Diseño optimizado de submódulos de sistemas de riego

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TESIS DE MAESTRÍA

DISEÑO OPTIMIZADO DE SUBMÓDULOS DE SISTEMAS DE RIEGO

LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA.

David Hernández Benítez

Asesor: Juan G. Saldarriaga Valderrama

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C.

2012

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Universidad de los Andes
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA
Diseño optimizado de submódulos de sistemas de riego localizado de
alta frecuencia.

MIC 201210-11

David Hernández

Tesis II

TABLA DE CONTENIDO

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................................. iii

ÍNDICE DE GRÁFICAS ........................................................................................................................... v

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS ..................................................................................................... 1

1.1.

Introducción. ....................................................................................................................... 1

1.2.

Objetivo General. ................................................................................................................ 3

1.3.

Objetivos Específicos. .......................................................................................................... 3

MARCO TEÓRICO ......................................................................................................................... 5

2.1.

Características de un sistema de riego localizado de alta frecuencia. ................................ 5

2.1.1.

Emisores. ..................................................................................................................... 7

2.1.2.

Uniformidad del riego. .................................................................................................. 13

2.2.

Diseño hidráulico de sistemas de RLAF. ............................................................................ 17

2.2.1.

Ecuaciones básicas de la hidráulica de redes. ........................................................... 17

Para flujo laminar, el factor de fricción se calcula mediante: ................................................... 18

2.2.2.

Diseño de sistemas de RLAF. ..................................................................................... 19

2.2.3.

Resultados y análisis de trabajo de Bermúdez (2011). ............................................. 32

2.3.

Programas. ........................................................................................................................ 38

2.3.1.

Programa REDES. ....................................................................................................... 38

2.3.2.

Optimizador Xpress. .................................................................................................. 40

RESULTADOS Y ANÁLISIS PRIMERA FASE .................................................................................. 41

3.1.

Análisis metodología SOGH. .............................................................................................. 41

3.1.1.

Análisis etapa 2, metodología SOGH. ........................................................................ 41

3.1.2.

Flecha mínima y máxima para el diseño de sistemas de riego. ................................ 42

3.2.

Casos de estudio metodología SOGH. ............................................................................... 46

3.2.1.

Diseño de los submódulos de riego. ......................................................................... 49

3.2.2.

Resultados diseños. ................................................................................................... 54

3.3.

Análisis de la metodología propuesta por Bermúdez. ...................................................... 74

3.3.1.

Red Asimétrica 1, con emisores de exponente 0.3. .................................................. 74

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3.4.

Diseño de submódulos de riego usando programación lineal. ......................................... 79

3.4.1.

Formulación matemática del problema de diseño de redes abiertas. ..................... 79

3.4.2.

Aplicación de programación lineal al diseño de submódulos de riego. .................... 86

3.4.3.

Metodología para el diseño de submódulos de riego usando programación lineal en

conjunto con SOGH. .................................................................................................................. 94

3.4.4.

Resultados de la metodología planteada en el diseño de submódulos de sistemas de

RLAF………. ............................................................................................................................... 100

CONCLUSIONES ....................................................................................................................... 119

RECOMENDACIONES ............................................................................................................... 121

REFERENCIAS ........................................................................................................................... 123

ANEXOS ................................................................................................................................... 124

7.1.

Programa para el cálculo de PES y generar archivo de Xpress. ...................................... 124

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iii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Esquema común de un sistema de riego, Adaptado de (Saldarriaga, 2007). ...................... 6
Figura 2. Clasificación de emisores en sistemas de RLAF, Adaptado de (Saldarriaga, 2007). ............. 8
Figura 3. Tipos de curva caudal-altura, Tomado de Bermúdez (2010) y Adaptado de De Paco
(1993). ................................................................................................................................................. 9
Figura 4. Secuencia del diseño hidráulico de un sistema de RLAF. Adaptado de Pizarro (1996). .... 19
Figura 5. Esquema de cálculo de los caudales en un lateral de riego. Tomado de Bermúdez (2011).
Adoptado de Saldarriaga (2007). ...................................................................................................... 21
Figura 6. Esquema de un submódulo de riego. Tomado de Saldarriaga (2007). .............................. 22
Figura 7. Etapas de la metodología SOGH. Tomando de Saldarriaga y Ochoa (2009). ..................... 31
Figura 8. Diagrama de flujo de la metodología SOGH ajustada propuesta por Bermúdez (2011). .. 37
Figura 9. Mapa de un submódulo de RLAF en el programa REDES con altura piezométrica en los
nudos de acuerdo a una escala de colores. ...................................................................................... 39
Figura 10. LGH objetivo, basada en tres puntos conocidos. ............................................................. 42
Figura 11. Red Asimétrica 1. Modelo de REDES. ............................................................................... 46
Figura 12. Red Simétrica. Modelo de REDES. .................................................................................... 47
Figura 13. Red Asimétrica 2. Modelo de REDES. ............................................................................... 47
Figura 14. Curva Costo vs. Diámetro de tubería. .............................................................................. 48
Figura 15. Curva exponente del emisor vs. Coeficiente, para un caudal de 120 l/h. ........................ 49
Figura 16. Rutas posibles para la Red Asimétrica 1. .......................................................................... 55
Figura 17. Red abierta de ejemplo para establecer la formulación matemática del problema de
optimización lineal. ........................................................................................................................... 80
Figura 18. Pérdidas de altura piezométrica que se presentarían en la red ejemplo si se utiliza el
Diámetro d

en cada tubería, unidades de presión en metros de columna de agua. ...................... 81

Figura 19. Pérdidas de altura piezométrica que se presentarían en la red ejemplo si se utiliza el
Diámetro d

en cada tubería, unidades de presión en metros de columna de agua. ...................... 81

Figura 20. Pérdidas de altura piezométrica que se presentarían en la red ejemplo si se utiliza el
Diámetro d

en cada tubería, unidades de presión en metros de columna de agua. ...................... 81

Figura 21. Submódulo Asimétrico 2. ................................................................................................. 86
Figura 22. Superficie de gradiente hidráulico definida a partir de metodología SOGH, Submódulo
Asimétrico 2. ..................................................................................................................................... 88
Figura 23A. Diagrama de flujo, metodología para el diseño de submódulos de riego usando
programación lineal en conjunto con SOGH. Parte A. ...................................................................... 98
Figura 24. Caso de Estudio 1, Submódulo Asimétrico 2 Plano. ....................................................... 101
Figura 25. Caso de estudio 3, Submódulo Simétrico Plano. ............................................................ 105
Figura 26. Caso de Estudio 3, Submódulo Asimétrico 2 con Topografía Variable. ......................... 106

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Figura 27. Caso de Estudio 3, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable, vista en planta. 111
Figura 28. Caso de Estudio 4, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable, vista en perfil. . 111
Figura 29. Caso de Estudio 5, Submódulo con Emisores Autocompensantes, vista en planta. ...... 115
Figura 30. Hoja “INICIO”. Programa para el cálculo de PES y la generación de matrices de Xpress.
......................................................................................................................................................... 124
Figura 31. Red ejemplo para mostrar uso de programa. ................................................................ 127
Figura 32. Vista general de la hoja “Matriz” para la generación del archivo con las matrices de
entrada a Xpress. ............................................................................................................................. 128
Figura 33. Ventana para seleccionar el archivo de EPANET que se desea importar, Red Ejemplo. 129
Figura 34. Generación del rótulo de las matrices de costos y pérdidas totales, Red Ejemplo. ...... 130
Figura 35. Ventana para ingresar el valor del coeficiente de la curva de costos, Red Ejemplo. ..... 130
Figura 36. Ventana para ingresar el valor del exponente de la curva de costos, Red Ejemplo. ..... 130
Figura 37. Matriz de Costos, Red Ejemplo. ..................................................................................... 131
Figura 38. Matriz de pérdidas totales, Red Ejemplo. ...................................................................... 133
Figura 39. Ventana para ingresar la presión mínima deseada, Red Ejemplo.................................. 134
Figura 40. Ventana para guardar el archivo *.DAT de entrada a Xpress. ....................................... 135
Figura 41. Interfaz Xpress. ............................................................................................................... 136
Figura 42A. Código de formulación lineal, problema de diseño de tuberías. ................................. 136
Figura 43. Resultados del diseño generado por Xpress, Red Ejemplo. ........................................... 138

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ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 2-1. Coeficiente de uniformidad resultante vs. Presión de entrada al submódulo. Tomado
de Bermúdez (2011). ......................................................................................................................... 32
Gráfica 2-2. Costo total de la red vs. Presión a la entrada del submódulo. Tomado de Bermúdez
(2011). ............................................................................................................................................... 33
Gráfica 3-1. LGH objetivo vs. Distancia topológica, para diferentes flechas de diseño. ................... 43
Gráfica 3-2. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 1. Emisores con exponente 0.3. .............................. 54
Gráfica 3-3. Presión en los nudos correspondientes a la ruta crítica (Ruta 8), Flecha 0. .................. 56
Gráfica 3-4. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 7, Flecha 0. ...................................... 56
Gráfica 3-5. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 6, Flecha 0. ...................................... 57
Gráfica 3-6. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 5, Flecha 0. ...................................... 57
Gráfica 3-7. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 4, Flecha 0. ...................................... 57
Gráfica 3-8. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 3, Flecha 0. ...................................... 58
Gráfica 3-9. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 2, Flecha 0. ...................................... 58
Gráfica 3-10. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 1, Flecha 0. .................................... 58
Gráfica 3-11. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Tubería múltiple, Flecha 0. .................................................................................................. 59
Gráfica 3-12. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 8 (crítica), Flecha 0. .......................................................................................... 60
Gráfica 3-13. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 7, Flecha 0. ....................................................................................................... 60
Gráfica 3-14. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 6, Flecha 0. ....................................................................................................... 60
Gráfica 3-15. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 5, Flecha 0. ....................................................................................................... 61
Gráfica 3-16. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 4, Flecha 0. ....................................................................................................... 61
Gráfica 3-17. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 3, Flecha 0. ....................................................................................................... 61
Gráfica 3-18. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 2, Flecha 0. ....................................................................................................... 62
Gráfica 3-19. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la
tubería, Lateral ruta 1, Flecha 0. ....................................................................................................... 62
Gráfica 3-20. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 1. Emisores con exponente 0.5. ............................ 64
Gráfica 3-21. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 1. Emisores con exponente 1.0. ............................ 64
Gráfica 3-22. Línea de presiones para diferentes flechas, Flecha 0, 0.14, 0.25. ............................... 65

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Gráfica 3-23. Pendiente de fricción vs distancia topológica, Red Asimétrica 1, exponente del emisor
0.3. ..................................................................................................................................................... 67
Gráfica 3-24. Flecha vs. Coeficiente de uniformidad resultante. Red Asimétrica 1, exponente del
emisor 0.3. ......................................................................................................................................... 68
Gráfica 3-25. Flecha vs. Coeficiente de uniformidad resultante. Red Asimétrica 1, exponente del
emisor 0.5. ......................................................................................................................................... 68
Gráfica 3-26. Flecha vs. Coeficiente de uniformidad resultante. Red Asimétrica 1, exponente del
emisor 1.0. ......................................................................................................................................... 69
Gráfica 3-27. Costos vs. Flecha, Red Simétrica. Emisores con exponente 0.3. ................................. 70
Gráfica 3-28. Costos vs. Flecha, Red Simétrica. Emisores con exponente 0.5. ................................. 70
Gráfica 3-29. Costos vs. Flecha, Red Simétrica. Emisores con exponente 1.0. ................................. 71
Gráfica 3-30. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 2. Emisores con exponente 0.3 ............................. 72
Gráfica 3-31. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 2. Emisores con exponente 0.5. ............................ 72
Gráfica 3-32. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 2. Emisores con exponente 1.0. ............................ 73
Gráfica 3-33. Curva PES vs. Coeficiente de uniformidad resultante, Red Asimétrica 1, exponente
0.3. ..................................................................................................................................................... 76
Gráfica 3-34. Curva Costo-Flecha, Red Asimétrica 1, exponente del emisor 0.3. Metodología de
Bermúdez. ......................................................................................................................................... 77
Gráfica 3-35. Coeficiente de Uniformidad resultante vs. Flecha, Red Asimétrica 1, exponente del
emisor 0.3. Metodología de Bermúdez. ............................................................................................ 77
Gráfica 3-36. Curva Coeficiente de Uniformidad vs. PES, Submódulo Asimétrico 2. ........................ 87
Gráfica 3-37. Relación Costo-Flecha obtenida mediante la metodología SOGH para el diseño del
Submódulo Asimétrico 2, variando el valor de la flecha y utilizando 4 criterios de redondeo de
diámetros. ......................................................................................................................................... 90
Gráfica 3-38. Costo del diseño del Submódulo Asimétrico 2 partiendo de diferentes flechas
iniciales, usando programación lineal. .............................................................................................. 91
Gráfica 3-39. Coeficientes de uniformidad resultantes, variando flecha de inicio, Submódulo
Asimétrico 2. ..................................................................................................................................... 92
Gráfica 3-40. Presiones mínimas resultantes, variando flecha de inicio, Submódulo Asimétrico 2. 92
Gráfica 3-41. Número de nudos por debajo de la presión mínima resultantes, variando flecha de
inicio, Submódulo Asimétrico 2. ....................................................................................................... 93
Gráfica 3-42. Curva Costo vs. Diámetro de tubería. ........................................................................ 100
Gráfica 3-43. Curva CU vs PES. Caso de estudio 1, Submódulo Asimétrico 2 Plano. ...................... 102
Gráfica 3-44. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de
redondeo, con el costo del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo
Asimétrico 2 Plano. ......................................................................................................................... 104

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vii

Gráfica 3-45. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de
redondeo, con el costo del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo
Simétrico Plano. .............................................................................................................................. 105
Gráfica 3-46. Curva CU vs PES. Submódulo Asimétrico 2 con Topografía. ..................................... 107
Gráfica 3-47. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de
redondeo, con el costo del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo
Asimétrico 2 con Topografía Variable. ............................................................................................ 110
Gráfica 3-48. Curva CU vs PES. Caso de estudio 3, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.
......................................................................................................................................................... 112
Gráfica 3-49. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de
redondeo, con el costo del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo
Asimétrico 3 con Topografía Variable. ............................................................................................ 114
Gráfica 3-50. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de
redondeo, con el costo del diseño obtenido mediante programación lineal. , Submódulo con
Emisores Autocompensantes. ......................................................................................................... 116
Gráfica 3-51. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de
redondeo, con el costo del diseño obtenido mediante programación lineal. Caso de estudio 5
usando la curva de costos C

. .......................................................................................................... 117

Gráfica 3-52. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de
redondeo, con el costo del diseño obtenido mediante programación lineal. Caso de estudio 5
usando la curva de costos C

. .......................................................................................................... 118

Gráfica 7-1. Curva CU vs PES, Hoja “Cálculo PES”. .......................................................................... 126

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1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

1.1. Introducción.

En 1992 la Conferencia Internacional sobre el Agua y Medio Ambiente (CIAMA), en Dublín
estableció como Principio N

úmero 1 que “el agua dulce es un recurso finito y vulnerable, esencial

para sostener la vida, el desarrollo y el medio ambiente”. Lo que esto implica es que el agua es
indispensable para la vida y por lo tanto se requiere de una gestión eficaz de los recursos hídricos
(CIAMA, 1992). A partir de éste principio fundamental del agua se deriva un segundo principio, el
cual establece que “el aprovechamiento y la gestión del agua debe inspirarse en un planteamiento
basado en la participación de los usuarios, los planificadores y los responsables de las decisiones
a todos los niveles”. De éste último principio, vale la pena resaltar la referencia a la participación
de  los  planificadores  dentro  del  uso  eficaz  y  sostenible  del  agua.  Dentro  del  grupo  de
planificadores se encuentran una serie de entidades (e.g. Departamento Nacional de Planeación,
Empresas Prestadoras de Servicio de agua potable, Gobernaciones, Ministerios) que tienen como
función  armonizar  una  serie  de  variables  de  tal  manera  que  se  maximice  el  beneficio
socioeconómico.    Dentro  de  las  variables  que  intervienen  en  la  toma  de  decisiones  están  los
diseños  de  obras  civiles.  Teniendo  en  cuenta  los  principios  de  la  Conferencia  de  Dublín,  la
relevancia  de  los  diseños  de  obras  civiles  y  la  necesidad  de  optimizar  el  uso  del  agua  de  riego,
éste  trabajo  busca  la  manera  de  realizar  diseños  de  sistemas  de  Riego  Localizado  a  Alta
Frecuencia (RLAF) con el fin de alcanzar un aprovechamiento máximo de los recursos hídricos y
económicos, y que a su vez permitan una adecuada producción agropecuaria.

Según  estudios  realizados  por  la  Organización  Económica  para  la  Cooperación  y  el  Desarrollo
(OECD) en el año 2006, el 70% del agua extraída de fuentes naturales es usada para la irrigación
de zonas agrícolas. Éste valor representa una importante cantidad de agua si se tiene en cuenta
que el volumen de agua dulce consumida, en total, es de 2500 km³ anuales.  Adicional a esto, la
cantidad de agua que es extraída y consumida ha venido creciendo. En 1990, la cantidad de agua
extraída de las fuentes hídricas para uso agrícola en el mundo era apenas de 500 km³ anuales. Se
estima  que  para  el  año  2025  esta  misma  variable  crezca  a  3200  km³  anuales  (OECD,  2006).
Como bien muestran los datos del estudio de la OECD, el consumo anual para agricultura es muy
importante;  por  esta  razón,  es  necesario  lograr  que  éste  proceso  sea  eficiente.  En  varias  partes
del mundo, como por ejemplo en India y algunos países de Latinoamérica, la irrigación de cultivos
se  realizaba    tradicionalmente  por  inundación  del  área  de  cultivo.  Esta  manera  de  regar  los
cultivos, según el mismo estudio de la OECD, presenta apenas un 40% de eficiencia, lo cual no
sólo  se  traduce  en  un  desperdicio  del  recurso,  sino  que  además,  saliniza  el  suelo  e  implica
problemas de exudación en acuíferos. Por esta razón aparece (en la segunda mitad del siglo XX)
el  riego  por  medio  de  tuberías  a  presión.  Lo  que  se  busca  con  éste  tipo  de  sistemas  de
abastecimiento  de  agua  para  plantas,  es  que  a  través  de  emisores  (orificios  en  tuberías  que
emiten un caudal en función de la presión) se lleve a cada planta la cantidad exacta de agua que
necesita para lograr su desarrollo eficiente.

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Con la introducción del abastecimiento de áreas agropecuarias, por medio de tuberías a presión,
aparece el concepto de sistemas de Riego Localizado a Alta Frecuencia. Tal como su nombre lo
indica,  éste  tipo  de  sistemas  se  basan  en  dos  hechos  fundamentales,  la  localización  y  la
frecuencia. La localización obedece al hecho que sólo se humedece parte del volumen del suelo
del cultivo en la zona de las raíces de la planta; por otro lado, la frecuencia hace referencia a la
necesidad  continua  de  agua  por  parte  de  la  planta  (Goldemberg,  1976).  Este  tipo  de  sistemas
fueron desarrollados inicialmente en los países netamente agrícolas, pioneros en la realización de
grandes  proyectos.  De  estos  sistemas  es  importante  decir  que  deben  ser  diseñados  para
optimizar la utilización del recurso agua, teniendo en cuenta que día a día éste es un recurso más
escaso (Saldarriaga, 2009).

Partiendo  del  crecimiento  en  la  extracción  del  agua  y  el  crecimiento  en  la  cantidad  de  áreas
cultivadas,  resulta  importante  buscar  una  manera  de  realizar  los  diseños  de  RLAF  lo  más
económicos  posibles.  En  el  caso  de  Colombia,  según  estudios  del  Departamento  Nacional  de
Planeación, en 1999 existían en Colombia 3’759,174 hectáreas de cultivos; años después, en el
2008, éste número se había incrementado en 152,594 hectáreas.  Estos valores implican una alta
inversión  en  rehabilitación  de  redes  existentes  y  en  inversión  para  construcción  de  nuevos
sistemas  de  riego;  además,  si  se  tiene  presente  que  los  sistemas  de  abastecimiento  de  agua
presentan una vida útil de alrededor de 30 años, será necesario hacer inversiones de renovación
de redes de riego existentes. En un informe presentado por Manuel Ramírez (Asesor de la Unidad
de Desarrollo Agraria, 1998), se estima que en Colombia, de acuerdo con los recursos asignados
en el Presupuesto General de la Nación para proyectos que se van a ejecutar y sobre los cuales
existe certeza de construcción, la parte que financia el Estado por hectárea oscila alrededor de los
6,500 dólares. Para optimizar éste presupuesto y hacer un mejor uso de los recursos públicos, se
debe procurar concebir sistemas de Riego Localizado a Alta Frecuencia que sean económicos.

Actualmente, el diseño de los sistemas de Riego Localizado a Alta Frecuencia se hace mediante
las metodologías clásicas basadas en la comprobación de diseño. Esto último quiere decir que se
prueban diferentes diámetros de tuberías para cada uno de los tubos que conforman el sistema y
se  escoge  alguna  de  las  múltiples  soluciones  que  cumplen  con  los  requisitos  hidráulicos
(Saldarriaga,  2007).  Algunos  ejemplos  de  estas  maneras  de  diseño  se  pueden  encontrar  en  los
trabajos de Goldemberg (1976), Rodríguez (1982) y Pizarro (1987). Muchas veces la escogencia
del conjunto de diámetros de las tuberías se basa en la experiencia del diseñador, y por lo tanto
no  existe  ningú

n proceso exhaustivo como heurísticas de “Colonia de Hormigas” (Ostfled &

Tubaltzev, 2008) o metodologías de diseño basadas en la hidráulica (Ochoa & Saldarriaga, 2009)
que permitan llegar a un diseño óptimo. Éste trabajo compara los resultados obtenidos al diseñar
submódulos  de  riego  haciendo  uso  de  la  metodología  de  Superficie  Óptima  de  Gradiente
Hidráulico  (SOGH)  (Ochoa  &  Saldarriaga,  2009)  y  una  metodología  planteada  con  base  en
optimización lineal. Los resultados finales muestran que la metodología planteada, que hace uso
de  los  conceptos  de  optimización  lineal,  SOGH  y  el  programa  Xpress  presentan  diseños  más
económicos que  la  metodología  SOGH  planteada  originalmente por Ochoa  y cumplen con todas
las  restricciones  hidráulicas  y  agronómicas.  Adicionalmente,  al  final  de  este  documento  se
presentan  algunas  recomendaciones  para  seguir  estudiando  metodologías  basadas  en
optimización lineal en diferentes problemas de hidráulica.

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1.2. Objetivo General.

Desarrollar una metodología para realizar diseños óptimos de submódulos de sistemas de riego
localizado de alta frecuencia.

1.3. Objetivos Específicos.

Los  objetivos  específicos  planteados,  que  permitirán  lograr  el  objetivo  general,  consisten  en  el
análisis  de  metodologías  actuales  para  el  diseño  de  redes  de  distribución,  su  aplicación  en  el
diseño de submódulos de riego y a partir de esto formular una metodología para la optimización
del diseño de estos sistemas. Adicionalmente, los objetivos específicos consisten en el desarrollo
de toda herramienta informática y análisis comparativos que permitan plantear, generar y evaluar
una metodología nueva para el diseño de submódulos de riego.



Generar la formulación matemática del problema de diseño de redes abiertas, usando

conceptos de optimización lineal e implementando su formulación en el programa Xpress

para realizar de forma eficiente el diseño de submódulos de riego localizado de alta

frecuencia.



Realizar comparaciones entre los resultados de la metodología propuesta y la metodología

SOGH planteada por Ochoa, para evaluar el desempeño del nuevo algoritmo de diseño

que se propone.



Realizar análisis de sensibilidad del desempeño de la metodología planteada respecto a

cambios en diferentes variables de entrada al problema de diseño. Adicional a esto, se

realizará la evaluación de la metodología planteada en diferentes casos de estudio con

características topográficas, agronómicas y topológicas diferentes.



Desarrollar un programa informático que permita facilitar al usuario el proceso de diseño

mediante la metodología propuesta, presentando su correspondiente manual de usuario y

haciendo de este una herramienta fácil para el diseñador..



Analizar la metodología para el diseño hidráulico de submódulos de sistemas de RLAF,

definida como “Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico Ajustada” (SOGH Ajustada),

propuesta por Bermúdez (2011), con el fin de aplicar sus conceptos en la nueva

metodología propuesta.

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

Desarrollar un programa informático para realizar de forma automática el procedimiento

propuesto por Bermúdez (2011) para el cálculo de la presión de entrada al submódulo de

riego, que permita realizar el diseño del submódulo por medio de la nueva metodología

que se propone.



Presentar un análisis de los costos resultantes de los diferentes casos de estudio, y el

efecto de las diferentes flechas utilizadas para establecer la superficie de gradiente

hidráulico de diseño.



Establecer los límites de las flechas que pueden utilizarse para el diseño de sistemas de

tuberías, realizando un análisis matemático de la ecuación establecida por Ochoa que

permita determinar las restricciones de la metodología SOGH al diseño de tuberías.

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2. MARCO TEÓRICO

2.1. Características de un sistema de riego localizado de alta

frecuencia.

Un  sistema  de  riego  localizado  de  alta  frecuencia  (RLAF)  se  caracteriza,  tal  como  su  nombre  lo
indica, por la localización óptima del riego y la utilización de alta frecuencia. La localización hace
referencia al hecho de que solo se humedece la parte del volumen del suelo donde se encuentra
ubicada  la  raíz  de  las  plantas,  de  tal  manera  que  los  cultivos  obtengan  el  agua  y  los  nutrientes
necesarios  para  su  correcto  desarrollo,  evitando  el  riego  de  áreas  que  no  lo  requieren.    Por  su
parte, la frecuencia implica que el suelo se mantiene húmedo una mayor cantidad de tiempo en
comparación a un riego convencional. Estas dos características se encuentran relacionadas porque
la localización del riego obliga a que sea necesario aplicarlo con mayor frecuencia. Esta necesidad
obedece  a  que  el  volumen  del  suelo  humedecido  es  reducido  y,  por  lo  tanto,  se  tiene  una  baja
capacidad  de  almacenamiento,  siendo  preciso  aplicar  con  frecuencia  pequeñas  dosis  de  agua  y
nutrientes (Saldarriaga, 2007).

El objetivo primordial del diseño de una RLAF es lograr una alta eficiencia, entendiendo por ésta,
que el área humedecida por el sistema de riego se limite únicamente a la zona radicular. Esto se
hace con el objetivo de conseguir un ahorro importante de agua y entregar a la planta únicamente
la cantidad que ésta necesita para su correcto desarrollo. Adicional al objetivo de no desperdiciar
agua  se  requiere  que  cada  uno  de  los  cultivos  reciba  como  mínimo,  un  caudal  superior  al  que
establece el diseño agronómico.

Para poder realizar el diseño de los sistemas de RLAF es necesario tener en cuenta que estos
presentan un esquema diferente al conocido para las redes de distribución de agua potable. Un
esquema común se presenta en la Figura 1.

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Figura 1. Esquema común de un sistema de riego, Adaptado de (Saldarriaga, 2007).

En  la  Figura  1  se  observan  los  componentes  de  un  sistema  de  RLAF  típico.  De  acuerdo  con
Saldarriaga  (2007),  cada  uno  de  los  componentes  se  define  de  la  forma  que  se  presenta  a
continuación:
Estación de riego: conjunto de elementos que permiten el bombeo, tratamiento, filtrado y control
de  la  presión  del  agua  de  riego.  En  algunos  casos  permite  también  la  fertilización  y  la  medición
integral de los caudales que se envían hacia el cultivo.

Tubería primaria: Tubería que parte de la estación y llega a todos los módulos de riego del cultivo.

Tubería secundaria: Tubería que parte del tubo principal y lleva el caudal a uno solo de los
módulos de riego.

Tubería múltiple: Tubería que alimenta directamente los laterales de riego.

Laterales de riego: Tuberías de último orden en donde se conectan los emisores que suministrarán
agua a las plantas.

Regulador de presión: Por lo general, este elemento se encuentra ubicado al inicio de cada tubería
terciaria. El objetivo del regulador de presión es controlar la presión de entrada a los submódulos
de riego.

Regulador de caudal: Elemento que controla la cantidad de agua que entra en una tubería
secundaria y por lo tanto a un módulo de riego.

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Además  de  la  diferencia  esquemática  que  existe  entre  un  sistema  de  riego  localizado  de  alta
frecuencia y una red de distribución de agua potable, se presenta una diferencia importante en la
hidráulica  de  los  nudos  de  consumo.  Ésta  última  es  tal  vez  una  de  las  características  hidráulicas
más importante de un sistema RLAF, y es que los nudos de consumo funcionan con emisores. A
diferencia  de  una  red  de  distribución  de  agua  potable  donde  la  demanda  es  constante  e
independiente de la presión, en un sistema de riego el caudal que recibe cada uno de los emisores
se verá afectado por la presión en el punto de llegada al emisor.

Como se mencionó en el párrafo anterior, los emisores representan los nudos de consumo de
agua en un sistema de riego localizado de alta frecuencia. Por esta razón es necesario entender
adecuadamente su comportamiento para comprender la hidráulica de los submódulos de riego. En
la siguiente sección se presenta una descripción detallada de las características de los emisores.

2.1.1. Emisores.

De acuerdo con Pizarro (1996), los emisores son la parte más delicada de un RLAF, debido a que
son  los  encargados  de  suministrar  el  caudal  y  los  nutrientes  necesarios  para  el  adecuado
desarrollo  de  cada  planta.  El  problema  principal  en  el  diseño  con  emisores,  es  la  contradicción
presente en los criterios que deben tener en cuenta los fabricantes. Los tres criterios que se deben
tener en cuenta son bajo caudal, alta presión y diámetros de entrega máximos. El primer criterio
hace referencia a que los emisores deben proporcionar un bajo caudal, con el objetivo de que los
diámetros de las tuberías (laterales y múltiples) sean bajos. Por su parte, una alta presión en los
emisores,  es  deseable  para  minimizar  el  efecto  de  los  desniveles  del  terreno  y  las  pérdidas  de
energía sobre la uniformidad del riego. Finalmente, el tercer criterio es que el diámetro de entrega
de los emisores sea lo más grande posible, con el fin de evitar posibles obstrucciones del emisor,
que son el principal problema en el manejo de los sistemas RLAF.

De acuerdo con el caudal que se requiera por planta y la presión normal de trabajo, los emisores
se pueden caracterizar en tres grandes grupos. Estos grupos son, emisores de alto caudal,
emisores de bajo caudal y cintas de exudación. Las características de cada uno de estos grupos se
presentan en la siguiente figura.

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Figura 2. Clasificación de emisores en sistemas de RLAF, Adaptado de (Saldarriaga, 2007).

Esta  caracterización  es  una  muestra  inicial  de  los  tipos  de  emisores  que  existen.  Para  poder
clasificarlos  con  un  mayor  detalle,  es  necesario  entender  las  ecuaciones  y  conceptos  hidráulicos
que permiten modelar y determinar sus características cuando están presentes en un sistema de
riego.

2.1.1.1.

Hidráulica de Emisores.

Para  describir  el  funcionamiento  de  un  emisor  presente  en  un  sistema  de  riego,  es  necesario
empezar  diciendo  que  el  caudal  resultante  es  función  de  la  presión  observada  en  el  punto  de
ubicación  del  emisor.  La  relación  que  describe  el  comportamiento  de  un  emisor  es  la  que  se
presenta a continuación:

Ecuación 2.1

donde  Q  hace  referencia  al  caudal  del  emisor  y  h  a  la  presión  en  el  mismo.  Por  su  parte,  k  y  x
corresponden  al  coeficiente  y  el  exponente  de  descarga  del  emisor  respectivamente.  Es
importante decir que la ecuación no es dimensionalmente homogénea, por lo que k y x dependen
del sistema de unidades utilizado. De estos dos parámetros resulta muy importante el exponente
x, que mide la sensibilidad del emisor con respecto a la altura de presión.

Tanto k como x pueden variar de acuerdo con el tipo de emisor. Pero resulta muy importante
hacer énfasis en el exponente del emisor, dado que este determinará la forma de la curva que

Emisores en

sistemas RLAF

Alto caudal

Presión nominal

20 mca

Caudal nominal,

16 - 150 l/h

Bajo Caudal

Presión nominal

10 mca

Caudal nominal,

2 - 16 l/h

Cintas de

exudación

Presión nominal

1 - 3 mca

Caudal nominal,

0.5 - 3 l/h

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relaciona el caudal del emisor con la altura de presión y permite establecer si se presenta un flujo
laminar  o  turbulento.  Este  comportamiento  se  puede  apreciar  gráficamente  en  la  Figura  3,  que
presenta  un  esquema  de  varios  tipos  de  curvas  correspondientes  a  la  ecuación  que  relaciona
caudal-altura. En la figura se observa el caso en que el exponente del emisor (x), es igual a 1 y se
presenta  un  flujo  laminar;  también  se  presenta  el  caso  en  que  x=0.5  y  existe  plena  turbulencia,
representado en la zona 1 de regímenes hidráulicos. Finalmente se presenta el caso teórico en que
el  exponente  del  emisor  es  cero  (zona  2)  y  el  emisor  se  comporta  como  un  emisor
autocompensante o con limitaciones de caudal.

Figura 3. Tipos de curva caudal-altura, Tomado de Bermúdez (2010) y Adaptado de De Paco (1993).

Es importante tener en cuenta que la ecuación del emisor final es válida, solo a partir de cierto
rango de presiones, que este rango no es suministrado por los fabricantes de emisores y que debe
ser determinado de forma empírica por el diseñador del sistema de riego.

Ahora bien, una vez se han identificado las posibles curvas caudal-altura que pueden existir en los
emisores finales de un sistema de riego, se debe entender por qué no es recomendado que exista
un flujo laminar en los emisores finales y se requiere asegurar la turbulencia en los ductos de estos
accesorios. De acuerdo con Pizarro (1996), el régimen laminar en los emisores, es inconveniente
porque:



En régimen laminar las pérdidas de energía a lo largo de una conducción dependen de la
viscosidad y por lo tanto de la temperatura. De esta manera, para una misma presión, los
emisores en donde el agua se encuentre a una mayor temperatura tendrán un mayor
caudal. Este problema resulta importante si se tiene en cuenta que los materiales de estos
sistemas están conformados de aditivos que según mediciones, hacen que la temperatura
a lo largo de un lateral llegue a variar hasta 20°C (Saldarriaga, 2007). Este fenómeno puede
a veces compensar las pérdidas de energía a lo largo del lateral, pero su comprensión a la



h ( )

Q (l/h)

Laminar

= 1.0

Turbulento

= 0.5

x = 0.0

Zona 1

Zona 2

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hora de diseñar un sistema de riego resulta difícil y además se recomienda considerarlo
como un factor de pérdida de uniformidad del riego.



La relación entre el caudal que sale del emisor y la presión en el punto, es una relación
lineal para flujo laminar. Esta relación implica una mayor dependencia por parte del caudal
y puede llevar a una menor uniformidad en el riego.



Finalmente, en flujo laminar, el riesgo de sedimentación puede ser alto. Esto se debe a
que en este tipo de flujos se requiere que el área de salida de los emisores sea mayor y a
su vez conlleve a una menor velocidad en los conductos.

Una vez definidas las causas por las cuales no es recomendable un flujo laminar en los emisores
finales, vale anotar que en principio el valor del exponente de los emisores estaría comprendido
entre 0.5 y 1; sin embargo, debido a la existencia actualmente de emisores autocompensantes, el
valor de x puede ser incluso inferior a 0.5. Lo que interesa en el diseño es que los emisores tengan
un exponente de descarga bajo, esto con el objetivo de que una variación en la presión no
conlleve a cambios importantes en el caudal de los emisores y mantener la uniformidad del riego.
De esta manera, y teniendo en cuenta la ecuación de los emisores se puede definir la siguiente
ecuación que, a partir de la tolerancia de caudales y el exponente del emisor, permitirá fijar una
tolerancia de presiones:

Ecuación 2.2

Más adelante se explicará, en más detalle, los conceptos de tolerancia de caudales y tolerancia de
presiones a partir de la definición de uniformidad de riego.

2.1.1.2.

Clasificación y tipos de emisores.

De acuerdo con la investigación desarrollada por Bermúdez (2011), existen una gran variedad  de
emisores  en  el  mercado.  Este  tipo  de  accesorios  pueden  clasificarse  de  diferentes  maneras,
atendiendo  a  sus  características  hidráulicas,  forma  de  inserción  en  laterales,  riesgo  de
obturaciones,  etc.  A  continuación  se  describen  algunos  emisores  considerados  en  el  trabajo  de
Bermúdez (2011), con base en los trabajos de Pizarro (1996) y López (1992).



Goteros: Hacen parte del grupo de emisores de bajo caudal. Los goteros pueden
clasificarse según la configuración de los conductos de paso del agua. Estos pueden ser de
largo conducto, de orificio, vortex y autocompensantes.

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De largo conducto: El flujo dentro del  emisor es laminar y en ellos la pérdida de
energía  tiene  lugar  en  un  largo  conducto  de  pequeño  diámetro.  A  este  grupo
pertenecen los emisores helicoidales, microtubos y de laberinto. En la  Tabla 1 se
observan  las  características  de  cada  uno  de  estos  tipos  de  goteros  de  largo
conducto:

Tabla 1. Características de goteros de largo conducto, Tomado de Bermúdez (2011).

Emisor

Características

Esquema

Microtubos

Diámetro interior: 2mm – 0.6mm.
Coeficiente de variación: 0.02 – 0.05.
Exponente del emisor: 0.55 – 0.80.
Constante del emisor: 4 – 8.

Helicoidales

[Prácticamente en desuso

por problemas de

obturaciones]

Caudales nominales: 2 – 4 L/h.
Coeficiente de variación: 0.02 – 0.13.
Exponente del emisor: 0.65 – 0.85.
Constante del emisor: 0.4 – 0.8.

De laberinto

Caudales nominales: 2 – 8 L/h.
Coeficiente de variación: <0.05.
Exponente del emisor: 0.5 – 0.6.

De orificio: Son emisores que se caracterizan por tener un diámetro inferior a 0.4
mm, un coeficiente de variación entre 0.07 y 0.11 y el exponente del emisor es de
0.5.

Vortex:  Este  tipo  de  emisores  tipo  gotero  de  largo  conducto  cuenta  con  una
cámara  de  vórtice  donde  se  genera  una  fuerza  centrífuga  que  se  opone  a  la
dirección  del  flujo  y  genera  pérdidas  adicionales  de  energía.  Este  tipo  de  emisor
surgió  como  un  intento  de  solucionar  el  problema  del  diámetro  pequeño  de  los
goteros de orificio (Saldarriaga, 2007).

Autocompensante: Como se ha mencionado anteriormente, un emisor
autocompensante tiene el objetivo de lograr que el caudal sea independiente de
la presión. La autorregulación del caudal se consigue mediante una pieza móvil y
flexible de caucho o algún elastómero sintético que se deforma bajo el efecto de
la presión, disminuyendo la sección de paso del agua y limitando así el caudal de
salida.



Mangueras: Al igual que los goteros, este tipo de accesorios hacen parte de los emisores
de bajo caudal. El exponente de descarga x para este tipo de emisores varía entre 0.4 y
0.8, lo cual corresponde a un flujo en régimen turbulento. Sus principales características se
pueden observar en la siguiente tabla.

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Tabla 2. Características de emisores tipo manguera, Tomada de Bermúdez (2011).

Emisor

Características

Esquema

Mangueras

Presiones de operación: < 10 mca.

Coeficiente de variación: 0.10 – 0.20.
Exponente del emisor: 0.4 – 0.8.



Cintas de exudación: Hacen parte del grupo de emisores de bajo caudal, y se caracterizan
por  su  fabricación  a  partir  de  un  geotextil  compuesto  de  microfibras  de  polietileno
entrecruzadas que forman una malla en la cual los poros tienen un tamaño medio de 4 a 5
micras  y  ocupan  el  50%  de  la  superficie  (Saldarriaga,  2007).  Este  tipo  de  emisores  no
cumplen con la Ecuación 2.1.



Microaspersores  y  difusores:  A  diferencia  de  los  emisores  presentados  anteriormente,
este tipo de emisores forman parte del grupo de emisores de alto caudal. Al hacer parte
de los emisores de alto caudal, este tipo de accesorios conlleva a tener un diámetro de los
laterales  y  los  múltiples  mayor  al  de  los  emisores  de  bajo  caudal.  La  ventaja  de  los
microaspersores  y  los  difusores  es  que,  a  pesar  de  tener  diámetros  pequeños,  son  poco
sensibles  a  las  obturaciones  debido  a  la  velocidad  del  agua.    Este  tipo  de  emisores  se
pueden clasificar en cuatro grupos, de acuerdo con el exponente de descarga del emisor
(ver Tabla 3 ).

Tabla 3. Características de microaspersores y difusores, tomado de Bermúdez (2011).

Tipo de Emisor

Exponente del Emisor

Esquema

De largo conducto

0.45 – 0.5.

Micro aspersor

De orificio

0.45 – 0.85.

Vortex

0.35 – 0.45.

Autocompensantes

0.0 – 0.25.



Microtubos de alto caudal: como su nombre lo dice, son microtubos que operan como
emisores de alto caudal. No obstante, son poco empleados como emisores de alto caudal
porque presentan los inconvenientes característicos de los emisores de alto caudal

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(grandes diámetros en las tuberías laterales y múltiples) sin tener la ventaja de mojar
grandes superficies.

2.1.2. Uniformidad del riego.

En  la  sección  anterior  se  presentaron  algunas  características  de  los  emisores,  tales  como  sus
características hidráulicas  (regímenes de flujo y ecuación  de los  accesorios) y su clasificación. En
esta sección se va a entender una de las características más importantes de un sistema de riego, la
uniformidad  del  riego.  Esta  característica  esencial  de  un  sistema  de  riego  localizado  de  alta
frecuencia,  va  a  estar  dada  por  el  diseño  agronómico  e  influenciará  directamente  los  resultados
sobre el diseño de las tuberías que componen este tipo de sistemas. De esta manera, el diseñador
debe buscar que el sistema de tuberías sea tal que el diseño sea económico y que todas las plantas
reciban la misma cantidad de agua y nutrientes necesarios para alcanzar su correcto desarrollo y
producción.

Como  se  mencionó  anteriormente,  este  tipo  de  sistemas  utilizan  emisores  como  nudos  de
consumo.  El  uso  de  emisores  implica  que  el  caudal  que  recibe  cada  una  de  las  plantas  va  a
depender de la presión en el punto de llegada y por esta razón debe entenderse correctamente la
hidráulica. Antes de hacer mención a la hidráulica de este tipo de sistemas es necesario definir el
coeficiente de uniformidad como la variable que dará inicio y afectará todo el proceso de diseño.

Como se dijo anteriormente, la uniformidad del riego es una de las variables más importantes del
diseño de los sistemas RLAF. La uniformidad del riego se caracteriza mediante el coeficiente de
uniformidad (CU) que se define según la Ecuación 2.3:

Ecuación 2.3

donde:

CU: Coeficiente de uniformidad del riego; éste es un dato de entrada y es suministrado por
el diseño agronómico

: Número de emisores por planta.

: Caudal del emisor sometido a la mínima presión. Este caudal será calculado a partir

de la Ecuación 2.3 y será uno de los datos de entrada para el proceso de diseño.

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: Caudal medio por planta. Este dato es dado por el diseño agronómico y corresponde

al caudal que se espera que cada planta reciba.

CV: Coeficiente de variación por fabricación de los emisores finales. Éste se determina
sobre una muestra mínima de 25 emisores y se calcula haciendo uso de las siguientes
ecuaciones:

Ecuación 2.4

donde σ corresponde a la desviación estándar y se calcula como:

Ecuación 2.5

y corresponde al caudal promedio de la muestra de n emisores.

Ecuación 2.6

Como  se  puede  observar  el  coeficiente  de  uniformidad  (CU)  depende  tanto  de  factores
constructivos como de factores hidráulicos. Los factores constructivos se incluyen en el coeficiente
de variación (CV) y tienen en cuenta las diferencias que causan los procesos de fabricación y los
materiales  utilizados  en  los  caudales  finales.    Por  su  parte,  los  factores  hidráulicos  tienen  en
cuenta las pérdidas de energía (altura) ocurridas a lo largo de todas las tuberías que conforman el
sistema  de  riego  y  la  topografía  del  terreno.  Además  de  los  factores  hidráulicos  y  constructivos,
que afectan la uniformidad del riego, existen otros factores como el envejecimiento del sistema,
las obturaciones que ocurran en los emisores y las diferencias de temperatura que se presentan
en los diferentes laterales del sistema. Estos últimos factores no se tienen en cuenta en el proceso
de diseño debido a la alta incertidumbre que existe con relación a estos.

El coeficiente de uniformidad, también puede calcularse aplicando la siguiente ecuación:

Ecuación 2.7

donde Q

representa el caudal medio de los emisores que constituyen el 25 % de caudal más bajo,

y Q

representa el caudal medio de todos los emisores de la instalación.

Esta última ecuación (Ecuación 2.7), aunque es útil para definir el coeficiente de uniformidad por
parte del diseño agronómico, no resulta útil a la hora de comenzar el proceso de diseño hidráulico
del sistema de RLAF. Para realizar el diseño se hace uso de la Ecuación 2.3 la cual permitirá, como
se muestra a continuación, establecer la tolerancia de caudales y la tolerancia de presiones.

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2.1.2.1.

Cálculo de la tolerancia de caudales.

Con el objetivo de cumplir con el coeficiente de uniformidad impuesto por el diseño agronómico,
es necesario que los caudales que emite cada uno de los emisores, no resulten muy diferentes
entre ellos. Para esto es necesario asegurarse que el rango de caudales se encuentre entre un
máximo y un mínimo. Para determinar el caudal de mínima presión que puede presentarse en un
submódulo de riego se parte de la Ecuación 2.3.

Ecuación 2.3

En esta ecuación, se conocen todas las variables a excepción del caudal de mínima presión (Q

El Coeficiente de Uniformidad es un dato de entrada, dado por el diseño agronómico. También se
conocen el número de emisores (n

) que llegará a cada planta, el coeficiente de variación (CV) y el

caudal medio. De esta manera, despejando la única incógnita se puede establecer la siguiente
ecuación que permite determinar el caudal de mínima presión.

Ecuación 2.8

Una vez obtenido el caudal de mínima presión que se puede presentar en un submódulo de riego,
se establece la tolerancia de caudales como la relación entre el caudal de mínima presión y el
caudal medio.

2.1.2.2.

Cálculo de la tolerancia de presiones.

Para  poder  cumplir  con  la  tolerancia  de  caudales,  es  necesario  establecer  la  presión
correspondiente  para  que  se  cumpla  con  el  requerimiento  de  uniformidad.  De  esta  manera,  es
lógico  establecer  una  presión  mínima  que  puede  presentarse  en  un  submódulo  de  riego  y  la
presión máxima. Para poder determinar la presión mínima, se hace uso de la ecuación del emisor
tal como se muestra a continuación:

Ecuación 2.9

Como se observa en la Ecuación 2.9, para determinar la altura de mínima presión, solo es
necesario conocer el caudal de mínima presión que fue determinado a partid de CU, CV, Q

y n

;

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además  de  conocer  el  coeficiente  (k)  y  el  exponente  (x)  del  emisor.  Esta  misma  ecuación  puede
utilizarse para determinar la presión correspondiente al caudal medio.

Una  vez  conocidas  la  presión  media  y  la  presión  mínima,  se  puede  determinar  la  tolerancia  de
presiones tal como se observa en la Ecuación 2.10.

Ecuación 2.10

En esta última ecuación hace referencia a la tolerancia de presiones, h

a la presión media, h

a  la  presión  mínima  y  M  es  un  factor  empírico  que  depende  del  número  de  diámetros  que  se
vayan  a  emplear  en  una  misma  tubería,  ya  sea  un  múltiple  o  un  lateral.  El  problema  para
determinar M, es que durante esta etapa no se han definido el número de diámetros que tendrá
un lateral, por esta razón para realizar los diseños se recomienda un valor de M=2.5 (Saldarriaga,
2007).

Finalmente, conociendo la tolerancia de presiones, se puede determinar la presión de entrada al
submódulo  de  riego.  Para  esto  se  hace  uso  de  los  resultados  obtenidos  en  la  Ecuación  2.9  y
Ecuación 2.10 y se determina la presión máxima (presión de entrada) en el submódulo de riego:

Ecuación 2.11

Una vez se han definido las características que componen un sistema de riego localizado de alta
frecuencia,  tales  como  su  esquema,  la  hidráulica  de  emisores,  clasificación  de  emisores,
uniformidad de riego, tolerancia de caudales y presiones, el siguiente paso es entender como es el
proceso de diseño de los sistemas de riego, en qué consiste la metodología de superficie óptima
de  gradiente  hidráulico  (Saldarriaga  y  Ochoa,  2009)  y  como  puede  aplicarse  esta  para  el  diseño
optimizado de submódulos de riego.

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2.2. Diseño hidráulico de sistemas de RLAF.

Para entender la hidráulica de tuberías es necesario tener claras algunas definiciones y leyes que
se  utilizarán  a  la  hora  de  hacer  los  diseños  de  estas  redes  por  medio  del  método  de  Superficie
Óptima de Gradiente Hidráulico. Las leyes base del diseño de redes son la conservación de la masa
y  energía. Una vez se han entendido las ecuaciones básicas, se puede hacer usos de estas a nivel
macro para analizar los diferentes sistemas hidráulicos que existen.

2.2.1. Ecuaciones básicas de la hidráulica de redes.

Como  se  mencionó  anteriormente,  las  ecuaciones  básicas  para  analizar  sistemas  como  los  de
riego,  son  las  ecuaciones  de  conservación  de  la  energía,  conservación  de  masa,  y  pérdidas  de
energía.

2.2.1.1.

Ley de conservación de la masa.

La ley de conservación de la masa es aplicable en cada uno de los nudos de la red. La Ecuación
2.12 es la ecuación de conservación de la masa para toda la red.

Ecuación 2.12

número de tuberías que llegan al nudo i.

Caudal que pasa por la tubería ij al nudo i desde el nudo j.

Caudal demandado en el nudo i.

La convención adoptada por la ingeniería hidráulica es que el caudal Q

es positivo si el flujo va

hacia el nudo i, o negativo si el caudal sale de este nudo.

2.2.1.2.

Ley de conservación de la energía.

La ecuación de conservación de energía se establece para dos puntos en la red de agua potable
(Ecuación 2.13).

Ecuación 2.13

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Altura en el nudo j.

Altura en el nudo i.

i,j

Caudal transportado por el tramo comprendido entre los nudos i y j.

i,j

Área transversal de la tubería entre el nudo i y j.

i,j

= Coeficiente de perdidas menores.

i,j

Factor de fricción en la tubería.

En esta ecuación se establece que la diferencia de energía entre un punto j y un punto i es igual a
las pérdidas que se presentan en el tramo comprendido entre los dos puntos.  Las pérdidas que
generan  esa  diferencia  de  energía  corresponden  a  las  pérdidas  por  fricción  y  las  pérdidas  por
accesorios.

2.2.1.3.

Pérdidas por fricción.

Las pérdidas por fricción en un tramo de tuberías se pueden calcular haciendo uso de la ecuación
deducida por los ingenieros Henry Darcy y Julius Weisbach. Estas pérdidas son función de la
longitud y diámetro de la tubería, la velocidad del flujo a través de esta y el factor de fricción (ver
Ecuación 2.14).

Ecuación 2.14

donde f se calcula por medio de una ecuación no explícita, para flujos no laminares (ver Ecuación
2.15).

Ecuación 2.15

Para flujo laminar, el factor de fricción se calcula mediante:

Ecuación 2.16

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2.2.2. Diseño de sistemas de RLAF.

El diseño de un sistema de riego localizado de alta frecuencia, es un proceso que depende de una
serie de datos de entrada que se pueden dividir en agronómicos y no agronómicos. Dentro de los
datos de entrada agronómicos se encuentran el coeficiente de uniformidad (CU), el número de
emisores por planta (n

), el caudal medio del emisor, la dosis de riego, tiempo de riego y el

espaciamiento entre emisores. Dentro de los datos no agronómicos, se encuentran el coeficiente
de variación (CV), la ecuación del emisor, el plano topográfico, las ecuaciones de diseño de
tuberías y la conexión emisor-lateral. En la siguiente figura, tomada del trabajo de Bermúdez
(2011), se muestra la secuencia de diseño de un sistema RLAF.

Figura 4. Secuencia del diseño hidráulico de un sistema de RLAF. Adaptado de Pizarro (1996).

Como puede observase en la Figura 4 el proceso de diseño comienza con la determinación de  la
tolerancia  de  caudales  (ver  Sección  2.1.2.1), seguido  por  el  cálculo  de  la  tolerancia  de  presiones
(ver  Sección  2.1.2.2).  Una  vez  se  tienen  los  datos  de  presión  mínima,  presión  máxima  y  caudal
mínimo, los siguientes pasos corresponden a un diseño basado en una comprobación de diseño,
donde  el  diseñador  conociendo  los  caudales  que  se  esperan  en  cada  lateral  prueba  diferentes
combinaciones de diámetros hasta encontrar una que satisfaga las condiciones de uniformidad de

Datos del Diseño

Agronómico

Coeficiente de Uniformidad

Número de Emisores por

Planta (ne)

Caudal Medio del Emisor

(Qm)

Dosis y Tiempo de Riego

Espaciamiento entre

Emisores

Diseño Hidráulico

Tolerancia de Caudales

Tolerancia de Presiones

Caudal de Laterales y

Terciarias

Distribución de la Red de

Riego

Diámetros y Régimenes de

Presiones en Laterales y

Terciarias

Secundaria, Primaria,

Cabezal

Otros Datos

Coeficiente de variación de

Fabricación del Emisor (CV)

Ecuación del Emisor (Q-h)

Plano Topográfico

Ecuaciones de Diseño de

Tuberías

Conexión Emisor - Lateral

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riego, tolerancia de presiones y tolerancia de caudales. El procedimiento para realizar el cálculo
hidráulico de un submódulo de riego se presenta a continuación.

2.2.2.1.

Cálculo hidráulico de los submódulos.

Con  base  en  el  Capítulo  9  del  libro  Hidráulica  de  Tuberías  de  Juan  Saldarriaga  (2007),  a
continuación se presentan una serie de pasos que se requiere llevar a cabo para realizar el diseño
hidráulico de los sumbódulos de riego. Esto incluye únicamente el cálculo de la tubería múltiple y
los  laterales  de  riego.  El  diseño  no  puede  realizarse  de  forma  directa  y  requiere  de  un  proceso
iterativo  en  el  que  el  diseñador  prueba  diferentes  diámetros  de  tuberías  hasta  satisfacer  las
condiciones  impuestas  por  el  diseño  agronómico  y  los  resultados  del  cálculo  de  tolerancia  de
caudales y presiones. Al colocar los diámetros correspondientes, el diseñador conoce únicamente
las  propiedades  de  las  tuberías  que  utilizarán  (tales  como  el  diámetro,  la  rugosidad  absoluta,  la
longitud  y  los  coeficientes  de  pérdidas  menores)  y  el  caudal  que  sale  por  el  emisor  de  mínima
presión. El proceso de cálculo de un submódulo de RLAF se describe a continuación y fue tomado
de Saldarriaga (2007):

1. Escoger los diámetros de las tuberías que van a conformar los laterales de riego, utilizando

los disponibles en el mercado local. Escoger el diámetro del múltiple, el cual debe permitir
una conexión adecuada con los laterales de riego.

2. Escoger el emisor con las condiciones más adversas de presión. Este emisor puede ser el

emisor más alejado del punto de entrada al submódulo o el emisor que se encuentre
ubicado en el punto más elevado. A este emisor se le asigna la presión mínima permisible.

3. A partir, del emisor de mínima presión, se procede a calcular el lateral que lo contiene. En

este  punto vale la pena aclarar que se conoce el diámetro  del lateral  (este fue asignado
por el diseñador) y siempre se conocen los caudales aguas abajo, del emisor que se va a
analizar.  Para  realizar  el  cálculo  hidráulico  es  necesario  hacer  uso  de  las  ecuaciones  de
pérdidas por fricción (ver Ecuación 2.14 y Ecuación 2.15).

Ecuación 2.14

Ecuación 2.15

Si el flujo es laminar utilizar

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Ecuación 2.16

Por  su  parte,  el  caudal  que  debe  utilizarse  para  calcular  el  número  de  Reynolds  y  las
pérdidas  por  fricción  corresponde  a  la  suma  de  los  caudales  de  los  emisores  localizados
inmediatamente  aguas  abajo  del  emisor  que  está  siendo  calculado.  De  esta  manera,
conociendo la presión en el nudo aguas abajo del emisor de análisis y el caudal que corre
aguas abajo del  nudo de  análisis se puede determinar la presión en este punto como se
muestra en la siguiente ecuación:

Ecuación 2.17

El caudal de salida del emisor de análisis se encuentra utilizando la ecuación del emisor:

Ecuación 2.1

Se debe tener en cuenta que cada uno de los términos de pérdidas de fricción de la
Ecuación 2.14 tiene un caudal diferente, el cual se calcula mediante la siguiente ecuación:

Ecuación 2.18

donde los

son los caudales individuales de los emisores. En la siguiente figura se

muestra un esquema del cálculo de los caudales para cada uno de los tramos del lateral
entre los emisores finales.

Figura 5. Esquema de cálculo de los caudales en un lateral de riego. Tomado de Bermúdez (2011). Adaptado

de Saldarriaga (2007).

Lateral

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4. Mediante las ecuaciones anteriores se llega al cálculo de la presión en el punto en que se

unen el lateral de análisis y la tubería múltiple (punto m1 de la Figura 6).

Figura 6. Esquema de un submódulo de riego. Tomado de Saldarriaga (2007).

5. Conociendo la presión en el punto m1 se procede a calcular el siguiente lateral. En este

caso, el proceso debe hacerse por tanteo ya que no se conoce el caudal que pasa por el
lateral. Este proceso implica:

Se debe suponer una presión en el último emisor del nuevo lateral de análisis
(e

Calcular el lateral de la misma manera como se hizo en el caso anterior (pasos 1 a
4).

Comparar la presión en el múltiple (

) con la encontrada en el paso 4. Si son

diferentes se debe volver a calcular la presión en el último emisor del lateral que
está siendo determinado, utilizando el siguiente criterio.

en donde el Δh es un dato que debe ser suministrado por el diseñador. El proceso se
detiene cuando:

Es decir, cuando la diferencia en dos iteraciones sucesivas del valor de la presión en el
múltiple sea menor que un cierto error (E) definido por el diseñador.

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6. Con la presión calculada en el punto m

se determina la presión en el punto m

mediante

la Ecuación 2.19.

Ecuación 2.19

donde la pérdida de energía debida a la fricción entre los puntos m

y m

se calcula de

acuerdo con la Ecuación 2.20.

Ecuación 2.20

7. Con la presión m

se repite todo el proceso del paso 5 para los laterales y después la

presión en m3 y m4 y así sucesivamente.

8. El proceso sigue hasta llegar al punto de entrada al submódulo de riego.
9. Una vez se han determinado las presiones en todos los puntos, se verifica que en ningún

punto, es decir en ninguno de los emisores o grupos de emisores de alguna de las plantas
del cultivo, la presión sea menor que la presión mínima permisible. De ocurrir esto, se
debe reiniciar el proceso asignando la presión mínima al emisor o punto de emisión donde
el proceso haya dado esa presión menor que la mínima permisible.

10. Finalmente se verifica la tolerancia de presiones.

El proceso de diseño descrito en esta sección hace referencia al proceso de diseño clásico. En este
trabajo  se  propone  hacer  uso  de  una  metodología  que  hace  uso  de  programación  lineal  en
conjunto con los primeros pasos del método de Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico (SOGH)
con  el  objetivo  de  obtener  un  diseño  económico  de  forma  rápida.  En  la  siguiente  sección  se
comienza  por  describir  la  metodología  SOGH,  más  adelante  se  mostrará  la  formulación
matemática de la metodología planteada y el algoritmo final para el diseño de submódulos.

2.2.2.2.

Método de Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico.

En el año 2009 y consientes del problema que implica obtener un diseño de redes de agua potable
óptimo, Juan Saldarriaga y Susana Ochoa de la Universidad de los Andes, propusieron este método
con el objetivo de tener de manera rápida y óptima, los diseños de redes de agua potable.

El  objetivo  de  esta  metodología  es  minimizar  el  costo  de  la  red.  Este  costo  incluye  el  costo
comercial de las tuberías y el costo de instalación. Los costos constructivos se pueden calcular de
la siguiente manera:

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Ecuación 2.21

donde NT es el número de tuberías que forman parte de la red, L

es la longitud de la i-ésima

tubería, D

es el diámetro de la i-ésima tubería, α y b son parámetros que se determinan mediante

una regresión de costos comercial y de instalación de las tuberías en función de su diámetro. Esta
función de costos es la que se pretende minimizar teniendo en cuenta las restricciones hidráulicas
y comerciales que se tienen al momento de diseñar la red.

Como se mencionó en el párrafo anterior el objetivo es minimizar el costo de la red. Esto se logra a
partir  de  la  línea  de  gradiente  hidráulico  (LGH)  que  implique  los  menores  costos.  Esta  LGH
conocida como la línea de gradiente hidráulico, depende de tres factores que son la distribución
de  las  demandas,  la  relación  entre  el  caudal  total  demandado  y  la  longitud  total  de  la  serie  de
tuberías y del exponente de la función de costos.

La LGH óptima presenta una forma parabólica; de esta manera es necesario conocer tres puntos
de la curva para encontrar la ecuación que describe su trayectoria. Estos tres puntos son el inicio
de la LGH (LGH de la fuente de abastecimiento), la LGH del nudo topológicamente más alejado de
la fuente y el punto de máxima curvatura.

Las etapas que conforman la metodología se describen a continuación:

1. Asignación inicial de diámetros.

Con  el  fin  de  determinar  la  distancia  topológica  de  un  nudo  a  la  fuente  (distancia  que
recorre  el  agua  desde  un  punto  de  almacenamiento  antes  de  llegar  a  un  nudo)  es
necesario  conocer  una  hidráulica  previa  de  la  red,  por  lo  que  es  importante  asignar
inicialmente  un  diámetro  a  cada  tubería.  Se  recomienda  asignar  el  menor  diámetro
disponible a todas las tuberías, lo cual garantiza que la distribución de caudales sea lo más
independiente  posible  del  diseño  y  hace  que  el  agua  fluya  de  las  fuentes  de
abastecimiento  hacia  los  nudos  y  no  en  sentido  contrario.  Después  de  conocer  la
hidráulica  de  la  red,  es  decir,  qué  caminos  toma  el  agua  antes  de  llegar  a  un  nudo,  se
calcula la distancia topológica de cada nudo.

Conociendo  la  distancia  topológica  se  puede  asignar  a  cada  tubería  un  diámetro
inversamente  proporcional  a  esa  distancia,  es  decir  entre  más  lejos  se  encuentren  la
tubería de la fuente de abastecimiento, menor debe ser su diámetro.

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2. Estimación de la flecha óptima de la curva LGH vs abscisa.

La flecha óptima se calcula de la misma manera que en el caso de una serie de tuberías;
sin embargo, debido a que se tiene una red y no una serie de tuberías, la manera en la cual
se calcula el centroide de demandas, varía y se calcula como se explica a continuación.



Calcular el centroide de demandas:

Ecuación 2.22

Donde:

NN = número de nudos.

= caudal demandado en el nudo i.

i Topológica

= distancia del nudo i con respecto a las fuentes de abastecimiento.

total

= Caudal total demandado en la red.

topológica máxima

= Distancia topológica del nudo más alejado de las fuentes de

abastecimiento.



El Coeficiente de Uniformidad 7 (CU

) es un indicador de la localización de las

demandas, considerando tanto su ubicación espacial como su magnitud, con
respecto al Centroide de Demandas. Para estimar el CU

se supone que el

Centroide  de  Demandas      divide  la  red  en  dos  subconjuntos:  el  primero
corresponde  a  los  nudos  cuya  distancia  topológica  es  inferior  a  la  distancia  a  la
que  se  encuentra  localizado      con  respecto  a  la  fuente  de  abastecimiento;  el
segundo  está  conformado  por  los  nudos  con  mayor  distancia  topológica.  Para
cada uno de los dos subconjuntos se debe calcular su Centroide de Demandas con
respecto  al  centroide  general      y  luego  se  hace  un  promedio  ponderado  de
estos dos centroides, así:

Ecuación 2.23

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donde

es el centroide de demandas del subconjunto 1,

es el centroide de

demandas del subconjunto 2,

es la longitud del primer subconjunto y

la del

segundo.

es igual a la distancia a la que se encuentra localizado con

respecto a la fuente de abastecimiento y

corresponde a la diferencia entre la

distancia topológica máxima y

Ecuación 2.24

Ecuación 2.25

Los centroides

se calculan con respecto al centroide general y la

expresión para su estimación es la siguiente:

Ecuación 2.26

donde NNs corresponde al número de nudos del subconjunto s.

Cálculo de la flecha óptima en función del centroide de demandas y el
coeficiente de uniformidad 7:

Ecuación 2.27

donde:

a = 0.435521465

b = -0.176612805

c = -0.977366227

d = 0.906254447

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La flecha calculada con esta ecuación corresponde a una relación Q

= 1 x 10

-9

a un exponente de la función de costos de 1,46, dado que estos fueron los
parámetros considerados en la derivación de dicha ecuación.

Cálculo de la flecha óptima para el exponente de la función de costo (n) que se
tenga:

Ecuación 2.28

donde:

n = Exponente de la función de costos.

1.46

= Flecha óptima para un exponente de 1.46.

Cálculo de la flecha óptima para la relación real de Q

Ecuación 2.29

donde:

= Flecha óptima para una relación de Q

= 1 x 10

-9

Q corresponde al caudal total demandado en el sistema y L a la longitud total del
mismo. Para el cálculo de la relación Q

la longitud debe corresponder al

recorrido total del agua en el sistema; por lo tanto, en el caso de redes de
distribución esta longitud total se calcula como la sumatoria de las longitudes de
los tubos, así:

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Ecuación 2.30

donde NT es número total de tubos de la red y L

es la longitud total del tubo

3. Con los diámetros asignados, realizar una simulación hidráulica para determinar caudales,

sentidos de flujo y las distancias topológicas de los nudos.

4. Cálculo de la superficie óptima de gradiente hidráulico:

Consiste en calcular la LGH ideal para cada nudo de la red; la superficie óptima de gradiente
hidráulico está conformada por un conjunto de puntos con coordenadas (X, Y, LGH). Para calcular
la SOGH se deben seguir los siguientes pasos.



Iniciar el LGH de todos los nudos en cero.



Determinar  y  asignar  la  fuente  de  abastecimiento  de  cada  nudo.  Esto  se  hace
inyectando un trazador y simulando la hidráulica de la red. Si un  nudo es abastecido
por más de una fuente se le asigna aquella con mayor LGH.



Detectar los sumideros de la red, es decir aquellos nudos que no alimentan a ningún
otro nudo de la red.



Ordenar los sumideros de mayor a menor distancia topológica.



Recorrer los sumideros en el orden establecido en el paso 4 y para cada uno realizar
los procedimientos descritos del paso 6 al 10.



Iniciar el número de sumideros en 1.



Asignar a cada sumidero una LGH ideal que cumpla con la presión mínima y considere
la altura topográfica de cada nudo.

Ecuación 2.31



Identificar el embalse asignado al sumidero i.



Ajustar los coeficientes de la ecuación cuadrática que se utilizará para calcular la LGH
óptima. Esta ecuación se puede reescribir de la siguiente manera para el caso de
redes.

Ecuación 2.32

donde:

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5. Asignación de las pérdidas de energía objetivo a cada tramo de tubería.

6. Cálculo del diámetro ideal de cada tubería para las pérdidas objetivo fijadas en la etapa 5 y

para los caudales obtenidos en la simulación hidráulica del paso 3.

7. Realizar una simulación hidráulica para estimar las pérdidas reales de energía que se

presentan en cada tubería para los nuevos diámetros calculados.

8. Cálculo del error entre las pérdidas de energía objetivo obtenidas en la etapa 5 y las reales

obtenidas en la etapa 7.

9. Si el error calculado en la etapa 8 es menor al error admisible o si el número de interacciones

realizadas es superior al máximo se continúa con la etapa 10, de lo contrario se regresa a la
etapa 3.

10. Realizar una simulación hidráulica con los diámetros obtenidos en la etapa 9, para determinar

los caudales en las tuberías y las presiones en los nudos de la red.

11. Si en algún nudo de la red, la presión es inferior a la mínima, se realizan correcciones de las

prominencias para poder continuar con la etapa 12.

12. Aproximación de todos los diámetros al siguiente diámetro comercial.

13. Aplicación de programación por restricciones para aumentar diámetros hasta que se satisfaga

el requisito de presión mínima en todos los nudos.

14. Aplicación de programación por restricciones para disminuir los diámetros de algunas

tuberías, teniendo en cuenta el requisito de presión mínima en todos los nudos.

Respecto a esta metodología es importante recalcar que tuvo sus inicios en el diseño de redes de
distribución de agua potable. Para este tipo de redes, la metodología ha probado llevar a

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resultados muy económicos y rápidos. Su uso para el diseño de sistemas de riego localizado de alta
frecuencia  comenzó  en  el  2010  con  el  trabajo  realizado  por  Bermúdez  y  donde  se  probó  la
aplicabilidad de esta metodología para este tipo de sistemas. Existen algunas variaciones y puntos
de esta metodología que no se han tomado en cuenta a la hora de hacer los diseños. Por ejemplo,
en el paso 2 de la metodología (Cálculo de la flecha óptima), en sistemas de riego no es posible
hablar de un centroide de demandas que lleve a determinar la flecha óptima. No se puede hablar
de  un  centroide  de  demandas,  dado  que  las  demandas  en  los  nudos  no  son  constantes  o  no
corresponden a una demanda base (La demanda base en los  nudos es cero). Por el contrario, la
demanda en los nudos de un sistema de RLAF son demandas que dependerán de las presiones en
los nudos y por ende, de la línea de gradiente hidráulico objetivo que se tenga. De esta manera, la
demanda en cada uno de los nudos, va a depender de la LGH objetivo, la cual a su vez depende de
la  flecha  que  el  diseñador  defina.  Finalmente,  en  la  Figura  7  se  resumen  los  pasos  de  la
metodología SOGH haciendo uso de un diagrama de flujo tomado del trabajo de Ochoa (2009).

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Figura 7. Etapas de la metodología SOGH. Tomando de Saldarriaga y Ochoa (2009).

Inicio

Fijar parámetros de diseño

Asignación de diámetros proporcionales a la distancia topológica

i=1

Calcular la hidráulica de la red, determinar caudales, sentidos de

flujo y distancias topológicas.

Calcular la superficie óptima de gradiente hidráulico.

Asignar pérdidas de energía objetivo a cada tubería.

Calcular y asignar los diámetros ideales correspondientes a las pérdidas de

energía objetivo.

Calcular la hidráulica de la red y las pérdidas reales de energía

objetivo.

¿Error pérdidas < Ɛ?

¿i > Num Iteraciones?

¿Hay nudos con

déficit de presión?

Corrección de

prominencias

Asignación de diámetros

comerciales

FIN

i = i+1

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2.2.3. Resultados y análisis de trabajo de Bermúdez (2011).

Para realizar el trabajo de diseño de submódulos de riego localizado de alta frecuencia, Bermúdez
hiso  uso  del  programa  REDES,  desarrollado  en  el  Centro  de  Investigaciones  en  Acueductos  y
Alcantarillados    (CIACUA).  El  producto  final  de  este  trabajo  consiste  en  una  metodología  para
determinar  la  presión  de  entrada  al  submódulo  de  riego,  de  tal  forma  que  el  coeficiente  de
uniformidad resultante (después del diseño) sea igual o superior al mismo que suministra el diseño
agronómico.

Para  comenzar  este  proceso,  vale  la  pena  recordar  que  el  diseño  de  submódulos  de  riego
comienza  determinando  la  tolerancia  de  caudales  y  la  tolerancia  de  presiones.  A  partir  de  estos
cálculos  se  determina,  la  presión  mínima  y  la  presión  máxima  que  se  puede  presentar  en  los
submódulos. El problema que presentaba esta metodología es que el cálculo de la presión máxima
se obtiene mediante la Ecuación 2.11.

Ecuación 2.33

donde

Ecuación 2.34

y  M,  es  un  valor  que  se  no  se  conoce  de  antemano  y  se  sugiere  usar  un  valor  de  2.5.  De  esta
manera,  el  primer  paso  en  el  trabajo  de  Bermúdez  consistió  en  observar  la  manera  en  que
variaban  los  resultados  de  coeficiente  de  uniformidad  (CU)  y  costos,  si  este  valor  M  cambiaba.
Para  esto,  se  varió  el  valor  de  M  entre  0.5  y  4.3.  Una  vez  hecho  esto,  Bermúdez  encontró  los
siguientes resultados:

Gráfica 2-1. Coeficiente de uniformidad resultante vs. Presión de entrada al submódulo. Tomado de Bermúdez (2011).

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En la Gráfica 2-1 se observa que el coeficiente de uniformidad resultante y la presión de entrada al
submódulo,  presentan  una  relación  cuadrática.  En  la  medida  en  que  la  presión  de  entrada
disminuye  (valores de M  pequeños) el coeficiente  de uniformidad resultante es mayor;  por otro
lado, para valores muy altos (superiores a 2.5) el coeficiente de uniformidad es inferior al deseado
por  el  diseño  agronómico.  Respecto  a  este  resultado  de  Bermúdez,  vale  la  pena  decir  que  los
resultados  son  consistentes  con  lo  que  se  esperaría.  Resulta  claro  que  si  se  mantiene  la  presión
mínima  fija  y  se  varía  la  presión  de  entrada  únicamente,  a  medida  que  el  rango  de  presiones
dentro  del  submódulo  se  reduce,  la  variación  entre  los  caudales  de  salida  de  los  emisores  que
componen el submódulo, será menor. Por otro lado, aunque un menor rango entre las presiones,
resulta en un coeficiente de uniformidad más alto, también conlleva a una red más costosa (ver
Gráfica 2-2).

Gráfica 2-2. Costo total de la red vs. Presión a la entrada del submódulo. Tomado de Bermúdez (2011).

Como se observa en la Gráfica 2-2 al tener una menor presión de entrada al submódulo, se tienen
mayores costos. Esto se debe a que, al tener un menor rango entre la presión mínima y la presión
máxima, se tiene menos energía para perder a lo largo del submódulo. El hecho de tener menos
energía disponible para perder a lo largo del sistema, implica mayores diámetros de tuberías con
el objetivo de reducir velocidades y lograr disminuir las pérdidas por fricción y pérdidas menores.

A partir de estos resultados, Bermúdez decidió establecer de qué depende esta curva. Para esto
empezó a variar diferentes variables tales como el exponente de los emisores, el coeficiente de los
emisores, la topología de la red, el coeficiente de variación (CV), la presión media, el coeficiente de
uniformidad del diseño agronómico y el número de emisores por planta. A partir de los resultados
obtenidos, Bermúdez planteó una metodología de diseño que es la que se resume a continuación.

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2.2.3.1.

Descripción de la metodología de diseño de propuesta por Bermúdez.

La metodología propuesta por Bermúdez consta de 5 pasos que se describen a continuación. Vale
aclarar, que antes de comenzar con el proceso es necesario contar con los parámetros de diseño,
topología de la red, la uniformidad de riego, las características del emisor a emplear y los
diámetros comerciales disponibles. Una vez se tiene esto se procede así:

1. Cálculo de tolerancia de caudales y presiones.

Este  procedimiento  se  hace  de  forma  exacta  a  como  se  describió  en  la  Sección  2.1.2.1  y
Sección 2.1.2.2. Este procedimiento para determinar el caudal de mínima presión, la presión
mínima,  la  tolerancia  de  presiones,  resulta  exactamente  igual  a  como  se  hace  el  diseño
actualmente.  En  este  paso  lo  único  que  cambia  es  el  cálculo  de  la  presión  de  entrada  al
submódulo de riego. Esta presión se calcula como se muestra en el siguiente paso.

2. Cálculo de la presión de entrada del submódulo.

La  presión  a  la  entrada  del  submódulo  corresponde  a  la  energía  necesaria,  inmediatamente
después de la válvula reguladora de presión para cumplir con la uniformidad de riego. Como
se mencionó anteriormente, Bermúdez determinó que la relación entre la presión de entrada
al  submódulo  y  el  coeficiente  de  uniformidad  resultante  es  una  ecuación  cuadrática  de  la
siguiente forma:

Ecuación 2.35

donde CU

es el coeficiente de uniformidad resultante, PES es la presión de entrada del

submódulo; y α, β y

son coeficientes que describen la forma y ubicación de la curva. El valor

se calculó como se muestra en la Ecuación 2.36.

Ecuación 2.36

donde

Ecuación 2.37

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Ecuación 2.38

Los valores de α, β y γ se calculan como se muestra en la Tabla 4. En esta tabla resulta claro que
estos tres parámetros dependen de la presión nominal de trabajo y del exponente del emisor.

Tabla 4. Ecuaciones para la determinación de los coeficientes α, β y γ. Tomado de Bermúdez (2011).

Tipo de

Emisor

Caudal

Nominal

[L/h]

Presión

Nominal

[mca]

Bajo

Caudal

2 – 16

[

Alto

Caudal

16 – 150

[

Conociendo los valores de α, β y

se procede a conformar la Ecuación 2.35 y determinar la

presión de entrada al submódulo, que llevará a tener el coeficiente de uniformidad resultante
deseado.

3. Aplicar la metodología de Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico (SOGH).

Esta  metodología  fue  desarrollada  para  redes  de  distribución  de  agua  potable;  por  esta  razón,
según Bermúdez, fue necesario realizar algunas modificaciones en ciertas etapas para poder hacer
uso  de  la  metodología.  Primero  es  necesario  definir  la  altura  del  tanque  o  fuente  de
abastecimiento, ya no corresponde a un parámetro de diseño o dato de entrada;  este valor será
tomado  del  paso  anterior;  es  decir,  la  LGH  del  tanque  es  igual  a  la  PES  calculada  más  la  cota
topográfica correspondiente.

Bermúdez recomienda realizar algunos cambios en el cálculo de la flecha óptima. El cambio que se
requeriría hacer en la metodología SOGH, corresponde a la etapa 2, en el cálculo del centroide de
demandas. Bermúdez propone calcular este centroide de acuerdo con la siguiente ecuación.

Ecuación 2.39

donde

es el caudal medio de operación del emisor,

el número de emisores por planta, NN

corresponde al número de nudos que representan un punto de emisión en la red,

la distancia topológica del nudo i con respecto a la válvula reguladora de presión,

corresponde al caudal total demandado en la red y

es la distancia topológica

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máxima (i.e. la distancia topológica del punto de emisión más alejado de la válvula reguladora de
presión).
Finalmente, Bermúdez propone que el mejor proceso de aproximación de diámetros continuos a
discretos, corresponde a un redondeo al diámetro comercial más cercano.

4. Cálculo del coeficiente de uniformidad resultante del submódulo diseñado.

El coeficiente de uniformidad resultante corresponde al calculado con los datos finales de la red.
Para esto se debe conocer el caudal de mínima presión resultante y el caudal medio resultante. A
partir de estos resultados se puede calcular el CU

de la siguiente manera:

Ecuación 2.3

5. Si CU

es menor que CU impuesto por el diseño agronómico volver al paso 2.

Si el Coeficiente de Uniformidad Resultante CU

del submódulo diseñado es menor al Coeficiente

de Uniformidad CU

impuesto por el diseño agronómico se debe rediseñar. Lo anterior se puede

presentar porque el valor calculado de la Presión a la Entrada del Submódulo corresponde a una
aproximación.

Si se presenta lo anterior, es necesario volver al paso 2 de la metodología de diseño SOGH
ajustada y reducir la Presión a la Entrada del Submódulo, de lo contrario finaliza el proceso.

Estos  son  los  5  pasos  que  conforman  la  metodología  propuesta  por  Bermúdez  y  la  cual  será
analizada  en  secciones  siguientes  de  este  trabajo.  Esta  metodología  puede  resumirse  en  el
diagrama de flujo presentado en la Figura 8.

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Figura 8. Diagrama de flujo de la metodología SOGH ajustada propuesta por Bermúdez (2011).

INICIO

Calcular la Tolerancia de

Caudales y Presiones

Calcular la Presión a la

Entrada del Submódulo

Leer parámetros de diseño

Diseño mediante la metodología

“SOGH Ajustada”

Calcular CU

FIN

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2.3. Programas.

Para  el  desarrollo  de  este  trabajo  se  hiso  uso  de  varios  programas  que  permitieron  diseñar
diferentes submódulos de riego y calcular las características hidráulicas resultantes. Los programas
que  permitieron  la  realización  de  este  trabajo  fueron  el  programa  REDES  (desarrollado  en  el
Centro de Investigaciones en  Acueductos y Alcantarillados, CIACUA), EPANET (desarrollado por la
Enviromental Protection Agency,  EPA)  y el optimizador Xpress (desarrollado por Dash Associates
Ltda.).  A  continuación  se  presenta  una  breve  descripción  del  programa  REDES  y  el  optimizador
Xpress.

2.3.1. Programa REDES.

El  programa  REDES,  desarrollado  en  el  Centro  de
Investigaciones  en  Acueductos  y  Alcantarillados
CIACUA  de  la  Universidad  de  Los  Andes,  Bogotá,
Colombia,  es  una  herramienta  de  simulación  de
sistemas de tuberías con flujo a presión.

El desarrollo del programa REDES está basado en
criterios de optimización de Redes de Distribución de
Agua Potable (RDAP) a los que se ha llegado a través
de investigaciones en diferentes universidades de

Estados Unidos y Europa. Entre los criterios más

importantes  se  encuentran  los  de  optimización  económica  de  diámetros  de  tuberías  en  redes
cerradas  de  distribución  de  agua,  desarrollados  por  Ronald  Featherstone  y  Karim  El-Jumaily
(basados  en  el  criterio  de  Wu),  el  método  del  gradiente  para  el  cálculo  de  redes  cerradas  de
distribución  de  agua,  desarrollado  por  Ezio  Todini  y  Enda  O´Connell  y  el  método  de  Superficie
Óptima  de  Gradiente  Hidráulico,  desarrollado  por  Susana  Ochoa  como  tesis  de  magíster.  Este
último, corresponde a la metodología que se aplicará para el diseño de submódulos de RLAF.

A diferencia de otros programas comerciales, el programa REDES permite el diseño optimizado de
redes de distribución de agua, tanto de redes nuevas como de ampliaciones de redes existentes.
En su módulo de diseño incluye las opciones para diseñar con diferentes métodos: Algoritmos
Genéticos aplicados al diseño de redes, Superficie Óptima de Presiones (SOP), Programación por
Restricciones y Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico (SOGH).

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2.3.1.1.

Características del Programa.

La interfaz gráfica de REDES consiste en un mapa de la red en la cual es posible visualizar los
valores de diferentes variables de los elementos; de igual forma se pueden apreciar a través de
curvas de nivel y de superficies, de manera que el usuario pueda tener una idea global de lo que
ocurre en la red.

Figura 9.

Mapa de un submódulo de RLAF en el programa REDES con altura piezométrica en los nudos de acuerdo con

una escala de colores.

2.3.1.2.

Elementos.

Hasta la red más simple está compuesta por al menos una fuente de agua, un tubo y un nudo de
demanda; sin embargo, redes más complejas pueden tener diferentes accesorios, como emisores,
válvulas o bombas hidráulicas. El programa REDES maneja siete tipos de elementos diferentes,
presentados a continuación:



Embalses; son fuentes de agua cuya altura piezométrica es fija.



Tanques; fuente de agua cuya altura piezométrica es variable, ya que pueden tener un
caudal de entrada y alimentar la red o pueden ser alimentados por la red y tener un
caudal de salida.



Nudos; puntos donde hay demanda de caudal.

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

Tuberías; tuberías de la red.



Emisores; elementos hidráulicos de los nudos que permiten simular fugas y emisores en
sistemas de riego.



Válvulas; accesorios de las tuberías que combinan la relación entre altura piezométrica y
el caudal, se pueden modelar válvulas reductoras de presión, válvulas reguladoras de
presión, válvulas de control de caudal, válvulas de propósito general, válvulas de
regulación de cierre y válvulas de cheque.



Bombas; accesorios de las tuberías que proporcionan energía a la red.

2.3.1.3.

Capacidades del Programa.

El programa  REDES ofrece múltiples opciones de cálculos al  usuario; entre estas se encuentra el
cálculo  hidráulico  estático  (cálculo  de  alturas  piezométricas  y  presiones),  cálculo  hidráulico  en
periodo  extendido  (cálculo  hidráulico  a  diferentes  horas  del  día),  cálculo  de  la  calidad  de  agua
(concentraciones,  edad,  trazadores  y  porcentaje  de  procedencia),  diseño  de  RDAP  con  métodos
modernos, calibración de redes y cálculo del índice de resiliencia.

2.3.2. Optimizador Xpress.

El  programa  Xpress  es  un  optimizador  que  cuenta  con  sofisticados  subprocesos  y  múltiples
algoritmos  con  capacidad  de  resolver  con  rapidez  y  precisión  diferentes  problemas  de
optimización.  Los algoritmos de optimización de Xpress tienen la capacidad de resolver problemas
lineales (LP), problemas lineales usando variables enteras, problemas cuadráticos (QP), problemas
cuadráticos usando variables enteras y problemas lineales convexos, entre otros.
Este optimizador proporciona implementaciones rápidas y fiables de los métodos simplex primal y
dual para resolver problemas de programación lineal e integra algoritmos de solución previa para
reducir  el  tamaño  y  el  tiempo  del  problema.  Realiza  ajustes  automáticos  para  un  mejor
rendimiento y tiene una amplia gama de parámetros configurables para un control avanzado del
proceso  de  optimización.  El  programa  cuenta  también  con  el  optimizador  MIP  que  hace  uso  del
algoritmo  Branch  and  Bound  para  resolver  problemas  que  utilizan  variables  enteras;  este
algoritmo  elimina  de  forma  efectiva  las  soluciones  no  factibles  y  reduce  considerablemente  el
espacio y tiempo de solución en busca de la solución óptima.

En secciones siguientes de este documento se mostrará el uso que se le dio al programa Xpress
para realizar diseños de submódulos. Para este trabajo se formuló el problema de diseño como un
problema de optimización lineal y la formulación se implemento en Xpress dejando claro la
función objetivo del problema y sus diferentes restricciones.

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3. RESULTADOS Y ANÁLISIS PRIMERA FASE

Este proyecto, tiene como objetivo principal, determinar la forma óptima de realizar el diseño de
submódulos de sistemas de riego localizado de alta frecuencia. Para cumplir con este objetivo se
diseñó  una  metodología  basada  en  programación  lineal,  la  cual  fue  evaluada  respecto  a  la
metodología  de  Superficie  Óptima  de  Gradiente  Hidráulico.  Los  Numerales  3.1  y  3.2  hacen  un
análisis  de  la  metodología  SOGH  y  los  resultados  obtenidos  en  su  aplicación  para  el  diseño  de
submódulos  de  RLAF.  En  el  Numeral  3.3  se  hace  un  análisis  de  la  metodología  propuesta  por
Bermúdez para determinar la presión de entrada al submódulo de riego. Finalmente a partir de la
página 79 el Capítulo  3.4 explica la metodología final propuesta para el diseño de submódulos de
riego.

3.1. Análisis metodología SOGH.

Sobre esta metodología propuesta en el año 2009, hay que decir que es una metodología bastante
adecuada  a  la  hora  de  hacer  diseños  rápidos  y  económicos  de  redes  de  distribución  de  agua
potable (RDAP). Los pasos propuestos por la metodología SOGH que fueron resumidos en la Figura
7,  parecen  en  principio  simples  de  aplicar  al  diseño  de  submódulos  de  sistemas  de  riego;  sin
embargo,  esta  metodología  no  puede  ser  aplicada  de  forma  directa  ya  que  presenta  algunas
restricciones que deben ser tenidas en cuenta.

3.1.1. Análisis etapa 2, metodología SOGH.

En la etapa 2 de la metodología SOGH Ochoa y Saldarriaga proponen encontrar la flecha óptima de
diseño. La flecha óptima para el diseño de RDAP es función de varios parámetros y variables, tales
como el caudal total demandado por el sistema, la longitud total del sistema, el exponente de
función de costos, el centroide de demandas ( ) y el coeficiente de uniformidad 7 (CU

). El primer

problema  que  se  tiene  en  sistemas  de  RLAF,  con  respecto  a  la  estimación  de  la  flecha  óptima,
consiste en que para un submódulo de riego no se conocen a priori los caudales de los emisores.

Cuando  se  está  diseñando  un  submódulo  de  riego,  el  diseñador  no  conoce  los  caudales  que
saldrán por cada uno de los emisores. En una RDAP, por ejemplo, los caudales demandados son
conocidos en cada uno de los nudos y a partir de estos, el diseñador puede estimar el caudal total
demandado  en  la  red,  el  centroide  de  demandas  y  el  coeficiente  de  uniformidad  7  (CU

). Por el

contrario en el diseño de los sistemas de RLAF, la demanda de cada uno de los nudos va a
depender de la presión. Esta presión a su vez, es definida por el diseñador y hace referencia a la
línea de gradiente hidráulico (LGH) objetivo, que el mismo diseñador asigna.

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Teniendo  en  cuenta  lo  mencionado  en  el  párrafo  anterior,  no  es  posible  establecer  una  flecha
óptima de diseño sin antes conocer la presión en cada uno de los  nudos. Esto se debe, a que la
LGH objetivo depende de la flecha escogida. De esta manera, como primer paso vale la pena variar
la flecha de diseño para cada una de las redes de caso de estudio, y determinar el comportamiento
de los costos en relación con la flecha. Antes de proceder a mostrar los resultados de la variación
de la flecha, se presenta otra de las restricciones presentes en la metodología SOGH.

3.1.2. Flecha mínima y máxima para el diseño de sistemas de riego.

Como bien lo estableció I-pai Wu  (1975) y posteriormente Ochoa y Saldarriaga (2009), la  red de
mínimo  costo  puede  corresponder  a  aquel  diseño  que  se  desarrolla  a  partir  de  una  línea  de
gradiente  hidráulico  parabólica.  En  el  caso  del  diseño  de  submódulos  de  riego,  el  punto
correspondiente a la LGH máxima, será la cota de entrada al submódulo más la presión de entrada
(ver Ecuación 3.1).

Ecuación 3.1

El punto correspondiente al gradiente hidráulico mínimo, corresponde al sumidero que presente
las  condiciones  más  adversas  topográficamente  y  que  se  encuentre  más  alejado  de  la  válvula
reguladora  de  presión.  La  presión  mínima,  es  la  correspondiente  al  caudal  de  mínima  presión
obtenido en el cálculo de tolerancia de caudales. Finalmente, para poder describir una parábola,
se  requiere  de  un  tercer  punto.  Este  tercer  punto,  corresponde  al  lugar  donde  se  presenta  la
máxima curvatura en la LGH; y se puede determinar mediante la flecha.

Figura 10. LGH objetivo, basada en tres puntos conocidos.

La Figura 10, muestra un esquema de los tres puntos requeridos para determinar la LGH objetivo
cuando se va a diseñar un sistema de tuberías. A partir de esta figura, se puede establecer la
ecuación propuesta por la metodología SOGH para determinar la línea de gradiente hidráulico.

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Ecuación 2.32

donde:

Como puede observarse claramente, la línea de gradiente hidráulico en cada uno de los puntos del
sistema de tuberías, depende de la flecha seleccionada (F) y de su distancia topológica al punto de
alimentación  del  sistema.  Teniendo  en  cuenta  esta  ecuación  y  la  Figura  10,  surgió  la  pregunta
sobre  cuál  es  el  rango  en  que  es  físicamente  válida  la  flecha  de  diseño.  Para  responder  esta
pregunta, se  creó  un sistema de tuberías en serie y se varió la flecha de  diseño, observando los
siguientes resultados.

Gráfica 3-1. LGH objetivo vs. Distancia topológica, para diferentes flechas de diseño.

Aunque se probaron diferentes flechas, la Gráfica 3-1 se concentra en solo 4 de estas. Los
resultados que se obtuvieron de esta gráfica, muestran que a pesar de que Ochoa (2009) permitía
variar el rango de la flecha entre -0.5 y 0.5, existen valores de flecha para los cuales esta pierde su
sentido físico. Antes de entrar en detalle a analizar la Gráfica 3-1, vale la pena decir que un diseño

-20

100

120

100

120

LGH

(m)

Distancia topológica al nodo (m)

Flecha 0

Flecha 0.15

Flecha 0.25

Flecha 0.35

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óptimo nunca va a corresponder a flechas entre  -0.5 y 0; esto debido a que este tipo de flechas
conlleva a un menor gasto de energía objetivo por tubería  e implicarían mayores costos. De esta
manera, el estudio se concentra en flechas entre 0 y 0.5. Dicho esto, y observando la Gráfica 3-1,
resulta claro que para flechas como la de 0.35, existe un punto a partir del cual, el sistema estaría
creando  energía.  Si  se  tiene  en  cuenta  que  para  producir  unas  pérdidas  objetivo  de  cero,  en  un
tramo de tubería, se requeriría de un diámetro infinito, no tendría ningún sentido físico hablar de
diseñar  un  sistema  de  tuberías  en  el  cual  se  requiere  la  creación  de  energía  a  partir  de  cierto
punto.

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, el siguiente paso consistió en determinar la flecha
máxima de diseño. Esta flecha corresponde a aquella en la cual, en el último tramo de tubería, la
curva de la LGH tenga una pendiente cero. Esto último quiere decir, que en esta curva se
presentarán pérdidas objetivo en toda la trayectoria, excepto en el último punto del sistema. Para
lograr esto, se llevó a cabo el siguiente procedimiento:

Partiendo de la ecuación planteada por Ochoa y Saldarriaga (2009):

Ecuación 2.32

donde

Se obtiene la siguiente expresión para determinar la LGH objetivo en cada uno de los nudos que
componen el sistema de tuberías.

Si esta ecuación se deriva con respecto a x, donde x corresponde a la distancia topológica de cada
nudo al punto de alimentación del sistema, se tiene:

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Si esta última ecuación, se iguala a cero y la variable x se remplaza por la longitud total (L

total

) del

sistema, se obtiene una expresión para determinar el valor de la flecha (F) que implica tener unas
pérdidas de energía iguales a cero en el último punto del sistema.

Como se puede observar en este resultado, la flecha máxima teórica, corresponde a una flecha de
0.25. Con la flecha de 0.25, ocurrirá que en el último punto del sistema se requieran unas pérdidas
objetivo de cero. Si se hace uso de flechas mayores a esta, se estaría pidiendo realizar un diseño
en el cual se cree energía en ciertos puntos. Ahora bien, este resultado de una flecha máxima de
0.25 corresponde al caso en que la última tubería del sistema es de longitud infinitesimal, cosa que
no sucede nunca. Por esta razón, resultaba de interés determinar cuál es la flecha máxima en los
casos en que la última tubería del sistema tenga una longitud considerable. Esta pregunta fue
respondida por Páez (2011) y su ecuación final para la flecha máxima es la que se muestra a
continuación:

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Ecuación 3.2

donde L

Tot

es la longitud total del sistema,

es la longitud de la última tubería y F es el es la

flecha máxima.

3.2. Casos de estudio metodología SOGH.

Para poner a prueba la metodología SOGH en el diseño de sistemas de riego localizado de alta
frecuencia, se tomaron tres casos de estudio, que han mostrado algunos resultados que se
consideran importantes para entender la hidráulica resultante del diseño con SOGH. Las redes de
análisis, son las que se muestran a continuación:

1. Red Asimétrica 1

El primer submódulo de análisis se presenta en la Figura 11. Este cuenta con una tubería múltiple,
que  alimenta  8  tuberías  laterales;  cada  una  de  ellas  con  25  nudos.  Cada  uno  de  los  nudos
corresponde a una planta a la que es necesario suministrarle agua. Para cada planta se requieren
dos  emisores,  pero  dado  que  en  el  programa  REDES  no  es  posible  colocar  dos  emisores  en  el
mismo punto, fue necesario modelar esto, multiplicando el coeficiente del emisor por 2.

Figura 11. Red Asimétrica 1. Modelo de REDES.

Como  todo  submódulo  de  riego,  éste  se  compone  de  un  punto  de  entrada  regulado  donde  la
presión  cambiará  de  acuerdo  con  las  especificaciones  del  problema.  Por  su  parte,  la  distancia
entre los laterales es de 10 metros y la distancia entre cada planta es de 5 metros. De esta manera
el submódulo se compone de 200 plantas (400 emisores) y 208 tuberías. La topografía de la red es
totalmente plana.

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2. Red Simétrica

El  segundo  submódulo  de  riego,  consta  del  doble  de  laterales  y  emisores  que  el  primer
submódulo. Como puede observarse en la Figura 12, esta red es similar a la asimétrica 1 solo que
el  múltiple  alimenta  laterales  por  ambos  lados.  Este  submódulo  cuenta  con  408  tuberías,  400
plantas (800 emisores) y un punto de entrada.

Figura 12. Red Simétrica. Modelo de REDES.

En este submódulo de análisis, la distancia entre laterales también es de 10 metros y la distancia
entre las plantas es de 5 metros. Al igual que el primer submódulo de análisis, la topografía en esa
red, también es plana.

3. Red Asimétrica 2

Esta última red presenta las mismas características de las anteriores (distancia entre laterales de
10 metros y distancia entre nudos de 5 metros), la principal diferencia es que la tubería múltiple,
entrega agua a un mayor número de nudos al lado izquierdo, que al lado derecho. El submódulo
consta de 312 tuberías y 304 plantas (608 emisores).

Figura 13. Red Asimétrica 2. Modelo de REDES.

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Para estas tres redes se realizaron diseños variando el exponente del emisor. Para esto, primero se
determinó la ecuación de costos de las tuberías disponibles, ofrecidas por PAVCO. Los diámetros
de tubos ofrecidos por PAVCO para sistemas de riego se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 5. Diámetros comerciales y su costo, ofrecidos por PAVCO.

Diámetro

Costo tramo de 6 m

(in)

(mm)

(COP)

0.5

12.7

9394

0.75

19.05

11637

25.4

16332

1.25

31.75

29418

1.5

38.1

38412

50.8

58902

2.5

63.5

95460

76.2

127452

101.6

217392

152.4

448128

A partir de esta lista de diámetros se pudo obtener la ecuación de costos mediante una regresión
como la que se muestra a continuación, donde la curva azul representa los valores de costo
correspondientes a los diámetros ofrecidos por PAVCO y la curva negra la línea de tendencia.

Figura 14. Curva Costo vs. Diámetro de tubería.

y = 16.871x

1.647

R² = 0.985

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

100

150

200

Costo

de metro

lineal

de tubería

(COP)

Diámetro de tubería (mm)

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Ecuación 3.3

La Ecuación 3.3, representa la curva final de costos. En esta ecuación se observa que cada una de
las tuberías, presentará un costo igual a la longitud de la tubería, multiplicado por 16.871 y el
diámetro que tenga el tubo elevado a un exponente de 1.647. Si se suman los costos de todas las
tuberías, el resultado final será el costo de la red.

3.2.1. Diseño de los submódulos de riego.

Una vez se tiene la curva de costos y se ha definido la topología de cada uno de los submódulos de
riego que se van a analizar, se procede a realizar los diseños. Como se mencionó anteriormente,
para cada una de las redes, se realizaron varios diseños. Para cada red se varió el exponente del
emisor buscando que el caudal medio requerido por emisor no variara. El caudal medio por emisor
deseado, fue un caudal de 120 litros por hora (l/h) y adicional a esto se utilizó una presión media
de 18 mca.

Figura 15. Curva exponente del emisor vs. Coeficiente, para un caudal de 120 l/h.

En la Figura 15 se observa el coeficiente del emisor que se debe utilizar si se varía el exponente del
emisor.  La  curva  mostrada  corresponde  a  la  relación  exponente-coeficiente  del  emisor,  que
mantiene un caudal de 120 l/h y a su vez corresponde a una presión media de 18 mca. Como se
mencionó  en  la  Sección  2.1.1.1  lo  deseable  es  que  el  exponente  del  emisor  corresponda  a
emisores  de  régimen  turbulento.  Un  emisor  de  exponente  1  corresponderá  a  un  emisor  de

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.5

1.5

2.5

(l/s/

m^x)

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régimen de flujo laminar. Teniendo en cuenta esto, los diseños para los tres submódulos de riego
se concentraron en los exponentes de 0.3, 0.5 y 1.0. Para cada uno de estos exponentes
corresponde el coeficiente del emisor mostrado en la siguiente tabla:

Tabla 6. Coeficiente del emisor para los exponentes de diseño.

Coeficiente

Exponente

l/s/m

l/h/m

0.014005448

50.420

0.3

0.007856742

28.284

0.5

0.001851852

6.667

El  programa  REDES  no  puede  modelar  dos  emisores  en  un  solo  punto;  por  esta  razón,  para
modelar dos emisores por nudo, es necesario multiplicar el coeficiente que se tiene por dos. Dicho
esto  y  teniendo  los  diferentes  emisores  que  se  van  a  utilizar,  se  puede  proceder  a  realizar  los
diseños.  Para  esto,  el  primer  paso  es  el  cálculo  de  la  tolerancia  de  presiones  y  tolerancia  de
caudales. Los datos de entrada para los tres submódulos son los que se presentan en la Tabla 7.

Tabla 7. Datos de entrada para el diseño de los submódulos de estudio.

Uniformidad del Riego

Coeficiente de Uniformidad (CU)

0.8

Coeficiente de Variación (CV)

0.04

Número de Emisores por Planta (n

)

2 Emisores

Temperatura

15 °C

Características del Emisor

Caudal Promedio del Emisor (Q

)

120 Litros/hora

Presión Media de Operación (H

)

18 mca.

A partir de estos datos, se calcularon la tolerancia de caudales y de presiones como se muestra a
continuación.

3.2.1.1.

Cálculo tolerancia de caudales y presiones, exponente del emisor de 0.3.

Determinación del caudal de mínima presión:

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Determinación de la presión mínima:

Determinación de la presión media:

Cálculo de la tolerancia de presiones:

3.2.1.2.

Cálculo tolerancia de caudales y presiones, exponente del emisor de 0.5.

Determinación del caudal de mínima presión:

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Determinación de la presión mínima:

Determinación de la presión media:

Cálculo de la tolerancia de presiones:

3.2.1.3.

Cálculo tolerancia de caudales y presiones, exponente del emisor de 1.0.

Determinación del caudal de mínima presión:

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Determinación de la presión mínima:

Determinación de la presión media:

Cálculo de la tolerancia de presiones:

A partir de los resultados de tolerancia de caudales y presiones para cada uno de los emisores, se
puede  observar  que  a  medida  que  aumenta  el  exponente  del  emisor,  el  diseño  se  vuelve  más
exigente. Esto quiere decir, que entre un diseño con exponente de 0.3 y un diseño con exponente
del  emisor  de  1.0,  el  diseño  de  1.0  presentará  un  mayor  costo  debido  a  que  la  tolerancia  de
presiones es menor. Al tenerse una tolerancia de presiones menor, el sistema cuenta con menor
energía  disponible  para  gastar  y  por  esta  razón,  los  diámetros  de  las  tuberías  tienen  que  ser
mayores con el objetivo de reducir la velocidad del flujo y reducir las pérdidas por fricción.

Al  tener  la  tolerancia  de  presiones,  presión  máxima  (correspondiente  a  la  presión  de  entrada  al
submódulo)  y  la  presión  mínima,  se  puede  proceder  a  hacer  uso  del  programa  REDES  y  la
metodología SOGH para realizar los diseños finales de los tres casos de estudio.

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3.2.2. Resultados diseños.

Una vez se ingresaron en el programa REDES cada uno de los submódulos de estudio, se procedió
a diseñar cada uno de ellos variando el exponente del emisor como se mencionó anteriormente.
Para  cada  grupo  submódulo-exponente  del  emisor,  se  realizaron  diferentes  diseños,  variando  la
flecha  de  diseño.  Las  flechas  que  se  probaron  correspondían  a  números  entre  0    (LGH
completamente recta) y 0.25; utilizando intervalos de 0.02 para probar un alto número de flechas
de diseño.

3.2.2.1.

Resultados Red Asimétrica 1.

Como se mostró en la Figura 11, este submódulo cuenta con 8 laterales, que se componen cada
uno  de  ellos  de  25  puntos  de  alimentación  a  plantas  (cada  punto  con  2  emisores  de  riego).
Habiendo  establecido  la  tolerancia  de  presiones  y  caudales,  se  realizaron  los  diseños  para
diámetros continuos y discretos, con criterio de aproximación al diámetro comercial más cercano.
Los resultados obtenidos se presentan en las siguientes gráficas.

Gráfica 3-2. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 1. Emisores con exponente 0.3.

En la Gráfica 3-2 se observa el costo del submódulo de riego, para diferentes flechas. Este caso
corresponde a la Red Asimétrica 1 usando emisores con exponente 0.3. Como se puede observar
en la gráfica, al realizar el diseño con diámetros continuos, existe un patrón. Es claro que la flecha
de mínimo costo es la flecha de 0.14 y que las flechas de máximo costo son las flechas 0 y de 0.25.
Por otro lado, se observa que al discretizar los diámetros este comportamiento Costo-Flecha se ve
totalmente afectado y no existe un patrón claro. Para analizar estos resultados y el

4050000

4100000

4150000

4200000

4250000

4300000

4350000

4400000

4450000

4500000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Diámetros continuos

Diámetros discretos

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comportamiento de la curva para diámetros continuos, se muestran a continuación los resultados
de las presiones en los nudos de la red. Los resultados que se mostrarán corresponden
únicamente a las flechas 0, 0.14 y 0.25. Para hacer esto de forma clara, se van a definir 8 rutas que
puede tomar el agua; cada una de ellas correspondiente a cada lateral (Ver Figura 16).

En la Figura 16 se puede ver que existen ocho rutas posibles que puede tomar el agua, cada una de
ellas correspondiente a cada lateral. Como puede observarse en la figura, la ruta 8 corresponde a
la ruta crítica. La ruta crítica se define como la ruta 8, debido a que es el camino más largo que
debe tomar el agua (distancia topológica máxima).

Figura 16. Rutas posibles para la Red Asimétrica 1.

Una vez se han definido las rutas, a continuación se presentan las presiones en cada  uno  de los
puntos  de  cada  ruta,  para  diámetros  discretos  y  continuos.  En  cada  gráfica  se  mantienen  las
siguientes convenciones:

Presión Diámetros Continuos

Presión Diámetros Discretos

Presión Mínima

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Gráfica 3-3. Presión en los nudos correspondientes a la ruta crítica (Ruta 8), Flecha 0.

En  la  Gráfica  3-3,  se  observa  la  presión  en  cada  uno  de  los  nudos  que  corresponden  a  la  ruta
crítica,  al  haber  diseñado  con  una  flecha  de  0.  La  gráfica  muestra  los  resultados  para  diámetros
continuos (correspondientes a la LGH objetivo), diámetros discretos y la presión mínima (calculada
en  la  tolerancia  de  presiones).  Como  puede  observarse  la  línea  correspondiente  a  la  presión  en
diámetros  continuos  es  una  línea  recta  perfecta.  Esta  línea  se  traza  desde  su  punto  inicial  en  la
abscisa  0  (correspondiente  a  la  entrada  al  submódulo),  donde  la  presión  es  la  presión  máxima;
hasta  llegar  al  punto  más  alejado  topológicamente,  donde  la  presión  deseada  es  la  presión
mínima.  La  pregunta  que  surge  es  cómo  se  ve  la  línea  de  presiones  para  las  otras  rutas.  A
continuación se presentan las líneas de presiones correspondientes a las otras rutas posibles:

Gráfica 3-4. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 7, Flecha 0.

100

150

200

250

Presión

(mca)

Distancia topológica (m)

100

150

200

Presión

(mc

Distancia topológica (m)

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Gráfica 3-5. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 6, Flecha 0.

Gráfica 3-6. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 5, Flecha 0.

Gráfica 3-7. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 4, Flecha 0.

100

150

200

Presión

(mca)

Distancia topológica (m)

100

150

200

Presión

(mca)

Distancia topológica (m)

100

150

200

Presión

(mca)

Distancia topológica (m)

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Gráfica 3-8. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 3, Flecha 0.

Gráfica 3-9. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 2, Flecha 0.

Gráfica 3-10. Presión en los nudos correspondientes a la Ruta 1, Flecha 0.

100

150

200

Presión

(mca)

Distancia topológica (m)

100

150

Presión

(mca)

Distancia topológica (m)

100

120

140

Presión

(mc

Distancia topológica (m)

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Las  gráficas  comprendidas  entre  la  Gráfica  3-4  y  la  Gráfica  3-10  corresponden  a  las  líneas  de
presión de cada una de las rutas. Sobre estas gráficas hay que anotar, que a medida que el lateral
está más cerca del punto de entrada al submódulo, la deformación de la LGH objetivo es mayor
cuando se hace el redondeo. Adicionalmente se observa que a partir de la ruta 7 hasta la ruta 1, la
línea de presiones en los nudos se compone de dos líneas rectas. La primera de ellas corresponde
a los nudos ubicados sobre la tubería múltiple y la segunda línea recta corresponde al lateral. Si se
observa,  por  ejemplo  la  ruta  6,  se  observará  que  en  una  distancia  topológica  de  45  metros  del
punto  de  entrada,  existe  un  salto  en  la  línea  de  presiones.  Este  salto  ocurre  porque  la  tubería
múltiple  presenta  unas  presiones  que  permiten  llevar  el  agua  hasta  el  punto  más  distante  del
lateral más lejano; de esta manera, las presión que tiene la tubería múltiple a una distancia de 45
metros  del  punto  de  entrada,  son  más  que  suficientes  para  poder  llevar  el  agua  al  punto  más
alejado del lateral 6 (en este caso). Si se analizan los diámetros continuos de diseño, en cada una
de  las  rutas  se  observa  el  siguiente  comportamiento  que  explicaría  lo  que  hace  la  metodología
SOGH. De esta manera, se grafica la distancia topológica al centro de cada una de las tuberías vs el
diámetro correspondiente. Para la tubería múltiple se obtiene el siguiente resultado:

Gráfica 3-11. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Tubería múltiple,

Flecha 0.

En la Gráfica 3-11, se observan una serie de líneas horizontales, correspondientes a los diámetros
discretos ofrecidos por PAVCO; adicional a esto, se observa que existe una relación cuadrática
entre el diámetro de cada una de las tuberías y la distancia topológica del centro del tubo al punto
de entrada al submódulo. Esta misma gráfica se puede hacer para cada uno de los laterales de
riego, tal como se observa a continuación:

100

120

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

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Gráfica 3-12. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 8

(crítica), Flecha 0.

Gráfica 3-13. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 7,

Flecha 0.

Gráfica 3-14. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 6,

Flecha 0.

100

150

200

250

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

100

150

200

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

140

190

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

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Gráfica 3-15. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 5,

Flecha 0.

Gráfica 3-16. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 4,

Flecha 0.

Gráfica 3-17. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 3,

Flecha 0.

130

180

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

120

170

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

120

170

Dia

metro

(mm)

distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

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Gráfica 3-18. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 2,

Flecha 0.

Gráfica 3-19. Curva Distancia topológica al centro de la tubería vs. Diámetro continúo de la tubería, Lateral ruta 1,

Flecha 0.

Como puede observarse en las gráficas comprendidas entre la Gráfica 3-12 y la Gráfica 3-19, todos
los  laterales  de  riego  también  presentan  una  relación  cuadrática  entre  la  distancia  topológica  al
centro de cada tubería y su diámetro. A partir de estas gráficas es posible explicar el salto que se
presenta  en  las  líneas  de  presión  presentadas  anteriormente  para  cada  una  de  las  rutas.  Si  se
observa, por ejemplo la Gráfica 3-19 se observará que la curva se comporta como una cuadrática,
excepto por el primer punto. Este primer punto corresponde al diámetro de la primera tubería que
comprende el lateral. Si se observan todas las  gráficas de diámetros de laterales, se  aprecia que
este  primer  punto  se  presenta  en  todas  ellas,  menos  en  la  correspondiente  al  lateral  de  la  ruta
crítica.

La razón para que se presente el comportamiento descrito en el párrafo anterior, es que, como ya
se mencionó, para todos los laterales excepto el lateral crítico, antes de que el agua entre al
lateral, ésta presenta una energía más que suficiente para llevar el agua al punto final del lateral.

110

160

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

100

150

Dia

metro

(mm)

Distancia topológica al centro de la tubería (m)

D=12.7 mm

D=19.05

D=25.4

D=31.75

D=38.1

D=50.8

D=63.5

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Tesis II

Lo  anterior  implica  que  la  metodología  SOGH  reduzca  drásticamente  el  diámetro  de  la  tubería
inicial del lateral buscando que le presión en el último punto sea la mínima. Por esta razón se tiene
que en diámetros continuos, la primera tubería de los laterales 1 al 7 tenga un diámetro inferior al
del segundo tubo. Si se observa la  Gráfica 3-12 (correspondiente a la ruta crítica), en  esta no se
presenta la reducción del diámetro del primero tubo. Esto se debe a que el lateral 8 es el crítico.

Este comportamiento presentado para la flecha 0 sucede en todas las flechas. Esto quiere decir,
que en todas las líneas de presión para todas las flechas que se probaron, se presenta una relación
cuadrática entre los  diámetros de las  tuberías y la  distancia  topológica al centro de las  tuberías.
Adicionalmente, en todas las flechas ocurre el salto que se mostró para las diferentes rutas entre
la  1  y  la  7.  También  vale  la  pena  decir  que  este  comportamiento  se  mantiene  inclusive  para
diferentes exponentes de emisor.

Sobre lo anterior se puede decir que sí existe una curva cuadrática que relaciona el diámetro de las
tuberías  con  su  distancia  topológica,  y  adicionalmente  se  tienen  unas  ecuaciones  lineales  que
definen los diámetros comerciales suministrados por PAVCO, es posible que exista una manera de
hacer  uso  de  estos  resultados  para  realizar  un  proceso  de  redondeo  que  mantenga  un
comportamiento  como  el  que  se  presenta  para  la  curva  Costo-Flecha  mostrado  para  diámetros
continuos.

Ahora bien, una vez se inicia el análisis de cómo se comportan las líneas de presión en lo nudos y
la  relación  de  los  diámetros  por  tuberías  en  cada  una  de  las  rutas,  vale  la  pena  observar  qué
sucede  con el coeficiente  de  uniformidad  en  cada  uno de los  diseños y  qué sucede  con la curva
Costo-Flecha para los diferentes exponentes de emisor y para los otros casos de estudio.

En  este  punto  vale  la  pena  retomar  la  Gráfica  3-2,  y  recordar  que  para  un  exponente  de  los
emisores  de  0.3  en  la  Red  Asimétrica  1,  se  tenía  que  la  flecha  de  diseño  de  mínimo  costo  (para
diámetros continuos) era la flecha de 0.14. Tal como se observará en las siguientes gráficas, esta
flecha se mantiene para el caso de emisores con exponente 0.5 y 1.0.

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Tesis II

Gráfica 3-20. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 1. Emisores con exponente 0.5.

Gráfica 3-21. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 1. Emisores con exponente 1.0.

Como se observa en la Gráfica 3-20 y la Gráfica 3-21, la flecha de mínimo costo correspondiente
para éste submódulo, independientemente del exponente de los emisores, es una flecha de 0.14.
Este resultado aunque no resulta claro si permite plantear la hipótesis de que la flecha de mínimo
costo corresponderá a una flecha intermedia. Para entender, el por qué de esta hipótesis, se debe
observar la siguiente gráfica:

4600000

4650000

4700000

4750000

4800000

4850000

4900000

4950000

5000000

5050000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

(COP)

Flecha

Diámetros continuos

Diámetros discretos

5600000

5800000

6000000

6200000

6400000

6600000

6800000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

del

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Diámetros continuos

Diámetros discretos

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Tesis II

Gráfica 3-22. Línea de presiones para diferentes flechas, Flecha 0, 0.14, 0.25.

En  la  gráfica  anterior  se  puede  ver  que  la  pendiente  de  la  línea  de  presiones  no  es  igual  para
ninguna  de  las  flechas.  Se  puede  observar,  que  la  flecha  0  mantiene  una  pendiente  constante  y
que las líneas de presión de las flechas 0.14 y 0.25 tienen una pendiente variable a lo largo de la
curva.  De  esta  manera,  la  pregunta  que  surge  es  cómo  se  comportan  las  pendientes  de  fricción
objetivo. Estas son las que determinarán el diámetro final de las tuberías.

Si  se  tiene  una  alta  pendiente  en  la  línea  de  presiones,  esto  implicará  que  el  sistema  está  en
capacidad  de  gastar  mayor  energía  y  por  lo  tanto  puede  hacer  uso  de  diámetros  menores.
Teniendo  en  cuenta  lo  anterior,  se  realizó  el  siguiente  procedimiento  para  observar  cómo  se
comportan las pendientes de las líneas de presión a lo largo de la ruta crítica, en el que se hizo uso
de  la  derivada  de  la  ecuación  de  la  LGH  objetivo  para  cada  una  de  las  flechas  que  se  están
analizando (Flechas 0, 0.14 y 0.25).

Para el caso de la flecha 0 se parte de:

100

150

200

250

Presión

(mca)

Distancia topológica (m)

Flecha 0

Flecha 0.14

Flecha 0.25

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Obteniendo, que para el caso de la Red Asimétrica 1 con emisores de exponente 0.3, la pendiente
de la línea de presiones es de 0.098395. Esto quiere decir que para la flecha de 0, se está teniendo
como objetivo, una pérdida de energía de 9.83 centímetros por cada metro que se recorre en la
ruta crítica. Este mismo procedimiento se puede realizar para las flechas de 0.14 y 0.25, tal como
se muestra a continuación. Para la flecha de 0.14 se tiene:

Y para la flecha de 0.25:

Como se puede observar en los anteriores procedimientos, y como es de esperarse, la pendiente
de la línea de presiones (igual a la pendiente de la LGH objetivo para el caso de topografías

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planas), corresponde a una ecuación lineal para los casos de las flechas de 0.14 y 0.25. Si se realiza
la gráfica de cada una de las ecuaciones obtenidas para estas tres flechas de análisis, se observan
los siguientes resultados:

Gráfica 3-23. Pendiente de fricción vs distancia topológica, Red Asimétrica 1, exponente del emisor 0.3.

Los resultados presentados en la Gráfica 3-23 resultan claves para entender el comportamiento de
la  curva  Costo-Flecha.  La  hipótesis  planteada  anteriormente  hacía  referencia  a  que  las  redes  de
mínimo  costo  corresponderán  a  las  flechas  intermedias.  Lo  que  se  puede  deducir  de  la  Gráfica
3-23,  es  que  a  medida  que  la  flecha  de  diseño  crece,  los  diámetros  de  las  tuberías  iniciales  irán
reduciéndose; contrario a esto, las tuberías finales irán aumentando su diámetro. Si se comparan
las  tres  pendientes  de  fricción  de  las  tres  flechas,  se  observa  que  entre  la  abscisa  0  y  la  abscisa
100, la flecha de 0.25 tiene una mayor pendiente de fricción y por lo tanto conllevará a diámetros
menores que las flechas 0 y 0.14. Por el contrario, entre la abscisa 100 y la abscisa 200,  la flecha
de 0.25 pasa a ser la que tiene una menor pendiente de fricción y por lo tanto será la que lleve a
tener mayores diámetros en las  tuberías ubicadas  entre estas  dos últimas abscisas. En la  gráfica
puede verse que la flecha intermedia (la de 0.14) siempre se encuentra en un punto medio; esto
quiere  decir  que,  a  diferencia  de  las  flechas  de  0  y  0.25,  esta  flecha  no  representa  los  mayores
costos en ninguno de los tramos de la ruta crítica. De esta manera, queda demostrado que aunque
una flecha extrema como la de 0 o la 0.25 conlleven a tener diámetros menores en ciertos puntos
del sistema, solo una flecha intermedia es capaz de llevar a tener los costos globales del sistema
en un mínimo. Es posible que la flecha intermedia no sea exactamente el promedio entre la flecha
0 y 0.25, pero si es claro que se encuentra en un rango intermedio entre estos dos valores.

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

100

150

200

250

Pend

iente

de fri

cción

Distancia topológica (m)

Flecha 0.25

Flecha 0.14

Flecha 0

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Por último y para concluir el análisis y  obtención de resultados de la Red Asimétrica 1, se puede
decir que todos los diseños condujeron a un coeficiente de uniformidad superior al establecido por
el  diseño  agronómico.  En  las  siguientes  figuras  se  observan  los  resultados  para  el  coeficiente de
uniformidad final de la Red Asimétrica 1, variando el exponente del emisor. En las figuras se puede
observar  el  coeficiente  de  uniformidad  resultante  después  de  realizar  los  diseños  variando  las
flechas y usando diámetros continuos y discretos.

Gráfica 3-24. Flecha vs. Coeficiente de uniformidad resultante. Red Asimétrica 1, exponente del emisor 0.3.

Gráfica 3-25. Flecha vs. Coeficiente de uniformidad resultante. Red Asimétrica 1, exponente del emisor 0.5.

0.8

0.81

0.82

0.83

0.84

0.85

0.86

0.87

0.88

0.89

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Coeficiente

de Uniformidad

Fin

(CU)

Flecha

Diámetros Continuos

Diámetros Discretos

0.79

0.8

0.81

0.82

0.83

0.84

0.85

0.86

0.87

0.88

0.89

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Coe

fic

e Un

Fin

(CU

)

Flecha

Diámetros Continuos

Diámetros Discretos

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Gráfica 3-26. Flecha vs. Coeficiente de uniformidad resultante. Red Asimétrica 1, exponente del emisor 1.0.

Respecto a los resultados correspondientes al coeficiente de uniformidad final, se puede observar
que en diámetros continuos, todos los diseños para los diferentes exponentes de emisor, cumplen
con  el  coeficiente  de  uniformidad  del  diseño  agronómico.  Por  otro  lado,  de  los  84  diseños
presentados  en  las  gráficas  de  coeficiente  de  uniformidad,  solo  5  de  ellos  no  cumplen  con  éste.
Corresponden a los diseños con emisores de exponente 1.0.

3.2.2.2.

Resultados Red Simétrica .

Para la Red Simétrica, se realizaron los mismos análisis que se hicieron para la Red Asimétrica 1.
Los resultados encontrados fueron básicamente los mismos. Esto quiere decir:

Existe una relación cuadrática entre el diámetro de diseño continuo de cada una de las
tuberías y su distancia topológica al punto de entrada.

La primera tubería de cada uno de los laterales, a excepción del lateral crítico, presenta un
diámetro inferior al del segundo tubo, con el objeto de reducir la energía disponible en el
lateral y llegar al último nudo con la presión mínima.

La discretización de diámetros, al diámetro comercial más cercano, no presenta ningún
tipo de patrón y adicionalmente, deteriora completamente la línea de gradiente hidráulico
objetivo del diseño.

Todos los diseños realizados con diámetros continuos cumplen con el coeficiente de
uniformidad establecido por el diseño agronómico.

Por otro lado, respecto a la curva Costo-Flecha, aunque se mantuvo una forma de la curva muy
parecida, la flecha que conlleva el mínimo costo cambió. Los resultados de las curvas Costo-Flecha

0.78

0.79

0.8

0.81

0.82

0.83

0.84

0.85

0.86

0.87

0.88

0.89

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Coeficiente

de Uniformidad

Fin

(CU)

Flecha

Diámetros Continuos

Diámetros Discretos

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para la red simétrica y los tres tipos de emisores (con exponente 0.3, 0.5 y 1.0) se muestran a
continuación:

Gráfica 3-27. Costos vs. Flecha, Red Simétrica. Emisores con exponente 0.3.

Gráfica 3-28. Costos vs. Flecha, Red Simétrica. Emisores con exponente 0.5.

7600000

7800000

8000000

8200000

8400000

8600000

8800000

9000000

9200000

9400000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Diámetros continuos

Diámetros Discretos

8800000

9000000

9200000

9400000

9600000

9800000

10000000

10200000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

del

ódu

(COP)

Flecha

Diámetros continuos

Diámetros Discretos

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Gráfica 3-29. Costos vs. Flecha, Red Simétrica. Emisores con exponente 1.0.

Como es posible observar en las gráficas anteriores, para la Red Simétrica se cumple que la flecha
de mínimo costo corresponde a una flecha de 0.12. También se observa que, al igual que sucedió
con  la  Red  Asimétrica  1,  la  discretización  de  diámetros  afecta  completamente  la  curva  Costo-
Flecha  respecto  a  la  que  se  tiene  inicialmente  para  diámetros  continuos.  Y  adicional  a  esto,  y
aunque ya se ha explicado la razón, entre mayor es el exponente de los emisores en el submódulo,
mayor  es  el  costo  del  sistema;  esto  se  debe en  principio  a  que  para  los  mayores  exponentes,  la
tolerancia  de  presiones  es  menor  y  por  lo  tanto  se  tiene  menor  energía  disponible  para  ser
gastada.

3.2.2.3.

Resultados Red Asimétrica 2.

Finalmente,  y  para  concluir  con  la  parte  de  resultados  que  deja  una  serie  de  preguntas  abiertas
para la segunda fase de este trabajo, se presentan los resultados obtenidos para la Red Asimétrica
2.  A  continuación  se  pueden  apreciar  los  resultados  para  las  curvas  Costo-Flecha  de  este
submódulo usando los tres tipos de emisores analizados para los otros casos.

11000000

11200000

11400000

11600000

11800000

12000000

12200000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

del

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Diámetros continuos

Diámetros Discretos

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Gráfica 3-30. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 2. Emisores con exponente 0.3

Gráfica 3-31. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 2. Emisores con exponente 0.5.

4800000

4900000

5000000

5100000

5200000

5300000

5400000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

del

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Diámetros Continuos

Diámetros discretos

5400000

5500000

5600000

5700000

5800000

5900000

6000000

6100000

6200000

6300000

6400000

6500000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

del

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Diámetros Continuos

Diámetros Discretos

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Gráfica 3-32. Costos vs. Flecha, Red Asimétrica 2. Emisores con exponente 1.0.

En los resultados mostrados en las gráficas anteriores se observa que para esta red, la flecha de
mínimo costo no se encuentra dentro de las flechas intermedias. La flecha de mínimo costo para
esta red es la flecha de 0.08. De esta manera se  aprecia, que la topología de la red tiene alguna
implicación  sobre  la  flecha  de  mínimo  costo.  Esto  se  puede  afirmar  debido  a  que  las  tres  redes
analizadas presentan exactamente las mismas características topográficas (redes planas), mismos
exponentes de emisor, mismo coeficiente de uniformidad (CU) y misma tolerancia de presiones y
caudales.

6000000

6200000

6400000

6600000

6800000

7000000

7200000

7400000

7600000

7800000

8000000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Costo

del

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Diámetros Continuos

Diámetros Discretos

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3.3. Análisis de la metodología propuesta por Bermúdez.

Para llevar a cabo un análisis de la metodología propuesta por Bermúdez (2011), se decidió hacer
una prueba para la Red Asimétrica 1 y el emisor del exponente de 0.3. El procedimiento para llevar
a cabo esto se presenta a continuación.

3.3.1. Red Asimétrica 1, con emisores de exponente 0.3.

Teniendo en cuenta el procedimiento propuesto por Bermúdez, se realizó el siguiente proceso con
el objetivo de determinar la presión de entrada óptima al submódulo de riego:

1. Determinación de los coeficientes



y de la ecuación cuadrática ajustada.

Para determinar los parámetros α, β y γ correspondientes a una presión media (Hm) de 18 mca y
un exponente del emisor de 0.3, se hacen uso de las ecuaciones planteadas por Bermúdez y
mediante interpolación lineal, se obtienen estos parámetros. Según se explica a continuación:

Para determinar α se tiene que:

Para determinar β:

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Para determinar γ:

2. Determinación de coeficiente de variación total

Para la determinación de este coeficiente se hace uso de la Ecuación 2.36.

Ecuación 2.36

donde

corresponde al coeficiente de variación debido al Coeficiente de Uniformidad

impuesto por el diseño agronómico (CU

), que calcula se de la siguiente forma:

corresponde al coeficiente de variación debido al Coeficiente de Variación de Fabricación

del emisor. Se calcula de la siguiente forma:

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Tesis II

De esta forma, se obtiene que el coeficiente de variación total es:

3. Determinación de la curva CU

vs. PES.

Para la determinación de la curva CU

vs. PES se debe tener como dato de entrada la presión

mínima de operación del submódulo (h

), determinada mediante la tolerancia de caudales y

presiones (Numeral 3.2.1.1). Con estos resultados, se obtiene la Ecuación 2.35 y mediante la cual

se obtiene la Gráfica 3-33.

Ecuación 2.35

Gráfica 3-33. Curva PES vs. Coeficiente de uniformidad resultante, Red Asimétrica 1, exponente 0.3.

De acuerdo con los resultados obtenidos por Bermúdez, en este caso se debe escoger una presión
de entrada al submódulo igual a 33.74 mca. Esta presión corresponde a un valor del parámetro M
de 2.88. Como se puede observar este valor de M es superior al que se utilizó en la Sección 3.2.1.1
en la página 50 de este documento, donde el valor utilizado es de 2.5. Antes de mostrar los

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

resultante

PES (mca)

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Tesis II

resultados obtenidos, es claro que al haber aumentado la presión de entrada y haber mantenido la
presión mínima, se tendrá mayor energía disponible para gastar y por lo tanto el diseño obtenido,
de acuerdo con la metodología de Bermúdez, será más económico. Para hacer un análisis más
detallado es necesario analizar cómo se comporta la curva Costo-Flecha y el coeficiente de
uniformidad resultantes. Estos resultados se muestran en las siguientes dos gráficas.

Gráfica 3-34. Curva Costo-Flecha, Red Asimétrica 1, exponente del emisor 0.3. Metodología de Bermúdez.

Gráfica 3-35. Coeficiente de Uniformidad resultante vs. Flecha, Red Asimétrica 1, exponente del emisor 0.3.

Metodología de Bermúdez.

En las gráficas anteriores se puede observar que los diseños son más económicos para este caso
en que se utilizó una mayor presión de entrada, dada una mayor tolerancia de presiones. Por otro
lado se puede ver que el diseño con la flecha de 0 lleva a un coeficiente de uniformidad igual al

3880000

3900000

3920000

3940000

3960000

3980000

4000000

4020000

4040000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

cos

del

ódu

(COP)

Flecha

0.79

0.8

0.81

0.82

0.83

0.84

0.85

0.86

0.87

0.88

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Coeficiente

de Uniformidad

Resu

lta

nte

Flecha

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deseado por el diseño agronómico, pero este no es el diseño más económico de todas las flechas
posibles. La flecha más económica  es la flecha de 0.16  y este diseño representa un coeficiente de
uniformidad muy superior (de  0.84) sobre el deseado por el diseño agronómico. De esta manera,
se puede decir que hacer  uso de la metodología de  Bermúdez no resulta  muy  adecuado para la
selección de un diseño óptimo, ya que ésta determina una presión de entrada al submódulo que,
claramente,  entre  mayor  sea  llevará  a  menores  costos  del  sistema,  pero  no  es  determinante  ya
que  el  diseño  de  mínimo  costo  estará  determinado  por  la  línea  de  gradiente  hidráulico  objetivo
que  se  trace.  Lo  que  si  permite  establecer  esta  metodología,  y  que  resulta  importante,  es  que
ayuda  al  diseñador  a  determinar  una  presión  máxima  de  entrada  al  submódulo  que  logre
mantener  el  coeficiente  de  uniformidad  impuesto  por  el  diseño  agronómico.  Esto  se  puede
evidenciar  en  la  Gráfica  3-33,  donde  se  observa  que  para  presiones  de  entrada  muy  altas,  el
coeficiente de uniformidad resultante, no cumplirá con el establecido por el diseño agronómico.
Esta  metodología   propuesta por Bermúdez será la  que se utilizará para determinar la PES  en la
metodología  que  se  propone  en  este  trabajo  para  el  diseño  de  submódulos  de  riego.  En  la
siguiente sección se presenta la metodología planteada que hace uso de programación lineal.

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3.4. Diseño de submódulos de riego usando programación lineal.

En esta sección se hace una descripción detallada de la metodología propuesta para el diseño de
submódulos  de  sistemas  RLAF.  La  primera  parte  de  esta  sección  presenta  la  formulación
matemática del problema para un sistema de tuberías que tiene demanda constante en sus nudos
de consumo. Una vez se haya establecido la formulación matemática se procede a explicar y hacer
un  análisis  de  las  variaciones  necesarias  para  su  aplicación  en  submódulos  de  riego,  donde  la
demanda  en  los  nudos  es  función  de  la  presión.  Como  paso  siguiente  se  presenta  el  algoritmo
propuesto  para  obtener  un  diseño  óptimo  de  submódulos  de  riego;  y  finalmente  mediante
diferentes casos de estudio, se presentará una comparación entre los resultados obtenidos con la
metodología propuesta y la metodología SOGH.

3.4.1. Formulación matemática del problema de diseño de redes abiertas.

Antes  de  presentar  la  formulación  matemática,  es  importante  mencionar  que  la  formulación
propuesta únicamente funciona para sistemas de tuberías abiertas con demanda constante en sus
nudos  de  consumo.  La  razón  por  la  cual  la  formulación  únicamente  funciona  para  este  tipo  de
sistemas  es  que  existen  algunas  variables  que  se  pueden  parametrizar  y  de  esta  manera  el
problema se puede linealizar. La parametrización de algunas variables se logra porque en una red
abierta  con  demanda  constante  en  sus  nudos,  se  conoce  la  trayectoria  del  fluido  y  los  caudales
que pasan por cada una de las tuberías.
Para poder formular el problema lineal se tiene en cuenta que el diseño de un sistema de tuberías
ramificadas  consiste  en  determinar  los  diámetros  de  cada  una  de  las  tuberías  que  componen  la
red, de manera que no se violen presiones mínimas en los nudos de  consumo del sistema. Para
esto, el diseñador cuenta con un conjunto   de diámetros comerciales disponibles que pueden ser
asignados  a  cada  tubería.  Existen  diferentes  diseños  que  pueden  cumplir  con  la  restricción  de
presiones mínimas, de manera que el diseñador también debe buscar que el costo de su diseño
sea mínimo.
La  presión  en  la  entrada  de  la  red  es  un  dato  conocido  por  el  diseñador  y  cada  diámetro  tiene
asociadas  unas  pérdidas  de  energía,  que  implican  que  la  altura  piezométrica  en  el  nudo  al  que
entrega el agua es menor a la altura piezométrica del nudo del que sale el agua. Dichas pérdidas
de  presión  son  conocidas  para  cada  combinación  de  Tubo-Diámetro.  Teniendo  en  cuenta  lo
anterior,  a  continuación  se  presenta  un  ejemplo  simple  que  permite  explicar  la  formulación
matemática utilizada.

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3.4.1.1.

Ejemplo.

En la siguiente figura se muestra una red compuesta por 4 tramos (T_1, T_2, T_3 y T_4) y 5 nudos
(4 nudos de consumo y el nudo correspondiente a la fuente de agua).

Figura 17. Red abierta de ejemplo para establecer la formulación matemática del problema de optimización lineal.

Suponiendo  que  se  tienen 3  diámetros  comerciales  disponibles  que  pertenecen  al  conjunto  D,  y
teniendo  en  cuenta  que  se  conoce  la  rugosidad  absoluta  de  cada  uno  de  los  materiales  que  se
utilizarán  en  cada  tubería  y  que  por  ser  una  red  abierta  se  conocen  los  caudales,  se  pueden
determinar  las  pérdidas  totales  para  cada  combinación  Tramo-Diámetro,  haciendo  uso  de  la
ecuación  de  Darcy-Weisbach  en  conjunto  con  la  ecuación  de  Colebrook-White,  las  cuales  son
función del caudal en la tubería, la rugosidad absoluta, la longitud de la tubería (que se conoce a
priori) y el diámetro de la tubería.

En la Figura 18 se presenta el caso en que en cada uno de los tramos del sistema se utiliza una
tubería de diámetro d

. En la figura se observa que la presión a la entrada es de 100 metros de

columna de agua, y que las pérdidas correspondientes a la combinación (T_1, d

) son de 20 mca,

para la combinación (T_2, d

) son de 10 mca, en la combinación (T_3, d

) son de 5 mca y para la

combinación (T_4, d

) son de 10 mca. Es importante mencionar que para cada tramo se conoce la

longitud, rugosidad y coeficiente de pérdidas menores. En la Figura 19 se presentan las pérdidas
correspondientes para las combinaciones (T_i,d

) y en la Figura 20 para las combinaciones (T_i,d

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Figura 18. Pérdidas de altura piezométrica que se presentarían en la red ejemplo si se utiliza el Diámetro d

en cada

tubería, unidades de presión en metros de columna de agua.

Figura 19. Pérdidas de altura piezométrica que se presentarían en la red ejemplo si se utiliza el Diámetro d

en cada

tubería, unidades de presión en metros de columna de agua.

Figura 20. Pérdidas de altura piezométrica que se presentarían en la red ejemplo si se utiliza el Diámetro d

en cada

tubería, unidades de presión en metros de columna de agua.

Los resultados de las figuras anteriores se pueden resumir en la siguiente tabla.

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Tabla 8. Matriz (dp) de pérdidas totales para las diferentes combinaciones Tramo-Diámetro, Red Conceptual.

Pérdidas

Totales (mca)

Diámetro

Tramo

N_1,N_2

N_2,N_3

N_2,N_4

N_2,N_5

Una vez que se obtiene la matriz de pérdidas totales, se desea encontrar el diseño (combinación
de diámetros en todo el sistema) que conlleve al mínimo costo y cumpla con que la presión en
todos los nudos sea mayor a 50 mca. De esta manera el siguiente paso consiste en determinar los
costos asociados con cada combinación Tramo-Diámetro. Para esto se tiene en cuenta que la
función para calcular el costo de una tubería de determinado diámetro es la siguiente

Ecuación 3.4

donde C corresponde al costo de la tubería, L a la longitud del tramo donde se colocará la tubería,
D es el diámetro que se utilizará y K y x son el coeficiente y el exponente asociado con la curva de
costos. Haciendo uso de la Ecuación 3.4 y conociendo la longitud de cada tramo, el coeficiente y el
exponente de la ecuación, se pueden determinar los costos asociados con cada combinación
Tramo-Diámetro. En la Tabla 9 se presenta la matriz de costos asociada con cada combinación
Tramo-Diámetro.

Tabla 9. Matriz (c) de Costos para las diferentes combinaciones Tramo-Diámetro, Red Conceptual.

Costos (USD)

Tramo

N_1,N_2

N_2,N_3

N_2,N_4

N_2,N_5

Diámetro d

360

320

300

332

Diámetro d

270

250

220

255

Diámetro d

200

175

150

180

Teniendo la matriz de costo y la matriz de pérdidas totales, el siguiente paso consiste en definir
una matriz de conectividad que permita conocer qué nudos están conectados con que nudos. La
matriz de conectividad para este ejemplo conceptual quedaría de la siguiente manera:

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Tabla 10. Matriz (w) de conectividad entre nudos, Red Conceptual.

N_1

N_2

N_3

N_2

N_4

N_2

N_5

En la Tabla 10 se puede observar que la matriz de conectividad entre nudos contiene 3 columnas.
En la primera se ubican los nudos aguas arriba de cada tramo existente, en la segunda columna se
ubican los nudos aguas abajo de cada tramo y en la tercera se asigna el valor de 1 a los tramos
existentes.

Una vez que se tiene la matriz de conectividad, y conociendo la presión mínima deseada (50 mca)
en cada uno de los nudos del sistema, se puede establecer la LGH mínima en cada nudo. Para este
ejemplo y suponiendo una elevación en los nudos como la que se muestra en la siguiente tabla
(Tabla 11) se puede obtener la matriz de LGH mínimas (ver Tabla 12).

Tabla 11. Elevación de los nudos, Red Conceptual.

Nudo

Elevación (m)

N_1

N_2

N_3

N_4

N_5

Tabla 12. Matriz (LGH

min

) de LGH mínimas en los nudos, Red Conceptual.

Nudo

LGH

mínima

(m)

N_1

N_2

N_3

N_4

N_5

En la Tabla 12 se observa que a diferencia de la presión mínima deseada, la LGH mínima es
diferente para cada uno de los nudos; lo anterior se debe a que cada nudo tiene una elevación

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diferente. De esta manera se obtienen para este problema las 4 matrices que se necesitarán para
implementar el modelo en Xpress, estas matrices son:

Matriz de Costos (c)

Matriz de pérdidas totales (dp)

Matriz de Conectividad (w)

Matriz de LGH mínimas (LGH

min

)

Además de tener las matrices es necesario estructurar su formulación matemática. Que teniendo
en cuenta el ejemplo conceptual, se plantea a continuación

3.4.1.1.1.

Formulación matemática del modelo de optimización para el diseño de
redes abiertas.

El  primer  paso  dentro  de  una  formulación  matemática  de  un  modelo  de  optimización  lineal
consiste  en  definir  los  conjuntos  que  componen  el  problema.  Una  vez  se  han  definido  éstos,  se
definen  las  variables  de  decisión,  las  restricciones  del  problema  y  la  función  objetivo.  De  esta
manera, para el problema de diseño de una red abierta la formulación matemática quedaría:

Conjuntos

N: Conjunto que contiene todos los nudos del submódulo.

D: Conjunto que contiene todos los diámetros comerciales disponibles.

Variables de decisión

ijd

Variable binaria

Como puede observarse la variable de decisión X

ijd

solo puede tomar valores de 1 o 0. Y tendrá un

valor igual a 1 si el modelo asigna para el tramo comprendido entre el nudo i y el nudo j un
diámetro igual a d. Adicional a la variable de decisión binaría X

ijd

es necesario definir una variable

auxiliar que contenga la altura piezométrica en cada nudo del sistema.

variable de decisión auxiliar que define la altura piezométrica en el nudo i.

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Restricciones del problema

Restricción de LGH

min

: Restricción que se asegura que para todos los nudos se tenga una LGH

superior a la LGH mínima correspondiente al nudo.

Restricción de LGH en nudos aguas abajo: Restricción que se asegura que la LGH en el nudo j   N
aguas abajo de un nudo i   N sea igual a la LGH aguas arriba menos las pérdidas (dp) ocasionadas
en  el  tramo  de  tubería  que  comprenden  el  nudo  i   N  y  el  nudo  j   N  siempre  que  exista  una
conexión entre el nudo i y el nudo j.

donde LGHj corresponde a la línea de gradiente hidráulico o altura piezométrica en el nudo j N
aguas abajo del nudo i N. Por otro lado dp

ijd

corresponderá a las pérdidas totales de altura

piezométrica que se presentarán en el tramo entre los nudos i y j si se utiliza una tubería de
diámetro d. Por su parte X

ijd

corresponde a la variable de decisión. Es importante anotar que los

valores de dp

ijd

corresponden a las pérdidas totales de altura piezométrica obtenidas como

parámetros del problema, en la matriz de pérdidas totales.

Restricción de único diámetro en cada tramo: Esta restricción se encarga de asegurar que en cada
tramo se asigne un solo diámetro.

Función Objetivo

donde C

ijd

es el Costo de utilizar un diámetro d D en el tramo comprendido entre el nudo i N y

el nudo j N. X

ijd

corresponde a la variable de decisión. El objetivo es minimizar esta función

objetivo. Las restricciones presentadas anteriormente se encargarán de cumplir con los requisitos

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hidráulicos de presión mínima. Es importante notar que los valores de C

ijd

corresponden a

parámetros de la función objetivo que se obtienen de la matriz de costos.

3.4.2. Aplicación de programación lineal al diseño de submódulos de riego.

En  la  sección  anterior  se  construyó  la  formulación  matemática  para  realizar  el  diseño  de  redes
abiertas,  utilizando  programación  lineal.  Para  realizar  la  formulación  se  hizo  uso  de  un  ejemplo
conceptual  de  una  red  abierta  con  demanda  constante  en  sus  nudos  de  consumo.  Esta
metodología permite obtener el diseño óptimo global en el diseño de redes abiertas con nudos de
demanda constante, pero a la hora de utilizarlo para realizar diseños de submódulos de riego se
encontraron  algunos  problemas  que  fue  necesario  solucionar  para  poder  obtener  un  diseño
óptimo. Estos problemas son dos:

Uso  de  Emisores:  Como  se  ha  mencionado  durante  este  trabajo,  los  sistemas  de  riego
utilizan  emisores  en  sus  nudos  de  demanda.  Lo  anterior  implica  que  el  caudal  que  se
consume en cada planta depende de la presión que se tenga en ese punto. Teniendo en
cuenta  lo  anterior,  se  puede  afirmar  que  el  caudal  que  se  emitirá  a  cada  planta  no  se
conocerá  a  priori.  Por  esta  razón  para  realizar  el  diseño  de  un  submódulo  de  riego  la
primera  idea  que  se  viene  a  la  cabeza  es  definir  una  superficie  de  gradiente  hidráulico,
para  de  esta  manera  conocer  una  presión  en  cada  emisor  y  finalmente  determinar  el
caudal  correspondiente  a  la  presión  establecida  en  el  nudo.  De  esta  manera,  se  puede
suponer que se tiene el siguiente submódulo de riego que se muestra en la Figura 21.

Figura 21. Submódulo Asimétrico 2.

El submódulo mostrado en la Figura 21 se desea diseñar usando programación lineal.
Antes de realiza el diseño es necesario establecer la presión de entrada al submódulo (PES)

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y la presión mínima. Lo anterior se obtiene haciendo uso de la metodología de Bermúdez
(2011) y en las siguientes tablas se presentan los datos de entrada del problema y los
resultados que arroja la metodología propuesta en el 2011.

Tabla 13. Datos de entrada para el diseño del Submódulo Asimétrico 2.

DATOS AGRONÓMICOS

Coeficiente

uniformidad

(CU)

Número de

emisores por

planta (n

)

Presión

media de

operación

)

Caudal

medio por

emisor (Q

)

()

(mca)

(l/h)

0.8

18.00

120

Coeficiente de variación del emisor (CV)

0.04

Exponente del emisor

1.0

Coeficiente del emisor (l/s)/(m

)

0.00185185

En  la  Tabla  13  se  observa  que  el  coeficiente  de  uniformidad  (CU)  deseado  por  el  diseño
agronómico  es de 0.8, el  número  de emisores por planta será de 2, el caudal medio  por
emisor  es  de  120  litros  por  hora,  la  presión  media  de  operación  es  de  18  mca,  el
exponente  del  emisor  es  1.0,  el  coeficiente  de  los  emisores  es  0.00185185  (l/s/m

) y el

coeficiente  de  variación  (CV)  es  de  0.04.  A  partir  de  estos  valores  y  haciendo  uso  de  la
metodología  propuesta  por  Bermúdez  se  obtienen  los  siguientes  resultados  (Ver  Gráfica
3-36):

Gráfica 3-36. Curva Coeficiente de Uniformidad vs. PES, Submódulo Asimétrico 2.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

efic

nif

ida

()

Presión de Entrada al Submódulo (mca)

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A partir de la Gráfica 3-36 y sabiendo que el CU deseado es de 0.8, se obtiene que la PES es
21.71 mca.

Tabla 14. Resultados de presión mínima y PES, para ejemplo de Submódulo Asimétrico 2.

Presión mínima en el Submódulo (mca)

14.94

Presión de Entrada al Submódulo (PES), (mca)

21.71

Conociendo la PES y la presión mínima se puede proceder a buscar el conjunto de tuberías
que representarían el diseño final. Para comenzar este proceso es necesario definir una
superficie de gradiente hidráulico tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 22. Superficie de gradiente hidráulico definida a partir de metodología SOGH, Submódulo Asimétrico 2.

La  superficie  mostrada  en  la  Figura  22  corresponde  a  una  superficie  de  gradiente
hidráulico  obtenida  a  partir  de  una  flecha  0.  Una  vez  se  ha  definido  la  superficie  de
gradiente hidráulico y conociendo la altura topográfica de cada uno de los nudos que se
modelarán con emisores, se puede determinar la presión correspondiente en cada nudo.
La presión se determina simplemente como la diferencia entre la altura piezométrica en
cada nudo y la altura topográfica.  De esta manera, conociendo la presión en cada punto
del  submódulo  se  puede  determinar  el  caudal  que  se  emitirá  en  el  emisor
correspondiente, para esto se hace uso de la ecuación del emisor. Finalmente, conociendo
el  caudal  correspondiente  a  la  superficie  de  gradiente  planteada,  se  puede  asignar  este
caudal  como  constante  en  los  nudos  que  componen  el  submódulo  y  modelarse  como
caudales constantes.

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Teniendo en cuenta lo anterior, en este punto del problema se tiene un submódulo de
riego con una presión de entrada (PES=21.71 mca), una presión mínima deseada
(P

min

=14.94 mca) y un caudal constante en cada nudo obtenido a partir de la superficie de

gradiente  y  la  ecuación  de  los  emisores;  de  esta  manera,    y  aprovechando  que  un
submódulo  de  riego  es  una  red  abierta,  es  posible  hacer  uso  de  la  formulación  lineal
planteada en la Sección 3.4.1.1.1 y diseñar. Para diseñar es necesario crear las 4 matrices
(Matriz  de  costos,  pérdidas  totales,  conectividad  y  LGH  mínimas)    necesarias  que  se
ingresarán en el programa Xpress. Para crear las matrices de forma automática se hiso uso
de un programa creado para este trabajo, que permite obtener a partir del archivo *.INP el
archivo *.DAT que lee Xpress

Una  vez  se  obtuvieron  las  matrices,  y  se  realizó  el  diseño  mediante  programación  lineal
(usando Xpress) es necesario que el diseño obtenido se modele con emisores para verificar
que  se  cumpla  con  las  restricciones  de  presión  mínima  y  coeficiente  de  uniformidad
deseado. Para este caso se obtuvo como presión mínima en el submódulo una presión de
15.04 mca y un coeficiente de uniformidad de 0.84, que como puede observarse cumplen
con los requerimientos. Dado que el diseño cumple con los requerimientos hidráulicos y
agronómicos, el siguiente paso consiste en determinar que tan buenos resultan los costos
de  esta  metodología.  Para  esto  se  realizó  el  diseño  del  mismo  submódulo  mediante  la
metodología SOGH, variando el valor de la flecha de diseño y utilizando cuatro criterios de
redondeo de diámetros. Los cuatro criterios de redondeo fueron:

Aproximación al anterior diámetro.

Aproximación al siguiente diámetro.

Redondeo Potencial.

Redondeo al diámetro comercial más cercano.

Los resultados obtenidos utilizando la metodología SOGH se observan en Gráfica 3-37. En
esta gráfica se observa en el eje de las abscisas, el valor de la flecha utilizada para obtener
la  superficie  óptima  de  gradiente  hidráulico  y  en  el  eje  de  las  ordenadas  se  observa  el
costo  que  se  obtiene  después  del  diseño.  Aunque  en  secciones  anteriores  a  este
documento se demostró que la flecha máxima de diseño (con valides física) es la flecha de
0.25, en la gráfica se presentan los resultados para flechas superiores a la flecha máxima.

El archivo *.DATA para este ejemplo del Submódulo Asimétrico 2, resulta en un archivo de 7499

líneas que por razón de espacio no es posible anexar al documento de este trabajo. En el CD Anexo,
se puede abrir el archivo “Submódulo Asimétrico 2, Flecha 0, X=1.dat” para observar las 4 matrices
obtenidas para este ejemplo.

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Gráfica 3-37. Relación Costo-Flecha obtenida mediante la metodología SOGH para el diseño del Submódulo

Asimétrico 2, variando el valor de la flecha y utilizando 4 criterios de redondeo de diámetros.

De la gráfica mostrada es importante decir que mediante la metodología SOGH, para éste
caso  de  estudio,  se  obtuvo  que  el  diseño  de  mínimo  costo  corresponde  a  un  diseño
obtenido mediante la Flecha  0.24 y el criterio de redondeo de aproximación al siguiente
diámetro para un costo mínimo de $ 7,913,646. Por otro lado, el costo del diseño obtenido
mediante  la  metodología  propuesta  es  de  $  7,838,949  (más  económico).  Lo  anterior
muestra que la metodología propuesta conlleva, para este caso, a un diseño que cumple
con  las  restricciones  hidráulicas  y  agronómicas  y  además  presenta  un  costo  de  74  mil
pesos por debajo del mas económico obtenido mediante la metodología SOGH.

Ahora  bien,  como  se  mencionó  al  inicio  de  la  Sección  3.4.2  existían  dos  problemas  de  la
formulación lineal aplicada al diseño de submódulo de riego. El primer problema, quedó resuelto
al  definir  una  superficie  de  gradiente  hidráulico  que  permitiera  establecer  unos  caudales
constantes en los nudos de consumo y de esta manera poder diseñar. El segundo problema surge
de  la  pregunta  ¿Qué  pasa  con  el  diseño  usando  formulación  lineal  si  la  superficie  de  gradiente
hidráulico parte de una flecha diferente a la Flecha 0?, esta pregunta se responde a continuación.

7700000

7900000

8100000

8300000

8500000

8700000

8900000

9100000

9300000

9500000

9700000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Aprox. Anterior

Aprox. Siguiente

Red. Potencial

Redondeo

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Sensibilidad  del  diseño  a  la  flecha  utilizada:  En  el  ejemplo  presentado  anteriormente  se
observó que se puede obtener un diseño más económico mediante el uso programación
lineal. Lo que se pretende en esta sección es observar las variaciones que se presentarán
en  los  resultados  si  se  cambia  la  flecha  a  partir  de  la  cual  se  define  la  superficie  de
gradiente hidráulico inicial. De esta manera, se realizaron diferentes diseños tal como se
mostró  en el ejemplo anterior, solo que ahora la superficie de gradiente hidráulico varía.
En las siguientes figuras se presentan los resultados obtenidos para diseños partiendo de
flechas  0,  0.02,  0.04,  0.06,  0.10,  0.12,  0.13,  0.15,  0.20  y  0.25,  que  a  partir  de  ahora  se
denominarán  diseño(F0),  diseño(F0.02),  diseño(F0.04),  diseño(F0.06),  diseño(F0.10),
diseño(F0.12), diseño(F0.13), diseño(F0.15), diseño(F0.20), diseño(F0.25).

Gráfica 3-38. Costo del diseño del Submódulo Asimétrico 2 partiendo de diferentes flechas iniciales, usando

programación lineal.

En la Gráfica 3-38 se observan los costos que se tendrían haciendo uso de programación
lineal  para  el  diseño  del  submódulo  Asimétrico  2.  En  la  gráfica  se observa  que  a  medida
que  la  flecha  para  determinar  la  superficie  de  gradiente  aumenta,  el  costo  final  del
submódulo se reduce; sin embargo, no todos los diseños obtenidos son factibles, para el
caso presentado, únicamente el diseño(F0)  y el diseño(F0.02) son factibles. En este caso,
un  diseño  es  factible  si  la  presión  en  todos  los  nudos  es  superior  a  14.94  mca  y
adicionalmente  se  cumple  con  el  coeficiente  de  uniformidad  deseado  (CU  =  0.8).  En  las
siguientes  gráficas  se  presentan  los  resultados  de  coeficiente  de  uniformidad,  presión
mínima y número de nudos por debajo de la presión mínima en el submódulo.

7550000

7600000

7650000

7700000

7750000

7800000

7850000

7900000

0.1

0.2

0.3

Costo

(COP)

Flecha de inicio

Diseños Factibles

Diseños no Factibles

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Gráfica 3-39. Coeficientes de uniformidad resultantes, variando flecha de inicio, Submódulo Asimétrico 2.

En la Gráfica 3-39 se observa que todos los diseños cumplen con el coeficiente de
uniformidad deseado, esto se debe a que el trabajo realizado por Bermúdez se asegura de
cumplir con el coeficiente de uniformidad.

Gráfica 3-40. Presiones mínimas resultantes, variando flecha de inicio, Submódulo Asimétrico 2.

A diferencia del coeficiente de uniformidad y los resultados presentados en la Gráfica 3-39,
las presiones mínimas en el submódulo únicamente se cumplen para el diseño(F0) y el
diseño(F0.02). En la Gráfica 3-40 se puede observar la razón por la cual algunos diseños se
consideran no factibles (presión en 1 o más nudos por debajo de la presión mínima). Al
analizar el número de nudos por debajo de la presión mínima se observaron los resultados
que se muestran en la siguiente gráfica:

0.79

0.8

0.81

0.82

0.83

0.84

0.85

0.1

0.2

0.3

CU Re

ant

()

Flecha de inicio

CU deseado

14.6

14.65

14.7

14.75

14.8

14.85

14.9

14.95

15.05

15.1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Presión

mínim

en el

ódulo

resultante

(mca)

Flecha de inicio

Presión Mínima

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Gráfica 3-41. Número de nudos por debajo de la presión mínima resultantes, variando flecha de inicio, Submódulo

Asimétrico 2.

Finalmente,  en  la  Gráfica  3-38  y  en  la  Gráfica  3-41  se  podrá  notar  que  a  medida  que
aumenta la flecha inicial de diseño se reducen los costos pero también se corre el riesgo
de  no  cumplir  con  la  restricción  hidráulica  de  presión  mínima.  Adicional  a  esto,  resulta
claro  que  entre  mayor  sea  la  flecha  de  partida,  el  número  de  nudos  por  debajo  de  la
presión  mínima  tiende  a  aumentar.  Teniendo  en  cuenta  los  resultados  anteriores  se
realizaron diferentes pruebas para establecer un criterio para diseñar submódulos de riego
sabiendo  que  existe  una  sensibilidad  en  los  resultados  respecto  a  la  flecha  de  inicio.  A
continuación se presenta el criterio que finalmente se adoptó y los resultados  obtenidos
para diferentes casos de estudio.

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Número

de nud

por

deb

ajo

de l

presión

mínim

Flecha de inicio

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3.4.3. Metodología para el diseño de submódulos de riego usando programación

lineal en conjunto con SOGH.

Con  base  en  lo  presentado  en  la  Sección  3.4.2  fue  necesario  plantear  una  metodología  para  el
diseño de submódulos de riego. Es importante recordar que los dos problemas presentados al usar
programación lineal en el diseño de submódulos, se refieren a que estos hacen uso de emisores y
que  existe  una  sensibilidad  de  los  resultados  respecto  a  la  flecha  inicial  para  establecer  la
superficie  de  gradiente.  En  esta  sección  se  presentará  el  algoritmo  final  que  se  utilizará  para  el
diseño de submódulos de sistemas RLAF. Los pasos a seguir son:

1. Datos de entrada: Para iniciar el proceso de diseño es necesario conocer la topología del

submódulo de riego, el Coeficiente de Uniformidad (CU), el caudal medio por planta, el
número de emisores por planta (n

), la ecuación de los emisores (su exponente y

coeficiente) y el Coeficiente de Variación (CV).

2. Cálculo de la PES y presión mínima: Conociendo los valores de entrada establecidos por el

diseño agronómico, se debe hacer uso de la metodología planteada por Bermúdez (2011)
para determinar la presión de entrada al submódulo (PES) y la presión mínima aceptable
en los emisores

3. Cálculo de superficies de gradiente: Una vez se han determinado la presión de entrada

(PES)  y  la  presión  mínima  deseada,  se  procede  a  hacer  uso  de  la  metodología  SOGH.  La
metodología  SOGH  en  conjunto  con  el  programa  REDES,  permite  establecer  de  forma
rápida  la  superficie  de  gradiente  hidráulico  deseado.  En  este  caso,  el  diseñador  debe
determinar  la  superficie  de  gradiente  hidráulico  correspondiente  a  la  Flecha  0  y  Flecha
0.25.

4. Cálculo de caudales de diseño: Conociendo la altura piezométrica en cada nudo del

sistema  (tanto  para  la  Flecha  0  como  para  la  Flecha  0.25)  y  su  altura  topográfica,  se
obtienen  las  presiones  en  cada  nudo.  Al  utilizar  la  ecuación  del  emisor,  se  obtienen  los
caudales  correspondientes  que  recibiría  cada  planta.  El  caudal  calculado  mediante  la
ecuación del emisor, se asigna como un caudal de demanda base del nudo y se modelará
como  constante.  De  esta  manera,  en  este  punto  se  tienen  dos  submódulos
topológicamente  iguales  pero  con  caudales  en  sus  nudos  diferentes.  El  primero
corresponde al submódulo partiendo de la Flecha 0 y el segundo al submódulo partiendo
de la Flecha 0.25.

En este trabajo, se hace entrega de un programa en el cual el usuario únicamente ingresa los datos

de entrada del paso 1 de la metodología, y de forma automática se calcula la curva CU vs PES para
establecer la presión de entrada al submódulo; adicionalmente el programa entrega al usuario la
presión mínima que debe existir en el submódulo de riego. Más adelante se mostrará el uso de este
programa en la sección de Anexos.

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Es importante anotar que en la medida que se aumenta la flecha de inicio la suma de los
caudales que se emitirían en todo el sumódulo se reduce. De esta manera, el caudal que
saldrá  de  la  fuente  de  alimentación  de  un  submódulo  con  caudales  en  sus  nudos
correspondientes a una superficie de gradiente de Flecha 0 será mayor al caudal total que
se  obtiene  a  partir  de  una  Flecha  0.25.  Por  esta  razón,  al  usar  programación  lineal  el
diseño obtenido a partir de la Flecha 0 resulta más costoso que el diseño obtenido a partir
de la Flecha 0.25.

5. Diseñar usando programación lineal: Habiendo asignado los caudales emitidos como

caudales de demanda constante en los nudos, se procede a calcular las matrices de costo,
pérdidas totales, conectividad y LGH

mínimas

. Teniendo en cuenta que se tienen dos

submódulos a diseñar (el que contiene los caudales a partir de la Flecha 0 y el que tiene
los caudales a partir de la Flecha 0.25), se obtendrán 2 diseños diferentes. Estos diseños se
obtienen usando la formulación lineal implementada en el programa Xpress

. De esta

manera se obtienen lo que se denominará de ahora en adelante como D

y D

. D

corresponde al diseño más costoso (diseño a partir de Flecha 0) y D

(diseño a partir de

Flecha 0.25) al diseño más económico.

6. Modelar diseños con emisores: Como bien se sabe, los diseños D

y D

fueron obtenidos a

partir de demandas constantes en sus nudos; por esta razón es necesario verificar el
comportamiento del sistema cuando se hacen funcionar los diseños con emisores.
Respecto al diseño D

obtenido en el paso 5 es importante aclarar que este diseño siempre

será factible; por otro lado, el diseño D

obtenido en el paso 5, por lo general no será

factible. Si en algún caso el diseño D

obtenido a partir de la flecha 0.25 resultara factible,

entonces el proceso de diseño terminaría y el diseño D2 sería el definitivo.
Al modelar los diseños D

y D

con emisores se obtendrá para cada nudo i el caudal

emitido. De esta manera se conocerá para cada nudo i un caudal que para el caso del
diseño D

se denominará CaudalE

y para el caso del diseño D

se llamará CaudalE

.En

este punto el diseñador también debe calcular la suma de caudales emitidos en el
submódulo para D

y D

(ver Ecuación 3.5 y Ecuación 3.6).

Ecuación 3.5

Ecuación 3.6

El programa de Xpress se entregará en el CD anexo a este documento.

En el término CaudalE

el primer subíndice corresponde al subíndice del diseño (D

) y el segundo

subíndice corresponde al Id del nudo.

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7. Promedio de Caudales: Una vez se tienen los caudales CaudalE

y CaudalE

estos se

promedian en cada nudo i para obtener lo que se denominará Caudal

que se asignará

como un caudal constante en cada uno de los nudos del sistema. De esta manera se tiene
un nuevo submódulo, que aunque tiene las mismas características topológicas del original,
comprende caudales obtenidos del promedio de caudales de 2 diseños anteriores (D

8. Diseñar promedio usando programación lineal: Con los caudales en cada nudo (Caudal

)

obtenidos en el paso 7 se obtienen las matrices de costo (c), pérdidas totales (dp),
conectividad (w) y LGH

minimas

. Con estas matrices y usando la formulación implementada

en Xpress se diseña el submódulo y se obtiene el diseño D

9. Modelar el nuevo diseño con emisores: Teniendo el diseño D

éste debe ser modelado

con emisores. De esta manera se conoce el caudal que cada nudo i emite. El resultado de
esta etapa es obtener lo que se denominará CaudalE

(Caudales emitidos en el diseño j en

cada nudo i).

10. Comprobación de suma de caudales, presiones y CU: Una vez se ha modelado el diseño Dj

usando emisores, se puede establecer si este diseño es factible (CU mayor al establecido
por el diseño agronómico y todos los nudos con presión mayor a la mínima) o no factible.
Adicional a esto el diseñador debe determinar la suma de caudal total emitido en el diseño
D

calculado como se muestra en la siguiente ecuación:

Ecuación 3.7

De esta manera, si el diseño Dj es factible y

diseño termina y se obtiene como diseño final Dj. Si por otro lado el diseño Dj resulta no
factible y/o

se debe seguir al paso 11.

11. Restablecer D

o D

: Dado que el diseño D

no resultó factible y/o la diferencia deseada en

la suma de caudales fue mayor a la establecida, en este paso el diseñador debe observar el
número de nudos por debajo de la presión mínima que se obtuvieron mediante el diseño
D

. De esta manera:

En el anterior condicional se puede observar que comienza un algoritmo de bisección, en
el cual, si el número de nudos que incumplen la presión mínima es mayor a 0 entonces el

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diseño denominado D

pasa a remplazar el diseño D

; y por el contrario, si ningún nudo

incumple con la presión mínima el diseño D

pasa a remplazar D

. De igual forma el

o el

será remplazado por el

. Teniendo en cuenta lo anterior

el diseñador debe volver al paso 7 y seguir con el proceso hasta que finalmente se cumpla
que D

sea factible y

Los 11 pasos que comprenden el algoritmo planteado, permiten al diseñador obtener  un  diseño
óptimo  de  submódulos  de  riego.  En  la  siguiente  página  se  resume  el  algoritmo  mediante  un
diagrama  de  flujo  que  hace  más  fácil  entender  su  procedimiento  (Ver  Figura  23).  Respecto  al
algoritmo hay que decir que como se pudo observar el diseño parte de caudales obtenidos a partir
de una Flecha 0 y una Flecha 0.25. La Flecha 0.25 se escogió por ser la flecha máxima teórica, pero
es  importante  dejar  abierta  la  pregunta  de  qué  pasa  si  se  parte  de  una  flecha  mayor.
Adicionalmente, es posible que exista un proceso de convergencia al diseño óptimo de forma más
rápida,  aunque  como  se  mostrará  en  la  solución  de  casos  de  estudio,  el  algoritmo  de  bisección
logra finalizar el algoritmo en el quinto o sexto diseño.

En  las  próximas  secciones  se  presentarán  los  resultados  obtenidos  para  5  casos  de  estudio  de
submódulos  de  sistemas  RLAF  en  donde  se  realizaron  variaciones  en  la  topología,  topografía,
ecuación del emisor y Coeficiente de Uniformidad deseado. Posterior a esto se mostrará el uso de
los programas desarrollados para este trabajo. Con los programas que se mostrarán se entregará
el  manual  del  usuario  para  el  programa  que  permite  determinar  la  presión  de  entrada  al
submódulo  (PES)  y  crear  las  matrices  necesarias  para  realizar  el  diseño  en  Xpress.  También  se
mostrará  la  estructura  del  código  en  Xpress  que  contiene  toda  la  formulación  matemática  del
problema.

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INICIO

Leer Topología del submódulo, CU, Ecuación

del emisor, Caudal medio por planta,

Coeficiente de variación

Calcular presión mínima y presión de

entrada al submódulo (PES)

Usando SOGH, calcular LGH y presión

resultante en cada planta partiendo de la

flecha 0 y flecha 0.25

Calcular el caudal resultante en cada planta

para la Superficie de Gradiente obtenida a

partir de la flecha 0

Asignar el caudal obtenido como la

demanda base en el nudo

correspondiente

Calcular el caudal resultante en cada planta

para la Superficie de Gradiente obtenida a

partir de la flecha 0.25

Asignar el caudal obtenido como la

demanda base en el nudo

correspondiente

Usando programación

lineal y Xpress diseñar el

submódulo

Se obtiene el

Diseño (F0) = D1

Se obtiene el Diseño

(F 0.25) = D2

Modelar el D1 con emisores y obtener las

presiones y caudales en cada nudo (i)

Modelar el D2 con emisores y obtener las

presiones y caudales en cada nudo (i)

Print:

CaudalE_1i,

Print:

CaudalE_2i,

Usando programación

lineal y Xpress diseñar el

submódulo

Figura 23A. Diagrama de flujo, metodología para el diseño de submódulos de riego usando programación lineal en

conjunto con SOGH. Parte A.

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Caudal_ji = (CaudalE_1i +

CaudalE_2i )/2

Asignar el caudal obtenido como la

demanda base en el nudo

correspondiente

Usando programación

lineal y Xpress diseñar el

submódulo

Modelar el Dj con emisores y obtener las

presiones y caudales en cada nudo

Si el número de nudos con presión por

debajo de la mínima es > 0

Print: Diseño

Promedio j = Dj

CaudalE_1i =

CaudalE_ji

Print: CaudalE_ji

CaudalE_2i =

CaudalE_ji

Si ∑CaudalE_ji - ∑CaudalE_j-1i < Diferencia

Deseada y todos los nudos tienen presión mayor a

la mínima y CU> CU requerido

FIN

D2 = Dj

D1 = Dj

Figura 23B. Diagrama de flujo, metodología para el diseño de submódulos de riego usando programación lineal en

conjunto con SOGH. Parte B.

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100

3.4.4. Resultados de la metodología planteada en el diseño de submódulos de

sistemas de RLAF.

A continuación se presentan los resultados obtenidos para 5 casos de estudio de submódulos  de
riego  que  se  diseñaron  usando  la  metodología  basada  en  programación  lineal  en  conjunto  con
SOGH.  Para evaluar el desempeño de esta metodología se utilizó como punto de comparación la
metodología SOGH, planteada por Ochoa y Saldarriaga (2011). De esta manera, para cada uno de
los  casos  de  estudio  que  se  presentarán,  se  realizó  el  diseño  usando  la  metodología  SOGH,
partiendo  de  diferentes  flechas  de  diseño  y  utilizando  los  cuatro  criterios  de  redondeo  de
diámetros que plantea esta metodología, estos son:

Aproximación al diámetro comercial anterior.

Aproximación al diámetro comercial siguiente.

Redondeo Potencial.

Redondeo al diámetro más cercano.

La curva de costos que se utilizó para el diseño de todos los submódulos de riego fue exactamente
la misma y corresponde a la que se muestra a continuación (ver Gráfica 3-42 y Ecuación 3.3):

Gráfica 3-42. Curva Costo vs. Diámetro de tubería.

Ecuación 3.8

y = 16.871x

1.647

R² = 0.985

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

100

150

200

Costo

de metro

lineal

de tubería

(COP)

Diámetro de tubería (mm)

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101

3.4.4.1.

Submódulos de riego planos.

La presente sección muestra los resultados obtenidos para dos submódulos de riego con
topografía plana. Los dos submódulos de riego se diseñaron usando la metodología planteada en
este trabajo, que hace uso de programación lineal en conjunto con SOGH. Una vez se presenten
los resultados de los submódulos de riego planos, se procederá a mostrar los casos de estudio de
submódulos de riego con topografía variable.

3.4.4.1.1.

Caso de Estudio 1, Submódulo Asimétrico 2 Plano.

Este caso de estudio corresponde al ejemplo mostrado en la Sección 3.4.2. En la siguiente figura se
observa la topología correspondiente del submódulo de estudio:

Figura 24. Caso de Estudio 1, Submódulo Asimétrico 2 Plano.

Este submódulo se compone de 1 tubería múltiple, 16 laterales de riego, 312 plantas y tramos y,
es un submódulo de topografía plana. A continuación se presentan los datos de entrada para
empezar el diseño.

Tabla 15. Datos agronómicos de entrada, Submódulo Asimétrico 2 Plano.

DATOS AGRONÓMICOS

Coeficiente

uniformidad

(CU)

Número de

emisores

por planta

)

Presión

media de

operación

)

Caudal

medio por

emisor

)

()

(mca)

(lph)

0.8

18.00

120

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102

Tabla 16. Datos de entrada de los emisores, Submódulo Asimétrico 2 Plano.

Coeficiente de variación del emisor (CV)

0.04

Exponente del emisor

Coeficiente del emisor (l/s)/(m

)

0.00185185

Teniendo en cuenta los datos de entrada presentados en la Tabla 15 y Tabla 16 y haciendo uso de
la metodología de Bermúdez (2011), se obtiene la siguiente curva para determinar la presión de
entrada al submódulo (PES).

Gráfica 3-43. Curva CU vs PES. Caso de estudio 1, Submódulo Asimétrico 2 Plano.

Por medio de la Gráfica 3-43 y teniendo en cuenta que el Coeficiente de Uniformidad deseado es
de  0.8  se  tiene  que la  PES  a  utilizar  en el diseño  es  de 21.71  mca.  Por  otro  lado  y  a  partir  de la
tolerancia de presiones se obtiene que la presión mínima en el submódulo debe ser de 14.94 mca.
Teniendo estos resultados  se procede a realizar el diseño del submódulo usando la metodología
planteada  en  el  diagrama  de  flujo  que  se  presentó  en  la  Figura  23. Para  esto,  el  primer  paso  es
realizar  los  diseños  del  submódulo  partiendo  de  la  Flecha  0  y  la  Flecha  0.25.  Estos  diseños
corresponden a lo que se denomina diseño D

y diseño D

. En la siguiente tabla se observan los

resultados obtenidos para estos dos primeros diseños:

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

eficien

de Unif

orm

idad

()

Presión de Entrada al Submódulo (mca)

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103

Tabla 17. Resultados diseños D

y D

, Submódulo Asimétrico 2 Plano.

Presión

Mínima

Nudos con

Presión < P

min

Costo

Diseños

(l/s)

()

(mca)

()

(COP)

19.3434

0.8412

14.949

7838950

18.89113

0.8356

14.637

7590520

En la Tabla 17 se puede observar que el diseño D

(diseño obtenido a partir de la Flecha 0) es un

diseño factible, donde todos sus nudos cumplen con la presión mínima (14.94 mca) y el
Coeficiente de Uniformidad resulta mayor al deseado. Por el contrario, el diseño D

(diseño

obtenido a partir de la Flecha 0.25) aunque cumple con el CU deseado, presenta 40 nudos con
presión por debajo de la presión mínima, y por esta razón aunque D

sea un diseño más

económico que D

, resulta no factible hidráulicamente. Haciendo uso de estos dos primeros

diseños, se pueden obtener los caudales promedio en cada nudo i de manera que se pueda
proceder a calcular un tercer diseño (D

)

, con el cual se puede obtener un cuarto diseño y así

sucesivamente hasta que finalmente se cumpla que D

sea factible y

. Los resultados obtenidos finalmente se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 18. Resultados de los diseños promedio D

Submódulo Asimétrico 2 Plano.

Diseño

Promedio (D

)

Presión

Mínima

Nudos con

Presión < P

min

Costo

(l/s)

()

(mca)

()

(COP)

19.22514969

0.8391

14.862

7747716

19.28909043

0.8397

14.915

7785937

19.29083858

0.8412

14.95

7787082

Como puede verse en la Tabla 18 fue necesario realizar 3 diseños adicionales para llegar al
resultado definitivo. El primer diseño promedio (D

) sigue siendo no factible pero el número de

nudos por debajo de la presión mínima deseada pasó de ser 40 en D

a tan solo 9. De esta manera,

siguiendo el algoritmo de la Figura 23, el primer diseño D

pasaría a ser el diseño D

y sus caudales

se promedian con los del diseño D

original; de esta manera se obtuvo el segundo diseño

promedio (D

), el cual no es factible, pero únicamente presenta 1 nudo por debajo de la presión

mínima. El proceso continúa, y se realiza un tercer diseño promedio. Como se observa en la Tabla
18 el tercer diseño promedio es un diseño factible (CU mayor a 0.8 y ningún nudo con presión

min

corresponde a la presión mínima deseada.

Es importante recordar al lector que el diseño D

corresponde en cada iteración al diseño obtenido

mediante programación lineal, a partir de los caudales promedio de los dos diseños anteriores.

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104

menor a 14.94 mca) y presenta un costo de $ 7, 787,082. Al comparar este costo final con los
obtenidos mediante la metodología SOGH se observa el siguiente resultado:

Gráfica 3-44. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de redondeo, con el costo

del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo Asimétrico 2 Plano.

Mediante  los  resultados  obtenidos,  que  se  presentan  en  la  Gráfica  3-44,  se  puede  evaluar  el
desempeño de la metodología planteada en este trabajo. Se aprecia el costo final del submódulo
obtenido  a  partir  de  diferentes  flechas  de  diseño  y  utilizando  los  4  criterios  de  redondeo
planteados  por  Ochoa  (2009).  Para  el  caso  de  la  metodología  SOGH  el  diseño  más  económico
corresponde  a  un  diseño  obtenido  mediante  la  Flecha    0.24  y  el  criterio  de  redondeo  de
aproximación al siguiente diámetro, para un costo mínimo de $ 7, 913,646. Por otro lado el costo
del diseño obtenido mediante la metodología planteada es de de $ 7, 787,082, que representa una
reducción del 1.6 % (COP$ 126,563.0) en el costo total del submódulo.

Como se pudo observar, en esta sección, la metodología planteada que hace uso de programación
lineal en conjunto con SOGH, permite obtener un diseño factible de forma rápida y conlleva a un
diseño más económico que la metodología SOGH planteada por Ochoa (2009). En las siguientes
secciones se presentarán los resultados obtenidos para otros casos de estudio.

7700000

7900000

8100000

8300000

8500000

8700000

8900000

9100000

9300000

9500000

9700000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Aprox. Siguiente

Aprox. Anterior

Redondeo Pot.

Redondeo

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105

3.4.4.1.2.

Caso de Estudio 2, Submódulo Simétrico Plano.

En esta sección se presentan los resultados obtenidos para un submódulo de riego plano, donde la
longitud de los laterales a ambos lados de la tubería múltiple es igual. Los datos de entrada para
este submódulo corresponden exactamente a los mismos utilizados para el caso de estudio 1 (ver
Tabla 15, Tabla 16 y Gráfica 3-35). En la siguiente figura se presenta un esquema del submódulo:

Figura 25. Caso de estudio 3, Submódulo Simétrico Plano.

Al igual que en el caso de estudio 1, en este submódulo se realizó el diseño usando la metodología
planteada en este trabajo y se compararon sus resultados con los diseños obtenidos mediante la
metodología planteada por Ochoa. En la Gráfica 3-45 se presentan los resultados finales obtenidos
para este submódulo, donde se puede observar que nuevamente la metodología planteada resulta
más económica que los diseños realizados utilizando SOGH.

Gráfica 3-45. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de redondeo, con el costo

del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo Simétrico Plano.

12000000

12500000

13000000

13500000

14000000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Aprox. Anterior

Aprox. Siguiente

Redondeo Pot.

Redondeo

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Para el caso de la metodología SOGH el diseño más económico corresponde a un diseño obtenido
mediante la Flecha 0.24 y el criterio de redondeo de aproximación al diámetro comercial más
cercano, para un costo mínimo de COP $ 12, 334,934. Por otro lado el costo del diseño obtenido
mediante la metodología planteada es de de COP $ 12, 168,800, que representa una reducción del
1.36 % (COP$ 166,134) en el costo total del submódulo.

3.4.4.2.

Caso de Estudio 3, Submódulo Asimétrico 2 con Topografía Variable.

En esta sección se presenta el tercer caso de estudio que resulta de gran importancia debido a que
permite evaluar la metodología planteada, en submódulos de riego con topografía variable. En la
práctica resulta poco común encontrar submódulos de riego en los cuales la topografía sea plana
como los presentados en los casos de estudio 1 y 2. De esta manera, para el caso de estudio 3 se
planteó un submódulo teórico con topografía variable tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 26. Caso de Estudio 3, Submódulo Asimétrico 2 con Topografía Variable.

Como se observa en la Figura 26 el submódulo de riego correspondiente al caso de estudio 3, es
un submódulo en donde la topografía es completamente variada. De esta manera, el nudo crítico
(nudo donde se presentará la presión más baja) puede encontrarse en cualquier punto del
sistema; contrario a lo que sucede en submódulos de riego planos donde el nudo crÍtico estará

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ubicado en el punto más alejado de la fuente de abastecimiento de agua. A continuación se
presentan los datos de entrada utilizados para empezar el diseño.

Tabla 19. Datos agronómicos de entrada, Submódulo Asimétrico 2 con Topografía Variable.

DATOS AGRONÓMICOS

Coeficiente

uniformidad

(CU)

Número de

emisores

por planta

)

Presión

media de

operación

)

Caudal

medio por

emisor

)

()

(mca)

(l/h)

0.85

14.32

Tabla 20. Datos de entrada de los emisores, Submódulo Asimétrico 2 con Topografía.

Coeficiente de variación del emisor (CV)

0.04

Exponente del emisor

0.3

Coeficiente del emisor (l/s)/(m

)

0.01

A  partir  de  los  datos  de  entrada  presentados  en  la  Tabla  19  y  Tabla  20  y  haciendo  uso  de  la
metodología  de  Bermúdez  (2011),  se  obtiene  la  siguiente  curva  para  determinar  la  presión  de
entrada al submódulo (PES).

Gráfica 3-46. Curva CU vs PES. Submódulo Asimétrico 2 con Topografía.

Con base en la Gráfica 3-46 obtenida a partir del algoritmo planteado por Bermúdez (2011) y
teniendo en cuenta que el Coeficiente de Uniformidad deseado es de 0.85 se tiene que la PES a

0.55

0.65

0.75

0.85

0.95

1.05

eficien

de Unif

orm

idad

ult

()

Presión de Entrada al Submódulo (mca)

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utilizar es de 22.57 mca.  Por otro lado y a partir de la tolerancia de presiones se obtiene que la
presión mínima en el submódulo debe ser de 9.41 mca. Teniendo estos resultados se procede a
realizar  el  diseño  del  submódulo  usando  la  metodología  planteada.  Para  esto,  el  primer  paso  es
realizar  los  diseños  del  submódulo  partiendo  de  la  Flecha  0  y  la  Flecha  0.25.  Estos  diseños
corresponden a lo que se denomina diseño D

y diseño D

. En la siguiente tabla se observan los

resultados obtenidos para estos dos primeros diseños:

Tabla 21. Resultados diseños D

y D

, Submódulo Asimétrico 2 con Topografía.

Presión Mínima

Nudos con

Presión < P

min

Costo

Diseños

(l/s)

()

(mca)

()

(COP)

13.0838176

0.8820

9.56

0 5129056

13.0465654

0.8655

8.89

5083611

Tal como se muestra en la tabla superior, los diseños D

y D

cumplen con el Coeficiente de

Uniformidad deseado de 0.85, pero únicamente el diseño D

(diseño obtenido a partir de la Flecha

0) no presenta nudos con presión por debajo de la mínima. El diseño D

(diseño obtenido a partir

de la Flecha 0.25) presenta 20 nudos con déficit de presión, con una presión en el nudo crítico de
8.89 mca (52 cm de columna de agua por debajo de la presión mínima). Usando los resultados de
los caudales emitidos en los diseños D

y D

se pueden obtener caudales promedio en cada nudo i

de manera que se proceda a calcular un tercer diseño (D

), con el cual se puede obtener un cuarto

diseño y así sucesivamente hasta que finalmente se cumpla que D

sea factible y

. Los resultados obtenidos finalmente se presentan en la siguiente

tabla:

Tabla 22. Resultados de los diseños promedio D

Submódulo Asimétrico 2 con Topografía Variable.

Diseño

Promedio (D

)

Presión Mínima

Nudos con

Presión < P

min

Costo

(l/s)

()

(mca)

()

(COP)

13.0652

0.8764

9.37

5100632

13.0559

0.8826

9.498

0 5098791

13.0457

0.8828

9.5

0 5098791

De la Tabla 22 se puede concluir que fue necesario realizar dos diseños promedio a fin de obtener
un diseño factible. En esta tabla se puede ver que en el primer diseño promedio, el número de
nudos por debajo de la presión mínima pasó de ser 20 en D

a tan solo 3. De esta manera,

siguiendo el algoritmo de la Figura 23 el primer diseño D

pasaría a ser el diseño D

y sus caudales

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109

se promedian con el diseño D

original, para de esta manera obtener el segundo diseño promedio

), el cual resulta factible. Observando los resultados presentados en la Tabla 22 queda

establecido que el segundo diseño promedio es un diseño factible de manera que éste pasa a
reemplazar el diseño D

y sus caudales se promediaron con los caudales del diseño D

, que para

esta iteración corresponden a los del primer diseño promedio. Al realizar el tercer diseño
promedio, se observa que nuevamente, el número de nudos con déficit de presión es cero y dado
que D

es factible y

se decide terminar el proceso de

diseño. Es importante hacer notar al lector que el costo del segundo diseño promedio y el tercero,
son  iguales;  pero  esto  no  quiere  decir  que  el  diseño  sea  exactamente  igual  en  cuanto  a  la
distribución de diámetros. Los diseños promedio 2 y 3 tienen 304 tuberías con el mismo diámetro
asignado,  únicamente  8  tubos  presentan  un  diámetro  diferente  entre  los  dos  diseños.  En  la
siguiente  tabla  se  presentan  los  diámetros  asignados  a  las  8  tuberías  en  las  que  los  diámetros
difieren entre los dos diseños:

Tabla 23. Diámetros asignados por Xpress en las 8 tuberías diferentes entre el segundo y el tercer diseño promedio.

Submódulo Asimétrico 2 con Topografía.

Tubería

Longitud

Tubería

(m)

Diámetro Asignado en el

diseño promedio (mm)

Costo del tubo (COP)

5.009

25.4

19.05

17404.16

10836.25

5.009

19.05

25.4

10836.25

17404.16

5.001

19.05

25.4

10818.94

17376.36

101

5.001

25.4

19.05

17376.36

10818.94

151

5.004

19.05

25.4

10825.43

17386.78

152

5.004

25.4

19.05

17386.78

10825.43

162

5.001

25.4

31.75

17376.36

25093.98

163

5.001

31.75

25.4

25093.98

17376.36

Suma (COP $)

127118.3

En la Tabla 23 se muestran los diámetros, longitudes y costo de las 8 tuberías en los que difieren el
segundo  y  tercer  diseño  promedio.  Como  se  puede  observar  aunque  los  8  tubos  presentan  un
diámetro diferente entre un diseño y otro, la suma de los costos de los 8 tubos es exactamente
igual,  pero  como  se  dijo  anteriormente  esto  es  únicamente  una  coincidencia.  De  esta  manera  y
habiendo aclarado los resultados obtenidos en la Tabla 22, se escoge como diseño final el tercer
diseño  promedio,  el  cual  presenta  un  costo  de  COP  $  5,  098,791  y  que  en  comparación  con  la
metodología SOGH, resulta más económico, como se observa en la Gráfica 3-47.

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Gráfica 3-47. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de redondeo, con el costo

del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo Asimétrico 2 con Topografía Variable.

Como puede verse en la Gráfica 3-47 la metodología propuesta para el diseño de submódulos de
riego resulta en un diseño más económico que al emplear la metodología propuesta por Ochoa. Al
diseñar haciendo uso de la metodología SOGH variando el valor de la flecha de diseño y utilizando
los cuatro criterios de redondeo (Aproximación al siguiente, Aproximación al anterior, Redondeo
potencial y Redondeo al diámetro  más cercano) mostrados en la  Gráfica 3-47, se obtiene que el
diseño  del  submódulo  que  presenta  el  menor  costo  es  el  de  la  Flecha  0.25  con  criterio  de
aproximación  al  diámetro  comercial  siguiente,  para  un  costo  total  de  COP  $  5,  246,523.  Si  se
compara  el  costo  del  diseño  más  económico  de  la  metodología  SOGH  con  respecto  al  costo
obtenido mediante la metodología propuesta, se observa que la nueva metodología conlleva a un
costo 2.9% por debajo del mas económico de SOGH, y esto corresponde a una reducción de COP $
147,732.
De esta manera y habiendo visto los resultados obtenidos para este caso de estudio, en el cual se
tienen variaciones en la topografía a lo largo del submódulo, se observa que el desempeño de la
metodología propuesta para submódulos de riego utilizando programación lineal en conjunto con
SOGH resulta bastante buena y permite obtener una reducción en los cotos finales del submódulo.

5000000

5100000

5200000

5300000

5400000

5500000

5600000

5700000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Aprox. Anterior

Aprox. Siguiente

Redondeo Pot.

Redondeo

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3.4.4.3.

Caso de Estudio 4, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.

En esta sección se estudia un nuevo submódulo en  el cual los laterales de riego no son rectos y
todos  presentan  longitudes  diferentes.  Adicionalmente,  el  submódulo  presenta  una  topografía
generada mediante números aleatorios y de esta manera, ningún nudo del sistema tiene la misma
elevación de otro nudo (ver Figura 27 y Figura 28).

Figura 27. Caso de Estudio 3, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable, vista en planta.

Figura 28. Caso de Estudio 4, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable, vista en perfil.

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112

Como puede observarse en la  Figura 27 y  la Figura 28 los nudos del sistema presentan diferentes
alturas topográficas, pero el sistema en sí tiene una tendencia a aumentar su elevación a medida
que  se  aleja  de  la  fuente  de  abastecimiento;  de  esta  manera,  los  laterales  más  alejados  de  la
entrada  al  submódulo  presentan  la  mayor  elevación  y  por  lo  tanto  serán  los  que  presentarán
presiones más críticas, al estar más alejados y presentar un altura topográfica superior a la de la
entrada. Para este caso de estudio los valores de entrada al problema de diseño fueron:

Tabla 24. Datos agronómicos de entrada, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.

DATOS AGRONÓMICOS

Coeficiente

uniformidad

(CU)

Número de

emisores

por planta

)

Presión

media de

operación

)

Caudal

medio por

emisor

)

()

(mca)

(l/h)

0.85

10.00

Tabla 25. Datos de entrada de los emisores, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.

Coeficiente de variación del emisor (CV)

0.04

Exponente del emisor

0.2

Coeficiente del emisor (l/s)/(m

)

0.01402127

de donde se obtiene la curva CU vs PES establecida por Bermúdez (2011):

Gráfica 3-48. Curva CU vs PES. Caso de estudio 3, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

eficien

Unif

orm

idad

()

Presión de Entrada al Submódulo (mca)

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Con  base  en  la  Gráfica  3-48  obtenida  a  partir  del  algoritmo  planteado  por  Bermúdez  (2011)  y
teniendo en cuenta que el Coeficiente de Uniformidad deseado es de 0.85 se tiene que la PES a
utilizar es de 18.69 mca.  Por otro lado y a partir de la tolerancia de presiones se obtiene que la
presión mínima en el submódulo debe ser de 5.33 mca. Teniendo estos resultados se procede a
realizar  el  diseño  del  submódulo  usando  la  metodología  planteada.  Para  esto,  el  primer  paso  es
realizar  los  diseños  del  submódulo  partiendo  de  la  Flecha  0  y  la  Flecha  0.25.  Estos  diseños
corresponden a lo que se denomina diseño D

y diseño D

. En la siguiente tabla se observan los

resultados obtenidos para estos dos primeros diseños:

Tabla 26. Resultados diseños D

y D

, Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.

Presión Mínima

Nudos con

Presión < P

min

Costo

Diseños

(l/s)

()

(mca)

()

(COP)

5.05644

0.88285

5.366

0 1756991

5.03981

0.87810

5.137

1735176

Tal como se muestra en la tabla superior, los diseños D

y D

cumplen con el Coeficiente de

Uniformidad deseado de 0.85, pero únicamente el diseño D

no presenta nudos con presión por

debajo de la mínima, por su parte el diseño D

presenta 5 nudos con déficit de presión. Usando los

resultados de los caudales emitidos en los diseños D

y D

se pueden obtener caudales promedio

en cada nudo i de manera que se proceda a calcular el siguiente diseño (D

), con el cual se puede

obtener un tercer diseño, del cual se presentan sus resultados en la siguiente tabla:

Tabla 27. Resultados del diseño promedio D

Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.

Diseño

Promedio (D

)

Presión Mínima

Nudos con

Presión < P

min

Costo

(lps)

()

(mca)

()

(COP)

5.05644

0.88285

5.366

1756991

Si se observa con cuidado la Tabla 27 en conjunto con la Tabla 26 se puede ver que el primer
diseño promedio dio exactamente el mismo resultado del diseño D

. Cuando sucede esto, el

algoritmo termina y se obtiene como resultado el primer diseño promedio. Es importante
mencionar que el proceso de convergencia en los diseños de submódulos de riego, será más
rápido en la medida en que el exponente de los emisores disminuya. Los resultados obtenidos en
el diseño del caso de estudio 4 muestran que tarde o temprano el algoritmo tiene que converger a
un mismo diseño, pero como se dijo, este proceso tardará más entre mayor sea el exponente del

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114

emisor.  De  esta  manera,  el  caso  más  sencillo  en  el  diseño  de  submódulos  de  riego  usando  la
metodología  propuesta  corresponde  al  de  emisores  autocompensantes  (exponente  de  emisor
x=0); este caso se presentará en la Sección 3.4.4.4.

Finalmente y volviendo al caso de estudio que corresponde a esta sección, se obtuvo que el costo
del submódulo mediante la metodología planteada es de COP $ 1, 756,991. Si se compara el costo
obtenido a partir de la metodología propuesta, con los costos que se obtienen utilizando la
metodología SOGH se tiene la siguiente gráfica comparativa:

Gráfica 3-49. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de redondeo, con el costo

del diseño obtenido mediante la metodología propuesta. Submódulo Asimétrico 3 con Topografía Variable.

De  la  misma  manera  como  sucedió  para  los  casos  de  estudio  1,  2  y  3,  en  este  caso  el  diseño
obtenido  mediante  la  metodología  propuesta  resultó  más  económico  que  los  diseños  obtenidos
mediante la metodología SOGH. El menor costo (COP $ 1, 767,447) mediante la metodología SOGH
corresponde  al  diseño  con  la  Flecha  0.24  y  un  criterio  de  redondeo  al  diámetro  comercial  más
cercano; la diferencia entre este costo y el obtenido mediante la metodología propuesta es de diez
mil quinientos pesos (COP $ 10,456) que corresponde a una diferencia del 0.6 %.

Teniendo los resultados presentados en las secciones 3.4.4.1, 3.4.4.2 y  3.4.4.3 se puede concluir
que  la  metodología  planteada  conlleva  a  diseños  óptimos.  Es  importante  anotar  que  los  cuatro
casos  de  estudios  presentados  hasta  ahora  corresponden  a  submódulos  con  características
completamente  diferentes.  Los  cuatro  casos  de  estudio  difieren  en  su  topografía,  ecuación  del
emisor, topología, caudal medio por planta, Coeficiente de Uniformidad, PES y Presión mínima.

1760000

1770000

1780000

1790000

1800000

1810000

1820000

1830000

1840000

1850000

0.1

0.2

0.3

0.4

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Redondeo

Redondeo Pot.

Aprox. Anterior

Aprox. Siguiente

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115

3.4.4.4.

Caso de Estudio 5, Submódulo con Emisores Autocompensantes.

En esta sección se presenta un submódulo de riego en el cual se tienen emisores
autocompensantes. Es importante recordar al lector que un emisor autocompensante es aquel en
el que el exponente de la ecuación del emisor es cero (0), implicando que el caudal que sale por
cada nudo es independiente de la presión que se tenga en el punto. El submódulo que se utilizó
como ejemplo para este caso es un ejemplo teórico con una pendiente del 100%, como se puede
ver en la siguiente figura:

Figura 29. Caso de Estudio 5, Submódulo con Emisores Autocompensantes, vista en planta.

En la Figura 29 se puede ver que el submódulo presenta una pendiente topográfica en la cual
entre más alejado se encuentre el lateral de riego, menor elevación topográfica tendrá. Este tipo
de submódulo se asemeja a los submódulos de riego utilizados en los cultivos de café.

Para este caso de estudio y al hacer uso de emisores autocompensantes, el diseñador debe definir
por sí mismo, la presión de entrada al submódulo que desea tener o la presión que las condiciones
hidráulicas aguas arriba de la entrada le permiten alcanzar. Adicional a esto, el diseñador definirá
una presión mínima deseada en el submódulo y asignará el caudal que desee que se emita a cada
planta. En el caso que se presenta en esta sección se escogió una presión de entrada al submódulo
de 17 mca y una presión mínima de 5 mca; por su parte, el caudal que se asignó a cada nudo fue
de  0.045  l/s.  Teniendo  en  cuenta  que  se  tienen  emisores  autocompensantes  no  es  necesario
seguir  el  diagrama  de  flujo  presentado  en  la  Figura  23,  esto  quiere  decir  que  no  es  necesario
definir  ninguna  superficie  de  gradiente  hidráulico  y  únicamente  se  requiere  realizar  el  diseño
directamente usando programación lineal para obtener los diámetros del submódulo, que por ser
de emisores autocompensantes se comporta como una red abierta con demanda constante en sus
nudos  de  consumo.  Teniendo  en  cuenta  lo  anterior  en  la  siguiente  gráfica  se  presentan  los
resultados  de  comparación  entre  el  diseño  usando  programación  lineal  y  el  diseño  que  se
obtendría usando diferentes flechas de diseño y la metodología SOGH:

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Gráfica 3-50. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de redondeo, con el costo

del diseño obtenido mediante programación lineal. , Submódulo con Emisores Autocompensantes.

Como era de esperarse, el diseño haciendo uso de programación lineal resultó más económico que
los diseños obtenidos mediante SOGH.  El diseño más económico mediante la metodología SOGH
corresponde a una flecha de 0.28 y un criterio de redondeo de aproximación al siguiente diámetro
comercial  y  su  costo  es  de  COP  $  5,  778,819.  Por  su  parte  el  costo  del  diseño  obtenido  con
programación  lineal  es  de  COP  $  5,  666,668  implicando  una  diferencia  de  COP  $  112,151.  Es
importante aclarar que para este caso de estudio todos los diseños de SOGH y el diseño mediante
programación  lineal  cumplieron  con  el  coeficiente  de  uniformidad  y  la  presión  mínima  en  todos
sus nudos.

Este  caso  de  estudio  resulta  importante  debido  a  que  para  éste  se  realizó  un  análisis  de
sensibilidad.  El  objetivo  era  determinar  que  implicaciones  tenía  sobre  el  resultado  final  del
submódulo,  una  variación  en  el  coeficiente  (K)  o  el  exponente  de  la  curva  de  costos  (x)  (ver
Ecuación 3.9).

Ecuación 3.9

Aunque ya se ha mencionado anteriormente, es importante recordar que en la Ecuación 3.9 NT
hace referencia al número de tubos en el sistema, K corresponde al coeficiente de la curva de
costos, L

es la longitud de la tubería i, D

el diámetro de la tubería i y x es el exponente de la curva

5700000

5800000

5900000

6000000

6100000

6200000

6300000

6400000

6500000

6600000

6700000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Aprox. Anterior

Aprox. Siguiente

Redondeo Pot.

Redondeo

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de costos. De esta manera, se plantearon diferentes curvas de costos a la original en donde el
Coeficiente K es de 16.871 y el exponente x es de 1.647; en la siguiente tabla se presentan los
valores de K y x que se utilizaron:

Tabla 28. Valores de K y x utilizados para crear diferentes curvas de costos.

Curva de

Costo

16.871

1.647

16.871

0.7

1.647

En la Tabla 28 se observan 3 curvas de costos utilizadas para el análisis de sensibilidad realizado.
Se puede ver que la curva de costos C

corresponde a la que se utilizó para todos los casos de

estudio  mostrados  anteriormente  y  corresponde  a  la  curva  de  costos  obtenida  a  partir  de  las
tuberías  que  suministra  la  empresa  PAVCO  S.A.,  las  demás  curvas  mostradas  son  variaciones
teóricas de la curva original.  Los resultados comparativos entre SOGH y programación lineal con la
curva  de  costos  C

son los que se presentaron en la Gráfica 3-50 en las siguientes gráficas se

observa la comparación entre ambas metodologías usando C

y C

Gráfica 3-51. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de redondeo, con el costo

del diseño obtenido mediante programación lineal. Caso de estudio 5 usando la curva de costos C

285000

290000

295000

300000

305000

310000

315000

320000

0.2

0.4

0.6

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Aprox. Anterior

Aprox. Siguiente

Redondeo Pot.

Redondeo

Diseño - Programación
Lineal

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Gráfica 3-52. Comparación de la relación Costo-Flecha usando SOGH y utilizando 4 criterios de redondeo, con el costo

del diseño obtenido mediante programación lineal. Caso de estudio 5 usando la curva de costos C

Como puede observarse en la Gráfica 3-51 y la Gráfica 3-52, el diseño usando programación lineal
siempre  resulta  más  económico  que  los  diseños  de  SOGH,  independiente  de  la  curva  de  costos
utilizada.  Lo  que  se  puede  esperar  es  que  el  único  caso  en  que  el  diseño  de  SOGH  y  el  diseño
mediante  programación  lineal  tengan  el  mismo  costo  es  en  un  caso  hipotético  en  el  que  el
exponente de la curva de costos sea igual a cero (0). En el caso en que el exponente de la curva de
costos  sea  0  el  costo  del  sistema  únicamente  será  función  de  la  longitud  de  las  tuberías  y  del
coeficiente de la curva de costos. Para este caso, la metodología SOGH establecerá un diseño igual
al obtenido en el caso inicial, ya que la forma en que SOGH asigna los diámetros es independiente
de  la  curva  de  costos.  Por  otro  lado  la  formulación  lineal  presentará  una  gran  cantidad  de
soluciones  factibles,  donde  una  de  ellas  será  un  diseño  en  el  que  todos  los  tubos  del  sistema
tengan  el  diámetro  máximo;  sin  embargo,  a  pesar  de  que  se  asigne  el  máximo  diámetro
disponible, dado que el exponente de la curva de costos es 0 entonces el diseño tendrá el mismo
costo establecido por la metodología SOGH.

980000

1000000

1020000

1040000

1060000

1080000

1100000

1120000

1140000

1160000

1180000

1200000

0.2

0.4

0.6

Costo

Sub

mód

ulo

(COP)

Flecha

Aprox. Anterior

Aprox. Siguiente

Redondeo Pot.

Redondeo

Diseño - Programación
Lineal

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4. CONCLUSIONES

A  lo  largo  de  este  trabajo  se  presentaron  diferentes  análisis,  diseños,  metodologías  y
comparaciones.  Primero  se  presentó  un  resumen  de  lo  que  se  conoce  de  sistemas  de  riego
localizado de alta frecuencia, después se realizó un análisis de la metodología SOGH y su aplicación
al diseño de submódulos de riego y finalmente se presentó una nueva metodología para el diseño
de  sistemas  de  submódulos  de  riego.  Teniendo  en  cuenta  lo  mostrado  a  lo  largo  de  este
documento se puede concluir:



El  uso  de  programación  lineal  en  conjunto  con  la  metodología  SOGH  permitió
obtener  una  metodología  de  diseño  de  submódulos  de  riego  que  conlleva  a
diseños que cumplen con las restricciones hidráulicas y agronómicas y que a su vez
resulta  en  diseños  más  económicos  que  los  obtenidos  por  la  metodología  SOGH
originalmente planteada por Ochoa (2011).



La metodología planteada requiere de un proceso iterativo basado en el algoritmo
de bisección para poder llegar a un diseño óptimo. Esto se debe a que existe una
sensibilidad  de  los  diseños  obtenidos,  respecto  a  la  flecha  a  partir  de  la  cual  se
plantea  la  superficie  de  gradiente  hidráulico  que  permite  establece  los  caudales
que se emitirán en los nudos del sistema.



La metodología de diseño se probó para diferentes casos de estudio, donde cada
caso de estudio presentó parámetros de entrada diferentes. En los diferentes
diseños se cambiaron los caudales medios por emisor, la ecuación del emisor, la
topología, CU y la topografía y se observó que siempre la metodología planteada
presentaba menores costos que la metodología SOGH del 2009.



Entre  menor  sea  el  exponente  de  la  curva  de  los  emisores  en  el  submódulo,  el
proceso de convergencia del algoritmo será más rápido. Esto ocurre debido a que
entre  menor  sea  el  exponente  del  emisor,  se  presentará  una  menor  sensibilidad
del caudal emitido con respecto a la presión en el punto de emisión.



En  los  casos  en  que  el  submódulo  presente  emisores  autocompensantes  el
diseñador debe definir la PES, la presión mínima y los caudales que desea en cada
emisor  del  submódulo.  En  este  caso  la  metodología  planteada  por  Bermúdez  no
puede  aplicarse  dado  que  el  exponente  de  la  ecuación  del  emisor  es  0  y  resulta
matemáticamente inviable.



Cuando  el  submódulo  de  riego  tiene  emisores  autocompensantes,  el  algoritmo
planteado  resulta  innecesario  y  únicamente  se  requiere  realizar  un  diseño
mediante  programación  lineal  en  Xpress,  que  resultará  en  el  diseño  óptimo  del
sistema. Este diseño resulta ser el diseño óptimo global ya que al ser un problema

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lineal no se presentan óptimos locales y solo se presenta un diseño óptimo que
cumple con todas las restricciones establecidas en la formulación. Adicionalmente
es importante mencionar que el tiempo que Xpress tarda en realizar un diseño es
inferior a 1 segundo.



La  metodología  SOGH  es  aplicable  al  diseño  de  submódulos  de  riego,  llevando  a
diseños  cuyo  costo  no  es  superior  al  2%  del  óptimo  obtenido  mediante  la
metodología planteada.



La flecha máxima de diseño de la metodología SOGH para el caso en que la última
tubería  tiene  una  longitud  infinitesimal,  es  la  flecha  de  0.25.  En  este  caso,  la
pendiente  de  la  línea  de  gradiente  hidráulico  presenta  una  pendiente  cero  en  el
último punto del sistema y esto significaría hacer uso de una tubería de diámetro
infinito con el fin de cumplir con las pérdidas objetivo de cero. Por otro lado, este
caso es solo un caso teórico, y dado que la última tubería del sistema presentará
una  longitud  no  diferencial,  el  valor  de  la  flecha  máxima  puede  aumentar  en
función de la última tubería de la ruta crítica.



En  el  caso  de  submódulos  de  riego,  no  es  posible  determinar  la  flecha  óptima
propuesta  por  Ochoa;  esto  ocurre  porque  en  un  submódulo  de  riego,  con
emisores no autocompensantes, no se conocen a priori los caudales emitidos en
los nudos que componen el sistema.



Al aplicar la metodología SOGH al diseño de submódulos de riego, La curva Costo-
Flecha del diseño de diámetros continuos, presenta un patrón donde la flecha de
mínimo  costo  es  una  flecha  intermedia  entre  la  flecha  0  y  0.25.  Este  patrón  se
mantiene  para  un  mismo  submódulo  de  riego,  independientemente  de  las
características de los emisores que se utilicen; sin embargo, la flecha que lleva al
mínimo  costo  con  diámetros  continuos  varía  dependiendo  de  la  topología  de  la
red.



Los resultados encontrados por Bermúdez, aunque no llevan a un diseño óptimo
de forma directa, permiten determinar la relación que existe entre la presión de
entrada al submódulo de riego y el coeficiente de uniformidad, de tal manera que
se pueda establecer la presión a la entrada del submódulo, a partir de la cual no se
cumplirá con el requerimiento agronómico de uniformidad.

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5. RECOMENDACIONES

Con este trabajo surgió una nueva forma de diseñar submódulos de sistemas de riego localizado
de alta frecuencia, que como bien es sabido, la metodología hace uso de programación lineal y su
formulación surgió de un ejemplo sencillo de redes abiertas con demanda constante en sus nudos.
De esta manera la formulación implementada en el programa Xpress se puede utilizar para realizar
el diseño de cualquier sistema de tuberías en donde se conozca el camino que toma el fluido y el
caudal que pasará por cada una de las tuberías que componen el sistema, permitiendo obtener de
forma rápida el diseño óptimo global del sistema. Teniendo en cuenta lo mencionado y lo
presentado a lo largo de este trabajo a continuación se presentan las siguientes recomendaciones
para futuros estudios:



Dado  que  la  formulación  matemática  planteada  en  este  trabajo  es  aplicable  a  redes
abiertas  con  demanda  constante,  su  uso  para  el  diseño  diferentes  sistemas  hidráulicos
podría  presentar  resultados  muy  parecidos  a  los  mostrados  en  este  trabajo.  A
continuación se dan algunos ejemplos para futuras investigaciones:

Diseño de redes de distribución de agua potable (RDAP): En los últimos años se ha
venido  desarrollando  en  el  Centro  de  Investigaciones  en  Acueductos  y
Alcantarillados  (CIACUA)  la  metodología  OPUS  que  busca  obtener  el  diseño
óptimo  de  RDAP.  Esta  metodología,  que  ha  obtenido  importantes  resultados  en
sus investigaciones, presenta dentro de su algoritmo, una etapa en la cual la red
cerrada  se  convierte  en  un  árbol  (red  abierta).  Al  tenerse  una  red  abierta  y  los
caudales  de  diseño  en  cada  tubería  se  puede  proceder  a  utilizar  la  formulación
planteada en este trabajo de tal forma que se tenga un diseño  óptimo  del árbol
que se generó mediante la metodología OPUS. Una vez se tiene el diseño óptimo
del árbol es necesario diseñar las tuberías que no se incluyeron en éste. Para esto
es recomendable probar diferentes criterios de diseño de las tuberías faltantes de
forma que se pueda obtener un diseño óptimo de una RDAP. Actualmente y con
base en los resultados y programas del presente trabajo se han venido realizando
los  diseños  de  diferentes  redes,  y  hasta  la  fecha  se  ha  encontrado  que  para  las
redes R28 y Balerma se puede obtener un diseño óptimo.

Diseño  de  alcantarillados:  Como  bien  es  conocido,  el  conjunto  de  tuberías  que
conforman  un  sistema  de  drenaje  urbano  presenta  una  topología  abierta.
Teniendo  una  topología  abierta  y  conociendo  los  caudales  que  pasan  por  cada
unas  de  las  tuberías  se  puede  hacer  uso  de  la  formulación  lineal  presentada  en
este trabajo, de manera que se obtenga un diseño óptimo. Es importante aclarar
que se deben hacer algunas modificaciones en las restricciones de la formulación
matemática,  dado  que  el  flujo  en  alcantarillados  no  es  un  flujo  a  presión.

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Adicionalmente se deben agregar restricciones que se presentan en estos tipos de
sistemas; por ejemplo, cuando se tiene flujo cuasicrítico la relación de llenado de
las tuberías no puede ser mayor al 70% y que en cada tubería se debe cumplir con
una velocidad mínima (para asegurar la autolimpieza) y velocidad máxima (por
seguridad).

Diseño  de  tuberías  en  serie:  El  diseño  con  programación  lineal,  de  tuberías  en
serie con demanda constante en los nudos de consumo es un problema resuelto.
La formulación lineal permitirá obtener el diseño  óptimo del problema de forma
rápida  y  eficiente.  Teniendo  en  cuenta  lo  anterior,  se  recomienda  estudiar  las
líneas  de  gradiente  hidráulico  resultantes  en  diferentes  sistemas  de  tuberías  en
serie  al  aplicar  programación  lineal.  Estas  investigaciones  permitirán  conocer  de
forma exacta las características de la LGH óptima y sus variaciones respecto a las
características del sistema de tuberías que se plantee.



En el presente trabajo se pudo observar que se obtuvo el diseño óptimo de submódulos
de riego. Ahora es necesario investigar la manera en que se debe diseñar todo el sistema
que se encuentra aguas arriba de la entrada a los diferentes submódulos de riego. Para
esto se debe definir la manera en que se operará todo el sistema de riego en sí, es decir el
orden en que se operarán los diferentes submódulos de riego que componen el sistema
en su totalidad, de forma que se optimice el diseño de los sistemas de tuberías principales
y la aplicación de los nutrientes que se agregan al fluido en la estación que alimenta todo
el sistema de riego.



Mediante  los  resultados  obtenidos  al  verificar  el  trabajo  de  Bermúdez,  se  puede
establecer  que  existe  una  presión  de  entrada  máxima  que  cumpla  con  el  coeficiente  de
uniformidad. Pero  es posible que  en campo esta  presión no pueda lograrse a la entrada
del submódulo y se requiera de alguna bomba para lograr tener esa presión. En este caso
se  recomienda  un  análisis  de  costos  que  determine  si  es  mejor  colocar  una  bomba  que
permita  tener  la  PES  establecida  por  Bermúdez,  logrando  minimizar  los  costos  de  las
tuberías o si es mejor no colocar la bomba y tener una PES menor pero con diámetros de
tuberías mayores.



La  metodología  SOGH  presenta  resultados  muy  buenos  en  el  diseño  de  submódulos  de
sistemas  de  riego,  pero  es  necesario  realizar  algunas  modificaciones  en  algunos  pasos
como en el de la determinación de la flecha óptima. Para el caso de Submódulos de RLAF,
no es posible establecer la flecha óptima mediante lo propuesto por Ochoa debido a que
no  es  posible  establecer  un  centroide  de  demandas.  Se  recomienda  hacer  uso  de
programación lineal para poder determinar la LGH óptima en este tipo de sistemas y sus
variaciones respecto a variaciones en los parámetros de entrada al problema de diseño.

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6. REFERENCIAS

Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados, C. (2008). Programa REDES.
Bogotá: Universidad de los Andes.

De Paco, J. L. (1993). Fundamentos del Cálculo Hidráulico en los Sistema de Riego y de
Drenaje. Madrid: Mundi-Prensa.

IDEAM. (2011). Estudio Nacional del Agua. Bogotá, Colombia.

Kelle, J., & Karmeli. (1974). Trickle irrigation design. Rainbird Sprinkler Manufacturing
Corporation .

López, J. R. (1992). Riego Localizado. Madrid: Mundi-Prensa.

Ochoa, S. (2009). Diseño Optimizado de Redes de Distribución de Agua Potable con Base
en el Concepto Energético de Superficie Óptima de Gradiente Hidráulico . Bogota:
Universidad de los Andes.

Pizarro, F. (1996). Riegos Localizados de Alta Frecuencia. Goteo, microaspersión,
exudación. Madrid: Mundi-Prensa.

Saldarriaga, J. (2007). Hidráulica de Tuberías. Abastecimiento de Agua, Redes, Riego.
Bogotá: Alfaomega.

Solomon, K. H. (1985). Global uniformity of trickle irrigation system. ASAE , 1151-1158.

Villalba, G. (2004). Algoritmos de optimización combinatoria aplicados al diseño de redes
de distribución de agua potable. Bogotá: Universidad de Los Andes.

Wu, I. (1975). Design of Drip Irrigation Main Lines. Journal of the Irrigation and Drainage
Division , 265 - 278.

Bermúdez, N. (2011). Desarrollo de una metodología de diseño hidráulico para
submódulos de sistemas de riego localizado de alta frecuencia. Bogotá: Universidad de los
Andes.

Paez, D. (2011). Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando
simulación de eventos discretos. Bogotá: Universidad de los Andes.

OECD 2006, The impacts of Change on the Long-term Future Demand for Water Sector
infrastructure.

Departamento Nacional de Planeación. (1998). Recuperado el 9 de Junio de 2011, de
http://www.dnp.gov.co/PortalWeb/Portals/0/archivos/documentos/DDRS/Publicaciones_
Estudios/ProductividadMR.pdf

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7. ANEXOS

En  esta  sección  se  presenta  una  breve  descripción  del  uso  de  los  programas  que  fue  necesario
desarrollar  con  el  objetivo  de  realizar  los  diseños  mediante  la  metodología  planteada.  Se
mostrarán dos programas sin entrar en detalle en las subrutinas y la formulación detrás de estos,
únicamente se mostrará su manera de uso y los resultados que producen.

7.1. Programa para el cálculo de PES y generar archivo de Xpress.

El programa que se presenta a continuación es un programa en Microsoft Excel con Visual Basic
para aplicaciones. El programa permite determinar la presión de entrada al submódulo usando la
metodología planteada por Bermúdez y adicionalmente permite generar las 4 matrices (en el
formato de Xpress) necesarias para realizar el diseño de una red abierta mediante programación
lineal. De esta manera al abrir el programa el usuario se encontrará con la hoja “INICIO” la cual se
ve como se muestra a continuación:

Figura 30. Hoja “INICIO”. Programa para el cálculo de PES y la generación de matrices de Xpress.

Como se observa en la Figura 30, la hoja “INICIO” es una hoja bastante sencilla, donde el usuario
solo tiene dos opciones, hacer click en el botón que lo llevará a la hoja para realizar el cálculo de la
presión de entrada al submódulo  (PES) o hacer  click en el botón para generar el archivo  con las
matrices  de  entrada  a  Xpress.  Al  hacer  click  en el  botón para  cálculo  de  presión a  la  entrada,  el
usuario será llevado a la hoja “Cálculo PES” donde se encontrará con una tabla para ingresar los
datos  de  entrada.  La  primera  parte  de  la  tabla  permite  al  usuario  ingresar  los  valores  de  la
viscosidad  cinemática  del  fluido  que  se  moverá  por  el  sistema  de  tuberías  y  adicionalmente
permite asignar el valor de la aceleración de la gravedad (Ver Tabla 29).

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Tabla 29. Tabla para ingresar la gravedad y la viscosidad cinemática del fluido, Hoja “Cálculo PES”.

CONSTANTES

Gravedad (g)

Viscosidad cinemática

(m/s

)

/s)

9.81

1.14E-06

Como se puede observar en la Tabla 29, las celdas de los datos de entrada son azules, de esta
manera en todo el programa los valores que el usuario debe ingresar presentarán un color azul. La
segunda parte de la tabla principal permite al usuario ingresar los valores correspondientes al
diseño agronómico y las propiedades de los emisores (ver Tabla 30).

Tabla 30. Tabla para ingresar los datos agronómicos y las propiedades de los emisores, Hoja “Cálculo PES”.

DATOS AGRONÓMICOS

Coeficiente

uniformidad

(CU)

Número de

emisores

por planta

)

Presión

media de

operación

)

Caudal

medio por

emisor

)

()

(mca)

(l/h)

0.85

10.00

Coeficiente de variación del emisor (CV)

0.04

Exponente del emisor

0.2

Coeficiente del emisor (l/s)/(m

)

0.01402127

En  la  Tabla  30  se  puede  ver  que  el  usuario  debe  ingresar  el  Coeficiente  de  Uniformidad  (CU)
deseado,  el  número  de  emisores  que  utilizará  por  planta,  el  caudal  medio  por  cada  emisor,  el
coeficiente  de  variación  (CV)  y  los  valores  del  exponente  y  coeficiente  de  la  ecuación  que
caracteriza los emisores. Se puede ver que la presión media de operación en cada emisor no es un
dato que el diseñador asigne, sino que es calculado (En color verde se presentan los resultados); el
cálculo de la presión media se obtiene a partir del caudal medio del emisor y la ecuación de éste.

Una vez el usuario ha ingresado todos los datos de entrada (Celdas en azul), debe hacer click en el
botón:

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Al hacer click en el botón “Calcular Presión de Entrada al Submódulo” el programa calculará la
tolerancia de caudales y presiones para determinar la presión mínima aceptable en el submódulo
de riego, adicionalmente se generará la curva de Coeficiente de Uniformidad vs PES establecida en
el trabajo de Bermúdez (ver Gráfica 7-1).

Gráfica 7-1. Curva CU vs PES, Hoja “Cálculo PES”.

Como se mencionó anteriormente, el programa calcula internamente la presión mínima aceptable
y haciendo uso de los resultados de la Gráfica 7-1 establece la presión de entrada al submódulo de
riego. Los resultados de la presión mínima y la PES se muestran en la tercera tabla que comprende
la hoja “Cálculo PES” (ver Tabla 31).

Tabla 31. Resultados de presión mínima y PES. Hoja “Cálculo PES”.

Presión mínima en el Submódulo (mca)

5.33

Presión de Entrada al Submódulo (PES), (mca)

18.69

Habiendo calculado la presión mínima y la presión de entrada al submódulo el siguiente paso
consiste en generar el archivo de entrada a Xpress. Para esto se debe generar un modelo del
submódulo de riego en REDES o EPANET, donde se establezca la topología del submódulo, asigne
las propiedades a cada una de las tuberías, establezca el caudal demandado en cada nudo y asigne

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

eficien

de Unif

orm

idad

()

Presión de Entrada al Submódulo (mca)

Curva PES vs CU

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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a la entrada del submódulo la PES calculada. Si el usuario generó el modelo en REDES debe
exportarlo a EPANET debido a que el programa lee archivos *.INP que corresponden al formato de
EPANET. Para mostrar el funcionamiento de esta parte del programa se utilizará una pequeña red
de ejemplo que es la que se muestra a continuación:

Figura 31. Red ejemplo para mostrar uso de programa.

La red ejemplo para mostrar el uso del programa con el fin de generar las matrices de entrada a
Xpress se observa en la Figura 31, donde se puede ver que existen 4 tuberías (1, 2, 3 y 4), 4 nudos
de consumo (1, 2, 3 y 4) y una fuente de abastecimiento con LGH de 50 mca. En la siguiente tabla
se presentan la altura topográfica y demanda base de cada uno de los nudos y la longitud de cada
una de las tuberías. La rugosidad utilizada para este ejemplo es de 0.0000015 m.

Tabla 32. Elevación y demanda base en los nudos y longitud de las tuberías.

ID Nudo

Elevación

()

(m)

ID Nudo Demanda_Base

()

(l/s)

ID Tubo

Longitud

()

(m)

170.514

122.788

113.893

148.037

Una vez se tiene el modelo del submódulo en EPANET, el usuario debe hacer click en el botón
“Generación de Archivo de Entrada a Xpress” de la hoja “INICIO” y este botón llevará al usuario a la
hoja “Matriz” que se ve como se muestra a continuación:

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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Figura 32. Vista general de la hoja “Matriz” para la generación del archivo con las matrices de entrada a Xpress.

Como  se  puede  ver  en  la  figura  superior,  la  hoja  “Matriz”  cuenta  con  9  botones  que  el  usuario
debe utilizar de manera secuencial de arriba hacia abajo. Adicionalmente en la parte derecha se
observa  que  existe  una  espacio  donde  se  le  pide  al  usuario  introducir  el  conjunto  de  diámetros
comerciales  disponibles;  y  para  el  correcto  funcionamiento  del  programa  el  usuario  debe
introducir  en  las  celdas  adjuntas  a  la  palabra  “Diámetros:”  todos  los  diámetros  que  tiene
disponibles  para  diseñar.  Para  la  red  ejemplo  mostrada  suponga  que  únicamente  se  tienen  3
diámetros comerciales disponible (200 mm, 100 mm y 75 mm) como se muestra en la Figura 32.

Una vez el usuario ha introducido los diámetros comerciales, puede empezar a hacer uso de los
botones que se describen a continuación

1. Importar Archivo: Este es el primer botón que el usuario debe utilizar. Este botón

permitirá  importar  el  archivo  *.INP  de  EPANET  para  que  el  programa  pueda  leer  la
topología  de  la  red  y  adicionalmente  permitirá  que  el  programa  haga  uso  del  Toolkit  de
EPANET  con  Excel  para  poder realizar  los  cálculos  hidráulicos  requeridos  para  calcular  la
matriz  de  pérdidas  totales.  Cuando  el  usuario  hace  click  en  este  botón  aparecerá  una
ventana  como  la  que  se  muestra  a  continuación,  donde  el  usuario  debe  seleccionar  el
archivo *.INP que se desea importar.

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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Figura 33. Ventana para seleccionar el archivo de EPANET que se desea importar, Red Ejemplo.

Al seleccionar el archivo *.INP deseado el programa colocará en una hoja aparte todas las
características  de  la  red  y  guardará  en  una  celda  oculta  la  dirección  del  archivo
seleccionado. De esta manera se tiene ubicado el archivo para poder hacer uso del Toolkit
de  EPANET  con  Microsoft  Excel  para  los  procedimientos  posteriores.  De  esta  manera,
habiendo  importado  el  archivo  (en  este  caso  Red  Ejemplo  Anexos.inp)  exitosamente  el
usuario puede proceder al siguiente botón.

2. Generar Rótulo Matriz: Este botón es el encargado de leer el archivo importado y generar

el rótulo de la matriz de costos y la matriz de pérdidas totales. Al hacer click en el botón se
generará el rótulo tal como se puede observar en la siguiente figura para el caso de la red
de ejemplo:

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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Figura 34. Generación del rótulo de las matrices de costos y pérdidas totales, Red Ejemplo.

Si se observa la Figura 34 se puede notar que al seleccionar el botón “Generar Rótulo Matriz”  se
llenan 4 columnas con la información correspondiente al ID de la tubería, el nudo 1 (nudo aguas
arriba del tubo), nudo 2 (nudo aguas abajo del tubo) y la longitud del tubo en metros. Para esta
red  de  ejemplo  se  puede  observar  que  existen  las  4  tuberías  mostradas  en  la  Figura  31  y  que  a
cada una le corresponde la longitud que se mostró inicialmente en la  Tabla 32. Haciendo uso de
este rotulo se procede a hacer click en el siguiente botón.

3. Generar Matriz de Costos: Al hacer click sobre este botón al usuario le saldrán las

siguientes ventanas:

Figura 35. Ventana para ingresar el valor del coeficiente de la curva de costos, Red Ejemplo.

Figura 36. Ventana para ingresar el valor del exponente de la curva de costos, Red Ejemplo.

En la primera ventana que aparece (ver Figura 35) se ingresa el valor del coeficiente de la
curva de costos, que para este caso se asignó un valor de 16.871. Cuando el usuario hace

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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click en aceptar, aparece inmediatamente la ventana donde se ingresa el exponente de la
curva de costos (ver Figura 36). Al aceptar el valor del exponente asignado se crea la
matriz de costos que para el caso de la red de ejemplo quedaría así:

Figura 37. Matriz de Costos, Red Ejemplo.

Al  observar  la  Figura  37  se  puede  ver  que  se  generó  la  matriz  de  costos.  Si  se  desea
verificar  que  los  resultados  mostrados  son  correctos,  se  puede  determinar  el  costo  de
asignarle  a  la  tubería  con  ID  1  el  diámetro  de  200  mm;  para  esto  se  utiliza  la  siguiente
ecuación

Ecuación 7.1

De esta manera, habiendo establecido la matriz de costos, se puede proceder a
transformar la matriz mostrada al formato que lee el programa Xpress (Siguiente botón).

4. Generar Matriz de Costos en Formato Xpress: Hacer click en este botón únicamente

guardará  en  la  hoja  “datos.txt”  la  matriz  de  costos  en  el  formato  que  lee  Xpress.  En  el
formato  creado  por  Xpress  se  asigna  en  un  paréntesis  los  parámetros  que  identifican  la
tubería  y  fuera  del  paréntesis  el  valor  del  costo  al  utilizar  el  diámetro  que  se  muestra
dentro de los parámetros. El formato de cada línea correspondiente a la matriz de costos
en formato Xpress es el siguiente:

(Nudo Aguas Arriba, Nudo Aguas Abajo, Diámetro)Costo Asociado

De esta manera para el caso de la red de ejemplo, el formato quedará como se muestra a
continuación:

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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Formato Xpress 1. Matriz de costos.

c:[

(1,2,200)17729539.0235421
(2,3,200)12767151.3322971
(2,4,200)11842222.2772582
(2,5,200)15392397.3391019
(1,2,100)5661102.7962649
(2,3,100)4076595.33683489
(2,4,100)3781262.30799107
(2,5,100)4914845.41712585
(1,2,75)3524738.82118234
(2,3,75)2538186.34974677
(2,4,75)2354304.89954064
(2,5,75)3060101.02011986
]

Si se observan la matriz de costos en formato de archivo de entrada a Xpress se podrá ver
que por ejemplo en la segunda línea, se indica que el costo asociado al tramo
comprendido entre el nudo 1 y el nudo 2, usando un diámetro de 200 mm es de COP $ 17,
729,539.

5. Generar Matriz de Pérdidas de Presión: Una vez se ha generado la primera matriz en

formato Xpress se procede a calcular la matriz de pérdidas totales. Para poder calcular las
pérdidas  que  ocurren  en  un  tramo  del  sistema  utilizando  un  diámetro  determinado  se
hace uso del Toolkit de EPANET con Excel, el cual permite que únicamente haciendo click
en el botón “Generar Matriz de Pérdidas de Presión”, se calcule la matriz de pérdidas de
forma automática. Si el usuario desea entrar en detalle de cómo se realiza este proceso de
forma  automática,  puede  encontrar  la  subrutina  correspondiente  en  el  Módulo  “Llenar
Datos” y la subrutina “Matrizdp”.

Dicho lo anterior si se hace click en este botón se generará la matriz de pérdidas tal como
se muestra a continuación (ver Figura  38). Si se observa la siguiente figura se podrá ver,
por ejemplo, que si en la tubería de ID 1 se utiliza un diámetro de 100 mm, las pérdidas
totales  serán  de  18.153  mca,  si  por  el  contrarío  se  utiliza  un  diámetro  de  75  mm  las
pérdidas  totales  serán  mayores  y  representarán  un  gasto  de  73.180  mca  de  la  energía
total.

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Figura 38. Matriz de pérdidas totales, Red Ejemplo.

6. Generar Matriz dp en Formato Xpress: Este botón permite que, habiendo calculado la

matriz de pérdidas totales, se pase la información al formato que se requiere por Xpress.
Este formato para el caso de la matriz de pérdidas totales se presenta a continuación:

Formato Xpress 2. Matriz de pérdidas totales.

dp:[
(1,2,200)0.642143368721008
(2,3,200)1.89556125551462E-02
(2,4,200)4.03186343610287E-02
(2,5,200)4.13717590272427E-02
(1,2,100)18.1530704498291
(2,3,100)0.517597138881683
(2,4,100)1.11126124858856
(2,5,100)1.137322306633
(1,2,75)73.1820068359375
(2,3,75)2.05202221870422
(2,4,75)4.4234676361084
(2,5,75)4.52198696136475
]

Si se observa el Formato Xpress 2 se podrá ver (penúltima línea) que en el tramo
comprendido entre el nudo 2 y el nudo 5, si se utiliza un diámetro de 75 mm se generarán
unas pérdidas totales de 4.521 mca.

7. Generar Matriz de Conexión en Nudos en Formato Xpress: Una vez se han creado las

matrices de costo y pérdidas totales, es necesario establecer una matriz de conectividad
que permitirá a Xpress conocer la forma en que se conectan los nudos que componen el

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sistema. Al hacer click en este botón se generará automáticamente la matriz de
conectividad en formato de entrada a Xpress. A continuación se muestra la forma en que
quedó para el caso de la red de ejemplo:

Formato Xpress 3. Matriz de Conectividad de los nudos.

w:[
(1,2)1
(2,3)1
(2,4)1
(2,5)1
]

Como se observa en el Formato Xpress  3 la matriz de conectividad asigna un valor de 1 a
los  nudos  que  se  encuentran  conectados.  Por  ejemplo,  dado  que  el  nudo  1  (nudo  aguas
arriba)  y  el  nudo  2  (nudo  aguas  abajo)  están  conectados,  se  asigna  un  valor  de  1  para
establecer en Xpress que estos nudos están conectados con una tubería.

8. Generar Matriz de LGH Mínimas en cada Nudo en Formato Xpress: Este botón permite

generar finalmente la matriz donde se establece la LGH mínima en cada uno de los nudos.
Al hacer click saldrá la siguiente ventana:

Figura 39. Ventana para ingresar la presión mínima deseada, Red Ejemplo.

En la ventana mostrada en la Figura 39 el usuario debe ingresar la presión mínima que
desea, y al hacer click en aceptar se generará la matriz de LGH mínima en formato Xpress:

Formato Xpress 4. Matriz de LGH mínima en los nudos.

LGHmin:[
(2)9
(3)5
(4)9
(5)8
]

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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Observando el Formato Xpress  4 se puede ver que la LGH mínima en el nudo 2 es igual a 9
mca,  que  corresponden  a  los  5  metros  de  presión  mínima  sumados  a  su  elevación
topográfica  de  4  metros.  Una  vez  se  tienen  las  cuatro  matrices  que  entran  a  Xpress,  el
siguiente paso es generar el archivo *.DAT.

9. Crear Archivo .dat: Al hacer click en este botón saldrá una ventana (ver Figura 40) donde

el usuario debe ubicar la dirección donde desea ubicar el archivo que entrará a Xpress y
que contiene las cuatro matrices requeridas para realizar el diseño:

Figura 40. Ventana para guardar el archivo *.DAT de entrada a Xpress.

Si se observa la Figura 40 se podrá ver que el archivo que se guarda debe guardarse como
un archivo tipo *.XLSX, el programa automáticamente convertirá el archivo guardado
como *.XLSX a *.DAT.

De esta manera, una vez el usuario ha creado el archivo *.DAT el siguiente paso consiste en utilizar
Xpress. Cuando el usuario abre Xpress se encontrará con la siguiente interfaz:

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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Figura 41. Interfaz Xpress.

Al entrar a Xpress el usuario puede abrir la formulación del problema de diseño y en la parte
derecha de la interfaz aparecerá el código correspondiente a la formulación creada:

Figura 42A. Código de formulación lineal, problema de diseño de tuberías.

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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Figura 42B. Código de formulación lineal, problema de diseño de tuberías, continuación.

En la Figura 42 se presenta el código de Xpress para el problema de diseño de tuberías de redes
abiertas.  En  el  código  se  encuentran  definidas  todas  las  restricciones  del  problema,  la  función
objetivo y el tipo de variable que se utiliza (para ver la formulación matemática del problema ir a
la  Sección  3.4.1.1.1  en  la  página  84).  Para  poder  diseñar  el  usuario  únicamente  debe  cambiar  2
cosas en el código de acuerdo con la red que desee diseñar.

1. Leer archivo de entrada con las matrices: Para poder diseñar se le debe indicar a Xpress el

nombre del archivo que contiene las 4 matrices (costos, pérdidas totales, conectividad y
LGH

mínimas

). Para esto en la parte del código donde se define el archivo de entrada se debe

colocar el nombre, tal como se muestra a continuación:

En este caso se observa que el archivo de entrada (inputFile) se llamó data.dat. El ejemplo
que se muestra corresponde al de la red ejemplo que se ha utilizado en la sección Anexos.
Es importante recordar que el archivo data.dat contiene las cuatro matrices que se
presentaron anteriormente.

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/88ae8b59b810c6c34653cb4046c8e1c8/index-html.html

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2. LGH y ID del nudo de abastecimiento: Para el caso de la red ejemplo se debe indicar a

Xpress que el ID del embalse es 1 y que su altura piezométrica es de 50 mca. Para esto se
debe cambiar en el código la línea donde se define esto, que es la que se muestra a
continuación:

Habiendo indicado a Xpress el archivo de entrada y el ID y la altura piezométrica del embalse, se

procede a diseñar. Para diseñar se debe hacer click en el botón

de Xpress y de esta manera

Xpress generará el resultado del diseño, entregando un archivo de Salida, que para el caso de la
red ejemplo resulta:

Figura 43. Resultados del diseño generado por Xpress, Red Ejemplo.

En  la  Figura  43  se  observa  que  Xpress  entrega  como  solución  un  diseño  que  cuesta  COP  $  13,
613,700  y  que  consiste  en  colocar  una  tubería  de  100  mm  y  las  otras  tres  de  75  mm.  De  esta
manera,  se  ha  diseñado  usando  formulación  lineal  y  el  siguiente  paso  consiste  en  pasar  los
resultados al modelo en EPANET donde se podrá verificar el adecuado funcionamiento del diseño
resultante.

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