Alcantarillados: un programa para el diseño optimizado de la topología y el
diseño de mínimo costo de redes de drenaje urbano
“XII Simposio Iberoamericano sobre planificación de sistemas de
abastecimiento y drenaje”
Daniel Luna (1), Emilio Corrales (2), Laura Montaño (3),
Andrés Ardila (4), Juan Saldarriaga (5)
(1)(2)(3) Investigador(a), Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad
de Los Andes, Carrera 1ª Este N° 19A -40, Bogotá Colombia, (+571) 3394949 Ext: 3066,
de.luna123@uniandes.edu.co; e.corrales61@uniandes.edu.co; le.montano110@uniandes.edu.co.
(4) Monitor de Investigación, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la
Universidad de Los Andes, Carrera 1ª Este N° 19A -40, Bogotá Colombia, (+571) 3394949 Ext: 3520,
af.ardila327@uniandes.edu.co.
(5) Profesor Titular, Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental, Director Centro de
Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de Los Andes (CIACUA), Carrera
1ª Este N° 19A -40, Bogotá, Colombia, (+571) 3394949 Ext: 3521, jsaldarr@uniandes.edu.co.
RESUMEN
En la búsqueda de criterios hidráulicos que permitan encontrar diseños de redes de drenaje urbano de bajo
costo, el programa ALCANTARILLADOS, del Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados
de la Universidad de Los Andes – CIACUA Bogotá, Colombia, implementa técnicas exhaustivas que
resuelven completamente el espacio solución del problema. En este artículo se muestra la forma en la que se
plantearon los algoritmos exhaustivos para resolver los problemas de diseño de alcantarillados, buscando
hacerlos computacionalmente eficientes, y la forma en la que se identificaron los criterios hidráulicos que
ayudan a encontrar de manera directa soluciones de mínimo costo.
Palabras claves: Técnicas exhaustivas, algoritmos eficientes, diseño, alcantarillado, criterio hidráulico.
ABSTRACT
The software ALCANTARILLADOS, developed in Los Andes University's Aqueducts and Sewers Research
Center - CIACUA (by its initials in Spanish) has allowed finding hydraulic criteria to minimize sewer design
costs, implementing exhaustive techniques. This paper shows the use of exhaustive algorithms in order to
solve the optimization of sewer system design problem, making them work efficiently. Also, shows the
search technique of these hydraulic criteria.
Key words: Exhaustive techniques, efficient algorithms, design, sewer, hydraulic criteria.
SOBRE EL AUTOR PRINCIPAL
Daniel Luna Beltrán: Ingeniero Ambiental Universidad de Los Andes, Bogotá Colombia. Estudiante de la
maestría en Recursos Hídricos, y de la maestría en Construcción de Software de la Universidad de los Andes,
Colombia. Asistente Graduado del Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados CIACUA del
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental de la Universidad de los Andes, Colombia. Investigador del
Centro de Investigación Estratégica del Agua (CIE-AGUA) de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de
los Andes, Colombia.
ANTECEDENTES E INTRODUCCIÓN
Actualmente, la mayoría de poblaciones en América
Latina cuentan con una baja cobertura en sus
sistemas de saneamiento básico; esto sucede
principalmente por el bajo presupuesto con el que
cuentan para sobrellevar los gastos asociados con la
construcción y operación de éstos. Este problema ha
sido abordado por la comunidad académica, y a
partir de la década de 1940 se empezó a estudiar la
optimización de redes de alcantarillado y la
importancia que tiene este procedimiento sobre la
efectividad y viabilidad de los diseños (Harden-
bergh, 1942). En el Centro de Investigaciones en
Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de
Los Andes, CIACUA Bogotá, Colombia, se ha
venido desarrollando, desde hace varios años, una
metodología para el diseño optimizado de redes de
drenaje urbano que se ha implementado en el
programa ALCANTARILLADOS.
Fue en la década de los 70’s que se empezó a separar
el procedimiento del diseño de redes de drenaje
urbano en dos componentes: la selección de la
topología o trazado de la red, y el diseño hidráulico
de ésta (Argaman, et al., 1973). También, se
estableció la relación existente entre estos dos
procedimientos y su impacto en los costos finales
del proyecto. Tres décadas más tarde, ya era claro
que la optimización del trazado solo puede ser
llevada a cabo luego de tener un modelo capaz de
generar diseños hidráulicos optimizados (Weng &
Liaw, 2005). Por esta razón, en el programa
ALCANTARILLADOS
se
comenzó
con
la
búsqueda de una técnica de diseño hidráulico
enfocada en la reducción de los costos de los
diámetros y el volumen de excavación, dadas unas
condiciones topológicas iniciales (López, 2012).
Para
esto,
fueron
utilizadas
técnicas
computacionales
exhaustivas,
tales
como
programación por restricciones sobre grafos,
encontrando siempre la forma de optimizar los
diseños bajo las condiciones establecidas.
El siguiente paso consistió en la creación de
algoritmos que fueran capaces de generar trazados
de forma exhaustiva dada una cantidad de puntos de
unión. Así, el programa ALCANTARILLADOS fue
capaz de evaluar y diseñar todos los trazados
posibles para cualquier condición de topografía,
topología y aporte de caudal. Evidentemente, el
desafío más grande ha sido la minimización de los
tiempos de ejecución mediante técnicas de aumento
de eficiencia computacional, o algoritmos eficientes,
ya que el uso de procedimientos exhaustivos sobre el
problema de diseño de alcantarillados hace que
dichos tiempos aumenten de forma exponencial, ya
que se trata de un problema NP-Duro.
El análisis de los resultados logrados con el
programa ALCANTARILLADOS ha permitido
aclarar la forma como se optimizan los diseños de
las redes de drenaje urbano, y encontrar criterios
hidráulicos para la selección de trazados que
reduzcan los costos de diseño. Usando el programa
se han obtenido diseños hidráulicos con costos
mucho menores que otros modelos, que también son
capaces de realizar este procedimiento con un
trazado definido. Por último, ha demostrado la
importancia que tiene el uso de algoritmos eficientes
como componente central en la resolución de
problemas complejos.
BASE CIENTÍFICO – TEÓRICA
En teoría sobre complejidad de algoritmos se
destacan 3 tipos de problemas, a saber: problemas
que pueden ser resueltos en un tiempo polinomial
(problemas P, NP), problemas que son resueltos en
un
tiempo
no-polinomial
(NP-Completo)
y
problemas que pueden tener un tiempo de solución
aún mayor (NP-Duro). Los problemas más
complejos se pueden identificar siempre que la
variable que describe el tamaño del problema tenga
una tasa de crecimiento exponencial o mayor
(Russell, et al., 2010).
Con el objetivo de dimensionar el espacio a
explorar, se utiliza el ‘principio de multiplicación’,
usado dentro de la teoría de conteo. Según este
principio se sabe que si se tiene un número n de
operaciones que pueden desarrollarse de forma
secuencial, en el que cada una puede realizarse de m
maneras diferentes, entonces el número total N de
formas diferentes de realizar todas las operaciones
esta descrito por la Ecuación 1 (Larson, 1992).
∏
(1)
El dimensionamiento de los problemas que
representa el diseño exhaustivo de redes de drenaje
urbano hace uso del principio de multiplicación en
prácticamente la totalidad de los casos.
Uno de los parámetros usados para realizar los
análisis en busca de las redes de alcantarillado de
bajo costo fue la Potencia Unitaria, concepto
desarrollado por Saldarriaga, Romero, Ochoa,
Moreno y Cortés (2007) como un indicador del
comportamiento hidráulico de redes de distribución
de agua potable. La energía que pierde el flujo como
consecuencia de su paso a través de un tramo es lo
que se denomina Potencia Unitaria.
(2)
donde:
es la potencia unitaria de un tramo de
alcantarillado.
es el caudal que mueve el tramo.
son las pérdidas de energía por fricción.
METODOLOGÍA
La búsqueda de criterios hidráulicos que permiten
encontrar de forma directa diseños de redes de
drenaje urbano de bajo costo comenzó con el
dimensionamiento matemático del problema. Para
entender la complejidad del mismo, se mostrarán las
posibilidades de solución que existen conforme se
hable de cada uno de los pasos que componen el
proceso, y la metodología seguida para el desarrollo
del programa ALCANTARILLADOS.
La idea central del módulo de diseño del programa
ALCANTARILLADOS, es que funcione a través de
una metodología determinística que permita obtener
un resultado único dependiendo de los datos de
entrada. Para entender la naturaleza del problema, se
propuso producir todos los diseños válidos posibles
en cada caso, y a partir de este espacio de
soluciones, identificar las características comunes
que comparten las redes de drenaje de menor costo.
El problema del diseño de alcantarillados se divide
en dos componentes: 1) la selección de la topología
o trazado de la red, que consiste en resolver la
conectividad de los puntos de unión, y 2) el diseño
hidráulico de ésta, que consiste en la selección de los
diámetros y las pendientes de todas las tuberías.
Según los trabajos de Weng & Liaw (2005) en el
tema, es posible demostrar que sólo se puede
optimizar la selección de la topología teniendo un
modelo que sea capaz de optimizar el diseño
hidráulico. Esto ocurre ya que el primer modelo
debe hacer uso del segundo, y sus resultados
dependerán completamente de la forma como se
logre la optimización en el primer caso.
Diseño de un tramo de alcantarillado
El
módulo
de
diseño
del
programa
ALCANTARILLADOS comenzó con la solución
del problema de escoger el diámetro y la pendiente
de diseño de un tramo particular, entendiendo un
tramo como la secuencia de tuberías que conectan
dos cámaras de unión. El espacio de este problema
comprende el número de diámetros posibles para
diseño, multiplicado por el número de pendientes en
las que sea posible disponer la tubería, siguiendo el
principio de multiplicación de la Ecuación (1). El
número de diámetros generalmente se limita a una
lista de diámetros comerciales disponibles según el
material. El número de pendientes posibles para
disponer la tubería se puede encontrar mediante la
discretización del rango de pendientes a usar, en
pasos de 1/1000, que es el valor de precisión
admisible para que los topógrafos puedan instalar las
tuberías con exactitud. El resultado obtenido es un
grupo del orden de 10
3
posibilidades diferentes de
disponer la tubería en un solo tramo.
La optimización de la selección del diámetro y la
pendiente de diseño se lleva a cabo usando grupos
pequeños de estas pendientes, tales como las
Pendientes Propias e Intermedias, que permiten
minimizar los costos de la excavación y el costo de
las tuberías en el diseño. Las Pendientes Propias son
aquellas pendientes que hacen que, por una tubería
de diámetro conocido, fluya un caudal con la
máxima relación de llenado posible, permitiendo
aprovechar al máximo la capacidad hidráulica de la
tubería. Las Pendientes Intermedias son pendientes
que se calculan como un promedio ponderado de dos
Pendientes Propias, de tal manera que se logre
reducir la diferencia entre la pendiente del terreno y
la del diseño final. También se pueden excluir del
problema todas aquellas pendientes a partir de las
cuales alguna restricción de diseño no se cumpla,
como las de velocidad o las de esfuerzo cortante en
la pared. Esto hace que el problema se reduzca dos
órdenes de magnitud, teniendo en cuenta que las
pendientes que cumplen con todas las anteriores
condiciones son siempre menos de 10. En este
punto, es posible encontrar los diseños posibles de
cada tramo, que son los conjuntos de diseños hechos
usando Pendientes Propias e Intermedias que
cumplen con las restricciones hidráulicas impuestas.
Diseño
de
una
serie
de
tramos
de
alcantarillado
Una serie de alcantarillado está conformada por una
secuencia de tramos que se encuentran conectados
por cámaras de unión (Figura 1).
Figura 1. Serie ejemplo con 3 tramos de
alcantarillado.
Todas las posibles series de alcantarillado que se
pueden numerar siguiendo la Ecuación (1). Esto
implica que el tamaño del espacio de soluciones del
problema crece de forma exponencial dependiendo
del número de tramos que se añadan a la serie.
En Colombia, para el diseño de una serie de
alcantarillados hay que tener en cuenta que no es
posible disponer tuberías de diámetro menor a las
tuberías de aguas arriba. También es habitual
encontrar
limitaciones
en
las
profundidades
máximas y mínimas en las que las tuberías de
alcantarillado pueden encontrarse. Esto se debe a
obstrucciones que deben ser evitadas, o simplemente
a reglamentación propia de la construcción de las
tuberías, como ocurre con la profundidad mínima
para proteger la tubería de cargas, o de los cuidados
y riesgos asociados con una excavación profunda.
El programa ALCANTARILLADOS, en su módulo
de diseño, comenzó con un algoritmo que organiza
los diseños de t tramos en una matriz M de tamaño:
∏
donde:
es el número de diseños posibles en el
tramo i.
t
es el número de tramos de la serie.
es el i-ésimo tramo de la serie.
Es claro que el número de filas de esta matriz puede
crecer de forma exponencial conforme se aumenta el
número de tramos. Para verificar la validez de los
diseños, se revisaba cada fila de la matriz en forma
individual.
En
este
entonces,
los
tiempos
computacionales eran muy elevados, puesto que no
se tenía en cuenta ninguna restricción del problema
en el desarrollo del algoritmo.
Con el objetivo de aumentar la eficiencia
computacional del algoritmo, se cambió la forma en
la
que
el
programa
ALCANTARILLADOS
organiza, verifica y almacena los datos de los
diseños. Para esto, los diseños se almacenaron como
objetos en una estructura de grafo, como se muestra
en la Figura 2, un ejemplo de una serie con 3 tramos,
con 2, 3, y 2 diseños posibles respectivamente.
Figura 2. Grafo de una serie de 3 tramos de
alcantarillado.
Esta forma de organizar los datos, permite:
1. Reducir el espacio que ocupan los diseños
en memoria principal.
2. Introducir las restricciones en el proceso de
evaluación. De esta manera se reduce el
espacio a explorar, ya que se ignoran los
caminos que incumplan con alguna de las
restricciones:
reducción
de
diámetros,
profundidades máximas y profundidades
mínimas.
3. Almacenar las respuestas usando la menor
cantidad de memoria posible.
Luego de usar el programa ALCANTARILLADOS
para encontrar la totalidad de alternativas válidas en
un amplio conjunto de datos de entrada, se encontró
una fuerte relación inversa entre Potencia Unitaria y
los costos de las tuberías, y una relación directa,
menos fuerte, entre Potencia Unitaria y costos de
excavación. Esto hace que el proceso de
optimización usando este concepto dependa de la
forma de la ecuación de costos. Por esta razón, el
diseño de series de alcantarillado se dejó de forma
exhaustiva para seguir con la búsqueda de un criterio
que permita encontrar el trazado de mínimo costo.
Selección del trazado de una red de
alcantarillado.
El programa ALCANTARILLADOS comienza a
diseñar redes completas teniendo puntos de unión,
direcciones de flujo y puntos de descarga fijos. Estas
redes son de drenaje sanitario o combinado, por lo
que, según la reglamentación, deben pasan por todas
las calles de la ciudad (Figura 3). El punto de
descarga está representado por la estrella.
Figura 3. Grilla ejemplo de una red de
alcantarillado de 2x2 circuitos.
Con el objetivo de mantener la red de alcantarillado
como una red abierta, no se permite que las cámaras
tengan más de una tubería de salida. De esta forma,
la cantidad de trazados que pueden generarse sigue
el principio de multiplicación de la Ecuación 1,
puesto que las n cámaras de la parte superior
izquierda de la red tienen 2 posibilidades de drenaje:
derecha o abajo. Así, la cantidad total de trazados
NT se describe con la Ecuación 3:
(3)
Esto, siempre y cuando los sentidos de flujo estén
fijados como se mostró en la Figura 3, de lo
contrario, las posibilidades de trazado aumentan a:
(4)
Hay que tener en cuenta que la Ecuación 4 ignora la
posición del punto de descarga, puesto que las
direcciones de flujo de todas las cámaras no siguen
un camino definido.
Es evidente entonces que el problema de generación
exhaustiva de trazados es un problema NP-Duro,
puesto que el tamaño del espacio solución crece de
manera exponencial conforme se aumentan los
circuitos de la grilla.
El proceso de diseño de una grilla sigue el siguiente
esquema:
1. Definir los sentidos de flujo. En un principio
el algoritmo exhaustivo trabajó con sentidos
de flujo fijos, debido al tamaño del
problema.
2. Definir las tuberías de inicio o arranque.
Cada cuadra cuenta mínimo con una tubería
de éstas, y se caracterizan por no transportar
el agua que llega a la cámara de aguas
arriba.
3. Ya que la red ha quedado dividida en
caminos, se usa el algoritmo de diseño de
series de alcantarillado para conocer el
diámetro y la pendiente que debe tener cada
tramo.
4. Se realiza un ajuste de cotas de llegada de
las
series
secundarias
a
las
series
principales, usando cámaras de caída.
Los resultados obtenidos por este algoritmo
permitieron encontrar características comunes que
comparten las redes de alcantarillado de bajo costo.
En la mayoría de pruebas que se realizaron con el
programa ALCANTARILLADOS en este punto,
pusieron en evidencia que las características de las
redes de bajo costo dependen enormemente de la
topología y la topografía del lugar. Algunas de estas
características se convirtieron en criterios de diseño,
para ser usadas en un nuevo algoritmo que encuentra
de forma más directa una red de bajo costo, sin la
necesidad de explorar de forma exhaustiva la
totalidad del espacio de soluciones.
Las características de diseño fueron convertidas en
una ecuación de beneficio/costo, teniendo en cuenta
su impacto en el costo final de la red (diámetro
promedio y volumen excavado total). Esta ecuación
fue usada en un algoritmo que construye la red como
un árbol que tiene su raíz en el punto de descarga de
la red (Figura 4). Esta metodología evalúa la
posibilidad de añadir un nuevo tramo a la red,
dependiendo de la calificación otorgada por la
ecuación de beneficio/costo. Al finalizar el proceso,
el programa ALCANTARILLADOS es capaz de
obtener redes de bajo costo, en relación con las
obtenidas mediante la evaluación exhaustiva del
problema.
Figura 4. Árbol ejemplo obtenido para una
grilla de 3x3 con topografía sin pendiente.
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Un estudio detallado del comportamiento de los
algoritmos terminaron por demostrar que el número
de alternativas evaluadas en cada caso no es la única
variable para medir el tiempo computacional
requerido para resolver cada caso. Además de esto,
el número de resultados almacenados en memoria
principal, el tráfico puntual de información en el
procesador del computador, las restricciones
hidráulicas impuestas en el problema, entre otras,
tienen una influencia importante en la cantidad de
tiempo invertido en los análisis. Un ejemplo de esto
se observa en las Figuras 5 y 6, donde se muestran
respectivamente los tiempos de cálculo y los diseños
válidos, con respecto al número de tramos
diseñados.
Figura 5. Tiempos de cálculo del algoritmo
de diseño de series de alcantarillado.
Figura 6. Alternativas válidas encontradas
por el algoritmo de diseño de series de
alcantarillado.
Estos resultados se obtuvieron con el perfil de
terreno y límites mostrados en la Figura 7. El caudal
de entrada en cada cámara es de 20 L/s, y el material
de las tuberías tiene una rugosidad absoluta de
1.5x10
-6
metros.
Figura 7. Perfiles del terreno y límites de excavación usados para el diseño de las series.
Estos resultados al inicio del desarrollo del programa
ALCANTARILLADOS fueron decisivos a la hora
de aumentar la eficiencia del algoritmo, puesto que
explican las variables de las que depende el tiempo
de ejecución del algoritmo.
Los cambios en los tiempos de ejecución del
algoritmo se pueden observar en las siguientes
figuras.
Figura 8. Tiempo promedio usado por el
algoritmo de diseño exhaustivo de series de
tramos de alcantarillado.
Figura 9. Tiempo promedio usado por el
algoritmo de diseño exhaustivo-eficiente de
series de tramos de alcantarillado.
En las Figuras 8 y 9 es evidente la reducción de la
velocidad de crecimiento del tiempo de ejecución
del algoritmo de diseño de series de alcantarillado.
También ocurre lo mismo con el algoritmo de diseño
de grillas. Este comportamiento se puede observar
en las Figuras 10 y 11.
Figura 10. Tiempo promedio usado por el
algoritmo de diseño exhaustivo de redes
con respecto al número de filas + columnas
de la grilla.
Figura 11. Tiempo promedio usado por el
algoritmo de diseño eficiente de redes con
respecto al número de filas + columnas de
la grilla.
Estos resultados fueron obtenidos como el promedio
del tiempo que tardaban en completarse las
simulaciones con diferentes datos de entrada:
caudales, topologías, topografías y materiales.
ANÁLISIS DE RESULTADOS
El nuevo algoritmo de diseño de series de
alcantarillados es capaz de evaluar una serie de
tramos de cualquier tamaño sin incurrir en un tiempo
computacional elevado. Los resultados mostrados en
las Figuras 5 y 6 muestran que el tiempo de
ejecución está más relacionado con la cantidad de
resultados válidos, que con el tamaño del espacio de
alternativas a evaluar, debido al almacenamiento de
datos en memoria principal. Este hecho permitió
reducir la cantidad de alternativas almacenadas en
cada caso, almacenando sólo las alternativas de
menor costo.
La metodología de diseño de redes usando la
estructura de datos en forma de árbol permite
realizar la selección de sentidos de flujo y la
selección de puntos de inicio o arranque de manera
simultánea, para uno o más puntos de descarga en la
red. Esta es una diferencia notable con respecto al
algoritmo de exploración exhaustiva.
El
esquema
funcionamiento
del
programa
ALCANTARILLADOS está basado en un algoritmo
voraz, puesto que en cada paso del diseño de la red
de drenaje realiza una optimización independiente.
Esto ocurre ya que el tamaño del problema es
demasiado grande para ser abordado por completo
de forma directa. Para esto, se requeriría de
supercomputadoras para realizar las exploraciones
exhaustivas. En contraparte, el algoritmo voraz de
ALCANTARILLADOS, es una metodología que ha
sido desarrollada en computadores personales
convencionales, por lo que puede ser probada en
cualquier parte del mundo.
CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES,
Y TRABAJO FUTURO
Después del trabajo desarrollado con el programa
ALCANTARILLADOS es evidente que el análisis
del espacio solución producido por algoritmos
exhaustivos es fundamental para la obtención de
criterios que permitan encontrar diseños de
alcantarillados de bajo costo.
También se destacó la importancia que tiene el
aumento de la eficiencia computacional a la hora de
trabajar con algoritmos exhaustivos. La ventaja
primordial ha sido conocer a fondo el problema a
resolver y utilizar sus restricciones para minimizar
los tiempos de ejecución requeridos. Se recomienda
siempre incluir las restricciones que permitan
reducir el tamaño del problema, cuando se trabaje
con algoritmos de exploración exhaustiva. De igual
forma, los algoritmos voraces son una excelente
aproximación para encontrar resultados cercanos al
óptimo, sin necesidad de contar con equipos
especializados en procesamiento de alta velocidad.
El criterio de Potencia Unitaria debe aplicarse
dependiendo de los costos locales de la excavación y
de las tuberías. Cuando esto esté definido, es posible
encontrar un criterio directo para el diseño de series
de alcantarillado.
ALCANTARILLADOS es un programa capaz de
diseñar redes de drenaje urbano dados una topología
y unos puntos de unión. Un desafío en el que se debe
seguir trabajando es la escogencia óptima de la
ubicación de estos puntos de unión, teniendo en
cuenta un análisis hidráulico del terreno, de los
suelos y de la distribución de aportes de caudal de la
zona. También, la búsqueda de un criterio que
permita encontrar de forma directa la combinación
de diámetros y pendientes de diseño de una serie de
alcantarillados. Del mismo modo, es necesario
trabajar en la forma de adicionar cámaras de caída
intermedias, para aquellos tramos cuyas alternativas
no
permitan
cumplir
con
las
restricciones
hidráulicas.
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