Análisis de redes internas de distribución

La investigación descrita en este artículo busca desarrollar una metodología de modelación de la demanda en redes internas de distribución de agua potable (RIDAP), Para esto el investigador se centra en la caracterización y simulación de la demanda haciendo uso de mediciones recientes y de herramientas como la simulación de eventos discretos. Con el avance logrado en la modelación de estos sistemas se consiguió una base para el posterior desarrollo de una metodología de diseño de RIDAP. Basada específicamente en los resultados de las mencionadas metodologías de modelación de la demanda acá desarrolladas. Así mismo se realizó un software capaz de ejecutar la hidráulica de estos sistemas.

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TESIS DE MAESTRÍA 

 

ANÁLISIS DE REDES INTERNAS DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA 

POTABLE UTILIZANDO SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

 

 

 

Asesor: Juan G. Saldarriaga Valderrama 

 

 

 

 

 

 

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES 

FACULTAD DE INGENIERÍA 

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL 

MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL 

BOGOTÁ D.C. 

2011

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

 

Tabla de contenido 

 

Introducción .......................................................................................................................... 1 

1.1 

Objetivos ....................................................................................................................... 4 

1.1.1 

Objetivo general .................................................................................................... 4 

1.1.2 

Objetivos específicos ............................................................................................. 4 

Análisis preliminar del sistema .............................................................................................. 5 

2.1 

Descripción del sistema ................................................................................................. 5 

2.1.1 

Prototipo ............................................................................................................... 5 

2.1.2 

Modelo .................................................................................................................. 5 

2.2 

Diseño del sistema ........................................................................................................ 9 

2.2.1 

Determinación de los escenarios o condiciones de diseño .................................. 9 

2.2.2 

Determinación del valor de los parámetros. ....................................................... 15 

2.3 

Estimación de la demanda en el sistema con métodos modernos ............................. 23 

2.3.1 

Modelo de PRP (Poisson Rectangular Pulses) ..................................................... 24 

2.3.2 

Modelo de NSRP (Neyman-Scott Rectangular Pulses) ........................................ 27 

2.3.3 

Modelo estocástico de uso último (stochastic end-use model) ......................... 27 

2.3.4 

Modelo estocástico de demanda aplicado a RIDAPs .......................................... 30 

Metodología de modelación propuesta .............................................................................. 35 

3.1 

Modelación de los aparatos sanitarios ....................................................................... 35 

3.2 

Modelación de la simultaneidad de uso de los aparatos ............................................ 38 

3.2.1 

Modelo basado en Blokker .................................................................................. 38 

3.2.2 

Modelo basado en Blokker con simulación de eventos discretos ...................... 46 

Casos de estudio.................................................................................................................. 54 

4.1 

Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en Blokker .................. 59 

4.2 

Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en Blokker con 

simulación de eventos discretos. ............................................................................................ 64 

4.3 

Análisis de caudales a partir de ambas metodologías ................................................ 73 

Procedimiento de diseño propuesto ................................................................................... 79 

5.1 

Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) ............................................ 80 

5.2 

Cálculo de los caudales emitidos................................................................................. 81 

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

ii 

 

5.3 

Cálculo del caudal de diseño de un tubo .................................................................... 81 

5.3.1 

Análisis estocástico para nudos independientes ................................................ 82 

5.3.2 

Análisis estocástico para nudos dependientes ................................................... 96 

5.4 

Cálculo y redondeo del diámetro del tubo ................................................................. 98 

5.5 

Asignación de una LGH para la red aguas abajo del tubo ........................................... 99 

5.6 

Proceso iterativo ......................................................................................................... 99 

Comprobación de diseño propuesta ................................................................................. 101 

6.1 

Discretización de las Curvas Únicas y ajuste de la función ....................................... 101 

6.2 

Interpolación e iteración ........................................................................................... 104 

6.3 

Cálculo de los demás resultados hidráulicos............................................................. 105 

6.4 

Software desarrollado ............................................................................................... 105 

Casos de estudio................................................................................................................ 107 

7.1 

Caso de estudio 1: Red Interna Conjunto OASIS IV ................................................... 110 

7.1.1 

Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) .................................. 111 

7.1.2 

Cálculo de los caudales emitidos ....................................................................... 111 

7.1.3 

Cálculo de los caudales de diseño ..................................................................... 114 

7.1.4 

Cálculo y redondeo del diámetro del tubo ....................................................... 115 

7.1.5 

Asignación de una LGH para la red aguas abajo del tubo ................................. 115 

7.1.6 

Resultados para toda la red .............................................................................. 116 

7.2 

Caso de estudio 2: Red Interna APTOS ACERO ......................................................... 120 

7.2.1 

Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) .................................. 121 

7.2.2 

Cálculo de los caudales emitidos ....................................................................... 122 

7.2.3 

Cálculo de los caudales de diseño ..................................................................... 124 

7.2.4 

Cálculo y redondeo del diámetro del tubo ....................................................... 125 

7.2.5 

Resultados para toda la red .............................................................................. 126 

Conclusiones...................................................................................................................... 130 

8.1 

Conclusiones de la modelación de RIDAPs................................................................ 130 

8.2 

Conclusiones del diseño y comprobación de diseño de RIDAPs ............................... 131 

Recomendaciones ............................................................................................................. 133 

10 

Referencias .................................................................................................................... 135 

11 

Anexos ........................................................................................................................... 138 

11.1  Demostraciones del dominio de la variable   .......................................................... 138 

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iii 

 

11.2  Parametrizaciones de la distribución Lognormal ...................................................... 141 

 

 

 

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Tesis II 

iv 

 

Índice de Figuras 

 

Figura 1. Esquema de asignación de Altura Piezométrica según una ecuación cuadrática. ....... 17 
Figura 2. Sistema de tuberías en serie con longitudes diferenciales. ......................................... 19 
Figura 3. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida. ................................................... 20 
Figura 4. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida y con diámetro máximo. ........... 22 
Figura 5. Modelo de Pulsos Rectangulares de Poisson (PRP). (GARCÍA et Al, 2004). ................. 30 
Figura 6. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una 
RIDAP con       . .................................................................................................................... 32 
Figura 7. Diagrama de transición estados para una cadena de Markov asociada a una RIDAP 
con       . ............................................................................................................................... 32 
Figura 8. Relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato, para 
diferentes porcentajes de apertura de válvula de un mismo aparato. ...................................... 35 
Figura 9. Partes de la curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas 
arriba del aparato, para aparatos con apertura de válvula variable........................................... 37 
Figura 10. Curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del 
aparato, para aparatos con apertura de válvula variable, para el problema de estimación de 
demanda para diseño. ................................................................................................................. 38 
Figura 11. Distribución temporal supuesta de la frecuencia de uso de un lavamanos. ............. 41 
Figura 12. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona de un lavamanos. ...... 42 
Figura 13. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso de un lavamanos. .......................... 43 
Figura 14. Serie de tiempo de la utilización de un lavamanos. ................................................... 44 
Figura 15. Esquema del caso de estudio correspondiente a un baño. ....................................... 54 
Figura 16. Vista en planta del baño, con diagrama de las tuberías de la red. ............................ 55 
Figura 17. Implementación del modelo de un baño residencial en el programa ARENA. .......... 66 
Figura 18. Esquema del modelo de un baño residencia implementado en ARENA. .................. 67 
Figura 19. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando 
la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. ............................. 74 
Figura 20. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando 
la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. ............................. 74 
Figura 21. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando 
la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 
personas aferentes. ..................................................................................................................... 75 
Figura 22. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando 
la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 
personas aferentes. ..................................................................................................................... 75 
Figura 23. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que 
el sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4 
personas aferentes. ..................................................................................................................... 76 

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

 

Figura 24. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el 
sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas 
aferentes. .................................................................................................................................... 76 
Figura 25. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que 
el sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos 
discretos para un baño con 4 personas aferentes. ..................................................................... 77 
Figura 26. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el 
sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos 
discretos para un baño con 4 personas aferentes. ..................................................................... 77 
Figura 27. Diagrama de flujo del procedimiento de diseño propuesto. ..................................... 79 
Figura 28. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una 
RIDAP con       . .................................................................................................................... 82 
Figura 29. Justificación de la ecuación de probabilidad de falla. ................................................ 84 
Figura 30. Comportamiento de la función de la Ecuación 48. .................................................... 87 
Figura 31. Relación entre el error en la estimación de la probabilidad de un estado y la 
desviación estándar de las probabilidades de uso de los aparatos. ........................................... 89 
Figura 32. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar 
entre 0.15 y 0.45. ........................................................................................................................ 90 
Figura 33. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar 
entre 0.02 y 0.20. ........................................................................................................................ 91 
Figura 34. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar 
entre 0.28 y 0.50. ........................................................................................................................ 92 
Figura 35. Diagrama de flujo del algoritmo de ejecución hidráulica para RIDAPs. ................... 102 
Figura 36. Interfaz principal del software. ................................................................................ 106 
Figura 37. Modelo casa OASIS IV tipo C - Vista en perfil. Aparatos conectados a la red. ......... 110 
Figura 38. Modelo casa OASIS IV tipo C – LGH ideal en mca (izquierda) y Presión ideal 
correspondiente en mca (derecha). .......................................................................................... 112 
Figura 39. Modelo casa OASIS IV tipo C – Caudal emitido en L/s para el caso basado en Acero 
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC. (derecha). ....................................................... 113 
Figura 40. Modelo casa OASIS IV tipo C - Resultados del cálculo del estado de diseño para cada 
tubería de la red. ....................................................................................................................... 116 
Figura 41. Modelo casa OASIS IV tipo C - Resultados del diseño para el caso basado en Acero 
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). Diámetros en pulgadas. ................. 117 
Figura 42. Prototipo casa OASIS IV tipo C – Diámetros reales del sistema en pulgadas. .......... 119 
Figura 43. Modelo APTO ACERO tipo 1 - Vista en planta. Aparatos conectados a la red. ........ 121 
Figura 44. Modelo APTO ACERO tipo 1 – LGH ideal en psi. ...................................................... 122 
Figura 45. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Caudal emitido en L/s para el caso basado en Acero 
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). ........................................................ 123 
Figura 46. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Resultados del cálculo del estado de diseño para cada 
tubería de la red. ....................................................................................................................... 127 
Figura 47. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Resultados del diseño para el caso basado en Acero 
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). Diámetros en pulgadas. ................. 128

 

 

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

vi 

 

Índice de Tablas 

 

Tabla 1. Asignación de unidades a cada aparato (Gonzalez, 2010). ........................................... 10 
Tabla 2. Asignación del caudal de diseño para cada valor de las unidades (Granados Robayo, 
2002). .......................................................................................................................................... 11 
Tabla 3. Asignación de caudales de diseño a partir de los caudales máximos posibles (García 
Sosa, 2001). ................................................................................................................................. 12 
Tabla 4. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo – 
Datos medidos en Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b). .................................................... 28 
Tabla 5. Frecuencia, duración e intensidad para siete de los ocho usos últimos definidos en el 
modelo – Datos medidos en Milford, Ohio. (Blokker, 2010a). ................................................... 29 
Tabla 6. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo – 
Datos medidos en Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b). .................................................... 39 
Tabla 7. Principales procedimientos del programa ARENA para simulación de eventos discretos.
 ..................................................................................................................................................... 47 
Tabla 8. Funciones de la curva única de los aparatos de un baño residencial. ........................... 55 
Tabla 9. Frecuencia y Duración de uso para los aparatos de un baño residencial (basada en la 
Tabla 6 y en Blokker, 2010a). ...................................................................................................... 56 
Tabla 10. Distribuciones temporales de la frecuencia de uso para los aparatos de un baño 
residencial. .................................................................................................................................. 56 
Tabla 11. Series de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona para los aparatos de un 
baño residencial. ......................................................................................................................... 58 
Tabla 12. Cálculo de la duración promedio total para el lavamanos de un baño residencial. ... 59 
Tabla 13. Series de tiempo de la utilización de cada aparato de un baño residencial con 4 
personas aferentes. ..................................................................................................................... 60 
Tabla 14. Descripción y notación de los 8 posibles escenarios para un baño residencial. ......... 61 
Tabla 15. Series de tiempo de la probabilidad de ocurrencia de cada escenario de un baño 
residencial con 4 personas aferentes. ......................................................................................... 61 
Tabla 16. Series de tiempo de la probabilidad de ocurrencia de cada escenario de un baño 
residencial con 4 personas aferentes. ......................................................................................... 70 
Tabla 17. Caudal transportado por el tubo más aguas arriba del sistema para cada escenario. 73 
Tabla 18. Funciones de la curva única de los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con base 
en Acero (2009). ........................................................................................................................ 107 
Tabla 19. Funciones de la curva única de los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con base 
en ICONTEC (2004). ................................................................................................................... 107 
Tabla 20. Frecuencia y Duración de uso para los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con 
base en Blokker (2010a). ........................................................................................................... 108 
Tabla 21. Cálculo de la duración promedio total para los lavamanos de las redes ejemplo. ... 108 
Tabla 22. Cálculo de la duración promedio total para los lavaplatos de las redes ejemplo. .... 109 
Tabla 23. Presiones mínimas aceptables y frecuencias de diseño. ........................................... 109 
Tabla 24. Probabilidades de uso de los aparatos para el diseño de la RIDAP. .......................... 114 

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vii 

 

Tabla 25. Probabilidades de ocurrencia de los estados. ........................................................... 114 
Tabla 26. Diámetros disponibles para las tuberías de la red. ................................................... 115 
Tabla 27. Probabilidades de ocurrencia de los estados – Metodología Exacta. ....................... 124 
Tabla 28. Probabilidades de ocurrencia de los estados – Metodología Aproximada. .............. 125 

 

 

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Tesis II 

 

1  Introducción 

 

Las  redes  internas  de  distribución  de  agua  potable  (RIDAP),  son  el  componente  final  del 
sistema de distribución de agua potable de cualquier asentamiento urbano. Estas redes son las 
encargadas  llevar  el  recurso  líquido  a  los  usuarios  finales  desde  la  conexión  al  sistema  de 
acueducto de la ciudad. Los usuarios entonces, son los habitantes o visitantes de la edificación 
en  donde  está  construida  la  red,  de  manera  que  pueden  ser  residentes  de  una  vivienda  o 
trabajadores y visitantes de una edificación comercial, industrial, escolar u hospitalaria, entre 
otras. Lo que tienen en común todos estos potenciales usuarios, es que esperan que al utilizar 
un aparato sanitario conectado a la RIDAP (e.g., lavamanos, duchas, inodoros, tinas, lavaplatos, 
lavadoras,  etc.)  éste  les  proporcione  agua  con  unas  características  de  flujo  aceptable  para 
satisfacer sus necesidades. 

Para lograr tener un sistema que cumpla con los requerimientos hechos por los usuarios del 
mismo, es necesario conocer el comportamiento del sistema y de su demanda, de manera que 
desde  hace  más  de  medio  siglo  se  han  hecho  análisis  de  las  redes  internas,  procurando 
caracterizar su comportamiento hidráulico y las demandas a las que está sometido a lo largo 
de  su  vida  útil.  Si  bien  la  simulación  hidráulica  de  estas  redes  tiene  muchos  elementos  en 
común con la simulación hidráulica de las redes de acueducto, existen otros elementos que no 
pueden ser bien representados de igual manera que en las redes de acueducto, y por lo tanto 
se  hace  necesario  caracterizar  ese  comportamiento  hidráulico  haciendo  uso  de  otros 
elementos matemáticos como los emisores (Acero, 2009). 

Por otro lado el análisis de la demanda en una RIDAP, ha tenido aproximaciones hechas para la 
solución  del  problema  de  diseño  del  sistema,  las  cuales  se  basan  en  datos,  conocimientos  y 
modelos bastante antiguos que pueden ser considerados obsoletos, si se tiene en cuenta que 
con  el  paso  del  tiempo  han  surgido  nuevas  herramientas  para  la  simulación  de  diferentes 
sistemas,  además  de  conocimientos  y  datos  basados  en  el  comportamiento  actual  de  los 
usuarios de los sistemas, el cual no debe suponerse igual al de los usuarios de hace cincuenta 
años. 

De esta manera se tiene un sistema vigente y ampliamente usado como lo son las RIDAPs, y 
metodologías de análisis y simulación del sistema un tanto obsoletas y basadas en supuestos 
que  ya  no  son  necesarios  para  lograr  representar  de  mejor  manera  lo  observado  en  los 
prototipos.  Así,  en  esta  investigación  se  busca  realizar  un  análisis  de  las  RIDAPs  basado  en 
conocimientos contemporáneos que se ajustan más a las necesidades y comportamientos de 
estos  sistemas,  y  en  especial  se  centra  en  la  caracterización  y  simulación  de  la  demanda 
haciendo  uso  de  mediciones  recientes  y  de  herramientas  como  la  simulación  de  eventos 
discretos,  que  es  una  herramienta  informática  basada  en  las  capacidades  actuales  de  los 
computadores  y  que  permite  tener  en  cuenta  correlaciones  entre  variables,  difícilmente 
representables de otra forma. 

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Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

 

Con  el  avance  logrado  en  la  modelación  de  estos  sistemas,  se  consiguió  una  base  para  el 
posterior desarrollo de una metodología de diseño de RIDAPs basada específicamente en los 
resultados de las mencionadas metodologías de modelación de la demanda acá desarrolladas. 
Ese desarrollo de una metodología de diseño, al igual su implementación en casos de estudio 
también  es  presentado  en  este  documento,  junto  con  el  proceso  deductivo  realizado  y  los 
estudios  específicos  de  la  función  de  probabilidad  Binomial  de  Poisson  necesarios  para  su 
implementación en sistemas con un alto número de aparatos. 

Así  mismo  se  desarrolló  un  software  capaz  de  ejecutar  la  hidráulica  de  estos  sistemas 
incluyendo  los  comportamientos  de  los  aparatos  que  se  encontraron  y  utilizaron  para  este 
documento,  haciendo  uso  de  éste  en  los  casos  de  estudio  de  diseño  mencionados 
anteriormente. 

El contendido de este documento está dividido en once capítulos. El primero de ellos incluye la 
introducción y los objetivos del proyecto. El segundo capítulo hace referencia a conocimiento 
previo  o  útil  que  se  requiere  para  el  desarrollo  de  las  metodologías  de  modelación  de  la 
demanda y futuro diseño, incluyendo entre otras cosas, leyes físicas que rigen la hidráulica de 
tuberías con flujo presurizado, conocimientos de los procedimientos de diseño de sistemas de 
varias  tuberías  y  conocimientos  previos  de  modelación  de  la  demanda  para  el  problema  de 
diseño, incluyendo enfoques tradiciones y algunos enfoques y conocimientos más recientes. El 
Capítulo  3  presenta  las  dos  metodologías  desarrolladas  para  la  modelación  estocástica  de  la 
demanda en RIDAPs con base en deducciones y en información disponible, así como algunas 
recomendaciones  de  implementación  de  la  metodología  basada  en  simulación  de  eventos 
discretos.  El  cuarto  capítulo  incluye  un  caso  de  estudio  simple  en  el  que  se  muestra 
explícitamente  la  implementación  de  las  metodologías  desarrolladas  en  el  Capítulo  3, 
presentando  resultados  para  ese  caso,  y  sacando  algunas  conclusiones  de  las  observaciones 
hechas a los resultados encontrados. El Capítulo 5 muestra el desarrollo de la metodología de 
diseño que resulta consistente con las metodologías de modelación explicadas en el Capítulo 
3, haciendo un análisis de la función de probabilidad Binomial de Poisson que resulta necesario 
para aproximar los resultados exactos pero altamente demandantes computacionalmente. El 
capítulo  sexto  explica  el  algoritmo  desarrollado  en  esta  investigación  para  la  ejecución 
hidráulica de RIDAPs que hacen uso del concepto de Curva Única, explicado en el Capítulo 3, 
así como el software  creado para su fácil implementación. El Capítulo 7 presenta 4 casos de 
estudio  de  la  metodología  de  diseño  que  hace  uso  de  los  conceptos  del  Capítulo  5  y  del 
software  expuesto  en  el  Capítulo  6,  presentando  además  un  análisis  de  los  resultados 
encontrados  que  evidencian  la  consistencia  del  método  de  diseño  y  algunos  aspectos  de 
mejora  del  mismo.  El  octavo  capítulo  resume  las  conclusiones  encontradas  a  lo  largo  del 
documento,  en  especial  las  relacionadas  con  las  observaciones  a  los  resultados  del  cuarto  y 
sétimo capítulo. El Capítulo 9 hace recomendaciones para futuras investigaciones en el tema y 
para una potencial aplicación de las metodologías desarrolladas en esta investigación en casos 
de  sistemas  reales  con  diferentes  condiciones  de  ocupación.  El  décimo  capítulo  presenta  las 
referencias bibliográficas citadas en este documento, las cuales fueron utilizadas para describir 

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o  analizar  algún  procedimiento  relativo  a  las RIDAPs o  en  general  a  los  sistemas  de  tuberías 
con  flujo  presurizado.  Finalmente  el  Capítulo  11  presenta  unos  anexos  al  documento  que 
facilitan el entendimiento más profundo de algunas partes de éste. 

 

 

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1.1  Objetivos 

1.1.1  Objetivo general 

Desarrollar una metodología de modelación de la demanda en redes internas de distribución 
de  agua  potable,  así  como  una  metodología  de  diseño  acorde  con  la  metodología  de 
modelación de la demanda. 

 

1.1.2  Objetivos específicos 

A  fin  de  cumplir  con  el  objetivo  general  del  proyecto  se  plantearon  y  desarrollaron  los 
siguientes objetivos específicos: 

Hacer  una  revisión  bibliográfica  de  los  métodos  de  modelación  de  la  demanda  tanto 
tradicionales  como  modernos  a  fin  de  tener  una  base  teórica  para  el  desarrollo  de  la 
metodología propuesta. 

Desarrollar  un  caso  de  estudio  de  la  metodología  de  modelación  con  uso  de  simulación  de 
eventos  discretos  para  definir  procedimientos  y  recomendaciones  de  creación  de  modelos 
haciendo uso del programa ARENA. 

Buscar  formas  de  aproximación  de  la  función  de  probabilidad  Binomial  de  Poisson  para 
permitir  su  cálculo  o  estimación  de  manera  eficiente  y  aceptable  en  el  procedimiento  de 
diseño planteado. 

Hacer una revisión y análisis del procedimiento de diseño optimizado de sistemas de series de 
tuberías basado en el criterio  de Wu (1975), a fin de entenderlo y  definir  su aplicación en la 
metodología de diseño. 

Desarrollar  dos  casos  de  estudio  de  la  metodología  de  diseño  para  verificar  su  correcto 
funcionamiento y potenciales aspectos de mejora. 

Desarrollar un algoritmo y un software que permitan ejecutar la hidráulica de redes con flujo 
presurizado con nudos cuyo caudal emitido es función no potencial de la presión en el nudo, a 
fin de disponer de una herramienta que permita hacer comprobaciones de diseño consistentes 
con la metodología de modelación hidráulica. 

 

 

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2  Análisis preliminar del sistema 

2.1  Descripción del sistema 

2.1.1  Prototipo 

El  proceso  típico  de  abastecimiento  de  agua  potable  incluye:  1)  la  captación  del  recurso  en 
cuerpos  de  agua  como  lagos,  ríos,  acuíferos,  etcétera;  2)  la  potabilización  del  recurso 
usualmente realizada en plantas de tratamiento de agua potable (PTAP); 3) el almacenamiento 
del recurso en tanques elevados o subterráneos, o en embalses; 4) la distribución del recurso a 
través  de  la  red  de  distribución  de  agua  potable  (RDAP);  y  5)  el  uso  último  del  recurso 
mediante  los  aparatos  sanitarios  conectados  a  la  red.  La  RDAP  usualmente  es  dividida  de 
acuerdo  con  la  magnitud  de  los  caudales  que  transporta  y  al  ente  encargado  de  su 
construcción,  operación  y/o  mantenimiento,  generando  así  redes  matrices,  redes  de 
distribución propiamente dichas y redes internas de distribución. A éstas últimas son a las que 
resultan conectados los aparatos sanitarios tales como duchas, lavamanos, inodoros, llaves y 
demás,  y  usualmente  incluyen  dentro  del  sistema  a  todos  los  tubos  y  accesorios  que  se 
encuentran aguas abajo de una conexión particular de una edificación al sistema de acueducto 
municipal (red de distribución). 

Las redes internas de distribución de agua potable (RIDAP) son, entonces, las redes ubicadas al 
interior  de  cada  edificación  y,  para  este  documento,  se  considerará  que  incluyen  todos  los 
aparatos sanitarios conectados a ésta. Respecto a estos aparatos, se puede encontrar una gran 
variedad  incluyendo  diferentes  funciones  y  comportamientos  hidráulicos,  que  además 
continuamente  se  renuevan  para  ajustarse  a  los  nuevos  requerimientos  de  los  usuarios 
directos  del  aparato.  Sin  embargo  la  mayoría  de  aparatos  típicos,  tienen  en  común  que  se 
observa  una  relación  biunívoca  entre  el  caudal  emitido  por  el  aparato  y  la  presión  de  flujo 
inmediatamente aguas arriba del mismo, simplificando así su modelado. 

 

2.1.2  Modelo 

El modelo matemático de una RIDAP se compone de arcos o links y de vértices o nudos. Cada 
link representa una tubería de la red, y cada nudo representa un accesorio, una unión de varias 
tuberías, una conexión de un aparato sanitario a la red o una conexión de la RIDAP a la red de 
acueducto  municipal.  Los  atributos  de  las  tuberías  incluyen  los  nudos  que  conectan,  la 
longitud,  el  diámetro  real  interno,  la  rugosidad  absoluta  del  material  y  el  coeficiente  de 
pérdidas  menores  a  lo  largo  de  toda  la  tubería.  Por  otro  lado  los  atributos  de  los  nudos 
incluyen  sus  coordenadas  ,   y   y  los  parámetros  de  caracterización  del  comportamiento 
hidráulico del aparato sanitario conectado. 

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Para caracterizar el comportamiento hidráulico de cada aparato, es posible utilizar el concepto 
de “Emisores” (Acero, 2009), en el cuál se supone que el caudal emitido por el aparato cumple 
la siguiente relación potencial: 

 

         

 

 

Ecuación 1 

Donde: 

  : Caudal emitido por el aparato. 

  :  Presión  en  el  nudo  al  que  está  conectado  el  aparato,  usualmente  escrita  en 
unidades de altura piezométrica (m.c.a. o mca: metros-columna de agua). 

     : Parámetros de la función potencial. 

 

Datos de entrada al modelo 

Dado un modelo de una RIDAP, existen datos de entrada que en conjunto con los parámetros 
del  modelo  (atributos  de  los  nudos  y  links),  determinan  la  respuesta  hidráulica  simulada  del 
sistema.  Estos  datos  de  entrada  incluyen  las  siguientes  variables:  1)  La  altura  piezométrica 
disponible  en  el  nudo  de  entrada  de  la  red  (conexión  de  la  RIDAP  con  la  red  de  acueducto 
municipal),  y  2)  El escenario  de  demanda  (configuración  de  aparatos encendidos  y  apagados 
que están demandando agua a la RIDAP de acuerdo con la Ecuación 1)

Para determinar la altura piezométrica disponible a la entrada de la red, se debe disponer de 
los resultados hidráulicos de la simulación de la red de acueducto a la cual está conectada la 
RIDAP.  Dentro  de  los  resultados  de  esa  simulación,  se  encuentran  alturas  piezométricas  en 
cada  nudo  de  la  red  de  acueducto,  y  para  establecer  la  altura  piezométrica  a  utilizar  basta 
tomar dicho resultado evaluado en el nudo de entrada de la RIDAP. 

El  problema  de  la  determinación  de  los  escenarios  de  demanda  es  considerablemente  más 
complejo,  y  su  complejidad  radica  en  la  naturaleza  estocástica  de  estos  procesos, 
fundamentada  en  la  naturaleza  estocástica  de  la  frecuencia  y  la  duración  de  uso  de  cada 
aparato sanitario. Éstas variables (duración y frecuencia) dependen de la función para la que 
fue  diseñado  cada  aparato  sanitario  y  de  las  personas  que  esperan  utilizarlo  para  sus 
diferentes necesidades. Así, por ejemplo, la frecuencia de uso de un lavamanos ubicado en un 
baño  residencial,  es  diferente  de  la  frecuencia  de  uso  de  una  ducha  también  ubicada  en  el 
mismo  baño residencial, e inclusive es  diferente  del mismo lavamanos ubicado en  otro baño 
residencial que tiene mayor (o menor) número de personas aferentes a este. Similarmente la 
duración de un uso de una ducha es considerablemente diferente a la duración de un uso de 
un lavamanos, e inclusive es diferente la duración de uso de esa misma ducha para diferentes 
personas (e.g., según Blokker et Al. (2010), los niños y adolecentes toman duchas más largas 
que los adultos). 

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Tesis II 

 

La  complejidad  del  problema  de  simulación  de  la  demanda  en  RIDAPs,  hace  que  diferentes 
problemas alrededor de éstas sean de difícil solución o que, análogamente, sean solucionados 
con  metodologías  basadas  en  suposiciones  difícilmente  aplicables  (e.g.,  los  procedimientos 
tradicionales de diseño de RIDAPs). 

 

Simulación del sistema

1

 (Basado en Saldarriaga, 2007) 

Una vez determinado en su totalidad el modelo (i.e., todos los atributos de los nudos y los links 
del  modelo  son  conocidos),  y  conocidos  los  datos  de  entrada  para  los  que  se  simulará  el 
sistema  (i.e.,  altura  piezométrica  a  la  entrada  de  la  red  y  el  escenario  de  demanda  que  se 
simulará), se deben aplicar dos principios físicos que gobiernan el movimiento de un fluido en 
una red cualquiera: Conservación de la Masa y Conservación de la Energía

2

El principio de Conservación de Masa establece que el caudal en cualquier punto a lo largo de 
una  tubería  es  constante  e  igual  al  producto  de  la  velocidad  media  del  flujo  y  el  área  de  la 
sección transversal (suponiendo que el agua es un fluido incompresible). Así mismo para todo 
nudo  de  la  red,  la  diferencia  de  la  suma  de  caudales  que  entran  y  la  suma  de  caudales  que 
salen  debe  ser  exactamente  igual  a  cero  (incluyendo  el  caudal  emitido  por  el  aparato 
conectado a ese nudo). 

El principio de Conservación de la Energía establece que la energía del flujo en el nudo inicial 
de la tubería debe ser igual a la energía del flujo en el nudo final de la misma más la suma de la 
energía perdida por fricción del fluido con la tubería y con el mismo fluido y, la energía perdida 
por accesorios y discontinuidades que alteren el flujo (pérdidas menores). Para caracterizar las 
pérdidas  menores,  se  asocia  un  coeficiente  global  para  cada  tubería,  el  cual,  al  multiplicarse 
por la altura piezométrica (cabeza) de velocidad, resulta en la energía perdida por dicho efecto 
(Ecuación 2). 

 

 

 

   

 

 

 

 

  

 

Ecuación 2 

Donde: 

 

 

 :  Energía  por  unidad  de  peso  específico  del  fluido  (Altura  piezométrica)  que  es 

disipada por las pérdidas menores. 

  : Velocidad media del flujo a lo largo de la tubería. 

  : Aceleración producida por la gravedad. 

 

 

 : Coeficiente global de pérdidas menores de la tubería seleccionada. 

                                                           

1

 También denominado “Ejecución del modelo”. 

2

 Si bien la Conservación de Momentum también se cumple, éste principio no resulta de utilidad para la 

solución de los problemas típicamente estudiados en el sistema. 

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Tesis II 

 

Para  caracterizar  las  pérdidas  por  fricción,  existen  varias  ecuaciones,  dentro  de  las  que  se 
encuentra  la  ecuación  de  Darcy-Weisbach  (Ecuación  3)  en  conjunto  con  la  ecuación  de 
Colebrooke-White (Ecuación 4), que tiene como ventajas, su deducción físicamente basada y 
consecuentemente su aplicabilidad a todos los casos que se llegan a presentar en una RIDAP. 
(e.g., flujo de agua a temperaturas cercanas a los 40°C). 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

  

 

Ecuación 3 

 

 

√ 

           (

 

 

    

 

    

  √ 

Ecuación 4 

Donde: 

 

 

 : Altura piezométrica que es disipada por la fricción del flujo con las paredes de la 

tubería y por la turbulencia del mismo. 

  : Factor de fricción adimensional que relaciona las pérdidas por fricción con la altura 
piezométrica de velocidad, con el diámetro de la tubería y con la longitud de la misma. 

  : Longitud de la tubería. 

  : Diámetro real interno de la tubería. 

 

 

 : Rugosidad absoluta del material de la tubería. 

   : Número de Reynolds del flujo que pasa por la tubería. 

Teniendo en cuenta que  el anterior principio aplica para todas las tuberías de la red, y dado 
que la energía en un nudo debe ser única, se puede plantear la Conservación de la Energía en 
redes de flujo presurizado de manera que para cada circuito cerrado de la red, la suma de la 
pérdidas por fricción y las pérdidas menores de todos sus tubos es igual a cero si se tiene en 
cuenta el signo de cada sumando dependiendo de la manera de recorrer el circuito. 

Así,  para  simular  el  comportamiento  hidráulico  de  una  red  de  flujo  presurizado  se  pueden 
plantear               ecuaciones, donde    es el número de circuitos cerrados de la red, y 
   es el número de nudos de la red (en donde se debe cumplir la Conservación de la Masa). 
Por otro lado, las incógnitas del procedimiento son el caudal en cada tubo de la red, y la altura 
piezométrica  disponible  en  cada  nudo  de  la  misma.  Sin  embargo  al  conocer  una  de  las 
respuestas hidráulicas (caudales en los tubos o alturas piezométricas en los nudos), es posible 
conocer la otra, utilizando las ecuaciones de fricción mostradas (Ecuación 3 y Ecuación 4). 

De  esta manera  se  pueden  simplificar  las  incógnitas  a    (Número  de  tubos  en  la  red),  y es 
posible  demostrar  que,  para  cualquier  red  dada,  el  término               es  exactamente 
igual a   , y por lo tanto la simulación del modelo, consiste en la solución de un sistema de 
   ecuaciones. Existen diferentes métodos de solución de estos sistemas, dentro de los que se 

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encuentra  el  Método  del  Gradiente  (Todini  &  Pilati,  1987),  el  cuál  ha  sido  implementado  en 
diferentes  programas  de  computador,  tales  como  Epanet  (Rossman,  2000) y Redes  (CIACUA, 
2006).  Estos  programas  entregan  la  respuesta  hidráulica  del  sistema  (datos  de  salida), 
incluyendo  las  presiones  en  los  nudos  y,  por  lo  tanto,  los  caudales  emitidos  por  el  aparato 
conectado. 

 

2.2  Diseño del sistema 

El problema de diseño de cualquier sistema, siempre puede ser dividido en dos problemas. El 
primero es la determinación de los escenarios para los que será diseñado el sistema (i.e., las 
configuraciones  de  datos  de  entrada  para  los  que  el  sistema,  al  ser  simulado,  generará 
respuestas  o  datos  de  salida  dentro  de  un  rango  aceptable  para  los  usuarios  del  mismo).  El 
segundo es un problema de optimización que consiste en determinar el valor de cada uno de 
los parámetros a diseñar del sistema, teniendo como restricciones el hecho de que para cada 
escenario establecido en el anterior problema, la simulación del sistema, debe generar datos 
de  salida  dentro  de  un  rango  aceptable,  y  con  una  función  a  minimizar  que  usualmente 
representa  los  costos  constructivos  y/o  de  operación,  aunque  también  se  llegan  a  incluir 
variables  que  representan  la  confiabilidad  del  sistema,  el  impacto  ambiental  del  mismo  y 
demás consideraciones propias de cada problema particular. 

 

2.2.1  Determinación de los escenarios o condiciones de diseño

3

 

Para el caso de diseño de RIDAPs, el primer problema ha sido ampliamente estudiado desde 
1932  (Hunter,  1940)  hasta  la  presente  fecha,  y  ha  generado  diferentes  metodologías  de 
estimación de caudales de diseño, a partir de diferentes aproximaciones al problema. 

 

Método de Hunter 

Es un método que considera la percepción de que sólo pocos de los aparatos conectados a la 
RIDAP, operan de manera simultánea durante un cierto intervalo de tiempo. Así, define  

    

 

como  la  probabilidad  de  que  haya  más  de   aparatos  encendidos  en  un  sistema  con    
aparatos totales. Esta probabilidad la calcula utilizando la Ecuación 5. 

 

 

    

  ∑ (  

 

)  

 

       

    

  

     

 

Ecuación 5 

 

                                                           

3

 Basado en: CIACUA (2011). 

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donde: 

  : Probabilidad de un aparato de estar encendido. 

Dado  que  la  Ecuación  5  se  basa  en  una  acumulación  de  una  Distribución  Binomial,  que 
representa  una  adición  de  ensayos  Bernoulli  con  probabilidad  de  éxito    (probabilidad  de 
estar  encendido),  es  necesario  estimar  esta  probabilidad  de  manera  que  sea  constante  para 
todos  los  aparatos  de  la  red.  Teniendo  en  cuenta  ésta  suposición,  y  el  hecho  de  que  cada 
aparato  tiene  un  caudal  promedio  emitido  diferente,  el  método  estandariza  los  aparatos 
sanitarios  más  comunes  respecto  a  un  fluxómetro  de  uso  público,  asignando  “Unidades”  a 
cada aparato (Tabla 1), y definiendo un caudal de diseño para posible acumulación de  dichas 
unidades en una RIDAP (Tabla 2)

Tabla 1. Asignación de unidades a cada aparato (Gonzalez, 2010). 

Aparato 

Tipo de uso  Tipo de suministro 

Unidades de aparto 

Total 

Agua caliente  Agua fría 

Sanitario 

b

lic

o

 

Fluxómetro 

10,00 

10,00 

Sanitario 

Tanque 

5,00 

5,00 

Orinal pedestal 

Fluxómetro 1" 

10,00 

10,00 

Orinal pared 

Fluxómetro 3/4" 

5,00 

5,00 

Lavamanos 

1,50 

1,50 

2,00 

Tina 

3,00 

3,00 

4,00 

Regadera ducha 

Mezclador 

3,00 

3,00 

4,00 

Lavaplatos 

Mezclador 

3,00 

3,00 

4,00 

Sanitario 

Priv

ad

o

 

Fluxómetro 

6,00 

6,00 

Sanitario 

Tanque 

3,00 

3,00 

Lavamanos 

Mezclador 

0,75 

0,75 

1,00 

Tina 

Mezclador 

1,50 

1,50 

2,00 

Regadera ducha 

Mezclador 

1,50 

1,50 

2,00 

Grupo de baño 

Sanitario fluxómetro 

2,25 

6,75 

8,00 

Grupo de baño 

Sanitario tanque 

2,25 

4,50 

6,00 

Lavaplatos 

Mezclador 

1,50 

1,50 

2,00 

Lavadora 

2,25 

2,25 

3,00 

 

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Tabla 2. Asignación del caudal de diseño para cada valor de las unidades (Granados Robayo, 2002). 

 

La  determinación  de  ese  caudal  de  diseño  se  basa  en  la  suposición  de  que  el  escenario  de 
diseño  no  debe  ser  superado  en  más  del  1.0%  del  tiempo,  y  por  lo  tanto  se  plantea  una 
igualdad  entre  la  Ecuación  5  y  dicha  probabilidad  aceptable  de  “falla”,  de  manera  que  se 
encuentra el número de aparatos encendidos que debe ser tenido en cuenta ( ) para cumplir 
esa ecuación y por lo tanto para diseñar el sistema. 

 

Método Británico 

El Método Británico consiste en calcular el caudal máximo posible, entendido como la suma de 
los  caudales  emitidos  promedio  de  cada  aparato  sanitario  conectado  a  la  RIDAP.  Una  vez 
conocido  dicho  caudal,  se  utiliza  la  Tabla  3  para  encontrar  el  caudal  de  diseño  y  así  se 
encuentra el escenario de diseño de cada tubería de la red. 

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Tabla 3. Asignación de caudales de diseño a partir de los caudales máximos posibles (García Sosa, 2001). 

Caudal emitido 

promedio (L/min) 

Caudal de 

diseño 

(L/min) 

 

Caudal emitido 

promedio (L/min) 

Caudal de 

diseño 

(L/min) 

Hasta 12 

100% del 

máximo 

posible 

318,0 

147,0 

405,0 

159,0 

53,0 

49,2 

465,6 

170,3 

60,6 

54,9 

537,5 

181,7 

68,1 

60,6 

617,0 

196,8 

75,7 

66,2 

711,7 

212,0 

87,1 

71,9 

817,6 

230,9 

98,4 

77,6 

938,8 

246,1 

113,6 

85,2 

1082,8 

268,8 

132,5 

90,8 

1245,4 

291,5 

151,4 

98,4 

1430,9 

321,8 

174,1 

106,0 

1646,6 

359,6 

200,6 

113,6 

1892,7 

393,7 

230,9 

121,1 

Más de 1892,7 

20% del 
máximo 

posible 

268,8 

128,7 

306,3 

140,1 

 

 

Existe una variante del Método Británico, denominada Método de Dawson y Bowman, que fue 
desarrollado en la Universidad de Wisconsin, y que tiene como única diferencia la asignación 
de  caudales  de  diseño  para  pequeñas  instalaciones  hidráulicas  ubicadas  en  edificaciones  de 
tipo residencial. 

 

Método alemán o de Raíz Cuadrada 

Este método asignó un “factor de carga” a cada aparato sanitario existente en el momento de 
su desarrollo, representando así el comportamiento de la demanda típica de cada aparato, y 
su caudal emitido promedio. Dicho factor es unitario para el caso de una llave de 3/8”, cuyo 
caudal emitido promedio es de 0.25L/s, siendo éste caudal, el utilizado como caudal unitario 
base (Ecuación 6): 

 

 

      

   

 

  √∑  

 

   

 

 

   

 

Ecuación 6 

donde: 

 

      

 : Caudal de diseño de la tubería analizada. 

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 :  Caudal  unitario  base.  Corresponde  al  caudal  emitido  promedio  de  una  llave  de 

3/8” ( 

 

         ). 

 

 

 : Factor de carga de los aparatos de tipo  . Para una llave de 3/8” el factor de carga 

es unitario. 

 

 

 : Número de aparatos de tipo   aguas abajo de la tubería analizada. 

  : Número total de tipos de aparatos. 

 

Método del Factor de Simultaneidad 

El  Método  del  Factor  de  Simultaneidad,  calcula  el  caudal  de  diseño  como  el  producto  del 
caudal máximo posible, de nuevo entendido como la suma de los caudales emitidos promedio 
de cada aparato sanitario conectado a la RIDAP, y un factor de simultaneidad que es función 
del número de aparatos aguas abajo del tubo analizado (Ecuación 8). 

 

 

      

   

 

∑  

 

 

   

   

 

 

Ecuación 7 

donde: 

 

 

 : Factor de simultaneidad de la tubería analizada. 

 

 

 : Caudal emitido promedio de los aparatos de tipo  . 

 

 

 

 

 

√     

 

Ecuación 8 

donde: 

  : Número total de aparatos sanitarios aguas abajo de la tubería analizada. 

Este método tiene algunas recomendaciones de uso, dentro de las que se encuentra el valor 
mínimo  de  

 

 como    .  Además,  existe  una  variante  del  método  que  incluye  un  segundo 

factor ( 

 

) función del número de viviendas aguas abajo del tubo analizado (Ecuación 9). Así, 

este  factor  es  considerable,  solo  para  tuberías  por  fuera  de  las  RIDAPs  de  cada  unidad 
residencial (Roca & Carratalá). 

 

 

 

 

 

   

    

       

   

    

 

Ecuación 9 

donde: 

 

 

 : Factor de simultaneidad por varias residencias. 

 

   

 : Número de unidades residenciales aguas abajo del tubo analizado. 

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14 

 

El principal problema de los anteriores métodos radica en su naturaleza sobre-simplificada y, 
en algunos casos, empírica, que se basa en mediciones hechas en sus periodos de desarrollo y 
que, por lo tanto, no se ajustan de manera aceptable a las condiciones actuales de las RIDAPs. 
Por otro lado, hacen algunas suposiciones un tanto fuertes de cumplir en el prototipo, dentro 
de  las  cuales  se  encuentra  la  aplicabilidad  de  sus  observaciones  a  sistemas  con  diferentes 
condiciones  socio-ambientales  así  como  la  representación  de  los  aparatos  sanitarios  con  un 
caudal  promedio  determinado  con  aparatos  de  la  época.  Así,  los  métodos  anteriormente 
mencionados  fueron  pensados  para  una  labor  ingenieril  considerablemente  más  limitada  en 
términos de recursos computacionales que la actual, y por lo tanto se considera conveniente 
una revaluación de este aspecto del diseño a la luz de los recursos disponibles en la actualidad. 

 

Métodos basados en modelos modernos 

Buchberger & Wu (1995) y Buchberger & Wells (1996) presentaron un modelo para simular la 
demanda de agua en edificaciones residenciales, con base en Pulsos Rectangulares de Poisson 
(PRP). Si bien el objetivo original de estas investigaciones, y de muchas otras que le siguieron 
(ver  Sección  2.3),  era  desarrollar  un  modelo  que  estimara  los  caudales  que  se  están 
demandando  en  cada  nudo  de  la  RDAP  en  cada  instante  de  tiempo  para  así  predecir  de 
manera más precisa el comportamiento de la calidad del agua, es posible hacer uso de estos 
métodos  para  encontrar  uno  o  varios  escenarios  de  demanda  a  tener  en  cuenta  en  el 
procedimiento de diseño de las RIDAPs (e.g., CIACUA, 2011). 

 

Método propuesto por Acero (2009) 

Acero  en  su  investigación  propone  un  método  de  diseño  de  RIDAPs  que  incluye  un  paso  de 
determinación de las condiciones de diseño del sistema. Dicho paso, según la investigación, se 
basa en              , que no son más que posibles escenarios de demanda que deben ser 
determinados  por  el  ingeniero  diseñador  con  base  en  su  experiencia  y  juicio.  Así,  para  cada 
escenario,  realiza  el  procedimiento  de  diseño  (determinación  del  valor  de  los  parámetros) 
utilizando una metodología similar a la descrita en la Sección 2.2.2, para después tomar como 
valores  definitivos  de  los parámetros  de  diseño  los valores  máximos  de  todos  los escenarios 
(valores envolventes). 

Sin  embargo  la escogencia  de  los  escenarios  de  diseño  depende  del  criterio  del  diseñador, y 
por lo tanto un mismo sistema puede resultar con dos diseños diferentes, dependiendo de la 
experiencia  y  el  juicio  del  ingeniero  diseñador.  Además  el  número  de  escenarios  necesarios 
para  diseñar  una  red  de  una  edificación  de  tamaño  medio  o  grande  puede  resultar 
considerablemente alto, haciendo difícil la aplicación correcta por parte del diseñador. Por lo 
tanto  dicho  método  sólo  es  recomendado  para  una  posterior  comprobación  de  diseño  en 
donde se verifiquen escenarios de demanda determinados por el diseñador según su criterio. 

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2.2.2  Determinación del valor de los parámetros. 

La determinación del valor de los parámetros de un sistema, es el procedimiento mediante el 
cual se asigna un valor a cada parámetro “diseñable” del sistema, de manera que al simular su 
respuesta  a  los  datos  de  entrada  determinados  en  el  paso  anterior,  se  llega  a 
comportamientos aceptables para cada dato de salida. Sin embargo en la mayoría de los casos 
existen  muchas  configuraciones  de  valores  de  los  parámetros  que  cumplen  con  esas 
restricciones,  por  lo  que  este  procedimiento  incluye  la  búsqueda  de  aquella  solución  que 
optimiza una función objetivo. 

En el caso de redes de distribución de agua con flujo presurizado (tanto RDAPs como RIDAPs) 
los parámetros a determinar en el diseño son los diámetros reales internos de las tuberías de 
la  red  y  el  material  que  se  utilizará  para  éstas  (usualmente  se  predefine  de  acuerdo  con  la 
disponibilidad  de  materiales  en  el  mercado).  Las  restricciones,  por  otro  lado,  incluyen 
presiones  en  los  nudos,  velocidades  en  las  tuberías,  y  para  el  caso  específico  de  las  RIDAPs, 
también  se  incluyen  caudales  mínimos  y  máximos  en  cada  nudo  de  la  red.  Como  función 
objetivo en RDAPs se han utilizado funciones relacionadas con el costo constructivo de la red 
así  como  con  la  confiabilidad  del  sistema,  de  manera  que  se  han  desarrollado  diferentes 
metodologías,  incluyendo  algunas  que  acoplan  heurísticas  al  diseño,  para  optimizar  esa 
función logrando que el sistema diseñado cumpla con las restricciones y que a la vez minimice 
los  costos  constructivos y/o  maximice  la confiabilidad  del  sistema  (minimizar  la  probabilidad 
de  falla).  En  el  caso  de  las  RIDAPs,  este  procedimiento  de  optimización  no  presenta 
antecedentes  en  la  literatura,  y  muy  seguramente  en  el  ejercicio  profesional  se  toma  como 
solución al problema, la primera configuración de valores de los parámetros que cumple con 
todas las restricciones, de manera que no se minimizan costos constructivos, ni se maximiza la 
confiabilidad. 

Sin  embargo  CIACUA  (2011),  hace  una  aproximación  novedosa  al  problema  de  diseño  de 
RIDAPs,  al  definir  los  mismos  parámetros  a  diseñar  y  las  mismas  restricciones,  pero 
adicionando  una  función  objetivo  que  representa  los  costos  constructivos  de  la  red.  Esta 
función es tomada de estudios realizados para RDAPs donde sí existe dicha función y su forma 
típica es: 

 

 

     

  ∑      

 

   

 

 

  

   

 

Ecuación 10 

donde: 

 

     

 : Costo constructivo total de la red. 

 

 

 : Longitud de la  -ésima tubería de la red. 

 

 

 : Diámetro de la  -ésima tubería de la red. 

     : Parámetros de la función de costos. 

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16 

 

Para minimizar la función descrita por la Ecuación 10, CIACUA utiliza los resultados de I-Pai Wu 
(1975)  en  donde  se  encuentra  que  una  manera  rápida  y  efectiva  para  realizar  esta  tarea 
consiste en predefinir la superficie de presiones

4

 de la red, generando una superficie objetivo, 

de  manera  que  al  diseñar  cada  tubería  por  separado  se  llegue  a  un  sistema  que,  cuando  es 
simulado con los datos de entrada de diseño, genera dicha superficie de presiones. Según I-Pai 
Wu el diseño óptimo no difiere considerablemente del diseño al que se llega si se utiliza una 
superficie  de  presiones  plana,  definida  para  cada  trayectoria  de  una  RIDAP  a  partir  de  la 
siguiente ecuación: 

 

   

 

  (

   

   

     

   

 

   

)          

   

 

Ecuación 11 

donde: 

   

 

 : Línea de gradiente hidráulico

5

 (LGH) evaluada en  . 

   

   

 : Máximo valor de  la LGH  para esa  trayectoria. Dada la forma abierta de  las 

RIDAPs,  y  la  ausencia  de  bombas  dentro  de  ésta,    

   

 es  igual  a  la  altura 

piezométrica  en  la  conexión  de  la  RIDAP  con  el  sistema  de  acueducto  o  a  la  altura 
piezométrica aguas abajo de la bomba que conecta la RIDAP con la RDAP. 

   

   

 :  Mínimo  valor  de  la  LGH  para  esa  trayectoria.  Este  valor  corresponde  a  la 

mínima altura piezométrica aceptable en el nudo final de la trayectoria (el más aguas 
abajo),  y  se  determina  a  partir  de  los  requisitos  de  los  aparatos  conectados  en  ese 
nudo. 

 

   

 :  Longitud  de  la  trayectoria  a  la  cual  pertenece  el  punto  analizado.  Se  calcula 

como la distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP y el nudo final de 
la trayectoria. 

  : Distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP y el punto en donde se 
quiere calcular la LGH objetivo. 

De  esta  manera  CIACUA  calcula  la  superficie  objetivo  para  cada  nudo  de  la  red  utilizando  la 
Ecuación  11,  y  conociendo  los  caudales  de  diseño  a  partir  de  una  metodología  moderna  de 
Determinación  de  los  escenarios  de  diseño  (ver  Sección  2.3.4),  puede  calcular  los  diámetros 
internos  reales  de  cada  tubería  de  la  red,  de  manera  que  se  minimiza  en  buena  medida  el 
costo constructivo de la misma. 

Sin embargo la deducción de I Pai Wu (1975), se basa en un sistema de tuberías en serie con 
flujo presurizado, que tiene como principal característica una longitud uniforme de todos sus 

                                                           

4

 Es la superficie que representa la cabeza hidráulica total en cada punto de la red. Se calcula como la 

suma de la altura piezométrica de velocidad, de presión y la elevación de dicho punto. 

5

 Es  la  línea  perteneciente  a  la  superficie  de  presiones,  correspondiente  a  los  valores  de  cada  punto 

sobre una trayectoria dada, en este caso una rama de la red. 

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17 

 

tubos, y un caudal de demanda uniforme en todos sus nudos Esas condiciones son típicamente 
encontradas en redes de riego de alta frecuencia, pero no en una RIDAP o en una RDAP, por lo 
que  es  posible  que  el  diseño  óptimo  difiera  de  manera  considerable  del  diseño  encontrado 
utilizando la aproximación de CIACUA (2011), para el caso de RIDAPs. 

De esta manera, se debe considerar la fórmula completa de I Pai Wu (1975), para esa línea de 
gradiente hidráulico objetivo correspondiente a la superficie de presiones objetivo evaluada en 
una  trayectoria  única  con  forma  topológicamente  similar  a  la  de  una  tubería  en  serie, 
caracterizada como una ecuación cuadrática con una función descrita por la Ecuación 12 que 
puede verse representada en la Figura 1, y así utilizar resultados de estudios posteriores a I Pai 
Wu acerca de esa línea de gradiente hidráulico objetivo que minimiza los costos constructivos 
(e.g., Villalba, 2004; Ochoa, 2009). 

 

Figura 1. Esquema de asignación de Altura Piezométrica según una ecuación cuadrática. 

Es importante notar que la Ecuación 12, y la posterior descripción de sus variables es aplicable 
para cualquier sistema de tuberías en serie, incluyendo las trayectorias que se generan en una 
RIDAP. 

   

 

         

   

   

     

   

  

   

 

 

   

 

               

   

   

     

   

  

   

 

         

   

 

Ecuación 12 

donde: 

   

 

 :  Línea  de  gradiente  hidráulico  (LGH)  evaluada  en  el  punto   medido  desde  la 

entrada del sistema. 

   

   

 : Máximo valor de la LGH para esa trayectoria analizada. Corresponde con la 

altura piezométrica disponible en la entrada del sistema. 

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18 

 

   

   

 :  Mínimo  valor  de  la  LGH  para  esa  trayectoria.  Este  valor  corresponde  a  la 

mínima  altura  piezométrica  aceptable  en  el  nudo  final  de  la  trayectoria  (el  de  más 
aguas abajo). 

 

   

 : Longitud total de la trayectoria a la cual pertenece el punto analizado. Se calcula 

como la distancia topológica entre la entrada del sistema y el nudo final de la rama. 

  :  Flecha  de  la  ecuación  cuadrática  de  LGH.  Representa  la  diferencia  de  alturas 
piezométricas  entre  una  LGH  recta  calculada  con  la  Ecuación  11,  y  la  que  se  desea 
calcular con la Ecuación 12, escrita de manera porcentual respecto a la diferencia entre 
la    

   

 y  la    

   

.  Se  considera  positiva  si  el  valor  calculado  con  la  ecuación 

cuadrática  es  menor  que  el  calculado  con  la  ecuación  lineal,  y  negativa  en  caso 
contrario. 

  : Distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP y el punto en donde se 
quiere calcular la LGH objetivo. 

A diferencia de la Ecuación 11, la Ecuación 12 tiene un grado de libertad representado por la 
variable  ,  que  implica  que  existe  una  variable  que  debe  ser  ajustada  por  el  diseñador  para 
buscar  un  diseño  que  minimice  la  función  objetivo.  I  Pai  Wu  (1975)  encuentra  que,  para 
sistemas de tuberías en serie con longitudes de tubos uniformes y con caudales demandados 
en los nudos también uniformes, ese valor óptimo es               . Por otro lado, Ochoa 
(2009) sugiere un procedimiento de cálculo del valor de   óptimo a partir de las características 
de  la  demanda  de  agua  a  lo  largo  del  sistema.  Sin  embargo  en  ninguna  de  las  dos 
investigaciones  se  encuentra  un  estudio  del  dominio  de  la  variable   para  el  que  la  función 
          genera  valores  físicamente  posibles,  por  lo  que  dicho  análisis  se  presenta  a 
continuación, a fin de hacer uso de los resultados en un futuro método de diseño de RIDAPs: 

 

Análisis del dominio de   y de   

El  dominio  de  una  función  es  el  conjunto  de  valores  que  pueden  tomar  las  variables 
independientes  de  manera  que  la  función  pueda  ser  evaluada.  Dado  que  la  función  descrita 
por la Ecuación 12 tiene como variable independiente a  , pero tiene como parámetro para su 
cálculo la variable  , que es independiente de  , ésta puede ser entendida como otra variable 
independiente, haciendo que la función de asignación de línea de gradiente hidráulico objetivo 
sea una función con dos variables independientes          . 

Por un lado el dominio de  , entendido como el conjunto de valores de la variable para los que 
es posible calcular la función, es fácilmente identificable como: 

 

   [ ]   [     

   

Ecuación 13 

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19 

 

Teniendo en cuenta que, si bien la función cuadrática puede ser evaluada para cualquier valor 
real  de  ,  sólo  para  aquellos  valores  que  pertenezcan  al  sistema  de  tuberías  en  serie  de 
longitud  

   

, dicha función tendría sentido físico. 

Por  otro  lado  el  dominio  de   requiere  un  análisis  un  poco  más  complejo,  que  tiene  como 
principal consideración la conservación de la energía a lo largo del sistema. Así, el valor de   
nunca debe implicar una ganancia de energía del flujo, dado que ello es físicamente imposible 
en los sistemas analizados (series de tuberías sin bombas o elementos de aumento de la altura 
piezométrica), y de hecho no puede siquiera implicar una energía constante del flujo, dado que 
el trasporte a lo largo de la tubería siempre generará pérdidas de energía por fricción. 

De  esta  manera  si  se  considera  un  sistema  compuesto  por  tuberías  de  longitud  diferencial 
como la mostrada en la Figura 2, el dominio de   serán todos los valores de la variable que no 
implican una pendiente de la LGH positiva o cero para ningún valor de     [     

   

].  

 

Figura 2. Sistema de tuberías en serie con longitudes diferenciales. 

La anterior consideración puede ser expresada con la siguiente expresión: 

    

 

  

|

   [    

   

]

    

que  tiene  como  casos  críticos       y      

   

.  Así,  el  valor  máximo  de   para  este  sistema 

puede ser calculado como (la demostración completa se encuentra en el Anexo 11.1): 

      (

    

 

  

|

   

   

        ) 

 

   

   

       

Ecuación 14 

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20 

 

Similarmente se puede plantear la desigualdad para      , llegando a: 

 

   

   

        

Ecuación 15 

Lo  que  implica  que  el  dominio  de   para  el  sistema  de  tuberías  en  serie  con  longitudes 
diferenciales es el descrito por la Ecuación 29: 

 

   [ ]                  

Ecuación 16 

Sin embargo cuando se considera que el sistema no está compuesto por tuberías de longitud 
diferencial, sino de hecho por tuberías de longitud real y conocida, se puede presentar el caso 
mostrado en la Figura 3, en donde existe un rango para el que se viola la LGH mínima y más 
grave aún, un rango para el que  se viola la conservación de energía (rango en donde  la LGH 
tiene  pendiente  positiva),  pero  sin  embargo  el  procedimiento  tendría  sentido  físico  y  podría 
ser  implementado  teniendo  en  cuenta  que  el  algoritmo  sólo  asigna  LGH  a  los  nudos  del 
sistema  y  no  a  toda  la  longitud  del  mismo,  por  lo  que  el  sistema  mostrado  en  la  Figura  3, 
podría ser perfectamente diseñado cuando se asignara la LGH mínima al último y al penúltimo 
nudo del sistema. Así, si se considera que la última tubería tiene longitud   

   

, el valor máximo 

de   se calcularía a partir de la Ecuación 18. 

 

Figura 3. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida. 

La  evaluación  de  la  LGH  para  el  último  y  el  penúltimo  nudo,  en  el  caso  crítico,  daría  como 
resultado    

   

 y por lo tanto la diferencia entre las dos expresiones sería cero tal y como se 

muestra a continuación (la demostración completa se encuentra en el Anexo 11.1):  

 

      (   

   

   

  

   

 

     

   

   

    

 ) 

Ecuación 17 

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21 

 

 

   

   

 

 

   

 ( 

   

   

   

)

 

Ecuación 18 

Similarmente  al  caso  de  las  tuberías  diferenciales,  el  cálculo  de  

   

 consiste  en  plantear  la 

misma expresión anterior, pero considerando que la LGH se debe evaluar en el primer y en el 
segundo  tubo,  de  manera  que,  si  la  longitud  de  la  primera  tubería  del  sistema  es   

      

entonces se tiene que: 

 

   

   

   

 

   

   

   

   

      

 

 

Ecuación 19 

Lo  que  implica  que  el  dominio  de   para  el  sistema  de  tuberías  en  serie  con  longitudes  no 
diferenciales y conocidas es el descrito por la Ecuación 20: 

 

   [ ]   ( 

 

   

   

   

   

      

 

  

 

   

 ( 

   

   

   

)

Ecuación 20 

Tanto  para  la  deducción  de  la  Ecuación  16  como  para  la  deducción  de  la  Ecuación  20,  las 
diferencias de LGH se han igualado a cero, indicando que el caso crítico es aquel en el que se 
asigna cero altura piezométrica disponible al tubo más aguas abajo o más aguas arriba. Dicha 
deducción  igualando  a  cero,  es  la  que  genera  que  los  intervalos  de  dominio  de    sean 
abiertos, indicando que los valores allí escritos son valores             y            , pero 
no           ni           .  Es  decir  que   nunca  puede  ser  exactamente  igual  a  ninguno 
de estos valores, porque implicaría cero altura piezométrica disponible para mover el flujo, y 
por lo tanto se requeriría un diámetro real interno infinito (ver Ecuación 3). 

De esta manera, si se desea considerar que el rango de valores del diámetro, en un caso real, 
tiene un máximo, la expresión de la Ecuación 17 no se debe igualar a cero, sino a una altura 
piezométrica disponible mínima necesaria para mover el flujo. Teniendo en cuenta la Ecuación 
3, e
l flujo requerirá menos altura piezométrica para su movimiento mientras más grande sea el 
diámetro  real  interno,  de  manera  que  si   

   

 es  el  máximo  diámetro  disponible  en  el 

mercado, y  

   

 en el caudal demandado en el último nudo del sistema, entonces la mínima 

altura piezométrica requerida para mover el flujo por la última tubería será: 

 

 

   

 

)

 

   

  (   

 

   

 

   

  ∑  

 

)  

 ( 

   

)

 

 

 

    

   

 

 

   

 

Ecuación 21 

De manera que se tendrá una condición crítica como la mostrada en la Figura 4: 

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Tesis II 

22 

 

 

Figura 4. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida y con diámetro máximo. 

Planteando  las  ecuaciones  para  el  cálculo  de  

   

 en  el  caso  de  un  sistema  de  tuberías  en 

serie con longitud conocida y con diámetro máximo, se tendría que (la demostración completa 
se encuentra en el Anexo 11.1)

      (   

   

   

  

   

 

     

   

   

  ( 

 

   

 

)

 

   

    

 ) 

 

   

   

 

 

   

  ( 

   

  ( 

 

   

 

)

 

   

   

   

      

   

     

   

 )

     

   

  ( 

   

   

   

)    

   

     

   

  

 

Ecuación 22 

Y haciendo un análisis análogo para la primera tubería se llegaría a la Ecuación 23, suponiendo 
que  ( 

 

   

 

)

 

   

 ahora  es  calculado  con  

     

 en  vez  de  

   

,  donde  

     

 es  el  caudal 

total demandado en el sistema y que por lo tanto tendrá que pasar por la primera tubería: 

 

   

   

   

 

   

  ( 

   

  ( 

 

   

 

)

 

   

   

      

      

   

     

   

 )

     

      

    

      

   

   

     

   

     

   

  

 

Ecuación 23 

Lo  que  implica  que  el  dominio  de   para  el  sistema  de  tuberías  en  serie  con  longitudes  no 
diferenciales y conocidas y con diámetro máximo disponible es el descrito por la Ecuación 24: 

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Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

23 

 

 

   [ ]  

[

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  ( 

   

  ( 

 

   

 

)

 

   

   

      

      

   

     

   

 )

     

      

    

      

   

   

     

   

     

   

  

  

 

   

  ( 

   

  ( 

 

   

 

)

 

   

   

   

      

   

     

   

 )

     

   

  ( 

   

   

   

)    

   

     

   

  

]

 

 

 

 

 

 

 

Ecuación 24 

 

En  la  Ecuación  24  se  puede  notar  que  el  intervalo  dominio  de  la  variable   se  encuentra 
descrito  como  un  intervalo  cerrado,  indicando  que  para  este  caso  los valores  que  definen el 
intervalo  son  valores            y            ,  y  a  la  vez           y            de 
manera que la variable   puede ser inclusive exactamente igual a dichos valores, y aun así la 
función           estará  definida  y  tendrá  sentido  físico  para  su  uso  en  el  diseño  de  las 
tuberías. 

De esta manera se tienen tres conjuntos de dominio de   (Ecuación 16, Ecuación 20 y Ecuación 
24) 
que describen, dependiendo del sistema a considerar, el espacio de búsqueda de ese valor 
óptimo  de   para  el  que  el diseño  de  la  tubería en  serie  minimizará  los  costos  constructivos 
asociados. Es decir que en el caso de la determinación de los valores de los parámetros de una 
RIDAP,  una  buena  política  sería  realizar  el  procedimiento  de  diseño  sugerido  por  I  Pai  Wu 
(1975)  para  tuberías  en  serie  y  extendido  a  redes  abiertas  y cerradas  por  VILLALBA  (2004) y 
OCHOA (2009), pero recorriendo todo el dominio de F, hasta encontrar la solución de menor 
costo. 

 

2.3  Estimación de la demanda en el sistema con métodos modernos 

Una de las ramas de investigación relativa a RDAPs se encarga de estimar el comportamiento 
de la demanda de dichos sistemas, para tener valores de demanda en cada nudo de la red más 
ajustados a lo que ocurre en el prototipo, a fin de simular el comportamiento hidráulico típico 
de  la  red  y  así  poder  simular  el  comportamiento  de  la  calidad  del  agua  en  términos  de 
concentraciones  de  diferentes  sustancias,  formación  y  desprendimiento  de  películas  en  las 
tuberías  y  demás  aspectos  importantes  para  asegurar  una  potabilidad  del  agua  entregada. 
Teniendo en cuenta dicho objetivo, se han desarrollado metodologías para describir y predecir 
la  demanda  en  cada  nudo  de  la  red,  y  como  resultado  se  ha  llegado,  en  algunos  casos,  a 
metodologías que sirven para estimar la demanda en RIDAPs. 

 

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24 

 

2.3.1  Modelo de PRP (Poisson Rectangular Pulses) 

El modelo de Pulsos Rectangulares  de Poisson fue  propuesto por  Buchberger  &  Wu (1995) y 
toma como base la teoría de colas cuyo uso más conocido es en la descripción de la dinámica 
de un sistema de atención de llamadas (callcenter). 

 

Teoría de colas 

La teoría de  colas busca analizar la dinámica de  sistemas donde  ciertas  entidades  llegan con 
una  distribución  de  probabilidad  dada,  y  buscan  ser  atendidas  por  un  cierto  número  de 
servidores  que  tardan  un  tiempo  aleatorio  en  atender  a  cada  entidad,  de  manera  que  se 
generan filas o colas de entidades esperando para ser atendidas por los servidores. Un sistema 
de  formación  de  colas  queda  completamente  definido  si  se  conocen  cuatro  características 
principales del sistema y dos características de la población a la que atiende: 

  : Función de probabilidad del tiempo entre llegadas de las entidades que esperan ser 
atendidas al sistema. 

  :  Función  de  probabilidad  del  tiempo  de  atención  o  servicio  por  parte  de  los 
servidores del sistema. 

  : Número de servidores en el sistema. 

  : Disciplina de la fila. Se refiere a la manera como se selecciona la entidad que será 
servida dentro del conjunto de entidades en espera, una vez se desocupe un servidor. 

  : Capacidad del sistema. Se refiere al número máximo de entidades que puede haber 
dentro del sistema, incluyendo las entidades que están siendo servidas y las entidades 
que están en cola. 

  :  Tamaño  de  la  población  de  la  cual  provienen  las  entidades  que  esperan  ser 
atendidas. 

De esta manera surgió la notación de Kendall-Lee-Taha usualmente conocida como la notación 
de Kendall, en la cual cada sistema tiene asignada una cadena de caracteres como se muestra 
a continuación: 

 

            

Ecuación 25 

donde cada letra corresponde con la descripción hecha anteriormente, y existen una serie de 
códigos asignados a valores específicos de cada característica: 

 

Los  valores  relacionados  con  distribuciones  de  probabilidad  ( ,  )  pueden  tomar  alguno 
de los siguientes valores (CIACUA, 2011): 

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25 

 

  :  Distribución  exponencial.  (Se  asigna  una  M  para  entender  el  proceso  como 
Markoviano). 

 

 

 : Distribución Erlang con   fases. 

 

 

 : Distribución hiperexponencial con   fases. 

 

 

 : Distribución Cox con   fases. 

  : Distribución determinística. 

  : Distribución general. Se refiere a una distribución de probabilidad cualquiera. 

   : Distribución general con tiempos entre llegadas independientes. 

 

Los valores numéricos ( ,  ,  ) toman valores enteros positivos, o infinito ( ) entendido 
como  un  valor  suficientemente  grande  en  comparación  con  las  demás  variables  del 
análisis. 

 

La disciplina de la fila ( ) puede tomar alguno de los siguientes valores: 

     : Las entidades son atendidas de acuerdo con el orden de llegada. (First In First 
Out). 

     :  Las  entidades  son  atendidas  de  manera  inversa  al  orden  de  llegada.  (Last  In 
First Out). 

     : Las entidades son atendidas en un orden aleatorio. (Service In Random Order). 

   :  La  disciplina  de  la  fila  es  general.  Se  refiere  a  una  disciplina  de  fila  cualquiera. 
(General Discipline). 

Así, existen soluciones analíticas a una serie de posibles sistemas, y soluciones numéricas para 
otros cuantos. La solución de un sistema de colas, consiste en calcular el valor de una serie de 
medidas de desempeño dentro de las que se encuentran la utilización promedio del sistema, el 
número de entidades en el sistema en estado estable

6

, el tiempo promedio de estadía de una 

entidad en el sistema en estado estable, y la probabilidad de tener   entidades en el sistema en 
estado estable ( 

 

). La solución de un gran número de estos sistemas se basa en la utilización 

de Cadenas de Markov, que es una herramienta que permite calcular cada   

 

 suponiendo que 

el sistema es un proceso de nacimiento y muerte, y las distribuciones del tiempo entre llegadas 
y del tiempo de servicio son exponenciales. 

 

                                                           

6

 Se entiende que un sistema está en estado estable si el valor de cada medida de desempeño no varía 

con  el  paso  del  tiempo.  Para  su  cálculo  se  calcula  el  límite  de  la  medida  de  desempeño  instantánea 
cuando el tiempo tiende a infinito. 

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26 

 

Modelo              

Buchberger & Wu (1995), propusieron este modelo, también denominado sistema de pérdidas 
Erlang  (Erlang’s  loss  system),  para  caracterizar  la  demanda  de  agua  en  una  RIDAP 
correspondiente a una única vivienda. Para ello define los aparatos sanitarios como servidores, 
de  manera  que  el  tiempo  de  servicio  corresponde  con  el  tiempo  de  uso  del  aparato,  y  los 
residentes de la vivienda como entidades que entran al sistema para ser “atendidos” por los 
servidores. 

De la notación, se puede deducir que tanto el tiempo entre llegadas de las personas (o de sus 
necesidades)  como  el  tiempo  de  servicio  (o  de  uso)  de  cada  aparato  se  distribuyen 
exponencialmente, indicando que éstas siguen un proceso de Poisson con tasa igual al inverso 
del valor esperado del tiempo: 

 

   

 

 [                     ]

 

Ecuación 26 

 

   

 

 [                                    ]

 

Ecuación 27 

Donde: 

  :  Tasa  de  llegada  de  las  personas  al  sistema.  Corresponde  al  parámetro  de  la 
distribución de Poisson que describe las llegadas. 

  : Tasa de servicio de los servidores. Corresponde al parámetro de la distribución de 
Poisson que describe el servicio. 

Además se deduce que el sistema está compuesto por   aparatos sanitarios, que la disciplina 
de la cola no es de incumbencia, que el sistema tiene una capacidad máxima de    personas, y 
que  la  población  se  considera  infinita.  De  lo  anterior  es  significativo  el  hecho  de  que  la 
capacidad del sistema coincide con el número de servidores en el mismo, indicando que si una 
persona  llega  al  sistema  y  nota  que  todos  los  aparatos  sanitarios  están  siendo  utilizados, no 
hace ningún tipo de fila (dado que ya hay    personas en el sistema y no hay capacidad para 
nadie  más),  y  por  lo  tanto  se  “pierde”  esa  llegada,  (de  donde  sale  el  nombre  de  Sistema  de 
Pérdidas de Erlang). 

En su investigación, Buchberger & Wu (1995), aplican la solución encontrada por Erlang para la 
solución  del  sistema,  implicando  que  suponen,  además  de  lo  ya  expuesto,  que  la  tasa  de 
llegada de personas es independiente del número de personas en el sistema, que el tiempo de 
servicio de todos los servidores es independiente e idénticamente distribuido para todos y que 
la  necesidad  de  un  usuario  puede  ser  satisfecha  por  cualquiera  de  los  servidores  (aparatos). 
Como resultado del proceso encuentran la probabilidad de que haya   aparatos encendidos al 
tiempo  en  la  vivienda,  y  a  continuación  presentan  una  aproximación  a  la  distribución  de 
probabilidad de la intensidad de cada uso de un aparato, entendido como el caudal emitido en 
el momento en que hay una persona en él. Para dicho resultado, de nuevo se supone que la 

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27 

 

intensidad de los usos de los aparatos es independiente e idénticamente distribuida para todos 
los usos. 

Como se puede notar, la metodología planteada por Buchberger & Wu (1995) se basa en una 
serie  de  suposiciones  que  hacen  que  el  modelo  no  se  ajuste  de  manera  suficiente  al 
comportamiento que se desea simular, dado su difícil cumplimiento en las condiciones reales 
del prototipo. Si bien en el resto del documento Buchberger & Wu, presentan otros modelos 
para un nivel de agregación mayor, para el caso de la estimación de demanda en RIDAPs, sólo 
el modelo acá expuesto busca cumplir con este fin. 

 

2.3.2  Modelo de NSRP (Neyman-Scott Rectangular Pulses) 

Alcocer-Yamanaka  et  Al.  (2008),  presentan  un  modelo  un  tanto  diferente  del  propuesto  por 
Buchberger & Wu (1995), al suponer la frecuencia de llegadas como un proceso de Neyman-
Scott.  Este  modelo  presenta  una  ventaja  significativa  al  permitir  diferentes  intervalos  de 
tiempo  para  su  obtención,  por  lo  que  la  estimación  de  sus  parámetros  resulta  más  fácil  y 
robusta. Sin embargo, y al igual que las demás investigaciones presentadas en esta sección, su 
objetivo es estimar la demanda en un nudo de una RDAP que representa la demanda en una 
cuadra o sector de edificaciones residenciales, y no en una única vivienda. 

 

2.3.3  Modelo estocástico de uso último (stochastic end-use model) 

Blokker  &  Vreeburg  (2005)  presentan  un  modelo  completamente  diferente  a  las 
aproximaciones  hasta  el  momento  desarrolladas  por  los  investigadores,  al  proponer  una 
estimación de los caudales de demanda en los nudos de una RDAP basada en conocimiento del 
uso último del agua. Para ello utiliza mediciones hechas por diferentes encuestas y mediciones 
realizadas  en  Holanda  (e.g.,  Foekema  &  Engelsman,  2001)  que  le  permiten  definir  ocho 
posibles  usos últimos, los cuales  coinciden con los aparatos utilizados para ello, así como las 
funciones  de  densidad  de  probabilidad  de  su  frecuencia,  duración  e  intensidad  (caudal 
emitido) (Ver Tabla 4). 

 

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Tabla 4. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo – Datos medidos en 
Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b). 

 

 

 

En sus posteriores investigaciones  (Blokker, 2006;  Blokker, 2010a;  Blokker, 2010b;  Blokker et 
Al.,  2010;  Blokker  et  Al.,  2011)  desarrollan  y  muestran  un  software  denominado  SIMDEUM 
(Simulation  of  water  demand,  an  end-use  model)  desarrollado  en  MATLAB,  cuyo  principal 
objetivo es generar simulaciones de los caudales a lo largo del día que serán demandados en 
un sector de una zona urbana con unas características específicas. Sin embargo, para ello hace 
uso de una serie de mediciones que resultan de gran utilidad a la hora de analizar la demanda 
en RIDAPs, tales como patrones diarios de consumo de agua y comportamiento humano. 

En la Tabla 4, Blokker logra asignar a cada uso último una distribución de probabilidad para la 
frecuencia de uso, para la duración de uso y para la intensidad de uso (caudal emitido). Esta 
tabla resulta de mediciones realizadas en zonas residenciales de Holanda, y tiene como ventaja 
respecto  a  las  demás  metodologías  de  estimación  de  demandas,  el  hecho  de  que  estas 
mediciones  no  dependen  significativamente  de  la  ubicación  geográfica  del  sistema,  como  se 
puede  ver  en  la  Tabla  5,  medida  en  Milford,  Ohio,  en  donde  los  parámetros  de  las 
distribuciones y las mismas distribuciones no presentan diferencias significativas respecto a las 
medidas en Holanda. Ello resulta muy conveniente a la hora de predecir la demanda de agua 

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en  un  escenario  hipotético,  dado  que  no  requiere  de  mediciones  en  el  prototipo  para 
caracterizar la demanda (cosa que si ocurre con los otros modelos, que presentan variaciones 
significativas entre sistemas, de  acuerdo  con  su ubicación geográfica).  Además  Blokker et  Al. 
(2011),  muestran  cómo utilizar el mismo modelo para la caracterización y posible predicción 
de demandas en zonas no residenciales a partir de una recolección de datos muy similar a la 
hecha para zonas residenciales. 

Tabla  5.  Frecuencia,  duración  e  intensidad  para  siete  de  los  ocho  usos  últimos  definidos  en  el  modelo  –  Datos 
medidos en Milford, Ohio. (Blokker, 2010a). 

 

Si bien Blokker presenta otros resultados potencialmente útiles para caracterizar la demanda 
en  RIDAPS  (tanto  residenciales  como  no  residenciales),  tales  como  patrones  diarios 
(distribuciones  de  frecuencia  de  cada  actividad  en  horas)  de  variables  como  la  duración  del 
sueño  de  una  persona,  la  hora  en  la  que  se  levanta,  la  hora  en  la  que  sale  del  hogar  y  la 
duración  fuera  de  éste  además  de  los  porcentajes  de  hogares  que  disponen  de  los  aparatos 
asociados con cada uso último y las estadísticas de tamaño de hogar y su discriminación por 
edad de los ocupantes; estos datos no son presentados en este documento dado que no son 
utilizados directamente. 

 

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30 

 

2.3.4  Modelo estocástico de demanda aplicado a RIDAPs

7

 

García et Al., (2004), presentan un modelo de estimación de demanda en RDAPs basado en el 
modelo de PRP propuesto por Buchberger & Wu (1995). Para este modelo, se supone que la 
demanda  de  agua  está  representada  por  pulsos  rectangulares  de  demanda  constante  que 
pueden  ocurrir  de  manera  tal  que  en  un  instante  dado  de  tiempo  están  ocurriendo  a  la  vez 
varios de estos pulsos (ver Figura 5), y por lo tanto la demanda total en dicho instante resulta 
ser la suma de las intensidades de cada uno de los pulsos que están ocurriendo. 

 

Figura 5. Modelo de Pulsos Rectangulares de Poisson (PRP). (GARCÍA et Al, 2004). 

García  et  Al.,  (2004),  suponen  que  la  duración  de  cada  pulso  de  demanda  se  distribuye  de 
manera  exponencial  mientras  la  intensidad  de  cada  pulso  (caudal  emitido)  se  distribuye 
Weibull. Estas dos  suposiciones  se  basan en mediciones  realizadas por otras investigaciones, 
aunque  los  parámetros  de  cada  una  de  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  son 
calculados para los casos de estudio presentados por García et Al. Respecto a la frecuencia de 
aparición  de  los  pulsos,  el  modelo  PRP  supone  que  la  distribución  de  la  frecuencia  sigue  un 
proceso de Poisson no homogéneo, de manera que el número de pulsos por unidad de tiempo 
se puede calcular a partir de la Ecuación 28. 

 

                       

Ecuación 28 

 

      

 

     

  [ 

 

 

 

   

 

 

 

   

 

     

 

]        [    ] 

Ecuación 29 

donde 

     : Número de pulsos por unidad de tiempo. 

                                                           

7

 Basado en: CIACUA (2011) y García et Al.(2004). 

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31 

 

  : Valor esperado del número de pulsos en un día. 

     : Componente aleatorio de la frecuencia. Tiene valor esperado igual a cero. 

     : Función que distribuye el total de pulsos diarios a lo largo del día. Cumple que: 

∫             

  

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

 : Parámetros de la función de distribución de pulsos a lo largo del día. 

  : Instante de tiempo en que se desea conocer la frecuencia de  aparición de pulsos. 
Se mide desde el inicio de día en horas. 

De esta manera García et Al. plantean una metodología de estimación de los parámetros de su 
modelo, aplicándola a dos casos de estudio en Milford, Ohio y Valencia, España. Los resultados 
de dicha investigación son adoptados por CIACUA (2011) para desarrollar una metodología de 
diseño  de  RIDAPS.  CIACUA  plantea  el  problema  de  la  estimación  de  demandas  de  diseño 
considerando lo siguiente: 

Si  se  supone  que  un  aparato  sólo  tiene  dos  posibles  configuraciones 
(encendido/apagado),  y  se  tiene  una  RIDAP  con    nudos  de  demanda  con  solo   
aparato  conectado  a  cada  uno,  entonces  el  número  de  posibles  escenarios  de 
demanda

8

 es  

  

Se entiende que un escenario    es        de otro escenario    cuando el conjunto de 
nudos  encendidos en  el  estado    es  subconjunto  del  conjunto  de  nudos  encendidos 
en  el  estado    .  Dicha  relación  de          representa  que  el  escenario     es 
indiscutiblemente  más  demandante  hidráulicamente  que  el  escenario   ,  y  por  lo 
tanto un diseño que cumpla con los requerimientos hidráulicos de   , necesariamente 
cumplirá  con  los  requerimientos  hidráulicos  de   .  Además  es  claro  que  la  relación 
      es transitiva, es decir que si   es       de   y   es       de  , entonces   es 
      de  . Haciendo posible que se puedan ordenar los  

  

 posibles escenarios de 

demanda de acuerdo con la relación      , de la siguiente manera: 

                                                           

8

 Escenario  de  demanda:  Configuración  de  aparatos  encendidos  y  apagados  que  están  demandando 

agua a la RIDAP. Ver Sección 2.1.2. 

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32 

 

 

En el diagrama se entiende que, cada rectángulo con 5 casillas representa un escenario de demanda, en donde las 
casillas  con  valor   representan  que  el  nudo  está  apagado  y  las  casillas  con  valor   representan  que  el  nudo  está 
encendido; además una flecha que parte del escenario   hacia el escenario   significa que   es        de  .

 

Figura 6. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una RIDAP con       

En  la  Figura  6  se  puede  notar  cómo  se  genera  una  clasificación  natural  de  los 
escenarios de acuerdo con el número de nudos encendidos que tiene cada uno. Para 
ello se definirá cada uno de estos conjuntos de escenarios con igual número de nudos 
encendidos  como           ,  donde     es  precisamente  el  número  de  nudos 
encendidos      {             } . 

Utilizando el modelo y los datos encontrados por García et Al., (2004), además de una 
analogía  a  la  Teoría  de  Colas,  y  más  específicamente  a  las  Cadenas  de  Markov,  se 
puede  calcular  la  probabilidad  en  estado  estable  de  que  el  sistema  (la  RIDAP),  se 
encuentre  bajo  un  escenario  de  demanda  perteneciente  a  un         .  Para  ello  la 
cadena de Markov utilizada tiene el siguiente diagrama de transición de estados: 

 

 ̅ : Probabilidad de que en el siguiente intervalo de tiempo se encienda un nudo que antes estaba apagado, en la 
RIDAP. (Asociada con la frecuencia de aparición de pulsos). 
 ̅ : Probabilidad de que en el siguiente intervalo de tiempo se apague un nudo que antes estaba encendido, en la 
RIDAP. (Asociada con la duración de los pulsos). 
  :  Probabilidad  de  que  en  el  siguiente  intervalo  de  tiempo,  la  RIDAP  siga  con  la  misma  cantidad  de  nudos 
encendidos. 
Los círculos representan un estado con   aparatos encendidos. 

     {           }  

Figura 7. Diagrama de transición estados para una cadena de Markov asociada a una RIDAP con       

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Conociendo el diagrama de transición de estados es posible calcular las probabilidades 
en  estado  estable  de  cada  uno  de  los  estados,  teniendo  en  cuenta  que  para  cada 
estado se debe cumplir que todas las probabilidades salientes sumen    , haciéndose 
posible  el  planteamiento  de  tantas  ecuaciones  como  estados  haya  (ecuaciones  de 
balance),  pero  dado  que  estas  ecuaciones  son  linealmente  dependientes  se  debe 
prescindir de una, tomando en su lugar la ecuación de normalización, que asegura que 
las probabilidades de estado estable de todos los estados sumen    . De esta manera 
se  tienen  tantas  ecuaciones  como  estados,  y  tantas  incógnitas  como  estados 
(probabilidad en estado estable de cada uno), haciendo posible la solución del sistema 
de ecuaciones. 

Al  aplicar  el  cálculo  de  las  probabilidades  de  cada  estado  al  caso  de  las  RIDAPs,  es 
posible asignar a cada fila de la Figura 6 una probabilidad en estado estable, y teniendo 
en cuenta que  un diseño de  la RIDAP que cumpla con los requerimientos hidráulicos 
para  el  estado  ,  necesariamente  cumplirá  los  requisitos  de  los  estados {          
      }, se hace posible calcular la probabilidad de falla del sistema con dicho diseño 
como: 

 

 

     

  ∑  

 

 

     

 

Ecuación 30 

donde: 

 

     

 :  Probabilidad  de  falla  del  sistema  diseñado  para  cumplir  con  los 

requerimientos hidráulicos de todos los escenarios de estado  . 

 

 

 :  Probabilidad  de  que  el  sistema  este  en  el  estado   (bajo  alguno  de  sus 

escenarios) en estado estable. 

  : Máximo estado posible en la RIDAP. Coincide con el número de nudos de la 
red         . 

  : Estado para el cual el diseño cumple con los requisitos hidráulicos. 

Teniendo  en  cuenta  la  posibilidad  de  calcular  la  probabilidad  de  falla  de  un  diseño 
generado  a  partir  de  un                    (conjunto  de  escenarios  de  diseño 
pertenecientes  a  un  mismo  estado),  es  posible  determinar  el  valor  de   para  que  la 
probabilidad de falla del sistema diseñado sea igual o menor a la aceptable. Para ello 
basta calcular la distribución acumulada de cada posible estado, tomando como estado 
de  diseño  el  estado  de  mínimo   que  cumpla  con  que  su  probabilidad  acumulada 
supera el valor (     

               

). 

El análisis anteriormente descrito fue hecho por CIACUA en su investigación, y en ella incluyen 
el  desarrollo  de  un  software  capaz  de  implementar  la  metodología  propuesta  (denominado 
RIDAPS),  en  conjunto  con  una  metodología  de  optimización  de  costos  constructivos  (ver 

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Sección  2.2.2).  Es  importante  aclarar  que  la  metodología  propuesta  por  CIACUA  tiene  un 
inconveniente  a  la  hora  de  su  implementación,  que  consiste  en  la  aproximación  de  los 
caudales correspondientes al estado de diseño, dado el tamaño que pueden alcanzar algunos 
estados de diseño (el número de escenarios de un estado   se calcula como           , que 
en el caso de una RIDAP con         y un estado de diseño      , resulta en un tamaño de 
estado  de     ,  implicando      escenarios  de  diseño  y  por  lo  tanto  un  número  de 
ejecuciones  hidráulicas  y  de  cálculos  numéricos  considerablemente  grande).  Dicha 
aproximación y su consecuente consideración por parte de CIACUA, puede derivar en diseños 
no  ajustados  al  comportamiento  esperado  de  la  demanda,  si  se  escogen  mal  algunos 
parámetros del método de aproximación. 

Por  otro  lado  tiene  como  desventaja  conceptual,  el  hecho  de  basarse  en  la  metodología  de 
García et Al., (2004), la cual es originalmente desarrollada para RDAPs, y así supone que tanto 
la duración como el tiempo entre arribos de usos se distribuyen de manera exponencial

9

. Así 

mismo la modelación con cadenas de Markov, supone que una necesidad que llega al sistema, 
puede ser atendida por cualquier servidor (aparato) libre. Además, el método de aproximación 
anteriormente  mencionado  fue  desarrollado  con  base  en  demandas  en  los  nudos 
independientes e idénticamente distribuidas, y aunque el software RIDAPS permite diferentes 
valores  esperados  para  las  duraciones  de  los  pulsos,  es  posible  que  el  algoritmo  de 
aproximación  no  funcione  bien  bajo  dicha  condición  con  los  valores  de  los  parámetros 
sugeridos en la investigación. 

 

 

                                                           

9

 Para  un  proceso  de  Poisson,  como  el  de  apariciones  de  pulsos,  el  tiempo  entre  arribos  se  distribuye 

exponencial con media igual al inverso multiplicativo del valor esperado de la frecuencia de llegada. 

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3  Metodología de modelación propuesta 

3.1  Modelación de los aparatos sanitarios 

Una  RIDAP  típica  tiene  conectados  a  sus  nudos  aparatos  sanitarios  tales  como  lavamanos, 
inodoros,  duchas, tinas,  lavaplatos,  llaves en  general  y  aparatos  como  lavaplatos eléctricos y 
lavadoras. Dada la naturaleza de estos aparatos, se puede observar que el caudal de salida o 
caudal emitido por cada uno de estos aparatos no es un valor constante independiente de las 
condiciones del flujo en la RIDAP, o de la manera como el usuario lo configura (porcentaje de 
apertura de válvula en el caso de llaves). De hecho para una configuración dada del aparato, 
Acero  (2009),  encontró  que  el  caudal  emitido  se  ajusta  al  comportamiento  hidráulico  de  un 
emisor, regido por la Ecuación 1. 

Sin  embargo,  en  la  operación  normal  de  una  RIDAP,  cada  uso  de  un  mismo  aparato  puede 
tener una configuración diferente de éste. En el caso de un lavamos, por ejemplo, la apertura 
de  la  válvula  que  controla  el  caudal  emitido  no  es  igual  en  cada  ocasión  en  que  se  utiliza  el 
aparato.  Ello  implica  que  el  estudio  de  Acero  (2009)  sólo  describe  el  comportamiento 
hidráulico de los aparatos sanitarios bajo una configuración dada, y dado que existen aparatos 
con  un  sinnúmero  de  posibles  configuraciones,  en  principio  deben  existir  un  sinnúmero  de 
curvas  similares  a  las  encontradas  en  dicha  investigación  para  aquellos  aparatos  donde  la 
apertura de válvula es variable. En la Figura 8 se puede ver esquemáticamente como varía la 
relación  entre  caudal  emitido  y  altura  piezométrica aguas  arriba  del  aparato  para  diferentes 
porcentajes de apertura de válvula. 

 

Figura 8. Relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato, para diferentes 

porcentajes de apertura de válvula de un mismo aparato. 

Porcentaje de 

apertura de 

válvula:

 

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El uso práctico de un potencial estudio de las propiedades hidráulicas de un aparato sanitario 
que  busque  ajustarse  a  un  comportamiento  similar  al  mostrado  en  la  Figura  8,  tendría  que 
incluir 

una 

función 

de 

densidad 

de 

probabilidad 

para 

la 

variable 

                                  ,  de  manera  que  se  pudiese  calcular  la  probabilidad 
asociada  a  cada  curva,  y  así  se  calculara  la  función  de  densidad  de  probabilidad  del 
               para una altura piezométrica aguas arriba del aparato conocida.  

Sin embargo para problemas como el de estimación de la demanda para diseño, es posible y 
necesario simplificar el anterior modelo de manera que se tenga en cuenta el comportamiento 
de  emisor  del  aparato  sin  tener  en  cuenta  todos  los  porcentajes  de  apertura  de  válvula 
posibles.  Para  ello  se  propone  asignar  una  única  relación  de                  vs 
                     que  represente  un  comportamiento  “típico”  de  uso  del  aparato.  La 
definición de “típico” puede  resultar ambigua y por lo tanto, para esta propuesta se  plantea 
considerar como ciertas las siguientes observaciones: 

La reacción esperada de un usuario que nota una baja presión (Altura piezométrica) en 
el  aparato,  es  abrir  la válvula  a  su  máximo  para  lograr  aumentar  el caudal  emitido y 
esperar  que  dicho  caudal,  después  de  la  apertura  total,  resulte  mayor  al 
                       , entendido como el mínimo caudal que el usuario espera 
recibir de su aparato sanitario sin que se éste considere que el sistema de distribución 
de agua potable está presentando una falla o un mal funcionamiento. 

La  reacción  esperada  de  un  usuario  que  nota  una  presión  demasiado  grande  en  el 
aparato, es cerrar la válvula hasta un porcentaje tal, que el caudal emitido, después del 
cierre  parcial,  resulte  menor  al                          ,  entendido  como  el 
máximo caudal que el usuario está dispuesto a recibir de su aparato sanitario sin que 
se éste considere incómoda la presión y velocidad del flujo emitido por dicho aparato. 

A partir de estas dos suposiciones, se pueden inferir dos partes de la curva que representa la 
relación  única  de                  vs                        típica  del  uso  de  aparatos 
sanitarios con  apertura  de  válvula variable  (curva  única)

10

.  Así,  para  presiones  inferiores  a  la 

presión  que  asegura  que  el  caudal  emitido  por  el  aparato  sea  igual  al 
                        cuando el                                    es igual a     , 
se  tiene  que  la  curva única coincide con la curva del                                    
    .  Además  para  presiones  mayores  a  una  presión  ,  la  curva  única  será  una  línea 
horizontal de caudal emitido constante igual al                         (ver Figura 9)

                                                           

10

 Se  debe  notar  que  se  está  suponiendo,  de  manera  implícita,  que  los  valores  de  caudal  mínimo 

admisible  y  caudal  máximo  admisible,  así  como  otras  constantes  utilizadas  más  adelante,  son  iguales 
para todos los usuarios del sistema. 

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37 

 

 

Figura 9. Partes de la curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato, 

para aparatos con apertura de válvula variable. 

Dado que es necesario conocer la parte intermedia de la curva, así como la presión   a partir 
de la cual el caudal emitido es constante, se hace necesario hacer alguna suposición adicional 
respecto  al  comportamiento  típico  de  los  usuarios  o  bien  realizar  observaciones  de  uso  de 
aparatos con apertura de válvula variable, notando los porcentajes de apertura más comunes 
y/o necesarios para un comportamiento aceptable del aparato. Sin embargo, para el problema 
de estimación de la demanda para diseño, el comportamiento crítico sería aquel en el que se 
considerara un porcentaje de apertura de válvula igual al      para las presiones intermedias 
de  la  curva  única.  Ello  implicaría  que  la  presión   es  la  presión  necesaria  para  que  el  caudal 
emitido 

por 

el 

aparato 

sea 

igual 

al                           cuando 

el 

                                   es igual a     . 

De  esta  manera  la  curva  única  a  considerar  para  el  problema  de  estimación  de  la  demanda 
para  diseño,  en  caso  de  que  no  se  disponga  de  observaciones  de  uso  del  aparato  para 
aperturas de válvula comunes, sería la curva con apertura de válvula del      hasta llegar al 
                        a  partir  del  cual  la  curva  se  torna  horizontal  asegurando  que  el 
caudal  emitido  no  supera  al  máximo  admisible  (ver  Figura  10).  Se  debe  tener  presente  que 
dicha  curva  única  es  útil  solamente  para  los  aparatos  sanitarios  con  apertura  de  válvula 
variable,  y  que  para  aparatos  con  apertura  de  válvula  constante  y/o  binaria  (o  totalmente 
cerrada  o  totalmente  abierta)  no  hace  falta  realizar  ninguna  suposición  respecto  al 
comportamiento  típico  de  la  demanda,  dado  que  ya  se  dispone  de  una  única  curva  que 
caracteriza la relación                vs                    . 

Caud

al

 E

m

iti

d

o

 

Altura piezométrica aguas arriba del aparato 

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

Curva única

Curva única

Caudal máximo admisible 

Caudal mínimo admisible 

Presión X 

Porcentaje de 

apertura de 

válvula:

 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

38 

 

 

Figura 10. Curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato, para 

aparatos con apertura de válvula variable, para el problema de estimación de demanda para diseño. 

Independientemente  de  la  manera  como  se  haga,  lo  que  se  debe  tener  presente  es  que  la 
representación moderna de aparatos sanitarios debe asignar, no un caudal emitido constante, 
sino una relación                vs                     que según los resultados de Acero 
(2009) se ajusta mucho mejor al comportamiento hidráulico observado de éstos. 

 

3.2  Modelación de la simultaneidad de uso de los aparatos 

El  diseño  de  una  RIDAP  tiene,  como  principal  problema,  la  naturaleza  estocástica  de  la 
demanda  que  dificulta  la  estimación  de  escenarios  de  diseño  para  una  probabilidad  de  falla 
dada.  Dicho  problema  se  ve  representado  en  la  simultaneidad  de  uso  de  los  aparatos,  dado 
que la probabilidad de ocurrencia de cada posible escenario de demanda es función de cuáles 
aparatos  están  encendidos,  entendiéndose  como  la  probabilidad  de  que  dichos  aparatos 
encendidos estén siendo utilizados de manera simultánea por los usuarios de la edificación. 

 

3.2.1  Modelo basado en Blokker 

Utilizando  mediciones  hechas  en  Holanda  (Tabla  6)  y  Estados  Unidos,  Blokker  asigna  a  cada 
aparato sanitario una función de densidad de probabilidad para la           de uso y para la 
           de uso diaria por persona de dicho aparato. Si bien Blokker también asigna una 
función  de  densidad  de  probabilidad  para  la            de  uso  (caudal  emitido)  de  cada 
aparato, los resultados de Acero (2009) respecto al comportamiento hidráulico de los aparatos 

Caud

al

 E

m

iti

d

o

 

Altura piezométrica aguas arriba del aparato 

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

Curva única

Caudal máximo admisible 

Caudal mínimo admisible 

Porcentaje de 

apertura de 

válvula:

 

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Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

39 

 

muestran  que  una  modelación  utilizando  emisores  representa  mejor  el  comportamiento 
observado, y por lo tanto para la representación de la variable            se recomienda el 
uso del análisis de la Sección 3.1. 

Tabla 6. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo – Datos medidos en 
Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b). 

 

 

 

Duración 

Si se supone que la          de uso de un aparato depende de los posibles usos últimos que 
se hagan de éste, y teniendo en cuenta las estadísticas mostradas por Blokker para cada uno 
de esos usos últimos, se hace necesario estimar una división del total de usos del aparato en 
esos  usos  últimos  de  manera  que  se  pueda  estimar  una  única  función  de  densidad  de 
probabilidad para la duración de uso del aparato. Por ejemplo, utilizando los datos de la Tabla 
6  
para  un  lavamanos  (Bathroom  tap),  se  tienen  dos  duraciones  medias  de  uso  para  dos 
posibles usos de un lavamanos: Lavarse y afeitarse o Cepillarse los dientes. Es decir que en este 
caso  se  debe  estimar  qué  porcentaje  del  total  de  usos  de  un  lavamanos  es  para  Lavarse  y 
afeitarse y qué porcentaje del total de usos de un lavamanos es para Cepillarse los dientes. 

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40 

 

Una  vez  estimados  los  porcentajes  de  cada  uso  último  del  aparato,  se  pueden  calcular  los 
valores de los parámetros de la función de densidad de probabilidad que representará todos 
los usos del aparato. Así, por ejemplo, si para un lavamanos se estima que el 60% de los usos 
corresponde a Lavarse y afeitarse, y el 40% restante es para Cepillarse los dientes, entonces el 
valor esperado de la duración de un uso puede calcularse como: 

 

 

     

   

   

    

   

   

 

    

 

 

 

 

 

     

                                

 

 

 

     

      

 

Y  teniendo en cuenta  que Blokker  propone  como Coeficiente de  Variación de  la duración de 
uso  del  lavamanos  un  valor  de         ,  se  puede  calcular  la  desviación  estándar  de  la 
duración de uso como: 

 

 

     

        

     

 

 

 

 

     

              

 

 

 

     

      

 

De manera que la distribución Lognormal asignada para la duración de uso de un lavamanos 
queda totalmente definida y cumpliendo el requerimiento de que sea única para el aparato. 

 

Frecuencia 

Para  la             de  uso  del  aparato,  los  datos  de  Blokker  ya  vienen  asignados  con  una 
única  distribución  para  cada  aparato.  Sin  embargo  dicha  distribución  está  en  unidades  de 
                      o en el caso del lavaplatos en                    , y ello representa 
un inconveniente a la hora de estimar escenarios de diseño, dado que esas frecuencias pueden 
y,  de  hecho  usualmente, están  concentradas en  algunas  horas  del  día.  Esa concentración  de 
frecuencia  es  precisamente  la  razón  por  la  que  García  et  Al.  (2004),  plantea  la  curva  de  la 
Ecuación 29. 

El inconveniente de la curva de García et Al. (2004) de distribución temporal de la frecuencia, 
radica  en  que  los  datos  medidos  en  dicha  investigación  corresponden  a  hogares  y  RIDAPs 
completas,  y  no  a  aparatos  sanitarios  por  separado.  Es  por  ello  que  se  requieren  curvas  de 
distribución temporal de la frecuencia para cada tipo de aparato, entendidas como: 

Del total de usos que se espera tenga el aparato sanitario   , qué porcentaje se espera 
que ocurra en el instante de tiempo   . 

Dichas curvas pueden ser diferentes entre días laborales y días no laborales, pero en principio 
no existen razones para esperar una diferencia causada por otra razón. Esa posible diferencia 
entre  días  laborales  y  no  laborales,  puede  implicar  la  evaluación  de  la  simultaneidad  de  uso 

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41 

 

para ambos casos, dado que es posible que los escenarios de diseño resultado de utilizar una 
curva  sean  más  o  menos  exigentes  que  si  se  utilizara  otra,  y  ello  podría  conducir  a  posibles 
subestimaciones del diseño. 

Por  otro  lado,  la  naturaleza  de  dichas  curvas  es  la  de  representar  patrones  diarios  de 
comportamiento humano tales  como horas de  sueño, horas de  bañado, horas  de  ausencia y 
presencia en la edificación, horas de disponibilidad o necesidad de uso de un aparato sanitario 
etcétera, y por lo tanto una buena aproximación a dichas curvas es una discretización de las 
mismas  en  intervalos  de     horas  que  son  los  que  rigen  en  buena  medida,  muchos  de  los 
comportamientos anteriormente descritos. 

Una  ventaja  intrínseca  de  la  discretización  de  la  curva,  es  que  el  valor  asignado  a  cada  hora 
corresponde al porcentaje del total de usos que se espera que ocurran a esa hora de manera 
que son menores o a lo sumo iguales a    , y aseguran que la suma total sea    , a diferencia 
de  una  curva  continua  donde  la  integral  total  es  igual  a    ,  pero  puede  tener  valores 
superiores  a     para  algunas  horas.  Esos  porcentajes  de  la  curva  discretizada  resultan 
especialmente útiles para asignar una frecuencia de uso a cada hora, dado que simplifican el 
proceso a una multiplicación del parámetro de la función de frecuencia con el porcentaje de la 
hora  seleccionada.  Por  ejemplo,  si  se  supone  que  la  curva  de  distribución  temporal  de  la 
frecuencia para un lavamanos es la presentada en la Figura 11, y se tiene en cuenta que según 
la Tabla 6, la frecuencia diaria de uso por persona es de                           , entonces 
la  frecuencia  horaria  de  uso  por  persona  se  podrá  calcular  como  la  multiplicación  del 
porcentaje de usos de cada hora, por la frecuencia diaria de usos, generando como resultado 
para cada hora, la serie mostrada en la Figura 12. 

 

Figura 11. Distribución temporal supuesta de la frecuencia de uso de un lavamanos. 

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

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:0

0

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0

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:0

0

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:0

0

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0

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:0

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0

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0

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:00

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0

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:0

0

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:0

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0

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0

23

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0

Por

ce

n

taje

 d

e

 u

sos

 

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42 

 

 

Figura 12. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona de un lavamanos. 

De  esta  manera  es  posible  evaluar  la  concentración  de  usos  a  lo  largo  del  día,  en  vez  de 
suponer una distribución uniforme de la frecuencia que resultaría en una frecuencia horaria de 
                         

                     

                              

,  la  cual 

resulta  considerablemente  menor  que  la  máxima  frecuencia  presentada  en  la  Figura  12 
                             

 . 

Sin  embargo  hasta  ahora  todas  las  frecuencias  encontradas  se  encuentran  en  unidades  de 
frecuencia por persona, y por lo tanto para el cálculo de la frecuencia efectiva de  uso de  un 
aparato sanitario, es necesario conocer el número de personas aferentes a dicho aparato. Así, 
por ejemplo, si un lavamanos puede ser utilizado por un total de tres personas, las frecuencias 
efectivas de  llegadas de  usos al aparato serán  el producto de  las frecuencias de  la  Figura 12 
con el número de personas que lo puede utilizar (tres en este caso), llegando a una serie de 
frecuencias totales mostrada en la Figura 13: 

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:00

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

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:0

0

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:0

0

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:0

0

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:0

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:00

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:0

0

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0

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23

:0

0

Fr

e

cu

e

n

ci

d

e

 u

so 

(u

sos/

(h

*p

e

rson

a))

 

Hora 

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Figura 13. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso de un lavamanos. 

 

Probabilidad de uso 

Una  vez  se  conocen  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  para  la          y  la 
           de uso, es posible calcular la probabilidad de que en un instante dado el aparato 
esté siendo utilizado por un usuario. Para ello se utiliza una variable de desempeño de una cola 
según la Teoría de Colas, denominada             o                      , entendida como 
la fracción promedio del tiempo en que el sistema de atención a la cola está siendo ocupado. 
Dicha variable está relacionada con esa probabilidad mencionada anteriormente de que en un 
instante dado el sistema esté en uso, según la Ecuación 31: 

 

       

 
 

 

Ecuación 31 

donde: 

  : Probabilidad de que en un instante dado de tiempo el aparato se encuentre en uso. 

  : Utilización o Factor de Utilización del aparato. 

  : Tasa promedio de llegadas de usos al aparato. Se calcula como: 

   

 

 [                     ]

 

  : Tasa promedio de servicio del aparato. Se calcula como: 

   

 

 [               ]

 

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

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:0

0

04

:00

05

:0

0

06

:0

0

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0

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0

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:0

0

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0

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0

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0

23

:0

0

Fr

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cu

e

n

ci

d

e

 u

so 

(u

sos/

h

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44 

 

Así, se puede calcular esa probabilidad de uso de cada aparato para cada hora del día como el 
producto de la duración promedio de uso del aparato y la frecuencia horaria total (incluyendo 
el número de personas), de manera que en el caso de un lavamanos con duración promedio de 
uso  

     

      y  con  frecuencias horarias totales  descritas  por la serie  de  la  Figura 13,  se 

tiene una serie de tiempo de la utilización como la mostrada en la Figura 14: 

 

Figura 14. Serie de tiempo de la utilización de un lavamanos. 

 

Probabilidades conjuntas de uso (Simultaneidad) 

Utilizando  los  resultados  de  cálculo  de  las  probabilidades  de  uso  de  cada  aparato,  descritas 
para  cada  hora  del  día,  es  posible  calcular  las  probabilidades  conjuntas  de  un  sistema, 
haciendo una serie de suposiciones que simplifican el comportamiento real del prototipo a un 
modelo  fácilmente  calculable.  Así,  si  se  suponen  conocidas  las  series  de  tiempo  de  la 
utilización de cada aparato presente en un sistema, se pueden calcular las probabilidades de 
cada  posible  escenario  del  sistema,  suponiendo  total  independencia  entre  los  usos  de  los 
todos los aparatos sanitarios. 

De esta manera, si se tiene un sistema con los siguientes aparatos sanitarios: 

    { 

 

   

 

       

  

 } 

conectados a los    nudos de la RIDAP, entonces la probabilidad de un escenario cualquiera, 
en una hora dada, puede ser calculada como: 

 

 

    ( 

 

        

    

 

        

       

 

        

       

  

          

)|

 

 

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

00

:0

0

01

:0

0

02

:00

03

:0

0

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:0

0

05

:0

0

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:0

0

07

:0

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08

:0

0

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:0

0

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:0

0

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:0

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:0

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:00

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:0

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0

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:0

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0

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:0

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:0

0

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:0

0

23

:0

0

Uti

lizac

n

 ()

 

Hora 

Utilización Lavamanos

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
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|

 

              

   

      

 

 |

 

               

 

Ecuación 32 

donde: 

 

 

 : Probabilidad del escenario dado en la hora  . 

  

   

 :  Posibles  configuraciones  de  un  aparato.  El  aparato  puede  estar  encendido 

     o apagado      . 

 

 

|

 

 :  Utilización  del  aparato   en  la  hora  .  Es  igual  a  la  probabilidad  de  uso  del 

aparato   en la hora  . 

      

 

 |

 

 : Probabilidad de NO uso del aparato   en la hora  . Es el complemento de 

la probabilidad de uso. 

De  la  Ecuación  32,  se  puede  concluir  que  se  está  aplicando  la  suposición  de  independencia 
entre eventos al considerar la probabilidad conjunta como el producto de las probabilidades 
individuales de cada aparato. Si bien esta suposición puede ser bastante discutible en el caso 
de las RIDAPS, con ella se hace posible calcular la probabilidad de cada uno de los  

  

 posibles 

escenarios de la RIDAP, asegurándose de que la suma de todas esas probabilidades da como 
resultado    .  Esto  quiere  decir  que  este  modelo  permite  una  caracterización  estocástica  de 
los escenarios de la red, permitiendo una asignación de funciones de densidad de probabilidad 
diferentes a la Exponencial para la duración y la frecuencia de uso, de manera que se puede 
presentar  un  mejor  ajuste  entre  datos  medidos  y  datos  simulados,  a  partir  de  funciones  de 
densidad de probabilidad más ajustadas al comportamiento medido de los usos (e.g., Tabla 6). 

Otra ventaja respecto a otros métodos de caracterización de la demanda como el planteado 
por  CIACUA  (2011),  es  el  hecho  de  no  asignar  una  misma  probabilidad  de  ocurrencia  para 
cualquier  escenario  con  el  mismo  número  de  aparatos  encendidos,  lo  que  es  una  mejor 
aproximación al comportamiento esperado de una RIDAP real. 

Por otro lado, para pasar de escenarios de demanda a caudales en los tubos de la red, basta 
simular  la  respuesta  hidráulica  de  la  red  para  cada  posible  escenario,  haciendo  uso  de  la 
caracterización  del  comportamiento  hidráulico  de  los  aparatos  hecha  en  la  Sección  3.1,  y  de 
esta manera, para un tubo dado, la función de densidad de probabilidad del caudal que debe 
transportar,  puede  ser  calculada  relacionando  el  caudal  que  pasa  por  dicho  tubo  según  la 
simulación  hidráulica  de  la  red  para  cada  escenario  con  la  probabilidad  asociada  con  la 
ocurrencia del escenario simulado. 

 

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3.2.2  Modelo basado en Blokker con simulación de eventos discretos 

Si  bien  el  modelo  descrito  en  la  Sección  3.2.1  representa  un  avance  en  la  simulación  de  la 
simultaneidad de uso de los aparatos sanitarios en una RIDAP, éste se basa en una suposición 
bastante  discutible  para  algunos  casos  de  análisis  de  una  RIDAP  real.  Así,  suponer  total 
independencia  entre  los  usos  de  los  aparatos,  puede  alejarse  de  la  realidad  en  el  caso  de 
sistemas pequeños ubicados en unidades residenciales, por ejemplo. 

Para entender mejor el problema de dicha suposición, se puede considerar el caso de un baño 
residencial  con  un  lavamanos,  un  inodoro  y  una  ducha.  Según  el  anterior  modelo,  la 
probabilidad de que los tres aparatos se encuentren descargando al tiempo, se calcula como el 
producto de la probabilidad de que la ducha esté descargando, con la probabilidad de que el 
inodoro  esté  descargando  y  con  la  probabilidad  de  que  el  lavamanos  esté  descargando.  Sin 
embargo,  el  comportamiento  esperado  de  un  usuario  que  está  utilizando  la  ducha,  por 
ejemplo,  es  el  de  cerrar  la  puerta  del  baño,  denegando  la entrada  a otro  usuario  que  desee 
utilizar  el  lavamanos  o  el  inodoro.  Así,  la  probabilidad  de  que  el  lavamanos  y/o  el  inodoro 
también  estén  descargando  sería  nula,  dada  la  manera  activa  en  que  se  restringe  su  uso 
cuando se usa una ducha. 

Para  mejorar  en  este  aspecto  el  modelo  basado  en  Blokker,  se  hace  necesario  utilizar 
simulación  de  eventos  discretos,  que  es  básicamente  una  herramienta  para  el  análisis  de 
sistemas  difícilmente  representables  con  modelos  analíticos.  En  estos  casos  se  prefiere  una 
simulación basada en las capacidades actuales de los computadores para procesar datos  que 
permiten acelerar el tiempo de simulación de un sistema y así concluir con base en resultados 
numéricos  que  representan  comportamientos  del  sistema  ante  diferentes  condiciones  de 
entrada. 

Este tipo de modelos se basa en una representación del sistema mediante entidades, eventos 
y  actividades,  que  se  asemejan  a  la  programación  mediante  el  paradigma  de  POO 
(programación  orientada  a  objetos),  y  se  basa  en  interacciones  entre  diferentes  entidades  u 
objetos haciendo que el resultado global sea gobernado por esas interacciones, y no por una 
fórmula o planteamiento matemático explícitamente escrito. Para su implementación existen 
diferentes programas que permiten realizar simulaciones de eventos discretos, pero quizás el 
más utilizado en el ámbito de la investigación de operaciones (rama de la ingeniería con mayor 
uso  de  estas  herramientas),  es  el  desarrollado  por  Rockwell  Automation,  Inc.  denominado 
ARENA. 

 

Programa ARENA 

El programa ARENA es un programa de simulación de eventos discretos ampliamente utilizado 
en diferentes problemas de la investigación de operaciones. Este programa define una serie de 
procesos, que son objetos que actúan activamente con las entidades de manera que rigen la 

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dinámica  del  sistema  con  sus  acciones.  Dentro  de  los  principales  procesos  que  tiene  el 
programa, y que resultan de alguna utilidad para la modelación de RIDAPS se encuentran: 

Tabla 7. Principales procedimientos del programa ARENA para simulación de eventos discretos. 

Create: 

Es  el  procedimiento  encargado  de  crear  entidades  siguiendo 
algún  patrón  de  frecuencia  o  alguna  distribución  del  tiempo 
entre arribos (creación de entidades). 

 

Assign: 

Es el procedimiento encargado de asignar un cierto valor a los 
atributos  de  las  entidades  o  a  variables  globales  del  sistema, 
cada vez que alguna condición se cumple o que alguna entidad 
pasa por dicho procedimiento. 

 

Process: 

Es  el  procedimiento  encargado  de  simular  un  proceso  o  tarea 
que  requiere  un  cierto  tiempo  y  unos  ciertos  recursos.  Se 
encarga  de  registrar  el  tiempo  de  utilización  de  un  recurso 
registrándolo  como  “No  disponible”  hasta  después  de  que  la 
entidad  que  ha  entrado  al  procedimiento  lo  desocupa. 
También  retrasa  el  avance  de  las  entidades  que  entran,  un 
tiempo  igual  al  tiempo  de  ocupación  del  recurso.  También 
registra las estadísticas de una cola de entidades que se forma 
para pasar por esa tarea. 

 

Decide: 

Es  el  procedimiento  encargado  de  evaluar  una  condición  de 
una variable global o de un atributo de la entidad que pasa por 
este procedimiento, de manera que asigna un camino a seguir 
para  la  entidad  en  cuestión  dependiendo  del  resultado  del 
condicional.  Puede  modelar  condiciones  de  más  de  dos 
opciones, evitando la anidación de procedimientos similares. 

 

Hold: 

Es  el  procedimiento  encargado  de  retener  una  o  varias 
entidades  que  pasan  por  este  procedimiento  hasta  que  se 
cumpla  una  condición  dada.  Permite  registrar  estadísticas  de 
una  cola  de  entidades  que  se  forma  en  espera  de  que  la 
condición para ser liberadas se cumpla. 

 

Dispose: 

Es  el  procedimiento  encargado  de  eliminar  entidades  que 
llegan a  este procedimiento, tomando estadísticas de tiempos 
entre llegadas de entidades. Se utiliza para facilitar la liberación 
de memoria del computador después de cada ejecución. 

 

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Por  otro  lado,  el  programa  permite  seleccionar  las  condiciones  de  finalización  de  una 
simulación, ya sea por el cumplimiento de una condición, o por la finalización de un periodo de 
tiempo  de  análisis.  Además  permite  seleccionar  el  número  de  simulaciones  que  se  desea 
realizar  en  una  misma  ejecución  del  programa,  permitiendo  así  calcular  estadísticas  de 
diferentes variables de estudio del sistema. 

 

Metodología utilizando simulación de eventos discretos 

La metodología de análisis de la simultaneidad de uso de los aparatos de una RIDAP utilizando 
simulación de eventos discretos consiste en una creación de un modelo para cada conjunto de 
nudos  que  tenga  una  dependencia  entre  sus  usos.  Dicho  modelo  debe  representar  esa 
dependencia de manera efectiva, para que las simulaciones que haga el programa sean lo más 
ajustadas a la realidad. 

Una vez se tenga un modelo que represente aceptablemente las condiciones de dependencia 
deseadas,  se  deben  ingresar  los  parámetros  de  caracterización  de  la  demanda  de  cada 
aparato,  asegurándose  de  que  cada  uso  de  un  aparato  tenga  asignada  las  funciones  de 
densidad de probabilidad medidas en un estudio como el presentado en la Tabla 6. Para ello se 
recomienda  poner  en  el  modelo,  tantos           como  aparatos  haya  en  el  sistema, 
asignándole a cada uno la función de probabilidad que mejor describe la frecuencia de llegada 
de  usos.  Una  ventaja  del  programa  ARENA,  es  que  permite  que  el        tenga  series  de 
tiempo de frecuencia de llegada, de manera que es fácilmente acoplable un resultado como el 
mostrado en la Figura 14. 

Existen  algunas  excepciones  a  la  anterior  regla,  y  estas  tienen  que  ver  con  algunas 
consideraciones analíticas que permiten reducir el número de         sin afectar la respuesta 
del modelo. La primera excepción aplica cuando diferentes aparatos tienen una misma función 
de  densidad  de  probabilidad  para  la  frecuencia  (no  necesariamente  con  los  mismos 
parámetros, pero sí con la misma función). En estos casos se puede utilizar un único        
que  en  el  caso  de  que  represente  llegadas  de  procesos  de  Poisson,  debe  tener  como 
parámetro de frecuencia el siguiente valor: 

 

 

   

 

 

 

                       

 

Ecuación 33 

donde: 

 

   

 : Frecuencia de creación de usuarios para la simulación de uso de los aparatos del 

sistema con la misma función de densidad de probabilidad      . 

 

 

 : Frecuencia de llegada de usuarios al aparato  . 

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El  anterior        debe  estar  acompañado  de  un        que  asigna  a  las entidades  creadas 
un atributo relacionado con el aparato que el usuario desea utilizar. Para ello se debe tener en 
cuenta que el        más el        deben hacer lo mismo que una serie de         con una 
misma función de densidad de probabilidad, pero diferente parámetro de frecuencia, y por lo 
tanto  se  debe  encontrar  la  fracción  del  total  de  entidades  creadas  que  corresponde  a  cada 
aparato resumido. Para ello existe una expresión (Ecuación 34) que permite calcular la fracción 
del total de entidades creadas que corresponde con el aparato  : 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Ecuación 34 

donde: 

 

 

 : Fracción del total de entidades creadas que corresponde con el aparato  . 

Es  importante  notar  que  el  parámetro   de  la  Ecuación  34,  debe  estar  en  unidades  de 
                     

 y dicha unidad de tiempo debe ser igual para todos los parámetros 

de la Ecuación 33 la Ecuación 34. De esta manera el        asignará el aparato a utilizar a la 
entidad  de  acuerdo  con  esas  

 

,  siendo  así  consistentes  con  el  modelo  no  simplificado  de 

asignación de varios        . 

La segunda excepción de la regla, es un caso especial de la primera en el que el tipo de aparato 
que  van  a  utilizar  las  entidades  creadas  es  el  mismo,  y  se  supone  indiferencia  por  parte  del 
usuario a cuál aparato utilizar (siempre y cuando sea del tipo que requiere). En este caso sólo 
se requiere el uso de la Ecuación 33, dejando que la selección del aparato a utilizar se realice 
en un posterior        relacionado con la disponibilidad de cada uno de los aparatos. 

Independientemente  del  método  de  creación  de  entidades  seleccionado,  es  recomendable 
poner         que  asignen  a  cada  entidad  el  tipo  de  aparato  que  desean  utilizar,  a  fin  de 
reducir  los  procedimientos  necesarios  en  el  modelo,  y  simular  esas  interacciones  entre  las 
entidades,  sin  perder  la  información  acerca  de  cuál  aparato  desea  utilizar  cada  entidad. 
Igualmente se recomiendan poner tantos           como aparatos sanitarios haya, para que 
a cada uno se le asigne la función de densidad de probabilidad de la duración de descarga del 
aparato, y así el aparato permanezca ocupado (encendido) durante ese intervalo de tiempo. 

Esa anterior regla tiene una excepción relacionada con la operación de los inodoros, dado que 
en su uso normal un inodoro es ocupado por el usuario en un intervalo de tiempo diferente al 
intervalo en que ocurre la descarga efectiva del aparato. Así, un usuario que desea utilizar el 
inodoro  ocupa  el  recurso  durante  un  cierto  tiempo,  y  después  de  terminar  su  uso  es  que 
comienza la descarga de agua del aparato. Teniendo en cuenta que el intervalo de tiempo en 
que  se  está  interesado  es  el  de  descarga  de  agua,  es  ese  el  que  necesariamente  debe  estar 
incluido en el modelo, pero dado que el intervalo de ocupación del recurso puede interactuar 
con las llegadas y usos de los demás usuarios y demás aparatos (durante el intervalo de tiempo 
de  ocupación  del  recurso  inodoro,  es  posible  que  no  se  permita  el  uso  de  la  ducha  o  el 
lavamanos  en  un  baño  residencial),  se  hace  recomendable  representar  los  inodoros con  dos 

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objetos         que representen: 1) La ocupación del recurso inodoro y de todos los recursos 
que su ocupación implique según el modelo, y 2) La descarga efectiva del aparato, en la cual se 
puede  suponer  que  no  hay  ocupación  de  ningún  aparato,  inclusive  del  inodoro  (el  inodoro 
puede ser ocupado por un usuario mientras está descargando). 

Finalmente  el modelo  debe  tener  al menos  un         en  donde  evacuar  a  los  usuarios  del 
sistema, representando así, una finalización de uso e interacción con el sistema real (RIDAP), y 
además  haciendo  un  mejor  uso  de  los  recursos  computacionales  disponibles  para  la 
modelación. 

Respecto  al  periodo  de  simulación,  éste  debe  analizarse  de  acuerdo  con  el  comportamiento 
esperado del sistema a lo largo del tiempo. En caso de utilizarse datos como los deducidos en 
la Sección 3.2.1, no se esperan variaciones significativas con una procedencia diferente que la 
mera  aleatoriedad  de  los  datos  simulados,  después  de  un  día  de  simulación.  Es  decir  que  el 
comportamiento  esperado  de  cualquier  variable  de  estudio,  no  debería  cambiar 
sustancialmente entre el primer día de la simulación y el último día de la simulación, dado que 
todos los días tendrían los mismos datos de entrada, y el sistema ya se encuentra en un estado 
estable  que  se  evidencia  en  la  frecuencia  de  ocurrencia  del  escenario  en  donde  todos  los 
aparatos están apagados (ver Sección 4.3). Así un periodo de simulación de un día se considera 
suficiente  y  necesario  (dado  que  un  intervalo  menor  implicaría  una  pérdida  de  información 
acerca de la concentración de frecuencia a lo largo del día) para el caso de modelos de RIDAPs. 

Por otro lado está la decisión del número de simulaciones por ejecución del programa. Estas 
simulaciones  son  denominadas  repeticiones,  y  se  deben  hacer  suficientes  para  que  las 
estadísticas  extraídas  de  los  datos  sean  confiables.  Así  si  se  desea  analizar,  por  ejemplo,  el 
porcentaje de tiempo que un sistema permanece en el escenario en donde todos los aparatos 
están apagados, esa variable toma un valor por cada día de simulación, y para poder concluir 
acerca del comportamiento de esa variable, es necesario observar el sistema   días, teniendo 
así   valores del porcentaje de tiempo con todos los aparatos apagados, y permitiendo de esta 
manera  el  cálculo  de  una  estimación  de  la  media  de  la  variable,  de  la  varianza  y,  si  son  de 
interés,  de  los  demás  momentos  estadísticos  de  la  ésta.  Es  decir  que  en  general  se  pueden 
calcular  estimaciones  de  los  parámetros  de  la  función  de  densidad  de  probabilidad  de  la 
variable  estudiada,  y  de  esta  manera  se  puede  conocer  y  caracterizar  su  comportamiento 
estocástico. 

El  cálculo  del  número  de  repeticiones  entonces,  es  una  selección  del  tamaño  de  la  muestra 
que  se  desea tener  para extraer  un  comportamiento  estadístico  de  una  variable,  y  teniendo 
esto en cuenta existen diversos criterios que permiten esa selección: 

Criterio de la estadística acumulada: Este criterio consiste en calcular la estimación del 
parámetro inmediatamente después de finalizar cada repetición y detener la ejecución 
de repeticiones cuando la estadística calculada se estabilice en un valor. Así, después 
de   repeticiones se tienen   valores de la variable estudiada, que permiten calcular la 

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estimación  ̂

 

 (que  tiene  en  cuenta  los  datos  de  las   repeticiones).  Si  después  se 

realiza  una  repetición  más,  se  tendrán         valores  de  la  variable  estudiada,  que 
permitirán calcular la nueva estimación  ̂

     

. Si se compara  ̂

 

 con  ̂

     

, se podrá 

estimar el error en el que se incurre si se toma como valor definitivo del estimador el 
valor  ̂

 

, suponiendo que el valor teórico con el cual se compara es  ̂

     

 (que es la 

mejor  estimación  hecha  hasta  el  momento).  De  esta  manera  se  debe  detener  la 
ejecución de repeticiones cuando ese error se mantenga lo suficientemente pequeño 
para  las  últimas  repeticiones  hechas,  indicando  así,  que  se  ha  llegado  a  un  valor 
aceptablemente estable del estimador  ̂. 

Criterio del intervalo de confianza: Si se dispone de suficiente información estadística y 
de  conocimiento  de  distribuciones  probabilísticas  y  muéstrales,  es  posible  encontrar 
una  expresión  analítica  para  un  intervalo  de  confianza  del  parámetro   que  se desea 
estimar. Este intervalo de confianza, es función del                    que se desea 
para el intervalo según la Ecuación 35: 

 

 [ 

 

       

 

]         

Ecuación 35 

donde: 

 [ 

 

       

 

] :  Probabilidad  de  que  el  verdadero  valor  del  parámetro  se 

encuentre en el intervalo [ 

 

   

 

]. 

        : Nivel de confianza que se desea para el intervalo del parámetro. Los 
valores típicos son    ,    ,       y    , entre otros. 

De esta manera se tiene el intervalo [ 

 

   

 

], que puede ser reescrito como la Ecuación 

36 quedando en términos del número del tamaño de la muestra que fue utilizada: 

 

 

   

 

]   [ ̂    

 

(          )    ̂    

 

(          )] 

Ecuación 36 

donde: 

 ̂ : Mejor estimación hasta el momento del parámetro  . 

  : Tamaño de la muestra de donde se calcula  ̂. 

 

 

    

 

 : Funciones que representan la relación entre las                      

y el tamaño de la muestra, para un nivel de confianza dado. 

Es decir que se puede calcular el ancho del intervalo de confianza como: 

 

     

 

(          )    

 

(          )    (          ) 

Ecuación 37 

La  Ecuación  37,  relaciona  el  ancho  del  intervalo  de  confianza,  con  el  tamaño  de  la 
muestra y con el nivel de confianza del intervalo, permitiendo así, calcular el tamaño 
de la muestra necesario para tener un intervalo con un nivel de confianza dado y con 

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Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
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Tesis II 

52 

 

un ancho máximo dado. Ese ancho máximo es una medida del error en que se puede 
incurrir  si  se  toma  el  valor  ̂ como  valor  definitivo  del  parámetro,  y  por  lo  tanto  se 
puede seleccionar con base en qué tan precisa se desea la medición (se debe tener en 
cuenta que está en las misma unidades que el parámetro  ). 

Dada la posibilidad de que las cantidades pivotales   

 

   

 

  sean también función de la 

estimación  ̂,  es  posible  que  para  implementar  esta  metodología  de  cálculo  del 
tamaño  de  la  muestra  sea  necesario  tener  resultados  de  repeticiones  previas,  de 
manera que  ̂

 

 se estima con base en   repeticiones, después   se estima con base en 

 ̂

 

,  y  después  se  calculan  las  repeticiones  necesarias  restantes  como        , 

teniendo  en  cuenta  que  ya  se  dispone  de   datos,  y  por  lo  tanto  no  es  necesario 
ejecutar todas las   repeticiones. Se recomienda que después de realizadas todas las   
repeticiones,  se  vuelva  a  calcular  ̂

 

 y  se  vuelva  a  calcular  ,  para  asegurarse  que  la 

estimación  ̂

 

, no subestimó dicho valor. 

Si bien existen otras metodologías para el cálculo del tamaño de la muestra, o en este caso el 
número de repeticiones a realizar, las dos anteriores se consideran suficientes para el cálculo 
necesario en modelos de RIDAPs. 

 

Acople de la metodología utilizando simulación de eventos discretos 

La  metodología  de  uso  de  simulación  de  eventos  discretos  para  la  simulación  de  la 
simultaneidad de uso de los aparatos, es únicamente requerida en el caso en el que se tengan 
nudos  con  demandas  dependientes,  y  su  uso  en  casos  de  independencia  representa  un  uso 
injustificado  de  recursos  computacionales  y  de  esfuerzo  del  modelador.  De  esta  manera,  se 
requiere un acople entre los resultados de la metodología con simulación de eventos discretos 
para  conjuntos  de  nudos  con  demanda  dependiente,  y  los  demás  nudos  de  la  RIDAP  con 
demandas independientes. 

Para ello se debe tener en cuenta que como resultado de la modelación en ARENA, se deben 
tener resultados del porcentaje de tiempo que permanece el sistema en cada uno de los  

  

 

 

posibles  escenarios  de  demanda  (donde   

 

 es  el  número  de  nudos  del  sistema  que  tiene 

demanda dependiente entre ellos y que fueron simulados con eventos discretos). Es decir que 
el  resultado  tiene  la  misma  forma  que  el  resultado  de  la  metodología  basada  en  Blokker,  la 
cual asigna a cada posible escenario una probabilidad de ocurrencia según la Ecuación 32. Esto 
permite una forma natural de acoplar los resultados de la siguiente manera: 

Una vez se dispone de las  

  

 

 probabilidades de ocurrencia de cada escenario para el 

conjunto  de  nudos  simulados  con  ARENA,  se  debe  verificar  que  éstas  sumen    , 
indicando que reparten la totalidad del tiempo del sistema. 

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53 

 

Teniendo  en  cuenta  que  la  metodología  basada  en  Blokker  asigna  a  cada  nudo  una 
probabilidad  de  encendido  y  su  complemento  como  probabilidad  de  apagado,  esto 
puede  ser  entendido  como  un  sistema  “simulado”  de  un  nudo    

 

     que  dio 

como resultado que el escenario de encendido tiene una probabilidad de ocurrencia  

 

 

y el escenario de apagado una probabilidad de ocurrencia de       

 

 , y por lo tanto la 

manera  como  se  acopla  ese  nudo  al  resto  del  sistema  es  una  multiplicación  de  la 
probabilidad  correspondiente  a  su  configuración  (encendido/apagado)  con  las 
probabilidades de las configuraciones del resto de nudos (ver Ecuación 32). 

Algo similar a lo anteriormente descrito puede hacerse con los sistemas simulados con 
eventos discretos, en donde los posibles escenarios no son dos, como en el sistema de 
un nudo, sino  

  

 

, pero dado que se tiene una probabilidad asociada con cada uno, 

el  acople  consiste  en  multiplicar  la  probabilidad  correspondiente  al  escenario  del 
sistema simulado con las probabilidades de las configuraciones del resto de los nudos 
(los nudos no incluidos en ese sistema simulado). Así la probabilidad de un escenario 
global  de  toda  la  RIDAP,  será  la  multiplicación  de  las  probabilidades  asociadas  a  los 
escenarios  individuales  de  cada  nudo  (configuraciones)  y  los  escenarios  de  cada 
sistema de nudos simulado con eventos discretos. 

Es  decir  que  la  metodología  basada  en  simulación  de  eventos  discretos,  sólo  se  usa  para 
subconjuntos  de  nudos  de  la  red,  que  después  dejarán  de  ser  caracterizados  como  nudos 
individuales  con  dos  únicas  configuraciones,  para  ser  caracterizados  como  partes  de  un 
sistema al que se debe evaluar la probabilidad conjunta que es precisamente el resultado de la 
simulación de eventos discretos. 

 

 

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54 

 

4  Casos de estudio 

 

A  fin  de  mostrar  de  manera  explícita  la  implementación  de  la  metodología  se  desarrolló  un 
caso  de  estudio  simple  que  busca  mostrar  cómo  se  utiliza  cada  uno  de  los  conceptos, 
algoritmos y programas mostrados en al anterior capítulo. El sistema a modelar consiste en un 
baño  residencial  con  un  lavamanos,  un  inodoro  y  una  ducha  (ver  Figura  15).  Se  supone  que 
todos los aparatos del baño son alimentados por una única tubería que transporta el agua fría 
hasta cada uno de los nudos de demanda, y en el caso de la ducha, esta cuenta con un sistema 
eléctrico propio que calienta el agua, de manera que la vivienda no dispone de calentador (ver 
Figura  16).  El  número  de  personas  aferentes  a  este  baño,  y  por  lo  tanto  a  cada  uno  de  sus 
aparatos, se maneja como una variable, de manera que se buscarán los resultados para  ,  ,  , 
 ,  ,   y   . 

 

Figura 15. Esquema del caso de estudio correspondiente a un baño. 

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55 

 

 

Figura 16. Vista en planta del baño, con diagrama de las tuberías de la red. 

Para  caracterizar  la  demanda  de  agua  en  el  baño  se  utilizan  las  ecuaciones  del 
comportamiento hidráulico mostradas en la Tabla 8 que plasman lo analizado en la Sección 3.1 
acerca de la curva única del aparato. También se hace uso de Tabla 9 acerca de la frecuencia y 
duración de uso de cada uno de los aparatos. En esa Tabla 9 se utilizan los datos de la Tabla 6 
para  todas  las  frecuencias  y  para  las  duraciones  del  lavamanos  y  del  inodoro,  pero  para  la 
ducha  se  prefiere  la  distribución  encontrada  por  Blokker  (2010a)  de  forma  Lognormal,  dado 
que la distribución Ji (Chi) Cuadrado  

 

 (asignada por la Tabla 6) , es una distribución de mayor 

complejidad y menor ajuste a los datos observados, y además no es linealmente escalable de 
manera  que  sólo  es  válida  si  se  expresa  en  minutos.  Finalmente  se  utiliza  una  distribución 
temporal  de  la  frecuencia  como  la  mostrada  en  Tabla  10  para  cada  uno  de  los  aparatos 
sanitarios.  Estas  distribuciones  temporales  de  la  frecuencia  se  basan  en  suposiciones  de 
patrones  de  comportamiento  de  los  habitantes  de  la  edificación  en  donde  se  encuentra  el 
baño analizado. 

Tabla 8. Funciones de la curva única de los aparatos de un baño residencial. 

Aparato sanitario 

Curva única del aparato 

Lavamanos 

     

⁄     {          (          )

   

                 

       

                 

 

Inodoro

11

 

     

⁄               (            )

    

 

Ducha 

     

⁄     {          (          )

   

                 

       

                 

 

 

                                                           

11

 Dado  que  el  inodoro  no  dispone  de  una  válvula  de  apertura  variable,  se  rige  por  la  ecuación  del 

emisor para todo el rango de presiones. 

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simulación de eventos discretos

 

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56 

 

Tabla 9. Frecuencia y Duración de uso para los aparatos de un baño residencial (basada en la Tabla 6 y en Blokker, 
2010a). 

Aparato 

sanitario 

Frecuencia 

(usos/(día*persona)) 

Duración

12

 

Lavamanos 

                 

          

             

Lavado  y  afeitado: 
 [ ]        

Cepillado  de  dientes: 
 [ ]        

Inodoro 

                 

                     

Ducha 

                  

         ( 

     

        

     

     )     

 

Tabla 10. Distribuciones temporales de la frecuencia de uso para los aparatos de un baño residencial. 

Aparato 

sanitario 

Distribución temporal de la frecuencia de uso 

Lavamanos 

 

                                                           

12

 Las duraciones son representadas por distribuciones lognormales, que tienen como inconveniente la 

diversidad de sus parámetros. Así en algunos casos esta distribución es parametrizada por la media y la 
desviación  estándar  de  la  variable  distribuida  lognormal,  y  en  otros  casos  está  parametrizada  por  la 
media  y  la  desviación  estándar  del  logaritmo  natural  de  la  variable  distribuida  lognormal,  cuya 
distribución es normal. (Ver Anexo 11.2). 

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:00

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

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:0

0

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:0

0

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:0

0

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:0

0

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:0

0

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0

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0

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0

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:00

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0

23

:0

0

Por

ce

n

taje

 d

e

 u

sos 

(%

Hora 

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simulación de eventos discretos

 

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57 

 

Inodoro 

 

Ducha 

 

 

Una  vez  se  conocen  las  distribuciones  temporales  de  la  frecuencia,  se  pueden  conocer  las 
series de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona de cada aparato sanitario en el 
sistema como el producto de la frecuencia promedio (valor esperado de las distribuciones de 
frecuencia de la Tabla 9) y el valor horario del porcentaje de usos del aparato analizado, tal y 
como se ve en la Tabla 11. 

 

 

 

 

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:00

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:00

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Por

ce

n

taje

 d

e

 u

sos 

(%

Hora 

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

16.0%

18.0%

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

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:0

0

13

:0

0

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:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

ce

n

taje

 d

e

 u

sos 

(%

Hora 

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simulación de eventos discretos

 

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58 

 

Tabla 11. Series de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona para los aparatos de un baño residencial. 

Aparato 

sanitario 

Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona 

Lavamanos 

 

Inodoro 

 

Ducha 

 

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:00

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:00

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Fr

e

cu

e

n

ci

d

e

 u

so 

(u

sos/

h

/p

e

rson

a)

 

Hora 

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:00

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:00

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Fr

e

cu

e

n

ci

d

e

 u

so 

(u

sos/

h

/p

e

rson

a)

 

Hora 

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:00

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:00

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Fr

e

cu

e

n

ci

d

e

 u

so 

(u

sos/

h

/p

e

rson

a)

 

Hora 

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

59 

 

Por otro lado es necesario realizar el análisis mostrado en la Sección 3.2.1 para la duración de 
los usos de los aparatos. Dado que el lavamanos es el único aparato con duraciones diferentes 
según el uso último que se haga de éste, sólo para este aparato es necesario hallar una única 
función  de  densidad  de  probabilidad  de  la  duración,  siguiendo  el  procedimiento  mostrado a 
continuación: 

Tabla 12. Cálculo de la duración promedio total para el lavamanos de un baño residencial. 

Uso 

Duración:  [ ] 

Porcentaje del total 

de usos      

 [ ]      

Lavado y afeitado 

     

    

      

Cepillado de dientes 

     

    

     

 

 

Promedio total 

        

 

4.1  Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en 

Blokker 

Para implementar la metodología basada en Blokker para la simulación de la simultaneidad de 
uso de los aparatos, se deben tener todos los datos anteriormente calculados, para calcular la 
utilización horaria de cada aparato, haciendo uso de la Ecuación 31. Sin embargo este cálculo 
depende de un resultado previo que es la serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso de 
cada aparato, teniendo en cuenta el número de personas aferente a éste. Para ese cálculo es 
necesario  multiplicar  cada  serie  de  tiempo  de  la  Tabla  11  con  ese  número  de  personas  que 
puede tomar diferentes valores ( ,  ,  ,  ,  ,   y   ), de manera que existen tantas series de 
utilización para cada aparato, como casos de número de personas aferentes al sistema. En la 
Tabla  13

13

,  se  muestra  un  conjunto  de  esas  series  de  tiempo  para  todos  los  aparatos  del 

sistema analizado, con   personas aferentes al baño y por lo tanto a cada uno de los éstos. 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                           

13

 Algunas de las gráficas mostradas en esta tabla y en adelante en el documento, tienen en el eje de las 

ordenadas un valor sin dimensiones, lo cual es representado como (). 

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
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simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

60 

 

Tabla 13. Series de tiempo de la utilización de cada aparato de un baño residencial con 4 personas aferentes. 

Aparato 

sanitario 

Serie de tiempo de la utilización del aparato 

Lavamanos 

 

Inodoro 

 

Ducha 

 

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:00

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:00

Uti

lizac

n

()

 

Hora 

Utilización Lavamanos

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Uti

lizac

n

()

 

Hora 

Utilización Inodoro

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

00

:0

0

01

:0

0

02

:00

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Uti

lizac

n

()

 

Hora 

Utilización Ducha

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
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simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

61 

 

Teniendo en cuenta que el sistema tiene        aparatos, el total de posibles escenarios es 
 

  

   

 

    (Ver Tabla 14), y por lo tanto el análisis completo de la simultaneidad incluye el 

cálculo de cada una de las   probabilidades de ocurrencia. Para ello es necesario hacer uso de 
la  Ecuación  32,  para  cada  posible  escenario  y  para  cada  hora  del  día.  Como  resultado  se 
obtienen  series  de  tiempo  de  la  probabilidad  de  ocurrencia  de  cada  escenario a  lo  largo  del 
día, tal y como se muestra en la Tabla 15, para el caso de   personas aferentes al baño. 

Tabla 14. Descripción y notación de los 8 posibles escenarios para un baño residencial. 

Notación 

Escenario 

        

Todos  los  tres  aparatos  del  baño  se  encuentran 
apagados 

         

La ducha se encuentra encendida, pero el lavamanos y el 
inodoro no. 

          

El lavamanos se encuentra encendido, pero la ducha y el 
inodoro no. 

         

El  inodoro  se  encuentra  encendido  (descargando),  pero 
el lavamanos y la ducha no. 

          

Tanto  la  ducha  como  el  lavamanos  se  encuentran 
encendidos, pero el inodoro no. 

          

Tanto  la  ducha  como  el  inodoro  se  encuentran 
encendidos, pero el lavamanos no 

          

Tanto  el  lavamanos  como  el  inodoro  se  encuentran 
encendidos, pero la ducha no 

          

Los  tres  aparatos  del  baño  se  encuentran  encendidos 
(descargando). 

 

Tabla  15.  Series  de  tiempo  de  la  probabilidad  de  ocurrencia  de  cada  escenario  de  un  baño  residencial  con  4 
personas aferentes. 

Escenario 

Serie de tiempo de la probabilidad de ocurrencia del escenario 

        

 

8.20E-01

8.40E-01

8.60E-01

8.80E-01

9.00E-01

9.20E-01

9.40E-01

9.60E-01

9.80E-01

1.00E+00

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:00

19

:00

20

:00

21

:00

22

:00

23

:00

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario (-)

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Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
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simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

62 

 

         

 

          

 

         

 

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:00

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

P

rob

abil

id

ad 

d

op

cu

rr

en

cia

 ()

 

Escenario D

0.00E+00

1.00E-03

2.00E-03

3.00E-03

4.00E-03

5.00E-03

6.00E-03

7.00E-03

8.00E-03

9.00E-03

1.00E-02

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:00

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:00

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario L

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:00

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario I

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simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

63 

 

          

 

          

 

          

 

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

00

:0

0

01

:00

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:00

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

P

rob

abil

id

ad 

d

oc

u

rr

en

cia

 ()

 

Escenario DL

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

3.00E-03

3.50E-03

4.00E-03

00

:00

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:00

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario DI

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

7.00E-04

8.00E-04

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:00

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

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:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario IL

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/711cff7fa64b566026507b8a1facdf61/index-html.html
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Universidad de los Andes 
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Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

64 

 

          

 

 

Como se puede ver en la Tabla 15, la probabilidad más alta en cualquier hora del día, es la del 
escenario  en  donde  todos  los  aparatos  se  encuentran  apagados.  Esto es  una  constante  para 
todos  los  casos  intentados  con  diferente  número  de  personas  aferentes,  incluyendo  el  más 
extremo con    personas. De igual manera, el caso en donde los tres aparatos se encuentran 
encendidos al tiempo, tiene una probabilidad de ocurrencia extremadamente baja, donde sus 
mayores  probabilidades  apenas  llegan  a          

  

 representando  así  lo  extremo  de  este 

escenario. 

Sin embargo, para este sistema es posible hacer uso de la metodología basada en Blokker con 
uso de simulación de eventos discretos, teniendo en cuenta que un comportamiento esperado 
de un usuario de un baño residencial, es cerrar la puerta de ingreso al baño, restringiendo el 
uso de los demás aparatos, y por lo tanto bloqueando de manera activa algunos escenarios, de 
manera que tienen probabilidad cero de ocurrencia. 

 

4.2  Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en 

Blokker con simulación de eventos discretos. 

Haciendo uso del programa ARENA de simulación de eventos discretos, se planteó un modelo 
que representa la dinámica de un baño que tiene en cuenta el comportamiento esperado de 
un usuario respecto a la ocupación total del recurso baño, cuando se hace uso de un aparato. 
El modelo supuso que si un potencial usuario llega al sistema y lo encuentra reservado por otro 
usuario, éste hará fila hasta que el recurso sea desocupado (se abra la puerta del baño). 

Así,  en  la  Figura  17  se  muestra  la  implementación  del  modelo en  el  programa  ARENA,  en  el 
cuál se incluyeron las series de tiempo de la frecuencia de uso del aparato para cada caso de 
número  de  personas  aferentes,  así  como  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  de  las 
duraciones de uso de cada aparato. Esas duraciones requirieron un cálculo previo antes de ser 

0.00E+00

5.00E-06

1.00E-05

1.50E-05

2.00E-05

2.50E-05

3.00E-05

3.50E-05

4.00E-05

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:00

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:00

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario DIL

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

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65 

 

ingresados  en  el  programa,  teniendo  en  cuenta  que  la  parametrización  de  la  función 
Lognormal programada en ARENA es la mostrada en la Ecuación 38 (ver Anexo 11.2). 

 

           ( [ ]       [ ] 

   

⁄  

Ecuación 38 

Así, las funciones asignadas para los tiempos de duración de uso del lavamanos y de la ducha 
fueron: 

 

                               

Ecuación  39.  Duración 
de uso del lavamanos. 

 

                               

Ecuación  40.  Duración 
de uso de la ducha. 

 

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Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

66 

 

 

Figura 17. Implementación del modelo de un baño residencial en el programa ARENA. 

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Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

67 

 

 

Figura 18. Esquema del modelo de un baño residencia implementado en ARENA. 

 

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simulación de eventos discretos

 

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68 

 

Respecto a la duración de uso y descarga del inodoro (teniendo en cuenta que se representan 
los  inodoros  con  dos  objetos        ,  para  la  ocupación  del  recurso  y  para  la  descarga 
efectiva  del  aparato),  se  supuso  una  función  de  densidad  de  probabilidad        como  se 
muestra en la Ecuación 41. Para la duración de la descarga del inodoro se utilizaron los datos 
de la Tabla 9, de manera que la duración es fija tal y como se muestra en la Ecuación 42. 

 

                      

Ecuación  41.  Duración  de 
uso del inodoro. 

 

            

Ecuación  42.  Duración  de 
descarga del inodoro. 

Teniendo  las  anteriores  funciones  de  densidad  de  probabilidad  de  las  duraciones  de  uso  y 
descarga de los aparatos, se tuvieron todos los datos necesarios para la creación del modelo 
esquematizado  en  la  Figura  18.  En  este  modelo,  los  primeros  componentes  son  elementos 
       asignados a cada uno de los aparatos sanitarios que contienen las series de tiempo de 
frecuencia de uso de  los aparatos, y son precisamente estos componentes  los que  varían de 
acuerdo  con  el  caso  del  número  de  personas  aferentes  al  baño.  Estos  elementos  fueron 
denominados             ,                  y               ,  para  representar  su 
naturaleza de representación de llegada de usuarios al sistema. 

Después  de  cada  elemento       ,  sigue  un  elemento        cuya  función  es  asignar  a  las 
entidades un atributo relacionado con el aparato sanitario que planea utilizar. Estos elementos 
fuero  denominados               ,                    y                 ,  para 
representar su labor de asignar como atributo a las entidades (usuarios) el nombre del aparato 
que desean utilizar. 

El modelo tiene una variable global denominada             que toma valor     cuando el 
baño está siendo ocupado por alguna entidad y por lo tanto tiene restringida la entrada para 
las  demás  entidades,  y     cuando  el  baño  está  libre,  listo  para  ser  utilizado  por  la  primera 
entidad que entre al sistema. Dado que se supone que si una entidad llega al sistema y éste 
está  siendo  ocupado,  la  entidad  hará  fila  hasta  que  el  sistema  se  desocupe,  se  utilizó  un 
elemento      (ver Tabla 7), que permite generar y almacenar esa potencial fila de usuarios 
que desea utilizar el baño, permitiendo que el primer usuario que llegó a la fila sea el primero 
en utilizarlo una vez se ha desocupado. Este procedimiento se denominó                  
para que se entendiera que las entidades tendrían que hacer la fila del elemento      en caso 
de que la variable              tuviera un valor igual a    . 

El siguiente componente del modelo es un elemento de tipo        cuya función era cambiar 
a     la  variable             cada  vez  que  una  entidad  pasara  por  el  procedimiento, 
indicando  así,  que  el  baño  ha  sido  cerrado,  y  que  toda  entidad  que  llegue  después  de  ésta, 
tendrá  que  esperar  en                  hasta  que  el  baño  sea  liberado.  Este        se 
denominó            para  representar  su  función  de  cambiar  la  variable  haciendo  que  el 
sistema esté ocupado. 

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

69 

 

Una vez el usuario ha cerrado la puerta (pasar por           ), llega a un        en donde 
éste  decide  cuál  aparato  usará  y  descargará  a  partir  del  atributo  signado  por  los        
ubicados  inmediatamente  después  de  los       .  Dado  que  el  sistema  sólo  tiene  tres 
aparatos,  el          sólo  tiene  tres  caminos  posibles  a  cada  uno  de  los           que 
representan los aparatos. Si bien existe una cuarta salida del       , esta sólo se ubica para 
evitar  errores  de  compilación  del  programa  ARENA.  El  objeto         fue  denominado 
                 para representar ese proceso de elección del aparato a usar. 

Después  del  objeto        ,  existen  tres  caminos,  cada  uno  de  los  cuales  lleva  a  un aparato 
sanitario, representado por un        . Dada la versatilidad del programa ARENA, los objetos 
         tienen  diferentes  posibles  configuraciones  dentro  de  la  que  se  encuentra 
                     ,  cuya  función  es  ocupar  el  recurso,  durar  un  tiempo  de  servicio 
ocupando el recurso y la entidad, y después liberar el recurso para otro posterior uso por parte 
de otra entidad. Esta opción se considera la mejor para representar la dinámica de uso de un 
aparato sanitario, y ello permite ingresar la función de densidad de probabilidad de la duración 
del  “servicio”  permitiendo  así,  ingresar  las  duraciones  expresadas  en  la  Ecuación  39,  la 
Ecuación 40 y la Ecuación 41. 

Es importante notar que inmediatamente después de los objetos procesos de representación 
de  uso  de  los  aparatos  (denominados                ,                     y 
               ), vienen objetos        que modifican la variable             para que 
tome el valor de     indicando así que el baño ya fue liberado y que un próximo usuario puede 
hacer  uso  de  éste.  Estos  objetos        son  denominados             dada  su  función 
análoga a la de           . 

En  el  caso  del  inodoro,  existe  un         después  de             que  representa  la 
descarga del aparato, y cuya ubicación en el modelo se pensó para representar la posibilidad 
de que el baño sea utilizado, no mientras el inodoro está siendo utilizado, pero sí mientras está 
descargando  después  de  un  uso,  y  es  en  este  objeto  donde  se  incorpora  la  Ecuación  42  de 
duración  de  descarga  del  inodoro.  Este          se  denomina                  dada  su 
función de representar la descarga efectiva del aparato. 

Finalmente, cuando un usuario ha hecho uso del aparato y ha liberado el baño, se dirige a un 
        denominado          ,  en  donde  se  eliminan  las  entidades  para  así  representar 
una salida completa del sistema. 

Respecto a las variables del programa ARENA sobre las características de las simulaciones y de 
la  ejecución  del  programa,  se  seleccionó  un  periodo  de  simulación  de  un  día,  tal  y  como  se 
recomendó  en  la  Sección  3.2.2.  El  número  de  repeticiones  se  calculó  con  el  Criterio  de  la 
estadística  acumulada  pero  para  permitir  una  mejor  comparación  se  aumentó  ese  número 
hasta el punto de poder registrar esos eventos de muy baja probabilidad como aquellos para 
los que la metodología basada en Blokker asigna probabilidades de cerca de   

  

. Esto llevó a 

un  total  de      repeticiones  que  fue  el  número  que  equilibró  la  calidad  de  los  datos  de 
salida, con el tiempo de ejecución del programa. 

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

70 

 

A continuación se muestran los resultados encontrados con esta metodología para el caso en 
que el número de personas aferentes al baño es de  : 

Tabla  16.  Series  de  tiempo  de  la  probabilidad  de  ocurrencia  de  cada  escenario  de  un  baño  residencial  con  4 
personas aferentes. 

Escenario 

Serie de tiempo de la probabilidad de ocurrencia del escenario 

        

 

         

 

8.20E-01

8.40E-01

8.60E-01

8.80E-01

9.00E-01

9.20E-01

9.40E-01

9.60E-01

9.80E-01

1.00E+00

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

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0

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:0

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05

:0

0

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0

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0

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0

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0

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0

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0

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0

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22

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0

23

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0

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ili

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 d

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 o

cu

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e

n

ci

()

 

Escenario (-)

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

00

:0

0

01

:0

0

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:00

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

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0

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:0

0

08

:0

0

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:0

0

10

:0

0

11

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0

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0

14

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0

15

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0

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:0

0

17

:0

0

18

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0

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:0

0

20

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0

21

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0

22

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0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario D

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simulación de eventos discretos

 

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Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

71 

 

          

 

         

 

          

 

0.00E+00

1.00E-03

2.00E-03

3.00E-03

4.00E-03

5.00E-03

6.00E-03

7.00E-03

8.00E-03

9.00E-03

00

:0

0

01

:0

0

02

:00

03

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0

04

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0

05

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0

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0

07

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08

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10

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11

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0

17

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0

19

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0

20

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0

21

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0

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0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

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 d

e

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cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario L

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

00

:0

0

01

:0

0

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:00

03

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0

04

:0

0

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0

08

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0

09

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0

11

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0

13

:0

0

14

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0

15

:0

0

16

:0

0

17

:0

0

18

:0

0

19

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0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario I

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

9.00E-01

1.00E+00

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

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0

05

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0

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0

16

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0

17

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0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario DL

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72 

 

          

 

          

 

          

 

 

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

3.00E-03

3.50E-03

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:00

15

:00

16

:00

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario DI

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

00

:0

0

01

:0

0

02

:0

0

03

:0

0

04

:0

0

05

:0

0

06

:0

0

07

:0

0

08

:0

0

09

:0

0

10

:0

0

11

:0

0

12

:0

0

13

:0

0

14

:0

0

15

:0

0

16

:00

17

:0

0

18

:0

0

19

:0

0

20

:0

0

21

:0

0

22

:0

0

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario IL

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

9.00E-01

1.00E+00

00

:00

01

:0

0

02

:00

03

:0

0

04

:00

05

:0

0

06

:00

07

:0

0

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09

:0

0

10

:00

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:0

0

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:00

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0

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:00

15

:0

0

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:00

17

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0

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:00

19

:0

0

20

:00

21

:0

0

22

:00

23

:0

0

Pr

o

b

ab

ili

d

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 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Escenario DIL

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

73 

 

En la Tabla 16 se pueden ver las probabilidades de ocurrencia horarias de cada escenario del 
sistema.  Se  debe  notar  que  tanto  el  escenario           como  el  escenario           tienen 
probabilidad  nula  en  cualquier  hora  del  día,  siendo  este  un  efecto  de  la  suposición  de 
ocupación total del baño cuando se usa un aparato sanitario. Los escenarios con dos aparatos 
encendidos, uno de los cuales es el inodoro, representan escenarios donde el lavamanos o la 
ducha  fueron  utilizados  mientras  el  inodoro  descargaba  inmediatamente  después  de  haber 
sido usado y por lo tanto no violan la restricción de un usuario por vez en el baño. 

 

4.3  Análisis de caudales a partir de ambas metodologías 

Una  vez  se  ha  asignado  una  probabilidad  de  ocurrencia  a  cada  escenario  de  demanda  del 
sistema, es posible encontrar una función de densidad de probabilidad para el caudal que pasa 
por cada tubería de la red. Para ello se utiliza la modelación de los aparatos sanitarios descrita 
en la Sección 3.1, que para el caso del baño residencial previamente analizado, se rige por las 
ecuaciones de la Tabla 8. 

Así, si se  desea  conocer  la función de  densidad de  probabilidad del caudal que transporta el 
tubo  que  alimenta  a  todo  el  baño  (ver  Figura  16),  es  necesario  modelar  el  comportamiento 
hidráulico del sistema para cada escenario, suponiendo que en los nudos que representan a los 
aparatos,  se  encuentran  emisores  con  una  curva  igual  a  la  de  la  Tabla  8  en  caso  de  que  el 
escenario  los  tenga  encendidos, y en  caso  contrario,  serán  nudos  con  demanda  cero.  Así,  se 
puede encontrar un caudal transportado por esa tubería para cada escenario, que en el caso 
del ejemplo dio: 

Tabla 17. Caudal transportado por el tubo más aguas arriba del sistema para cada escenario. 

Escenario 

Caudal (L/s) 

        

         

0.142 

          

0.042 

         

0.042 

          

0.184 

          

0.184 

          

0.084 

          

0.226 

 

Haciendo uso de la Tabla 17 que relaciona caudal en el tubo con el escenario de demanda, y la 
Tabla  15  o  la  Tabla  16  que  relacionan  probabilidad  de  ocurrencia  con  cada  escenario  de 
demanda,  se  pueden  encontrar  relaciones  de  caudal  en  el  tubo  con  probabilidad  de 

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Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
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simulación de eventos discretos

 

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Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

74 

 

ocurrencia,  que  es  precisamente  la  función  de  densidad  de  probabilidad  de  la  variable 

aleatoria                  

14

Si se utiliza la Tabla 15, y por lo tanto la metodología basada en Blokker, se llega a la función de 
densidad  de  probabilidad  mostrada  en  la  Figura  19  para  el  caso  de   personas  aferentes  al 
sistema lo cual permite encontrar la función de probabilidad acumulada de la variable, la cual 
se muestra en la Figura 20. 

 

Figura 19. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología 

basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. 

 

Figura 20. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología 

basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. 

                                                           

14

 Si bien esa variable es discreta según lo mostrado en la Tabla 17, estos valores son sólo estimaciones 

del  caudal  que  pasará  por  el  tubo,  y  por  lo  tanto  la  variable  tiene  una  función  de  densidad  de 
probabilidad tal como cualquier variable continua. 

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Pr

o

b

ab

ili

d

ad

 d

e

 o

cu

rr

e

n

ci

()

 

Caudal (L/s) 

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Pr

o

b

ab

ili

d

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 n

o

 ser

 e

xce

d

id

o

()

 

Caudal (L/s) 

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

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Tesis II 

75 

 

Si,  por  otro  lado,  se  utiliza  la  Tabla  16  para  dicho  cálculo,  las  funciones  de  densidad  de 
probabilidad y de probabilidad acumulada son las mostradas en la Figura 21 y la Figura 22: 

 

Figura 21. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología 

basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 personas aferentes. 

 

Figura 22. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología 

basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 personas aferentes. 

En  las  anteriores  figuras  se  puede  notar  que  dada  la  alta  probabilidad  del  escenario        , 
todas  las  funciones  acumuladas  de  probabilidad  para  cualquier  hora  inician  con  una 
probabilidad considerablemente alta, que hace que, para un caudal cualquiera mayor a cero, la 
probabilidad de no ser excedido sea cercana o superior al    . 

Para permitir una mejor visualización de las probabilidades encontradas, se decidió calcular y 
graficar las funciones de densidad de probabilidad y las funciones de probabilidad acumulada 
del caudal transportado por el tubo tomando como dado que el sistema sí está en uso y que 

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

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b

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()

 

Caudal (L/s) 

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05:00

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0.00

0.10

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0.60

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0.1

0.15

0.2

0.25

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Caudal (L/s) 

00:00

01:00

02:00

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04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

76 

 

por  lo  tanto  no  se  está  en  el  escenario        .  Estas  figuras  permiten  ver  la  forma  de  las 
curvas  para  los  caudales  mayores  a  cero,  y  pueden  ser  utilizadas  en  un  eventual  análisis  de 
probabilidad de falla. 

 

Figura 23. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en 

uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. 

 

Figura 24. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en 

uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. 

 

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

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b

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rr

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()

 

Caudal (L/s) 

00:00

01:00

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05:00

06:00

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0.00

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0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

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b

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o

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Caudal (L/s) 

00:00

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18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

77 

 

 

Figura 25. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en 

uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 

personas aferentes. 

 

Figura 26. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en 

uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 

personas aferentes. 

Comparativamente,  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  asignadas  por  ambas 
metodologías  son  similares  en  forma,  pero  tienen  algunas  diferencias  en  los  valores  de  las 
probabilidades,  los  cuales  pueden  resultar  poco  significativos  para  algunos  procedimientos, 
pero  significativos  para  otros.  Así,  por  ejemplo,  para  una  eventual  evaluación  de  las 
condiciones  de  flujo  en  la  red  en  búsqueda  de  posibles  condiciones  de  crecimiento  de 
biopelículas o mineralopelículas, tendría en cuenta la recurrencia del escenario con caudal en 
el tubo nulo, y en ese caso podría utilizar los resultados de las figuras entre la  Figura 19 y la 

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

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0.70

0.80

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1.00

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

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b

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Caudal (L/s) 

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0.15

0.2

0.25

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n

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Caudal (L/s) 

00:00

01:00

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05:00

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simulación de eventos discretos

 

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Tesis II 

78 

 

Figura  22.  Estas  figuras,  presentan  diferencias  despreciables  en  las  probabilidades,  y  por  lo 
tanto los resultados de dicho análisis no variarían significativamente  si se usa la metodología 
basada en Blokker o la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos. 

Sin embargo, una evaluación del nivel de satisfacción promedio de los usuarios que utilizan el 
sistema, sólo tendría en cuenta los escenarios donde hay una demanda efectiva, es decir que 
utilizaría  los  resultados  de  las  figuras  entre  la  Figura  23  y  la  Figura  26,  y  en  ese  caso  las 
diferencias  entre  las  metodologías  puede  ser  significativa,  con  diferencias  en  las 
probabilidades de hasta       en valor absoluto de probabilidad, y de diferencias promedio de 
    entre las probabilidades para cada hora y para cada escenario relativas al valor estimado 
con la metodología con simulación de eventos discretos, para el caso de 4 personas aferentes 
al baño. 

Es  importante  notar  que  los  resultados  mostrados  en  las  anteriores  figuras  y  los  anteriores 
cálculos,  son  similares  a  los  encontrados  para  el  resto  de  casos  del  número  de  personas 
aferentes al sistema, con diferencias en valores pero no en forma. Por ejemplo en el caso de 
las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  y  de  probabilidad  acumulada,  a  medida  que 
aumenta el número de personas aferentes, las probabilidades del escenario         se reducen 
mientras que para los demás escenarios se aumentan, haciendo más pronunciados los picos de 
las funciones de densidad de probabilidad (e.g. Figura 19 y Figura 23). Análogamente cuando 
se reduce el número de personas aferentes, las probabilidades del escenario         aumentan 
significativamente haciendo todas las curvas de probabilidad total más planas. 

El 

anterior 

procedimiento 

de 

análisis 

estocástico 

hecho 

para 

la 

variable 

                                    puede ser hecho también para otras variables del flujo 
en  la  red,  tales  como  los  caudales  en  el  resto  de  las  tuberías,  las  presiones  y  alturas 
piezométricas en cualquier nudo o punto de la red, los números de Reynolds, las velocidades, y 
demás, teniendo en cuenta que la mayoría de los programas de simulación hidráulica de redes 
con flujo presurizado entregan como resultados tablas en donde para cada nudo y para cada 
tubo  presentan  características  del  flujo  en  dicho  elemento,  y  por  lo  tanto  al  realizar 
simulaciones  hidráulicas  para  cada  escenario,  es  posible  tener  una  realización  de  la  variable 
estudiada,  la  cual  puede  relacionarse  con  la  probabilidad  de  ocurrencia  del  escenario 
simulado. 

De esta manera concluye el caso de estudio correspondiente a un baño residencial, habiendo 
mostrado la manera de  la implementación de  ambas metodologías propuestas, y mostrando 
un resultado comparativo entre los resultados de ambas.  

 

 

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5  Procedimiento de diseño propuesto 

 

Con base en los resultados de la metodología propuesta para la modelación de la demanda en 
RIDAPs, es posible realizar un análisis estocástico e hidráulico que permita realizar diseños que 
se ajusten satisfactoriamente a las demandas modeladas, y por lo tanto a la utilización típica 
del sistema prototipo. A continuación se muestra un diagrama de flujo que resume las etapas 
en las que se divide el procedimiento de diseño de RIDAPs planteado en esta investigación: 

 

Figura 27. Diagrama de flujo del procedimiento de diseño propuesto. 

Inicio

Asignación de una 

Línea de 

Gradiente 

Hidráulico (

LGH) 

para toda la red.

Cálculo de 

caudales emitidos 

en los aparatos 

sanitarios.

t = 1

t = |T|

Cálculo del caudal 
de diseño del tubo 

t.

Cálculo y 

redondeo del 

diámetro del tubo 

t.

Asignación de una 

LGH para la red 

aguas abajo del 

tubo 

t.

t = t + 1

Fin

No

Si

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Las  etapas  del  procedimiento  de  diseño  mostrado  en  la  Figura  27  son  detalladas  en  las 
siguientes secciones. 

 

5.1  Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) 

La asignación de una LGH para toda la red, o para la red aguas abajo de una tubería cualquiera, 
es  un  paso  adoptado  de  algunas  metodologías  de  diseño  optimizado  de  RDAPs  (Wu,  1975  y 
Ochoa, 2009). Este paso consiste en predefinir la altura piezométrica de cada nudo de la red, 
de manera que, con los caudales de diseño de cada tubo se pueden encontrar valores de  los 
diámetros de todas las tuberías que globalmente generan una red diseñada de costo cercano 
al mínimo. 

En  la  Sección  2.2.2  de  este  documento  se  presenta  un  análisis  de  la  función  típicamente 
asignada como LGH para una tubería en serie (polinomio de segundo grado). Como resultado 
se  encuentran  los  dominios  de  cada  una  de  las  variables  independientes  de  esta  función, 
permitiendo  así  definir  completamente  la  familia  de  curvas  cuadráticas  que  pueden  ser 
asignadas  como  LGH  de  una  tubería  en  serie.  Así,  para  realizar  este  subproceso  del 
procedimiento de diseño se hace uso de la Ecuación 12 presentada a continuación, con la cual 
es  posible  asignar  la  altura  piezométrica  objetivo  de  cada  nudo  de  la  red  o  tramo  de  red 
analizado: 

   

 

         

   

   

     

   

  

   

 

 

   

 

               

   

   

     

   

  

   

 

         

   

 

Ecuación 43 

donde: 

   

 

 : LGH evaluada en el punto   medido desde la entrada del sistema. En la altura 

piezométrica  que  se  asignará  al  nudo  ubicado  a  una  distancia   de  la  entrada  del 
sistema. 

   

   

 : Máximo valor de la LGH para esa trayectoria analizada. Corresponde con la 

altura piezométrica disponible en la entrada del sistema. 

   

   

 :  Mínimo  valor  de  la  LGH  para  esa  trayectoria.  Este  valor  corresponde  a  la 

mínima  altura  piezométrica  aceptable  en  el  nudo  final  de  la  trayectoria  (el  de  más 
aguas abajo). 

 

   

 : Longitud total de la trayectoria a la cual pertenece el punto analizado. Se calcula 

como la distancia topológica entre la entrada del sistema y el nudo final de la rama. 

  :  Flecha  de  la  ecuación  cuadrática  de  LGH.  Representa  la  diferencia  de  alturas 
piezométricas  entre  una  LGH  recta  calculada  con  la  Ecuación  11,  y  la  que  se  desea 
calcular con la Ecuación 12, escrita de manera porcentual respecto a la diferencia entre 
la    

   

 y  la    

   

.  Se  considera  positiva  si  el  valor  calculado  con  la  ecuación 

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cuadrática  es  menor  que  el  calculado  con  la  ecuación  lineal,  y  negativa  en  caso 
contrario. 

  : Distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP (entrada del sistema) 
y el punto en donde se quiere calcular la LGH objetivo. 

Según  Wu  (1975)  el  valor  del  parámetro  independiente   que  minimiza  los  diseños  de  una 
tubería  en  serie  con  caudales  demandados  homogéneamente  distribuidos  a  lo  largo  de  la 
tubería es          . Sin embargo, Wu también analiza el sobrecosto en el que se  incurre al 
seleccionar  una  curva  con           que  genera  una  función  lineal,  llegando  a  un  valor  del 
    ,  lo  cual  se  considera  poco  significativo  para  el  problema  de  diseño  de  RIDAPs. 
Adicionalmente,  una  LGH  con         asigna  presiones  objetivo  más  altas  para  todos  los 
nudos  de  la  red,  aumentando  así  la  confiabilidad  del  sistema  cuando  ésta  es  medida  con 
índices como el Índice de Resiliencia (Todini, 2000) o la Potencia Unitaria (Saldarriaga, 2010). 

Considerando lo anterior, se recomienda como LGH para el procedimiento de diseño, aquella 
con        .  Sin  embargo,  la  metodología  puede  ser  utilizada  con  cualquier  valor  de   y 
eventualmente se podrían evaluar otros posibles valores para mejorar el diseño final de la red 
ajustándolo  a  las  necesidades  específicas  del  problema  respecto  a  costos  constructivos  y 
confiabilidad. 

 

5.2  Cálculo de los caudales emitidos 

Teniendo en cuenta que las alturas piezométricas asignadas en el paso anterior son las alturas 
piezométricas que  deben registrarse cuando las condiciones  de  diseño son alcanzadas por la 
demanda de la red, los caudales emitidos correspondientes a dichas presiones son los caudales 
que deben ser tenidos en cuenta para el diseño de la misma. Para su cálculo basta evaluar la 
presión  correspondiente  a  la  altura  piezométrica  asignada,  en  la  curva  del  aparato  que 
relaciona el caudal emitido con la presión inmediatamente aguas arriba (ver Sección 3.1)

 

5.3  Cálculo del caudal de diseño de un tubo 

Para poder diseñar un tubo es necesario conocer la diferencia de alturas piezométricas entre 
sus dos nudos y el caudal que se espera pase por él. El paso de Asignación de LGH asigna una 
altura piezométrica a cada nudo de la red, y por lo tanto la diferencia de alturas piezométricas 
es  conocida  para  cada  tubo.  Para  determinar  el  caudal  de  diseño,  es  necesario  realizar  un 
análisis estocástico de la demanda, que permita asignar como caudal de diseño, un caudal que 
asegure una probabilidad de falla menor a la máxima aceptable sin incurrir en sobrecostos por 
asignar caudales mayores al realmente necesario. 

 

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5.3.1  Análisis estocástico para nudos independientes 

Haciendo un análisis similar al hecho por CIACUA (2011), es posible ordenar todos los posibles 
escenarios de demanda de una RIDAP de mayor a menor exigencia hidráulica como se muestra 
a continuación: 

Si  se  supone  que  un  aparato  sólo  tiene  dos  posibles  configuraciones 
(encendido/apagado),  y  se  tiene  una  RIDAP  con    nudos  de  demanda  con  solo   
aparato  conectado  a  cada  uno,  entonces  el  número  de  posibles  escenarios  de 
demanda es  

  

Se entiende que un escenario    es        de otro escenario    cuando el conjunto de 
nudos  encendidos en  el  estado    es  subconjunto  del  conjunto  de  nudos  encendidos 
en  el  estado    .  Dicha  relación  de          representa  que  el  escenario     es 
indiscutiblemente  más  demandante  hidráulicamente  que  el  escenario   ,  y  por  lo 
tanto un diseño que cumpla con los requerimientos hidráulicos de   , necesariamente 
cumplirá  con  los  requerimientos  hidráulicos  de   .  Además  es  claro  que  la  relación 
      es transitiva, es decir que si   es       de   y   es       de  , entonces   es 
      de  . Haciendo posible que se puedan ordenar los  

  

 posibles escenarios de 

demanda de acuerdo con la relación      , de la siguiente manera: 

 

En el diagrama se entiende que, cada rectángulo con 5 casillas representa un escenario de demanda, en donde las 
casillas  con  valor   representan  que  el  nudo  está  apagado  y  las  casillas  con  valor   representan  que  el  nudo  está 
encendido; además una flecha que parte del escenario   hacia el escenario   significa que   es        de  .

 

Figura 28. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una RIDAP con       

En  la  Figura  28  se  puede  notar  cómo  se  genera  una  clasificación  natural  de  los 
escenarios de acuerdo con el número de nudos encendidos que tiene cada uno. Para 
ello se definirá cada uno de estos conjuntos de escenarios con igual número de nudos 

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encendidos  como           ,  donde     es  precisamente  el  número  de  nudos 
encendidos      {             } . 

Dado que escenarios pertenecientes al mismo estado no pueden ser comparados respecto a su 
exigencia  hidráulica,  teniendo  en  cuenta  que  un  escenario   puede  ser  más exigente  que  un 
escenario   para  el  tubo  

 

,  pero  menos  exigente  para  un  tubo  

 

;  el  algoritmo  de  selección 

del caudal de diseño debe ser ejecutado para cada tubo de la red a fin de encontrar el caudal 
con  el  que  el  diseño  de  dicho  tubo  asegura  una  probabilidad  de  falla  menor  a  la  máxima 
aceptable. 

 

Probabilidad de falla 

Para que el procedimiento tenga validez, es necesario definir la                      , y así 
asignarle un valor máximo admisible dependiendo de la aversión al riesgo que tenga el futuro 
usuario del sistema y de los costos que pueda implicar una falla del mismo. La probabilidad de 
falla de una RIDAP puede ser calculada y entendida como: 

 

 

           

     ( 

       

Ecuación 44 

 

 

       

 

 

 

  

  

 

     

 

 

Ecuación 45 

donde: 

 

           

 : Probabilidad de falla de la RIDAP. 

 

       

 : Probabilidad de falla del aparato conectado al nudo  . 

 

 

  

  

 :  Tiempo  durante  el  cual  el  aparato  del  nudo   está  encendido  pero  el  caudal 

emitido es menor al                         de dicho aparato (ver Sección 3.1). 

 

     

 : Tiempo durante el cual el aparato del nudo   está encendido. 

Es decir que la probabilidad de falla de un aparato es la frecuencia con la que se desea hacer 
uso de éste y, por las condiciones hidráulicas de la RIDAP en ese instante, el caudal emitido es 
inferior al mínimo aceptable. Por otro lado, la probabilidad de falla de toda la red, podría ser 
entendida  como  la  probabilidad  de  que  al  menos  un  aparato  esté  fallando,  y  en  ese  caso  la 
probabilidad de falla sería la suma de las probabilidades de falla de cada aparato, suponiendo 
independencia en la ocurrencia de la falla en un nudo. 

Sin embargo, la ocurrencia de la falla en un nudo, no es independiente de la ocurrencia de la 
falla  en  los  demás  nudos,  dado  que  si  un  nudo  está  fallando  es  porque  hay  más  aparatos 
encendidos que los que el sistema puede soportar, y por lo tanto un aparato que se encienda 
mientras  el  sistema  está  en  dicho  estado,  también  reportará  una  falla.  Así,  la  fórmula 

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planteada  en  la  Ecuación  44,  se  considera  una  mejor  representación  de  la  ocurrencia  de  las 
fallas en una RIDAP considerando lo siguiente: 

 

                                             

Ecuación 46 

Cuando ocurre el evento   (falla de un aparato que está encendido) es porque el sistema está 
siendo sometido a una situación de demanda más exigente que la de diseño para al menos un 
tubo  aguas  arriba  del  nudo  con  falla,  y  por  lo  tanto  es  muy  probable  que  también  esté 
ocurriendo  el  evento   (falla  de  otro  aparato  que  está  encendido  y  que  también  está  aguas 
abajo  de  dicho(s)  tubos(s)).  Es  decir  que  la  probabilidad  de  que  ocurran  los  dos  eventos  al 
tiempo (        ) debe ser muy similar a la menor de las probabilidades de los dos eventos 
(ver  Figura  29).  Así,  de  la  expresión  de  la  derecha  de  la  Ecuación  46  queda  reducida  a 
             ,  donde  se  entiende  que  la  función       entrega  el  evento  de  mayor 
probabilidad asociada. 

 

                      

 

 

                                        

 

Figura 29. Justificación de la ecuación de probabilidad de falla. 

En el caso de que ocurra el evento  , pero el evento   esté relacionado con la falla de un nudo 
aguas arriba del tubo o tubos con un caudal mayor al de diseño, entonces la probabilidad del 
evento     será  despreciable,  y  el  resultado  de  la  probabilidad  de         seguirá  siendo 
            .  Algo  similar  ocurre  cuando  el  aparato  relacionado  con  el  evento   esta 
apagado. En este caso la probabilidad de que dicho nudo falle es nula, dado que la falla solo es 
posible  si  se  le  exige  algo al  sistema,  de  manera  que  la  probabilidad  de  falla  sigue  siendo  la 
mayor de la dos. 

El anterior concepto puede ser fácilmente extendido a varios eventos (i.e. varios aparatos) de 
manera que se llega a la expresión de la Ecuación 44 para cuantificar la probabilidad de falla de 
una RIDAP. 

Por otro lado, para determinar la máxima probabilidad de falla aceptable, se deben tener en 
cuenta  detalles  como  el  costo  de  una  falla  del  sistema,  que  en  el  caso  de  una  RIDAP  no  es 
usualmente  alto,  pero  pueden  existir  excepciones  como  hospitales  o  laboratorios  en  donde 
una  falta  de  disponibilidad  de  agua  con  flujo  adecuado  (i.e.  caudal  mayor  al  mínimo 
aceptable),  puede  implicar afectación en la integridad de  los ocupantes de  la edificación y/o 
pérdidas económicas considerables. Usualmente existen entidades gubernamentales que dan 
valores máximos para esa probabilidad de falla aceptable, o lo que es similar, valor mínimo de 
confiabilidad del sistema y/o periodo de retorno de una falla. 

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85 

 

Cálculo del estado de diseño de un tubo 

Una  primera  aproximación  al  procedimiento  de  cálculo  del  caudal  de  diseño  de  un  tubo 
considera que una vez se conoce la probabilidad de falla aceptable, es necesario encontrar el 
caudal cuya probabilidad de ser igualado o excedido es menor que ésta, siendo dicho caudal el 
caudal de diseño. Es decir que el caudal de diseño de un tubo podría ser encontrado haciendo 
uso  de  las  funciones  de  probabilidad  acumuladas  de  caudal  obtenidas  mediante  las 
metodologías  de  modelación  de  la  demanda  (e.g.  Figura  24  y  Figura  26),  conociendo  la 
probabilidad  de  no  ser  excedido  (el  complemento  de  la  probabilidad  de  ser  igualado  o 
excedido) y hallando el caudal correspondiente a dicho valor de probabilidad. 

Sin embargo  la anterior aproximación no es consistente  con la definición de probabilidad de 
falla hecha anteriormente y la razón se hace evidente con el siguiente ejemplo: 

Suponga que se tiene una RIDAP con dos aparatos sanitarios   y  . Las probabilidades de 
uso de estos dos aparatos son tales que            , y las curvas de emisor son tales 
que  siempre  se  cumple  que  

 

   

 

.  Dado  que  las  probabilidades  de  uso  deben  ser 

condicionadas  con  que  el  sistema  esté  en  uso,  entonces  se  cumple  que 
   |                  |                  , y dado que la probabilidad de que   esté 
siendo  utilizado  es  mucho  mayor  que  la  de   entonces,  si  el  sistema  está  en  uso,  es 
mucho  más  probable  que  sea   el  (o  uno  de  los)  aparato(s)  en  uso,  y  por  lo  tanto 
   |                   implicando que el caudal  

 

 tiene  una  probabilidad  acumulada 

cercana  a    ,  y  por  lo  tanto  puede  ser  utilizado  como  caudal  de  diseño  del  tubo  que 
alimenta  a  los  dos  aparatos  para  probabilidades  de  falla  aceptables  mayores  a (     
   |            )      , es decir cualquier probabilidad de falla. 

Sin embargo si el diseño es efectivamente hecho con  

 

, cualquier escenario de demanda 

en donde el aparato   esté encendido generará una falla del sistema al ocurrir una falla 
en dicho aparato, teniendo en cuenta que  

 

   

 

. Es decir que la probabilidad de falla 

de   será  

       

      y por lo tanto, utilizando la Ecuación 44, la probabilidad de falla 

del  sistema  será  

           

     ,  implicando  así,  que  el  diseño  no  cumple  con  las 

condiciones de diseño. 

El anterior ejemplo muestra cómo la selección del caudal de diseño debe ser realizada de una 
manera diferente a la explicada que permita incorporar la definición de probabilidad de falla 
hecha en la Ecuación 44. Para ello, se plantea una aproximación similar a la hecha por CIACUA 
(2011)  en  donde  se  evalúan  diferentes  escenarios  de  un  mismo  estado  seleccionado  como 
estado  de  diseño  (ver  Figura  28).  La  diferencia  radica  en  que,  como  se  ha  explicado 
anteriormente, la evaluación del caudal de diseño puede y debe realizarse para cada tubo de 
manera independiente (pág. 83) y el cálculo de las probabilidades de los estados no hace uso 
de un modelo con cadenas de Markov. 

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/711cff7fa64b566026507b8a1facdf61/index-html.html
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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

86 

 

Para calcular entonces las probabilidades de cada uno de los estados de un tubo, entendidos 
como los estados de la red aguas abajo del tubo analizado, se puede hacer uso de la Ecuación 
47 
comúnmente denominada Distribución Binomial de Poisson: 

 

 

  

         

(∏  

 

 

 

  ∏ (     

 

)

    

 

)

        

             

 

Ecuación 47. 
Distribución 
Binomial  de 
Poisson 

donde: 

 

  

        : Es la probabilidad de que se esté en el estado   en una red con    nudos 

de demanda. 

 

 

 y  

 

 : Probabilidad de que el aparato   (o  ) esté encendido. 

Dada la difícil indexación de las sumatorias y productorias de la Ecuación 47, se presenta 
un ejemplo del cálculo: 

 

 

    

          ( 

 

   

 

        

 

          

 

 )

  ( 

 

        

 

     

 

        

 

 )

    

 

        

 

          

 

     

 

 

  (      

 

     

 

   

 

        

 

 )

  (      

 

     

 

        

 

     

 

)

  (      

 

          

 

     

 

   

 

 

Así, la Ecuación 47 simplemente suma las probabilidades de ocurrencia de todos los posibles 
escenarios  con   aparatos  encendidos,  calculando  cada  una  de  esas  probabilidades  con  el 
método  descrito  en  la  Sección  3.2.1.  Es  importante notar  que  el  número  de  sumandos  de  la 
Ecuación 47 se calcula como            (combinatoria de   en   ). Es fácil demostrar que el 
máximo de una combinatoria            ocurre cuando     [    

⁄ ]           

⁄   (función 

parte  entera,  que  se  define  como  el  máximo  entero  que  es  menor  que  la  variable 
independiente para valores positivos). A continuación se muestra cómo crece la función de la 
Ecuación  48  que  representa  la  máxima  combinatoria  posible  con    aparatos  en  la  red 
analizada: 

 

        (    [

  

 

]) 

Ecuación 48 

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Universidad de los Andes 
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA 
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando 
simulación de eventos discretos

 

MIC 201210-15 

 

 

Diego Alejandro Páez Ángel 

Tesis II 

87 

 

 

Figura 30. Comportamiento de la función de la Ecuación 48. 

Como se puede ver en la Figura 30 el número de sumandos a tener en cuenta en la Ecuación 
47,  
cuando    supera  los    aparatos,  supera  los  mil  millones,  implicando  un  esfuerzo 
computacional considerable para realizar cálculo de la probabilidad del estado [    

⁄ ]. Así, se 

hace necesario buscar una manera más eficiente de calcular dicha probabilidad o de hacer una 
estimación aceptable de su valor. 

Para ello se puede hacer un análisis de las expresiones resultantes de expandir y simplificar la 
Ecuación  47  para  diferentes  valores  de    y  .  Como  resultado  se  llegó  a  la  siguiente 
igualdad: 

 

 

  

                       ∑     

      

                             

    

̅̅̅̅̅̅̅̅

    

   

 

Ecuación 49 

 

               

  

          (  

 

)   ∑     

      

  (       

          

)    

    

̅̅̅̅̅̅̅̅

    

   

 

 

 

 

̅̅̅  

(∏

 

 

 

 

)

        

             

          

             

 

Ecuación 50 

donde: 

 

  

        : Es la probabilidad de que se esté en el estado   en una red con    nudos 

de demanda. 

1.0E+00

1.0E+01

1.0E+02

1.0E+03

1.0E+04

1.0E+05

1.0E+06

1.0E+07

1.0E+08

1.0E+09

1.0E+10

1.0E+11

1.0E+12

1.0E+13

1.0E+14

1.0E+15

0

10

20

30

40

50

60

n

Cr 

(NN,

[NN/2])