Modelo de optimización multiobjetivo para el diseño de redes de drenaje urbano

El diseño de redes de drenaje urbano es un problema que requiere de tener en cuenta una gran cantidad de variables que describen el comportamiento de la red

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TESIS 

MAESTRIA INGENIERÍA CIVIL  

 
 
 
 
 

MODELO DE OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO PARA EL DISEÑO DE 

REDES DE DRENAJE URBANO 

 
 
 

PRESENTADO POR:  

ANDRÉS FELIPE AGUILAR SUÁREZ 

 
 
 
 

ASESOR: 

JUAN GUILLERMO SALDARRIAGA VALDERRAMA 

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados - CIACUA, Departamento de 

Ingeniería Civil y Ambiental, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia 

 

 

 

 

 

 

 

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES 

FACULTAD DE INGENIERÍA  

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL  

BOGOTÁ D.C  

DICIEMBRE 2019 

 

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

 
 

AGRADECIMIENTOS 

 

 

 

 

 

 

A Dios, 

a mi familia por su apoyo sin condiciones a lo largo de toda mi vida, 

a mi asesor Juan Saldarriaga por siempre ayudarme y guiarme durante el desarrollo de este 

proyecto,  

a Daniel Duque y Natalia Duque, por sus enseñanzas y guía que me permitieron culminar este 

trabajo y contribuir a mi formación profesional y personal, 

 

 

Gracias. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
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Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

 
 

Contenido 

 

1.

 

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

 ........................................................................................6 

1.1 Introducción

 .............................................................................................................................6 

1.2 Objetivos

 ..................................................................................................................................8 

1.2.1. Objetivo General

 ..............................................................................................................8 

1.2.2. Objetivo Específicos

 .........................................................................................................8 

2.

 

ANTECEDENTES Y REVISIÓN DE LITERATURA

 .........................................................9 

3. MARCO TEÓRICO

 ..................................................................................................................10 

3.1. Redes de drenaje urbano

 ....................................................................................................10 

3.1.1. Tipos de sistemas de alcantarillados

 ...............................................................................11 

3.1.2. Componentes de una red de drenaje urbano:

 ..................................................................12 

3.1.3. Problemas usuales en el sistema de drenaje urbano:

 .......................................................13 

3.1.4. Servicio de acueducto y alcantarillado en Colombia:

 .....................................................14 

3.2  Generalidades del diseño optimizado de alcantarillados:

 .................................................15 

3.2.1. Supuestos del trazado:

 ....................................................................................................16 

3.2.2. Supuestos del diseño hidráulico:

.....................................................................................16 

3.2.3. Restricciones hidráulicas:

 ...............................................................................................17 

3.3 Metodología para el diseño optimizado de redes de alcantarillado:

 .................................19 

3.3.1 Selección de Trazado

 .......................................................................................................20 

3.3.2 Diseño Hidráulico:

 ..........................................................................................................21 

3.3.3 Función de Costo:

 ............................................................................................................21 

3.4 Eficiencia de Pareto:

 ............................................................................................................22 

4.

 

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

.........................................................................................23 

4.1

 

Problema de estimación de los costos para la Frontera de Pareto:

.............................24 

4.1.1 Estimación de los costos en la selección de trazado según Aguilar (2016):

 .....................24 

4.1.2

 

Estimación de los costos en la selección de trazado según Zambrano (2018):

 ..........27 

5.

 

METODOLOGIA

 ..................................................................................................................28 

5.1

 

Diseño Hidráulico con Cámaras de Caída:

 ...................................................................28 

5.2

 

Ecuación de costo:

 ..........................................................................................................30 

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5.2.1

 

Ecuación: Maurer (2012)

 ..........................................................................................31 

5.3

 

Estimación de Confiabilidad:

 ........................................................................................31 

5.3.1

 

Índice de confiabilidad propuesto por Haghighi & Bakhshipour (2016):

 .................32 

5.3.2

 

Índice de confiabilidad propuesto Aguilar (2019):

 ...................................................32 

5.4

 

Construcción de la Frontera de Pareto:

 ........................................................................33 

5.5

 

Estrategia para reducir tiempos y recursos computacionales:

 ....................................38 

6.

 

RESULTADOS:

 .....................................................................................................................40 

6.1

 

Cedritos 1:

 .......................................................................................................................40 

6.1.1

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de Zambrano (2018)

 ....................................................................................................41 

6.1.2

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de Zambrano 

(2018)

 

41 

6.1.3

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de selección 

de trazado de Aguilar (2016)

 ....................................................................................................42 

6.1.4

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de selección de trazado de Aguilar (2016)

 ...................................................................43 

6.2

 

Esmeralda:

 ......................................................................................................................44 

6.2.1

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de Zambrano (2018)

 ....................................................................................................44 

6.2.2

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de Zambrano 

(2018)

 

45 

6.2.3

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de selección 

de trazado de Aguilar (2016)

 ....................................................................................................45 

6.2.4

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de selección de trazado de Aguilar (2016)

 ...................................................................46 

6.3

 

Tumaco – Sector 2:

 .........................................................................................................47 

6.3.1

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de Zambrano (2018)

 ....................................................................................................47 

6.3.2

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de Zambrano 

(2018)

 

48 

6.3.3

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de selección 

de trazado de Aguilar (2016)

 ....................................................................................................49 

6.3.4

 

Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de selección de trazado de Aguilar (2016)

 ...................................................................49 

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Proyecto de Grado 

 
 

6.4

 

Convergencia del ponderador alfa del algoritmo NISE:

 .............................................50 

7.

 

ANALISIS DE RESULTADOS

 .............................................................................................51 

8.

 

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

 ....................................................................53 

9.

 

BIBLIOGRAFIA:

...................................................................................................................54 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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1.  INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 

 

1.1 Introducción  

 

El diseño de redes de drenaje urbano es un problema que requiere de tener en cuenta una gran 
cantidad  de  variables  que  describen  el  comportamiento  de  la  red  y  el  cumplimiento  de 
restricciones hidráulicas que permitan el correcto funcionamiento del sistema. Por tal motivo, 
es necesario abordar el problema en dos etapas: Selección de trazado y diseño hidráulico.  

En la selección de trazado se tiene como objetivo definir la dirección,  tipo (Inicio o continua) 
y caudal que transita por cada tubería, teniendo como parámetros la topología de la red y los 
caudales de entrada a cada uno de los pozos. De esta manera, se debe conservar la masa y 
todo  el  agua  que  entra  por los  pozos  de  inspección  debe  fluir  hacia  un  punto  de  descarga 
definido  previamente.  Tradicionalmente,  en  la  práctica  este  problema  se  soluciona 
empíricamente  y  según  el  criterio  del  ingeniero,  es  decir,  la  dirección  y  el  caudal  de  las 
tuberías se determina de tal manera que el agua fluya a favor de la pendiente del terreno, bajo 
el principio que los volúmenes de excavación y por ende los costos de construcción van a 
resultar mucho menores si se tienen demasiados tramos en contra pendiente. 

Posteriormente, en el diseño hidráulico se pretende seleccionar el diámetro y la profundidad 
de  excavación  de  cada  una  de  las  tuberías  que  componen  la  red.  Sujeto  a  restricciones 
hidráulicas  proporcionadas  por  el  reglamento  técnico  que  se  aplique.  Comúnmente,  los 
ingenieros  civiles  diseñan  este  tipo  de  redes  de  una  manera  iterativa  verificando  que  se 
cumplan las especificaciones dadas ante la prueba de los diferentes diámetros comerciales 
disponibles. 

En  los  países  en  vías  de  desarrollo  no  solo  es  indispensable  proporcionar  el  servicio  de 
alcantarillado a la mayor cantidad de población posible, sino que a la vez se deben construir 
las  redes  con  el  menor  costo  posible.  Por  tal  motivo,  en  la  literatura  es  posible  encontrar 
diferentes  metodologías,  tanto  heurísticas  como  exhaustivas,  que  tratan  de  encontrar  un 
diseño con un costo mínimo.  

En este trabajo se pretende trabajar con la metodología para el diseño optimizado de redes de 
drenaje urbano propuesta por Duque (2015), la cual aborda el problema de la selección del 
trazado  mediante  un  modelo  de  Programación  Entera  Mixta  (MIP  en  inglés)  y 

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consecuentemente  mediante  Programación  Dinámica  y  el  algoritmo  de  ruta  más  corta 
Bellman-Ford resuelve el problema del diseño hidráulico. 

Por otra parte, a la hora de diseñar una red de alcantarillado al igual que minimizar el costo 
de construcción es importante maximizar su confiabilidad, en otras palabras, se debe velar 
para que en caso del daño u obstrucción de una tubería resulte la menor cantidad de población 
o área afectada aguas arriba de la zona critica. Para garantizar esta confiabilidad normalmente 
se tienen restricciones de autolimpieza para el modelo de diseño hidráulico, es decir, el flujo 
debe tener una velocidad mínima que permita garantizar un esfuerzo cortante que evite la 
sedimentación y la obstrucción en las tuberías. Sin embargo, Haghighi & Bakhshipour (2016) 
sugiere que la confiabilidad puede considerarse desde la definición del trazado al calcular los 
caudales de diseño de las tuberías y de esta manera distribuir el agua de tal manera que se 
cumpla con la premisa del concepto. 

De  este  modo,  en  este  trabajo  se  quiere  proponer  una  metodología  multiobjetivo  que 
simultáneamente permita optimizar los costos de construcción de la red y la confiabilidad, 
destacando que es un problema que debe ser abordado desde la selección misma del trazado 
de la red, y por tal motivo va a ser posible determinar diferentes escenarios en los que se 
pueda  construir  una  frontera  de  Pareto,  con  un  algoritmo  de  ponderación  de  funciones 
objetivo (NISE en inglés) propuesto por Medrano et al. (2015). Esta frontera tendrá como 
ejes fundamentales el costo del diseño hidráulico y la confiabilidad de la red en cuestión. 

Para poner a prueba esta metodología se aplica en tres casos de estudio, para cada uno de los 
cuales se proponen varias fronteras de Pareto, las cuales se diferencian en el criterio (Función 
objetivo) utilizado para minimizar los costos desde el modelo de selección de trazado y la 
función de costo del diseño hidráulico.  

 

 

 

 

 

 

 

 

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1.2 Objetivos  

 

1.2.1. Objetivo General 

 

Implementar  una  metodología  de  optimización  multiobjetivo  que  permita  diseñar 
redes  de  drenaje  urbano,  donde  sea  posible  minimizar  el  costo  de  construcción  y  
maximizar la confiabilidad del sistema simultáneamente, y de esta manera construir 
una  frontera  de  Pareto  para  cada  uno  de  los  casos  de  estudio  y  bajo  diferentes 
escenarios planteados.  

1.2.2. Objetivo Específicos 

 

•  Realizar  una  búsqueda  bibliográfica  que permita  encontrar  criterios  e  índices  que 

permitan calcular la confiabilidad de una red de drenaje urbano. 
 

•  Implementar  el  modelo  de  selección  de  trazado  propuesto  por  Duque  (2015)  en 

Gurobi-Python. 
 

•  Evaluar la viabilidad de los criterios para minimizar los costos de construcción de una 

red desde la selección de trazado propuestos por Zambrano (2018) y Aguilar (2016). 
 

•  Implementar  la  metodología  “Non-Inferior  Set  Estimation”  (NISE)  con  el  fin  de 

construir una frontera de Pareto entre el costo de construcción y la confiabilidad de 
una red. 
 

•  Validar la metodología propuesta en el presente trabajo con varios casos de estudio 

usados tradicionalmente en las investigaciones del CIACUA. 
 

•  Realizar un análisis de sensibilidad de la metodología en la que se implementen los 

diferentes casos de estudio con cada uno de los criterios de minimización de costo y 
de confiabilidad, y de este modo construir una frontera de Pareto para cada escenario. 
 

•  Ampliar el espacio de solución del diseño hidráulico creando un módulo que permita 

diseñar cámaras de caída y de esta manera tener redes de alcantarillado en terrenos 
de alta pendiente. 

 

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2.  ANTECEDENTES Y REVISIÓN DE LITERATURA  

 

En el Centro de Investigaciones de Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de los 
Andes  (CIACUA)  se  han  desarrollado  diferentes  trabajos  de  investigación  referente  a  la 
optimización del diseño de alcantarillados, que intentan dar una solución factible al problema 
desde diferentes puntos de vista tanto hidráulicos como económicos. Sin embargo, la mayoría 
de trabajos se ha enfocado en el diseño hidráulico, siempre asumiendo un trazado dado. 

Inicialmente,  (López  Sabogal,  2011)  plantea  una  metodología  que  involucra  aspectos 
económicos  y  técnicos,  garantizando  el  cumplimiento  de  las  restricciones  hidráulicas  con 
costos de construcción bajos, por lo que plantea el desarrollo de los conceptos de potencia 
unitaria, que es un índice de  confiabilidad que ayuda al sistema a reducir las probabilidades 
de  que  se  presente  algún  problema  que  afecte  a  la  infraestructura,  o  a  la  comunidad 
circundante (López Sabogal, 2011), y el de pendiente lógica que se refiere a la discretización 
de la pendiente en múltiplos de 0.001, y se le atribuye esta característica a aquella pendiente 
que permite que el valor del diámetro de la tubería se reduzca al inmediatamente anterior 
variando su relación de llenado (López Sabogal, 2011).  Teniendo en cuenta esto concluye 
que  existe  una  relación  inversa  entre  los  costos  de  la  red  y  la  potencia  unitaria,  la 
discretización de la pendiente permite un mejor manejo de los recursos computacionales y 
que para obtener el diseño optimizado de la red se debe maximizar la potencia unitaria. 

Posteriormente, (Copete Rivera, 2012) continuando con la metodología de (López Sabogal, 
2011)  diseñó  un  gran  número  de  redes  verificando  que  se  cumplieran  todos  los 
requerimientos exigidos por el RAS, y así establecer relaciones entre los costos constructivos 
y  los  criterios  de  confiabilidad  como  el  de  la  potencia  unitaria.  De  esta  manera,  se  pudo 
confirmar que los costos mínimos se dan cuando se maximiza la potencia unitaria de la red.  

Por  otro  lado,  alrededor  del  mundo  se  han  realizado  investigaciones  que  están  más 
relacionadas con lo propuesto por (Duque, 2015). Por ejemplo, (Li y Mathew, 1990) utilizan 
modelos de programación no lineal (PNL) con el fin de determinar los factores topográficos 
como flujo, diámetros y pendientes de las tuberías de la red. En este planteamiento los autores 
dividen el problema en dos etapas. La primera corresponde a la optimización de los diámetros 
y pendientes de las tuberías, junto a la ubicación de las estaciones de bombeo, si aplica el 
caso.  En  segunda  instancia,  se  mantienen  todas  las  variables  constantes  y  se  modifica 
gradualmente la tasa de flujo y así se busca tuberías que minimicen la función objetivo que 
depende de la velocidad de flujo, la cota de corona de las tuberías y la presencia de estaciones 
de bombeo, a través de una búsqueda utilizando el algoritmo de ruta más corta de Dijkstra. 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
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Sin embargo, el método que más se ha desarrollado y popularizado por muchos autores son 
los Algoritmos Genéticos (AG). Por ejemplo (Haghighi A. y Bakhshipour A., 2012) utilizan 
estos algoritmos para el diseño hidráulico, donde determinan los diámetros de las tuberías y 
las  cotas  de  excavación.  Además,  se  han  combinado  diferentes  metodologías  con  los  AG 
como (Cisty M., 2010) que propone una alternativa que utiliza AG y programación lineal, 
(Pan y Kao, 2009) combinan los AG con programación cuadrática. También se han utilizado 
otras  metodologías  heurísticas  para  el  diseño  optimizado  de  alcantarillados  como  el 
algoritmo de colonia de hormigas (Afshar 2010, Moeini & Afshar 2012, Moeini & Afshar 
2017), recocido simulado y búsqueda Tabú (Yeh et al. 2011, Yeh et al. 2013, Haghighi & 
Bakhshipour 2015).  

3. MARCO TEÓRICO 

 

3.1. Redes de drenaje urbano 

 

La  existencia  de  sistemas  de  alcantarillado  es  fundamental  para  que  la  evolución  y  el 
desarrollo de una sociedad se dé en una interacción beneficiosa entre el ser humano y el ciclo 
del agua, es decir, el objetivo de estas redes se resume en dar un correcto manejo a los dos 
tipos de aguas: residuales y pluviales, con el fin de minimizar los problemas causados a los 
seres  humanos  y  al  medio  ambiente  (Butler  &  Davies,  2011).  De  esta  manera,  resulta 
necesario  buscar  metodologías  que  permitan  determinar  diseños  ejecutables  en  los  que  se 
minimicen  los  costos  de  construcción  y  que  cumplan  con  los  requisitos  hidráulicos 
establecidos.  

Para  llevar  a cabo  lo anterior  es  necesario  entender cómo  funciona  un  sistema  de drenaje 
urbano  convencional  y  como  es  su  interacción  con  el  ciclo  del  agua.  Normalmente  esta 
interacción se da de dos maneras. En primer lugar, el ser humano se vale del ciclo del agua 
para abastecerse y realizar sus actividades y en segundo lugar esta interacción se da en  un 
sentido contrario a través de las precipitaciones y escorrentías que van a dar a las redes de 
alcantarillado. 

Ahora,  las  aguas  residuales  y  pluviales  surgen  como  consecuencia  de  las  interacciones 
nombradas  anteriormente.  Las  aguas  residuales,  también  llamadas  aguas  servidas,  se 
caracterizan porque ya han sido utilizadas como recurso para abastecer las actividades vitales 
y  productivas  de  los  seres  humanos,  por  lo  tanto,  dentro  de  su  composición  contienen 
diversos materiales solidos de diversos tamaños, y por lo tanto el alcantarillado debe tener la 
capacidad de conducirlos hasta el punto de descarga. Por su parte, el agua pluvial se refiere 

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básicamente a aquella proveniente de la precipitación sobre el área de interés, y que resulta 
un fenómeno natural dentro del ciclo del agua. Sin embargo, sino se tienen presupuestadas 
de  manera  correcta  en  el  diseño  para  ser  evacuadas,  pueden  causar  problemas  de 
inundaciones y salud pública. 

 

3.1.1. Tipos de sistemas de alcantarillados 

 

En el drenaje urbano existen tres tipos de sistema: El combinado, el Separado y el Híbrido, 
siendo importante esta diferenciación debido a que según el tipo de sistema que se vaya a 
diseñar los requerimientos pueden variar.    

El primero de estos se caracteriza por transportar tanto las aguas residuales como las lluvias 
por la misma tubería, siendo el destino final de estas la planta de tratamiento. En las épocas 
secas del año, por la tubería combinada solamente fluirán las aguas residuales, pero una vez 
empieza la época invernal las aguas lluvias dominarán el flujo generado. Por esta razón, es 
evidente que no es factible económicamente dimensionar una tubería que tenga la capacidad 
total requerida en toda la longitud de esta dado que la mayoría del tiempo solo fluirá una 
pequeña proporción del caudal para el cual fue diseñada (Salcedo, 2012). 

El sistema separado de drenaje urbano se caracteriza porque transporta las aguas residuales 
y  las  aguas  lluvias  en  tuberías  diferentes,  pero  que  suelen  ir  en  paralelo.  En  este  tipo  de 
sistema se diseña una tubería que transporte el flujo máximo de aguas residuales que deberá 
ser  entregado  a  la  planta  de  tratamiento,  mientras  que  en  el  caso  de  aguas  lluvias, 
nuevamente,  se  va  a  tener  una  tubería  de  mayor  tamaño  que  puede  ser  descargada  en 
cualquier  punto  que  sea  conveniente  del  cuerpo  receptor  (Butler  &  Davies,  2011).  La 
principal  desventaja  de  este  sistema  corresponde  al  aumento  en  los  costos  al  instalar  otra 
tubería, ya que a pesar que el conducto de aguas residuales será más pequeño que el de aguas 
lluvias, y que ambas se instalen en paralelo utilizando la misma zanja, este sistema resultará 
más costoso que el combinado.  

Finalmente, los sistemas híbridos o mixtos se caracterizan por ser una mezcla entre sistemas 
combinados y separados. Estos sistemas buscan tener redes separadas cuando haya cuerpos 
de agua que sirvan para el vertimiento de las aguas lluvias, y que por otro lado permitan el 
paso de las aguas residuales provenientes de la urbanización hacia las plantas de tratamiento. 

 

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3.1.2. Componentes de una red de drenaje urbano: 

 

Independiente del lugar y el tipo de sistema de alcantarillado que se quiera construir, una red 
de  drenaje  urbano  generalmente  siempre  debe  tener  los  siguientes  componentes  que  se 
describen a continuación (Salcedo, 2012): 

•  Sumideros, Canaletas y Bajantes:  

El principal objetivo de estas estructuras es la recolección de los líquidos y fluidos que viajan 
por  la  superficie,  como  las  aguas  lluvias.  Los  sumideros,  ubicados  en  los  bordes  de  los 
andenes, se encargan de captar la escorrentía y transportarla hacia las tuberías de la red. En 
cambio, las canaletas y bajantes son elementos complementarios entre si y tienen el propósito 
también de captar aguas lluvias de los tejados de las edificaciones para transportarlas hacia el 
sistema de alcantarillado de la ciudad. 

 

•  Tuberías:  

Son las estructuras cuyo principal objetivo es transportar el agua que entra a la red de drenaje 
urbano.  Por  lo  tanto,  significa  que  ocupan  el  mayor  porcentaje  del  área  de  la  red  de 
alcantarillado. 

•  Cámaras de Inspección:  

 
Estas  estructuras  permiten  el  acceso  del  personal  especializado  a  la  red  de  drenaje  para 
realización de labores de mantenimiento e inspección. También su principal uso es a nivel 
hidráulico,  pues  permite  el  cambio  de  dirección  del  flujo,  cambios  de  diámetro  entre  dos 
tuberías y conexión con otras redes.   
 

•  Cámaras de Caída: 

En  caso  que  el  flujo  llegue  a  la  cámara de  inspección con  mucha  energía,  la  estructura  se 
encarga  de  disipar  el  exceso  de  esta  con  el  fin  de  proteger  la  infraestructura  del  sistema. 
Además, permiten la conexión entre tuberías que se encuentren en cotas muy diferentes.      

•  Aliviaderos:  

Se encargan de evacuar las aguas cuando estas sobrepasan un determinado nivel con el fin de 
reducir los costos de conducción. El tipo de aguas que evacua este elemento va a depender 
del tipo de sistema que se tenga.   

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•  Sifones Invertidos: 

 Son  estructuras  cuyo  principal  propósito  es  sobrepasar  obstáculos  en  el  trazado  de  la  red 
cuando estos son inevitables. Su funcionamiento se basa en la presurización de las tuberías.     

•  Sistemas de Almacenamiento Temporal:  

Se  encargan  de  retener  el  agua  con  el  propósito  de  disminuir  los  picos  de  caudal  y  de 
contaminación que se presentan cuando ocurre un evento de lluvia. De este modo, su función 
se resume en homogenizar el caudal y la concentración de los contaminantes del agua. 

•  Canales Abiertos: 

 Su función principal es la de conducir aguas lluvias provenientes de las vías y andenes. 

•  Estructura de Disipación de Energía:  

Se encuentran ubicadas en los puntos de donde se entrega el agua, y se encargan de disipar 
energía para que el flujo pase de ser supercrítico a ser subcrítico.   

 

3.1.3. Problemas usuales en el sistema de drenaje urbano: 

 

Las fallas y problemas en la estructura de una red de alcantarillado resultan normales debido 
a la exposición química y física que tiene las tuberías y otros componentes del sistema a los 
contaminantes y otros fenómenos externos durante su larga vida útil. Los inconvenientes más 
comunes  están  relacionados  con  defectos  constructivos  como  malas  conexiones  entre 
tuberías que pueden llevar a fugas, grietas y facturas que deterioran rápidamente el sistema 
de  drenaje.  También,  se  debe  tener  en  cuenta  que  inadecuadas  técnicas  de 
impermeabilización son causantes de infiltraciones o exfiltraciones que pueden llevar a la 
contaminación de las aguas subterráneas. 

A  nivel  interno,  las  causas  de  las  fallas  pueden  ser  estar  relacionadas  con  el  tamaño  y  el 
material de las tuberías, es decir, hay materiales que debido a su composición resultan más 
reactivos debido a los contaminantes del agua, lo que los hace más propensos a los procesos 
de  oxidación  y  corrosión.  Además,  el  tiempo  que  lleva  en  uso  la  red  puede  ser  causa  del 
colapso del sistema. Otra posibilidad para que  se dé un daño en la red se puede dar por el 
taponamiento  de  grasas  y  sedimentación  de  partículas  que  disminuyen  la  capacidad 
hidráulica.  Sin  embargo,  las  anteriores  fallas  siempre  se  pueden  evitar  con  un  cuidado  y 
mantenimiento riguroso (Torres Dueñas, 2013). 

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Las  fallas  externas,  se  derivan  de  la  intrusión  de  raíces  de  plantas  a  las  tuberías  que 
disminuyen su sección transversal y por lo tanto la capacidad de mover un caudal. Y también 
está  asociado  los  daños  por  actividad  sísmica  o  la  inestabilidad  del  terreno  que  provocan 
afectación en la estructura. 

Debido a las causas nombradas anteriormente se puede deducir que hay una disminución de 
la  capacidad  hidráulica  de  las  tuberías,  y  adicionalmente  hay  un  aumento  en  la  tasa  de 
infiltración  en  los  sistemas  que  lleva  a  que  se  produzcan  sobrecargas  en  las  tuberías  que 
sobrepasan el caudal para el que fue diseñada la tubería. De esta manera, la sobrecarga es un 
proceso  en  el  que  la  tubería  se  presuriza  y  en  ciertos  momentos  puede  ser  causante  del 
rebosamiento de las cámaras de inspección, que posteriormente puede llevar a inundaciones. 

 

Figura 1 Funcionamiento de un pozo cuando existe una obstrucción aguas abajo

 

 

3.1.4. Servicio de acueducto y alcantarillado en Colombia: 

 

En  la  actualidad,  la  prestación  del  servicio  de  acueducto  y  alcantarillado  en  todos  los 
municipios  de  Colombia  es  una  cuenta  que  no  se  ha  podido  saldar,  debido  a  diferentes 
factores  económicos,  sociales  y  políticos  que  no  han  permitido  que  se  cumpla  con  este 
objetivo. Según datos del 2015, la cobertura urbana de estos servicios alcanza el 97% para el 
acueducto  y  el  92%  para  el  alcantarillado,  siendo  las  metas  propuestas  de  99%  y  97% 
respectivamente.  Por  otro  lado,  en  el  área  rural  el  nivel  de  cobertura  es  del  72%  en  el 
acueducto y del 69% para el alcantarillado, muy lejana a la meta propuesta del 81% y el 75%. 
De  este  modo,  es  posible  deducir  que  todavía  es  necesario  emprender  una  inversión  y 
esfuerzos para compensar el déficit que se tiene en esta materia (Salinas, 2015). 

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Ahora, a lo que se refiere netamente al servicio de alcantarillado, el indicador del tratamiento 
de aguas residuales es preocupante en todo el país, por lo que es un ítem que requiere una 
gran inversión y gestión hacia el futuro. En la actualidad, solo el 25% de las aguas que se 
vierten a los cuerpos receptores son tratados, lo que conlleva una gran afectación ambiental 
al liberar toda la carga contaminante, y luego se presenta un aumento en los costos acueductos 
que  captan el  agua  de  estas  fuentes.  Exactamente el  30%  de  los  municipios  en  Colombia 
cuentan con sistemas de tratamiento de aguas residuales, concentrados en zonas de más de 
10 mil habitantes. Así, en los centros urbanos se trata cerca del 41% de las aguas residuales 
(Salinas, 2015). 

3.2  Generalidades del diseño optimizado de alcantarillados: 

 

El diseño de alcantarillados es un problema complejo que debe ser resuelto en dos etapas: la 
selección del trazado y el diseño hidráulico. Esto debido a que la gran cantidad de variables 
que se deben determinar y el que carácter de las mismas es muy diferente en cada uno de los 
problemas. Además, el hecho de solucionar el problema en una sola sección puede implicar 
un alto costo computacional.   

En la selección del trazado se define el recorrido del agua en la red, es decir, se determina el 
sentido de las tuberías, el tipo de las tuberías y los caudales de diseño correspondientes para 
cada una de los conductos. Para dicho proceso es necesario tener como parámetros de entrada 
la  topología  de  la  red,  la  cual  permite  tener  una  descripción  del  relieve  del  terreno,  las 
conexiones  entre  pozos,  que  indican  las  posibles  configuraciones  que  pueden  tener  las 
tuberías entre pozos, y los caudales sanitarios por cada uno de los pozos, que representan las 
entradas externas a la red y van a definir los caudales de diseño para cada una de las tuberías. 

Luego de obtener los resultados de la selección del trazado que sirven como parámetro para 
la etapa de diseño hidráulico, donde se define los diámetros, pendientes y profundidades de 
excavación de las tuberías en cada uno de los tramos de la red de interés, siempre cumpliendo 
con  las  restricciones  hidráulicas  impuestas  por  la  reglamentación  de  cada  país.  De  esta 
manera,  al  final  se  obtiene  un  sistema  de  drenaje  capaz  de  captar  las  descargas  de  aguas 
residuales  de  un  área  de  influencia,  y  llevarlas  hasta  un  punto  de  descarga  previamente 
determinado. 

 

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3.2.1. Supuestos del trazado: 

 

•  Con el fin de que haya una cobertura total y que se preste el servicio de alcantarillado 

a cada una de las edificaciones que se encuentren dentro del área de influencia de la 
red es necesario la instalación de una tubería por cada calle. 

•  En  cada  intersección  de  tuberías  hay  un  pozo  de  inspección,  debido  a  que en  las 

conexiones  entre  conductos  es  necesario  un  cambio  de  pendiente,  diámetro  o  de 
dirección del flujo. 

•  La red de drenaje capta toda el agua que es descargada en las cámaras de inspección, 

y debe ser llevada hasta un punto de descarga que es determinado previamente por el 
diseñador. 

•  Se asume que el agua residual que entra a la red lo hace por cada uno de los pozos de 

inspección, donde se distribuye a cada una de las tuberías dispuestas en el sistema. 

 

3.2.2. Supuestos del diseño hidráulico: 

 

En la naturaleza, los flujos pueden clasificarse según dos criterios: Su variación en el espacio 
siendo  éste  variado  o  uniforme,  y  su  variación  en  el  tiempo  siendo  éste  permanente  o  no 
permanente. Al combinar las condiciones previamente mencionadas se da origen a 3 tipos de 
flujo:  Flujo  Uniforme  –  Permanente,  Flujo  Uniforme  -  No  Permanente,  Flujo  Variado  – 
Permanente y Flujo Variado – No Permanente (Saldarriaga, 2014). Generalmente, a la hora 

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de diseñar sistemas de drenaje urbano se plantea bajo las condiciones del Flujo Uniforme, ya 
que este no cambia sus condiciones en tiempo ni en espacio, siendo que esto es un supuesto 
adecuado ya que asume que el nivel de agua es constante en toda la longitud de la tubería y 
permite tener una mayor precisión al momento de realizar cálculos y estimaciones de caudal.   
En otras palabras, en condiciones de  flujo uniforme las pendientes de energía (

𝑆

𝑓

), lámina de 

agua (

𝑆

𝑤

) y el canal (

𝑆

0

) son siempre iguales a lo largo de todo el espacio y tiempo. 

 

Figura 2 Condiciones de un flujo uniforme

  

3.2.3. Restricciones hidráulicas:  

 

Para  que  haya  un  correcto  funcionamiento  del  sistema  de  alcantarillado,  el  Reglamento 
Técnico  del  Sector  de  Saneamiento  Básico  y  Agua  Potable  –  RAS  2000  establece algunas 
restricciones de diseño. En esa sección se describe algunas de las recomendaciones que se 
deben tener en cuenta a la hora de establecer el diseño de la red (Salcedo, 2012).    

•  Diámetro Interno Real Mínimo:  

Se define un diámetro interno real mínimo con el fin de prevenir la obstrucción de las tuberías 
causada por entrada objetos de gran tamaño. Para las tuberías que transportan aguas residuales 
el  diámetro  interno  real  mínimo  es  de  200  mm,  y  para  las  tuberías  que  transportan  aguas 
lluvias este diámetro es de 250 mm ya que hay mayor riesgo que entren objetos que obstruyan 
la red.    

•  Velocidad Mínima: 

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18 

 
 

Para un alcantarillado sanitario, esta velocidad mínima debe ser de 0.6 m/s, mientras que para 
sistemas pluviales esta debe ser de 0.75 m/s. Se define con el fin de evitar la sedimentación 
de partículas en el fondo de las tuberías que obstruyan el paso del agua y que disminuya la 
capacidad  hidráulica  de  la  red,  además  para  que  en  las  tuberías  se  dé  el  proceso  de  auto 
limpieza. 

•  Esfuerzo Cortante Mínimo:  

Para el caso de aguas residuales, este esfuerzo cortante debe ser de 1.5 Pa, y de 2.0 Pa para 
aguas lluvias.  Está relacionado directamente con el proceso de auto limpieza de las tuberías 
pues garantiza la remoción de las partículas sedimentadas en la superficie. 

•  Velocidad Máxima:  

Con el fin de proteger las paredes internas de las tuberías se debe garantizar una velocidad 
máxima del agua transportada, y esta depende fundamentalmente del material de la red. Sin 
embargo, como valor promedio limite se es de 5 m/s, pero para materiales lisos como el PVC 
este es de 10 m/s. 

•  Pendiente Mínima y Máxima:  

Los límites de las pendientes están en función directamente de las velocidades permitidas. 
De  esta  manera,  la  pendiente  máxima  corresponderá  a  aquella  con  la  que  se  presente  la 
velocidad máxima, y de la misma manera sucede con la velocidad mínima, todo con el fin de 
garantizar las condiciones de auto limpieza. 

•  Relación de Llenado Máxima: 

 Se debe garantizar la existencia de un flujo de aire en la superficie de la tubería con el fin de 
que no exista sobrecarga ni presurización. Para esto el RAS 2000 recomienda que la relación 
de llenado máxima se encuentre en el intervalo de 70% a 85% (Copete Rivera, 2012). De este 
modo, la relación de llenado debe ser dependiente del diámetro de la tubería.    

Relación de llenado 

máxima 

Diámetro 

(m) 

70% 

0.2 - 0.5  

80% 

0.5 - 1.0 

85% 

> 1.0 

 

 

•  Profundidad de la Cota Clave de la Tubería:  

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El RAS 2000 sugiere que la cota clave de las tuberías se encuentren mínimo a 0.75 metros 
cuando este se encuentre en zonas verdes o en vías peatonales, y que se encuentren mínimo a 
1.20  metros  cuando  este  se  encuentre  bajo  vías  vehiculares.  Esto  con  el  fin  de  brindar 
protección a los conductos, y favorecer el drenaje por gravedad.    

•  Profundidad Máxima a la Cota Clave:  

El RAS 2000 recomienda que la profundidad máxima a la cota clave sea de 5 metros. Esta 
profundidad puede ser mayor siempre y cuando se garanticen las condiciones geotécnicas para 
este fin. 

 

3.3 Metodología para el diseño optimizado de redes de alcantarillado: 

 
Para  el  problema  de  diseñar  un  alcantarillado  desde  su  trazado  hasta  su  topología,  Duque 
(2015)  propone  una  metodología  exhaustiva  en  el  que  al  igual  que  estudios  realizados 
previamente,  intenta  solucionar  esta  situación  a  través  de  la  división  del  proceso  en  dos 
etapas: La selección del trazado y el diseño hidráulico. En donde siempre se garantiza que la 
solución proporcionada cumple con los requisitos y recomendaciones dadas por el RAS 2000, 
y enunciadas en la sección 3.2. 
 

 

Figura 3 Diagrama de flujo de la metodología para el diseño optimizado de alcantarillados propuesta por Duque(2015)

 

 

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3.3.1 Selección de Trazado 

 

Para la selección de trazado Duque (2015) propone un modelo de programación entera mixta 
que  se  conoce  en  la  literatura  como  problema  de  diseño  de  redes  (NDP  en  inglés).  Este 
necesita  como  parámetros  de  entrada:  un  grafo  no  dirigido 

𝒢 = (ℳ, ℰ),  donde  ℳ =

{𝑚

1

, … , 𝑚

𝐾

} es el conjunto de pozos y ℰ ⊂ {(𝑚

𝑖

, 𝑚

𝑗

): 𝑚

𝑖

∈ ℳ; 𝑚

𝑗

∈ ℳ;  𝑖 < 𝑗 } 

 es el conunto de 

arcos no dirigidos que unen los pozos,  la topografía de la red, que se refiere a las coordenadas 
de cada uno de los pozos de inspección, los caudales de entrada (

𝑄

𝑖

) de cada pozo 

𝑚

𝑖

∈ ℳ 

Así, es posible definir los sentidos de flujo del agua, el tipo (Inicio o continua)  

𝒯 = {𝑡

1

, 𝑡

2

el caudal de diseño de cada una de las tuberías que interconectan los pozos de inspección. 
Todo con el propósito de captar al agua que ingresa a la red por cada uno de los pozos  y 
depositarla en el único punto de descarga. De esa manera, Duque (2015) plantea la creación 
de una variable binaria 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

 que toma el valor de uno si la dirección de flujo desde los pozos 

𝑚

𝑖

 y 

𝑚

𝑗

 es desde 

𝑚

𝑖

 hasta 

𝑚

𝑗

 y es de tipo 

𝑡, y una variable continua 𝑞

𝑖𝑗𝑡

 que representa el 

caudal de diseño que transita desde el pozo 

𝑚

𝑖

 al 

𝑚

𝑗

 de tipo 

𝑡. 

Por otro lado, esta metodología entiende los sistemas de alcantarillado como redes abiertas, 
a pesar de que todos los pozos están interconectados por tuberías. Al ser de esta manera se 
evita recirculación del agua en el sistema. Teniendo en cuenta esto, se debe definir el tipo de 
tubería entre inicio y continua, como se mencionaba anteriormente.  Las tuberías de inicio 
son aquellas que no están conectadas a otras aguas arriba, es decir, solo reciben el agua que 
entra  por  el  pozo  de  inspección  adyacente.  Por  el  contrario,  las  tuberías  continuas  se 
encuentran en los tramos intermedios de la red, en otras palabras, estas están conectadas con 
otras tuberías aguas arriba (Duque, 2015).  

A  partir  de  lo  anterior,  es  posible  observar  que  de  cada  pozo  de  inspección  puede  salir 
máximo una tubería continua o tantas tuberías de inicio como pozos adyacentes tenga dicho 
pozo, es decir, que cuando hay más de una tubería de inicio en un pozo, el caudal de entrada 
se  debe  distribuir  entre  dichas  tuberías,  pero  no  necesariamente  de  manera  proporcional. 
Además, todos los pozos de inspección aportan un caudal sanitario o pluvial que solo puede 
salir por el punto de descarga y no se puede almacenar dentro del sistema (Duque, 2015). 

Finalmente,  resulta  importante  destacar  que  la  solución  de  este  modelo  de  programación 
entera mixta se resuelve mediante una implementación en el software de optimización lineal 
XPRESS-MP. Donde el objetivo es minimizar los costos asociados al caudal y el tipo de las 
tuberías. 

 

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3.3.2 Diseño Hidráulico: 

 

Luego  de  definir  el  trazado es  posible  determinar  el  diseño  hidráulico  de  la  red,  donde  el 
principal  objetivo  es  encontrar  la  combinación  diámetro-pendiente  para  cada  tubería  que 
tiene el sistema, siempre teniendo en cuenta que se quiere minimizar el costo de construcción 
de  la  red  y  asegurar  el  correcto  funcionamiento  de  la  misma.  De  este  modo,  el  diseño 
hidráulico obtenido siempre cumple con las reglamentaciones vigentes en cada país. 

De esta manera, partiendo de un trazado determinado, donde se conoce el caudal de diseño 
𝑄

𝑑

, el sentido de flujo y el tipo de tubería para cada tramo, es posible determinar el diámetro 

𝑑 y la pendiente 𝑠 de la tubería que se debe instalar para que el caudal pueda ser transportado. 

Adicionalmente, en el diseño hidráulico se debe garantizar que todas las conexiones de la red 
sean consistentes. En otras palabras, siempre se debe tener un flujo a favor de la  gravedad, 
que las tuberías estén conectadas a la altura de su cota de batea y que todas las tuberías de 
inicio  estén  conectadas  a  la  descarga.  Sin  embargo,  debido  a  la  cantidad  de  alternativas 
factibles en el diseño se define un algoritmo de ruta más corta, conocido en la literatura como 
Bellman  Ford,  donde  el  principal  objetivo  es  minimizar  los  costos  de  construcción  del 
alcantarillado. 

 

Figura 4 Diseño hidráulico de un tramo de una red

 

3.3.3 Función de Costo: 

 

A lo largo de las diferentes metodologías que existen para solucionar el problema de diseño 
de redes de alcantarillado se han propuesto diferentes ecuaciones que intentan estimar los 
costos  de  construcción  (

𝑐

𝑖𝑗

),  las  cuales  son  funciones  principalmente  dependientes  del 

diámetro  de  las  tuberías  (

𝑑

𝑖𝑗

)  y  las  profundidades  de  excavación  (

𝑖𝑗

)  de  cada  uno  de  los 

tramos que ocupa la red. 

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𝑐

𝑖𝑗

= 𝑓(𝑑

𝑖𝑗

, ℎ

𝑖𝑗

 

 

Estas ecuaciones son de diferente naturaleza, pues se han utilizado diferentes metodologías 
y herramientas como regresiones lineales, análisis estadísticos y otras estrategias con el fin 
de encontrar expresiones que permitan calcular los costos asociados a la construcción de un 
alcantarillado.   

Por otra parte, gracias a la revisión bibliográfica realizada se puede deducir que la mayoría 
de las ecuaciones solo tienen en cuenta los costos de instalación de las tuberías, que dependen 
netamente del material y la longitud del tramo, y los costos de excavación de cada sección. 
Esto debido a que representan en promedio el 70% de los costos totales de construcción de 
una red. 

 

3.4 Eficiencia de Pareto

 

Cuando se tiene un problema de optimización multiobjetivo se puede hablar de un problema 
de optimización que tiene presente dos o más funciones objetivo. La complejidad de este tipo 
de problemas es que se tiene que apelar a la subjetividad para seleccionar una solución única, 
pues se debe tener en cuenta que un modelo de optimización multiobjetivo no proporciona 
una única solución óptima, sino que por el contrario genera un conjunto de soluciones que 
no pueden ser comparadas mutuamente. De esta manera, el conjunto de soluciones óptimas 
es denominado Frontera de Pareto. De esta frontera se puede decir que contiene soluciones 
que no pueden ser superadas en todos los objetivos por alguna otra solución, y de ahí nace el 
concepto de dominancia. Por lo tanto, los puntos que componen la frontera de Pareto son 
soluciones no dominadas. Una solución domina a otra si y solo si, es al menos es igual que 
la otra en todos sus objetivos y es mejor en al menos uno. (Baesler et al. 2006)

  

Ahora  la  decisión  de  cuál  de  las  soluciones  de  la  frontera  de  Pareto  se  va  a  ejecutar  va  a 
depender netamente del diseñador, es decir, se tendrá en cuenta el grado de importancia que 
se le quiera dar a cada uno de los objetivos y el análisis que se haga alrededor.  

Para  el  caso  particular  de  este  trabajo  la  frontera  de  Pareto  van  a  estar  conformadas  por 
diseños  de  una  red  que  van  a  tener  asociados  un  costo  de  construcción  que  quiere  ser 
minimizado  y  una  confiabilidad  de  la  misma  que  debe  ser  maximizado,  los  cuales  más 
adelante van a ser detallados, y por lo tanto se pretenderá tener idealmente gráficas como las 
de la 

Figura 5

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Figura 5 Frontera de Pareto Ideal

 

4.   DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 

 

En el presente proyecto se quiere continuar con el trabajo realizado por Duque (2015) en el 
que  se  propone  una  metodología  para  el  diseño  optimizado  de  alcantarillados,  la  cual  se 
explicó en la sección 3.3. Ahora, se quiere hacer una extensión de la metodología que permita 
por un lado realizar diseños de redes que se encuentren en terrenos de alta pendiente mediante 
la  construcción  de  cámaras  de  caída.  De  esta  manera,  es  posible  ampliar  el  espacio  de 
solución  de  la  metodología  original  teniendo  en  cuenta  que  se  puede  diseñar  redes,  tanto 
pluviales como sanitarias, con terrenos en todo tipo de pendiente. 

Por otra parte, cuando se diseña una red de alcantarillado al ingeniero no solo le debe interesar 
minimizar  los  costos  de  construcción  y  tener  un  modelo  con  un  solo  objetivo,  sino  que 
también debe tener en cuenta maximizar la confiabilidad de la red, es decir, tener un diseño 
en donde en caso de que haya un daño en una tubería esta afecte la menor población posible 
que se encuentre aguas arriba, y que adicionalmente cumpla con las restricciones hidráulicas 
de autolimpieza. De esta manera, el modelo que se tendría que plantear ya no sería mono-
objetivo con el costo como única función objetivo, sino multiobjetivo donde el costo  y la 
confiabilidad son funciones objetivo que se deben optimizar simultáneamente.  

Se debe tener en cuenta que con el modelo mono-objetivo propuesto por Duque (2015) solo 
se puede obtener una solución que tiene que ser mejor o igual al resto de las alternativas que 
se  encuentran  en  el  espacio  de  solución.  Cuando  se  involucra  la  confiabilidad  como  un 
segundo objetivo y opuesto al primero, aunque no hay cambio en el espacio de solución, ya 

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no  hay  una  sola  solución  que  optimice  simultáneamente  las  funciones  objetivo  y  por  el 
contrario se podrá obtener un conjunto de soluciones que las consideren. Las soluciones de 
dicho conjunto deben ser dominante frente al resto de alternativas que se encuentren en el 
espacio  de  solución.  En  otras  palabras,  una  solución  que  pertenezca  a  este  conjunto  debe 
tener como principal característica, que para un nivel de confiabilidad que se tenga no hay 
ninguna otra solución que tenga un menor costo, o viceversa, para una solución con un costo 
determinado no hay otra que tenga una mayor confiabilidad. De esta manera, este conjunto 
de soluciones dominantes se les conoce como frente de Pareto. 

Finalmente, el resultado principal de esta metodología será la construcción de una frontera 
de Pareto de cada caso de estudio, que contemple los costos y la confiabilidad en cada uno 
de  sus  ejes,  y  que  va  a  brindar  diferentes  alternativas  de  diseño  para  una  sola  red  y  ya 
dependerá del ingeniero encargado la decisión de que prioridad le va a asignar a cada uno de 
los objetivos del modelo. Sin embargo, para llegar a este producto se debe tener en cuenta 
que  el  modelo  de  selección  de  trazado  en  su  función  objetivo  no  estima  directamente  los 
costos  de  la  red,  sino  que  se  establece  uno  de  los  criterios  propuestos  por  Aguilar  (2016) 
como función objetivo del modelo y el propuesto por Zambrano (2018), que serán explicados 
en la sección 4.2, y seguido de esto con el modelo del diseño hidráulico es posible estimar 
los  costos  de  construcción  precisos  para  cada  uno  de  los  trazados  generados  con  la 
metodología.  

 

4.1   Problema de estimación de los costos para la Frontera de Pareto: 

 

La frontera de Pareto debe estar conformada en uno de sus ejes por un índice de confiabilidad, 
que será explicado en la sección 5, y en el otro eje debe considerar el costo de construcción 
estimado con la ecuación de costo utilizada en el modelo del diseño hidráulico. Sin embargo, 
para llegar a obtener el diseño hidráulico óptimo de una red es necesario tener una estrategia 
desde el modelo MIP de selección de trazado que permita implícitamente minimizar dichos 
costos.  Por  tal  motivo,  en  este  trabajo  se  utilizan  dos  criterios  que  permiten  realizar  una 
aproximación de los costos reales, pero utilizando las variables propias del modelo MIP. 

4.1.1 Estimación de los costos en la selección de trazado según Aguilar (2016): 

 

Para la selección de trazado se propone un modelo basado en un problema de diseño de redes, 
el  cual  es  solucionado  como  un  problema  de  Programación  Entera  Mixta  en  el  que  se 
involucran variables de decisión que modelan el flujo y otras que determinan el sentido de 
este y el tipo de la tubería. 

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Para  resolver  el  problema  se  plantea  un modelo  de  Flujo  de  Costo  Mínimo,  en  el  cual  se 
busca la forma más económica de enviar cierta cantidad de flujo a través de la red. De esta 
manera, el modelo se concentra en conocer cuánto caudal pasa por cada tubería, y el tipo de 
cada  una  de  estas  (Inicio  o  continua),  pero  tratando  de  priorizar  los  costos  del  diseño 
hidráulico.  

Aguilar  (2016)  propone  una  metodología  que  permite  establecer  una  función  objetivo  del 
modelo  de  selección  de  trazado  basado  en  una  aproximación  de  los  costos  del  diseño 
hidráulico a través de una transformación de  la función de costo usada en este modelo, es 
decir, la idea es expresar la función de costo, que depende del diámetro 

𝑑

𝑖𝑗

 y la profundidad 

de excavación 

𝑖𝑗

, en términos de las variables del trazado como lo es el caudal de diseño 

𝑞

𝑖𝑗𝑡

, el sentido y tipo de tubería 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

Ahora, cuando se hace dicha transformación con ayuda de una ecuación de resistencia fluida 
(Darcy-Weisbach y Colebrook-White o Manning), se puede concluir que la relación de costo 
frente a caudal de diseño no es lineal, lo que presenta una dificultad para la implementación 
de la función objetivo del modelo de selección de trazado. De esta manera, Aguilar (2016) 
propone  una  serie  de  cambios  a  modelo,  el  cual  permite  mediante  la  creación  de  nuevas 
variables y restricciones realizar una aproximación mediante rectas de la función objetivo, y 
de ese modo permitir la implementación del modelo MIP. En la 

Figura 6

 se puede notar como 

la relación entre el costo y el caudal de diseño de un tramo no muestra una tendencia lineal, 
por lo que ese necesario realizar una aproximación lineal (3 segmentos de recta roja), donde 
se  puede  anotar  que  entre  mayor  cantidad  de  rectas  se  implementen  para  representar  el 
comportamiento de la función se van a describir los costos con un mejor ajuste, pero teniendo 
en cuenta que esto conlleva la creación de un mayor número de variables y posiblemente de 
un mayor tiempo computacional requerido para la solución del modelo. Para mayor detalle 
de las variables y restricciones del modelo se debe referir al trabajo de Aguilar (2016). 

Por otra parte, se debe tener en cuenta que la función objetivo antes de ser linealizada requiere 
de parámetros como la profundidad de excavación 

𝑖𝑗

  y la pendiente del terreno 

𝑠

𝑖𝑗

, Pero 

como es de conocimiento estos pertenecen al diseño hidráulico, por lo tanto Aguilar  (2016) 
propone un algoritmo donde en cada iteración estos parámetros van siendo actualizados con 
cada diseño hidráulico que se realizan y por lo tanto se ajustan mejor a los costos reales. Así 
es posible que los resultados en el trazado que se vayan obteniendo a través de las iteraciones 
favorezcan los resultados de diseño hidráulico, y que ocurra lo mismo en sentido contrario. 
Haciendo que se vuelva un ciclo de retroalimentación continua.  

Aguilar (2016) propone lo siguiente: 

 

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A continuación, se presenta las ecuaciones utilizadas para estimar las profundidades 
promedio y las pendientes de cada uno de los tramos de la red: 

𝑖𝑗

𝑡

= 𝛼ℎ

𝑖𝑗

𝑡−1

+ (1 − 𝛼)ℎ

𝑖𝑗

𝐽𝐴𝑉𝐴

 

𝑗𝑖

𝑡

= (𝛼ℎ

𝑗𝑖

𝑡−1

+ (1 − 𝛼)ℎ

𝑖𝑗

𝑡

)𝜙 

Para el caso de la profundidad, específicamente se propone realizar una ponderación 

entre la profundidad que se obtiene con el diseño hidráulico (

𝑖𝑗

𝐽𝐴𝑉𝐴

) y la profundidad 

obtenida en la iteración anterior (

𝑖𝑗

𝑡−1

), a través de la asignación de una constante 

𝛼 que permite darle mayor importancia a una u otra dimensión dependiendo el criterio 
del  diseñador.  Adicionalmente,  se  tiene  en  cuenta  que  se  debe  penalizar  aquellos 
tramos que no pertenecen al trazado, para eso se asigna un factor de penalización que 
debe ser mayor que 1, y de esta manera se favorece las profundidades que pertenecen 
al trazado y se puede mejorar de cierto modo la solución del modelo. 

𝑠

𝑖𝑗

𝑡

= 𝛼𝑠

𝑖𝑗

𝑡−1

+ (1 − 𝛼)𝑠

𝑖𝑗

𝐽𝐴𝑉𝐴

 

𝑠

𝑗𝑖

𝑡

= 𝛼𝑠

𝑗𝑖

𝑡−1

+ (1 − 𝛼)𝑠

𝑖𝑗

𝑡

 

Para  el  caso  de  las  pendientes,  se  realiza  una  ponderación  similar  que  con  las 
profundidades donde se tiene en cuenta la pendiente de la iteración anterior (

𝑠

𝑖𝑗

𝑡−1

) y 

la pendiente que permite calcular el diseño hidráulico de la red (

𝑠

𝑖𝑗

𝐽𝐴𝑉𝐴

). Igualmente 

se asigna la constante 

𝛼 que permite dicha ponderación, y tiene como única condición 

es que debe estar en el intervalo entre 0 y 1.  

Ahora  para  la  inicialización  de  la  estrategia  se  asume  que  todas  las  profundidades 

promedio  (

𝑖𝑗

0

)  de  la  red  son  de  3.1  metros,  pues  resulta  de  un  promedio  entre  las 

profundidades mínimas y máximas permitidas por el RAS 2000. Y para el caso de las 
pendientes se asume que inicialmente son las mismas del terreno.

 

 

 

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Figura 6 Aproximación mediante rectas del costo de un tramo en el modelo de selección de trazado

 

Finalmente, para la construcción de la frontera de Pareto va a ser posible en primera instancia 
construir una entre los costos calculados con la función objetivo del modelo de selección de 
trazado y un índice de confiabilidad propuesto en la sección 5, posterior a esto si se podrá 
construir una frontera de Pareto de costos del diseño hidráulico de una red y la respectiva 
confiabilidad. 

4.1.2  Estimación de los costos en la selección de trazado según Zambrano (2018): 

 

Zambrano  (2018)  en  su  trabajo  propone  una  nueva  función  objetivo  para  el  modelo  MIP 
propuesto  por  Duque  (2015)  en el  que  se  maximicen  la  cantidad  de  tuberías  que  fluyen  a 
favor de la pendiente del terreno, con la premisa  de que esta manera los volúmenes  y por 
ende  los  costos  de  excavación  resultaran  ser  mucho  menores  que  si  se  tiene  tramos  en 
contrapendiente, los cuales requerirán de un mayor volumen de excavación. 

max

𝑚

𝑖𝑗

𝑥

𝑖𝑗𝑡

(𝑚

𝑖

,𝑚

𝑗

)∈𝒜

𝐿

,𝑡∈𝒯

 

 

Donde 

𝐴

𝐿

 es el conjunto de arcos que tienen en cuenta de la dirección de tuberías y el tipo 

de la misma. Recordando que 

𝑥

𝑖𝑗𝑡

 es la variable binaria que indica la dirección y el tipo de 

tubería.  El  coeficiente 

𝑚

𝑖𝑗

  con  este  criterio  se  calcula  la  pendiente  entre  los  pozos 

pertenecientes al arco 

(𝑖, 𝑗, 𝑡). De esta manera, las pendientes positivas indicaran un descenso 

en el terreno entre un pozo y otro, y las negativas indicaran un ascenso en el terreno. Donde 
𝑍

𝑖

 y 

𝑍

𝑗

 son las cotas del terreno de los pozos y 

𝐿

𝑖𝑗

 es la longitud horizontal entre pozos. 

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𝑚

𝑖𝑗

=

𝑍

𝑖

− 𝑍

𝑗

𝐿

𝑖𝑗

 

 

 

Posteriormente,  a  determinar  los  trazados  con  alguno  de  los  criterios  se  podrá  estimar  el 
diseño  hidráulico  de  cada  uno  de  estos,  y  por  lo  tanto  conocer  el  costo  con  ayuda  de  las 
funciones de costo, para posteriormente conformar la frontera de Pareto que se quiere como 
producto final.

 

5.  METODOLOGIA 

 

En  términos  generales,  cualquier  metodología  de  diseño  optimizado  de  alcantarillados  se 
basa en determinar una serie de variables de decisión referentes al trazado y diseño hidráulico 
de la red, en el que según sea el caso se tiene un criterio de decisión, que puede ser de costos 
económicos,  beneficios  hidráulicos.  Para  este  caso,  el  principal  objetivo  es  minimizar  los 
costos de construcción de la red y a la misma vez tratar de maximizar la confiabilidad, que 
específicamente  se  resume  en  optimizar  de  manera  ponderada  las  funciones  objetivo  del 
modelo de la selección de trazado y el diseño hidráulico. 

Adjunto a lo anterior se propone la extensión al modelo del diseño hidráulico que permita la 
creación de cámaras de caída en redes de alta pendiente mediante la modificación del grafo 
planteado por Duque (2015) y la formulación presentada por Marú (2017). 

 

5.1  Diseño Hidráulico con Cámaras de Caída: 

 

El modelaje del grafo del diseño hidráulico propuesto por Duque (2015) plantea que cada 
uno de las cámaras  que constituyen la red de alcantarillado se puede representar como un 
grupo de nodos. Donde cada uno de los nodos representa una profundidad de excavación o 
cota batea de una posible tubería, y un diámetro comercial disponible. Por otro lado, los arcos 
representan la conexión entre dos nodos que sería la existencia de una posible tubería y esta 
tendría un costo asociado calculado con una función de costo determinada.  

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Figura 7 Arcos y nodos del grafo de diseño hidráulico. Tomado de Marú(2017)

 

Ahora, Marú (2017) propone una modificación para la metodología del diseño de tuberías en 
serie  que  será  aplicable  al  diseño  de  redes  a  partir  de  la  creación  de  arcos  que  permitan 
representar las cámaras de caída en un pozo de inspección. De esta manera, en el grafo van a 
existir  arcos  tipo  1,  los  cuales  están  relacionados  con  las  tuberías  y  van  a  tener  un  costo 
asociado a la instalación de las mismas, y arcos tipo 2 (Figura 2) que representan las cámaras 
de  caída  y  tendrán  también  un costo  asociado  que  debe  ser  calculado  con  una  función  de 
costo diferente a las utilizadas para las tuberías.  

 

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Figura 8 Arcos que representan las cámaras de caída. Tomado de Marú (2017)

 

De este modo, el algoritmo de ruta más corta implementado por Duque (2015) funcionará de 
la misma manera recorriendo el grafo de manera exhaustiva partiendo desde la descarga hacia 
cada uno de los arranques de las series de tuberías que componen la red. La diferencia ahora 
radica en que el espacio de solución va a ser mayor pues va a ser necesario explorar tanto los 
arcos tipo 1 y tipo 2 lo que aumenta la cantidad de diseños factibles. 

Se  debe  destacar  que  la  presencia  de  cámaras  de  caída  va  a  depender  directamente  de  la 
restricción de velocidad máxima, pues cuando se tienen terrenos de alta pendiente, es decir 
mayores al 10%, las tuberías van a tender a tener pendientes similares lo que produce altas 
velocidades  y  condiciones  super  críticas,  y  lo  que  va  a  suceder  es  que  cuando  esas 
velocidades superen las velocidad máxima permitida será necesario construir una cámara de 
caída que permita disminuir la pendiente de la tubería aguas abajo y de ese modo también 
reducir la velocidad de flujo. Ahora, la longitud de la caída va a depender directamente de la 
función de costo que se tenga y de las condiciones de la red. 

5.2  Ecuación de costo: 

  

Las ecuaciones de costo son funciones que permiten calcular los costos de construcción de 
un  tramo  de  alcantarillado,  a  través  del  conocimiento  del  diámetro,  las  pendientes  y  las 

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profundidades de excavación de las tuberías. Así para la metodología de Duque (2015) estas 
ecuaciones son de vital importancia ya que permiten determinar el criterio de selección de 
las alternativas tanto en el diseño hidráulico como en la selección de trazado. 

En  la  literatura  internacional  se  encuentran  diferentes  tipos  de  ecuaciones  que  pretender 
explicar  de  diferentes  maneras  los  costos  de  construcción,  haciendo  uso  de  herramientas 
estadísticas y diferentes tipos de análisis.  

5.2.1  Ecuación: Maurer (2012) 

 

Es una ecuación propuesta en el artículo “Quantifying costs and lengths of urban drainage 
systems with a simple static sewer infrastructure model” 
por Maurer et al. (2012) en el que 
se realiza un modelo de economías a escala en una zona de la ciudad de Dubendorf en Suiza 
en el que se quiere emular de manera más precisa los costos y dimensiones de un sistema de 
drenaje urbano en donde se tenga en cuenta un análisis hidrológico, densidad poblacional y 
el área de la zona. Y de esta manera realizar una comparación con otras alternativas de diseño 
que se han realizado a lo largo de la historia en la zona.  

De esta manera, se propone esta ecuación que tiene en cuenta los costos de instalación de las 
tuberías y los costos de excavación de cada uno de los tramos. A continuación, se presenta la 
ecuación: 

 

𝐶

𝑖𝑗

= 𝛼ℎ

𝑖𝑗

+ 𝛽 

 

𝛼 = 𝑚

𝛼

𝑑

𝑖𝑗

+ 𝑛

𝛼

 

𝛽 = 𝑚

𝛽

𝑑

𝑖𝑗

+ 𝑛

𝛽

 

𝐶

𝑖𝑗

= (𝑚

𝛼

𝑑

𝑖𝑗

+ 𝑛

𝛼

)ℎ

𝑖𝑗

+ 𝑚

𝛽

𝑑

𝑖𝑗

+ 𝑛

𝛽

 

Donde 

𝐶

𝑖𝑗

 es el costo de construcción del tramo en dólares por metro lineal de tubería, 

𝑖𝑗

 es 

la  profundidad  de  excavación  promedio  de  la  tubería, 

𝑑

𝑖𝑗

  es  el  diámetro  en  metros  de  la 

tubería en un tramo determinado y 

𝑚

𝛼

𝑛

𝛼

𝑚

𝛽

 y 

𝑛

𝛽

 son constantes propias de las regresiones 

que tratan de explicar la dependencia de las variables frente al costo. 

5.3  Estimación de Confiabilidad:  

 

Según  Haghighi  &  Bakhshipour  (2016)  una  red  con  un  trazado  que  tenga  la  mayor 
confiabilidad es aquella que genera la menor área afectada ante la obstrucción de alguna de 
las tuberías que componen la red, en otras palabras, si hay un mínimo de población afectada 
por el daño de una tubería esa red va a resultar muy confiable

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5.3.1  Índice de confiabilidad propuesto por Haghighi & Bakhshipour (2016): 

 

Según Haghighi & Bakhshipour (2016) una red con un trazado que tenga la mayor confiabilidad es 
aquella que genera la menor área afectada ante la obstrucción de alguna de las tuberías que componen 
la red, en otras palabras, si hay un mínimo de población afectada por el daño de una tubería esa red 
va a resultar muy confiable. 

La confiabilidad por cada tubería se calcula de la siguiente manera: 

𝑅

𝑖𝑗𝑡

= 1 −

𝑞

𝑖𝑗𝑡

𝑄

𝑂𝑈𝑇

 

Donde 

𝑞

𝑖𝑗𝑡

 es el caudal de diseño de la tubería 

(𝑚

𝑖

, 𝑚

𝑗

) ∈ 𝒜

𝐿

, 𝑡 ∈ 𝒯 

𝑄

𝑂𝑈𝑇

 es el caudal en la 

descarga. De esta manera, se puede interpretar que una tubería va a resultar más confiable si 
por esta transita la menor cantidad de agua posible. 

Para toda una red la confiabilidad promedio se puede calcular de la siguiente manera, donde 
𝑛 es el número de tramos de la red: 

𝑅̅ = 1 −

𝑞

𝑖𝑗𝑡

(𝑚

𝑖

,𝑚

𝑗

)∈𝒜

𝐿

,𝑡∈𝒯

𝑛𝑄

𝑂𝑈𝑇

 

A partir de lo anterior se puede decir que la metodología propuesta va a maximizar la anterior 
expresión, con el fin de tener un trazado confiable que lleve a un diseño que permita distribuir 
el agua a lo largo de la red de manera equitativa de tal manera que sea bastante útil en redes 
con una topografía plana.

 

5.3.2  Índice de confiabilidad propuesto Aguilar (2019): 

 

Basado  en  lo  anterior,  en  esta  tesis  se  plantea  un  indicador  que  se  calcula  de  la  siguiente 
manera:  

𝑅̅ = 1 −

𝑒

𝑖𝑗𝑡

𝑥

𝑖𝑗𝑡

(𝑚

𝑖

,𝑚

𝑗

)∈𝒜

𝐿

,𝑡∈𝒯

𝑛

 

Donde 

𝑛 es el número de tramos de la red y 𝑒

𝑖𝑗𝑡

 es un coeficiente que indica el porcentaje 

del caudal total de descarga que podría potencialmente transitar por la tubería, es decir, es la 
suma de los caudales de entrada de los pozos que  se podrían encontrar aguas arriba de la 
tubería en cuestión. Para el caso de las tuberías de inicio solo se tiene en cuenta el caudal de 
entrada del pozo adyacente aguas arriba. En la 

Figura 9

 se muestra un ejemplo para calcular 

la confiabilidad para un tramo en una red de 9 pozos, donde se asume que el caudal de entrada 

a cada pozo es de 1 

𝑚

3

𝑠

 y que se va a calcular el coeficiente 

𝑒

69𝐶

, que corresponde al tramo 

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Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

33 

 
 

del pozo 6 al 9 de tipo continuo. Para eso se traza una recta perpendicular al tramo de interés 
(línea punteada en verde), y de esa manera se suma el caudal de entrada de cada uno de los 
pozos que se encuentra aguas arriba de dicha recta, en este caso se sumaria el caudal de los 

pozos 1 al 6, danto un total de 6  

𝑚

3

𝑠

. Posteriormente, esta suma se divide por el caudal total 

en la descarga que seria 9 

𝑚

3

𝑠

, lo que daría que 

𝑒

69𝐶

= 0.66. Si se quisiera calcular 𝑒

69𝐼

, solo 

se tendría en cuenta el caudal del pozo 6, lo que daría que 

𝑒

69𝐼

=

1

9

 

 

Figura 9 Estimación de la confiabilidad de un tramo para una red de 9 pozos

 

 

5.4  Construcción de la Frontera de Pareto: 

 

Para  llegar  a  una  frontera  de  Pareto  como  producto  final  que  considere  los  costos  reales 
(estimados con la ecuación de costo del diseño hidráulico) y la confiabilidad de una red en 
cada uno de sus ejes y que contenga las soluciones eficientes que optimizan cada uno de estos 
objetivos, previamente se debe construir una frontera de Pareto aproximada con la función 
objetivo del modelo MIP y el índice de confiabilidad escogido. Teniendo en cuenta, que esta 
función  objetivo  depende  del  criterio  de  estimación  de  costos  que  se  utilice,  ya  sea  el  de 
Aguilar (2016) o el de Zambrano (2018), y que indirectamente van a intentar minimizar los 
costos del diseño hidráulico. 

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Esta  frontera  de  Pareto  aproximada  va  estar  conformada  por  un  conjunto  de  trazados 
eficientes, que en el caso de que se implemente el modelo MIP de Aguilar (2016) la frontera 
tendrá la forma de la 

Figura 10

 (a), la cual tiene esa concavidad debido a que las dos funciones 

son opuestas (minimización y maximización), mientras que si se utiliza el modelo MIP de 
Zambrano  (2018)  se  tendrá  una  gráfica  como  la  de  la 

Figura  10

  (b)  con  una  concavidad 

diferente debido a que las dos funciones son de maximización. Para conformar la frontera de 
Pareto  con  los  costos  reales  el  procedimiento  que  se  debe  seguir  es  realizar  el  diseño 
hidráulico de cada uno de los trazados de la frontera de Pareto aproximada, de esta manera 
se va a tener soluciones que van a tener asociado un costo real y un nivel de confiabilidad 
que van a poder ser graficadas y se podrá observar si pertenecen o no a la frontera de Pareto 
real, dependiendo de su dominancia con respecto al resto de soluciones. 

 

Figura 10 a) Frontera de Pareto del modelo de Selección de Trazado con el criterio de Aguilar (2016). b) Frontera de 

Pareto del modelo de Selección de Trazado con el criterio de Zambrano (2018) 

En la 

Figura 11

 se presenta el algoritmo para construir la frontera de Pareto aproximada, luego 

la frontera de Pareto real cuando se utiliza el modelo en la selección de trazado propuesto por 
Aguilar (2016). En una primera etapa la idea es encontrar el diseño hidráulico y trazado de 
la  red  de  interés  que  minimice  los  costos  de  construcción  de  la  red  luego  determinadas 
iteraciones del modelo (

𝑡

𝑚𝑎𝑥

), para que seguido de esto se implemente el algoritmo que va a 

permitir  encontrar  los  trazados  eficientes  (

𝑛

𝑚𝑎𝑥

)  que  conforman  la  frontera  de  Pareto 

aproximada los cuales se les realiza el diseño hidráulico correspondiente para que entren a 
componer la frontera de Pareto con los costos reales. 

En el caso del modelo de Zambrano (2018) este procedimiento no es necesario en su totalidad 
debido a que este es un modelo explicito y no requiere de las iteraciones mencionadas para 
obtener un diseño con el costo mínimo para determinada red. 

 

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Figura 11 Algoritmo para la construcción de la frontera de Pareto con el modelo de Aguilar (2016)

 

 

Ahora, exactamente para construir frontera de Pareto aproximada de una red se implementa 
un algoritmo de ponderación de funciones objetivo propuesto por Medrano et al. (2015) que 
lo denomina “Non-Inferior Set Estimation” (NISE en inglés), el cual permite ir encontrando 
de manera recursiva las soluciones de un modelo MIP que pertenecen a la frontera. 

El algoritmo en primera medida consiste en modificar la función objetivo del modelo MIP, 
para que ahora esta sea una ponderación de las dos funciones objetivo de interés, es decir, 
del criterio de minimización de costos (

𝑍

1

) y del índice de confiabilidad promedio (

𝑍

2

), y 

que a depender de un coeficiente 

𝛼 que determina la importancia que se le da a cada uno de 

las funciones en cada solución del modelo. 

𝑧

𝑐

= 𝛼𝑧

1

+ (1 − 𝛼)𝑧

2

 

Ahora, el algoritmo resulta ser iterativo porque en cada paso es posible actualizar el valor de 
𝛼, lo que modifica la función objetivo 𝑍

𝑐

 y por lo tanto es posible obtener un trazado diferente 

cada vez pero que siempre pertenece a la frontera de Pareto. El valor del coeficiente 

𝛼 se 

calcula de la siguiente manera, donde 

𝜎

𝑖

 y 

𝜎

𝑗

 son soluciones al modelo MIP encontradas en 

cada iteración del algoritmo: 

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𝛼 =

𝑧

2

(𝜎

𝑖

) − 𝑧

2

(𝜎

𝑗

)

𝑧

2

(𝜎

𝑖

) − 𝑧

2

(𝜎

𝑗

) + 𝑧

1

(𝜎

𝑗

) − 𝑧

1

(𝜎

𝑖

)

 

En la 

Figura 12

 se muestra un ejemplo de la construcción de la frontera de Pareto. Donde para 

inicializar el algoritmo se comienza asignando 

𝛼 = 1 y se soluciona el MIP para obtener un 

trazado 

𝜎

1

, posteriormente se asigna un 

𝛼 = 0 para obtener un trazado 𝜎

2

. Dadas esas dos 

soluciones  es  posible  calcular  un  valor  de 

𝛼  con  la  anterior  ecuación  para  así  tener  una 

función objetivo 

𝑧

𝑐

 con la que se puede solucionar el modelo MIP y obtener un trazado 

𝜎

3

Para obtener la solución 

𝜎

4

, se realiza el procedimiento anterior, pero con las soluciones 

𝜎

1

 

𝜎

3

 y de la misma manera para la solución 

𝜎

5

 pero con 

𝜎

3

 y 

𝜎

2

 

Figura 12 Frontera de Pareto con el algoritmo NISE 

A continuación, se muestra un algoritmo general que permite la conformación de la frontera 
de Pareto, Duque & Peña (2017): 

Algoritmo 1: Función Principal 

Requerimientos: Modelo MIP de selección de trazado que requiere un coeficiente 

𝛼, 

1. 

𝛹 =  ∅: Conjunto de soluciones de la frontera de Pareto 

2. 

𝛼 = 1 

3. 

𝜎

𝑖

  

𝑀𝐼𝑃(𝛼) 

4. 

𝛼 = 0 

5. 

𝜎

𝑗

  

𝑀𝐼𝑃(𝛼) 

6. 

𝛹  𝛹 𝑈 𝜎

𝑖

 

7. 

𝛹 𝛹 𝑈 𝑅𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑖𝑣𝑜𝑁𝐼𝑆𝐸(𝜎

𝑖

, 𝜎

𝑗

, 𝛹) 

8.  Retornar 

𝛹 

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Algoritmo 2: Recursivo NISE 

1.  Actualizar el valor del coeficiente 

𝛼. 

2. 

𝜎

𝑘

  

𝑀𝐼𝑃(𝛼) 

3.  If 

𝑧

2

(𝜎

𝑘

) > 𝑧

2

(𝜎

𝑖

and 𝑧

1

(𝜎

𝑘

) > 𝑧

1

(𝜎

𝑗

then 

4.           If 

𝑧

2

(𝜎

𝑘

) = 𝑧

2

(𝜎

𝑗

then 

5.                 

𝑅𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑖𝑣𝑜𝑁𝐼𝑆𝐸(𝜎

𝑖

, 𝜎

𝑘

, 𝛹) 

6.           Else If 

𝑧

1

(𝜎

𝑘

) = 𝑧

1

(𝜎

𝑖

then 

7.                 

𝛹 

 

𝛹 𝑈 𝜎

𝑖

 

8.                 

𝑅𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑖𝑣𝑜𝑁𝐼𝑆𝐸(𝜎

𝑘

, 𝜎

𝑗

, 𝛹) 

9.            Else 
10.                

𝑅𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑖𝑣𝑜𝑁𝐼𝑆𝐸(𝜎

𝑖

, 𝜎

𝑘

, 𝛹) 

11.                

𝑅𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑖𝑣𝑜𝑁𝐼𝑆𝐸(𝜎

𝑖

, 𝜎

𝑘

, 𝛹) 

12. Else 
13.            

𝛹  𝛹 𝑈 𝜎

𝑗

 

14. Retornar 

𝜎

𝑗

 

Como  es  posible  observar,  al  ser  un  algoritmo  iterativo  no  tiene  un  criterio  de  para 
predefinido. El algoritmo va a detenerse cuando encuentre todas las soluciones factibles que 
pertenezcan a la frontera de Pareto. De esta manera, el tiempo computacional que se requiera 
va a depender directamente de la cantidad de variables del modelo MIP, es decir, del número 
de tuberías que tenga la red de caso de estudio. 

Posteriormente, luego de obtener esta primera frontera de Pareto que contiene los trazados 
que optimizan tanto el criterio de costos como el índice de confiabilidad, se procede a realizar 
el diseño hidráulico de cada uno de estos. De ese modo, ahora para cada trazado se va a tener 
un costo de construcción asociado, y un índice de confiabilidad que ya estaba dado desde 
antes, lo  que permite conformar la frontera de Pareto final de costo real vs. Confiabilidad 
como se muestra en la 

Figura 13

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Figura 13 Frontera de Pareto costo vs. confiabilidad con NISE

 

 

5.5  Estrategia para reducir tiempos y recursos computacionales: 

 

Durante la implementación de los casos de estudio se pudo notar que cuando se utilizaba el 
modelo  MIP  propuesto  por  Aguilar  (2016)  los  tiempos  computacionales  aumentaban 
considerablemente en comparación a los que requería el modelo de Zambrano (2018)  para 
obtener  la  frontera  de  Pareto  aproximada,  requiriendo  de  varias  horas  para  llegar  a  la 
conclusión del algoritmo NISE, o en su defecto de agotar la memoria RAM disponible del 
computador. 

Para darle solución a este problema se implementaron tres estrategias que permitieron reducir 
los  tiempos  computacionales  y  obtener  soluciones  correctas  a  los  modelos.  La  primera 
estrategia consistió en asignar un criterio de parada al modelo MIP con el fin de obtener un 
trazado muy cercano al óptimo en cuanto a su función objetivo, que requería de menor tiempo 
computacional para ser encontrado. Para esto se decide  aumentar la tolerancia relativa del 
gap  del  modelo  MIP,  anotando  que  el  valor  por  default  que  asume  el  software  de 
optimización utilizado es de 0.00001. Recordando que en el algoritmo de Branch-and-bound 
el gap corresponde a la diferencia porcentual entre una frontera superior, que en el caso de 
un  problema  de  minimización  correspondería  al  valor  de  la  función  objetivo  de  la  mejor 
solución encontrada hasta el momento, y una frontera inferior, que correspondería al valor 
mínimo  de  la  función  objetivo  cuando  el  modelo  MIP  está  totalmente  relajado  cuando  el 
problema es de minimización. Gurobi (n.d). 

𝑔𝑎𝑝 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 =

|𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑 − 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟|

𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟

 

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Como segunda estrategia, aprovechando la aproximación lineal mediante segmentos de recta 
que se realiza a la función objetivo se propone un análisis de sensibilidad para cada uno de 
los  casos  de  estudio  donde  se  cambia  el  número  de  segmentos  utilizados  para  hacer  la 
aproximación  y  finalmente  escoger  el  número  que  permite  disminuir  el  tiempo 
computacional, pero encontrando el mayor número de soluciones posibles. 

La tercera estrategia básicamente consiste establecer un inicio en caliente para cada una de 
las  iteraciones  del  modelo  MIP  cuando  se  ejecuta  el  algoritmo  NISE,  es  decir,  lo  que  se 
realiza es asignar un valor inicial de las variables  del modelo (

𝑥

𝑖𝑗𝑡

  y 

𝑞

𝑖𝑗𝑡

) en determinada 

iteración basadas en la solución dada por la corrida del modelo en la anterior iteración. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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6.  RESULTADOS: 

 

Para  poner  a  prueba  la  presente  metodología  de  optimización  multiobjetivo  se  va  a 
implementar  tres  redes  de  diferente  naturaleza  y  tamaño  con  el  fin  de  observar  el 
funcionamiento  y  el  comportamiento  del  algoritmo.  Para  cada  una  de  las  redes  se  va  a 
analizar varios escenarios para determinar la frontera de Pareto, estos consisten en utilizar 
cada uno de los criterios de minimización de costo del trazado (Modelos de Aguilar (2016) 
y Zambrano (2018)) y la función de costo de Maurer (2012) 

Para el diseño hidráulico de las redes se utilizó la ecuación de Manning (

𝑛 = 0.009 𝑃𝑉𝐶) 

con restricciones de velocidad máxima de 10 m/s y esfuerzo cortante mínimo de 2Pa. 

Los 

diámetros 

comerciales 

en 

metros 

disponibles 

son 

los 

siguientes: 

0.227,0.284,0.327,0.362,0.407,0.452,0.595,0.670,0.747,0.824,0.9,0.9776,1.054,1.127.  

6.1  Cedritos 1: 

 

Esta  red  consiste  en  110  pozos  y  160  tramos  con  topografía  plana  y  el  alcantarillado  es 
combinado.

 

 

Figura 14 Ejemplo de Trazado de la red Cedritos 1 

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6.1.1  Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de Zambrano (2018) 

 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado pripuesto por 
Zambrano  (2018)  y  con  un  índice  de  confiabilidad  de 

Haghighi  &  Bakshipour  (2016) 

fue  la 

siguiente:

 

 

Figura 15 Fronteras de Pareto para Cedritos 1 

En la Figura 15 se puede observar la frontera de Pareto aproximada (Azul) con los trazados eficientes 
la cual requirió un tiempo computacional de 27 segundos para ser construida. También se  observan 
los diseños de los trazados (Naranja) nombrados anteriormente que requirieron 6.3 minutos para ser 
realizados. Además, es posible identificar los diseños que se encuentran no dominados y que por lo 
tanto conforman la frontera de Pareto real (Negro).  

 

6.1.2  Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de Zambrano 

(2018) 

 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado  propuesto 
por  Zambrano  (2018)  y  con  un  índice  de  confiabilidad  presentado  en  este  trabajo

 

fue  la 

siguiente (Aguilar (2019)): 

 $6.30

 $6.40

 $6.50

 $6.60

 $6.70

 $6.80

 $6.90

 $7.00

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

95.00

95.10

95.20

95.30

95.40

95.50

95.60

95.70

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

6

Ob

je

ct

iv

M

IP

Reliability(%)

PA R E TO  F RO N T   - C E D R I TO S  1

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/d91ef916fe10d32ea4628b1a8d9b9e42/index-html.html
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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

42 

 
 

 

Figura 16 Frontera de Pareto de Cedritos 1 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 28 segundos para 
ser construida, mientras que realizar los diseños hidráulicos (Naranja) requirió de 9.1 minutos.  

6.1.3  Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de selección 

de trazado de Aguilar (2016) 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Aguilar (2016) y con un índice de confiabilidad presentado en este trabajo

 

fue la siguiente 

(Aguilar (2019)): 

 

Figura 17 Frontera de Pareto de Cedritos 1 

6.45

6.50

6.55

6.60

6.65

6.70

6.75

6.80

6.85

6.90

6.95

7.00

0.05

0.15

0.25

0.35

0.45

0.55

0.65

51.0

56.0

61.0

66.0

71.0

76.0

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

6

Ob

je

ct

iv

M

IP

Reliability(%)

PA R E TO  F RO N T   - C E D R I TO S  1

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

 $6.75

 $6.80

 $6.85

 $6.90

 $6.95

 $3.80

 $3.85

 $3.90

 $3.95

 $4.00

 $4.05

 $4.10

67.00 68.00 69.00 70.00 71.00 72.00 73.00 74.00 75.00 76.00

R

eal

 C

o

st

 H

D

 (

U

SD

)x

10

6

Ap

ro

x.

. C

o

st

 (U

SD

)x

1

0

6

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - C E D R I TO S  1

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/d91ef916fe10d32ea4628b1a8d9b9e42/index-html.html
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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

43 

 
 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 2.2 horas para ser 
construida, donde se usaron 4 segmentos de recta para aproximar la función de costo y una tolerancia 
relativa  del  gap  del  1%,  mientras  que  realizar  los  diseños  hidráulicos  (Naranja)  requirió  de  10.3 
minutos.  

6.1.4  Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de selección de trazado de Aguilar (2016) 

 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado pripuesto por 
Aguilar  (2016)  y  con  un  índice  de  confiabilidad  de 

Haghighi  &  Bakshipour  (2016) 

fue  la 

siguiente:

 

 

Figura 18 Frontera de Pareto de Cedritos 1 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 1.4 horas para ser 
construida, donde se usaron 4 segmentos de recta para aproximar la función de costo y una tolerancia 
relativa  del  gap  del  1%,  mientras  que  realizar  los  diseños  hidráulicos  (Naranja)  requirió  de  6.3 
minutos.  

 

 

 

6.7

6.75

6.8

6.85

6.9

3.98

4

4.02

4.04

4.06

4.08

4.1

4.12

4.14

4.16

4.18

93.80 94.00 94.20 94.40 94.60 94.80 95.00 95.20 95.40 95.60 95.80

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

6

Ap

ro

x.

. C

o

st

 (U

SD

)x

1

0

6

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - C E D R I TO S  1

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

44 

 
 

6.2  Esmeralda: 

Esta  red  consiste  en  385  pozos  y  413  tramos  con  topografía  plana  y  el  alcantarillado  es 
sanitario.

 

 

Figura 19 Ejemplo de Trazado de la red Esmeralda 

6.2.1  Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de Zambrano (2018) 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Zambrano (2018) y con un índice de confiabilidad de 

Haghighi & Bakshipour (2016) 

fue la 

siguiente:

 

 

Figura 20 Frontera de Pareto de Esmeralda 

 $2.03

 $2.05

 $2.07

 $2.09

 $2.11

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

95.40 95.50 95.60 95.70 95.80 95.90 96.00 96.10 96.20

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

7

Ob

je

ct

iv

M

IP

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - ES M E R A L DA

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

45 

 
 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 51 segundos para 
ser construida, mientras que realizar los diseños hidráulicos (Naranja) requirió de 11.1 minutos. 

 

6.2.2  Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de Zambrano 

(2018) 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Zambrano (2018) y con un índice de confiabilidad de 

Aguilar (2019) 

fue la siguiente:

 

 

 

Figura 21 Frontera de Pareto de Esmeralda 

 

6.2.3  Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de selección 

de trazado de Aguilar (2016) 

 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Aguilar (2016) y con un índice de confiabilidad presentado en este trabajo

 

fue la siguiente 

(Aguilar (2019)): 

 

 

 

2.08

2.10

2.12

2.14

2.16

2.18

2.20

2.22

2.24

2.26

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

53.00

54.00

55.00

56.00

57.00

58.00

59.00

60.00

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

07

Ob

je

ct

iv

M

IP

Reliability (%)

PARETO FRONT - ESMERALDA

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/d91ef916fe10d32ea4628b1a8d9b9e42/index-html.html
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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

46 

 
 

 

Figura 22 Frontera de Pareto de Esmeralda 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 22.2 horas 
para ser construida, donde se usaron 7 segmentos de recta para aproximar la función de costo 
y  una  tolerancia  relativa  del  gap  del  3%,  mientras  que  realizar  los  diseños  hidráulicos 
(Naranja) requirió de 46.3 minutos.  

6.2.4  Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de selección de trazado de Aguilar (2016) 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Aguilar (2016) y con un índice de confiabilidad de 

Haghighi & Bakshipour (2016) 

fue la 

siguiente: 

 

 $2.00

 $2.05

 $2.10

 $2.15

 $2.20

 $2.25

 $2.30

 $1.20

 $1.22

 $1.24

 $1.26

 $1.28

 $1.30

 $1.32

 $1.34

 $1.36

 $1.38

 $1.40

50

52

54

56

58

60

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

7

Ap

ro

x.

. C

o

st

 (U

SD

)x

1

0

7

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - ES M E R A L DA

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

 $2.02

 $2.04

 $2.06

 $2.08

 $2.10

 $2.12

 $2.14

1.28

1.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

95.75 95.8 95.85 95.9 95.95

96

96.05 96.1 96.15 96.2

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

7

Ap

ro

x.

. C

o

st

 (U

SD

)x

1

0

7

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - ES M E R A L DA

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/d91ef916fe10d32ea4628b1a8d9b9e42/index-html.html
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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

47 

 
 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 13.2 horas 
para ser construida, donde se usaron 7 segmentos de recta para aproximar la función de costo 
y  una  tolerancia  relativa  del  gap  del  3%,  mientras  que  realizar  los  diseños  hidráulicos 
(Naranja) requirió de 31.8 minutos. 

 

6.3  Tumaco – Sector 2: 

 

Esta red consiste en 67 pozos y 83 tramos con topografía plana y el alcantarillado es sanitario.

 

 

Figura 23 Red de Tumaco - Sector 2 

6.3.1  Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de Zambrano (2018) 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Zambrano (2018) y con un índice de confiabilidad de 

Haghighi & Bakshipour (2016) 

fue la 

siguiente:

 

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/d91ef916fe10d32ea4628b1a8d9b9e42/index-html.html
background image

 

Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

48 

 
 

 

Figura 24 Frontera de Pareto de Tumaco 

La  frontera  de  Pareto  aproximada  (Azul)  con  sus  respectivos  trazados  requirió  de  14 
segundos para ser construida, mientras que realizar los diseños hidráulicos (Naranja) requirió 
de 7.1 minutos. 

 

6.3.2  Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de Zambrano 

(2018) 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la  selección de trazado propuesto 
por Zambrano (2018) y con un índice de confiabilidad de Aguilar (2019) fue la siguiente: 

 

Figura 25 Frontera de Pareto Tumaco 

3.15

3.2

3.25

3.3

3.35

3.4

3.45

3.5

3.55

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

89.60

89.80

90.00

90.20

90.40

90.60

R

eal

 C

o

st

 H

D

 (

U

SD

)x

10

7

Ob

je

ct

iv

M

IP

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - T U M ACO

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

3.1

3.15

3.2

3.25

3.3

3.35

0

0.05

0.1

0.15

0.2

35.0

40.0

45.0

50.0

55.0

60.0

65.0

70.0

R

eal

 C

o

st

 H

D

 (

U

SD

)x

10

7

Ob

je

ct

iv

M

IP

Realiability (%)

PA R E TO  F RO N T   - T U M ACO

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/d91ef916fe10d32ea4628b1a8d9b9e42/index-html.html
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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

49 

 
 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 14 
segundos para ser construida, mientras que realizar los diseños hidráulicos (Naranja) 
requirió de 7.1 minutos

 

6.3.3  Resultados con el índice de confiabilidad de Aguilar (2019) y modelo de selección 

de trazado de Aguilar (2016) 

 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Aguilar (2016) y con un índice de confiabilidad presentado en este trabajo

 

fue la siguiente 

(Aguilar (2019)): 

 

Figura 26 Frontera de Pareto Tumaco

 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 1.2 horas 
para  ser  construida,  donde  se  usaron  10 segmentos  de  recta  para  aproximar la  función  de 
costo  y  una  tolerancia  relativa  del  gap  del  0.001%,  mientras  que  realizar  los  diseños 
hidráulicos (Naranja) requirió de 34.2 minutos.  

 

6.3.4  Resultados con el índice de confiabilidad de Haghighi & Bakshipour (2016) y 

modelo de selección de trazado de Aguilar (2016) 

 

 $3.20

 $3.22

 $3.24

 $3.26

 $3.28

 $3.30

 $3.32

 $3.34

 $2.15

 $2.20

 $2.25

 $2.30

 $2.35

 $2.40

 $2.45

58.0 59.0 60.0 61.0 62.0 63.0 64.0 65.0 66.0 67.0

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

6

Ap

ro

x.

 C

o

st

 (U

SD

)x

1

0

6

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - T U M ACO

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/d91ef916fe10d32ea4628b1a8d9b9e42/index-html.html
background image

 

Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Modelo de Optimización Multiobjetivo para el Diseño de Redes de Drenaje 
Urbano

 

 

 

 

 

Andrés Felipe Aguilar Suárez 

Proyecto de Grado 

50 

 
 

Las fronteras de Pareto obtenidas con el modelo MIP de la selección de trazado propuesto 
por Aguilar (2016) y con un índice de confiabilidad de 

Haghighi & Bakshipour (2016) 

fue la 

siguiente: 

 

La frontera de Pareto aproximada (Azul) con sus respectivos trazados requirió de 55 minutos  
para  ser  construida,  donde  se  usaron  10 segmentos  de  recta  para  aproximar la  función  de 
costo  y  una  tolerancia  relativa  del  gap  del  0.001%,  mientras  que  realizar  los  diseños 
hidráulicos (Naranja) requirió de 40.4 minutos.  

6.4  Convergencia del ponderador alfa del algoritmo NISE: 

 

Adicionalmente, se hizo un análisis del comportamiento del ponderador alfa en el algoritmo 
NISE con el fin de ver el impacto que tiene el tamaño y naturaleza de la red sobre la cantidad 
de iteraciones, el valor de alfa y la velocidad de convergencia. En la Figura 27 se muestra el 
comportamiento  del  alfa  a  través  de  las  iteraciones  de  cada  uno  de  los  casos  de  estudio 
mencionados anteriormente cuando fueron implementados con el modelo MIP propuesto por 
Zambrano  (2018)  y  con  el  índice  de  confiabilidad  de  Haghighi  y  Bakshipour  (2016).  Sin 
embargo, se logró identificar la misma tendencia para todos los escenarios planteados en este 
trabajo. 

3.10

3.15

3.20

3.25

3.30

3.35

2.3

2.32

2.34

2.36

2.38

2.4

2.42

2.44

2.46

2.48

2.5

2.52

90.25

90.3

90.35

90.4

90.45

90.5

90.55

Real

 C

o

st

 H

D

 (U

SD

)x

1

0

6

Ap

ro

x.

 C

o

st

 (U

SD

)x

1

0

6

Reliability (%)

PA R E TO  F RO N T   - T U M ACO

Layout Solutions

HD Solutions

HD Pareto

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Figura 27 Convergencia de alfa en los tres casos de estudio

 

7.  ANALISIS DE RESULTADOS  

 

La construcción de una Frontera de Pareto permite tener un conjunto de diseños de una red 
determinada que cumplen con la optimización de los costos de construcción y la confiabilidad 
de su trazado de manera ponderada, dependerá del ingeniero y de las condiciones técnicas y 
económicas cuál de estos diseños va a ser el que se va a ejecutar. 

De los resultados mostrados en la sección 6 es posible decir que la metodología NISE en 
todos los casos de estudio permite construir una primera Frontera de Pareto que contiene las 
dos funciones objetivo, consideradas para el modelo de selección de trazado MIP, que son el 
uno  de  los  criterios  para  minimizar  el  costo  y  el  índice  de  confiabilidad  promedio.  La 
construcción  de  esta  frontera  se  hace  de  manera  eficiente  y  en  tiempos  computacionales 
aceptables, pues se debe tener en cuenta que se está resolviendo en repetidas ocasiones el 
modelo MIP donde lo único que se cambia es la ponderación de las funciones objetivo. Sin 
embargo, se debe anotar que cuando la metodología se resuelve con el modelo MIP propuesto 
por Aguilar (2016) el tiempo computacional requerido es mucho mayor que cuando se utiliza 
el modelo de Zambrano (2019), lo cual resulta lógico si se tiene en cuenta que en este modelo 
se tienen un mayor número de variables y restricciones que se deben cumplir, lo que vuelve 
más complejo el problema y requiere de mayores recursos computacionales para encontrar 
una solución óptima. Por lo que se puede decir que las estrategias mencionadas de modificar 
el valor inicial de las variables del modelo MIP, el número de rectas para la aproximación 
lineal de las función objetivo y la tolerancia relativa del gap fueron aptas y permitieron la 
reducción del tiempo computacional en promedio en un 50%.  

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

ALP

HA

ITERACIONES

CONVERGENCE ALPHA

Cedritos 1

Tumaco

Esmeralda

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En términos generales, se puede deducir que el número de trazados que conforman la frontera 
de Pareto puede depender en parte del tamaño de la red, pero más que este factor, se puede 
concluir que depende directamente de la cantidad de circuitos que se puedan formar según la 
naturaleza de cada red, De igual manera sucede con las iteraciones pues se puede observar 
en la 

Figura 27

 que la red de Esmeralda, la cual tiene el mayor número de pozos y tuberías, 

requiere  de  más  iteraciones  para  construir  la  frontera  de  Pareto,  seguido  de  las  redes  de 
Cedritos 1 y Tumaco. 

En cuanto al efecto que tiene el índice de confiabilidad utilizado sobre la frontera de Pareto, 
en  primera  instancia  se  puede  decir  que  el  índice  propuesto  en  este  trabajo  considera  un 
mayor  espacio  de  solución  que  el  propuesto  por  Haghighi  y  Bakshipour  (2016),  en  otras 
palabras  la  diferencia  promedio  en  todos  los  casos  de  estudio  entre  el  valor  mínimo  de 
confiabilidad y el máximo es mayor en el caso del índice de Aguilar (2019), lo que genera 
como  principal impacto  que la  frontera  de  Pareto  aproximada  construida  con  el  índice  de 
confiabilidad  de  Aguilar  (2019)  tenga  en  promedio  un  mayor  número  de  trazados  que  la 
construida con el índice de Haghighi y Bakshipour (2016). 

Con respecto a las funciones objetivo de minimización de costos se puede decir que ambas 
son alternativas que permiten aproximar de manera correcta los costos del diseño hidráulico 
pues permiten tener diseños con similares características. Sin embargo, se debe destacar que 
el  modelo  propuesto  por  Aguilar  (2016),  aunque  requiere  de  mayores  tiempos  y  recursos 
computacionales, permite obtener fronteras de Pareto reales que se ajustan de mejor manera 
a una frontera de Pareto ideal, es decir, los puntos que componen la frontera de Pareto con 
este modelo presentan menos dispersión y variabilidad que las fronteras con el modelo de 
Zambrano  (2018),  y  por  lo  tanto  se  ajustan  de  mejor  manera  a  la  concavidad  ideal  de  la 
frontera de Pareto. 

Por  otra  parte,  cuando  se  construye  la  frontera  de  Pareto  real,  que  contempla  costo  y 
confiabilidad, se puede concluir que no todos los trazados que se obtienen de la primera etapa 
de la metodología resultan ser factibles. Esto se debe a que no cumplen con algunas de las 
restricciones  impuestas  en  el  diseño  hidráulico  por  lo  que  no  se  grafican  en  las  fronteras 
definitivas. Sin embargo, lo más importante que se puede destacar es que también no todos 
los trazados cuando son diseñados van a conformar la frontera de Pareto, esto se debe a que 
se  convierten  a  soluciones  dominadas  o  con  dominancia  débil,  es  decir,  existen  otras 
soluciones que para un mismo costo permiten tener una mayor confiabilidad, o viceversa, 
permiten obtener un menor costo con un mismo nivel de confiabilidad.  

 

 

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Finalmente,  se  puede  decir  que  el  modelo  de  selección  de  trazado  propuesto  por  Aguilar 
(2016)  permite  hacer  una  buena  estimación  de  los  costos  indirectamente  de  una  red  sin 
importar  su  naturaleza,  pero  reconociendo  que  funciona  mejor  en  el  caso  de  las  redes 
sanitarias,  donde  la  diferencia  entre  diseños  radica  generalmente  en  las  profundidades  de 
excavación, pues los diámetros de las tuberías son muy similares. Esto se concluye porque 
las  fronteras  obtenidas  tienen  una  forma  esperada,  donde  el  costo  aumenta  a  medida  que 
aumenta la confiabilidad de la red y la mayoría de las soluciones resultan no dominadas. 

8.  CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES  

 

•  La  metodología  NISE  de  ponderación  de  funciones  que  permite  la  optimización 

multiobjetivo  permite  encontrar  las  fronteras  de  Pareto  de  una  manera  eficiente  y 
exhaustiva al permitir encontrar todas las soluciones que pertenecen a esta. 

•  Se debe proponer en el futuro un índice de confiabilidad que permita comparar de 

mejor manera la confiabilidad entre las redes, lo que permita concluir mejor acerca de 
la red que se debe construir. 

•  La  metodología  propone  un  conjunto  de  diseños  que  pertenecen  a  una  frontera  de 

Pareto, por lo que la elección de una sola solución es netamente subjetiva. 

•  Con el fin de que todas las soluciones propuestas en el modelo de selección de trazado 

pertenezcan  posteriormente  a  la  frontera  de  Pareto  definitiva  se  debe  proponer 
modificaciones a los criterios para minimizar el costo que contemplen de una mejor 
manera las variables o los costos del diseño hidráulico. 

•  El  tiempo  y  los  recursos  computacionales  requeridos  dependen  directamente  y 

proporcionalmente del tamaño de la red de estudio. 

•  El uso de estos criterios de minimizar costos no garantiza obtener el menor costo en 

el diseño pero si permiten obtener fronteras de Pareto en donde la forma de esta va 
acorde a la teoría, en la que el costo asciende a media que la confiabilidad aumenta.  

•  En  todos  los  casos  de  estudio  se  observa  que  el  trazado  que  tiene  la  mayor 

confiabilidad, a su vez es el diseño que tiene el mayor costo lo cual tiene sentido dentro 
de los principios de la optimización multiobjetivo. 

•  El índice de confiabilidad de  Aguilar (2016) permite realizar un mejor análisis del 

nivel  de  confiabilidad  de  cada  uno  de  los  diseños  y  un  mejor  apoyo  en  la  toma  de 
decisiones que el otro índice utilizado en este trabajo. 

•  El modelo de selección de trazado de Aguilar (2016) permite una mejor descripción 

implícita de los costos del diseño hidráulico al generar fronteras de Pareto reales mas 
ajustados a lo que se quiere idealmente, a pesar de requerir un tiempo computacional 
mayor. 

 

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