Diseño Optimizado de Tuberías en Serie

Este trabajo presenta una nueva metodología de diseño optimizado de tuberías en serie, denominada Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico (SOGH). La metodología es explícita y se basa en el conocimiento de la topología de la serie de tuberías y en la distribución geométrica de los caudales demandados en los nudos, es decir en la forma en que la serie entrega la masa de agua con respecto a la distancia recorrida. SOGH se basa en predeterminar la línea de gradiente hidráulico (LGH) que produce un diseño de mínimo costo, en forma explícita. Una vez se establece esa línea, el cálculo de los diámetros continuos es directo; posteriormente se hace un redondeo a los diámetros comerciales. El desempeño de la metodología propuesta fue evaluado mediante el diseño de 1200 series de tuberías, simultáneamente mediante Algoritmos Genéticos (AG) y SOGH, las cuales tenían diferentes características topológicas y de demanda de agua.

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IAHR        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 CIC 

XXV CONGRESO LATINOAMERICANO DE HIDRÁULICA 

SAN JOSÉ, COSTA RICA, 9 AL 12 DE SETIEMBRE DE 2012 

 
 

DISEÑO OPTIMIZADO DE TUBERÍAS EN SERIE: 

UNA APROXIMACIÓN EXPLÍCITA  

 
 

Juan G. Saldarriaga

1

, Susana Ochoa

2

, Claudia S. Solano

3

 

Universidad de los Andes-Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental-CIACUA; Colombia;  

e-mail: jsaldarr@uniandes.edu.co, ochoa-rodriguez@imperial.ac.uk, 

cs.solano133@uniandes.edu.co 

 
 
RESUMEN:  

Este  trabajo  presenta  una  nueva  metodología  de  diseño  optimizado  de  tuberías  en  serie, 

denominada Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico (SOGH). La metodología es explícita y se 
basa en el conocimiento de la topología de la serie de tuberías y en la distribución geométrica de los 
caudales demandados en los nudos, es decir en la forma en que la serie entrega la masa de agua con 
respecto  a  la  distancia  recorrida.  SOGH  se  basa  en  predeterminar  la  línea  de  gradiente  hidráulico 
(LGH) que produce un diseño de mínimo costo, en forma explícita. Una vez se establece esa línea, 
el cálculo de los diámetros continuos es directo; posteriormente se hace un redondeo a los diámetros 
comerciales.  El desempeño de la metodología propuesta fue evaluado mediante el diseño de 1200 
series  de  tuberías,  simultáneamente  mediante  Algoritmos  Genéticos  (AG)  y  SOGH,  las  cuales 
tenían diferentes características topológicas y de demanda de agua.  

 

ABSTRACT: 

This paper introduces a new methodology for the optimal design of pipes in series, known as 

Optimal  Hydraulic  Grade  Line  (OHGL).  This  methodology  is  explicit  and  is  based  on  the 
knowledge of the series topology and the geometrical distribution of water demands on nodes, i.e. 
the  way  in  which  the  pipe  in  series  delivers  water  mass  as  a  function  of  the  distance  from  the 
entrance. OHGL consists in the pre-determination of that hydraulic grade line which results in the 
minimum  construction  cost,  in  an  explicit  way.  The  shape  of  the  HGL  that  leads  to  an  optimal 
design depends on system topography, demands allocation, demands magnitudes, available energy, 
and pipelines cost function. Once this line has been established, calculation of the pipe’s continuous 
diameters  is  direct;  after  a  round  up  to  commercial  diameters  is  developed.  To  validate  the 
proposed  methodology,  several  pipes  in  series  were  designed  both  using  GA  and  OHGL.  One 
thousand two hundred series were used in total, each with different topological characteristics and 
demands.  
 
PALABRAS CLAVES: 
Tuberías en serie; diseño optimizado; línea de gradiente hidráulico.  
 
 

 

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1.  INTRODUCCIÓN 
 

El presente documento se basa en el diseño optimizado de tuberías en serie para obtener los 

costos mínimos de construcción. Una tubería en serie es un sistema de tuberías conectadas entre sí 
de tal manera que uno o varias de sus características varían: diámetro, rugosidad absoluta y caudal; 
además es posible que exista o no demanda de agua en los nudos del sistema. Las tuberías en serie 
son muy comunes en los sistemas de riego, pero pueden ser encontradas también en los sistemas de 
distribución  de  agua  potable.  El  criterio  de  I-Pai  Wu  (1975)  es  probablemente  el  método  más 
importante  de  diseño  de  las  tuberías  principales  en  los  sistemas  de  riego  por  goteo.  Consiste  en 
asignar un valor  a la presión mínima del nudo más alejado del distrito de riego  y, a continuación, 
calcular la LGH en las tuberías aguas arriba. Wu utilizó distritos de riego compuestos de tuberías en 
serie cuyas longitudes eran iguales o muy similares; la demanda de agua en los nudos también era 
uniforme.  Wu  concluyó  que  el  diseño  de  menor  costo  es  el  que  genera  una  LGH  con  forma  de 
parábola y con una flecha ubicada en el centro de la serie de tuberías, correspondiente al 15% de las 
perdidas totales del sistema. Este documento utiliza la metodología de Wu y trata de ajustarla de tal 
forma  que  no  existan  restricciones  en  los  valores  de  longitudes  de  tuberías  y  demandas  en  los 
nudos. De esta manera se introduce una nueva alternativa para el diseño optimizado de tuberías en 
serie.  La  investigación  demostró  que  la  LGH  tenía  forma  de  parábola.  La  flecha  de  la  parábola 
depende de la distribución de los nudos (topología de las series) y de la demanda de agua en cada 
uno de los nudos, además es fácil de obtener empleando la distribución geométrica de la demanda 
de  agua.  Una  vez  que  se  conoce  el  valor  de  la  flecha,  el  diseño  optimizado  se  hace  de  manera 
explícita y se obtiene directamente independientemente de la configuración de la serie de tuberías. 
La  metodología  propuesta  se  verificó  con  un  gran  número  de  series  de  tuberías  generadas 
aleatoriamente con  diferentes valores de nivel de entrada, longitudes de tuberías y demandas en los 
nudos.  Las  series  fueron  diseñadas  inicialmente  utilizando  AG  con  muchas  generaciones  e 
iteraciones,  luego  fueron  diseñadas  utilizando  la  nueva  metodología.  Los  resultados  obtenidos 
favorecieron  la  nueva  metodología  ya  que  los  diseños  con  costos  mínimos  se  obtuvieron  sin 
necesidad de realizar iteraciones. 
 

2.  ANTECEDENTES 

 

Como  se  mencionó  anteriormente,  I-Pai  Wu  (1975)  desarrolló  una  metodología  para  el 

diseño  optimizado  de  las  tuberías  principales  en  los  sistemas  de  riego  por  goteo;  dichas  tuberías 
funcionan como tuberías en serie. Wu estableció que la forma y la pendiente de la LGH puede ser 
calculada  de tal manera que se procure el costo mínimo de la red, teniendo en cuenta los costos de 
las tuberías en función del diámetro y garantizando que la presión en cada punto del sistema sea la 
mínima  requerida  para  la  operación  del  distrito  de  riego.  Wu  encontró  que  la  forma  óptima  de  la 
LGH describe una curva parabólica que pasa un poco más abajo que la línea recta de  energía que 
conecta los puntos de entrada  y salida en la serie de tuberías;  la curva óptima que genera el  costo 
mínimo tiene una flecha correspondiente al 15% de la diferencia total de energía entre la entrada y 
la salida de la serie; dicha flecha se mide exactamente en la mitad de la serie. También encontró que 
la  diferencia  de  costos  usando  la  LGH  recta  y  la  LGH  óptima  es  de  aproximadamente  2%  (Ver 
Figura 1). El criterio de Wu fue creado para ser empleado en el diseño de las tuberías iniciales de 
los  distritos  de  riego,  los  cuales  se  caracterizan  por  tener  demandas  iguales  y  constantes  en  los 
nudos  con  casi  la  misma  separación  entre  ellas.  A  pesar  que  el  problema  de  tuberías  en  serie  se 
encuentra en muchos sistemas de ingeniería hidráulica, como redes de distribución de agua, plantas 
de tratamiento de agua, estaciones de extinción de incendios, etc., es en el campo de la ingeniería de 
riego  donde  se  han  llevado  a  cabo  la  mayoría  de  investigaciones.  Martin  (1990)  aplicó  una 
metodología  computacional  para  establecer  el  costo  mínimo  aproximado  de  diseño  para  la 
construcción  inicial  y posterior ampliación  de la capacidad de una línea  de  distribución de agua a 
través de una ruta específica. El problema de encontrar el mínimo costo de diseño y ampliación de 

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la  capacidad  de  la  red  fue  formulado  como  un  problema  de  programación  matemática  de  costo 
mínimo.  Martin  encontró  que  utilizando  programación  dinámica,  la  solución  aproximada  era  el 
diseño  de  mínimo  costo  si  las  adiciones  de  tubería  paralela  no  permitían  opciones  de  expansión. 
Valiantzas (2002) presentó un estudio analítico del caudal de salida continuo y uniforme que toma 
en cuenta el efecto del número de  salidas en los laterales para calcular la longitud óptima de cada 
tubería de la serie. Se describe la altura piezométrica a lo largo de los tubos de la serie mediante una 
función  analítica  simple  de  cálculo  directo  de  la  presión  a  la  salida  de  los  emisores.  Valiantzas 
concluyó que las  longitudes  óptimas de diseño  de las tuberías  pueden ser calculadas  directamente 
usando una ecuación simple, asegurando que la variación de la presión máxima sea menor o igual a 
la  admisible.  En  un  documento  relacionado  con  el  diseño  de  tuberías  en  serie,  González  (2011) 
propone  el  uso  de  un  algoritmo  de  asignación  de  la  ubicación  de  hidrantes  para  una  red  de  riego 
abierta, usando sistemas de información geográfica (SIG) y programas de optimización matemática 
con AG para reducir al mínimo los costos de construcción instalando únicamente los hidrantes que 
sean estrictamente necesarios, pero teniendo en cuenta que la asignación de éstos  debe ser aprobada 
por los consumidores.  

 

3.  FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 
 

Una vez se ha establecido que la presente investigación se basa en el análisis de tuberías sin 

ciclos,  se  define  el  diseño  optimizado  de  tuberías  en  serie  como:  Dado  un  sistema  hidráulico  (se 
incluye la longitud e inclinación de cada tubería) y las demandas de agua en los nudos, se requiere 
encontrar la combinación de diámetros que genere el mínimo costo constructivo. Esta combinación 
debe  obedecer  a  las  restricciones  impuestas  por  la  conservación  de  masa  en  los  nudos,  la 
conservación de la energía en las tuberías, y la presión mínima en los nudos. La disponibilidad de 
los diámetros comerciales debe tenerse en cuenta también. Matemáticamente, el problema objetivo 
puede expresarse como: 

                                

                                       

 

 

       [1]        

      

donde  C  es  el  costo  constructivo  de  las  tuberías  en  serie,  el  cual  es  calculado  en  función  del 
diámetro: 

 

[2] 

donde NT es el número de tuberías en la serie, L

i

 es la longitud de la tubería iD

i

 es el diámetro de 

la tubería i,  y ab son parámetros  de una regresión que toma en cuenta los costos  de las tuberías. 
Las restricciones del problema son:   

  Conservación de la Masa: 

 

  [3] 

donde Q

T

 es el caudal total (en la serie es el de la primera tubería), Q

α

 es el caudal en la tubería i

Q

Li

 es el caudal lateral (demanda) al final de la tubería i.  

  Conservación de la Energía (ver Figura 1): 

 

[4] 

donde m es el número de accesorios que generan las pérdidas menores, hf

i

 es la pérdida por fricción 

en la tubería ihm

i 

es la perdida menor en el accesorio  i. Las pérdidas por fricción son calculadas 

con la ecuación de Darcy-Weisbach en conjunto con la de Colebrook-White. 

  Presión mínima en los nudos: 

 

[5] 

donde H

j

 es la altura piezométrica en el nudo j y H

jmin

 es la presión mínima requerida en el nudo j

 

b

i

NT

i

i

D

L

a

C

1

 

1

1

i

L

T

i

Q

Q

Q

 

m

i

mi

NT

i

fi

h

h

H

1

1

 

min

j

j

H

H

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  Los  diámetros  de  la  tubería  pueden  ser  solamente  valores  discretos  y  se  redondean  a  valores 

comerciales mediante 

D

 

[6] 

 

 

4.  ANÁLISIS  DE  LA  LÍNEA  ÓPTIMA  DE  GRADIENTE  HIDRÁULICO  PARA 

TUBERIAS EN SERIE 

 
Inicialmente se analizaron las formas de las LGH correspondientes a los diseños de mínimo costo 
de  muchas  tuberías  en  serie.  El  primer  investigador  que  sugirió  que  la  LGH  de  los  diseños  de 
mínimo  costo  tiene  una  forma  particular  fue  I-Pai  Wu  (1975).  Wu  estableció  que  las  series  de 
mínimo costo (considerando solo los costos de mano de obra  y materiales) usualmente tienen una 
LGH  que  es  cóncava  hacia  arriba  y  es  muy  cercana  a  la  línea  recta  entre  el  nivel  de  gradiente 
hidráulico a la entrada de la serie (punto A, Figura 1) y el nivel de gradiente hidráulico al final de la 
serie (punto B). Wu también estableció que la LGH en la sección de la mitad de la serie, tiene una 
flecha que corresponde al 15% de ΔH, donde ΔH is la pérdida total de energía en toda la serie.  

 

Figura 1.- Criterio de I-Pai Wu. 

 
El  criterio  de  Wu  es  una  metodología  para  el  diseño  de  sistemas  de  riego  y  es  aplicable  solo  a 
tuberías en serie con demandas  y longitudes uniformes, entonces se realizó una investigación para 
encontrar  la  forma  de  la  LGH  óptima  para  series  de  tuberías  con  demandas  y  longitudes  no 
uniformes. Fueron generadas 120 series con demandas, topografía, nivel de entrada y longitudes de 
tuberías  variables.  Cada  una  de  las  series  fue  diseñada  optimizadamente  (empleando  AG),  y  se 
encontró  que  siempre  las  LGH  eran  curvas  cuadráticas  (se  obtuvieron  siempre  valores  de  R

2

 

mayores al 98%).  
 
La  Figura  2  muestra  las  LGH  de  mínimo  costo  para  dos  series  con  demandas  no  uniformes,  las 
cuales son realmente parábolas; sin embargo, la forma de estas curvas es diferente para cada serie. 
Como  se  ilustró  en  el  análisis,  la  LGH  óptima  es  función  de  tres  factores:  distribución  de  la 
demanda,  relación  entre  la  longitud  de  las  series  y  el  caudal  de  demanda  y  la  función  de  costos

Además,  se  observó  que  la  pérdida  total  de  energía  en  todo  el  sistema  (ΔH)  no  afecta  de  forma 
significativa  la  forma  de  la  LGH.  Para  determinar  la  ecuación  de  la  LGH  óptima  es  necesario 
conocer solamente tres puntos, ya que ésta tiene forma de parábola. Para cualquier serie de tuberías, 
se conocen los puntos inicial y final de la LGH: 

  En el nudo inicial de la serie, la abscisa cero, la LGH tiene una altura piezométrica igual al nivel 

del tanque, lo que significa que se conocen sus coordenadas: P

inicial

(0, LGH

entrada

).  

  En el nudo final, la abscisa igual a toda la longitud de la serie, la LGH es mínima y es igual a la 

presión  mínima requerida en el  último nudo (LGH

mín

 = Z + P

min

); por consiguiente se  conocen 

sus coordenadas: P

final

(L

total

, LGH

mín

). 

 
Cuando  se  determina  la  ecuación  de  la  LGH  se  requiere  un  tercer  punto.  Un  punto  fácilmente 
identificable con abscisa conocida es el máximo de la curva de LGH , el cual se ubica en la mitad 
de  la  longitud  total  de  la  serie.  Analizando  120  series  se  estableció  la  forma  en  la  que  los  tres 
factores  mencionados  anteriormente  (distribución  de  la  demanda,  relación  entre  el  caudal  y  la 

 

i

D

i

D

,

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longitud  total  de  la  serie  y  el  exponente  de  la  función  de  costos)  afectan  la  flecha  de  la  curva  de 
LGH.  Los  resultados  obtenidos  se  muestran  a  continuación.  Es  importante  resaltar  que  la  flecha 
máxima se da como un porcentaje de la pérdida total de energía (ΔH). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

(A)                                                                                 (B) 

  

Figura 2. -(A) LGH Óptima y Distribución de la Demanda para series con concentración de la demanda al 

final (y=0.0001x

2

-0.1747x+72.67) (B) LGH Óptima y Distribución de la Demanda para series con 

concentración de la demanda aleatoria (y=0.000004x

2

-0.0135x+19.967). 

 

4.1.Efecto de la distribución de la demanda sobre la flecha máxima de la LGH óptima 

 
Para analizar el efecto de la distribución de la demanda en la magnitud de la flecha de la LGH, se 
generaron 50 series de tuberías con la misma longitud total (1000 m), el mismo nivel en el tanque 
de entrada (50 m) and demandas totales iguales (1 m

3

/s) pero con diferentes patrones de demandas; 

de esta manera, es posible analizar el efecto de la demanda sobre la magnitud de la flecha óptima. 
Para  medir  la  distribución  de  demandas  en  las  tuberías  en  serie  se  desarrollaron  dos  indicadores: 
Centroide  de  Demandas  (

 ̅)  y Coeficiente de Uniformidad (CU). El primero es una medida de la 

localización general de las demandas a lo largo de la serie de tuberías y el segundo es la medida de 
la  dispersión  de  las  demandas  con  respecto  a 

 ̅.  Para  calcularlos  se  establecieron  las  siguientes 

expresiones:  

-  Centroide de Demandas ( ̅): 

 

[7] 

donde  NN  es  el  número  de  nudos  con  demanda,  q

i

  es  el  caudal  de  demanda  en  el  nudo  i,  d

i 

es  la 

distancia desde el nudo i a la entrada de la serie, Q

total

 es el caudal total demandado por el sistema y 

L

total

  es  la  longitud  total  de  la  serie.  En  general,  si  el 

 ̅  es  grande,  la  magnitud  de  la  flecha  es 

pequeña. La dispersión de las demandas que afecta este valor, se explica mediante el CU. 
-  Coeficiente  de  Uniformidad  (CU):  Para  calcular  el  CU  es  necesario  calcular  de  forma 
independiente el centroide de demandas para cada una de las dos secciones en las que se divide la 
serie  gracias  al 

 ̅  general;  es  necesario  recordar  que  estos  dos  centroides  son  calculados  con 

 

total

total

NN

i

i

i

L

Q

d

q

x

0

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respecto al 

 ̅ general. Una vez se ha calculado cada centroide, se calcula un promedio equilibrado 

de ambos basado en la longitud de cada una de las secciones: 

      

 

̅̅̅ (

 

        

 

     

)    

 

̅̅̅ (

 

        

 

     

)   

 

          [8] 

 

 
donde 

 ̅

 

  es  el  centroide  de  demandas  de  la  Sección  1, 

 ̅

 

  es  el  centroide  de  demandas  para  la 

Sección 2, 

sección1 

es la longitud de la primera sección y 

sectción2 

la de la Sección 2. El centroide de 

cada sección se calcula con la siguiente ecuación: 

 

 

̅̅̅  

                

   

   

  

   

   

 

     

 

 

 

 

 

[9] 

 

 
donde NN

t

 es el número de nudos en la sección t, d

nudoi-centroide

 es la distancia desde el nudo i al 

 ̅ 

general.  Realizando un ajuste estadístico empleando el  programa DataFit®,  se obtuvo  la siguiente 
expresión para estimar la flecha óptima basada en  

 ̅ y CU

                  ̅                    

 

   

 

 

[10] 

 
Los valores de los coeficientes requeridos en la Ecuación 10 se presentan a continuación: 

 

Tabla 1.- Valores de los Coeficientes de la Ecuación 10 obtenidos mediante una regresión. 

Resultados de las Variables de la Regresión 

Variable 

Valor 

Error Estándar 

Relación-t 

Probabilidad (t) 

0.435521465 

3.64E-02 

11.96423962 

-0.176612805 

2.08E-02 

-8.49833046 

-0.977366227 

0.252627675 

-3.868801108 

0.00034 

0.906254447 

0.459064981 

1.974131079 

0.05439 

 

4.2 Efecto de la Relación entre la Demanda Total y la Longitud Total sobre la Flecha Máxima 

de SOGH 

 
Para  analizar  el  efecto  de  la  relación  entre  la  demanda  total  y  la  longitud  total  sobre  la  Flecha 
Máxima  de  SOGH,  se  analizaron  5  patrones  diferentes  de  demanda;  para  cada  uno  de  ellos  se 
generaron  24  series  de  tuberías  con  el  mismo  nivel  de  entrada  (50  m),  el  mismo  exponente  de  la 
función  de  costos  (1.46)  y  la  misma  distribución  de  demandas,  pero  con  diferente  magnitud  de 
demandas y longitudes de tuberías (en cada una de las series generadas, las demandas y longitudes 
fueron  multiplicadas  por  diferentes  factores,  y  de  acuerdo  con  el  patrón  de  demandas, 

 ̅  y  CU 

siguen siendo los mismos, a pesar de las diferencias entre la magnitud de las demandas y la longitud 
total). El análisis estadístico determinó que la flecha de la LGH como función de la descarga (Q) y 
la longitud total (L) es: 

 

[11] 

Para cada uno de los 5 patrones analizados, se obtuvieron 24 series en total. El valor de esta función 
fue calculado para cada una de las series, (Ecuación 11). En la Figura 3, es evidente que la función f 
(Q,  L)  tiene  una  relación  logarítmica  con  respecto  a  la  flecha  óptima  de  la  LGH  de  las  series  de 
tuberías probadas. Los coeficientes de determinación múltiple obtenidos en todos los casos superan 
el  99%,  lo  que  significa  que  la  función  definida  f  (Q,  L)  describe  en  un  99%  la  variación  de  la 
flecha  óptima  (si  la  distribución  de  las  demandas  y  la  altura  de  entrada  a  la  serie  se  mantienen 
constantes).  Los  resultados  de  los  valores  de  las  flechas  óptimas  en  cada  caso  se  muestran  a 
continuación (ver Figura 3). 
 

 

3

2

,

L

Q

L

Q

f

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Figura 3.- Efecto de la combinación de la Longitud Total y la Demanda Total sobre la Flecha Óptima de la 

LGH vs. Abscisa 

 

 
 
 
 

Figura 4.- A) Coeficientes de las Ecuaciones Logarítmicas vs. Flecha Óptima con Q

2

/L

3

 = 1 x 10

-9

 m

3

/s

2

 

(y=0.00868x+0.00066) B) Interceptos de las ecuaciones logarítmicas vs. Flecha Óptima con Q

2

/L

3

 = 1 x 10

-9

 

m

3

/s

2

 (y=1.18069x+0.01345). 

 
En la Figura 4 se muestra una relación lineal entre la Flecha Óptima para un valor determinado de 
Q

2

/L

3

  =  1  x  10

-9

  m

3

/s

2

  y  los  parámetros  de  las  ecuaciones  logarítmicas  ajustadas.  La  razón  para 

desarrollar estas gráficas para un valor de la función f (Q, L) = 1 x 10

-9

 m

3

/s

2

 es que todas las series 

que emplean el análisis estadístico para explicar la flecha optima en función del 

 ̅ y CU tienen una 

longitud total de 1000 m y una demanda total de 1 m

3

/s; evaluando la función f para estos valores se 

obtiene lo siguiente: 

 

[12] 

Conociendo el 

 ̅ y CU para las series de tuberías, la Ecuación 10 se utiliza para obtener la flecha 

óptima para un valor de la función f (Q, L) = 1 x 10

-9

 m

3

/s

2

, la cual es la condición bajo la cual se 

desarrolló dicha ecuación. Con este valor, se emplea la Figura 5 para determinar el coeficiente y el 
intercepto para la function logarítmica que describe la variación de la flecha óptima en términos de 
Q

2

/L

3

; después esta ecuación puede ser usada para calcular la flecha óptima para la relación Q

2

/L

3

 

actual en la serie de tuberías que se están analizando. Este procedimiento se explica a continuación: 
 
4.3. Efecto del Exponente de la Función de Costos sobre la Flecha Máxima de la LGH Óptima 
 
Los  costos  que  se  generaron  en  las  series  anteriores  fueron  calculados  con  una  función  de  costos 
similar a la Ecuación 2, con un exponente de 1.46 y un coeficiente de 0.015. Para analizar el efecto 
del exponente de la función de costos sobre la flecha óptima de la LGH, se generaron 9 series; para 
cada una se calculó la flecha óptima para valores del exponente de la función de costos entre 1 y 3. 
Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente figura: 

 

2

3

9

-

3

2

3

3

2

/s

m

10

1

1000

/

1

,

m

s

m

L

Q

L

Q

f

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(A)                                                                                  (B) 

Figura 5.- A) Análisis del efecto del exponente de la función de costos en la Flecha Óptima. B) Coeficientes 

de las ecuaciones cuadráticas en la Figura 5-A vs. Flecha Óptima para el exponente de costos de 1.46. 

 
En las Figuras 5-A y 5-B, la relación entre la flecha óptima y el exponente de la función de costos 
describe de manera perfecta una parábola. Además, todas las curvas son aproximadamente paralelas 
y los valores de los coeficientes son grandes si el valor de la flecha es grande para un exponente de 
costos dado. Para verificar lo anterior, existe una gráfica de la flecha óptima para un exponente de 
costos dado vs. los coeficientes α, β and γ de las ecuaciones cuadráticas obtenidas anteriormente. La 
Figura  5-B  muestra  la  gráfica  obtenida  para  1.46  como  el  valor  del  exponente  de  la  función  de 
costos; este fue el valor utilizado para estimar los costos de las tuberías. La relación entre la flecha 
óptima  (para  un  exponente  de  costos  determinado)  y  el  valor  de  los  coeficientes  de  la  ecuación 
cuadrática  ajustada  es  lineal.  De  este  modo,  si  se  conoce  la  flecha  óptima  para  un  exponente  de 
1.46, las ecuaciones obtenidas de la Figura 5 pueden ser utilizadas para determinar la flecha óptima  
para cualquier valor de exponente de la función de costos.  
 
A  partir  del  análisis  de  los  factores  para  determinar  la  flecha  óptima  de  la  LGH,  se  estableció  un 
procedimiento  para  estimar  esta  flecha  para  un  sistema  de  tuberías  en  serie  con  características 
topológicas, hidráulicas y comerciales variables; el procedimiento se describe a continuación: 
 
5.  METODOLOGÍA DE DISEÑO SOGH 

 

Los pasos a seguir para estimar el valor de la flecha óptima son:  
 

1.  Calcular el Centroide de Demandas usando la Ecuación 7. 
2.  Calcular el Coeficiente de Uniformidad (CU) usando la Ecuación 8. 
3.  Usando la Ecuación  10  se estima el  valor de la  flecha óptima de acuerdo con 

 ̅ y CU. La 

flecha calculada con esta ecuación corresponde a la relación  Q

2

/L

3

 = 1 x 10

-9

 m

3

/s

2

  y a un 

exponente de la función de costos de 1.46. 

4.  De  la  flecha  obtenida  en  el  paso  3,  se  estima  la  flecha  óptima  para  el  exponente  de  la 

función de costos (n) que se tiene, empleando la siguiente expresión: 

                     

 

            

[13] 

donde n es el exponente de la function de costos, α es igual a -0.1134 + 0.0032 * F

1.46

 (de Figura 5), 

β es igual a 0.6443 * F

1.46

 - 0.0043 (de Figura 5), γ es igual a 0.2835 + 0.0111 * F

1.46

 (de Figura 5), 

y F

1.46

 es la flecha óptima para un exponente de 1.46 (obtenida en el paso 3). 

5.  De la flecha obtenida en el paso 4, correspondiente a la relación Q

2

/L

3

 = 1 x 10

-9

, se calcula 

la flecha en términos de Q

2

/L

3

. Para esto se emplea la siguiente expresión (de Figura 4): 

                       (

 

 

 

 

)    

 

[14] 

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donde  a  es  igual  a  0.00868  *  F

1x10-9

  +  0.00066  (de  Figura  4-A),  b  es  igual  1.18069  *  F

1x10-9

  + 

0.01345 (de Figura 4-B) y F

1x10-9

 es la flecha óptima para una relación Q

2

/L

= 1 x 10

-9

 (del paso 4). 

Conociendo  la  magnitud  de  la  deflexión  máxima  de  la  LGH  óptima,  se  puede  conocer  el  tercer 
punto de la curva y es posible determinar la ecuación cuadrática que describe esta trayectoria.  

              

 

            

[15] 

donde  LGH(x) es  la  LGH ideal  en el  punto  x  y  los  coeficientes  α,  β  y  γ  dependen del  nivel de la 
LGH a la entrada, la LGH mínima, la longitud máxima de la serie de tuberías y la flecha óptima. La 
metodología para diseñar tuberías en serie determinando previamente la LGH óptima se describe a 
continuación:  

1.  Ajustar los parámetros de diseño, las características topológicas e hidráulicas de las tuberías 

en serie (es decir la presión mínima requerida, la longitud de las tuberías, la rugosidad de las 
tuberías,  la  elevación  del  nivel  del  tanque  de  entrada,  las  demandas  base  y  la  función  de 
costos).  

2.  Estimar el valor de la flecha óptima de la LGH. 
3.  Calcular  la  LGH  ideal  en  cada  uno  de  los  nudos  de  la  serie  de  tuberías  utilizando  la 

Ecuación 15. 

4.  A  cada sección  de la serie  se  le asigna una  pérdida de energía  objetivo  como  la diferencia 

entre la LGH ideal en los nudos aguas arriba y aguas abajo de dicha sección, estimada en el 
paso 3. 

                                  

      

     

       

 

[16] 

donde es el nudo aguas arriba y es el nudo aguas abajo de la tubería. Con la pérdida de energía 
objetivo  y  el  caudal  en  cada  tubería,  se  calcula  el  diámetro  optimizado  empleando  la  ecuación  de 
Darcy-Weisbach  en  conjunto  con  la  de  Colebrook-White.  Es  importante  resaltar  que  el  resultado 
obtenido  resulta  más  bien  una  configuración  preliminar  de  la  tubería  en  serie  que  cumple  con  las 
restricciones hidráulicas del problema de diseño; sin embargo, dado que los diámetros son valores 
continuos,  los  requerimientos  comerciales  no  se  cumplen.  A  fin  de  redondear  los  diámetros  a  los 
disponibles  comercialmente,  se  implementaron  unas  restricciones  mediante  procedimientos  de 
programación de baja complejidad y que requieren un pequeño número de simulaciones hidráulicas. 
 
6.  METODOLOGÍA PROPUESTA VS. DISEÑO CON AG   
 
A  fin  de  verificar  la  metodología  de  diseño  SOGH,  se  utilizaron  un  total  de  1.200  series  con 
características  topológicas  aleatorias  (demandas  en  los  nudos,  longitudes  de  tuberías  y  niveles  de 
entrada)  y  4  tipos  de  topografías  diferentes.  Las  series  fueron  generadas  mediante  el  uso  de  una 
función  de  generación  aleatoria  de valores  en Excel  y  se  clasificaron en tres  tipos: 160 series con 
demandas  en  los  nudos  y  longitudes  de  tuberías  uniformes  (Tipo  1),  120  series  con  demandas 
uniformes  y  longitudes  de  los  tubos  aleatorias  (Tipo  2)  y  120  series  con  demandas  y  longitudes 
aleatorias  (Tipo  3).  Cada  una  de  las  series fue  diseñada usando los 4 topografías:  Horizontal,  una 
sección  horizontal  y  la  otra  inclinada  descendente,  dos  secciones  inclinada  y  la  sección  central 
horizontal  y  toda  la  sección  inclinada  descendente.  En  total,  se  diseñaron  640  series  Tipo  1,  480 
series  Tipo  2,  y  480  series  Tipo  3.  Las  series  se  diseñaron  utilizando  SOGH  y  AG.  Los  AG 
utilizados  en  este  diseño  tienen  las  siguientes  características:  operadores  de  cruce  simple, 
probabilidad de crear inversamente proporcional a la función de costos, y selección al azar en donde 
el número real de descendientes de un individuo varía considerablemente y no es igual  al número 
esperado.  Las  características  topológicas  y  topográficas  uniformes  o  al  azar  de  las  series  tuvieron 
los siguientes rangos: número de tubos en cada serie (t):  entre 3  y 30;  longitud de las tuberías (l): 
entre 10 y 100 m; demanda base en los nudos (q): entre 5 y 150 L/s; nivel del tanque de entrada (h): 
entre 20 y 50 m. Para el proceso de diseño se estableció una presión mínima de 15 m. El material de 
las  tuberías  seleccionado  fue  PVC,  con  rugosidad  absoluta  de  0.0000015  m;  y  los  diámetros 
comerciales disponibles fueron: 50, 75, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 600, 750, 800, 
1000,  1200,  1400,  1500  y  1800  mm.  Otros  parámetros  de  diseño  fueron  la  viscosidad  cinemática 

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igual  a 1.141 *  10

-6

 m

2

/s;  el  coeficiente  y exponente de la función  de costos  fueron 0.015  y 1.46, 

respectivamente (Ver Ecuación 2). 
 

 

                  (A)                                     (B)                            (C)                                   (D)  

Figura 6.- A) Topografía A con 5 % de pendiente. (B) Topografía B con una sección horizontal seguida de 

una sección inclinada (5%). (C) Topografía C con dos secciones inclinadas (5%) y una sección horizontal en 

la mitad. (D) Topografía D con toda la sección horizontal. 

 

7.  RESULTADOS 

 

Los  resultados  mostraron  que  para  todos  los  tipos  de  series  de  tuberías,  SOGH  obtuvieron  los 
mismos resultados que los AG. En muy pocos casos los costos con AG resultaron más bajos en los 
diseños,  además  las  diferencias  son  menores  al  2%  en  comparación  con  SOGH.  Por  otro  lado, 
cuando los diseños con AG resultaron más costosos, las diferencias estaban alrededor del 10%. A 
continuación se describen los resultados: 
-  Series Tipo 1: 80.46% (515 series) de las 640 diseñadas obtuvieron el mismo costo con SOGH y 

AG, un 15.93% (102 series) obtuvieron un costo menor con SOGH. Finalmente, un 3.59% (23 
series) obtuvieron costos menores con AG. La diferencia de costos fue siempre menor al 10%, 
demostrando las bondades del diseño explicito propuesto. 

-  Series Tipo 2: 71.66% (344 series) de las 480 series diseñadas obtuvieron el mismo costo con 

SOGH  y  AG,  22.5%  (108  series)  obtuvieron  un  costo  menor  con  SOGH  y  5.83%  (28  series) 
obtuvieron  un  costo  menor  con  AG.  En  este  tipo  de  series,  se  presentó  el  mismo  patrón  de 
comportamiento en la función de costos que en las series Tipo 1. 

-  Series Tipo 3: 74.16% (356 series) de las 480 series diseñadas obtuvieron el mismo costo con 

SOGH y AG, 21.45% (103 series) obtuvieron un costo menor con SOGH, and 4.38% (21 series) 
obtuvieron un costo menor con AG. 

 
La  Tabla  2  muestra  la  comparación  de  costos  para  1200  series  de  tuberías  diseñadas  con  ambas 
metodologías. Las Figuras 7, y 8 muestran la comparación grafica de los costos de diseño. En ellas 
se puede observar que la mayoría de puntos están  sobre la línea de 45°.  El  número de puntos por 
debajo  de  la  línea  de  45  es  mayor  que  la  de  puntos  por  encima  de  ella;  esto  quiere  decir  que  los 
diseños con AG son más costosos. 

 

Tabla 2.- Resultados de la comparación de costos para las dos metodologías. 

 
 
 
 
 
 
 

 

TIPO 

TOTAL DE 

SERIES 

No. DE 

SERIES 

COMPARACIÓN 

640 

617 

96,40 

SOGH≤AG 

23 

3,59 

SOGH>AG 

480 

452 

94,17 

SOGH≤AG 

28 

5,83 

SOGH>AG 

480 

459 

95,63 

SOGH≤AG 

21 

4,38 

SOGH>AG 

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                                           A)                                                                                 B)  

Figura 7.- A) Comparación de costos de diseño para las tuberías en serie Tipo 1. B) Comparación de costos 

de diseño para las tuberías en serie Tipo 2. 

 

Figura 8.- Comparación de costos de diseño para las tuberías en serie Tipo 3. 

 
8.  CONCLUSIONES 

 

  Se  desarrolló  y  evaluó  de  manera  exitosa  la  metodología  explícita  de  diseño  optimizado  de 

tuberías en serie denominada Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico (SOGH). A diferencia 
de la mayoría de metodologías de diseño (AG, búsqueda de armonía, colonia de hormigas, etc.) 
SOGH  se  basa  en  la  imitación  de  fenómenos  naturales  y  físicos  y  en  el  entendimiento  de  la 
hidráulica y la topología del sistema. 

  Se  comprobó  que  es  posible  diseñar  series  de  mínimo  costo  si  la  LGH  óptima  se  conoce 

previamente.  Este  consiste  en  un  conjunto  de  puntos  (X,  Y,  LGH

ideal

),  donde  X  y  Y  son  las 

coordenadas planas de cada uno de los nudos de la serie y LGH

ideal

 es la presión que cada nudo 

debe  tener  para  lograr  el  menor  costo  constructivo  de  toda  la  serie.  La  forma  de  ésta  línea 
describe  una  función  cuadrática  cuya  curvatura  depende  de  las  características  hidráulicas, 
topológicas y de las restricciones comerciales tales como la distribución espacial de la demanda, 
la relación existente entre el caudal total de los tubos y su longitud total junto con la función de 
costos. 

  La relación entre LGH y las características de las series de tuberías fue establecida mediante la 

proposición  de una  metodología  que permitiera  estimar la ecuación  de la parábola de  LGH, la 
cual describe la forma como se comporta la energía disponible en las tuberías en serie. 

  La  LGH  óptima  depende  de  la  topografía  del  sistema,  de  la  asignación  y  magnitud  de  las 

demandas,  de  la  energía  disponible  en  la  entrada  de  la  serie,  y  de  la  función  de  costos  de  las 
tuberías. La forma de la LGH óptima es muy fácil de calcular, ya que no tiene restricciones con 

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/be676828e7b586529fe5011ca9338649/index-html.html
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respecto  a  la  topografía,  a  la  magnitud  de  las  demandas  y/o  su  localización  ni  a  la  energía 
disponible. 

  Los  porcentajes  de  tuberías  en  serie  que  fueron  más  económicas  al  diseñarlas  con  AG  no 

superan el 10 %. Las diferencias de costos entre las series diseñadas, donde los costos con AG 
estaban por debajo de los costos de SOGH, son bastante bajos; no superan el 1% para las series 
Tipo 1. Además, las diferencias en los costos para las series Tipo 2 y 3 son menores al 5 %. 

  Cuando los diseños con SOGH son más económicos que los diseños con AG, las diferencias en 

costos pueden llegar hasta un 33 %. Las series que se diseñaron  y obtuvieron costos iguales o 
menores  con  AG  son  aquellas  en  las  que  la  demanda  de  agua  se  localiza  aguas  abajo,  lo  que 
hace que centroide de demandas se desplace hacia aguas abajo también. 

  En  general,  para  todos  los  tipos  de  series  analizadas  con  diferentes  topografías,  es  posible 

concluir que el método SOGH presenta un comportamiento muy similar (en términos de costo) 
comparado con los AG. 

  Con base en los resultados encontrados, se puede concluir que la metodología SOGH es eficaz y 

eficiente en el diseño optimizado de tuberías en serie. La baja complejidad y eficiencia son las 
principales ventajas de SOGH sobre los AG; por otra parte, SOGH tiene un carácter explícito y 
no depende de la configuración inicial de los diámetros de las tuberías. 

  La metodología SOGH se puede ampliar al caso de diseño optimizado de redes de distribución 

de agua potable, donde los AG empleados tienen un componente aleatorio relevante y requieren 
un gran número de simulaciones hidráulicas para obtener un diseño aproximado y que sea el de 
menor  costo.  Además,  debido  a  su  carácter  aleatorio,  los  resultados  alcanzados  en  cada 
ejecución no son siempre los mismos, razón por la cual debe hacerse un número considerable de 
simulaciones hasta que se obtenga un buen diseño. 

 
9.  BIBLIOGRAFÍA 

 

Afshar, M.H. 2006. Application of a max–min ant  system  to  joint layout and size optimization of 

pipe networks. Engineering Optimization, 38(3): 299 - 317. 

CIACUA, 2008. Programa REDES. Universidad de Los Andes. Bogotá D.C., Colombia. Research 

program for analysis and design of water distribution networks. 

Goldberg,  D.E.  &  Kuo,  C.H.  1987.  Genetic  algorithm  in  pipeline  optimization.  Journal  of 

Computing in Civil Engineering, 1 (2): 128–141. 

Kadu,  S.M.,  Gupta,  R.  &  Bhave,  P.R.  2008.  Optimal  design  of  water  networks  using  a  modified 

genetic  algorithm  with  reduction  in  search  space.  Journal  of  Water  Resources  Planning  and 
Management,
 134 (2): 147 - 160. 

Martin, Q. W. 1990. Linear water supply pipeline capacity expansion model. Journal of Hydraulic 

Engineering: 116, 675 - 691. 

Montalvo,  I., Izquierdo, J., Pérez, R. & Tung, M.M. 2008. Particle swarm optimization applied to 

the design of water supply systems. Computers & Mathematics with Applications: 56, 769 - 776. 

Perelman, L. & Ostfeld, A. 2007. An adaptive heuristic cross-entropy algorithm for optimal design 

of water distribution systems. Engineering Optimization, 39(4): 413 - 428. 

Saldarriaga,  J.G.  2007.  Hidráulica  de  Tuberías:  abastecimiento  de  agua,  redes,  riegos.  Bogotá: 

Editorial Alfaomega. ISBN: 978-958-682-680-8. 

Simpson,  A.R.,  Dandy,  G.C.,  &  Murphy,  L.J.  1994.  Genetic  algorithms  compared  to  other 

techniques  for  pipe  optimization.  Journal  of  Water  Resources  Planning  and  Management,  120 
(4): 423 - 443. 

Wu,  I.-p.  1975.  Design  of  drip  irrigation  main  lines.  Journal  of  the  Irrigation  and  Drainage 

Division, 101 (4): 265 - 278. 

Wu,  Z.Y.  &  Simpson,  A.R.  2001.  Competent  genetic-evolutionary  optimization  of  water 

distribution systems. Journal of Computing in Civil Engineering, 15 (2): 89 – 101. 

Yildirim,  G.  2006.  Analytical  relationships  for  designing  multiple  outlet  pipelines.  Journal  of 

Irrigation and Drainage Division, 133 (2): 140-155. 

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