Dimensión fractal e identificación de potenciales sectores de servicio en redes de distribución de agua potable utilizando criterios hidráulicos.

La fractalidad es una de las propiedades geométricas encontradas de forma más recurrente en diferentes sistemas naturales y artificiales

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Este artigo é parte integrante da 

Revista Recursos Hídricos, Vol. 40, N.º 2, 27-38, dezembro de 2019.

© APRH, ISSN 0870-1741 | DOI 10.5894/rh40n2-cti3

Dimensión fractal e identificación de potenciales 

sectores de servicio en redes de distribución de 

agua potable utilizando criterios hidráulicos

Fractal Dimension Assessment and Identification of Potential 

District-Metered Areas in Water Distribution Networks Using 

Hydraulic Criteria

Kevin Vargas

1

, Camilo Salcedo

2

, Juan Saldarriaga

@, 3

@

 Autor Correspondiente: jsaldarr@uniandes.edu.co

1

 Investigador, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados (CIACUA), Universidad de Los   Andes, Colombia, Carrera 1 Este N° 19A – 40, Bogotá

2

 Profesor Instructor, Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental, Universidad de Los Andes, Colombia, Carrera 1 Este N° 19A – 40, Bogotá

3

 Profesor Titular, Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental, Universidad de Los Andes, Colombia, Carrera 1 Este N° 19A – 40, Bogotá

RESUMEN: 

El algoritmo de Box Covering, utilizado para el cálculo de la dimensión fractal en Redes de Distribución 

de Agua Potable (RDAPs), fue propuesto como una alternativa para identificar posibles sectores hidráulicos en 

RDAPs. La calidad de posible sectorización de las redes se midió mediante el Índice de Modularidad (Q). A través del 

uso de variables hidráulicas, como la Línea de Gradiente Hidráulico (LGH), se establecieron unos criterios (sumQ y 

LGH*sumQ) para el cálculo de los pesos de las uniones (nudos, embalses, tanques, entre otros) en dicho método, se 

realizaron pruebas para identificar sectores potenciales en las redes de Cazucá (sector de Bogotá, Colombia) Exnet y 

Santa Marta, Colombia. La identificación de sectores obtenida con el algoritmo de Box Covering fue comparada con la 

identificación de sectores obtenida mediante el algoritmo de Community Detection, así como con algunos resultados 

de la Battle of Water Networks District-Metered Areas 2016 (BWNDMA). De esta manera, fue posible concluir que la 

metodología propuesta es una alternativa viable para identificar posibles sectores hidráulicos en RDAPs de distintos 

tamaños y complejidades.
Palabras clave: dimensión fractal; sectorización; criterios hidráulicos.

ABSTRACT:

 Box-Covering Algorithm, used for the assessment of Fractal Dimension in Water Distribution Systems (WDS), was 

proposed as an alternative for the identification of potential District Metered Areas (DMAs) within WDS. The performance of 

the potential identified DMAs was measured through the Modularity Index (Q). Moreover, based in the hydraulic behavior 

of the system including the Hydraulic Grade Line (HGL), some indexes (SumQ and HGL*sumQ) were proposed. Hence, these 

hydraulic-based criteria were used for the assessment of the weight at the junctions of the system in the aforementioned 

algorithm. Afterwards, several tests were developed for the potential identification of DMAs in 3 different networks: Cazucá 

(a DMA in Bogota, Colombia), Exnet and Santa Marta, Colombia. The identification of DMAs obtained using Box Covering 

Algorithm was compared with the results obtained through Community Detection Algorithm, as well as some results from 

Battle of Water Networks District-Metered Areas (BWNDMA) 2016. Hence, it was possible to conclude that the proposed 

methodology is a feasible alternative for the potential identification of DMA in WDS of different sizes and complexities. 
Keywords: Fractal Dimension; DMA identification; Hydraulic Criteria; Box Covering Algorithm; Community Detection 

Algorithm.

Kevin Vargas, Camilo Salcedo y Juan Saldarriaga

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Kevin Vargas, Camilo Salcedo y Juan Saldarriaga

1. INTRODUCCIÓN

La fractalidad es una de las propiedades geométricas 

encontradas de forma más recurrente en diferentes 

sistemas naturales y artificiales, la cual se caracteriza 

por la presencia de patrones similares a diferentes 

escalas en estos. Aunque se han propuesto diversas 

definiciones para un fractal, la que mejor se ajusta a 

esta investigación corresponde a un arreglo, objeto 

o sistema abstracto que presenta autosimilitud en 

diferentes escalas, siendo esta última una propiedad 

de un objeto en donde el todo es similar a una parte 

de sí mismo.  

Dentro de la propiedad de autosimilitud no 

es necesario que en el sistema se presente 

exactamente la misma estructura, pero sí el mismo 

tipo de estructura geométrica en diferentes escalas. 

Por su parte, la cuantificación de las propiedades 

de un fractal se puede realizar a través de algunas 

dimensiones: La dimensión topológica () o 

dimensión “intuitiva” de cualquier objeto, arreglo 

o sistema fractal, siempre es un número entero 

(por ejemplo, un punto: , curva: , superficie: , etc.) 

mientras que su dimensión fractal puede ser un 

número decimal (fraccional) (Mandelbrot, 1983).

Ahora bien, en el caso de las Redes de Distribución 

de Agua Potable – RDAP-, el concepto de 

fractalidad se analiza desde una perspectiva menos 

geométrica. Se considera una RDAP fractal como 

aquella en la que sus uniones se conectan de 

forma similar a diferentes escalas, lo cual implica 

teóricamente un comportamiento similar de las 

características relacionadas con la hidráulica de 

la red a diferentes escalas. Para que esto último 

se cumpla, no es necesario que la geometría del 

sistema sea similar a diferentes escalas. Por lo tanto, 

una RDAP fractal puede cambiar completamente su 

geometría y seguir siendo igual de fractal siempre 

que la conectividad entre sus nudos siga siendo la 

misma. La autosimilitud en cuanto a conectividad 

de las RDAP es causada por factores que pueden 

ser atribuidos al ser humano, más que de origen 

físico, debido a la forma en que son construidos los 

sistemas de distribución de agua en general.

La identificación de estas características en las 

redes de distribución de agua potable permite 

realizar un análisis a gran escala con muy pocos 

detalles, garantizando un alto nivel de confianza en 

los resultados. Esto se puede hacer, antes de realizar 

un análisis detallado a una escala más fina. Este 

proceso ofrece una forma eficiente y confiable de 

analizar y manejar información de sistemas de gran 

tamaño (Diao, Butler e Ulanicky, 2017).

Debido a la identificación de propiedades de la 

fractalidad en las redes de distribución de agua, 

se ha propuesto su uso en la gestión operativa 

de estos sistemas en actividades tales como la 

identificación de sectores hidráulicos potenciales, 

para posteriormente llevar a cabo la sectorización 

de una red de distribución. 

En relación con lo anterior, la sectorización consiste 

en la división de una RDAP en zonas de menor 

tamaño y complejidad, con el propósito de realizar 

un manejo simplificado en aspectos inherentes 

a una red de agua potable tales como su análisis, 

planeación y su gestión (Laucelli et al., 2016). Sin 

embargo, para que el proceso de sectorización sea 

llevado a cabo en su totalidad, se debe abordar 

toda su complejidad (Walski, Kaufman e Malos, 

2001). Esto se desarrolla, en términos de los 

aspectos técnicos relacionados con la instalación 

de medidores y válvulas en sistemas reales, así 

como sus costos asociados, lo cual resulta en un 

proceso que requiere mucho énfasis por parte de 

las compañías de servicios públicos para llevar a 

cabo una sectorización efectiva.  

En los últimos años, se han propuesto distintos tipos 

de soluciones para abordar el problema operativo 

de la sectorización de una RDAP, abordando la 

identificación potencial de sectores de servicio 

en una etapa del proceso, y determinando la 

configuración y ubicación de los accesorios 

necesarios en una fase posterior (Laucelli et al. 

(2016), Gilbert et al. (2017), Martínez-Solano et al. 

(2018) y Liu e Han (2018)).

Un espacio ideal para poner a prueba metodologías 

como las descritas previamente fue el evento 

científico  The Battle of Water Networks District 

Metered Areas (BWNDMA), el cual se desarrolló en 

el marco de la versión 18 de la conferencia Water 

Distribution System Analysis – WDSA 2016, llevada 

a cabo en Cartagena, Colombia. Esta competencia 

se centró en la identificación de nuevos sectores 

hidráulicos en una red existente, en este caso 

E-Town. La solución propuesta por cada equipo 

debía garantizar el cumplimiento de restricciones 

económicas, de calidad de agua y relacionadas con 

la uniformidad de las presiones en el sistema en 

dos escenarios distintos: Una época húmeda, y una 

época de sequía con cortes de agua (Saldarriaga 

et al., 2019).  

Ahora bien, la presente investigación busca darle 

al análisis de la fractalidad de una RDAP una 

aplicación enfocada a la identificación de sectores 

de servicio potenciales en este tipo de sistemas, 

teniendo como ventaja una fuerte fundamentación 

en el conocimiento de la conectividad del sistema 

y su comportamiento hidráulico. Una vez estos 

potenciales sectores de servicio se encuentran 

definidos, se podrá proceder a realizar el análisis 

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relacionado con la instalación de accesorios para 

dividir efectivamente el sistema. 

Debido a lo anterior, en la presente investigación se 

propone el uso del algoritmo de “Box Covering” para 

la identificación de posibles sectores hidráulicos. 

La sectorización obtenida para las RDAPs fue 

evaluada mediante el Índice de Modularidad (Q). 

Cuando la división resultante no representa una 

mejora significativa respecto a una simple división 

aleatoria, este índice tiende a 0.0; por su parte, 

entre más independiente sean los sectores entre 

sí (existan menos interconexiones entre ellos) y 

entre mayor sea la densidad de tuberías por nudo 

en cada sector, este índice se acerca más a 1.0 (Zhu 

et al., 2008). De manera general, una modularidad se 

puede considerar alta cuando  (Newman e Girvan, 

2004). La metodología propuesta fue aplicada a tres 

redes de distribución de agua potable distintas, en 

donde se analizaron sistemas de diferentes tamaños 

y configuraciones con el fin de determinar la validez 

de la misma. 

2. METODOLOGÍA

2.1 Cálculo de la Dimensión Fractal de una RDAP

Una red se considera fractal si existe una relación 

potencial entre el número de grupos o “cajas” (

N

B

necesarias para cubrir todas las uniones de la red, 

y el tamaño de cada caja en términos de uniones 

(

l

B

) (Diao, Butler e Ulanicky, 2017). De esta forma, 

una red se considera fractal si para todos los 

l

B

 

posibles se obtienen valores de 

N

B

 de tal forma que 

se cumpla la Ecuación 1.

N

B

= K

0

l

d

B B

 

(1)

En esta ecuación, 

K

0

 representa el número de cajas 

para un 

l

B

 de 1 (es decir, el número total de uniones 

de la red) y 

d

B

 es el factor de escala que especifica la 

magnitud del cambio de las características en la red 

con respecto a la escala a la cual es analizada; este 

último se conoce como la dimensión fractal de la 

red de distribución. 

Ahora bien, si se toma el logaritmo en base 10 a 

cada lado de la Ecuación 1, se obtiene la expresión 

mostrada en la Ecuación 2. En otras palabras, una 

red se considera fractal si existe una relación lineal 

entre 

Log(N

) y Log(l

) para todos los posibles l

Log

(N

b

) = −d

b

Log

(l

B

) + Log(K

0

)

  

(2)

Al realizar un ajuste lineal a los datos obtenidos, si el 

coeficiente de determinación  es lo suficientemente 

alto, la red se considera fractal, y la dimensión 

fractal se obtiene mediante el valor absoluto de 

la pendiente de dicho ajuste. El procedimiento 

seguido para escoger las cajas para cada tamaño de 

caja y posteriormente calcular la dimensión fractal 

para cada RDAP, fue el mismo que el procedimiento 

descrito por Song et al., (2007). Este algoritmo se 

resume en la Figura 1.

INICIO

¿LB < LB_MÁX?

LB = LB + 2

Definir LB_MÁX

LB = 1; NB = Núm. Uniones

“Liberar” todas las uniones

 (NB = 0)

Paso = (LB-1)/2

Calcular el “peso” de cada unión 

libre

¿Uniones Libres > 0?

Escoger la unión con mayor masa 

como el centro de una nueva caja

Generar una nueva caja con las 

uniones libres que rodean la 

unión central con un paso igual al 

definido anteriormente

NB = NB + 1

Guardar Log(NB) y Log(LB)

Hacer la regresión lineal de 

Log(NB) vs Log(LB)

Imprimir la dimensión fractal:

d = -m

NO

FIN

NO

Figura 1. Diagrama de flujo del algoritmo para el 

cálculo de la dimensión fractal en redes.

En el método de Song et al., (2007), para el cálculo 

del peso de cada unión de la red, se cuentan las 

uniones que están conectadas a una distancia 

menor o igual al tamaño del paso (en términos de 

uniones) desde el centro que se esté considerando. 

Esto equivale a asignarle a cada unión un peso 

individual de una unidad. A este criterio se le asignó 

el nombre de Criterio Topológico (

w

= 1) ya que 

únicamente considera la topología de la red de 

distribución.

Además del Criterio Topológico, en esta investigación 

se incorporaron algunos criterios hidráulicos en 

el cálculo de la dimensión fractal. Para esto, se 

propusieron dos formas alternativas de asignarle el 

peso individual a cada unión. En el caso de las RDAP, 

una unión hace referencia a un nudo o conexión 

entre dos o más tuberías.

El primer criterio hidráulico propuesto, denominado 

como  Criterio SumQ, consiste en la asignación del 

peso mediante la sumatoria de todos los caudales que 

entran a la unión i, representado por la Ecuación 3.

w

i

=

Q

ji

  

(3)

Por su parte, el segundo criterio hidráulico 

propuesto, denominado como Criterio LGH*sumQ

es igual al descrito previamente multiplicado por 

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Kevin Vargas, Camilo Salcedo y Juan Saldarriaga

la altura de la línea de gradiente hidráulico (LGH) 

en la unión 

i. Este criterio es calculado utilizando la 

Ecuación 4.

w

i

= LGH

i

Q

ji

  

(4)

Una vez se calculaban los pesos de cada unión con el 

criterio seleccionado, se calculó el peso total de una 

unión para determinar cuál debe ser el centro de la 

siguiente caja de la forma descrita en el algoritmo 

de Box Covering. Por su parte, el resto del algoritmo 

se desarrolló sin ninguna modificación. Finalmente, 

para todos los casos, si el 

R

2

 del ajuste resultaba 

mayor o igual a 0.95, la red se consideró fractal.

A partir del procedimiento aquí descrito, se calculó 

la dimensión fractal de un gran número de redes de 

distribución de agua potable con cada criterio y se 

compararon los resultados. Para analizar el efecto 

del aumento de las demandas, se multiplicaron las 

demandas base por factores arbitrarios y se calculó 

la dimensión fractal incluyendo criterios hidráulicos 

en estos casos.

2.2 Modularidad

Newman y Girvan (2004) definieron el concepto 

de Modularidad como un indicador para evaluar 

la división en comunidades o sectores de una red 

en particular. Para definir este concepto, Zhu et al.

(2008) definen el Índice de Modularidad 

de una 

red a través de la Ecuación 5.

Q

=

1

2m

µv

(A

µv

k

µ

k

v

2m

)δ(C

ω

C

v

)

  

(5)

en donde 

μ, v representan dos vértices, o uniones, 

cualquiera de la red, 

m es el número total de 

conexiones de la red (principalmente tuberías), 

2m 

es el número total de arcos, 

A

uv

 toma el valor de 

1 si las uniones μ, v están conectadas, o 0 en caso 

contrario, y 

k

u

 es el grado del vértice 

μ representando 

el número de tuberías conectadas a dicha unión. 

Adicionalmente, 

C

u

 representa la comunidad – o 

sector- al cual pertenece el vértice 

μ,  y  δ(C

ω

 C

toma el valor de 1 si 

C

μ

=C

v

 y 

0 en caso contrario. 

Al realizar modificaciones algebraicas, y en términos 

de cada sector 

i, se llega a la Ecuación 6 descrita a 

continuación.

Q

=

j

(e

ii

− a

2
i

)

  

(6)

En la última ecuación, 

e

ii

 se puede interpretar y 

calcular como la fracción del número de arcos 

que conectan al sector 

i con el j (en esa dirección 

únicamente) respecto al número total de arcos. Por 

lo tanto, 

e

ii

 es la fracción del número de arcos que 

conectan las uniones del sector 

i entre sí (en ambas 

direcciones) respecto al total de arcos. Finalmente,  

a

i

 se puede definir como la fracción de la suma total 

del número de conexiones, o vecinos, que tiene 

cada unión perteneciente al sector 

i.

El valor del índice de Modularidad 

está definido 

entre 0 y 1. Este puede ser utilizado para evaluar la 

calidad de una determinada sectorización siendo 

mejor entre más cercano se encuentre a 1.0, ya 

que esto representa una mayor densidad de arcos 

por unión en cada sector. Por su parte, este índice 

será peor entre más cercano sea su valor a 0.0, pues 

representa un menor número de conexiones entre 

sectores. En adición, según algunos autores como 

Diao  et al. (2014)it is usually difficult to identify 

the key features of the properties of the system, 

and subsequently all the critical components 

within the system for a given purpose of design 

or control. One way is, however, to more explicitly 

visualize the network structure and interactions 

between components by dividing a WDS into a 

number of clusters (subsystems, la modularidad 

puede considerarse alta a partir de un valor de 

aproximadamente 0.3.

Ahora bien, a partir de dos sectores 

i y j dados, 

el cambio en la modularidad 

ΔQ

ii

 resultante al 

combinar ambos sectores para formar un nuevo 

sector, se puede deducir fácilmente. Finalmente, el 

cambio en la modularidad  está dado finalmente 

por la Ecuación 15 (Zhu, Wang, Ma, Pan, & Ding, 

2008).

∆Q

ij

= 2(e

ij

− a

i

a

j

)

  

(7)

2.3 Identificación de Sectores Hidráulicos Usando el 

Algoritmo Box Covering

El algoritmo de Box Covering, descrito por Song 

et al. (2007), es ampliamente utilizado para el 

cálculo de la dimensión fractal en redes reales. 

Este algoritmo consiste en encontrar el número 

de cajas 

N

, definiendo una caja como un grupo 

de uniones, necesarias para cubrir toda la red 

para varias longitudes de caja 

l

B

 (en términos de 

uniones). Posteriormente, se implementa el mismo 

procedimiento descrito en la Sección 2.1 de este 

artículo, determinando la dimensión fractal 

d

B

 de 

la red, representado por el valor absoluto de la 

pendiente del ajuste lineal realizado.

En esta investigación se propuso el uso de 

únicamente una iteración del algoritmo en mención, 

es decir, un solo valor de 

l

B

 y su correspondiente 

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número de cajas 

N

. De esta forma, los posibles 

sectores finales resultantes del método se tomaron 

simplemente como las cajas finales obtenidas 

para una única longitud 

l

. Los pasos principales 

seguidos para la ejecución del algoritmo de Box 

Covering para la sectorización de la red son descritos 

a continuación. De igual manera, el procedimiento 

que se debe seguir es el descrito en la Figura 1, 

contemplando únicamente una sola longitud 

l

.

1.  Determinar cuál va a ser la longitud 

l

B

 de 

las cajas, en términos de uniones, que será 

empleada en el algoritmo. En la presente 

investigación, se usaron varios 

l

B

 enteros e 

impares y se escogieron las divisiones de la 

RDAP que dieran los mejores resultados. Estas 

últimas se caracterizan por tener los mayores 

Índices de Modularidad 

Q.

2.  Definir el paso desde cada centro de las 

cajas como (

l

B

 - 1)/2 de forma que la máxima 

distancia (en términos de uniones) entre 

dos uniones cualquiera de una misma caja, 

siguiendo la ruta más corta, resulte menor o 

igual a 

l

B

 - 1.

3.  De manera iterativa, se van a empezar a 

generar las cajas hasta cubrir la totalidad 

de la red. Para esto, en cada iteración se 

calcula el “peso” individual de cada una de las 

uniones libres, es decir que no pertenecen 

aún a ninguna caja. Los criterios utilizados 

para el cálculo de estos pesos corresponden a 

los criterios hidráulicos SumQ y LGH*SumQ, y 

el Criterio Topológico, definidos en la Sección 

2.1. 

4.  Utilizando el paso dado por el  en cuestión, 

se suman todos los pesos encerrados por 

la caja que se formaría alrededor de cada 

unión contando únicamente con el peso 

individual de las uniones libres (esta suma es 

el peso total de cada unión). Una vez se tiene 

el peso total de cada unión, se selecciona 

aquella que tenga el mayor peso total cómo 

el centro de la nueva caja y se cubren todas 

las uniones libres a una distancia igual o 

menor al paso siguiendo la ruta más corta en 

todas las direcciones posibles desde el centro 

seleccionado. Estas uniones cubiertas dejan 

de estar libres para la siguiente iteración.

5.  Este proceso iterativo continúa hasta que 

no quede ninguna unión libre en la red de 

distribución de agua potable.

6.  Los posibles sectores finales corresponden a 

las cajas generadas para el 

l

B

 seleccionado.

2.4 Identificación de Sectores Hidráulicos Usando el 

Algoritmo Community Detection

El algoritmo de Community Detection es un 

algoritmo utilizado para la identificación de 

sectores, el cual maximiza el Índice de Modularidad 

Q de la red al combinar sectores hasta que el 

cambio en la modularidad (Ecuación 7) resultante 

al combinar cualquier pareja de sectores en la 

red, deje de ser positiva (Diao et al., 2014)it is 

usually difficult to identify the key features of the 

properties of the system, and subsequently all the 

critical components within the system for a given 

purpose of design or control. One way is, however, 

to more explicitly visualize the network structure 

and interactions between components by dividing 

a WDS into a number of clusters (subsystems. Los 

pasos para desarrollar este método se describen a 

continuación:

1.  Suponer que cada unión es un sector 

independiente (

N

sectores

 = ºN

uniones

).

2.  Calcular la matriz (

N

sectores 

x

 

N

sectores

) de cambio 

de modularidad (

ΔQ

ii

) para cada pareja de 

sectores 

ij con la Ecuación 7.

3.  Combinar los sectores 

i,  j con el máximo 

valor de 

ΔQ

ii 

. Para esto, se elimina la fila y la 

columna , y se actualiza la fila y la columna

 

j*º de la nueva matriz de ΔQ

ii*º

 para todos 

los demás sectores conectados con el sector 

i o el j ( j* hace referencia a la nueva fila y 

columna 

j que pudieron o no haberse movido 

de posición).

4.  Repetir los pasos 2 y 3 hasta que no exista 

ningún 

ΔQ

ij

 > 0

Con el anterior algoritmo, se garantiza que la 

Modularidad se maximice empezando con cada 

unión como un sector; sin embargo, se debe tener 

en cuenta que esto no garantiza que esta sea la 

configuración de sectores que alcance la máxima 

Modularidad posible en total para esa red. 

De este modo, se puede afirmar que pueden existir 

otras configuraciones de sectores que tengan una 

Modularidad mayor a nivel global en la red. Sin 

embargo, Diao, et al. (2014) [6] concluyeron que 

al implementar la metodología de Community 

Detection se encuentran valores muy altos de 

Modularidad para la red en términos globales.

2.5 Combinación de Sectores Hidráulicos 

Uno de los principales problemas relacionados con 

el uso de las metodologías tales como Box Covering 

y Community Detection para la identificación de 

sectores en redes consiste en que el número de 

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Kevin Vargas, Camilo Salcedo y Juan Saldarriaga

sectores obtenido no es un número fijo, el cual es 

ser determinado antes de aplicar cada algoritmo. De 

este modo, este número podría diferir del número 

de sectores deseado para una red real, como ocurre 

en este caso con los sistemas de distribución de 

agua potable. Por esta razón, en esta investigación 

se propuso un método para reagrupar sectores 

después de aplicar cada algoritmo hasta obtener 

el número máximo deseado de sectores. En el caso 

del algoritmo Community Detection, también se 

establece un tamaño mínimo de sectores para que 

el método se detenga luego de identificar un cierto 

número de sectores, de acuerdo con los criterios 

operativos deseados para el sistema.

Los criterios para combinar los sectores al llegar a 

este punto del algoritmo propuesto consisten en 

primer lugar, en maximizar la densidad de arcos por 

unión dentro de cada sector, y, en segundo lugar, 

minimizar el número de conexiones entre sectores 

(los mismos criterios evaluados por el Índice de 

Modularidad). Por lo tanto, el método busca la 

pareja de sectores que cumpla de una mejor 

manera los dos criterios propuestos mediante el uso 

de la Ecuación  7. La actualización de las matrices 

correspondientes a cada sector después de llevar 

a cabo la combinación se hace de acuerdo con la 

relación establecida por la Ecuación 6.

Figura 2. Esquema de RDAP en Colombia Usadas para el Cálculo de la Dimensión Fractal.

3. CASOS DE ESTUDIO 

La metodología propuesta en esta investigación 

fue probada utilizando distintos casos de estudio. 

En primer lugar, para analizar el efecto de utilizar 

criterios hidráulicos, además del topológico, 

para determinar la dimensión fractal en RDAP se 

consideraron 10 redes distintas pertenecientes a 

ciudades de Colombia, cuyo tamaño oscilaba entre 

666 y 4.813 nudos, y entre 761 y 5.621 tuberías. Estas 

redes se muestran en la Figura 2.

En segundo lugar, las metodologías de identificación 

de sectores hidráulicos en una RDAP fueron 

implementadas utilizando las tres redes mostradas 

en la Figura 3, las cuales tienen distintas topologías y 

tamaños. La red de Cazucá, mostrada en la Figura 3a, 

tiene un total de 150 tuberías y 146 uniones. La red 

de Exnet (Farmani, Savic e Walters, 2005), mostrada 

en la Figura 3b y ampliamente utilizada como una 

red patrón en el ámbito de las redes de distribución, 

cuenta con 2.467 conexiones, de las cuales 2.645 

son tuberías, y 1.891 uniones. Finalmente, la tercera 

red de estudio correspondió a la RDAP de Santa 

Marta, Colombia, mostrada en la Figura 3c, la cual 

cuenta con 13.976 conexiones (en donde 13.896 son 

tuberías y 69 son accesorios tales como válvulas) y 

11.063 uniones (Saldarriaga et al., 2019).

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Dimensión fractal e identificación de potenciales sectores de servicio en redes de distribución de agua potable utilizando criterios hidráulicos

 

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ct&i

4. 

RESULTADOS

4.1 Cálculo de Dimensión Fractal en RDAP

En la Tabla 1 se muestra la dimensión fractal, 

obtenida considerando los tres criterios propuestos 

(Topológico, SumQ – ver Ecuación 3 y LGH*SumQ – 

ver Ecuación 4) para el cálculo del peso para las 10 

redes. 

Como se puede ver en la Tabla 1, la dimensión fractal 

obtenida con el criterio Topológico casi siempre 

resultó mayor respecto a los valores obtenidos 

con los otros dos criterios propuestos. Como se 

observa, este comportamiento fue consistente 

en todas las RDAP, exceptuando las redes 5 y 6, lo 

cual probablemente ocurre ya que estas últimas 

contaban con muchas concentraciones de nudos, 

ubicadas de forma dispersa y poco interconectadas 

en la red. 

Por lo tanto, dado que en el criterio Topológico 

siempre se empiezan a generar las cajas desde las 

uniones que están rodeadas de un número mayor 

a)

b)

c)

Figura 3. Esquema de las redes: a) Cazucá, b) Exnet y c) Santa Marta.

Red

No. de Nudos

No. de Tuberías Criterio Topológico Criterio SumQ

Criterio LGH*Sum(Q)

1

2.671

3.051

1,05

1,02

1,02

2

4.813

5.621

1,10

1,07

1,07

3

947

1.014

0,96

0,82

0,83

4

906

982

1,01

0,95

0,95

5

3.411

3.854

1,02

1,02

1,02

6

2.741

3.068

1,00

1,01

0,68

7

2.176

2.479

1,08

1,02

1,02

8

666

761

1,03

1,00

1,01

9

2.444

2.699

0,97

0,94

0,73

10

1.819

2.085

1,09

1,07

1,04

Tabla 1. Dimensión fractal utilizando los tres criterios propuestos para el cálculo del peso.

de uniones, en general, resultará en valores de 

números de caja  menores para mismos valores de . 

De esta forma, se puede concluir que por lo general 

esto resultará en  mayores.

4.2 Identificación de Potenciales Sectores 

Hidráulicos: Box Covering Y Community Detection

4.2.1 Red Cazucá

En el caso de la red de Cazucá, utilizando el 

método de Box Covering, se calcularon los sectores 

hidráulicos para distintos tamaños de caja posibles 

utilizando las tres formas de calcular el peso de las 

uniones variando los criterios utilizados. Para los 

mismos tamaños de caja, también se identificaron 

los potenciales sectores con un número máximo de 

10. Por último, se identificaron los sectores con el 

algoritmo de Community Detection para el número 

de sectores que daba la máxima modularidad. 

Posteriormente, se consideró un sector menos, 

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Kevin Vargas, Camilo Salcedo y Juan Saldarriaga

y luego con un sector más con el fin de verificar 

que el resultado del medio efectivamente fuera el 

de mayor modularidad. Además, se consideró un 

número máximo de 20 y 10 sectores para comparar 

con los resultados de Box Covering.

En la red de Cazucá, la Modularidad máxima con 

el método de Community Detection se alcanza 

cuando se tiene un número de 13 sectores. Por esta 

razón, cuando se combinan los sectores hasta llegar 

al número deseado de 10 sectores, la Modularidad 

final es menor.

Los resultados obtenidos para números diferentes 

de 13 sectores para Cazucá muestran que entre 

más alejado esté la cantidad de sectores obtenida 

respecto al número de sectores de la máxima 

modularidad, menor es este indicador, tal como se 

esperaba con este método. En la Figura 4 se compara 

de forma visual el mejor resultado obtenido con 

Box Covering (Figura 4a) con el mejor resultado 

obtenido con Community Detection (Figura  4b) 

después de combinar sectores hasta obtener un 

número total de 10.

a)

b)

Figura 4.  Posibles sectores en Cazucá (10 sectores) para: a) Box Covering con l_B=3 y criterio 

sumQ y b) Community Detection..

4.2.2 Red Exnet

En el caso de Exnet, se probaron tamaños de caja  de 

11, 21, 31 y 41, mientras que con el método de Box 

Covering, en primer lugar, no se limitó el número 

máximo de sectores y posteriormente se asignó un 

valor máximo de 20 sectores. En estos últimos casos, 

se considerando los mismos tamaños, y se utilizaron 

las tres formas de calcular el peso. Con el algoritmo 

de Community Detection se hicieron las mismas 

pruebas que en Cazucá, con el fin de verificar el 

funcionamiento correcto del método, y se seleccionó 

un número máximo de 20 sectores para comparar 

los resultados con el método de Box Covering.

En esta red, la Modularidad máxima se obtuvo con 

45 sectores; sin embargo, para disminuir el número 

deseado a 20 sectores, la Modularidad continuó 

siendo muy alta. En este caso, en la Figura 5a se 

muestra la mejor división lograda con el método de 

Box Covering, mientras en la Figura 5b se muestra un 

esquema de los 20 sectores obtenidos finalmente al 

aplicar el método completo.

a)

b)

Figura 5.  Posibles sectores en Exnet (20 sectores) para:  

a) Box Covering con l_B=11 y criterio LGH*sumQ y b) Community Detection.

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4.2.3 Red Santa Marta

Para el caso de Santa Marta, se probaron tamaños 

de caja  de 21, 31 y 41 calculando el peso usando 

el criterio Topológico, y con número máximo de 15 

y 59 sectores con el método de Box Covering con 

el fin de comparar con los resultados reportados en 

la Battle of Water Networks District Metered Areas 

(BWNDMA 2016) (Saldarriaga et al., 2019). De igual 

forma, para el método de Community Detection se 

realizaron pruebas con número máximo de sectores 

de 15, 59 y el de máxima Modularidad.

En este caso, la máxima Modularidad se obtuvo 

con 91 sectores; sin embargo, para el número de 

sectores deseado de 15 y 59 sectores esta medida 

de desempeño continuó siendo muy alta (Figura 6a 

y Figura 6b respectivamente). En esta red también 

se obtuvo que entre más alejado se encuentre el 

número de sectores del número de sectores de la 

máxima Modularidad (91 en esta red), menor será la 

Modularidad obtenida con este método. 

Por su parte, al comparar los resultados obtenidos 

mediante el método de Box Covering para tamaños 

de caja de 21, se evidenció que el resultado 

obtenido (ver Figura 7a) está compuesto por 

a)

b)

Figura 6.  Posibles sectores en Santa Marta (15 sectores) para: a) Box Covering con l_B=31 y criterio Topología y b) 

Community Detection.

el mismo número de sectores que la solución 

propuesta por Martínez-Solano et al. (2018) en la 

BWNDMA 2016 (ver Figura 7b), la cual se alcanzó 

mediante la combinación de criterios de ingeniería, 

heurísticas y el Algoritmo METIS. De esta forma, se 

valida el potencial del método propuesto para la 

identificación de sectores hidráulicos en RDAP.

5. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

En esta investigación se propuso una metodología 

para identificar potenciales sectores hidráulicos 

en una red de distribución de agua potable 

fundamentado en el conocimiento de la 

conectividad del sistema y su comportamiento 

hidráulico, representado mediante la fractalidad 

del sistema. La metodología propuesta se aplicó en 

tres redes de distintas complejidades, obteniendo 

resultados comparables con los disponibles en 

literatura científica. No obstante, esta investigación 

se centra únicamente en la identificación de 

sectores potenciales. 

Ahora bien, en la Figura 7 se muestra una 

comparación entre los resultados obtenidos 

mediante el algoritmo de Box-Covering utilizando 

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Kevin Vargas, Camilo Salcedo y Juan Saldarriaga et al.

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Recursos Hídricos

un número de caja de 21 y el criterio topológico, 

en relación con los resultados de Martínez-Solano 

et al. (2018), la cual fue la mejor solución presentada 

en la BWNDMA del 2016. Cómo se observa, 

los potenciales sectores identificados son muy 

similares en ambos casos, aun cuando en el caso de 

esta investigación se emplea como fundamento la 

conectividad de la RDAP, mientras Martínez-Solano 

et al. (2018) utiliza la combinación de criterios de 

ingeniería con heurísticas. 

Este resultado demuestra la factibilidad de 

implementación del algoritmo propuesto en 

esta investigación para sistemas de distintas 

complejidades, involucrando el comportamiento 

hidráulico del sistema, permitiendo su aplicación 

también en redes reales, siempre y cuando se 

cuente con modelos hidráulicos robustos. 

En términos operativos, se puede evidenciar que 

la propuesta de Martínez-Solano et al. (2018) está 

sujeta al cumplimiento de restricciones tales como la 

uniformidad de presiones, la similitud en la demanda, 

el costo de la solución, entre otros establecidos para 

la participación en el evento científico BWNDMA 

del 2016 (Saldarriaga et al., 2019). En este caso, el 

algoritmo de Box Covering alcanza una distribución 

y número similar de sectores únicamente basado 

en el análisis de la fractalidad, y el cumplimiento de 

restricciones hidráulicas tradicionales tales como 

el cumplimiento de una presión mínima, evitando 

también puntos de estancamiento. En este último 

aspecto es importante mencionar que la presión de 

servicio es una externalidad que cada sistema debe 

cumplir de acuerdo a su normatividad vigente, por 

lo cual no será una limitante para implementar el 

algoritmo en cualquier sistema. En adición, cuando 

se sectoriza una red, la capacidad de transporte de 

agua en las tuberías disminuye. Debido a esto, se 

debe tener en cuenta, también, que en el diseño 

de los sectores definitivos se deben considerar las 

alternativas de rehabilitación de los sectores en 

cuanto a la capacidad de transporte de los tramos 

de la red para que las presiones suministradas a los 

nudos no sean inferiores a las mínimas establecidas 

por norma.

De igual manera, en esta investigación no se 

consideraron costos de instalación de medidores y 

a)

b)

Figura 7. Posibles sectores en Santa Marta (59 sectores) para: a) Box Covering con l_B=21 y criterio Topológico y b) 

Resultados de Martínez et al. en BWNDMA 2016 (Javier Martínez-Solano et al., 2018).

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Dimensión fractal e identificación de potenciales sectores de servicio en redes de distribución de agua potable utilizando criterios hidráulicos

 

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válvulas, pues el alcance consistió únicamente en la 

identificación de potenciales sectores hidráulicos 

de servicio. Aun cuando esto ocurrió, los resultados 

obtenidos fueron muy similares a los de Martínez-

Solano  et al. (2018), el cual consideró costos de 

instalación y operativos de acuerdo con las reglas 

del BWNDMA (Saldarriaga et al., 2019). De esta 

forma, se demuestra la factibilidad de implementar 

esta metodología en un sistema tanto teórico como 

real, pues sin tener un conocimiento de los costos 

asociados con la instalación de accesorios para 

sectorizar la red, se puede alcanzar un resultado 

válido para la identificación preliminar y eficiente 

de sectores hidráulicos. En una etapa posterior, 

este resultado se podrá refinar más al considerar los 
costos en mención.

CONCLUSIONES

La dimensión fractal de las redes siempre tenderá 

a ser mayor si se calcula teniendo en cuenta el 

Criterio Topológico únicamente, en comparación 

con los métodos para el cálculo del peso que 

involucran criterios hidráulicos tales como SumQ 

y LGH*SumQ. Asimismo, se observó que la gran 

mayoría de redes de distribución de agua potable 

tienen características fractales de acuerdo con 

el criterio del  propuesto por Diao et al. (2014)it is 

usually difficult to identify the key features of the 

properties of the system, and subsequently all the 

critical components within the system for a given 

purpose of design or control. One way is, however, 

to more explicitly visualize the network structure 

and interactions between components by dividing 

a WDS into a number of clusters (subsystems.

En relación con la identificación de sectores 

potenciales, se evidenció que, para ninguna de 

las redes estudiadas, ni para las pruebas que se 

hicieron, fue posible conseguir una división con 

Box Covering que superara la modularidad de 

la máxima obtenida con Community Detection. 

De esta forma, se evidenció que no parece haber 

ninguna ventaja clara entre usar diferentes criterios 

para calcular el peso de las uniones en el método de 

Box Covering para identificar sectores. Por su parte, 

la combinación de sectores utilizando los mismos 

principios del método de Community Detection 

probó ser una solución efectiva para obtener el 

número de sectores deseado utilizando cualquiera 

de los dos métodos estudiados, obteniendo 

modularidades relativamente altas.

La metodología propuesta podría ser una alternativa 

viable para identificar posibles sectores hidráulicos 

en RDAPs grandes y complejas si el único criterio 

es la modularidad de la división. Al comparar los 

resultados obtenidos usando la metodología 

propuesta respecto a otras aproximaciones 

enfocadas a la sectorización de RDAP se evidencia 

que se obtienen resultados comparables de manera 

eficiente. Debido a esto, se evidencia la factibilidad 

para implementar la metodología en sistemas 

teóricos y reales.

Finalmente, la metodología propuesta es utilizada 

para la identificación de sectores potenciales, como 

una etapa previa a la sectorización, en donde sí 

deben ser considerados costos de instalación de 

accesorios, así como evaluar criterios operativos 

al detalle. Sin embargo, a partir de los resultados 

obtenidos se puede evidenciar el cumplimiento de 

restricciones operativas mínimas que pueden dar 

lugar a una primera aproximación al problema de 

sectorización.

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