Superficie de Uso Óptimo para el Diseño de Redes

El diseño de mínimo costo para redes de distribución de agua potable (RDAP) es probablemente el problema de modelación más investigado en la ingeniería hidráulica. En las últimas décadas, diferentes técnicas de soft computing tales como algoritmos metaheurísticos, han sido aceptados como los métodos más efectivos para solucionar dicho problema. Sin embargo, dada su naturaleza estocástica, un alto número de simulaciones hidráulicas son requeridas antes de lograr hallar resultados aceptables. En este artículo se presenta una metodología alternativa, basada en el entendimiento del comportamiento hidráulico de los diseños óptimos. Esta metodología pretende remplazar las búsquedas considerablemente largas de los algoritmos metaheurísticos. Para ello se concentra en establecer maneras eficientes de disipar energía y distribuir caudal. El algoritmo fue probado en dos redes de referencia llegando a resultados similares a los encontrados por investigaciones previas pero con una amplia reducción en el número de iteraciones requeridas. Esta nueva aproximación al problema muestra un alto potencias para otras aplicaciones relacionadas con los modelos matemáticos RDAPs.

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IAHR

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

                 CIC 

XXV CONGRESO LATINOAMERICANO DE HIDRÁULICA 
SAN JOSÉ, COSTA RICA, 9 AL 12 DE SETIEMBRE DE 2012 

 
 

SUPERFICIE DE USO ÓPTIMO DE POTENCIA PARA EL DISEÑO DE 

REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA POTABLE

 

 

Juan Saldarriaga, Felipe Hernández, María A. Escovar y Diego A. Páez 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – Universidad de los Andes - Bogotá, Colombia 

<jsaldarr , feli-her , ma-escov , da.paez27>@uniandes.edu.co 

 
 

RESUMEN: 
 

El  diseño  de  mínimo  costo  para  redes  de  distribución  de  agua  potable  (RDAP)  es 

probablemente  el  problema  de  modelación  más  investigado  en  la  ingeniería  hidráulica.  En  las 
últimas décadas, diferentes técnicas de soft computing tales como algoritmos metaheurísticos, han 
sido aceptados como los métodos más efectivos para solucionar dicho problema. Sin embargo, dada 
su naturaleza estocástica, un alto número de simulaciones hidráulicas son requeridas antes de lograr 
hallar resultados aceptables. En este artículo  se presenta una metodología alternativa, basada en el 
entendimiento  del  comportamiento  hidráulico  de  los  diseños  óptimos.  Esta  metodología  pretende 
remplazar  las  búsquedas  considerablemente  largas  de  los  algoritmos  metaheurísticos.  Para  ello  se 
concentra  en  establecer  maneras  eficientes  de  disipar  energía  y  distribuir  caudal.  El  algoritmo  fue 
probado  en  dos  redes  de  referencia  llegando  a  resultados  similares  a  los  encontrados  por 
investigaciones previas pero con una amplia reducción en el número de iteraciones requeridas. Esta 
nueva aproximación al problema muestra un alto potencias para otras aplicaciones relacionadas con 
los modelos matemáticos RDAPs. 
 
 
ABSTRACT: 
 

Water distribution system minimum-cost design is probably the most commonly addressed 

modeling problem in hydraulic engineering. In the last decades, soft computing techniques, such as 
metaheuristics,  have  been  established  as  the  most  effective  methods  to  solve  this  problem. 
However,  because  of  their  stochastic  nature,  a  huge  number  of  hydraulic  simulations  are  needed 
before adequate results are found. An alternative soft approach, based on the understanding of the 
hydraulic behavior of optimal designs, is presented in this paper. It attempts to replace the tiresome 
search  process  undertaken  by  metaheuristics.  The  methodology  focuses  on  establishing  efficient 
ways  in  which  energy  is  dissipated  and  flow  is  distributed.  The  algorithm  was  tested  on  two 
benchmark  systems  reaching  similar  results  to  those  of  previous  works  but  in  an  amply  reduced 
number  of  iterations.  This  novel  approach  shows  plenty  of  potential  in  other  water  distribution 
mathematical modeling applications 
 
 
PALABRAS CLAVES: 
Optimización, Diseño, Heurísticas. 
 

 

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INTRODUCCIÓN 

 

La disponibilidad de agua potable es esencial para el desarrollo de las actividades humanas. 

Sin embargo, millones de personas todavía no disponen de un adecuado servicio, especialmente en 
países en desarrollo. Adicionalmente, los recursos económicos para solucionar dicho problema son 
escasos,  y  es  por  ello  que  el  problema  de  diseño  optimizado  de  RDAPs  ha  sido  estudiado  por 
investigadores de diferentes partes del mundo. Si bien el diseño de una RDAP debe tener en cuenta 
otros  criterios  adicionales  a  los  de  costo,  tales  como  la  confiabilidad  de  la  red  y  el  impacto 
ambiental  asociado  (Walski,  2001;  Todini,  2008),  el  criterio  de  mínimo  costo  continua  siendo 
utilizado para la comparación de diferentes diseños. De hecho, usualmente, los algoritmos de diseño 
multiobjetivo que tienen en cuenta estos otros criterios, son extensiones de un algoritmo exitoso de 
diseño  de  minimización  de  costos  (e.g.,  Laucelli  et  al.,  2008;  Tanyimboh  et  al.,  2009;  Wu  et  al., 
2009). 

El  problema  de  diseño  de  RDAPs  consiste  en  la  determinación  de  los  diámetros  de  las 

tuberías,  de  manera  que  se  satisfagan  los  caudales  demandados  en  cada  nudo  con  una  presión 
aceptable  haciendo  uso  de  los  tamaños  de  tubería  disponibles  en  el  mercado.  La  formulación 
matemática  del  problema  como  un  problema  de  optimización  donde  se  minimizan  los  costos 
constructivos, se clasifica como un problema NP-Duro indicando que no se conocen algoritmos con 
complejidad de orden polinomial que puedan encontrar una solución exacta del mismo (Yates et al, 
1984). 

Los  primeros intentos  de solución  del  problema incluyeron técnicas de optimización  como 

enumeración  (Gessler,  1985),  y  programación  lineal  y  no  lineal  (Alperovits  &  Shamir,  1977, 
Fujiwara & Kang, 1990). Con el paso del tiempo, los investigadores se han concentrado en el uso de 
metaheurísticas  dada  su  facilidad  de  implementación,  su  amplio  espacio  de  búsqueda,  su  baja 
dependencia  de  la  configuración  inicial  del  modelo  y  la  capacidad  de  incorporar  la  restricción  de 
diámetros discretos disponibles en el mercado. 

Los  algoritmos metaheurísticos son algoritmos basados en comportamientos observados  en 

la naturaleza, que generan un gran número de posibles alternativas resultado, evaluando cada una, y 
generando  muchas  otras  con  base  en  la  evaluación  de  las  alternativas  pasadas.  La  evaluación  de 
cada alternativa incluye una comprobación de cumplimiento de las restricciones del problema y una 
evaluación  de  la  función  objetivo.  Cada  comprobación  de  las  restricciones  tiene  asociada  una 
ejecución  hidráulica  en  el  caso  del  problema  de  diseño  de  RDAPs,  y  por  lo  tanto  buena  parte  del 
tiempo  computacional  requerido  por  un  algoritmo  corresponde  a  ejecuciones  hidráulicas.  Es  por 
ello que en la comparación de metodologías no sólo se usa el costo mínimo alcanzado sino también 
el número de simulaciones hidráulicas requeridas para llegar a dicho resultado de mínimo costo. 

Gracias  a  implementaciones  de  las  mencionadas  metodologías,  en  la  actualidad  se  dispone 

de  diseños  considerablemente  buenos  que  optimizan  de  manera  aceptable  la  función  objetivo, 
permitiendo  a  nuevos  investigadores  hacer  un  análisis  de  los  resultados  encontrados  buscando  y 
analizando patrones hidráulicos que siguen dichos diseños. Un análisis de esta naturaleza fue hecho 
por I-Pai Wu (1975) para tuberías principales de redes de riego localizado de alta frecuencia. Según 
I-Pai  Wu, si  se conoce la  altura piezométrica  a la entrada de una tubería en serie  (

   

   

), y la 

altura piezométrica mínima aceptable en los nudos de ésta (

   

   

), es posible asignar una altura 

piezométrica objetivo a cada nudo de la tubería (

   

 

), de manera que el diseño correspondiente a 

las perdidas objetivo asignadas y a los caudales que debe transportar cada segmento de la tubería, es 
de  mínimo  costo.  Analizando  las  diferentes  posibles  asignaciones  de  alturas  piezométricas,  I-Pai 
Wu  encontró  que  la  mejor  distribución  correspondía  a  una  línea  de  gradiente  hidráulico  (LGH) 
parabólica como la mostrada en la Figura 1 y cuya ecuación corresponde a la Ecuación 1: 

 

   

 

         

   

   

     

   

   

)

 

   

 

  (         )  

   

   

     

   

   

)

         

   

 

[1] 

 

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Donde 

 

   

  es  la  longitud  total  de  la  tubería  en  serie, 

   es  la  diferencia  relativa  entre  la 

altura piezométrica asignada al punto del medio por una línea recta y por la línea parabólica, y 

  es 

la coordenada longitudinal de cada nudo donde se asignará la altura piezométrica. I-Pai Wu también 
encontró  que  en  caso  de  que  los  nudos  de  demanda  estén  igualmente  espaciados  y  con  demanda 
igual para todos, la LGH que genera el mínimo costo es la línea parabólica con  flecha (

 ) igual a 

15%. 

 

Figura 1.- Criterio de I-Pai Wu para la línea de gradiente hidráulico ideal o de mínimo costo. 

 
En 1983, el profesor Ronald Featherstone de la Universidad de Newcastle en Reino Unido, 

propuso una extensión del criterio de I-Pai Wu para redes de acueducto usualmente cerradas. Esta 
idea fue planteada e investigada por Saldarriaga (1998) y tuvo grandes avances con los trabajos de 
Villalba (2004) y Ochoa (2009). Este artículo describe una metodología de diseño basada en la idea 
del profesor Featherstone utilizando algunos resultados de las investigaciones de Villalba y Ochoa, 
denominada Superficie de Uso Óptimo de Potencia (OPUS por sus siglas en inglés). Cada paso del 
algoritmo es descrito y analizado, y finalmente se presentan los resultados de la aplicación de OPUS 
en dos redes de referencia (Two-loop y Hanoi). 

 

DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA 

 

En la Figura 2 se muestran los pasos o subprocesos de la metodología y el orden en que se 

realizan.  El  primer  subproceso  consiste  en  convertir  la  topología  de  la  red,  en  una  estructura  de 
árbol o red abierta. Después se asigna a cada nudo, su altura piezométrica objetivo con base en la 
metodología desarrollada por Ochoa (2009), utilizando para ello, la estructura de árbol generada, y 
las características topológicas y de demanda de la red. A continuación se realiza una distribución de 
caudales,  de  manera  que  para  cada  nudo  se  asigna  el  porcentaje  de  caudal  demandado  que 
provendrá  de  cada  tubo  conectado  a  dicho  nudo.  Posteriormente  se  realiza  el  diseño,  encontrando 
diámetros continuos como resultado, y requiriendo que dichos diámetros sean aproximados a algún 
diámetro  discreto  disponible  en  el  mercado.  Finalmente  se  realizan  una  serie  de  ejecuciones 
hidráulicas con el objetivo de asegurar que no se viole la presión mínima en los nudos y buscando 
una reducción en los costos mediante reducción de algunos de los diámetros. 

 

 

Figura 2.- Descripción de los subprocesos de la metodología OPUS. 

 

Definición de la estructura de árbol (Búsqueda de sumideros): 

 

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Este  subproceso  se  basa  en  dos  principios.  El  primero  radica  en  que  un  diseño  de  mínimo 

costo debe proveer agua a casa nudo de demanda a través de una única ruta o trayectoria de flujo. 
Esto debido a la ineficiencia hidráulica asociada con la redundancia de tuberías (Saldarriaga, 1998). 
Así,  redes  abiertas  pueden  ser  considerablemente  menos  costosas  que  redes  cerradas  (aunque 
también  resultan  menos  confiables  (Todini,  2000)).  De  esta  manera,  este  subproceso  busca  la 
manera de transformar la geometría de la red para generar una red abierta (usualmente denominadas 
estructuras  de  árbol  por  su  parecido  con  las  ramificaciones)  mediante  la  identificación  de  nudos 
sumideros (nudos con altura piezométrica menor que todos sus vecinos). 

El  segundo  principio  se  deriva  de  las  ecuaciones  de  pérdidas  por  fricción  en  tuberías  con 

flujo  presurizado,  (Darcy-Weisbach  &  Colebrooke-White  o  Hazen-Williams).  Suponiendo  que 
todos las demás variables de la ecuación permanecen constantes, es posible encontrar una relación 
biunívoca entre el caudal de diseño (Q)  y el diámetro requerido. Además, si se conoce la relación 
entre el diámetro de la tubería y el costo por unidad de longitud de la misma, es posible encontrar 
una  relación  entre  Q  y  el  costo  por  unidad  de  longitud  de  la  tubería,  tal  y  como  se  muestra  en  la 
Figura 3. 

 

Figura 3.- Relación esquemática entre el caudal de diseño y el costo por unidad de longitud de la tubería. 

 
De  la  Figura  3,  es  posible  notar  que  a  medida  que  aumenta  el  caudal  de  diseño,  el  costo 

marginal de la tubería decrece. Es decir que agregar caudales en unos pocos tubos reduce el costo 
total  de  la  red.  De  esta  manera,  teniendo  en  cuenta  los  dos  principios  analizados,  se  diseñó  un 
algoritmo  recursivo  de  definición  de  la  estructura  de  árbol.  Este  algoritmo  inicia  en  la  fuente  o 
embalse de la red y recorre las tuberías hacia aguas abajo agregando a la red abierta un tubo y nudo 
a la vez. En el momento en que tiene más de una posibilidad de adición de una pareja tubería-nudo 
selecciona  aquella  cuya  relación  beneficio-costo  (cociente  entre  la  demanda  del  nudo  y  el  costo 
marginal de conectarlo a la fuente) es mayor. 

En el momento en que se han agregado todos los nudos de la red cerrada a la red abierta, se 

definen como sumideros, aquellos nudos son ningún nudo aguas abajo, y la estructura de árbol está 
completa.  La  complejidad  computacional  del  algoritmo  es  O(NN

2

),  donde  NN  es  el  número  de 

nudos  de  la  red,  y  por  lo  tanto  el  tiempo  computacional  de  toda  la  metodología  no  se  ve 
mayormente afecta por este paso. 

 

Definición de la superficie de uso óptimo de potencia: 

 

Este paso,  que se  considera el  más importante de la metodología  y le da  el  nombre a está, 

está basado en el trabajo de I-Pai Wu (1975). El subproceso asigna una altura piezométrica a cada 
nudo  de  la  red,  de  manera  que  las  pérdidas  totales  de  las  tuberías  quedan  predefinidas  como  la 
diferencia  entre  las  alturas  piezométricas  de  sus  nudos  adyacentes.  La  manera  de  hacer  esta 
asignación  de  alturas  piezométricas  de  manera  óptima  se  basa  en  los  resultados  de  Ochoa  (2009) 
para tuberías en serie con caudales y longitudes no homogéneas. Según Ochoa, la flecha 

( ) de la 

Ecuación 1, que minimiza los costos de la tubería resultante, depende de la distribución longitudinal 
de  la  demanda,  del  cociente  entre  los  caudales  y  las  longitudes  de  las  tuberías  y  de  la  función  de 

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costos.  Así  un  diseño  de  una  red  abierta  que  minimice  costos,  consistirá  en  implementar  estos 
resultados de cálculo de la flecha óptima a cada trayectoria que una los sumideros con la fuente. 

Para ello, se define una altura piezométrica mínima en los nudos de la red con base en las 

regulaciones que existan en la ciudad de la RDAP. Después  se calculan las  distancias topológicas 
entre cada nudo del sistema y la fuente. Conociendo entonces la altura piezométrica disponible en la 
fuente  (

   

   

), la  altura piezométrica mínima  en  cada sumidero  (   

   

)  y las distancias de 

cada trayectoria entre sumidero y fuente (

 

   

), se le asigna una LGH parabólica a cada trayectoria 

de  flujo.  Dado  que  algunas  trayectorias  compartirán  segmentos  aguas  arriba,  se  recalcula  la 
parábola  modificando  el  valor  de  la  flecha  como  un  promedio  ponderado  de  las  flechas  de  las 
trayectorias  encontradas,  en  donde  el  peso  de  cada  valor  será  el  caudal  transportado  por  cada 
trayectoria.  Finalmente  es  necesario  revisar  que  no  se  violen  las  presiones  mínimas  en  los  nudos 
intermedios cuya elevación puede ser suficiente para que la altura piezométrica asignada, no cumpla 
con  los  requisitos.  En  dado  caso,  se  modificarán  las  parábolas  de  las  trayectorias  aguas  arriba  de 
dicho punto. 

Como resultado, cada nudo de la red tiene asignada una altura piezométrica objetivo o ideal 

de  manera  que  se  generará  una  superficie  de  alturas  piezométricas  sobre  la  red.  Estas  alturas 
piezométricas  definen  a  su  vez  las  perdidas  objetivo  o  ideales  de  cada  tubería,  de  manera  que  al 
conocer el caudal de diseño, se puede utilizar una ecuación de fricción para flujo presurizado a fin 
de encontrar el diámetro continuo (i.e. diámetro cuyo valor pertenece a 

 

 

) que corresponde a ese 

caudal y a esas pérdidas por fricción. 

 

Distribución óptima de caudales: 

 

Si  se  supone  que  el  conjunto  de  diámetros  disponibles  es 

 

 

,  una  misma  superficie  de 

alturas  piezométricas  puede  ser  alcanzada  con  diferentes  configuraciones  de  diámetros  cuando  la 
red  es  cerrada.  Así,  este  subproceso  busca  seleccionar  una  manera  de  distribuir  los  caudales 
demandados  en  las  tuberías  de  la  red,  de  manera  que  se  cumpla  la  conservación  de  masa  en  cada 
nudo, que se genere la superficie de alturas piezométricas determinada en el subproceso anterior y 
que  se  minimicen  los  costos  asociados  al  diseño  generado  con  esa  combinación  de  caudales  y 
pérdidas totales en las tuberías. 

En este subproceso se hace uso de la red con geometría cerrada así como de los principios 

utilizados en el primer paso de la metodología. El procedimiento consiste en recorrer cada nudo de 
la red, desde aguas abajo hasta aguas arriba, asignando a cada tubo inmediatamente aguas arriba del 
nudo  analizado  una  cierta  fracción  del  caudal  total  demandado  en  el  nudo  y  en  sus  nudos  aguas 
abajo.  La  manera  de  distribuir  ese  caudal  total  entre  los  tubos  aguas  arriba  puede  hacerse  de 
diferentes  maneras,  pero  el  criterio  que  minimiza  costos  es  el  que  asigna  a  una  única  tubería  una 
porción  significativa  del  caudal,  dejando  para  los  demás  tubos  sólo  el  caudal  correspondiente  al 
diámetro mínimo disponible en el mercado. 

La selección de la tubería a la cuál será asignada la mayor parte del caudal demandado, se 

hace  calculando  la  función 

   

 

  donde 

   son  las  pérdidas  totales  asignadas  al  tubo  y     es  su 

longitud,  y  seleccionando  aquella  tubería  con  mayor  valor  de  la  función.  Para  implementar  este 
procedimiento  se  hace  uso  de  un  algoritmo  recursivo  iterativo  con  complejidad  computacional 
O(NN). 

 

Cálculo de diámetros y discretización: 

 

Como  resultado  de  los  dos  pasos  anteriores,  cada  tubería  de  la  red  tiene  asignadas  unas 

pérdidas  totales  objetivo  y  un  caudal  de  diseño.  Así,  es  posible  hacer  uso  de  una  ecuación  de 
fricción para flujo presurizado a fin de calcular el diámetro continuo necesario para transportar ese 
caudal  con  esas  pérdidas.  En  caso  de  que  la  ecuación  sea  la  de  Hazen-Williams,  este  cálculo  es 
explícito.  En  caso  de  que  la  ecuación  sea  la  de  Darcy-Weisbach  en  conjunto  con  la  ecuación  de 
Colebrooke-White es necesario realizar un proceso iterativo relativamente simple. 

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Como  resultado  se  tienen  diámetros  continuos  asignados  a  cada  tubería  del  sistema  de 

manera  que  al  ejecutar  la  hidráulica  de  la  RDAP  con  este  diseño,  se  obtendrían  las  alturas 
piezométricas  objetivo  en  lo  nudos  y  los  caudales  asignados  en  los  tubos.  Sin  embargo  esta 
configuración de diámetros no se considera factible para el problema de optimización, dado que se 
están violando las restricciones que aseguran que a cada tubería se le debe asignar únicamente un 
diámetro disponible en el mercado local. 

Para resolver este problema se requiere en un principio, una discretización de los diámetros 

encontrados  ajustándolos  a  uno  de  los  diámetros  del  conjunto  de  diámetros  disponibles  en  el 
mercado.  Dado  que  se  dispone  de  un  diámetro  continuo,  se  debe  disponer  de  dos  diámetros 
discretos entre los que se encuentra el valor continuo. Así este paso consiste en seleccionar cuál de 
esos dos valores de diámetros discretos se asignará al tubo analizado. 

El anterior procedimiento de discretización puede ser realizado de diferentes maneras, pero 

después de evaluar cuatro posibles alternativas, se encontró que la que produce mejores resultados, 
consiste en  redondear al caudal  equivalente más  cercano. Para  ello, se eleva el  valor del  diámetro 
continuo  y de los  diámetros disponibles  a una potencia de 2.6 como  una estimación  de la función 
que  relaciona  el  caudal  que  pasa  por  una  tubería  con  el  diámetro  que  ésta  tiene.  Finalmente  se 
selecciona el diámetro cuya aproximación de caudal es más cercana a la aproximación de caudal del 
diámetro continuo. 

Sin  embargo  al  finalizar  este  subproceso,  el  comportamiento  hidráulico  de  la  red  puede 

diferir significativamente del comportamiento objetivo (caudales y alturas piezométricas asignadas), 
y  por  lo  tanto  el  diseño  generado  puede  estar  bastante  alejado  del  óptimo,  o  inclusive  puede  no 
cumplir con la restricción de presión mínima en algunos de los nudos 

 

Optimización (Reducción de costos y comprobación de diseño): 

 
Este subproceso consiste en ejecutar un cálculo hidráulico de la red resultado del subproceso 

anterior,  verificando  las  presiones  en  los  nudos.  En  caso  de  que  algún  nudo  presente  una  presión 
inferior a la mínima aceptable, se procede a aumentar diámetros de las tuberías aguas  arriba hasta 
que se cumpla con la restricción. El orden en el que se aumentan los diámetros de dichas tuberías 
puede  seleccionarse  de  diferentes  maneras,  pero  se  encontró  que,  si  primero  se  aumentan  los 
diámetros  de  las  tuberías  con  mayor  diferencia  de  pendiente  entre  la  LGH  objetivo  y  la  LGH 
presente, se llega a diseños finales de menor costo. 

Una vez se asegura que en la red no se presentan presiones inferiores a la mínima, se recorre 

la red de aguas arriba a aguas abajo y después en sentido contrario, reduciendo los diámetros de las 
tuberías, y evaluando las presiones en todos los nudos. En caso de que las presiones se reduzcan por 
debajo de la presión mínima, el cambio en los diámetros es reversado  y se  continúa con los tubos 
aguas abajo (o aguas arriba en caso de que ya se haya cambiado el sentido de avance). En caso de 
que  la  presión  mínima  no  sea  violada,  el  nuevo  diámetro  se  mantiene  y  se  continúa  con  el 
procedimiento en los siguientes tubos. 

Este proceso de optimización es una heurística por si misma  y es similar a  la utilizada por 

Todini  (2000)  con  la  diferencia  de  que  la  complejidad  computacional  del  presente  algoritmo  es 
O[NT*O(SH)]  en  contraste  con  la  complejidad  computacional  del  algoritmo  citado 
(O[NT

2

*O(SH)]),  donde  NT  es  el  número  de  tubos  de  la  red  y  O(SH)  es  la  complejidad  del 

algoritmo de simulación hidráulica del sistema. 

 

RESULTADOS Y ANÁLISIS 

 

La metodología OPUS fue implementada en el software REDES desarrollado por CIACUA 

a  fin  de  automatizar  todos  los  subprocesos  anteriormente  mencionados.  Esta  implementación  fue 
utilizada  para  diseñar  dos  redes  de  referencia:  Two-loop  y  Hanoi  (Alperovits  &  Shamir,  1977). 
Dado que el objetivo es comparar los resultados de la metodología con otros algoritmos de diseño, 
fueron  utilizados  los  mismos  valores  de  los  diferentes  parámetros  de  simulación  hidráulica  y 

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disponibilidad  de  diámetros  que  los  reportados  en  otros  estudios.  Dentro  de  dichos  parámetros  se 
encuentra  el  uso  de  la  ecuación  de  Hazen-Williams  para  calcular  las  pérdidas  por  fricción  de  un 
flujo presurizado, con un coeficiente de rugosidad C=130 (PVC – policloruro de vinilo) y con unos 
parámetros de la ejecución hidráulica con el método del gradiente de 

          y          . 

 

Two-loop: 

 

La  red  de  Two-loop  es  una  red  de  8  tubos  cuya  geometría  se  presenta  en  la  Figura  4.  La 

presión  mínima  aceptable  en  cada  nudo  es  de  30  m.c.a.,  mientras  que  la  altura  piezométrica 
disponible en la fuente es  de 210 m.c.a. Además  tiene un conjunto de 14 posibles diámetros cada 
uno con un  costo  por  unidad de longitud conocido. Una descripción  completa de la red puede ser 
encontrada en Alperovits & Shamir (1977). 

 

 

 

Figura 4.- Red de Two-loop. a) Geometría e IDs de los elementos, b) Superficie de uso óptimo de potencia. 

 
Al  ejecutar  el  algoritmo  de  diseño  en  esta  RDAP  hipotética,  se  alcanzó  el  costo  mínimo 

reportado  en  la  literatura  para  este  problema  (USD$419.000)  con  un  total  de  51  simulaciones 
hidráulicas  (ver  Tabla  1).  En  la  Figura  4  se  muestra  la  superficie  de  uso  óptimo  de  potencia 
encontrada con la metodología. 

 

Tabla 1.- Red de Two-Loop. Comparación de resultados. (Resultados tomados de Geem, 2009). 

Algoritmo 

Costo de la 

red 

diseñada 

Número 

de 

iteraciones 

Algoritmos genéticos 

$419,000 

65,000 

Algoritmos genéticos 

$419,000 

10,000 

Algoritmos genéticos 

$419,000 

7,467 

Recocido simulado 

$419,000 

25,000 

Salto de rana barajado 

$419,000 

11,155 

Evolución compleja barajada 

$419,000 

1,091 

Búsqueda de armonía 

$419,000 

1,121 

Entropía cruzada 

$419,000 

35,000 

Búsqueda dispersa 

$419,000 

3,215 

Enjambre de partículas con búsqueda de armonía 

$419,000 

204 

OPUS (este estudio) 

$419,000 

51 

Hanoi: 

 

La  red  de  Hanoi  es  una  red  con  34  tubos  cuya  geometría  se  presenta  en  la  Figura  5.  La 

presión mínima aceptable en cada nudo también es de 30 m.c.a., mientras que la altura piezométrica 

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disponible en la fuente es de 100 m.c.a. Además tiene un conjunto de 6 posibles diámetros cada uno 
con  un  costo  por  unidad  de  longitud  calculable  como  una  función  potencial  del  diámetro  con  un 
coeficiente  de  USD$1.1/m  y  un  exponente  de  1.5.  Una  descripción  completa  de  la  red  puede  ser 
encontrada en Fujiwara & Kang (1990). 

 

 

 

Figura 5.- Red de Hanoi. a) Geometría e IDs de los elementos, b) Superficie de uso óptimo de potencia. 

 

El  resultado  de  la  ejecución  de  la  metodología  fue  un  diseño  de  la  red  con  un  costo  de 

USD$6’147,882.45 alcanzado tras 83 ejecuciones hidráulicas. Si bien el costo no iguala al mínimo 
reportado en la literatura, el número de iteraciones requeridas es inferior a los demás en tres órdenes 
de  magnitud  (ver  Tabla  2).  En  la  Figura  5  se  muestra  la  superficie  de  uso  óptimo  de  potencia 
encontrada con la metodología 

 

Tabla 2.- Red de Hanoi. Comparación de resultados. (Resultados tomados de Geem, 2009). 

Algoritmo 

Costo de la 

red 

diseñada 

(millones) 

Número de 

iteraciones 

Evolución compleja barajada 

$6,220 

25,402 

Optimización por colonia de hormigas 

$6,134 

35,433 

Algoritmos genéticos 

$6,081 

50,000 

Algoritmos genéticos 

$6,173 

26,457 

Recocido simulado 

$6,333 

26,457 

Recocido simulado con búsqueda tabú 

$6,353 

26,457 

Búsqueda local con recocido simulado 

$6,308 

26,457 

Búsqueda de armonía 

$6,081 

27,721 

Entropía cruzada 

$6,081 

97,000 

Búsqueda dispersa 

$6,081 

43,149 

Enjambre de partículas con búsqueda de armonía 

$6,081 

17,980 

OPUS (este estudio) 

$6,148 

83 

 

Respecto a los resultados mostrados en la Tabla 2, cabe decir que mediante el análisis de la 

superficie de alturas piezométricas, se pudo concluir que los diámetros disponibles para solucionar 
el  problema  de  la  RDAP  de  Hanoi  representan  una  restricción  considerablemente  importante  al 
notar que las pérdidas totales  por unidad de longitud en los tubos de más aguas arriba son  mucho 
más  altas  que  las  asignadas  por  la  superficie  de  uso  óptimo  de  potencia  y  que  cualquiera  de  los 
demás  tubos  del  sistema.  Esto,  debido  a  que  el  conjunto  de  diámetros  disponibles  en  el  mercado 
tiene un máximo de 40” y dicho diámetro genera unas pérdidas mucho más altas que las ideales u 
objetivo  para  los  tubos  1  y  2  (ver  Figura  5).  Dado  que  en  este  caso  el  subproceso  Cálculo  de 
diámetros y discretización,
 para estos dos tubos, encuentra un diámetro continuo mayor al máximo 

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disponible, el algoritmo de redondeo sólo dispone de una opción de aproximación y por lo tanto la 
metodología  se  ve  limitada,  indicando  de  esta  manera  que  se  debe  considerar  la  opción  de  un 
diámetro  disponible  adicional  para  el  problema,  a  fin  de  ajustar  la  superficie  de  alturas 
piezométricas a la ideal. A fin de sustentar la anterior afirmación, se ejecutó la metodología OPUS 
para la red Hanoi, con un diámetro disponible adicional de 50” y con costo por unidad de longitud 
correspondiente a la ecuación de costos descrita anteriormente. El costo  alcanzado con esta nueva 
ejecución  fue  de  USD$5’342,840.13  demostrando  así  que  el  costo  adicional  de  poner  diámetros 
mayores en los tubos de más aguas arriba se ve superado por el beneficio alcanzado al reducir los 
costos de las demás tuberías. 

 

Análisis 

 

Los  resultados  encontrados  en  las  dos  RDAPs  de  referencia,  muestran  el  potencial  de  la 

presente  metodología  para  la  solución  del  problema  de  diseño  de  mínimo  costo.  Por  un  lado,  el 
diseño alcanzado para Two-Loop fue el óptimo conocido,  y el número de simulaciones requeridas 
fue considerablemente menor que los  demás estudios  con implementación  de metaheurísticas.  Por 
otro  lado,  la  red  Hanoi  requirió  un  número  de  iteraciones  con  una  diferencia  mucho  más 
considerable  que  en  el  caso  de  Two-loop,  representando  una  disminución  de  tres  órdenes  de 
magnitud  y  encontrando  una  solución  con  un  sobrecosto  de  1.1%  respecto  a  la  solución  óptima 
reportada. 

Estos  resultados  demuestran  la  conveniencia  del  análisis  hidráulico  de  los  diseños  de 

mínimo costo para su posterior aplicación en una metodología de diseño por si misma que resulta 
mucho más eficiente que los demás algoritmos metaheurísticos. En este caso particular, la estrategia 
de  analizar  y  predeterminar  la  superficie  de  alturas  piezométricas  que  genera  diseños 
aceptablemente  buenos  es  una  reducción  eficiente  del  inmenso  espacio  de  solución  del  problema 
que no sacrifica de manera importante la calidad de la solución final. Además esta ventaja se hace 
mucho más significativa a medida que la red a diseñar aumenta de tamaño, dado que los algoritmos 
metaheurísticos  requerirán  un  aumento  mucho  mayor  del  número  de  simulaciones  que  la 
metodología OPUS. 

Otra  ventaja  que  debe  ser  notada,  es  el  carácter  determinístico  de  la  metodología,  que 

entregará  siempre  el  mismo  resultado  cuando  se  usen  los  mismos  parámetros.  En  contraste,  los 
algoritmos  estocásticos,  como  su  nombre  lo  indica,  generan  diferentes  resultados  para  diferentes 
ejecuciones, y por lo tanto los mejores resultados, son los mejores entre una serie de ejecuciones del 
algoritmo,  haciendo  que  el  número  de  ejecuciones  hidráulicas  total  requerido  para  replicar  los 
resultados de estas metodologías sea indeterminado y probablemente mayor que el reportado en las 
investigaciones. 

Una desventaja de la metodología consiste en la aplicabilidad de la misma. Es posible que 

existan  redes  con  condiciones  hidráulicas  que  no  permiten  la  implementación  directa  de  la 
metodología  y sea necesario ajustar la misma de alguna manera. Estos ajustes,  y en  general  todos 
los  análisis  hidráulicos  requeridos  para  el  desarrollo  de  una  metodología  de  esta  naturaleza, 
requieren  un  esfuerzo  importante  para  su  desarrollo.  Ello  contrasta  con  la  aplicabilidad 
prácticamente  ilimitada  de  las  metaheurísticas,  que  son  aplicables  a  cualquier  problema  de 
optimización sin requerir un entendimiento específico de las condiciones del problema.  

Finalmente  es  importante  mencionar  que  el  entender  el  comportamiento  hidráulico  puede 

permitir  concluir  de  manera  relativamente  fácil  medidas  adicionales  de  optimización  como  en  el 
caso de Hanoi, la inclusión de un diámetro máximo más grande. Adicionalmente en el caso de tener 
en cuenta otros términos en la función objetivo, tales como confiablidad del sistema o minimización 
de fugas sólo se requiere evaluar el paso de la metodología donde mejor se puede procurar incluir el 
criterio adicional y la manera de hacerlo. Por ejemplo Todini (2008), propone que una RDAP que 
minimice fugas, debe minimizar las presiones en sus nudos sin violar la mínima aceptable. Así, en 
la metodología de OPUS, tener en cuenta un criterio de minimización de fugas sería probablemente 
implementado  reformulando  la  manera  de  calcular  la  superficie  de  uso  óptimo  de  potencia, 
seguramente afectando el parámetro F. 

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CONCLUSIONES 

 

Se desarrolló e implementó una metodología de solución del problema de diseño de RDAPs 

de  mínimo  costo,  denominada  Superficie  de  Uso  Óptimo  de  Potencia  (OPUS).  Su  principal 
característica  es  su  aproximación  novedosa  basada  en  el  entendimiento  de  la  hidráulica  de  los 
diseños  óptimos  y  específicamente  de  las  superficies  de  alturas  piezométricas  que  estos  generan. 
Gracias  a  esta  aproximación  de  asignación  de  presiones  y  caudales  de  manera  óptima,  se  logró 
reducir el espacio de solución considerablemente y sin generar una pérdida de calidad en la solución 
significativa.  La  metodología  fue  implementada  en  dos  redes  de  referencia  mundial  denominadas 
Two-loop  y  Hanoi.  Para  la  primera  de  ellas  se  llegó  al  diseño  óptimo  conocido  en  un  número  de 
iteraciones mucho menor que otros estudios de metodologías metaheurísticas. En la segunda red el 
costo  mínimo  reportado  no  fue  alcanzado,  llegando  a  un  diseño  con  un  sobrecosto  de  1.1%,  pero 
alcanzado  con  un  número  de  cálculos  hidráulicos  menor  en  tres  órdenes  de  magnitud  respecto  al 
resto de metodologías conocidas. 

Los resultados encontrados permiten concluir que la metodología planteada, y en general la 

aproximación  propuesta  puede  generar  resultados  similares  a  los  encontrados  mediante  el  uso  de 
metaheurísticas,  pero  con  una  reducción  importante  del  número  de  ejecuciones  hidráulicas 
requeridas para ello. Por ello se considera apropiado estudiar posibles mejoras a cada subproceso de 
la  metodología  así  como  un  posible  ajuste  de  la  aproximación  para  plantear  metodologías  de 
solución  de  otros  problemas  relacionados  con  RDAPs  tales  como  calibración  y  operación  de  los 
sistemas. 

 

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