Figura 669. Red La Cumbre 2D - REDES 2019. ................................................................................................. 248

 

Figura 670. Red Candelaria 2D - REDES 2019. ................................................................................................. 248

 

Figura 671. Red Bugalagrande 2D - REDES 2019. ............................................................................................ 249

 

Figura 672. Red Carmen 2D - REDES 2019. ...................................................................................................... 249

 

Figura 673. Red Chinú 2D - REDES 2019. ......................................................................................................... 249

 

Figura 674. Red Sector 35 2D - REDES 2019. ................................................................................................... 249

 

Figura 675. Red La Enea 2D - REDES 2019. ...................................................................................................... 250

 

Figura 676. Curva de costos - Red Two Loops. ................................................................................................ 254

 

Figura 677. Curva de costos - Red Two Reservoirs. ......................................................................................... 254

 

Figura 678. Curva de costos - Red Taichung. ................................................................................................... 255

 

Figura 679. Curva de costos - Red Hanoi. ........................................................................................................ 255

 

Figura 680. Curva de costos - Red Blacksburg. ................................................................................................ 255

 

Figura 681. Curva de costos - Red New York Tunnels...................................................................................... 256

 

Figura 682. Curva de costos - Red BakRyan. .................................................................................................... 256

 

Figura 683. Curva de costos - Red Fossolo....................................................................................................... 257

 

Figura 684. Curva de costos - Red R28............................................................................................................. 257

 

Figura 685. Curva de costos - Red Pescara. ..................................................................................................... 258

 

Figura 686. Curva de costos - Red Modena. .................................................................................................... 258

 

Figura 687. Curva de costos - Red Balerma. .................................................................................................... 259

 

Figura 688. Curva de costos - Tuberías biaxiales en PVC. ................................................................................ 259

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

28 

 

Figura 689. Lectura de datos............................................................................................................................ 260

 

Figura 690. Definición de variables - Parte 1. .................................................................................................. 261

 

Figura 691. Definición de variables - Parte 2. .................................................................................................. 261

 

Figura 692. Definición de variables - Parte 3. .................................................................................................. 261

 

Figura 693. Trazado de la red - Parte 1. ........................................................................................................... 261

 

Figura 694. Trazado de la red - Parte 2. ........................................................................................................... 262

 

Figura 695. Trazado de la red - Parte 3. ........................................................................................................... 262

 

Figura 696. Generación de SGH - Parte 1. ....................................................................................................... 263

 

Figura 697. Generación de SGH - Parte 2. ....................................................................................................... 263

 

Figura 698. Generación SGH - Parte 3. ............................................................................................................ 263

 

Figura 699. Generación SGH - Parte 4. ............................................................................................................ 263

 

Figura 700. Generación SGH - Parte 5. ............................................................................................................ 264

 

Figura 701. Generación SGH - Parte 6. ............................................................................................................ 264

 

Figura 702. Generación SGH - Parte 7. ............................................................................................................ 264

 

Figura 703. Generación SGH - Parte 8. ............................................................................................................ 264

 

Figura 704. Generación SGH - Parte 9. ............................................................................................................ 265

 

Figura 705. Generación SGH - Parte 10. .......................................................................................................... 265

 

Figura 706. Generación SGH - Parte 11. .......................................................................................................... 266

 

Figura 707. Análisis R/S - Parte 1. .................................................................................................................... 266

 

Figura 708. Análisis R/S - Parte 2. .................................................................................................................... 267

 

Figura 709. Análisis R/S - Parte 3. .................................................................................................................... 267

 

Figura 710. Función R/S - Parte 1..................................................................................................................... 267

 

Figura 711. Función R/S - Parte 2..................................................................................................................... 267

 

Figura 712. Función R/S - Parte 3..................................................................................................................... 267

 

Figura 713. Función R/S - Parte 4..................................................................................................................... 267

 

Figura 714. Función R/S – Parte 5. ................................................................................................................... 268

 

Figura 715. Análisis fractal bidimensional - Parte 1. ........................................................................................ 268

 

Figura 716. Análisis fractal bidimensional - Parte 2. ........................................................................................ 268

 

Figura 717. Función de cálculo de masa de una caja....................................................................................... 268

 

Figura 718. Conteo de diámetros. ................................................................................................................... 270

 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Tesis de Pregrado 

29 

 

 

ÍNDICE DE TABLAS 

Tabla 1. Redes patrón. ....................................................................................................................................... 81

 

Tabla 2. Redes reales. ........................................................................................................................................ 82

 

Tabla 3. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Two Loops. ................................................................. 198

 

Tabla 4. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Two Loops. ................................................................. 198

 

Tabla 5. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Taichung. .................................................................... 198

 

Tabla 6. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Hanoi. ......................................................................... 198

 

Tabla 7. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Blacksburg. ................................................................. 198

 

Tabla 8. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red New York Tunnels. ..................................................... 198

 

Tabla 9. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red BakRyan. .................................................................... 198

 

Tabla 10. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Fossolo. .................................................................... 198

 

Tabla 11. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red R28. .......................................................................... 199

 

Tabla 12. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Pescara. .................................................................... 199

 

Tabla 13. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Modena. ................................................................... 199

 

Tabla 14. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Balerma. ................................................................... 199

 

Tabla 15. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Cazucá. ..................................................................... 199

 

Tabla 16. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Bolívar. ..................................................................... 199

 

Tabla 17. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red La Cumbre. ............................................................... 199

 

Tabla 18. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Candelaria. ............................................................... 199

 

Tabla 19. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Bugalagrande. .......................................................... 199

 

Tabla 20. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Carmen. .................................................................... 199

 

Tabla 21. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Chinú. ....................................................................... 200

 

Tabla 22. Dimensiones fractales - Altura unitaria - Red Sector 35. ................................................................. 200

 

Tabla 23. Análisis fractal bidimensional - Altura unitaria - Red La Enea. ........................................................ 200

 

Tabla 24. Alturas de caja por tanteo. ............................................................................................................... 201

 

Tabla 25. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Two Loops. .......................................................... 202

 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

30 

 

Tabla 26. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Reservoirs. ........................................................... 202

 

Tabla 27. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Taichung. ............................................................. 202

 

Tabla 28. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Hanoi. .................................................................. 202

 

Tabla 29. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Blacksburg. .......................................................... 202

 

Tabla 30. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Fossolo. ............................................................... 202

 

Tabla 31. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red R28. ..................................................................... 202

 

Tabla 32. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Pescara. ............................................................... 202

 

Tabla 33. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Modena. .............................................................. 203

 

Tabla 34. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Balerma. .............................................................. 203

 

Tabla 35. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red San Vicente. ......................................................... 203

 

Tabla 36. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Cazucá. ................................................................ 203

 

Tabla 37. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Elevada. ............................................................... 203

 

Tabla 38. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Bolívar. ................................................................ 203

 

Tabla 39. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red La Cumbre. .......................................................... 203

 

Tabla 40. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Candelaria. .......................................................... 203

 

Tabla 41. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Bugalagrande. ..................................................... 204

 

Tabla 42. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Carmen. ............................................................... 204

 

Tabla 43. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red Chinú. .................................................................. 204

 

Tabla 44. Dimensiones fractales - Altura por tanteo - Red La Enea. ............................................................... 204

 

Tabla 45. Comparación de dimensiones fractales. .......................................................................................... 225

 

Tabla 46. Comportamiento fractal de la SOP - Altura unitaria. ....................................................................... 231

 

Tabla 47. Comportamiento fractal de la SOP - Altura por tanteo. .................................................................. 231

 

Tabla 48. Diámetros y costos unitarios - Red Two Loops. Adaptado de Keedwell y Khu (2006). ................... 251

 

Tabla 49. Diámetros y costos unitarios - Red Two Reservoirs. ........................................................................ 251

 

Tabla 50. Diámetros y costos unitarios - Red Taichung. Adaptado de Sung et. al. (2007). ............................. 251

 

Tabla 51. Diámetros y costos unitarios - Red Hanoi. Adaptado de Beygi et. al. (2014). ................................. 251

 

Tabla 52. Diámetros y costos unitarios - Red Blacksburg. Adaptado de University of Exeter (s.f). ................ 251

 

Tabla 53. Diámetros y costos unitarios - Red New York Tunnels. Adaptado de University of Exeter (s.f.). ... 251

 

Tabla 54. Diámetros y costos unitarios - Red BakRyan. Adaptado de Lee y Lee (2001).................................. 252

 

Tabla 55. Diámetros y costos unitarios - Red Fossolo. Adaptado de University of Exeter (s.f.). .................... 252

 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

31 

 

Tabla 56. Diámetros y costos unitarios - Red R28. Adaptado de Saldarriaga (2016). ..................................... 252

 

Tabla 57. Diámetros y costos unitarios - Red Pescara. Adaptado de University of Exeter (s.f.). .................... 252

 

Tabla 58. Diámetros y costos unitarios - Red Modena. Adaptado de University of Exeter (s.f.) .................... 252

 

Tabla 59. Diámetros y costos unitarios - Red Balerma. Adaptado de University of Exeter (s.f.). ................... 252

 

Tabla 60. Diámetros y costos unitarios - Red Exnet. ....................................................................................... 253

 

Tabla 61. Diámetros comerciales - Tuberías biaxiales en PVC. Adaptado de PAVCO Wavin, S.A (2019). ....... 253

 

Tabla 62. Costos - Diseños - Parte 1. ................................................................................................................ 269

 

Tabla 63. Costos - Diseños - Parte 2. ................................................................................................................ 269

 

Tabla 64. Costos - Diseños - Parte 3. ................................................................................................................ 270

 

Tabla 65. Diámetros de diseño - Red Two Loops. ............................................................................................ 271

 

Tabla 66. Diámetros de diseño - Red Two Reservoirs. .................................................................................... 271

 

Tabla 67. Diámetros de diseño - Red Taichung. .............................................................................................. 272

 

Tabla 68. Diámetros de diseño - Red Hanoi..................................................................................................... 272

 

Tabla 69. Diámetros de diseño - Red Blacksburg............................................................................................. 273

 

Tabla 70. Diámetros de diseño - Red New York Tunnels. ................................................................................ 273

 

Tabla 71. Diámetros de diseño - Red BakRyan. ............................................................................................... 273

 

Tabla 72. Diámetros de diseño - Red Fossolo. ................................................................................................. 274

 

Tabla 73. Diámetros de diseño - Red R28. ....................................................................................................... 274

 

Tabla 74. Diámetros de diseño - Red Pescara.................................................................................................. 274

 

Tabla 75. Diámetros de diseño - Red Modena. ............................................................................................... 275

 

Tabla 76. Diámetros de diseño - Red Balerma................................................................................................. 275

 

Tabla 77. Diámetros de diseño - Red San Vicente. .......................................................................................... 275

 

Tabla 78. Diámetros de diseño - Red Cazucá. .................................................................................................. 276

 

Tabla 79. Diámetros de diseño - Red Elevada. ................................................................................................ 276

 

Tabla 80. Diámetros de diseño - Red Bolívar. .................................................................................................. 276

 

Tabla 81. Diámetros de diseño - Red La Cumbre. ............................................................................................ 277

 

Tabla 82. Diámetros de diseño - Red Candelaria. ............................................................................................ 277

 

Tabla 83. Diámetros de diseño - Red Bugalagrande. ....................................................................................... 277

 

Tabla 84. Diámetros de diseño - Red Carmen. ................................................................................................ 278

 

Tabla 85. Diámetros de diseño - Red Chinú. .................................................................................................... 278

 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Tesis de Pregrado 

32 

 

Tabla 86. Diámetros de diseño - Red Sector 35. .............................................................................................. 278

 

Tabla 87. Diámetros de diseño - Red La Enea. ................................................................................................. 279

 

 

 

 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Tesis de Pregrado 

33 

 

 

ÍNDICE DE ECUACIONES 

Ecuación 1. Ley de viscosidad de Newton. ........................................................................................................ 39

 

Ecuación 2. Viscosidad cinemática de un fluido. ............................................................................................... 39

 

Ecuación 3. Ecuación general de conservación para un volumen de control fijo y no deformable. ................ 39

 

Ecuación 4. Ecuación de conservación de la masa para flujo a presión en tuberías circulares. ....................... 40

 

Ecuación 5. Ecuación de Bernoulli. .................................................................................................................... 40

 

Ecuación 6. Número de Reynolds para flujo en tuberías a presión. .................................................................. 41

 

Ecuación 7. Pérdidas menores en una tubería. ................................................................................................. 43

 

Ecuación 8. Ecuación de Darcy-Weisbach. ........................................................................................................ 43

 

Ecuación 9. Factor de fricción para régimen de flujo laminar. .......................................................................... 43

 

Ecuación 10. Ecuación de Colebrook-White para el factor de fricción. ............................................................ 43

 

Ecuación 11. Ecuación para la velocidad media en flujo turbulento. ................................................................ 44

 

Ecuación 12. Ecuación de Hazen-Williams......................................................................................................... 44

 

Ecuación 13. Pérdidas por fricción según la Ecuación de Hazen-Williams. ....................................................... 44

 

Ecuación 14. Coeficiente de Hazen-Williams a la luz de la ecuación de Darcy-Weisbach. ............................... 44

 

Ecuación 15. Restricción de continuidad en el nudo i. ...................................................................................... 45

 

Ecuación 16. Pérdidas de energía en un tubo. .................................................................................................. 45

 

Ecuación 17. Restricción de energía en el circuito i........................................................................................... 46

 

Ecuación 18. Relación no lineal entre el caudal de flujo y las pérdidas por fricción. ........................................ 46

 

Ecuación 19. Caudal por la tubería ij. ................................................................................................................ 46

 

Ecuación 20. Ecuación de altura piezométrica en el nudo i. ............................................................................. 47

 

Ecuación 21. Ecuación de flujo en el circuito i. .................................................................................................. 47

 

Ecuación 22. Relación polinomial entre la cabeza disponible y el caudal de flujo. ........................................... 47

 

Ecuación 23. Vector solución para las alturas piezométricas en los nodos en una iteración k+1. ................... 49

 

Ecuación 24. Vector solución para los caudales en las tuberías en una iteración k+1...................................... 49

 

Ecuación 25. Sistema de ecuaciones lineales para las alturas piezométricas desconocidas. ........................... 49

 

 

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Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Tesis de Pregrado 

34 

 

Ecuación 26. Restricción de presión mínima. .................................................................................................... 51

 

Ecuación 27. Restricción de diámetros comerciales.......................................................................................... 51

 

Ecuación 28. Función de costos. ........................................................................................................................ 52

 

Ecuación 29. Centroide de demandas en metodología LOGH........................................................................... 53

 

Ecuación 30. Coeficiente de uniformidad en metodología LOGH. .................................................................... 53

 

Ecuación 31. Ecuación cuadrática de la flecha óptima. ..................................................................................... 53

 

Ecuación 32. Flecha óptima corregida según el exponente de la función de costos. ....................................... 54

 

Ecuación 33. Flecha óptima corregida según la relación Q

2

/L

3

. ........................................................................ 54

 

Ecuación 34. Línea óptima del gradiente hidráulico.......................................................................................... 54

 

Ecuación 35. Pérdidas objetivo en el tramo ij. .................................................................................................. 54

 

Ecuación 36. Distancia topológica mínima entre la fuente y un nodo. ............................................................. 57

 

Ecuación 37. LGH ideal mínima para la ruta al sumidero i. ............................................................................... 58

 

Ecuación 38. LGH ideal máxima para la ruta al sumidero i. .............................................................................. 58

 

Ecuación 39. Ecuación LOGH para una red cerrada. ......................................................................................... 58

 

Ecuación 40. Dimensión de Hausdorff-Besicovitch. .......................................................................................... 73

 

Ecuación 41. Medición de fractales mediante una ley de potencias. ............................................................... 73

 

Ecuación 42. Estimación de la dimensión fractal mediante ley de potencias. .................................................. 74

 

Ecuación 43. Peso según la topología del sistema............................................................................................. 75

 

Ecuación 44. Peso según el caudal..................................................................................................................... 75

 

Ecuación 45. Peso según el producto del caudal y la altura piezométrica. ....................................................... 75

 

Ecuación 46. Dimensión fractal a partir del exponente de Hurst. ..................................................................... 77

 

Ecuación 47. Media de la serie de tiempo. ........................................................................................................ 77

 

Ecuación 48. Serie de tiempo ajustada por la media......................................................................................... 77

 

Ecuación 49. Serie acumulativa. ........................................................................................................................ 77

 

Ecuación 50. Serie de rangos. ............................................................................................................................ 77

 

Ecuación 51. Desviación estándar de la serie de tiempo. ................................................................................. 78

 

Ecuación 52. Serie de rangos escalados............................................................................................................. 78

 

Ecuación 53. Función de probabilidad para cajas de lado R y masa M. ............................................................ 79

 

Ecuación 54. q-ésimo momento estadístico de la función Q. ........................................................................... 79

 

Ecuación 55. Análisis de la lagunaridad a una escala R. .................................................................................... 79

 

 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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35 

 

Ecuación 56. Masa de una caja de tamaño R. ................................................................................................... 80

 

Ecuación 57. Ecuación vectorial de la recta en el decaimiento de la LGH. ....................................................... 89

 

 

 

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Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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36 

 

1  INTRODUCCIÓN 

El diseño optimizado de las redes de distribución de agua potable (RDAPs) consiste en la búsqueda 
de la configuración de diámetros comerciales que permite reducir al mínimo los costos del sistema 
de tuberías, verificando que en cada uno de los nodos se obtenga la presión mínima que garantiza 
un correcto funcionamiento de la red (Saldarriaga, 2016). Actualmente, el diseño optimizado ha 
adquirido relevancia a nivel de la toma de decisiones, dado que el factor económico se constituye 
como un aspecto importante a la hora de construir sistemas hidráulicos. De esta manera, reducir 
los costos implica grandes ventajas en el mercado y en la viabilidad de obras civiles que mejoran la 
cobertura  en  saneamiento  básico  y  acueducto.  Algunos  métodos  modernos  de  optimización 
empleados  para  resolver  el  problema  son:  los  Algoritmos  Genéticos  (AG),  la  Programación  por 
Restricciones  (PR),  la  Superficie  Óptima  de  Gradiente  Hidráulico  (SOGH)  y  la  metodología  de  la 
Superficie de Uso Óptimo de Potencia (OPUS). Tanto SOGH como OPUS suponen la existencia de 
una superficie tridimensional discontinua conformada por las alturas piezométricas de cada nodo 
que  garantizan  el  mínimo  costo,  denominada  la  Superficie  Óptima  de  Presiones  (SOP).  Se  ha 
demostrado  que  dichos  métodos  permiten  obtener  resultados  satisfactorios  con  menor  gasto 
computacional. 

Por otra parte, la geometría fractal se ha establecido como una opción viable para el análisis de 
superficies  comúnmente  encontradas  en  la  naturaleza,  donde  la  irregularidad,  fragmentación  y 
escabrosidad impiden aplicar los postulados de la geometría euclídea (Quintero y Ruíz, 2011). En 
efecto,  asumir  las  formas  naturales  como  campos  fractales  permite  estudiar  aquellos  aspectos 
geométricos que son invariantes con el cambio de escala (Quintero y Ruíz, 2011). Específicamente, 
se considera el estudio de la dimensión fractal, el exponente de Hurst y la lagunaridad, entidades 
matemáticas que describen la rugosidad, persistencia y heterogeneidad de los fractales. Diversos 
trabajos de investigación han sido enfocados al estudio de la fractalidad de superficies naturales o 
fenómenos en el ámbito de la ingeniería. No obstante, para la Superficie Óptima de Presiones no 
se  ha  realizado  algún  estudio  similar.  En  los  apartados  subsecuentes  se  planteará  el  diseño 
optimizado  de  diferentes  RDAPs  mediante  la  metodología  OPUS  y,  al  obtener  las  SOPs,  se 
empleará la modelación numérica para desarrollar un análisis de la geometría fractal a nivel de la 
red y la superficie de alturas piezométricas. De esta manera, se espera identificar patrones en el 
comportamiento  de  la  fractalidad  de  las  SOPs,  a  modo  que  se  permita  utilizar  las  propiedades 
matemáticas de la superficie como herramienta para  orientar los procesos existentes de diseño 
optimizado. 

 

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Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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37 

 

2  OBJETIVOS 

2.1.1  Objetivo General 

•  Analizar las propiedades fractales de la Superficie Óptima de Presiones (SOP). 

2.1.2  Objetivos Específicos 

•  Implementar  en  el  software  REDES  diferentes  redes  patrón  y  reales,  incluyendo  sus 

características  topológicas,  hidráulicas,  de  costos  y  restricciones  de  presión  mínima  y 
diámetros comerciales disponibles. 

•  Generar el diseño optimizado de las RDAPs implementadas en REDES mediante el método 

OPUS. 

•  Aplicar  algoritmos  de  Programación  por  Restricciones  (PR)  para  efectuar  el  redondeo 

optimizado  de  diámetros  comerciales  sobre  los  diseños  resultantes  de  la  metodología 
OPUS. 

•  Construir  la  Superficie  Óptima  de  Presiones  (SOP)  de  las  redes  evaluadas  mediante 

modelación computacional en el software REDES y MATLAB. 

•  Aplicar una rutina de análisis de rango reescalado (R/S) para estimar la dimensión fractal 

sobre  diversos  cortes  en  las  Superficies  Óptimas  de  Presiones  empleando  el  software 
MATLAB. 

•  Desarrollar un algoritmo de análisis de la fractalidad de las SOPs integrando el concepto de 

lagunaridad mediante el uso de MATLAB y ArcGIS. 

•  Caracterizar la escabrosidad, persistencia y heterogeneidad de las SOPs calculadas. 
•  Establecer una comparación entre la fractalidad de las redes y de las SOPs estimadas. 
•  Investigar la relevancia del análisis fractal en el diseño optimizado de redes de distribución 

de agua potable. 

 

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38 

 

3  MARCO TEÓRICO 

 

3.1  Conceptos de mecánica de fluidos 

3.1.1  Propiedades del agua 

De manera preliminar, se conoce que un fluido es toda aquella sustancia que bajo la influencia de 
cualquier esfuerzo cortante se deformará de manera continua en el espacio (White, 2008). Dichas 
deformaciones se caracterizan como movimientos relativos de las capas del fluido con respecto a 
un  contorno  sólido,  fenómeno  denominado  como  flujo  (Saldarriaga,  2016).  Todo  compuesto  en 
fase líquida o gaseosa se enmarca en la anterior descripción (Fox y McDonald, 1995). Ahora bien, 
en el contexto de la ingeniería civil, el fluido agua es tal vez el de mayor relevancia considerando 
sus implicaciones a nivel de saneamiento básico y abastecimiento.  

La densidad se define como la masa contenida por unidad de volumen

 

(Cengel y Cimbala, 2006).  

Actualmente, se conoce que su valor puede verse afectado por las fluctuaciones de temperatura y 
presión. En el primer caso, la afectación se manifiesta en la forma como se modifica el arreglo de 
moléculas según los  fenómenos físicos de dilatación  (Cengel y Cimbala, 2006). Por su  parte, los 
cambios  en  la  presión  suponen  modificaciones  en  el  volumen  acorde  a  la  compresibilidad  del 
fluido (Fox y McDonald, 1995). Dada la suposición de incompresibilidad y temperatura constante, 
en  la  modelación  de  las  redes  de  distribución  se  asumirá  que  ninguno  de  los  efectos  es 
significativo. Como consecuencia se trabajará con un  único valor de densidad en el análisis físico 
de los sistemas. 

Por otra parte, se encuentra la viscosidad. Esta propiedad refleja la velocidad de deformación de 
un fluido cuando se le aplica un esfuerzo cortante dado, obteniéndose una medida cuantitativa de 
la resistencia del fluido al movimiento (White, 2008). La viscosidad en los líquidos se define según 
las fuerzas de cohesión presentes dentro de la estructura molecular (Streeter et. al., 2000). Para el 
caso  del  agua  se  conoce  que  la  relación  entre  el  esfuerzo  cortante  y  la  tasa  (velocidad)  de 
deformación  es  directamente  proporcional  para  el  caso  de  flujo  laminar,  razón  por  la  cual  se 
enmarca  como  un  fluido  newtoniano  (Fox  y  McDonald,  1995).  En  este  caso,  dicha  relación  se 
caracteriza según la presencia de una constante de proporcionalidad definida como la viscosidad 
dinámica (Cengel y Cimbala, 2006). La descripción anterior puede expresarse correctamente según 
la ley de viscosidad de Newton, donde las variaciones de velocidad perpendiculares a un campo de 
flujo paralelo imprimen esfuerzos cortantes al inducir aceleraciones entre los paquetes de fluido 
que viajan a velocidades diferentes (Shames, 1995). 

 

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39 

 

𝜏 = 𝜇

𝑑𝑣
𝑑𝑦

 

Ecuación 1. Ley de viscosidad de Newton. 

Dónde: 
𝜏[𝑃𝑎]

: Esfuerzo cortante.

   

𝜇[𝑃𝑎 ∗ 𝑠]

: Viscosidad dinámica.

 

𝑑𝑣/𝑑𝑦[1/𝑠]

:

 

Gradiente de velocidad vertical. 

 

Una  manera  alternativa  de  caracterizar  la  viscosidad  de  un  fluido  es  a  partir  de  la  viscosidad 
cinemática. Por definición, esta se determina como el cociente entre la viscosidad dinámica y la 
densidad del fluido como se expresa a continuación (Cengel y Cimbala, 2006): 

𝜈 =

𝜇
𝜌

 

Ecuación 2. Viscosidad cinemática de un fluido. 

Dónde: 
𝜈[𝑚

2

/𝑠]

: Viscosidad cinemática.

 

 

𝜇[𝑃𝑎 ∗ 𝑠]

: Viscosidad dinámica.

 

𝜌[𝑘𝑔/𝑚

3

]

:

 

Densidad. 

3.1.2  Principio de conservación de la masa 

El primer principio aplicable a los sistemas de tuberías es el principio de conservación de la masa. 
De manera general, se establece que, para cualquier volumen  de control, la masa permanecerá 
constante  siempre  y  cuando  la  tasa  de  entrada  y  salida  sean  iguales,  es  decir,  que  no  exista 
acumulación  (Fox  y  McDonald,  1995).  Adicionalmente,  considerando  que  la  masa  es  una 
propiedad extensiva, es posible aplicar la ecuación integral de conservación para un volumen de 
control no deformable acorde al Teorema de Transporte de Reynolds (Streeter et. al. 2000).  

𝑑𝑁

𝑑𝑡

=

𝜕

𝜕𝑡

∫ 𝜂𝜌𝑑𝑉

.

𝑉𝐶

+ ∫ 𝜂𝜌𝑣⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗

.

𝑆𝐶

 

Ecuación 3. Ecuación general de conservación para un volumen de control fijo y no deformable. 

Dónde: 
𝑁[−]

: Propiedad extensiva.

   

𝑡[𝑠]

: Tiempo.

 

𝜂[𝑚

3

/𝑠]

:

 

Cantidad de 𝑁 por unidad de masa.       𝜌[𝑘𝑔/𝑚

3

]

:

 

Densidad. 

𝑉[𝑚

3

]

: Volumen.   

 

𝑣⃗

[𝑚/𝑠]

: Vector velocidad.  𝐴⃗[𝑚

2

]:

 

Vector de área transversal. 

 

La Ecuación 3 se puede simplificar a la luz de las siguientes afirmaciones: 

•  Para las redes de distribución no se contemplará acumulación. 
•  Se asumirá al agua como fluido incompresible (Fox y McDonald, 1995). 
•  Los  volúmenes  de  control  no  se  deformarán.  El  cambio  del  volumen  con  respecto  al 

tiempo es nulo. 

•  El cálculo de los caudales implica suponer el desarrollo de flujo uniforme a lo largo de la 

sección transversal de la tubería. La velocidad adquiere un valor constante representado 
por el valor medio (Fox y McDonald, 1995).  

 

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40 

 

∑

𝑣̅𝐴

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

= ∑ 𝑣̅𝐴

𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠

 

∑

𝑄

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

= ∑ 𝑄

𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠

 

Ecuación 4. Ecuación de conservación de la masa para flujo a presión en tuberías circulares. 

Dónde: 
𝑣̅[𝑚/𝑠]

: Velocidad media.

   

𝐴[𝑚

2

]

: Área transversal.

 

𝑄[𝑚

3

/𝑠]

:

 

Caudal. 

3.1.3  Principio de conservación de la energía 

El segundo principio de conservación relevante corresponde a la conservación de la energía. Este 
fenómeno se describe a partir de la Ecuación de Bernoulli, donde se sugiere la existencia de tres 
formas de energía por unidad de peso intercambiables entre sí: la energía potencial por presión, la 
energía potencial por posición y la energía cinética del flujo (White, 2008).  

𝑝

𝜌𝑔

+

𝑣

2

2𝑔

+ 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒

 

Ecuación 5. Ecuación de Bernoulli. 

Dónde: 
𝑝[𝑃𝑎]

: Presión.

   

𝜌[𝑘𝑔/𝑚

3

]

:

 

Densidad.

 

𝑔[𝑚/𝑠

2

]

:

 

Gravedad. 

𝑣[𝑚/𝑠]

:

 

Velocidad. 

𝑧[𝑚]

:

 

Altura 

con respecto al datum. 
 

No  obstante,  es  importante  recalcar  que  la  aplicación  de  la  Ecuación  5  debe  garantizar  el 
cumplimiento de las siguientes afirmaciones: 

•  Los  efectos  viscosos  deben  ser  suficientemente  pequeños  a  comparación  de  los  efectos 

inerciales, gravitacionales y de presión (Cengel y Cimbala, 2006). Si se requiere incluir las 
pérdidas por fricción, se debe contemplar un término adicional (Saldarriaga, 2016). 

•  El  flujo  debe  ser  permanente  (White,  2008).  La  componente  local  de  la  aceleración  se 

puede despreciar. 

•  El fluido debe asumirse como incompresible (White, 2008). Particularmente cierto para el 

agua líquida (Fox y McDonald, 1995).  

•  Los puntos de análisis deben encontrarse conectados por una línea de corriente (White, 

2008). 

 

 

 

 

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3.2  Conceptos de hidráulica de tuberías 

3.2.1  Regímenes de flujo 

A partir de los resultados del primer experimento de Reynolds fue posible describir la existencia de 
tres regímenes de flujo según la relación entre las fuerzas viscosas e inerciales sobre algún punto 
en una línea de corriente (Saldarriaga, 2016). Dicha descripción fue realizada según el número de 
Reynolds. A partir de la similitud dinámica en mecánica de fluidos, se conoce que para condiciones 
análogas de velocidad y geometría en dos campos de flujo similares se puede plantear triángulos 
semejantes  para  las  fuerzas  relevantes  (Saldarriaga,  2016).  Para  el  caso  de  flujo  en  tuberías, 
priman las fuerzas viscosas (FV), de presión (FP) y las inerciales (FI). Así pues, se puede establecer 
la siguiente relación geométrica para dos flujos similares: 

 

Figura 1. Flujos similares. 

 

𝐹𝐼

𝐴

𝐹𝑉

𝐴

=

𝐹𝐼

𝐴′

𝐹𝑉

𝐴′

 

𝑅𝑒

𝐴

= 𝑅𝑒

𝐴′

 

Las  fuerzas  inerciales  hacen  referencia  a  la  resistencia  que  presenta  el  fluido  al  cambiar  su 
velocidad (NASA, s.f.). Se sabe que dichas fuerzas deben relacionarse con el producto de la masa 
por la aceleración según la segunda  ley de Newton  (Tesar, 2001).  Por su parte, para las  fuerzas 
viscosas se conoce que son proporcionales al esfuerzo cortante multiplicado por el área en el que 
actúa,  siendo  posible  describir  el  esfuerzo  como  se  estipula  en  la  Ecuación  1  (Tesar,  2001).  Al 
desarrollar  el  cociente  de  la  relación  de  triángulos  semejantes  se  encuentra  la  expresión 
adimensional  conocida  como  el  número  de  Reynolds.  Para  el  flujo  en  tuberías  dicha  entidad  se 
describe como se estipula en la Ecuación 2. 

𝑅𝑒 =

𝑣𝑑

𝜈

 

Ecuación 6. Número de Reynolds para flujo en tuberías a presión. 

Dónde: 
𝑅𝑒[−]

: Número de Reynolds.

 

𝑣[𝑚/𝑠]

:

 

Velocidad.

 

𝑑[𝑚]

:

 

Diámetro.  𝜈[𝑚

2

/𝑠]

: Viscosidad cinemática. 

 

 

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42 

 

La  semejanza  de  triángulos  estipulada  en  la  Figura  1  demuestra  que,  para  condiciones  de  flujo 
similares, el número de Reynolds debería ser igual. Lo anterior sugiere que el flujo en cualquier red 
de tuberías debe estar gobernado por fuerzas similares (Saldarriaga, 2016). Adicionalmente, según 
Reynolds  (1883),  la  expresión  adimensional  permite  caracterizar  la  aparición  de  los  remolinos 
(“eddies”) para ciertos valores límite de caudal, lo cual conlleva a la descripción teórica de los tres 
regímenes de flujo: laminar, transicional y turbulento.  

El flujo laminar se caracteriza por patrones macroscópicos ordenados en el que las capas de fluido 
se deslizan unas sobre otras sin intercambio másico significativo entre ellas (Shames, 1995). Dado 
que  el  flujo  laminar  implica  un  comportamiento  de  flujo  en  líneas  aproximadamente  rectas  y 
paralelas,  es  posible  aplicar  la  ley  de  viscosidad  de  Newton  como  se  estipula  en  la  Ecuación  1 
(Shames, 1995). Según Bird et. al. (2002), este comportamiento es característico en números de 
Reynolds cercanos o inferiores a 2100 para el caso de tuberías circulares. Los valores pequeños en 
el número de Reynolds se explican considerando que las fuerzas viscosas, al sobreponerse sobre 
las inerciales, atenúan las inestabilidades surgidas por el movimiento relativo entre capas de fluido 
(Streeter  et.  al.,  2000).  En  contraparte,  el  flujo  turbulento  se  caracteriza  por  un  movimiento 
errático con intercambio másico importante (Streeter et. al., 2000). En efecto, jamás se tiene un 
vector  velocidad  definido  para  el  campo  de  flujo,  resultando  así  en  el  uso  de  una  velocidad 
promedio  (Saldarriaga,  2016).  De  manera  opuesta  al  flujo  laminar,  se  tendrán  números  de 
Reynolds altos que reflejan una dominancia de las fuerzas inerciales que tienden a desestabilizar y 
desordenar el flujo. Según Saldarriaga (2016), la turbulencia se materializa a partir de números de 
Reynolds  cercanos  a  4500.  Cabe  resaltar  que  la  Ecuación  1  se  invalida  bajo  estas  condiciones. 
Finalmente,  entre  ambos  límites  se  tiene  un  comportamiento  transicional  con  algunas 
ondulaciones  manifiestas  (Saldarriaga,  2016).  Este  último  régimen  ha  sido  caracterizado 
experimentalmente, más que a nivel teórico debido a su complejidad.  

3.2.2  Pérdidas de energía en una tubería 

El  flujo  al  interior  de  una  tubería  conlleva  procesos  de  transformación  de  energía  mecánica  en 
calor  (Rennels  y  Hudson,  2012).  Dicha  disipación  se  explica  bien  sea  a  partir  del  rozamiento 
generado por la interacción del flujo y la pared sólida,  denominadas las  pérdidas por fricción, o 
según los fenómenos de turbulencia inducida por los accesorios y otros elementos, denominadas 
las  pérdidas  menores  (Rennels  y  Hudson,  2012).  Los  cambios  en  la  energía  se  reflejan  en 
disminuciones  sobre  las  cabezas  de  energía  potencial  por  presión  y  posición  (White,  2008).  En 
efecto,  dado  que  la  línea  del  gradiente  hidráulico  (LGH)  refleja  la  sumatoria  de  las  cabezas  de 
energía potencial por presión y posición, es de esperar que las pérdidas hidráulicas se traduzcan 
en un comportamiento decreciente y gradual para los efectos de la fricción y repentinas para el 
caso  de  las  pérdidas  menores  (U.S.  Army  Corps  of  Engineers,  1957).  Las  pérdidas  menores 
usualmente  se  expresan  como  el  producto entre  un coeficiente  característico  del  accesorio  y  la 
cabeza de velocidad (Stephenson, 1989): 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

43 

 

∑ ℎ

𝑚

= ∑ 𝑘

𝑚

∗

𝑣

2

2𝑔

 

Ecuación 7. Pérdidas menores en una tubería. 

Dónde: 
𝑣[𝑚/𝑠]

: Velocidad media.

 

𝑔[𝑚/𝑠

2

]

:

 

Gravedad.

 

𝑘

𝑚

[−]

:

 

Coeficiente de pérdidas menores. 

 

Por su parte, las pérdidas por fricción se caracterizan a partir de la ecuación de Darcy-Weisbach, 
que surge como resultado de un análisis dimensional combinado con la aplicación de las leyes de 
Newton  (Brown,  2002).  Dado  su  origen,  la  ecuación  se  establece  como  una  relación 
dimensionalmente consistente y físicamente basada. A partir de la aplicación del teorema de Pi-
Buckingham se determina la relación estipulada a continuación (Shames, 1995): 

ℎ

𝑓

= 𝑓

𝑙

𝑑

𝑣

2

2𝑔

 

Ecuación 8. Ecuación de Darcy-Weisbach. 

Dónde: 
ℎ

𝑓

[𝑚]

: Pérdidas por fricción.

     

𝑓[−]

: Factor de fricción de Darcy.

 

𝑙[𝑚]

:

 

Longitud. 

𝑑[𝑚]

:

 

Diámetro.                   

𝑣[𝑚/𝑠]

: Velocidad de flujo.       𝑔[𝑚/𝑠

2

]

:

 

Gravedad. 

 

La  cantidad  𝑓  se  conoce  como  el  factor  de  fricción.  Esta  variable  adimensional  depende  del 
número de Reynolds y la rugosidad relativa de la tubería (Saldarriaga, 2016). Para el caso de flujo 
laminar,  el  factor  de  fricción  se  deduce  a  partir  de  la  ecuación  de  Hagen-Poiseuille,  donde  se 
materializa  un  predominio  del  número  de  Reynolds  sobre  la  caracterización  de  𝑓  (Saldarriaga, 
2016).  Por  su  parte,  para  el  cálculo  del  factor  de  fricción  en  régimen  turbulento  se  requieren 
aproximaciones experimentales acordes a la teoría de la capa límite desarrollada por Prandtl, los 
aportes  de  Von  Kárman,  el  desarrollo  de  los  diagramas  de  Nikuradse-Moody  y  los  trabajos  de 
Colebrook  y  White  (Saldarriaga,  2016).  La  Ecuación  10  combina  los  casos  para  flujo 
hidráulicamente  liso  y  rugoso,  por  lo  que  se  afirma  que  es  válida  para  la  totalidad  del  rango 
turbulento. 

𝑓 =

64
𝑅𝑒

 

Ecuación 9. Factor de fricción para régimen de flujo laminar. 

1

√𝑓

= −2 log

10

(

𝑘

𝑠

3.7𝑑

+

2.51

𝑅𝑒√𝑓

)

 

Ecuación 10. Ecuación de Colebrook-White para el factor de fricción. 

Dónde: 
𝑓[−]

: Factor de fricción de Darcy.

 

𝑅𝑒[−]

:

 

Número de Reynolds.        𝑘

𝑠

[𝑚]: Rugosidad absoluta.    𝑑[𝑚]:

 

Diámetro. 

 

 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

44 

 

Finalmente,  combinando  la  Ecuación  6,  la  Ecuación  8  y  la  Ecuación  10  se  obtiene  una  ecuación 
explícita de la velocidad aplicable para todo el rango turbulento (Saldarriaga, 2016).  

𝑣 = −

2√2𝑔𝑑ℎ

𝑓

√𝑙

 log

10

(

𝑘

𝑠

3.7𝑑

+

2.51𝜈√𝑙

𝑑√2𝑔𝑑ℎ

𝑓

)

 

Ecuación 11. Ecuación para la velocidad media en flujo turbulento. 

Dónde: 
𝑣[𝑚/𝑠]

: Velocidad de flujo.    𝑔[𝑚/𝑠

2

]

:

 

Gravedad.     𝑑[𝑚]:

 

Diámetro.     ℎ

𝑓

[𝑚]

: Pérdidas por fricción.

    

𝑙[𝑚]

: Longitud. 

𝑘

𝑠

[𝑚]: Rugosidad absoluta.    𝜈[𝑚

2

/𝑠]

: Viscosidad cinemática.     

 

Dado que la ecuación de Colebrook-White requiere de la aplicación de métodos numéricos para 
obtener el factor de fricción, su uso resultaba tedioso en la época previa a la popularización de los 
computadores (Saldarriaga, 2016). Como consecuencia, surgieron diversas expresiones empíricas 
que simplificaban el cálculo de las pérdidas hidráulicas. Una de las más relevantes es la ecuación 
de  Hazen-Williams,  cuya  ventaja  radica  en  ser  explícita  con  respecto  a  la  velocidad.  Según  Liou 
(1998), para unidades del sistema internacional, la  fórmula de  Hazen-Williams se expresa como 
sigue: 

𝑣 = 0.849𝐶𝑅

0.63

𝑆

0.54

 

Ecuación 12. Ecuación de Hazen-Williams. 

Dónde: 
𝑣[𝑚/𝑠]

: Velocidad de flujo.

 

𝐶[−]

:

 

Coeficiente de Hazen-Williams.  𝑅[𝑚]: Radio hidráulico.  𝑆[−]:

 

Pendiente de fricción. 

 

Según  las  manipulaciones  algebraicas  propuestas  por  Diskin  (1960)  y  Liou  (1998)  es  posible 
determinar expresiones para las pérdidas por fricción (Ecuación 13) y el coeficiente  𝐶

 

(Ecuación 

14).  

ℎ

𝑓

=

6.82𝐿

𝐶

1.85

𝑑

1.17

𝑣

1.851

 

Ecuación 13. Pérdidas por fricción según la Ecuación de Hazen-Williams. 

𝐶 =

14.09

𝑓

0.54

𝑑

0.009

𝜈

0.081

𝑅𝑒

0.081

 

Ecuación 14. Coeficiente de Hazen-Williams a la luz de la ecuación de Darcy-Weisbach. 

Dónde: 
𝑣[𝑚/𝑠]

: Velocidad de flujo.

 

𝐶[−]

:

 

Coeficiente de Hazen-Williams.  𝑅[𝑚]: Radio hidráulico.  𝑆[−]:

 

Pendiente de fricción. 

𝑓[−]

: Factor de fricción de Darcy.    𝑑[𝑚]:

 

Diámetro.   𝜈[𝑚

2

/𝑠]

: Viscosidad cinemática.   𝑅𝑒[−]: Número de Reynolds. 

 

La  Ecuación  14  sugiere  que  el  coeficiente  de  Hazen-Williams  depende  no  solo  del  ducto,  sino 
también  de  las  características  del  fluido  y  el  flujo  (Liou,  1998).  Dadas  las  condiciones 
experimentales  de  donde  se  obtuvo  la  ecuación,  existen  ciertas  limitaciones  que  deben 

 

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Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

45 

 

considerarse  antes  de  aplicarla  en  el  contexto  de  la  hidráulica  de  tuberías  (Liou,  1998).    Según 
Saldarriaga (2016), la ecuación de Hazen-Williams es aplicable siempre y cuando se cumplan las 
siguientes restricciones: el fluido debe ser agua a temperaturas normales (~15°C), el diámetro de 
la tubería debe ser superior o igual a tres pulgadas y la velocidad de flujo no puede sobrepasar 3 
m/s.  

3.2.3  Método del gradiente en redes cerradas 

En general, el trazado de las redes de distribución de agua potable contempla la conformación de 
circuitos o “loops” en la medida que intentan ajustarse a la disposición cuadricular de las calles y 
avenidas  de  una  ciudad.  Este  tipo  de  sistemas  de  tuberías  se  denominan  redes  cerradas 
(Saldarriaga, 2016). A lo largo de los últimos dos siglos se han estipulado diversos métodos que 
permiten calcular las condiciones hidráulicas de dichos sistemas (caudales, alturas piezométricas y 
pérdidas de energía); no obstante, por sus ventajas a nivel computacional, el método del gradiente 
se constituye como el más exitoso (Salgado et. al., 1987).  

De acuerdo con el supuesto de que las redes de distribución  se comportan bajo condiciones de 
flujo  permanente,  es  posible  aplicar  los  principios  de  conservación  de  la  masa  y  la  energía 
(Salgado, 1988). El primer principio se aplica a los nodos contabilizando el caudal de alimentación, 
el demandado y los que recorren en cada una de las tuberías que divergen o convergen hacia el 
nodo (Cross, 1936). Por su parte, el principio de conservación de la energía se puede modelar de 
dos  maneras.  En  primer  lugar,  se  conoce  que  en  cada  tubería  la  energía  total  disponible  debe 
disiparse en pérdidas por fricción y menores (Saldarriaga, 2016). En segundo lugar, al realizar la 
sumatoria  de  las  pérdidas  en  un  circuito,  es  de  esperar  que,  al  considerar  el  signo  de  las 
magnitudes, el resultado sea igual a la altura provista por la bomba, si la hay, o cero, en caso de 
que no exista (Ochoa y Saldarriaga, 2009). Los tres fenómenos físicos se estipulan en la Ecuación 
15, Ecuación 16 y Ecuación 17. 

∑ 𝑄

𝑖𝑗

− 𝑄

𝐷𝑖

+ 𝑄

𝑒𝑖

= 0

𝑁𝑇

𝑖

𝑗=1

 

Ecuación 15. Restricción de continuidad en el nudo i. 

𝐻

𝑇

= ℎ

𝑓

+ ∑ ℎ

𝑚

 

Ecuación 16. Pérdidas de energía en un tubo. 

Dónde: 
𝑄

𝐷𝑖

[𝑚

3

/𝑠]

: Caudal consumido en el nodo i.

     

𝑄

𝑒𝑖

[𝑚

3

/𝑠]

: Caudal alimentado en el nodo i a la red.

      

𝑄

𝑖𝑗

[𝑚

3

/𝑠]

:

 

Caudal en la tubería ij del nodo j hacia el nodo i.          𝑁𝑇

𝑖

[−]: Número de tubos que convergen en el nodo i. 

ℎ

𝑓

[𝑚]

: Pérdidas por fricción.  

               ℎ

𝑚

[𝑚]

: Pérdidas menores.

 

 

Universidad de los Andes 

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

46 

 

∑ ℎ

𝑓

𝑖𝑗

𝑁𝑇

𝑖

′

𝑗=1

+ ∑ ℎ

𝑚

𝑖𝑗

𝑁𝑇

𝑖

′

𝑗=1

= 𝐻

𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎

 

Ecuación 17. Restricción de energía en el circuito i. 

Dónde: 
𝑁𝑇

𝑖

′

[−]

: Número de tuberías del circuito i.

     

ℎ

𝑓

𝑖𝑗

[𝑚]

: Pérdidas por fricción en tubería j.

      

ℎ

𝑚

𝑖𝑗

[𝑚]

:

 

Pérdidas menores en tubería j.          𝐻

𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎

[𝑚]: Altura provista por la bomba.

 

Las anteriores restricciones se pueden estipular para cada nodo, tubería y circuito de la red, lo cual 
desemboca  en  la  constitución  de  un  sistema  de  ecuaciones  de  naturaleza  no  lineal  que  debe 
resolverse de manera iterativa para conocer la hidráulica del sistema (Ormsbee y Wood, 1986). La 
no  linealidad  surge  como  resultado  de  la  aplicación  de  la  ecuación  de  Darcy-Weisbach  y, 
consecuentemente, de Colebrook-White, en la medida que incluyen una relación no lineal entre 
las  pérdidas  por  fricción  y  la  velocidad  de  flujo  (Ecuación  11)  para  describir  el  caudal  en  una 
tubería (Salgado, 1988). 

𝑄 = −

2𝐴√2𝑔𝑑ℎ

𝑓

√𝑙

 log

10

(

𝑘

𝑠

3.7𝑑

+

2.51𝜈√𝑙

𝑑√2𝑔𝑑ℎ

𝑓

)

 

Ecuación 18. Relación no lineal entre el caudal de flujo y las pérdidas por fricción. 

Dónde: 
𝐴[𝑚

2

]

: Área transversal.         𝑔[𝑚/𝑠

2

]

:

 

Gravedad.     𝑑[𝑚]:

 

Diámetro.     ℎ

𝑓

[𝑚]

: Pérdidas por fricción.

    

𝑙[𝑚]

: Longitud. 

𝑘

𝑠

[𝑚]: Rugosidad absoluta.    𝜈[𝑚

2

/𝑠]

: Viscosidad cinemática.     

Para dos nodos conectados por un ducto, se puede establecer la caída en la presión piezométrica 
según la Ecuación 16; a partir de las manipulaciones algebraicas planteadas por Saldarriaga (2016) 
se obtienen ecuaciones para definir el caudal en cada tubería de la red y modelar la conservación 
de la masa. A estas igualdades se les denomina ecuaciones de altura piezométrica por la necesidad 
de  conocer  la  cabeza  de  energía  disponible  en  algún  punto  de  la  red  para  resolver  el  sistema 
(Ormsbee y Wood, 1986). El valor absoluto contempla de manera automática la dirección del flujo, 
descrita según el signo del caudal (Saldarriaga, 2016). 

𝑄

𝑖𝑗

=

√

2𝑔𝐴

𝑖𝑗

(𝐻

𝑖

− 𝐻

𝑗

)

𝑓

𝑖𝑗

𝑙

𝑖𝑗

𝑑

𝑖𝑗

+ ∑ 𝑘

𝑚𝑖𝑗

 

Ecuación 19. Caudal por la tubería ij. 

 

Universidad de los Andes 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

IAMB 202010 

 

 

Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

47 

 

∑

𝐻

𝑖

− 𝐻

𝑗

(|𝐻

𝑖

− 𝐻

𝑗

|)

−1/2

√

2𝑔𝐴

𝑖𝑗

𝑓

𝑖𝑗

𝑙

𝑖𝑗

𝑑

𝑖𝑗

+ ∑ 𝑘

𝑚𝑖𝑗

− 𝑄

𝐷𝑖

+ 𝑄

𝑒𝑖

= 0

𝑁𝑇

𝑖

𝑗=1

 

Ecuación 20. Ecuación de altura piezométrica en el nudo i. 

Dónde: 
𝐴

𝑖𝑗

[𝑚

2

]

: Área transversal tubería ij.    𝑔[𝑚/𝑠

2

]

:

 

Gravedad.     

            𝑑

𝑖𝑗

[𝑚]

:

 

Diámetro tubería ij.      

𝑓

𝑖𝑗

[−]

: Factor de fricción tubería ij.

    

𝑙

𝑖𝑗

[𝑚]

: Longitud tubería ij.               𝑘

𝑠

[𝑚]: Rugosidad absoluta.     

𝜈[𝑚

2

/𝑠]

: Viscosidad cinemática.         𝐻

𝑖

[𝑚]

: Altura piezométrica nodo i.    𝐻

𝑗

[𝑚]

: Altura piezométrica nodo j.     

𝑄

𝐷𝑖

[𝑚

3

/𝑠]

: Caudal consumido en el nodo i.

 

𝑄

𝑒𝑖

[𝑚

3

/𝑠]

: Caudal alimentado en el nodo i a la red.

     

 

 
Un proceso algebraico similar se puede ejecutar sobre la restricción de energía sobre los circuitos 
(Ecuación 17). En este caso, como el sistema de ecuaciones se expresa en términos del caudal, las 
igualdades  resultantes  se  denominan  las  ecuaciones  de  flujo  (Ormsbee  y  Wood,  1986).  El  valor 
absoluto contempla de manera automática el signo del caudal, siguiendo la convención hidráulica 
de  valores  positivos  para  un  recorrido  del  agua  en  el  circuito  en  sentido  horario  (Saldarriaga, 
2016). 

∑(

𝑄

𝑖𝑗

|𝑄

𝑖𝑗

|

2𝑔𝐴

𝑖𝑗

2

(𝑓

𝑖𝑗

𝑙

𝑖𝑗

𝑑

𝑖𝑗

+ ∑ 𝑘

𝑚𝑖𝑗

))

𝑁𝑇

𝑖

′

𝑗=1

= 𝐻

𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎

 

Ecuación 21. Ecuación de flujo en el circuito i. 

La  aplicación  del  método  del  gradiente  permite  resolver  de  manera  eficiente  los  sistemas 
estipulados  por  la  Ecuación  20  y  la  Ecuación  21.  Un  paso  preliminar  corresponde  a  modelar  la 
energía total disponible entre dos nodos de la red con respecto al caudal de flujo al interior de la 
tubería.  Si  se  incluyen  accesorios  o  bombas,  se  puede  asumir  una  relación  general  de  tipo 
polinomial entre el caudal y la cabeza disponible como se estipula en la Ecuación 22 (Saldarriaga. 
2016). 

𝐻

𝑇

= 𝛼𝑄

𝑛

+ 𝛽𝑄 + 𝛾

 

Ecuación 22. Relación polinomial entre la cabeza disponible y el caudal de flujo. 

Dónde: 
𝐻

𝑇

[𝑚]

: Cabeza total.         𝑄[𝑚

3

/𝑠]

:

 

Caudal de flujo.     

𝛼, 𝛽, 𝛾[−]

:

 

Coeficientes.   

El método del gradiente supone una descripción matricial de la topología del sistema de tuberías. 
Para  esto,  se  debe  recurrir  a  algunas  definiciones  adicionales  según  como  lo  estipulado  por 
Saldarriaga (2016).  

•  NT: Número de tuberías en la red. 

 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Andrés Felipe Jaramillo Pabón 

Tesis de Pregrado 

48 

 

•  NN: Número de nodos con altura piezométrica desconocida. 
•  NS: Número de nodos con altura piezométrica fija y conocida. 
•  [A12]: Matriz de conectividad de dimensión NT x NN con elementos diferentes de cero en 

la  i-ésima  fila:  -1  en  la  columna  correspondiente  al  nodo  inicial  del  tramo  i  y  1  en  la 
columna correspondiente al nodo final. 

•  [A21]: Matriz transpuesta de [A12]. 
•  [A10]: Matriz topológica de dimensión NT x NS tramo a nodo para los NS nodos con altura 

piezométrica  conocida.  Tiene  como  elementos  -1  en  las  filas  asociadas  a  tramos 
conectados con nodos de altura piezométrica fija y 0 en las demás.  

•  [A11]:  Matriz  diagonal  de  dimensión  NT  x  NT  definida  a  continuación  (Todini  y  Pilati, 

1987): 

[𝐴11] =

[

 

 

 

 

 𝛼

1

𝑄

1

(𝑛

1

−1)

+ 𝛽

1

+

𝛾

1

𝑄

1

0 ⋯ 0

0

0

⋮

⋱

0

⋮

0

0 ⋯ 0 𝛼

𝑁𝑇

𝑄

𝑁𝑇

(𝑛

𝑁𝑇

−1)

+ 𝛽

𝑁𝑇

+

𝛾

𝑁𝑇

𝑄

𝑁𝑇

]

 

 

 

 

 

 

•  [A11]’: Matriz diagonal de dimensión NT x NT definida como (Saldarriaga, 2016): 

[𝐴11]′ =

[

 

 

 

 𝛼

1

𝑄

1

(𝑛

1

−1)

0 ⋯ 0

0

0

⋮

⋱

0

⋮

0

0 ⋯ 0 𝛼

𝑁𝑇

𝑄

𝑁𝑇

(𝑛

𝑁𝑇

−1)

]

 

 

 

 

 

•  [N]: Matriz diagonal de dimensión NT x NT definida como sigue (Todini y Pilati, 1987): 

[𝑁] = [

𝑛

1

0 ⋯ 0

0

0

⋮

⋱

0

⋮

0

0 ⋯ 0 𝑛

𝑁𝑇

]

 

•  [Q]: Vector de caudales de cada tubería con dimensión NT x 1. 
•  [q]: Vector de consumo o de entrada de caudal en cada nudo de la red de dimensión NN 

x1. 

•  [H]: Vector de alturas piezométricas desconocidas en los nodos con dimensión NN x 1. 
•  [Ho]: Vector de alturas piezométricas conocidas o fijas con dimensión NS x 1. 

Según los establecido por Todini y Pilati (1987), creadores del método, la conservación de la masa 
y la energía se puede modelar según un sistema matricial que contenga la descripción topológica y 
la  caracterización  de  las  pérdidas  como  se  ha  explicado  en  párrafos  anteriores.  Todini  y  Pilati 
(1987) describen el problema de manera compacta como sigue: 

(

[𝐴11] [𝐴12]
[𝐴21]

[0]

) (

[𝑄]

[𝐻]

) = (

−[𝐴10][𝐻𝑜]

[𝑞]

)

 

 

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49 

 

Posteriormente, los autores (1987) proponen derivar ambos lados de la igualdad con respecto a Q 
y  H  mediante  el  operador  gradiente,  representando  el  resultado  como  un  esquema  Newton-
Raphson a partir de una serie de Taylor truncada. 

(

[𝑁][𝐴11]′ [𝐴12]

[𝐴21]

[0]

) (

[𝑑𝑄]

[𝑑𝐻]

) = (

[𝑑𝐸]

[𝑑𝑞]

)

 

Los términos  𝑑𝐸 y 𝑑𝑞 representan las cantidades residuales o desbalances de energía y materia 
que deben ser minimizados de manera iterativa por el método (Todini y Pilati, 1987). Retomando 
la expresión matricial compacta original, se obtiene una expresión para los desbalances en alguna 
iteración  k  (Todini  y  Pilati,  1987).  Adicionalmente,  aplicando  los  principios  del  álgebra  lineal,  se 
pueden despejar los valores 𝑑𝑄 y 𝑑𝐻, permitiendo obtener expresiones para los caudales y alturas 
piezométricas de una iteración k+1 (Saldarriaga, 2016). 

[𝐻

𝑘+1

] = −([𝐴21]([𝑁][𝐴11]

′

)

−1

[𝐴12])

−1

× ([𝐴21]([𝑁][𝐴11]

′

)

−1

([𝐴11][𝑄

𝑘

] + [𝐴10][𝐻𝑜])

− ([𝐴21][𝑄

𝑘

] − [𝑞])) 

Ecuación 23. Vector solución para las alturas piezométricas en los nodos en una iteración k+1. 

[𝑄

𝑘+1

] = ([𝐼] − ([𝑁][𝐴11]′)

−1

− [𝐴11])[𝑄

𝑘

] − (([𝑁][𝐴11]

′

)

−1

([𝐴12][𝐻

𝑘+1

] + [𝐴10][𝐻𝑜]))  

Ecuación 24. Vector solución para los caudales en las tuberías en una iteración k+1. 

El  sistema  estipulado  por  la  Ecuación  23  se  puede  reescribir  como  un  sistema  de  ecuaciones 
lineales (Saldarriaga, 2016). 

([𝐴21]([𝑁][𝐴11]

′

)

−1

[𝐴12])

−1

[𝐻

𝑘+1

]

= −([𝐴21]([𝑁][𝐴11]

′

)

−1

([𝐴11][𝑄

𝑘

] + [𝐴10][𝐻𝑜]) − ([𝐴21][𝑄

𝑘

] − [𝑞])) 

Ecuación 25. Sistema de ecuaciones lineales para las alturas piezométricas desconocidas. 

El proceso de cálculo implica suponer caudales iniciales para cada tubería, insertarlos en el sistema 
de la Ecuación 25, determinar las alturas piezométricas y los nuevos caudales. Dichos valores de 
gasto  volumétrico  se  reinsertan  en  el  sistema  de  ecuaciones  lineales  de  manera  iterativa  hasta 
alcanzar la convergencia. El algoritmo se presenta en el siguiente diagrama de flujo. 

 

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50 

 

 

Figura 2. Diagrama de flujo 1 - Método del gradiente. 

 

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51 

 

3.3  Diseño optimizado de redes de distribución de agua potable 

3.3.1  Definiciones y restricciones  

Una  red  de  distribución  se  refiere  al  conjunto  de  tuberías,  accesorios  y  otras  estructuras  cuya 
finalidad  es  facilitar  el  abastecimiento  de  agua  potable  a  los  usuarios  (Conagua,  s.f.).  Dicho 
abastecimiento  consiste  en  el  transporte  del  agua  desde  algún  tanque  de  almacenamiento, 
embalse  o  planta  de  tratamiento  hasta  el  punto  de  demanda,  bien  sea  aprovechando  el 
movimiento por gravedad o mediante el uso de un sistema de bombeo (Steel y McGhee, 1979). 
Actualmente,  el  diseño  de  las  redes  de  distribución  de  agua  potable  implica  deducir  aquella 
configuración  de  diámetros  comerciales  que  minimiza  el  costo  de  la  red  para  condiciones 
topológicas  y  de  demanda  específicas  (Saldarriaga,  2016).  Asimismo,  implica  garantizar  aquellos 
valores de presión mínima en los nodos acorde a la normatividad vigente y los requerimientos de 
uso (Steel y McGhee, 1979). La restricción de la presión mínima y de los diámetros comerciales se 
expresa matemáticamente como sigue: 

min(𝑃

𝑖

) ≥ 𝑃

𝑚𝑖𝑛

 

Ecuación 26. Restricción de presión mínima. 

𝑑

𝑖

∈ 𝐶𝐷

𝑐𝑜𝑚

 

Ecuación 27. Restricción de diámetros comerciales. 

Dónde: 
𝑃

𝑖

[𝑚. 𝑐. 𝑎]

: Presión nodo i.

   

𝑃

𝑚𝑖𝑛

[𝑚. 𝑐. 𝑎]

: Presión mínima admisible.

     

𝑑

𝑖

[𝑚]

:

 

Diámetro tubería i. 

 

 

El problema de optimización se modela a partir de la teoría de grafos, incluyendo un conjunto de 
arcos y nodos que representan las tuberías y las intersecciones entre ellas (Pereyra et. al., 2016). 
Dicha  modelación  debe  cumplir  restricciones  de  continuidad  en  la  totalidad  de  los  nodos  y 
garantizar  que  las  pérdidas  sean  a  lo  sumo  iguales  a  la  energía  disponible  (Narváez  y  Galeano, 
2002).  Según  Saldarriaga  (2016),  las  restricciones  de  continuidad  en  cada  nudo  y  de  energía  en 
cada circuito se pueden expresar según la Ecuación 15 y la Ecuación 17 estipuladas en la página 45. 
En  términos  de  los  costos,  Narváez  y  Galeano  (2002)  establecen  que  es  importante contemplar 
rubros concernientes a la infraestructura y la instalación. El primero se relaciona con los costos de 
las tuberías y accesorios, mientras que en el segundo se incluye la mano de obra, la excavación, la 
maquinaria  y  otras  obras  geotécnicas.  Estos  rubros  se  resumen  en  una  función  de  costos  que 
contempla una regresión potencial con respecto al diámetro incluyendo la longitud del tubo (Pino 
et. al., 2017). Si bien es evidente que los costos deberían contemplar otros rubros concernientes al 
mantenimiento y la operación, en el presente trabajo solo se trabajará con los costos iniciales de 
infraestructura. Según Saldarriaga et. al.  (2018), la  ecuación potencial que modela los costos se 
establece como sigue: 

 

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52 

 

𝐶 = ∑ 𝐾 ∙ 𝐿

𝑖

∙ 𝑑

𝑖

𝑥

𝑁

𝑡

𝑖=1

 

Ecuación 28. Función de costos. 

Dónde: 
𝐶[$]

: Costo de la red.    𝑁

𝑡

[−]

: Número de tuberías.   𝐾[−]: Coeficiente.

  

𝐿

𝑖

[𝑚]

:

 

Longitud tubería i. 

   

𝑑

𝑖

[𝑚]

:

 

Diámetro 

tubería i. 

 

 

Encontrar  la  solución  que  minimiza  la  ecuación  de  costos  resulta  ser  particularmente  difícil. 
Considerando que para cualquier conjunto de valores  discretos de diámetros comerciales existe 
una  gran  cantidad  de  combinaciones  factibles  que  cumplen  con  los  requerimientos  hidráulicos, 
métodos como la búsqueda exhaustiva deben descartarse en el camino para encontrar el óptimo 
global (Saldarriaga, 2016). Yates et. al. (1984) demostraron que el problema se encuentra dentro 
del conjunto NP-Complejo, lo cual implica que el diseño optimizado de RDAPs se asemeja a otros 
problemas  que,  en  algunas  instancias,  reflejan  intratabilidad  computacional.  Dadas  sus 
características como NP-Complejo, cualquier aproximación o algoritmo determinista que procure 
encontrar  una  solución  exacta  no  lo  logrará  en  un  tiempo  polinomial  (Yates  et.  al.,  1984).  Por 
consiguiente, el problema se debe resolver mediante heurísticas no deterministas (Villalba et. al., 
2005).  

3.3.2  Criterio de Wu y metodología LOGH para tuberías en serie 

La complejidad del problema de diseño de redes de distribución se puede empezar a materializar 
desde las tuberías en serie. Wu (1975) demostró que, para cualquier número de tuberías en serie, 
el mínimo costo se obtiene cuando la línea del gradiente hidráulico (LGH) se comporta como una 
curva parabólica cóncava hacia arriba con una depresión del 15% de la cabeza disponible en su 
centro con respecto a la línea recta que une las alturas de energía totales  al inicio y  final  de la 
serie. Inclusive, tomando la recta que une los nodos inicial y final, el costo varía en apenas un 2% 
(Saldarriaga,  2016).  Cabe  resaltar  que  dicha  demostración  se  planteó  para  una  distribución 
uniforme de las demandas (Wu et. al., 1979). 

Los hallazgos de Wu permitieron demostrar la posibilidad de predeterminar los valores de altura 
piezométrica en los nodos para obtener de manera directa los diámetros sin recurrir a técnicas de 
búsqueda estocástica (Saldarriaga et. al., 2010). Lo anterior funcionó como un primer paso para 
establecer  una  mejor  metodología  de  optimización:  la  Línea  Óptima  del  Gradiente  Hidráulico 
(LOGH). A diferencia del criterio de Wu, la metodología LOGH se basa en obtener aquella flecha o 
depresión óptima para cualquier topología, demanda hidráulica y función de costos (Saldarriaga, 
2016).  De  esta  manera,  se  pueden  incluir  sistemas  con  caudales  de  demanda  de  magnitud  y 
distanciamiento variables. 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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53 

 

La determinación de la flecha óptima se realiza en base al centroide de demandas y el coeficiente 
de  uniformidad  (Saldarriaga,  2016).  El  centroide  de  demandas  se  obtiene  ponderando  las 
distancias en las que se presenta demanda de caudal con respecto a la fuente de abastecimiento. 
Dicha ponderación se realiza según la longitud de la serie de tuberías y el caudal total fluyendo en 
el sistema. Según Saldarriaga (2016), el centroide de demandas se calcula según la Ecuación 29. 

𝑥̅ =

∑

𝑄

𝑖

𝐷

𝑖

𝑁𝑁

𝑖=0

𝑄

𝑇

𝑙

𝑇

 

Ecuación 29. Centroide de demandas en metodología LOGH. 

Dónde: 
𝑁𝑁[−]

: Número de nodos.

   

𝑄

𝑖

[𝑚

3

/𝑠]

: Caudal demandado en el nodo i.      𝐷

𝑖

[𝑚]

: Distancia topológica al nodo i. 

𝑙

𝑇

[𝑚]

: Longitud total. 

 𝑄

𝑇

[𝑚

3

/𝑠]:

 Caudal total. 

 

Por su parte, el coeficiente de uniformidad es un indicador de la localización de las demandas de 
caudal.  Puede  interpretarse  como  una  constante  que  relativiza  la  posición  de  cada  uno  de  los 
nodos con extracción de flujo volumétrico con respecto al centroide de demandas. El coeficiente 
se obtiene dividiendo la serie de tuberías en dos tramos según 𝑥̅ y ponderando los dos centroides 
obtenidos para cada tramo según la posición y magnitud de los requerimientos de caudal. Según 
Saldarriaga (2016), el coeficiente de uniformidad se determina según la Ecuación 30. 

𝐶𝑈 = (

∑

𝑄

𝑖

𝑁𝑁

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜1

𝑖=0

𝐷̅

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜1

𝑖

𝑙

𝑇

∑

𝑄

𝑖

𝑁𝑁

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜1

𝑖=0

)

𝑙

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜1

𝑙

𝑇

+ (

∑

𝑄

𝑖

𝑁𝑁

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜2

𝑖=0

𝐷̅

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜2

𝑖

𝑙

𝑇

∑

𝑄

𝑖

𝑁𝑁

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜2

𝑖=0

)

𝑙

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜2

𝑙

𝑇

 

Ecuación 30. Coeficiente de uniformidad en metodología LOGH. 

Dónde: 
𝑁𝑁[−]

: Número de nodos.

   

𝑄

𝑖

[𝑚

3

/𝑠]

: Caudal demandado en el nodo i.      𝐷̅

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜1

𝑖

[𝑚]

: Distancia del nodo i a la fuente 

de abastecimiento en el centroide de demandas.      𝑙

𝑇

[𝑚]

: Longitud total. 

 𝑙

𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜

[𝑚

3

/𝑠]:

 Longitud de tramo. 

 

Los números que se obtienen en  la Ecuación 29 y Ecuación 30 se pueden insertar en la función 
cuadrática de la flecha óptima (Ecuación 31). Esta se deduce mediante un ajuste estadístico que 
describe en más de un 85% la variación de la flecha óptima (Saldarriaga, 2016). Dado que el ajuste 
se realiza empleando un exponente en la función de costos de 1.46 y una relación Q

2

/L

3

 de 1*10

-9

 

m

3

/s

2

,  se  deben  incluir  dos  correcciones  para  adaptar  la  parábola  de  la  flecha  óptima  a  las 

condiciones  particulares  del  sistema  a  analizar  (aplicación  de  la  Ecuación  32  y  Ecuación  33) 
(Saldarriaga, 2016). 

𝐹 = 0.436 − 0.177𝑥̅ − 0.977𝐶𝑈 + 0.906𝐶𝑈

2

 

Ecuación 31. Ecuación cuadrática de la flecha óptima. 

 

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54 

 

𝐹

𝑛

= (−0.1134𝐹 + 0.0032)𝑛

2

+ (0.6443𝐹 + 0.0043)𝑛 + 0.2835𝐹 − 0.0111

 

Ecuación 32. Flecha óptima corregida según el exponente de la función de costos. 

𝐹

𝑄

2

/𝑙

3

= (0.00868𝐹

𝑛

+ 0.00066) ln (

𝑄

𝑇

2

𝑙

𝑇

3

) + 1.18069𝐹

𝑛

+ 0.01345

 

Ecuación 33. Flecha óptima corregida según la relación Q

2

/L

3

. 

Dónde: 
𝑥̅[−]

: Centroide de demandas.

 

 

𝐶𝑈

[−]

: Coeficiente de uniformidad.      𝑛[−]: Exponente de la función de costos. 

𝑙

𝑇

[𝑚]

: Longitud total. 

 

 𝑄

𝑇

[𝑚

3

/𝑠]:

 Caudal total. 

 

Con  la  flecha  óptima  corregida  se  puede  obtener  la  LOGH.  En  este  caso,  se  conoce  la  cabeza 
disponible al inicio, al final y en el punto medio según la flecha, por lo que es posible calcular una 
ecuación  cuadrática  cóncava  hacia  arriba  que  intercepte  los  tres  puntos  (Saldarriaga,  2016). 
Omitiendo el procedimiento matemático, se encuentra la función que describe la línea óptima del 
gradiente hidráulico. 

𝐿𝑂𝐺𝐻(𝑥) = 4𝐹

𝑄

2

𝑙

3

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

− 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑖𝑛

𝑙

𝑇

2

𝑥

2

− (1 + 4𝐹

𝑄

2

𝑙

3

)

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

− 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑖𝑛

𝑙

𝑇

𝑥 + 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

 

Ecuación 34. Línea óptima del gradiente hidráulico. 

Dónde: 
𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

[𝑚]

: Altura piezométrica máxima.

 

 

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑖𝑛

[𝑚]

: Altura piezométrica mínima.      𝑙

𝑇

[𝑚]

: Longitud total. 

𝐹

𝑄2

𝑙3

[−]: Flecha óptima corregida. 

𝑥[𝑚]:

 Distancia topológica. 

 

Por último, empleando la Ecuación 34, se determinan las pérdidas objetivo en cada tubería de la 
red. Con las pérdidas se puede despejar el diámetro continuo correspondiente según la ecuación 
de Darcy-Weisbach o Hazen-Williams (Saldarriaga, 2016). Es importante mencionar que, dadas la 
restricción de los diámetros comerciales (Ecuación 27), es necesario redondear los diámetros de 
tal modo que se minimicen los costos y se cumplan los requerimientos hidráulicos. La heurística 
para redondear los diámetros se tratará más adelante. 

Δ𝐻

𝑖𝑗

= 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑖

− 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑗

 

Ecuación 35. Pérdidas objetivo en el tramo ij. 

Dónde: 
𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑖

[𝑚]

: Altura piezométrica en el nodo i.

   

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑗

[𝑚]

: Altura piezométrica en el nodo j. 

 

 

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3.3.3  Métodos de optimización para redes cerradas 

Como se mencionaba en apartados anteriores, la búsqueda de la configuración óptima en redes de 
distribución implica la aplicación de heurísticas no deterministas. En los siguientes apartados se 
desarrollarán algunas de estas metodologías según su relevancia en el desarrollo de la presente 
investigación. 

3.3.3.1  Algoritmos genéticos (AG) 

Los  algoritmos  genéticos  corresponden  a  un  proceso  de  búsqueda  de  soluciones  análogo  a  los 
mecanismos de evolución característicos en el fenómeno biológico de selección natural (Goldberg, 
1953). Cada una de las soluciones pertenecientes al espacio de búsqueda se puede tratar como un 
“cromosoma”,  cuyas  características  o  “genes”  le  atribuyen  su  aptitud  para  cumplir  con  los 
requerimientos establecidos por el problema a optimizar (Mitchell, 1999). El algoritmo ejecuta de 
manera iterativa un proceso de procreación entre los individuos de la población, propiciando una 
mejoría  automática  de  las  opciones  disponibles  al  momento  de  producir  nuevas  generaciones 
(Sivanandam y Deepa, 2008). La implementación computacional del apareamiento desarrolla los 
procesos de adaptación y supervivencia de los mejores especímenes, avanzando hacia soluciones 
con mejor genotipo en cada repetición de las rutinas programadas. 

Una de las grandes ventajas de la metodología corresponde a la flexibilidad. El autor se encuentra 
en  la  potestad  de  definir  aspectos  como  los  operadores  de  reproducción,  el  número  de 
descendientes, la función de aptitud que evalúa a cada individuo, la población inicial, entre otros 
parámetros  relevantes  (Sivanandam  y  Deepa,  2008).  Inclusive,  es  usual  encontrar  modelos  que 
incorporan  fenómenos  de  mutación,  donde  algún  fragmento  del  cromosoma  de  un  individuo 
aleatorio puede cambiar de manera esporádica según el modelo probabilístico que se considere 
adecuado (Mitchell, 1999).  Por otra parte, se encuentran las desventajas. En lo que concierne al 
diseño  de  RDAPs,  la  aplicación  de  algoritmos  genéticos  no  corresponde  a  un  proceso  de 
optimización  en  sentido  estricto;  la  aleatoriedad  intrínseca  al  proceso  implica  que  no  existan 
garantías de encontrar algún óptimo local, mucho menos el global (Saldarriaga, 2016). Asimismo, a 
no ser que se simule explícitamente mediante criterios de penalización, las rutinas de algoritmos 
genéticos  no  incluyen  de  antemano  los  requerimientos  hidráulicos  de  los  sistemas  (Saldarriaga, 
2016).  No  obstante,  si  el  número  de  iteraciones  es  suficientemente  alto,  es  posible  que  los 
resultados sean satisfactorios.  

3.3.3.2  Programación por Restricciones (PR) 

El principio de la Programación por Restricciones (PR) consiste en asimilar el diseño optimizado de 
redes de distribución de agua potable como varias instancias de un problema de satisfacción por 
restricciones (CSP). Dicho CSP (𝑃 = (𝑉, 𝐶)) se describe  mediante un conjunto finito de variables 
𝑉 

que  pueden  asumir  valores  de  una  tupla  de  dominios  finitos  𝐷,  buscando  aquellas 

combinaciones  que  garantizan  el  cumplimiento  de  ciertas  restricciones  o  “constraints” 

 

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pertenecientes a otro conjunto finito 𝐶 (Xia y Yap, 2013). Se dice que una tupla de asignaciones 𝐴 
es solución al CSP siempre y cuando sus valores para cada variable de 𝑉 pertenezca al dominio 𝐷 y 
cumpla con los requerimientos de 𝐶 (Xia y Yap, 2013). En otras palabras, la solución corresponde a 
una tupla consistente de asignaciones (Barták et. al., 2004).  

En este caso, las variables a trabajar corresponden a los diámetros de cada una de las tuberías de 
la red, que pueden asumir valores correspondientes a un dominio de diámetros comerciales. Para 
el caso de las RDAPs, las restricciones deben contemplar la presión mínima admisible en los nodos 
y las demandas de caudal, ambas describibles en función de los diámetros. Según Barber y Salido 
(2003),  en  los  problemas  CSP  las  restricciones  se  describen  según  su  aridad,  es  decir,  según  el 
número de variables involucradas en la restricción; de esta manera, para el diseño optimizado se 
pueden emplear restricciones unarias (una sola variable), binarias (dos variables) o n-arias (tres o 
más  variables)  según  como  se  desee  modelar  las  restricciones  de  alturas  piezométricas  y  de 
caudal.  

La ventaja de la PR radica en la posibilidad de usar activamente las restricciones para reducir el 
esfuerzo  computacional  necesario  (Villalba  et.  al.,  2005).  En  efecto,  a  medida  que  transcurre  el 
algoritmo,  ocurren  reducciones  en  el  dominio  de  análisis  debido  a  la  generación  de  nuevas 
restricciones o a la detección de inconsistencias (Saldarriaga, 2016). Al decidir el diámetro de un 
ducto se establece una nueva restricción que acota el espacio de búsqueda. Las variaciones en la 
eficiencia  y  el  gasto  computacional  del  método  dependen  directamente  de  las  heurísticas  de 
búsqueda  que  se  implementen  en  el  algoritmo.  En  general,  el  mecanismo  de  funcionamiento 
cambia  según  la  metodología  de  avance  o  toma  de  decisiones  al  momento  de  contemplar 
diferentes posibilidades de asignación y al retroceso una vez se encuentre una inconsistencia o un 
escenario desfavorable (Barták et. al., 2004). Cabe resaltar que este último esquema usualmente 
se representa mediante árboles de búsqueda (Saldarriaga, 2016).  

3.3.3.3 

Superficie Óptima del Gradiente Hidráulico (SOGH) 

El  concepto  de  las  pérdidas  hidráulicas  objetivo,  establecidas  en  un  principio  por  el  criterio 
geométrico  de  Wu,  puede  extenderse  para  el  caso  de  las  RDAPs.  La  analogía  corresponde  a 
plantear un gradiente hidráulico que asegura el diseño de menor costo (Featherstone y El-Juamily, 
1983).  Estas  condiciones  de  presión  pueden  describirse  mediante  el  ajuste  a  una  superficie 
tridimensional  (Superficie  Óptima  de  Presiones  –  SOP).  En  este  contexto  surge  el  criterio  de 
Featherstone  (1983),  cuya  aproximación  consiste  en  definir  un  decaimiento  de  la  energía 
disponible  como  una  superficie  plana.  Sin  embargo,  la  aproximación  presenta  problemas  para 
modelar casos con topografías abruptas (Villalba et. al., 2005).  

La  metodología  de  la  Superficie  Óptima  del  Gradiente  Hidráulico  (SOGH)  corresponde  a  una 
alternativa  mejorada  tanto  del  criterio  de  Wu  como  el  de  Featherstone.  A  diferencia  de  los 
criterios presentados y de manera similar a la metodología LOGH, es posible variar la flecha para 

 

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encontrar  aquel  número  que  mejor  se  ajuste  a  las  características  hidráulicas  y  topológicas  del 
sistema (Saldarriaga, 2016). De esta manera, se obtiene una solución que respeta las restricciones 
de  conservación  de  la  masa  y  la  energía,  demandas  de  caudal,  presión  mínima  y  ventajas 
computacionales asociadas a una convergencia en un tiempo polinomial no mayor a O(n) (Villalba 
et. al., 2005). No obstante, es importante aclarar que el método resulta en diseños con diámetros 
continuos,  requiriéndose  entonces  la  aplicación  de  otras  heurísticas  para  el  redondeo  a  las 
medidas comerciales disponibles (Villalba et. al., 2005). 

A  continuación,  se  resume  la  lista  de  pasos  a  implementar  según  los  trabajos  de  Saldarriaga 
(2016), Villalba et. al. (2005), Ochoa y Saldarriaga (2009) y Ochoa et. al. (2010): 

1.  Calcular la distancia topológica de los nodos a las fuentes de abastecimiento. Cabe resaltar 

que  esta  corresponde  a  la  distancia  mínima  asociada  a  la  trayectoria  real  que  puede 
recorrer  el  agua  en  el  sistema  (Villalba  et.  al.,  2005).  Por  consiguiente,  se  debe 
implementar  un  algoritmo  que  determine  la  longitud  mínima  entre  dos  vértices  de  un 
grafo como se establece en la Ecuación 36 (Villalba et. al., 2005). Una aproximación inicial 
para conocer la hidráulica de la  red corresponde a asignar, como suposición preliminar, 
algún  diámetro  comercial  pequeño  para  asegurar  que el  agua  fluya  de  las  fuentes  a  los 
nodos (Saldarriaga, 2016). Si un nodo es alimentado por más de una fuente, se le asigna 
aquella que le aporta mayor LGH (Ochoa et. al., 2010). De esta manera, se obtendrán las 
rutas desde cada embalse hasta sus correspondientes sumideros, es decir, hasta aquellos 
nodos que no alimentan ningún otro nodo.  
 

𝐷

𝑡

= 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜(𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑛𝑢𝑑𝑜)

 

Ecuación 36. Distancia topológica mínima entre la fuente y un nodo. 

2.  Asignar  a  cada  tubería  uno  de  los  diámetros  comerciales  de  manera  proporcional  a  la 

distancia calculada en la Ecuación 36 (Ochoa et. al., 2010).  

3.  Estimar  la  flecha  óptima.  De  manera  análoga  a  la  metodología  LOGH,  se  estima  el 

centroide  de  demandas,  el  coeficiente  de  uniformidad,  la  flecha  según  la  ecuación 
cuadrática y las debidas correcciones dadas por el ajuste estadístico (Saldarriaga, 2016). 
Retomando la Ecuación 29, Ecuación 30, Ecuación 31, Ecuación 32 y la Ecuación 33, para el 
caso  de  las  redes  cerradas  se  emplea  la  distancia  topológica  en  vez  de  la  longitud  y  la 
distancia topológica máxima recorrida por el agua en vez de la longitud total (Saldarriaga, 
2016). 

4.  Aplicar una simulación hidráulica para conocer los sentidos de flujo y caudales iniciales en 

cada ducto. De esta manera, se puede identificar que fuentes abastecen cada uno de los 
nodos, así como los sumideros de la red. Si un nodo es abastecido por más de una fuente, 
se  le  asigna  aquella  que  le  aporta  mayor  LGH  (Ochoa  et.  al.,  2010).  Adicionalmente,  se 

 

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logran estipular nuevas distancias topológicas según la Ecuación 36. Cabe resaltar que la 
hidráulica puede variar en la medida que se tiene una nueva configuración de diámetros 
comerciales. 

5.  Ordenar los nuevos sumideros de mayor a menor distancia topológica. 
6.  Identificar  las  rutas  de  alimentación  o  trayectorias  de  flujo  desde  las  fuentes  hasta  los 

sumideros. 

7.  Para cada ruta o trayectoria de flujo, determinar la LGH ideal mínima según la Ecuación 37.  

 

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑖𝑛

= 𝑍

𝑆𝑢𝑚𝑖𝑑𝑒𝑟𝑜𝑖

+ 𝑃

min

i

 

Ecuación 37. LGH ideal mínima para la ruta al sumidero i. 

Dónde: 
𝑍

𝑆𝑢𝑚𝑖𝑑𝑒𝑟𝑜𝑖

[𝑚]

: Altura topográfica del sumidero i.

 

 

𝑃

min 𝑖

[𝑚]

: Presión mínima admisible en el nodo i. 

8.  Para cada ruta se determina la LGH ideal en cada nodo siguiendo algunos lineamientos. En 

primer  lugar,  la  LGH  ideal  máxima  corresponde  a  la  de  la  fuente  que  alimenta  la  ruta 
(Saldarriaga, 2016).  
 

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

= 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑜

 

Ecuación 38. LGH ideal máxima para la ruta al sumidero i. 

Dónde: 
𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑜

[𝑚]

: Altura piezométrica en la fuente. 

En segundo lugar, la LGH ideal para cada nodo debe encontrarse entre la LGH mínima y 
máxima. La forma de describir el valor según la distancia topológica se realiza mediante 
alguna  ecuación  de  ajuste.  Se  han  encontrado  excelentes  resultados  implementando  la 
relación cuadrática de la LOGH al acercarse al criterio  de Wu. Se retoma la Ecuación 34 
generalizando para una red cerrada. 

𝐿𝑂𝐺𝐻(𝑑) = 4𝐹

𝑄

2

𝑙

3

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

− 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑖𝑛

𝑑

𝑚𝑎𝑥

2

𝑑

2

− (1 + 4𝐹

𝑄

2

𝑙

3

)

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

− 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑖𝑛

𝑑

𝑚𝑎𝑥

2

𝑑 + 𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

 

Ecuación 39. Ecuación LOGH para una red cerrada. 

Dónde: 
𝑑[𝑚]

: Distancia topológica.

   

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑎𝑥

[𝑚]

: Altura piezométrica máxima. 

𝐿𝑂𝐺𝐻

𝑚𝑖𝑛

[𝑚]

: Altura piezométrica mínima. 

𝐹

𝑄2

𝑙3

[−]: Flecha óptima corregida. 

𝑑

𝑚𝑎𝑥

[𝑚]: 

Distancia topológica máxima. 

9.  Definir  para  cada  tubo  una  pérdida  de  energía  objetivo  igual  a  la  diferencia  entre  las 

alturas piezométricas entre el nodo final e inicial (Ochoa y Saldarriaga, 2009). Lo anterior 
se describe en la Ecuación 35. 

 

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10. Conociendo  las  pérdidas  hidráulicas  objetivo  y  el  caudal  determinado  por  la  simulación 

hidráulica del paso 4 se aplica un algoritmo de diseño de tuberías simples para cada ducto 
del sistema. 

11. Mediante el modelo de simulación se realiza una comprobación de caudal y estimación de 

las pérdidas reales en cada tubería. 

12. Si  la  diferencia  entre  las  pérdidas  reales  y  objetivo  es  menor  al  error  admisible 

contemplado por el diseñador se continua al paso 13. De lo contrario, se regresa al paso 4. 

13. Verificar que en la totalidad de los nodos se cumpla con la presión mínima admisible. En 

aquellos  donde  no  se  cumpla  el  requisito  de  altura  piezométrica  se  deben  realizar 
correcciones.  El  proceso  consiste  en  asignar  una  nueva  LGH  mínima  igual  a  la  altura 
topográfica mayor de los nodos que incumplen (Ochoa et. al., 2010).  Luego, se determina 
una  nueva  distancia  topológica  máxima  asociada  al  nodo  con  presión  inadmisible  más 
alejado. Finalmente, se recalculan los parámetros de la Ecuación 39. Los nuevos valores 
LGH según la distancia topológica serán los valores corregidos. 

14. Aplicar alguna heurística para redondear los diámetros a las restricciones comerciales. 

La  lista  de  pasos  se  puede  ilustrar,  de  manera  sintética,  en  un  diagrama  de  flujo.  A  modo  de 
ejemplo, se presenta el caso en el que se escogen líneas de ajuste cuadráticas. 

 

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Figura 3. Diagrama de Flujo 2 - Metodología SOGH Parte 1. 

 

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Figura 4. Diagrama de Flujo 2 - Metodología SOGH Parte 2. 

 

 

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3.3.3.4  OPUS (Optimal Power Use Surface) 

La  metodología  OPUS  corresponde  a  una  alternativa  al  algoritmo  de  la  Superficie  Óptima  del 
Gradiente  Hidráulico.  Su  ventaja  radica  en  reducir  el  número  de  iteraciones  necesarias  con 
pequeñas variaciones con respecto al costo óptimo de la red. La diferencia del método se asocia al 
tratamiento de las redes como mallas abiertas, en la medida que un sistema redundante, típico de 
analizar desde la perspectiva de una red cerrada, resulta desventajoso a nivel de costos (López et. 
al., 2013). De esta manera, OPUS supone el tratamiento de las redes bajo un esquema de árbol, de 
tal  manera  que  las  ramificaciones  conformadas  por  las  trayectorias  de  flujo  se  comporten  de 
manera análoga a una red abierta (Saldarriaga et. al., 2013). Los subprocesos de la metodología se 
resumen a continuación según lo planteado en los trabajos de Saldarriaga et. al. (2013) y López et. 
al. (2013): 

1.  Estructura de árbol: Corresponde a un proceso iterativo de adición de pares nodo-tubería 

hasta  alcanzar  un  sumidero  de  la  red.  La  asignación  se  realiza  mediante  una  función 
costo/beneficio,  donde  se  determina  el cociente entre la  demanda  del  nodo  nuevo  y  el 
costo marginal de conectarlo a la fuente de abastecimiento (Saldarriaga et. al., 2013). A 
partir de la estructura de árbol se espera favorecer la creación de pocas rutas principales 
donde se transporte la mayor proporción del caudal disponible. 

2.  Uso  de  superficie  óptima  de  energía:  Se  retoman  los  principios  de  optimización 

establecidos  por  Wu  (1975)  y  perfeccionados  por  Ochoa  (2009)  para  asignar  una  altura 
piezométrica objetivo a todos los nodos de la red, considerando las rutas estipuladas en la 
estructura  de  árbol.  En  este  paso  se  establecen  las  LGH  con  flecha  variable  según  la 
distribución de las demandas en la red. 

3.  Distribución  óptima  de  caudal:  Una  vez  definida  la  SOP,  procede  determinar  la 

distribución de caudales en cada ducto a modo que se minimicen los costos, se respete el 
principio de conservación de la masa y el criterio de pérdidas de energía establecido en el 
paso anterior. El proceso consiste en partir de cada sumidero y, mediante una función de 
ajuste  (usualmente  H/L

2

),  determinar  la  tubería  principal  que  alimenta  el  nudo.  Esta 

tubería llevará dentro de sí el valor máximo de caudal, mientras que las demás contendrán 
el caudal asociado al diámetro mínimo disponible. Cabe resaltar que el análisis se realiza 
sobre el grafo original en vez del esquema modificado por la estructura de árbol. 

4.  Cálculo del diámetro: Mediante las pérdidas objetivo y el caudal de diseño, se ejecuta un 

proceso iterativo para determinar el diámetro que cumple las restricciones. Al finalizar el 
proceso se obtiene un diámetro óptimo en un espacio continuo de soluciones. 

5.  Redondeo  de  diámetros:  Se  trata  del  procedimiento  de  redondeo  de  los  diámetros 

continuos a los valores discretos disponibles según el catálogo de diámetros comerciales. 
Es común utilizar el redondeo potencial a la 2.6 (Saldarriaga, 2016). 

 

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en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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6.  Optimización:  De  manera  similar  al  algoritmo  de  optimización  por  programación  por 

restricciones, se realiza una reducción iterativa de todos los diámetros posibles sin violar 
el requerimiento de presión mínima en los nodos.  

3.3.4  Redondeo de diámetros 

Retomando  la  restricción  estipulada  en  la  Ecuación  27,  se  conoce  que  el  diseño  de  una  red  de 
distribución de agua potable debe contemplar la condición de contar con un número limitado de 
diámetros  comerciales  según  la  disponibilidad  que  ofrezca  el  fabricante.  Por  consiguiente,  el 
conjunto de diámetros comerciales debe establecerse como una serie de valores discretos. Dado 
que las metodologías de optimización LOGH y SOGH determinan los diámetros en un espacio de 
solución  continuo  (conjunto  de  los  números  reales),  es  indispensable  plantear  alguna  heurística 
que permita aproximar los diámetros calculados a valores discretos sin apartarse, en lo posible, del 
óptimo económico (Saldarriaga, 2016).  

El redondeo de los diámetros puede llevarse a cabo de diferentes maneras. Una primera opción 
consiste en aproximar al diámetro comercial inmediatamente superior (Saldarriaga, 2016). A pesar 
del incremento en la capacidad de caudal de las tuberías, el costo del sistema  incrementa en la 
medida que un diámetro mayor implica un encarecimiento potencial del precio. De esta manera, si 
se desea reducir el costo del sistema, es prioritario reducir la mayor cantidad de diámetros. Otras 
metodologías  corresponden  a  aproximar  al  diámetro  comercial  más  cercano  o  realizar 
correcciones  que  permitan  ajustar  el  diámetro  a  un  valor  proporcional  según  el  caudal  de  flujo 
(Saldarriaga  et.  al.,  2010).  Independiente  de  la  metodología,  es  importante  reconocer  que  el 
comportamiento  hidráulico  del  diseño  cambiará,  por  lo  que  es  imprescindible  establecer  si  en 
algún punto de la red se incumple con el límite de presión mínima (Saldarriaga et. al., 2010).  

La  heurística  para  obtener  los  diámetros  comerciales  óptimos  consiste  en  un  algoritmo  de 
programación combinatoria en la medida que incluye tanto la técnica SOGH como la Programación 
por Restricciones según lo propuesto por Villalba et. al. (2005). El primer paso consiste en aplicar 
la metodología SOGH para obtener los diámetros continuos (Ochoa y Saldarriaga, 2009). Después, 
se aplica un algoritmo de Programación por Restricciones, el cual consiste en incrementar todos 
los diámetros a los inmediatamente superiores (Villalba et. al., 2005). En caso tal que el diámetro 
sea  superior  al  máximo,  deberá  reducirse  a  este  valor.  Si  en  algún  nodo  no  se  cumple  con  la 
presión mínima, inicia un proceso iterativo en el que se aumenta el diámetro al inmediatamente 
superior a la tubería con la máxima pendiente de fricción hasta cumplir con el requisito (Ochoa y 
Saldarriaga,  2009).  Posteriormente,  se  aplica  otro  algoritmo  de  programación  por  Restricciones 
para reducir los diámetros del sistema (Villalba et. al., 2005). La red se recorre dos veces según la 
posición  del  ducto:  una  en  orden  ascendente  a  la  distancia  topológica  y  otra  en  orden 
descendente (Ochoa y Saldarriaga, 2009). Para cada caso se reduce el diámetro de cada tubo al 
mínimo sin incumplir con la restricción de la presión mínima.  Villalba et. al. (2005) demostraron 

 

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que la metodología arroja resultados relativamente buenos. En el siguiente diagrama de flujo se 
ilustran los pasos estipulados para redondear los diámetros.  

 

Figura 5. Diagrama de Flujo 3 - Redondeo de diámetros Parte A. Adaptado de Saldarriaga (2016). 

 

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Figura 6. Diagrama de flujo 3 - Redondeo de diámetros Parte B. Adaptado de Saldarriaga (2016). 

 

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3.4  Herramientas computacionales 

3.4.1  Programa REDES 

REDES  es  un  software  desarrollado  por  el  Centro  de  Investigaciones  en  Acueductos  y 
Alcantarillados (CIACUA) del Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad de los 
Andes. Se trata de una herramienta para el análisis, diseño, simulación hidráulica y de calidad del 
agua  de  sistemas  de  tuberías  con  flujo  a  presión,  tanto  para  escenarios  estáticos  como  para 
períodos  extendidos  (Saldarriaga  et.  al.,  2018).  Entre  sus  características  computacionales  más 
importantes se encuentra el lenguaje de programación PASCAL, una implementación en el entorno 
de  desarrollo  Delphi,  funcionamiento  en  el  sistema  operacional  Windows  y  el  seguimiento  del 
paradigma  de  programación  orientada  a  objetos  (Saldarriaga,  2016).  Cabe  resaltar  que  para  el 
presente trabajo se empleará la versión del año 2019. 

REDES cuenta con una interfaz gráfica que permite visualizar la red a modelar por el usuario. En 
ella  se  pueden  ubicar  geográficamente  los  nodos,  embalses,  tuberías,  distinguir  superficies  y 
curvas de nivel y obtener un mapeo de la topografía tridimensional del sistema.  En la Figura 7 y 
Figura  8  se  visualiza  la  interfaz  gráfica  de  REDES  para  el  caso  de  un  sistema  en  dos  y  tres 
dimensiones,  respectivamente,  para  la  red  de  ejemplo  incluida  en  la  licencia.  Con  respecto  a  la 
teoría  hidráulica,  REDES  incorpora  la  ecuación  de  Darcy-Weisbach,  Colebrook-White  y  Hazen-
Williams  para  caracterizar  las  pérdidas  por  fricción,  así  como  el  Método  del  Gradiente  para  el 
cálculo de los circuitos, empleando rutinas que desarrollan la factorización incompleta de Cholesky 
en  la  operación  de  las  matrices  (Saldarriaga,  2016).  A  comparación  de  otros  softwares  de  uso 
similar,  REDES  tiene  la  capacidad  de  ejecutar  cálculos  hidráulicos  de  alta  complejidad  con  un 
ahorro importante de tiempo y gasto computacional (Bernal y Saldarriaga, 2008).  

 

Figura 7. Interfaz REDES 2019 para la red de ejemplo. 

 

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Figura 8. Interfaz REDES 2019 visualización 3D de la SOP. 

En la pestaña Editar se encuentran los botones para materializar la red sobre el lienzo. Cada uno 
de los elementos se puede agregar bien sea presionando el ícono que lo representa y ubicándolo 
sobre la interfaz o ingresando en Editar Red para especificar las coordenadas, caudal demandado, 
longitud, línea del gradiente hidráulico o cualquier otra característica pertinente para el programa.  

 

Figura 9. Botones para la construcción de la red. 

 

Figura 10. Ventana de edición de red. 

En cuanto al diseño optimizado, REDES incorpora cinco metodologías para minimizar la Ecuación 
28  en  la  pestaña  Diseñar:  OPUS,  Algoritmos  Genéticos  (AG),  Superficie  Óptima  de  Gradiente 
Hidráulico (SOGH), Algoritmos de Programación Combinatoria y Búsqueda de Armonía. Las rutinas 
se basan en el principio de mantener la presión mínima en todos los nudos, la reducción del costo 

 

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de  la  red  y  el  diseño  contemplando  un  conjunto  discreto  de  diámetros  según  lo  que  el  usuario 
defina  (Saldarriaga,  2016).    Asimismo,  el  software  integra  las  restricciones  estipuladas  en  la 
Ecuación 15, Ecuación 17, Ecuación 26 y en la Ecuación 27. En la pestaña “Diseñar” se le permite 
escoger  al  usuario  su  metodología  de  preferencia.  Cabe  resaltar  que  se  debe  contar  con 
parámetros  como  la  rugosidad  absoluta,  el  coeficiente  de  la  Ecuación  de  Hazen-Williams,  la 
presión  mínima  admisible,  el  conjunto  discreto  de  diámetros  comerciales,  las  constantes  de  la 
curva  de  costos,  entre  otros  valores  para  ejecutar  el  diseño  de  manera  adecuada.  Finalizado  el 
proceso, el programa muestra en pantalla una ventana emergente que comunica el costo final, el 
tiempo transcurrido y el número de iteraciones necesarias para alcanzar el resultado.  

 

Figura 11. Pestaña Diseñar. 

 

Figura 12. Ventana de resultados del diseño optimizado. 

3.4.2  Programa MATLAB 

La plataforma de programación MATLAB es un software matemático y privativo desarrollado por 
la empresa MathWorks. El programa se especializa en la resolución de problemas concernientes 
con  el  análisis  numérico,  la  computación  y  visualización  de  los  resultados,  siendo  ampliamente 
utilizado  en  el  campo  de  la  ingeniería  y  las  ciencias  exactas  (Sigmon,  1993).  A  nivel  general, 
pueden  atribuírsele  aplicaciones  en  las  áreas  de  análisis  de  datos,  modelación  numérica, 
optimización,  ecuaciones  diferenciales,  estadística,  procesamiento  de  señales,  programación 
lineal,  entre  otras  (Gjendemsjo,  2006).  Estas  funciones  pueden  utilizarse  bien  sea  mediante  la 
declaración de código en un entorno interactivo de desarrollo integrado o mediante el uso de una 
amplia  variedad  de  rutinas  ya  instaladas  en  complementos  o  Toolboxes  (Houcque,  2005).  Estos 
últimos  abarcan  una  serie  de  procesos  y  cálculos  matemáticos  en  alguno  de  los  campos  de 
especialidad ya mencionados.  

 

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El nombre de la plataforma surge como una abreviación de “Matrix Laboratory”, lo cual refleja la 
naturaleza de su lenguaje de programación de alto nivel (M). A diferencia de otros lenguajes que 
trabajan  con  un  número  al  tiempo,  MATLAB  opta  por  arreglos  multidimensionales  o  matrices 
completas independiente de la naturaleza de la información (MathWorks, 2019). Asimismo, este 
cuenta con sus debidas estructuras de control, de datos y otras características del paradigma de 
programación  orientada  a objetos.  Según Gjendemsjo (2006), el lenguaje es del tipo intérprete, 
por lo que no depende de la máquina (máquina virtual). Algunas de las ventajas que se atribuyen a 
MATLAB  son:  la  depuración  eficiente,  la  posibilidad  de  llamar  librerías  externas,  la  facilidad  de 
implementar  los  algoritmos,  la  sencillez  para  desarrollar  código  y  la  capacidad  de  procesar 
imágenes (University of Cincinnati, 2019). 

En la Figura 13 se muestra la disposición predeterminada de la interfaz de MATLAB versión R2018a 
de  la  licencia  adquirida  por  la  Universidad  de  los  Andes.  Se  pueden  señalar  tres  paneles 
principales:  Carpeta  actual  o  “Current  Folder”,  Ventana  de  comandos  o  “Command  Window”  y 
Área de trabajo o “Workspace” (MathWorks, 2019). El primero de ellos se emplea para acceder a 
los archivos, bien sea rutinas, funciones, entre otros, el segundo para ingresar los comandos y el 
tercero para explorar los datos creados (arreglos, matrices o variables, por ejemplo) e importados 
(MathWorks,  2019).  El  panel  superior  contiene  una  serie  de  botones  que  permiten  ejecutar 
comandos específicos, como por ejemplo la limpieza de la ventana, la creación de variables o la 
ejecución de algún complemento (Griffiths, 2018). 

 

Figura 13. Interfaz MATLAB R2018a. 

El  desarrollo  de  los  algoritmos  implica  el  uso  de  algunas  funciones  preestablecidas  en  MATLAB 
para los procesos de lectura de datos, trazado de gráficas e interpolación: 

•  Función  xlsread:  Lee  un  archivo  de  hoja  de  cálculo  de  Microsoft  Excel  y  permite  su 

almacenamiento en una matriz (Mathworks, 2020). 

 

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•  Función  scatter3:  Dibuja  un  diagrama  de  dispersión  tridimensional  a  partir  de  las 

coordenadas X, Y y Z que se ingresan como parámetros (Mathworlks, 2020). 

•  Función line: Traza una línea entre dos puntos en el espacio a partir de las coordenadas X, 

Y y Z que se ingresan como parámetros (Mathworks, 2020). 

•  Función  griddata:  Interpola  información  a  partir  de  nubes  de  puntos  en  dos  o  tres 

dimensiones  (Mathworks, 2020).  El método recibe como parámetro el dominio sobre el 
cuál interpolar, es decir, un teselado o enmallado donde se sitúan los puntos de análisis. 
De manera preliminar, la función obtiene la envolvente convexa de la nube, es decir, aquel 
polígono convexo de mínima área que encierra la totalidad de los puntos (Buitrago et. al., 
2015). Posteriormente, la función interpola la información según el método de preferencia 
estipulado por el usuario. Mathworks (2020) ofrece cinco opciones: interpolación lineal, 
del vecino más cercano, natural, cúbica y biharmónica.  

•  Función delaunay: Desarrolla una triangulación de Delaunay sobre la envolvente convexa 

de una serie de puntos en el espacio (Mathworks, 2020). La subdivisión en triángulos se 
realiza  asegurando  que  la  circunferencia  circunscrita  a  cada  uno  de  ellos  no  encierre 
puntos  diferentes  a  los  vértices  del  triángulo  en  cuestión  (Lee  y  Schachter,  1980).  Las 
ventajas  del  método  radican  en  la  posibilidad  de  desarrollar  la  triangulación  de  manera 
independiente  al  orden  de  los  puntos,  reducir  problemas  de  precisión  al  optar,  en  lo 
posible, por triángulos equiángulos y por garantizar que todos los puntos se encuentran lo 
más cerca posible a alguno de los vértices (Tchoukanski, s.f.).  

•  Función  trisurf:  Dibuja  la  superficie  definida  por  una  triangulación  tridimensional, 

conectando planos entre los vértices de los triángulos según la conectividad definida por el 
método de Delaunay (Mathworks, 2020). 

3.4.3  Programa ArcGIS 

ArcGIS es un sistema de información geográfica (SIG) que integra herramientas computacionales 
para crear y trabajar con datos geográficos (ESRI, 2002). El software ofrece modelos de alto nivel 
que representan información espacial mediante capas shapefile, ráster, grid, imágenes, redes de 
triángulos  irregulares  (TIN),  entre  otras  estructuras  (ESRI,  2002).  Asimismo,  integra  un  sistema 
DBMS para el manejo de bases de datos geográficas o geodatabases (ESRI, 2002). Como resultado, 
el  software  permite  el  desarrollo  de  tareas  avanzadas  en  mapeo,  geoprocesamiento,  edición  y 
administración de datos y análisis geográfico (ESRI, 2002).  

Para  el  presente  proyecto  se  emplearon  dos  de  las  aplicaciones  del  programa:  ArcMap  y 
ArcToolbox.  La  primera  aplicación  se  enfoca  en  la  cartografía.  Mediante  la  interfaz  y  las  vistas, 
ArcMap  permite  implementar  análisis  basados  en  mapas  o  en  la  representación  visual  de  la 
información (ESRI, 2002). Por su parte, la aplicación ArcToolbox permite procesar los datos a partir 
de  las  herramientas  SIG  especializadas  según  los  requerimientos  científicos  o  ingenieriles  (ESRI, 

 

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2002). Una de las posibles aplicaciones corresponde a los procesos de interpolación, para lo cual 
se cuenta con rutinas de IDW, Kriging, vecino natural, splines, entre otras (ESRI, 2016).  

El método de la distancia inversa ponderada (IDW) se basa en el cálculo de los puntos interpolados 
a través de una combinación lineal ponderada de un conjunto de puntos de muestra (ESRI, 2016). 
La aplicación de IDW supone que la variable a interpolar, dependiente de la ubicación, disminuye 
su influencia a mayor distancia desde la ubicación de los puntos de muestra (ESRI, 2016). Como se 
estipula en su nombre, el método IDW asume que la influencia de un punto conocido se encuentra 
inversamente correlacionada con la distancia del punto donde se desea interpolar la información 
(Azpurua y Dos Ramos, 2010). La ventaja del método se asocia a su simplicidad y eficiencia, en la 
medida que se permite definir la potencia de la ecuación de cálculo, los radios de influencia de los 
puntos de muestra y el uso de barreras (ESRI, 2016).  

 

Figura 14. Interfaz ArcMap. 

 

Figura 15. Herramientas de ArcToolbox. 

 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 

Análisis de la geometría fractal de la Superficie Óptima de Presiones 
en el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable.

 

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Tesis de Pregrado 

72 

 

3.5  Geometría fractal 

Los fractales pueden definirse, a grandes rasgos, como objetos geométricos de alta irregularidad, 
escabrosidad  y  fragmentación  (Mandelbrot,  1993).  La  utilidad  de  estas  entidades  radica  en  su 
capacidad para recrear una amplia variedad de figuras amorfas encontradas de manera común en 
la  naturaleza,  donde  es  imposible  aplicar  los  principios  de  la  geometría  euclídea  (Mandelbrot, 
1983).  En  los  siguientes  apartados  se  examinarán  algunos  aspectos  relevantes  de  la  geometría 
fractal, incluyendo las propiedades principales que permiten la caracterización de estos. 

3.5.1  Autosimilitud 

Cuando se establece que un objeto fractal es autosimilar, se afirma que cualquier parte del objeto 
presenta  similitud  geométrica  tanto  con  otras  partes  como  con  el  objeto  completo  (Falconer, 
1990).  Por  lo  tanto,  la  característica  de  autosimilitud  les  confiere  a  los  fractales  las  mismas  (o 
similares)  propiedades  geométricas  independiente  del  cambio  de  escala  (Falconer,  1990).  De 
manera  formal,  se  puede  establecer  que  un  conjunto  compacto  𝑋  es  autosimilar  si  existe  un 
conjunto  finito  de  semejanzas  contractivas  𝐹

𝑁

= {𝐹

1

, 𝐹

2

, … , 𝐹

𝑛

}

  tal  que  𝑋 = ⋃

𝐹

𝑖

(𝑋)

𝑛

𝑖=1

  y  los 

subconjuntos  de  𝑋  de  la  forma  𝐹

𝑖

(𝑋)

  se  sobreponen  únicamente  en  las  fronteras  (Cardona  y 

Múnera, 2016). El conjunto 𝐹

𝑁

 usualmente se caracteriza como un sistema iterado de funciones 

(Prusinkiewicz, 2004).  

Esta autosimilitud puede ser exacta, aproximada o estadística, dependiendo de la naturaleza del 
objeto fractal. Para el primer caso, se tienen semejanzas exactas independiente de si se analiza el 
objeto a nivel infinitesimal (Mandelbrot, 1977). Esta afirmación solo puede cumplirse en la teoría, 
en la medida que los objetos naturales no mantienen el comportamiento fractal si se desea seguir 
reduciendo  la  escala  de  manera  indefinida.  No  obstante,  los  fenómenos  naturales  pueden 
aproximarse a un fractal considerando que, a nivel estadístico, su comportamiento es autosimilar 
(Mandelbrot,  1977).  En  este  caso,  se  afirma  que  la  autosimilitud  se  manifiesta  de  manera 
estadística. 

3.5.2  Dimensión fractal – Hausdorff-Besicovitch 

Las  propiedades  de  autosimilitud  de  un  fractal  le  confieren  características  que  los  hacen 
intratables  si  se  analizan  desde  la  perspectiva  tradicional  de  la  longitud.  Es  así  como  surge  el 
concepto  de  dimensión  fractal,  cuyo  objetivo  es  establecer  una  estrategia  alterna  a  los 
planteamientos tradicionales de la geometría euclídea. En particular, la dimensión fractal intenta 
describir  la  forma  como  los  objetos  fractales  llenan  el  espacio  (Falconer,  1990).  Una  primera 
definición corresponde al concepto de dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Considérese cualquier 
subconjunto  no  vacío  𝑈  de  𝑅

𝑛

.  El  diámetro  de 𝑈  se  define  como  la  máxima  distancia  entre 

cualquier  par  de  puntos  en  𝑈  (|𝑈| = sup{|𝑥 − 𝑦|: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈})  (Falconer,  1990).  Una  familia 
contable  {𝑈

𝑖

}

  es  una  𝛿-cobertura  de  un  subespacio  𝐹  de  𝑅

𝑛

  si  𝐹 ⊂ ⋃

𝑈

𝑖

∞

𝑖=1

  con  diámetro  0 <

 

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73 

 

|𝑈

𝑖

| ≤ 𝛿  para  todo  𝑖 ∈ 𝐼  (Fernández  y  Sánchez,  2015).  Defínase  para  cualquier  número 𝑠  no 

negativo la medida s-dimensional de Hausdorff de F como: 

𝐻

𝛿

𝑠

(𝐹) = inf{∑|𝑈

𝑖

|

𝑠

: {𝑈

𝑖

} 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝛿 − 𝑐𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐹} 

∞

𝑖=1

 

𝐻

𝛿

𝑠

(𝐹) = lim

𝛿→0

𝐻

𝛿

𝑠

(𝐹) 

De  la  anterior  expresión,  se  conoce  que  a  medida  que  𝛿  decrece,  la  cantidad  de  coberturas 
permisibles  de  𝐹  se  reduce,  implicando  que  el  valor  de  𝐻

𝛿

𝑠

(𝐹)  incremente  (Edgar,  1990).  En  el 

límite cuando 𝛿 → 0

+

, el valor de 𝐻

𝛿

𝑠

(𝐹) usualmente toma el valor de 0 o ∞, con la existencia de 

un  cambio  brusco  para  un  valor  𝑠

𝑜

  (Fernández  y  Sánchez,  2015).  Este  valor  se  denomina  la 

dimensión de Hausdorff, cuya expresión formal se muestra a continuación: 

𝑠

𝑜

= dim

𝐻

𝐹 = inf{𝑠: 𝐻

𝑠

(𝐹) = 0} = sup {𝑠: 𝐻

𝑠

(𝐹) = ∞} 

Ecuación 40. Dimensión de Hausdorff-Besicovitch. 

Dónde: 
𝑠

𝑜

: Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch.

   

𝐻

𝑠

(𝐹): Medida s-dimensional de F. 

Para valores pequeños de s, las potencias de los diámetros tienden a 1 y, por ende, la sumatoria 
diverge, mientras que, para valores grandes de s, los valores de la sumatoria convergen a cero. La 
dimensión de Hausdorff es precisamente el punto  donde la medida s-dimensional de  Hausdorff 
salta  espontáneamente  entre  cero  e  infinito  (Falconer,  1990).  Los  conceptos  anteriores  deben 
entenderse como una manera para medir los objetos fractales. En otras palabras, las coberturas 
pueden entenderse como conjuntos que “encierran” a los objetos fractales, permitiendo describir 
su medida a partir de las características geométricas de la cobertura.  

3.5.3  Dimensión fractal – Box Counting 

Aunque la  dimensión de Hausdorff se constituye como uno de los planteamientos teóricos más 
importantes  para  caracterizar  los  fractales,  su  implementación  a  nivel  computacional  es 
ineficiente. Es así como surgen otras definiciones alternativas de dimensión fractal que, en muchas 
ocasiones, pueden utilizarse para resolver problemas en el computador. Una medida a escala  𝛿 
puede representarse de manera aproximada a partir de una ley de potencia, donde el exponente 
que acompaña a 𝛿 corresponde al negativo de la dimensión del fractal a analizar (Falconer, 1990).  

𝑀

𝛿

(𝐹) ≈ 𝑐 ∗ 𝛿

−𝑠

 

Ecuación 41. Medición de fractales mediante una ley de potencias. 

Dónde: 
𝑠

: Dimensión fractal.

 

 

𝛿

: Escala.    

𝑐:

 Coeficiente. 

𝑀

𝛿

(𝐹): Medición de F a escala 

𝛿

. 

 

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74 

 

Si  se  toma  el  logaritmo  a  ambos  lados  de  la  ecuación  y  se  despeja  s,  se  haya  un  cociente  que 
determina  la  dimensión  fractal  del  objeto.  Ahora  bien,  para  cualquier  𝛿,  el  análisis  ignora  las 
irregularidades  de  tamaño  inferior,  por  lo  que  una  caracterización  exacta  del  fractal  se  obtiene 
cuando 𝛿 → 0 (Falconer, 1990). 

𝑠 = lim

𝛿→0

log 𝑀

𝛿

(𝐹)

− log(𝛿)

 

Ecuación 42. Estimación de la dimensión fractal mediante ley de potencias. 

Dónde: 
𝑠

: Dimensión fractal.

 

 

𝛿

: Escala. 

𝑀

𝛿

(𝐹): Medición de F a escala 

𝛿

. 

A partir de la Ecuación 42, y recobrando los conceptos de cobertura de la dimensión de Hausdorff, 
se puede establecer el concepto de dimensión caja o “box dimension”. Si se considera cualquier 
subespacio F no vacío y acotado de 𝑅

𝑛

, la dimensión fractal se puede describir según el número 

mínimo de conjuntos de diámetro de a lo sumo 𝛿 que pueden recubrir F, en particular cuando 𝛿 →
0

 y el límite existe (Falconer, 1990). Los conjuntos pueden representarse bien sea como cubos de 

lado 𝛿, bolas cerradas de radio 𝛿, cuadrículas de cubos de lado 𝛿, entre otras formas (Falconer, 
1990).  El  método  recibe  su  nombre  debido  a  la  preferencia  de  plantear  la  cobertura  mediante 
grillas de cubos. En efecto, 𝑀

𝛿

(𝐹) será igual al número de cajas necesarias (proceso de conteo o 

“counting” para recubrir el fractal.  

3.6  Análisis fractal 

A partir de los preceptos matemáticos es posible establecer algunas metodologías que suponen 
una caracterización de los fractales. Para el caso particular de las redes de distribución, se pueden 
establecer  tres  algoritmos  para  determinar  las  características  fractales  de  los  fenómenos 
hidráulicos  asociados  al  diseño  optimizado:  el  algoritmo  box-covering,  el  análisis  de  rango 
reescalado (R/S) y el análisis de la lagunaridad. 

3.6.1  Algoritmo Box-Covering 

El algoritmo Box-Covering aplica los principios de dimensión fractal según el conteo de cajas. El 
método intenta determinar el número mínimo de cajas necesarias (𝑁

𝑏

), de un tamaño dado, para 

cubrir una red compleja en su totalidad (Schneider et. al., 2018).  Bajo este contexto, una caja se 
define como un conjunto de nodos donde todas las distancias 𝑙

𝑖𝑗

 entre dos nodos 𝑖 y 𝑗 no superan 

un tamaño 𝑙

𝑏

 predefinido (Song et. al., 2007). Un par de nodos no pueden pertenecer a una misma 

caja si 𝑙

𝑖𝑗

> 𝑙

𝑏

; de manera contraria, dos nodos pueden pertenecer a una misma caja si  𝑙

𝑖𝑗

< 𝑙

𝑏

 

(Song  et.  al.,  2007).  La  situación  puede  describirse  mediante  un  problema  de  optimización 
pertenece  a  la  familia  NP-complejo,  lo cual  sugiere  la  implementación  de  alguna  heurística  que 
aporte soluciones aproximadas (Song et. al., 2007).   

 

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75 

 

Para el caso de las RDAPs, el cálculo del número de cajas puede realizarse según las características 
hidráulicas y topológicas del sistema, condiciones que se representan mediante la asignación de 
un peso para cada una de las uniones. El análisis de la topología del sistema se efectúa mediante la 
implementación de un peso unitario para cada nodo (ver Ecuación 43) (Wei et. al., 2013). Por su 
parte, si se desea considerar la hidráulica, los pesos pueden representarse según la sumatoria de 
caudales  que  ingresan  al  nodo  en  cuestión  o  al  producto  de  dicha  sumatoria  por  la  altura 
piezométrica (ver Ecuación 44 y Ecuación 45) (Vargas et. al., 2019). 

𝑤

𝑖

= 1

 

Ecuación 43. Peso según la topología del sistema. 

𝑤

𝑖

= ∑ 𝑄

𝑖

 

Ecuación 44. Peso según el caudal. 

𝑤

𝑖

= 𝐿𝐺𝐻

𝑖

∗ ∑ 𝑄

𝑖

 

Ecuación 45. Peso según el producto del caudal y la altura piezométrica. 

Dónde: 
𝑤[−]

: Peso.

 

 

𝑄

𝑖

[𝑚

3

/𝑠]

: Caudal nodo i.

 

𝐿𝐺𝐻

𝑖

 

[𝑚]

:

 

Altura piezométrica nodo i. 

 

A partir de los planteamientos de Vargas et. al. (2019) y Song et. al. (2007), se puede establecer el 
siguiente procedimiento para determinar la dimensión fractal: 

1.  Determinar  𝑙

𝑏𝑚𝑖𝑛

  y 𝑙

𝑏𝑚𝑎𝑥

.  Según  Vargas  et.  al.  (2019),  se  recomienda  el  uso  de  valores 

impares. 

2.  Definir el tamaño 𝑙

𝑏

. Según Vargas et. al. (2019), se recomienda el uso de valores impares. 

3.  Definir el tamaño del paso, en términos del número de uniones, como (𝑙

𝑏

− 1)/2

. De esta 

manera, la máxima distancia entre dos uniones cualquiera de una misma caja, siguiendo la 
ruta más corta, resulta ser menor o igual a 𝑙

𝑏

− 1

 (Vargas et. al., 2019). 

4.  Calcular el peso de cada unión según algún criterio hidráulico o topológico. 
5.  A partir del tamaño del paso, se suman los pesos de todos los nodos encerrados por una 

hipotética caja generada para cada unión. Cabe resaltar que solo se consideran los nodos 
que no han sido acaparados por alguna otra caja. 

6.  La unión con el mayor peso se escoge como el centro de la nueva caja, cubriendo además 

los nodos al interior de sus fronteras. 

7.  El proceso se repite hasta que todos los nodos sean cubiertos. 
8.  Contar el número de cajas 𝑁

𝐵

 necesarias para cubrir todos los nodos.  

9.  Repetir el proceso para todos los 𝑙

𝑏

 entre 𝑙

𝑏𝑚𝑖𝑛

 y 𝑙

𝑏𝑚𝑎𝑥

. 

 

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76 

 

10. Obtener la regresión log(𝑁

𝐵

) 𝑣𝑠 log(𝑙

𝑏

)

. La pendiente de la recta de ajuste corresponderá 

al  negativo  de  la  dimensión  fractal.  Si  se  encuentra  un  coeficiente  de  determinación 
cercano a la unidad, puede afirmarse que la red presenta propiedades que se ajustan al 
modelo potencial de medida de fractales. 

La  lista  de  pasos  se  puede  resumir  en  el  siguiente  diagrama  de  flujo  acorde  al  algoritmo 
implementado en REDES 2019: 

 

Figura 16. Diagrama de flujo - Análisis fractal de las redes. Recuperado de Vargas et. al. (2019). 

3.6.2  Análisis de Rango Reescalado (R/S) 

Otra manera de afrontar el problema de la fractalidad es a través de la perspectiva estadística. En 
este contexto, es usual recurrir a una cantidad denominada el coeficiente o exponente de Hurst 
(𝐻), cuyo objetivo es realizar una caracterización de cualquier serie de tiempo en términos de sus 
propiedades fractales y memoria a largo plazo (Qian y Rasheed, 2004). En teoría, el exponente de 
Hurst puede tomar cualquier valor entre 0 y 1; si 𝐻 > 0.5 se dice que la serie de tiempo presenta 
un  comportamiento  persistente  o  de  autocorrelación  positiva,  mientras  que  para  valores 
inferiores a 0.5 se presenta una naturaleza antipersistente (Gilmore et. al., 2002).  Cuando 𝐻 es 
igual a 0.5, se dice que la serie tiene un comportamiento errático (Qian y Rasheed, 2004). 

La importancia del exponente de Hurst corresponde a su relación con la dimensión fractal. Según 
Kleinow (2002), para procesos autosimiliares es común relacionar la dimensión fractal a partir de 
𝐻

  como  se  establece  en  la  Ecuación  46.  De  esta  manera,  determinar  𝐻  supone  una  medida 

 

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77 

 

indirecta del comportamiento fractal de algún fenómeno que se pueda representar mediante una 
serie de tiempo.  

𝐷 = 2 − 𝐻

 

Ecuación 46. Dimensión fractal a partir del exponente de Hurst. 

Dónde: 
𝐷[−]

: Dimensión fractal.

   

𝐻[−]

: Exponente de Hurst. 

Una  manera  recurrente  de  calcular  𝐻  corresponde  al  Análisis  de  Rango  Reescalado  (R/S),  que 
funciona como una medida estadística de la variabilidad de una serie de tiempo dada (Quintero y 
Ruíz, 2011). A partir de lo establecido por Qian y Rasheed (2004) se define una serie de pasos para 
aplicar un análisis R/S sobre cualquier serie de tiempo 𝑋

1

, 𝑋

2

, … , 𝑋

𝑛

:

 

1.  Determinar la media 𝑋̅. 

𝑋̅ =

1
𝑛

∑ 𝑋

𝑖

𝑛

𝑖=1

 

Ecuación 47. Media de la serie de tiempo. 

Dónde: 
𝑛[−]

: Número total de datos.

     

𝑋

𝑖

[−]

: Valor de la serie en el tiempo i.

 

 

2.  Calcular una serie ajustada por la media. 

𝑌

𝑖

= 𝑋

𝑖

− 𝑋̅     𝑖 ∈ [1,2, … , 𝑛]

 

Ecuación 48. Serie de tiempo ajustada por la media. 

3.  Obtener una serie acumulativa a partir de la serie ajustada por la media. 

𝑍

𝑖

= ∑ 𝑌

𝑘

𝑖

𝑘=1

     𝑖 ∈ [1,2, … , 𝑛]

 

Ecuación 49. Serie acumulativa. 

4.  Calcular la serie de rangos según la serie acumulativa. 

𝑅

𝑖

= max(𝑍

1

, 𝑍

2

, … , 𝑍

𝑖

) − min(𝑍

1

, 𝑍

2

, … , 𝑍

𝑖

)     𝑖 ∈ [1,2, … , 𝑛]

 

Ecuación 50. Serie de rangos. 

5.  Determinar una serie de desviaciones estándar a partir de los valores originales de la serie. 

En este caso, “u” corresponde a la media entre X

1

 y X

i

.