Análisis de redes internas de distribución

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TESIS DE MAESTRÍA

ANÁLISIS DE REDES INTERNAS DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA

POTABLE UTILIZANDO SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS

Diego Alejandro Páez Ángel

Asesor: Juan G. Saldarriaga Valderrama

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

MAESTRÍA EN INGENIERÍA CIVIL

BOGOTÁ D.C.

2011

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Universidad de los Andes
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando
simulación de eventos discretos

MIC 201210-15

Diego Alejandro Páez Ángel

Tesis II

Tabla de contenido

Introducción .......................................................................................................................... 1

1.1

Objetivos ....................................................................................................................... 4

1.1.1

Objetivo general .................................................................................................... 4

1.1.2

Objetivos específicos ............................................................................................. 4

Análisis preliminar del sistema .............................................................................................. 5

2.1

Descripción del sistema ................................................................................................. 5

2.1.1

Prototipo ............................................................................................................... 5

2.1.2

Modelo .................................................................................................................. 5

2.2

Diseño del sistema ........................................................................................................ 9

2.2.1

Determinación de los escenarios o condiciones de diseño .................................. 9

2.2.2

Determinación del valor de los parámetros. ....................................................... 15

2.3

Estimación de la demanda en el sistema con métodos modernos ............................. 23

2.3.1

Modelo de PRP (Poisson Rectangular Pulses) ..................................................... 24

2.3.2

Modelo de NSRP (Neyman-Scott Rectangular Pulses) ........................................ 27

2.3.3

Modelo estocástico de uso último (stochastic end-use model) ......................... 27

2.3.4

Modelo estocástico de demanda aplicado a RIDAPs .......................................... 30

Metodología de modelación propuesta .............................................................................. 35

3.1

Modelación de los aparatos sanitarios ....................................................................... 35

3.2

Modelación de la simultaneidad de uso de los aparatos ............................................ 38

3.2.1

Modelo basado en Blokker .................................................................................. 38

3.2.2

Modelo basado en Blokker con simulación de eventos discretos ...................... 46

Casos de estudio.................................................................................................................. 54

4.1

Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en Blokker .................. 59

4.2

Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en Blokker con

simulación de eventos discretos. ............................................................................................ 64

4.3

Análisis de caudales a partir de ambas metodologías ................................................ 73

Procedimiento de diseño propuesto ................................................................................... 79

5.1

Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) ............................................ 80

5.2

Cálculo de los caudales emitidos................................................................................. 81

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Tesis II

5.3

Cálculo del caudal de diseño de un tubo .................................................................... 81

5.3.1

Análisis estocástico para nudos independientes ................................................ 82

5.3.2

Análisis estocástico para nudos dependientes ................................................... 96

5.4

Cálculo y redondeo del diámetro del tubo ................................................................. 98

5.5

Asignación de una LGH para la red aguas abajo del tubo ........................................... 99

5.6

Proceso iterativo ......................................................................................................... 99

Comprobación de diseño propuesta ................................................................................. 101

6.1

Discretización de las Curvas Únicas y ajuste de la función ....................................... 101

6.2

Interpolación e iteración ........................................................................................... 104

6.3

Cálculo de los demás resultados hidráulicos............................................................. 105

6.4

Software desarrollado ............................................................................................... 105

Casos de estudio................................................................................................................ 107

7.1

Caso de estudio 1: Red Interna Conjunto OASIS IV ................................................... 110

7.1.1

Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) .................................. 111

7.1.2

Cálculo de los caudales emitidos ....................................................................... 111

7.1.3

Cálculo de los caudales de diseño ..................................................................... 114

7.1.4

Cálculo y redondeo del diámetro del tubo ....................................................... 115

7.1.5

Asignación de una LGH para la red aguas abajo del tubo ................................. 115

7.1.6

Resultados para toda la red .............................................................................. 116

7.2

Caso de estudio 2: Red Interna APTOS ACERO ......................................................... 120

7.2.1

Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) .................................. 121

7.2.2

Cálculo de los caudales emitidos ....................................................................... 122

7.2.3

Cálculo de los caudales de diseño ..................................................................... 124

7.2.4

Cálculo y redondeo del diámetro del tubo ....................................................... 125

7.2.5

Resultados para toda la red .............................................................................. 126

Conclusiones...................................................................................................................... 130

8.1

Conclusiones de la modelación de RIDAPs................................................................ 130

8.2

Conclusiones del diseño y comprobación de diseño de RIDAPs ............................... 131

Recomendaciones ............................................................................................................. 133

Referencias .................................................................................................................... 135

Anexos ........................................................................................................................... 138

11.1 Demostraciones del dominio de la variable .......................................................... 138

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iii

11.2 Parametrizaciones de la distribución Lognormal ...................................................... 141

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Índice de Figuras

Figura 1. Esquema de asignación de Altura Piezométrica según una ecuación cuadrática. ....... 17
Figura 2. Sistema de tuberías en serie con longitudes diferenciales. ......................................... 19
Figura 3. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida. ................................................... 20
Figura 4. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida y con diámetro máximo. ........... 22
Figura 5. Modelo de Pulsos Rectangulares de Poisson (PRP). (GARCÍA et Al, 2004). ................. 30
Figura 6. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una
RIDAP con . .................................................................................................................... 32
Figura 7. Diagrama de transición estados para una cadena de Markov asociada a una RIDAP
con . ............................................................................................................................... 32
Figura 8. Relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato, para
diferentes porcentajes de apertura de válvula de un mismo aparato. ...................................... 35
Figura 9. Partes de la curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas
arriba del aparato, para aparatos con apertura de válvula variable........................................... 37
Figura 10. Curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del
aparato, para aparatos con apertura de válvula variable, para el problema de estimación de
demanda para diseño. ................................................................................................................. 38
Figura 11. Distribución temporal supuesta de la frecuencia de uso de un lavamanos. ............. 41
Figura 12. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona de un lavamanos. ...... 42
Figura 13. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso de un lavamanos. .......................... 43
Figura 14. Serie de tiempo de la utilización de un lavamanos. ................................................... 44
Figura 15. Esquema del caso de estudio correspondiente a un baño. ....................................... 54
Figura 16. Vista en planta del baño, con diagrama de las tuberías de la red. ............................ 55
Figura 17. Implementación del modelo de un baño residencial en el programa ARENA. .......... 66
Figura 18. Esquema del modelo de un baño residencia implementado en ARENA. .................. 67
Figura 19. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando
la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. ............................. 74
Figura 20. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando
la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes. ............................. 74
Figura 21. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando
la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4
personas aferentes. ..................................................................................................................... 75
Figura 22. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando
la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4
personas aferentes. ..................................................................................................................... 75
Figura 23. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que
el sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4
personas aferentes. ..................................................................................................................... 76

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Figura 24. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el
sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas
aferentes. .................................................................................................................................... 76
Figura 25. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que
el sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos
discretos para un baño con 4 personas aferentes. ..................................................................... 77
Figura 26. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el
sistema está en uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos
discretos para un baño con 4 personas aferentes. ..................................................................... 77
Figura 27. Diagrama de flujo del procedimiento de diseño propuesto. ..................................... 79
Figura 28. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una
RIDAP con . .................................................................................................................... 82
Figura 29. Justificación de la ecuación de probabilidad de falla. ................................................ 84
Figura 30. Comportamiento de la función de la Ecuación 48. .................................................... 87
Figura 31. Relación entre el error en la estimación de la probabilidad de un estado y la
desviación estándar de las probabilidades de uso de los aparatos. ........................................... 89
Figura 32. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar
entre 0.15 y 0.45. ........................................................................................................................ 90
Figura 33. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar
entre 0.02 y 0.20. ........................................................................................................................ 91
Figura 34. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar
entre 0.28 y 0.50. ........................................................................................................................ 92
Figura 35. Diagrama de flujo del algoritmo de ejecución hidráulica para RIDAPs. ................... 102
Figura 36. Interfaz principal del software. ................................................................................ 106
Figura 37. Modelo casa OASIS IV tipo C - Vista en perfil. Aparatos conectados a la red. ......... 110
Figura 38. Modelo casa OASIS IV tipo C – LGH ideal en mca (izquierda) y Presión ideal
correspondiente en mca (derecha). .......................................................................................... 112
Figura 39. Modelo casa OASIS IV tipo C – Caudal emitido en L/s para el caso basado en Acero
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC. (derecha). ....................................................... 113
Figura 40. Modelo casa OASIS IV tipo C - Resultados del cálculo del estado de diseño para cada
tubería de la red. ....................................................................................................................... 116
Figura 41. Modelo casa OASIS IV tipo C - Resultados del diseño para el caso basado en Acero
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). Diámetros en pulgadas. ................. 117
Figura 42. Prototipo casa OASIS IV tipo C – Diámetros reales del sistema en pulgadas. .......... 119
Figura 43. Modelo APTO ACERO tipo 1 - Vista en planta. Aparatos conectados a la red. ........ 121
Figura 44. Modelo APTO ACERO tipo 1 – LGH ideal en psi. ...................................................... 122
Figura 45. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Caudal emitido en L/s para el caso basado en Acero
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). ........................................................ 123
Figura 46. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Resultados del cálculo del estado de diseño para cada
tubería de la red. ....................................................................................................................... 127
Figura 47. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Resultados del diseño para el caso basado en Acero
(izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). Diámetros en pulgadas. ................. 128

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Índice de Tablas

Tabla 1. Asignación de unidades a cada aparato (Gonzalez, 2010). ........................................... 10
Tabla 2. Asignación del caudal de diseño para cada valor de las unidades (Granados Robayo,
2002). .......................................................................................................................................... 11
Tabla 3. Asignación de caudales de diseño a partir de los caudales máximos posibles (García
Sosa, 2001). ................................................................................................................................. 12
Tabla 4. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo –
Datos medidos en Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b). .................................................... 28
Tabla 5. Frecuencia, duración e intensidad para siete de los ocho usos últimos definidos en el
modelo – Datos medidos en Milford, Ohio. (Blokker, 2010a). ................................................... 29
Tabla 6. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo –
Datos medidos en Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b). .................................................... 39
Tabla 7. Principales procedimientos del programa ARENA para simulación de eventos discretos.
..................................................................................................................................................... 47
Tabla 8. Funciones de la curva única de los aparatos de un baño residencial. ........................... 55
Tabla 9. Frecuencia y Duración de uso para los aparatos de un baño residencial (basada en la
Tabla 6 y en Blokker, 2010a). ...................................................................................................... 56
Tabla 10. Distribuciones temporales de la frecuencia de uso para los aparatos de un baño
residencial. .................................................................................................................................. 56
Tabla 11. Series de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona para los aparatos de un
baño residencial. ......................................................................................................................... 58
Tabla 12. Cálculo de la duración promedio total para el lavamanos de un baño residencial. ... 59
Tabla 13. Series de tiempo de la utilización de cada aparato de un baño residencial con 4
personas aferentes. ..................................................................................................................... 60
Tabla 14. Descripción y notación de los 8 posibles escenarios para un baño residencial. ......... 61
Tabla 15. Series de tiempo de la probabilidad de ocurrencia de cada escenario de un baño
residencial con 4 personas aferentes. ......................................................................................... 61
Tabla 16. Series de tiempo de la probabilidad de ocurrencia de cada escenario de un baño
residencial con 4 personas aferentes. ......................................................................................... 70
Tabla 17. Caudal transportado por el tubo más aguas arriba del sistema para cada escenario. 73
Tabla 18. Funciones de la curva única de los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con base
en Acero (2009). ........................................................................................................................ 107
Tabla 19. Funciones de la curva única de los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con base
en ICONTEC (2004). ................................................................................................................... 107
Tabla 20. Frecuencia y Duración de uso para los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con
base en Blokker (2010a). ........................................................................................................... 108
Tabla 21. Cálculo de la duración promedio total para los lavamanos de las redes ejemplo. ... 108
Tabla 22. Cálculo de la duración promedio total para los lavaplatos de las redes ejemplo. .... 109
Tabla 23. Presiones mínimas aceptables y frecuencias de diseño. ........................................... 109
Tabla 24. Probabilidades de uso de los aparatos para el diseño de la RIDAP. .......................... 114

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vii

Tabla 25. Probabilidades de ocurrencia de los estados. ........................................................... 114
Tabla 26. Diámetros disponibles para las tuberías de la red. ................................................... 115
Tabla 27. Probabilidades de ocurrencia de los estados – Metodología Exacta. ....................... 124
Tabla 28. Probabilidades de ocurrencia de los estados – Metodología Aproximada. .............. 125

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1 Introducción

Las  redes  internas  de  distribución  de  agua  potable  (RIDAP),  son  el  componente  final  del
sistema de distribución de agua potable de cualquier asentamiento urbano. Estas redes son las
encargadas  llevar  el  recurso  líquido  a  los  usuarios  finales  desde  la  conexión  al  sistema  de
acueducto de la ciudad. Los usuarios entonces, son los habitantes o visitantes de la edificación
en  donde  está  construida  la  red,  de  manera  que  pueden  ser  residentes  de  una  vivienda  o
trabajadores y visitantes de una edificación comercial, industrial, escolar u hospitalaria, entre
otras. Lo que tienen en común todos estos potenciales usuarios, es que esperan que al utilizar
un aparato sanitario conectado a la RIDAP (e.g., lavamanos, duchas, inodoros, tinas, lavaplatos,
lavadoras,  etc.)  éste  les  proporcione  agua  con  unas  características  de  flujo  aceptable  para
satisfacer sus necesidades.

Para lograr tener un sistema que cumpla con los requerimientos hechos por los usuarios del
mismo, es necesario conocer el comportamiento del sistema y de su demanda, de manera que
desde  hace  más  de  medio  siglo  se  han  hecho  análisis  de  las  redes  internas,  procurando
caracterizar su comportamiento hidráulico y las demandas a las que está sometido a lo largo
de  su  vida  útil.  Si  bien  la  simulación  hidráulica  de  estas  redes  tiene  muchos  elementos  en
común con la simulación hidráulica de las redes de acueducto, existen otros elementos que no
pueden ser bien representados de igual manera que en las redes de acueducto, y por lo tanto
se  hace  necesario  caracterizar  ese  comportamiento  hidráulico  haciendo  uso  de  otros
elementos matemáticos como los emisores (Acero, 2009).

Por otro lado el análisis de la demanda en una RIDAP, ha tenido aproximaciones hechas para la
solución  del  problema  de  diseño  del  sistema,  las  cuales  se  basan  en  datos,  conocimientos  y
modelos bastante antiguos que pueden ser considerados obsoletos, si se tiene en cuenta que
con  el  paso  del  tiempo  han  surgido  nuevas  herramientas  para  la  simulación  de  diferentes
sistemas,  además  de  conocimientos  y  datos  basados  en  el  comportamiento  actual  de  los
usuarios de los sistemas, el cual no debe suponerse igual al de los usuarios de hace cincuenta
años.

De esta manera se tiene un sistema vigente y ampliamente usado como lo son las RIDAPs, y
metodologías de análisis y simulación del sistema un tanto obsoletas y basadas en supuestos
que  ya  no  son  necesarios  para  lograr  representar  de  mejor  manera  lo  observado  en  los
prototipos.  Así,  en  esta  investigación  se  busca  realizar  un  análisis  de  las  RIDAPs  basado  en
conocimientos contemporáneos que se ajustan más a las necesidades y comportamientos de
estos  sistemas,  y  en  especial  se  centra  en  la  caracterización  y  simulación  de  la  demanda
haciendo  uso  de  mediciones  recientes  y  de  herramientas  como  la  simulación  de  eventos
discretos,  que  es  una  herramienta  informática  basada  en  las  capacidades  actuales  de  los
computadores  y  que  permite  tener  en  cuenta  correlaciones  entre  variables,  difícilmente
representables de otra forma.

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Con  el  avance  logrado  en  la  modelación  de  estos  sistemas,  se  consiguió  una  base  para  el
posterior desarrollo de una metodología de diseño de RIDAPs basada específicamente en los
resultados de las mencionadas metodologías de modelación de la demanda acá desarrolladas.
Ese desarrollo de una metodología de diseño, al igual su implementación en casos de estudio
también  es  presentado  en  este  documento,  junto  con  el  proceso  deductivo  realizado  y  los
estudios  específicos  de  la  función  de  probabilidad  Binomial  de  Poisson  necesarios  para  su
implementación en sistemas con un alto número de aparatos.

Así  mismo  se  desarrolló  un  software  capaz  de  ejecutar  la  hidráulica  de  estos  sistemas
incluyendo  los  comportamientos  de  los  aparatos  que  se  encontraron  y  utilizaron  para  este
documento,  haciendo  uso  de  éste  en  los  casos  de  estudio  de  diseño  mencionados
anteriormente.

El contendido de este documento está dividido en once capítulos. El primero de ellos incluye la
introducción y los objetivos del proyecto. El segundo capítulo hace referencia a conocimiento
previo  o  útil  que  se  requiere  para  el  desarrollo  de  las  metodologías  de  modelación  de  la
demanda y futuro diseño, incluyendo entre otras cosas, leyes físicas que rigen la hidráulica de
tuberías con flujo presurizado, conocimientos de los procedimientos de diseño de sistemas de
varias  tuberías  y  conocimientos  previos  de  modelación  de  la  demanda  para  el  problema  de
diseño, incluyendo enfoques tradiciones y algunos enfoques y conocimientos más recientes. El
Capítulo  3  presenta  las  dos  metodologías  desarrolladas  para  la  modelación  estocástica  de  la
demanda en RIDAPs con base en deducciones y en información disponible, así como algunas
recomendaciones  de  implementación  de  la  metodología  basada  en  simulación  de  eventos
discretos.  El  cuarto  capítulo  incluye  un  caso  de  estudio  simple  en  el  que  se  muestra
explícitamente  la  implementación  de  las  metodologías  desarrolladas  en  el  Capítulo  3,
presentando  resultados  para  ese  caso,  y  sacando  algunas  conclusiones  de  las  observaciones
hechas a los resultados encontrados. El Capítulo 5 muestra el desarrollo de la metodología de
diseño que resulta consistente con las metodologías de modelación explicadas en el Capítulo
3, haciendo un análisis de la función de probabilidad Binomial de Poisson que resulta necesario
para aproximar los resultados exactos pero altamente demandantes computacionalmente. El
capítulo  sexto  explica  el  algoritmo  desarrollado  en  esta  investigación  para  la  ejecución
hidráulica de RIDAPs que hacen uso del concepto de Curva Única, explicado en el Capítulo 3,
así como el software  creado para su fácil implementación. El Capítulo 7 presenta 4 casos de
estudio  de  la  metodología  de  diseño  que  hace  uso  de  los  conceptos  del  Capítulo  5  y  del
software  expuesto  en  el  Capítulo  6,  presentando  además  un  análisis  de  los  resultados
encontrados  que  evidencian  la  consistencia  del  método  de  diseño  y  algunos  aspectos  de
mejora  del  mismo.  El  octavo  capítulo  resume  las  conclusiones  encontradas  a  lo  largo  del
documento,  en  especial  las  relacionadas  con  las  observaciones  a  los  resultados  del  cuarto  y
sétimo capítulo. El Capítulo 9 hace recomendaciones para futuras investigaciones en el tema y
para una potencial aplicación de las metodologías desarrolladas en esta investigación en casos
de  sistemas  reales  con  diferentes  condiciones  de  ocupación.  El  décimo  capítulo  presenta  las
referencias bibliográficas citadas en este documento, las cuales fueron utilizadas para describir

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o analizar algún procedimiento relativo a las RIDAPs o en general a los sistemas de tuberías
con flujo presurizado. Finalmente el Capítulo 11 presenta unos anexos al documento que
facilitan el entendimiento más profundo de algunas partes de éste.

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1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo general

Desarrollar una metodología de modelación de la demanda en redes internas de distribución
de agua potable, así como una metodología de diseño acorde con la metodología de
modelación de la demanda.

1.1.2 Objetivos específicos

A fin de cumplir con el objetivo general del proyecto se plantearon y desarrollaron los
siguientes objetivos específicos:

Hacer una revisión bibliográfica de los métodos de modelación de la demanda tanto
tradicionales como modernos a fin de tener una base teórica para el desarrollo de la
metodología propuesta.

Desarrollar un caso de estudio de la metodología de modelación con uso de simulación de
eventos discretos para definir procedimientos y recomendaciones de creación de modelos
haciendo uso del programa ARENA.

Buscar formas de aproximación de la función de probabilidad Binomial de Poisson para
permitir su cálculo o estimación de manera eficiente y aceptable en el procedimiento de
diseño planteado.

Hacer una revisión y análisis del procedimiento de diseño optimizado de sistemas de series de
tuberías basado en el criterio de Wu (1975), a fin de entenderlo y definir su aplicación en la
metodología de diseño.

Desarrollar dos casos de estudio de la metodología de diseño para verificar su correcto
funcionamiento y potenciales aspectos de mejora.

Desarrollar un algoritmo y un software que permitan ejecutar la hidráulica de redes con flujo
presurizado con nudos cuyo caudal emitido es función no potencial de la presión en el nudo, a
fin de disponer de una herramienta que permita hacer comprobaciones de diseño consistentes
con la metodología de modelación hidráulica.

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2 Análisis preliminar del sistema

2.1 Descripción del sistema

2.1.1 Prototipo

El  proceso  típico  de  abastecimiento  de  agua  potable  incluye:  1)  la  captación  del  recurso  en
cuerpos  de  agua  como  lagos,  ríos,  acuíferos,  etcétera;  2)  la  potabilización  del  recurso
usualmente realizada en plantas de tratamiento de agua potable (PTAP); 3) el almacenamiento
del recurso en tanques elevados o subterráneos, o en embalses; 4) la distribución del recurso a
través  de  la  red  de  distribución  de  agua  potable  (RDAP);  y  5)  el  uso  último  del  recurso
mediante  los  aparatos  sanitarios  conectados  a  la  red.  La  RDAP  usualmente  es  dividida  de
acuerdo  con  la  magnitud  de  los  caudales  que  transporta  y  al  ente  encargado  de  su
construcción,  operación  y/o  mantenimiento,  generando  así  redes  matrices,  redes  de
distribución propiamente dichas y redes internas de distribución. A éstas últimas son a las que
resultan conectados los aparatos sanitarios tales como duchas, lavamanos, inodoros, llaves y
demás,  y  usualmente  incluyen  dentro  del  sistema  a  todos  los  tubos  y  accesorios  que  se
encuentran aguas abajo de una conexión particular de una edificación al sistema de acueducto
municipal (red de distribución).

Las redes internas de distribución de agua potable (RIDAP) son, entonces, las redes ubicadas al
interior  de  cada  edificación  y,  para  este  documento,  se  considerará  que  incluyen  todos  los
aparatos sanitarios conectados a ésta. Respecto a estos aparatos, se puede encontrar una gran
variedad  incluyendo  diferentes  funciones  y  comportamientos  hidráulicos,  que  además
continuamente  se  renuevan  para  ajustarse  a  los  nuevos  requerimientos  de  los  usuarios
directos  del  aparato.  Sin  embargo  la  mayoría  de  aparatos  típicos,  tienen  en  común  que  se
observa  una  relación  biunívoca  entre  el  caudal  emitido  por  el  aparato  y  la  presión  de  flujo
inmediatamente aguas arriba del mismo, simplificando así su modelado.

2.1.2 Modelo

El modelo matemático de una RIDAP se compone de arcos o links y de vértices o nudos. Cada
link representa una tubería de la red, y cada nudo representa un accesorio, una unión de varias
tuberías, una conexión de un aparato sanitario a la red o una conexión de la RIDAP a la red de
acueducto  municipal.  Los  atributos  de  las  tuberías  incluyen  los  nudos  que  conectan,  la
longitud,  el  diámetro  real  interno,  la  rugosidad  absoluta  del  material  y  el  coeficiente  de
pérdidas  menores  a  lo  largo  de  toda  la  tubería.  Por  otro  lado  los  atributos  de  los  nudos
incluyen  sus  coordenadas  ,   y   y  los  parámetros  de  caracterización  del  comportamiento
hidráulico del aparato sanitario conectado.

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Para caracterizar el comportamiento hidráulico de cada aparato, es posible utilizar el concepto
de “Emisores” (Acero, 2009), en el cuál se supone que el caudal emitido por el aparato cumple
la siguiente relación potencial:

Ecuación 1

Donde:

: Caudal emitido por el aparato.

: Presión en el nudo al que está conectado el aparato, usualmente escrita en
unidades de altura piezométrica (m.c.a. o mca: metros-columna de agua).

: Parámetros de la función potencial.

Datos de entrada al modelo

Dado un modelo de una RIDAP, existen datos de entrada que en conjunto con los parámetros
del  modelo  (atributos  de  los  nudos  y  links),  determinan  la  respuesta  hidráulica  simulada  del
sistema.  Estos  datos  de  entrada  incluyen  las  siguientes  variables:  1)  La  altura  piezométrica
disponible  en  el  nudo  de  entrada  de  la  red  (conexión  de  la  RIDAP  con  la  red  de  acueducto
municipal),  y  2)  El escenario  de  demanda  (configuración  de  aparatos encendidos  y  apagados
que están demandando agua a la RIDAP de acuerdo con la Ecuación 1).

Para determinar la altura piezométrica disponible a la entrada de la red, se debe disponer de
los resultados hidráulicos de la simulación de la red de acueducto a la cual está conectada la
RIDAP. Dentro de los resultados de esa simulación, se encuentran alturas piezométricas en
cada nudo de la red de acueducto, y para establecer la altura piezométrica a utilizar basta
tomar dicho resultado evaluado en el nudo de entrada de la RIDAP.

El  problema  de  la  determinación  de  los  escenarios  de  demanda  es  considerablemente  más
complejo,  y  su  complejidad  radica  en  la  naturaleza  estocástica  de  estos  procesos,
fundamentada  en  la  naturaleza  estocástica  de  la  frecuencia  y  la  duración  de  uso  de  cada
aparato sanitario. Éstas variables (duración y frecuencia) dependen de la función para la que
fue  diseñado  cada  aparato  sanitario  y  de  las  personas  que  esperan  utilizarlo  para  sus
diferentes necesidades. Así, por ejemplo, la frecuencia de uso de un lavamanos ubicado en un
baño  residencial,  es  diferente  de  la  frecuencia  de  uso  de  una  ducha  también  ubicada  en  el
mismo  baño residencial, e inclusive es  diferente  del mismo lavamanos ubicado en  otro baño
residencial que tiene mayor (o menor) número de personas aferentes a este. Similarmente la
duración de un uso de una ducha es considerablemente diferente a la duración de un uso de
un lavamanos, e inclusive es diferente la duración de uso de esa misma ducha para diferentes
personas (e.g., según Blokker et Al. (2010), los niños y adolecentes toman duchas más largas
que los adultos).

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La complejidad del problema de simulación de la demanda en RIDAPs, hace que diferentes
problemas alrededor de éstas sean de difícil solución o que, análogamente, sean solucionados
con metodologías basadas en suposiciones difícilmente aplicables (e.g., los procedimientos
tradicionales de diseño de RIDAPs).

Simulación del sistema

(Basado en Saldarriaga, 2007)

Una vez determinado en su totalidad el modelo (i.e., todos los atributos de los nudos y los links
del modelo son conocidos), y conocidos los datos de entrada para los que se simulará el
sistema (i.e., altura piezométrica a la entrada de la red y el escenario de demanda que se
simulará), se deben aplicar dos principios físicos que gobiernan el movimiento de un fluido en
una red cualquiera: Conservación de la Masa y Conservación de la Energía

El principio de Conservación de Masa establece que el caudal en cualquier punto a lo largo de
una  tubería  es  constante  e  igual  al  producto  de  la  velocidad  media  del  flujo  y  el  área  de  la
sección transversal (suponiendo que el agua es un fluido incompresible). Así mismo para todo
nudo  de  la  red,  la  diferencia  de  la  suma  de  caudales  que  entran  y  la  suma  de  caudales  que
salen  debe  ser  exactamente  igual  a  cero  (incluyendo  el  caudal  emitido  por  el  aparato
conectado a ese nudo).

El principio de Conservación de la Energía establece que la energía del flujo en el nudo inicial
de la tubería debe ser igual a la energía del flujo en el nudo final de la misma más la suma de la
energía perdida por fricción del fluido con la tubería y con el mismo fluido y, la energía perdida
por accesorios y discontinuidades que alteren el flujo (pérdidas menores). Para caracterizar las
pérdidas menores, se asocia un coeficiente global para cada tubería, el cual, al multiplicarse
por la altura piezométrica (cabeza) de velocidad, resulta en la energía perdida por dicho efecto
(Ecuación 2).

Ecuación 2

Donde:

: Energía por unidad de peso específico del fluido (Altura piezométrica) que es

disipada por las pérdidas menores.

: Velocidad media del flujo a lo largo de la tubería.

: Aceleración producida por la gravedad.

: Coeficiente global de pérdidas menores de la tubería seleccionada.

También denominado “Ejecución del modelo”.

Si bien la Conservación de Momentum también se cumple, éste principio no resulta de utilidad para la

solución de los problemas típicamente estudiados en el sistema.

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Para caracterizar las pérdidas por fricción, existen varias ecuaciones, dentro de las que se
encuentra la ecuación de Darcy-Weisbach (Ecuación 3) en conjunto con la ecuación de
Colebrooke-White (Ecuación 4), que tiene como ventajas, su deducción físicamente basada y
consecuentemente su aplicabilidad a todos los casos que se llegan a presentar en una RIDAP.
(e.g., flujo de agua a temperaturas cercanas a los 40°C).

Ecuación 3

√

(

√

)

Ecuación 4

Donde:

: Altura piezométrica que es disipada por la fricción del flujo con las paredes de la

tubería y por la turbulencia del mismo.

: Factor de fricción adimensional que relaciona las pérdidas por fricción con la altura
piezométrica de velocidad, con el diámetro de la tubería y con la longitud de la misma.

: Longitud de la tubería.

: Diámetro real interno de la tubería.

: Rugosidad absoluta del material de la tubería.

: Número de Reynolds del flujo que pasa por la tubería.

Teniendo en cuenta que el anterior principio aplica para todas las tuberías de la red, y dado
que la energía en un nudo debe ser única, se puede plantear la Conservación de la Energía en
redes de flujo presurizado de manera que para cada circuito cerrado de la red, la suma de la
pérdidas por fricción y las pérdidas menores de todos sus tubos es igual a cero si se tiene en
cuenta el signo de cada sumando dependiendo de la manera de recorrer el circuito.

Así,  para  simular  el  comportamiento  hidráulico  de  una  red  de  flujo  presurizado  se  pueden
plantear               ecuaciones, donde    es el número de circuitos cerrados de la red, y
   es el número de nudos de la red (en donde se debe cumplir la Conservación de la Masa).
Por otro lado, las incógnitas del procedimiento son el caudal en cada tubo de la red, y la altura
piezométrica  disponible  en  cada  nudo  de  la  misma.  Sin  embargo  al  conocer  una  de  las
respuestas hidráulicas (caudales en los tubos o alturas piezométricas en los nudos), es posible
conocer la otra, utilizando las ecuaciones de fricción mostradas (Ecuación 3 y Ecuación 4).

De  esta manera  se  pueden  simplificar  las  incógnitas  a    (Número  de  tubos  en  la  red),  y es
posible  demostrar  que,  para  cualquier  red  dada,  el  término               es  exactamente
igual a   , y por lo tanto la simulación del modelo, consiste en la solución de un sistema de
   ecuaciones. Existen diferentes métodos de solución de estos sistemas, dentro de los que se

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encuentra  el  Método  del  Gradiente  (Todini  &  Pilati,  1987),  el  cuál  ha  sido  implementado  en
diferentes  programas  de  computador,  tales  como  Epanet  (Rossman,  2000) y Redes  (CIACUA,
2006).  Estos  programas  entregan  la  respuesta  hidráulica  del  sistema  (datos  de  salida),
incluyendo  las  presiones  en  los  nudos  y,  por  lo  tanto,  los  caudales  emitidos  por  el  aparato
conectado.

2.2 Diseño del sistema

El problema de diseño de cualquier sistema, siempre puede ser dividido en dos problemas. El
primero es la determinación de los escenarios para los que será diseñado el sistema (i.e., las
configuraciones  de  datos  de  entrada  para  los  que  el  sistema,  al  ser  simulado,  generará
respuestas  o  datos  de  salida  dentro  de  un  rango  aceptable  para  los  usuarios  del  mismo).  El
segundo es un problema de optimización que consiste en determinar el valor de cada uno de
los parámetros a diseñar del sistema, teniendo como restricciones el hecho de que para cada
escenario establecido en el anterior problema, la simulación del sistema, debe generar datos
de  salida  dentro  de  un  rango  aceptable,  y  con  una  función  a  minimizar  que  usualmente
representa  los  costos  constructivos  y/o  de  operación,  aunque  también  se  llegan  a  incluir
variables  que  representan  la  confiabilidad  del  sistema,  el  impacto  ambiental  del  mismo  y
demás consideraciones propias de cada problema particular.

2.2.1 Determinación de los escenarios o condiciones de diseño

Para el caso de diseño de RIDAPs, el primer problema ha sido ampliamente estudiado desde
1932 (Hunter, 1940) hasta la presente fecha, y ha generado diferentes metodologías de
estimación de caudales de diseño, a partir de diferentes aproximaciones al problema.

Método de Hunter

Es un método que considera la percepción de que sólo pocos de los aparatos conectados a la
RIDAP, operan de manera simultánea durante un cierto intervalo de tiempo. Así, define

como la probabilidad de que haya más de aparatos encendidos en un sistema con
aparatos totales. Esta probabilidad la calcula utilizando la Ecuación 5.

∑ (

)

Ecuación 5

Basado en: CIACUA (2011).

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donde:

: Probabilidad de un aparato de estar encendido.

Dado  que  la  Ecuación  5  se  basa  en  una  acumulación  de  una  Distribución  Binomial,  que
representa  una  adición  de  ensayos  Bernoulli  con  probabilidad  de  éxito    (probabilidad  de
estar  encendido),  es  necesario  estimar  esta  probabilidad  de  manera  que  sea  constante  para
todos  los  aparatos  de  la  red.  Teniendo  en  cuenta  ésta  suposición,  y  el  hecho  de  que  cada
aparato  tiene  un  caudal  promedio  emitido  diferente,  el  método  estandariza  los  aparatos
sanitarios  más  comunes  respecto  a  un  fluxómetro  de  uso  público,  asignando  “Unidades”  a
cada aparato (Tabla 1), y definiendo un caudal de diseño para posible acumulación de  dichas
unidades en una RIDAP (Tabla 2).

Tabla 1. Asignación de unidades a cada aparato (Gonzalez, 2010).

Aparato

Tipo de uso Tipo de suministro

Unidades de aparto

Total

Agua caliente Agua fría

Sanitario

Pú

lic

Fluxómetro

10,00

Sanitario

Tanque

5,00

Orinal pedestal

Fluxómetro 1"

10,00

Orinal pared

Fluxómetro 3/4"

5,00

Lavamanos

1,50

2,00

Tina

3,00

4,00

Regadera ducha

Mezclador

3,00

4,00

Lavaplatos

Mezclador

3,00

4,00

Sanitario

Priv

Fluxómetro

6,00

Sanitario

Tanque

3,00

Lavamanos

Mezclador

0,75

1,00

Tina

Mezclador

1,50

2,00

Regadera ducha

Mezclador

1,50

2,00

Grupo de baño

Sanitario fluxómetro

2,25

6,75

8,00

Grupo de baño

Sanitario tanque

2,25

4,50

6,00

Lavaplatos

Mezclador

1,50

2,00

Lavadora

2,25

3,00

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Tabla 2. Asignación del caudal de diseño para cada valor de las unidades (Granados Robayo, 2002).

La  determinación  de  ese  caudal  de  diseño  se  basa  en  la  suposición  de  que  el  escenario  de
diseño  no  debe  ser  superado  en  más  del  1.0%  del  tiempo,  y  por  lo  tanto  se  plantea  una
igualdad  entre  la  Ecuación  5  y  dicha  probabilidad  aceptable  de  “falla”,  de  manera  que  se
encuentra el número de aparatos encendidos que debe ser tenido en cuenta ( ) para cumplir
esa ecuación y por lo tanto para diseñar el sistema.

Método Británico

El Método Británico consiste en calcular el caudal máximo posible, entendido como la suma de
los caudales emitidos promedio de cada aparato sanitario conectado a la RIDAP. Una vez
conocido dicho caudal, se utiliza la Tabla 3 para encontrar el caudal de diseño y así se
encuentra el escenario de diseño de cada tubería de la red.

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Tabla 3. Asignación de caudales de diseño a partir de los caudales máximos posibles (García Sosa, 2001).

Caudal emitido

promedio (L/min)

Caudal de

diseño

(L/min)

Caudal emitido

promedio (L/min)

Caudal de

diseño

(L/min)

Hasta 12

100% del

máximo

posible

318,0

147,0

405,0

159,0

53,0

49,2

465,6

170,3

60,6

54,9

537,5

181,7

68,1

60,6

617,0

196,8

75,7

66,2

711,7

212,0

87,1

71,9

817,6

230,9

98,4

77,6

938,8

246,1

113,6

85,2

1082,8

268,8

132,5

90,8

1245,4

291,5

151,4

98,4

1430,9

321,8

174,1

106,0

1646,6

359,6

200,6

113,6

1892,7

393,7

230,9

121,1

Más de 1892,7

20% del
máximo

posible

268,8

128,7

306,3

140,1

Existe una variante del Método Británico, denominada Método de Dawson y Bowman, que fue
desarrollado en la Universidad de Wisconsin, y que tiene como única diferencia la asignación
de caudales de diseño para pequeñas instalaciones hidráulicas ubicadas en edificaciones de
tipo residencial.

Método alemán o de Raíz Cuadrada

Este método asignó un “factor de carga” a cada aparato sanitario existente en el momento de
su desarrollo, representando así el comportamiento de la demanda típica de cada aparato, y
su caudal emitido promedio. Dicho factor es unitario para el caso de una llave de 3/8”, cuyo
caudal emitido promedio es de 0.25L/s, siendo éste caudal, el utilizado como caudal unitario
base (Ecuación 6):

√∑

Ecuación 6

donde:

: Caudal de diseño de la tubería analizada.

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: Caudal unitario base. Corresponde al caudal emitido promedio de una llave de

3/8” (

: Factor de carga de los aparatos de tipo . Para una llave de 3/8” el factor de carga

es unitario.

: Número de aparatos de tipo aguas abajo de la tubería analizada.

: Número total de tipos de aparatos.

Método del Factor de Simultaneidad

El Método del Factor de Simultaneidad, calcula el caudal de diseño como el producto del
caudal máximo posible, de nuevo entendido como la suma de los caudales emitidos promedio
de cada aparato sanitario conectado a la RIDAP, y un factor de simultaneidad que es función
del número de aparatos aguas abajo del tubo analizado (Ecuación 8).

∑

Ecuación 7

donde:

: Factor de simultaneidad de la tubería analizada.

: Caudal emitido promedio de los aparatos de tipo .

√

Ecuación 8

donde:

: Número total de aparatos sanitarios aguas abajo de la tubería analizada.

Este método tiene algunas recomendaciones de uso, dentro de las que se encuentra el valor
mínimo de

como . Además, existe una variante del método que incluye un segundo

factor (

) función del número de viviendas aguas abajo del tubo analizado (Ecuación 9). Así,

este factor es considerable, solo para tuberías por fuera de las RIDAPs de cada unidad
residencial (Roca & Carratalá).

Ecuación 9

donde:

: Factor de simultaneidad por varias residencias.

: Número de unidades residenciales aguas abajo del tubo analizado.

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El principal problema de los anteriores métodos radica en su naturaleza sobre-simplificada y,
en algunos casos, empírica, que se basa en mediciones hechas en sus periodos de desarrollo y
que, por lo tanto, no se ajustan de manera aceptable a las condiciones actuales de las RIDAPs.
Por otro lado, hacen algunas suposiciones un tanto fuertes de cumplir en el prototipo, dentro
de  las  cuales  se  encuentra  la  aplicabilidad  de  sus  observaciones  a  sistemas  con  diferentes
condiciones  socio-ambientales  así  como  la  representación  de  los  aparatos  sanitarios  con  un
caudal  promedio  determinado  con  aparatos  de  la  época.  Así,  los  métodos  anteriormente
mencionados  fueron  pensados  para  una  labor  ingenieril  considerablemente  más  limitada  en
términos de recursos computacionales que la actual, y por lo tanto se considera conveniente
una revaluación de este aspecto del diseño a la luz de los recursos disponibles en la actualidad.

Métodos basados en modelos modernos

Buchberger & Wu (1995) y Buchberger & Wells (1996) presentaron un modelo para simular la
demanda de agua en edificaciones residenciales, con base en Pulsos Rectangulares de Poisson
(PRP). Si bien el objetivo original de estas investigaciones, y de muchas otras que le siguieron
(ver  Sección  2.3),  era  desarrollar  un  modelo  que  estimara  los  caudales  que  se  están
demandando  en  cada  nudo  de  la  RDAP  en  cada  instante  de  tiempo  para  así  predecir  de
manera más precisa el comportamiento de la calidad del agua, es posible hacer uso de estos
métodos  para  encontrar  uno  o  varios  escenarios  de  demanda  a  tener  en  cuenta  en  el
procedimiento de diseño de las RIDAPs (e.g., CIACUA, 2011).

Método propuesto por Acero (2009)

Acero  en  su  investigación  propone  un  método  de  diseño  de  RIDAPs  que  incluye  un  paso  de
determinación de las condiciones de diseño del sistema. Dicho paso, según la investigación, se
basa en              , que no son más que posibles escenarios de demanda que deben ser
determinados  por  el  ingeniero  diseñador  con  base  en  su  experiencia  y  juicio.  Así,  para  cada
escenario,  realiza  el  procedimiento  de  diseño  (determinación  del  valor  de  los  parámetros)
utilizando una metodología similar a la descrita en la Sección 2.2.2, para después tomar como
valores  definitivos  de  los parámetros  de  diseño  los valores  máximos  de  todos  los escenarios
(valores envolventes).

Sin  embargo  la escogencia  de  los  escenarios  de  diseño  depende  del  criterio  del  diseñador, y
por lo tanto un mismo sistema puede resultar con dos diseños diferentes, dependiendo de la
experiencia  y  el  juicio  del  ingeniero  diseñador.  Además  el  número  de  escenarios  necesarios
para  diseñar  una  red  de  una  edificación  de  tamaño  medio  o  grande  puede  resultar
considerablemente alto, haciendo difícil la aplicación correcta por parte del diseñador. Por lo
tanto  dicho  método  sólo  es  recomendado  para  una  posterior  comprobación  de  diseño  en
donde se verifiquen escenarios de demanda determinados por el diseñador según su criterio.

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2.2.2 Determinación del valor de los parámetros.

La determinación del valor de los parámetros de un sistema, es el procedimiento mediante el
cual se asigna un valor a cada parámetro “diseñable” del sistema, de manera que al simular su
respuesta  a  los  datos  de  entrada  determinados  en  el  paso  anterior,  se  llega  a
comportamientos aceptables para cada dato de salida. Sin embargo en la mayoría de los casos
existen  muchas  configuraciones  de  valores  de  los  parámetros  que  cumplen  con  esas
restricciones,  por  lo  que  este  procedimiento  incluye  la  búsqueda  de  aquella  solución  que
optimiza una función objetivo.

En el caso de redes de distribución de agua con flujo presurizado (tanto RDAPs como RIDAPs)
los parámetros a determinar en el diseño son los diámetros reales internos de las tuberías de
la  red  y  el  material  que  se  utilizará  para  éstas  (usualmente  se  predefine  de  acuerdo  con  la
disponibilidad  de  materiales  en  el  mercado).  Las  restricciones,  por  otro  lado,  incluyen
presiones  en  los  nudos,  velocidades  en  las  tuberías,  y  para  el  caso  específico  de  las  RIDAPs,
también  se  incluyen  caudales  mínimos  y  máximos  en  cada  nudo  de  la  red.  Como  función
objetivo en RDAPs se han utilizado funciones relacionadas con el costo constructivo de la red
así  como  con  la  confiabilidad  del  sistema,  de  manera  que  se  han  desarrollado  diferentes
metodologías,  incluyendo  algunas  que  acoplan  heurísticas  al  diseño,  para  optimizar  esa
función logrando que el sistema diseñado cumpla con las restricciones y que a la vez minimice
los  costos  constructivos y/o  maximice  la confiabilidad  del  sistema  (minimizar  la  probabilidad
de  falla).  En  el  caso  de  las  RIDAPs,  este  procedimiento  de  optimización  no  presenta
antecedentes  en  la  literatura,  y  muy  seguramente  en  el  ejercicio  profesional  se  toma  como
solución al problema, la primera configuración de valores de los parámetros que cumple con
todas las restricciones, de manera que no se minimizan costos constructivos, ni se maximiza la
confiabilidad.

Sin  embargo  CIACUA  (2011),  hace  una  aproximación  novedosa  al  problema  de  diseño  de
RIDAPs,  al  definir  los  mismos  parámetros  a  diseñar  y  las  mismas  restricciones,  pero
adicionando  una  función  objetivo  que  representa  los  costos  constructivos  de  la  red.  Esta
función es tomada de estudios realizados para RDAPs donde sí existe dicha función y su forma
típica es:

∑

Ecuación 10

donde:

: Costo constructivo total de la red.

: Longitud de la -ésima tubería de la red.

: Diámetro de la -ésima tubería de la red.

: Parámetros de la función de costos.

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Para minimizar la función descrita por la Ecuación 10, CIACUA utiliza los resultados de I-Pai Wu
(1975) en donde se encuentra que una manera rápida y efectiva para realizar esta tarea
consiste en predefinir la superficie de presiones

de la red, generando una superficie objetivo,

de manera que al diseñar cada tubería por separado se llegue a un sistema que, cuando es
simulado con los datos de entrada de diseño, genera dicha superficie de presiones. Según I-Pai
Wu el diseño óptimo no difiere considerablemente del diseño al que se llega si se utiliza una
superficie de presiones plana, definida para cada trayectoria de una RIDAP a partir de la
siguiente ecuación:

(

)

Ecuación 11

donde:

: Línea de gradiente hidráulico

(LGH) evaluada en .

: Máximo valor de la LGH para esa trayectoria. Dada la forma abierta de las

RIDAPs, y la ausencia de bombas dentro de ésta,

es igual a la altura

piezométrica en la conexión de la RIDAP con el sistema de acueducto o a la altura
piezométrica aguas abajo de la bomba que conecta la RIDAP con la RDAP.

: Mínimo valor de la LGH para esa trayectoria. Este valor corresponde a la

mínima altura piezométrica aceptable en el nudo final de la trayectoria (el más aguas
abajo), y se determina a partir de los requisitos de los aparatos conectados en ese
nudo.

: Longitud de la trayectoria a la cual pertenece el punto analizado. Se calcula

como la distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP y el nudo final de
la trayectoria.

: Distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP y el punto en donde se
quiere calcular la LGH objetivo.

De  esta  manera  CIACUA  calcula  la  superficie  objetivo  para  cada  nudo  de  la  red  utilizando  la
Ecuación  11,  y  conociendo  los  caudales  de  diseño  a  partir  de  una  metodología  moderna  de
Determinación  de  los  escenarios  de  diseño  (ver  Sección  2.3.4),  puede  calcular  los  diámetros
internos  reales  de  cada  tubería  de  la  red,  de  manera  que  se  minimiza  en  buena  medida  el
costo constructivo de la misma.

Sin embargo la deducción de I Pai Wu (1975), se basa en un sistema de tuberías en serie con
flujo presurizado, que tiene como principal característica una longitud uniforme de todos sus

Es la superficie que representa la cabeza hidráulica total en cada punto de la red. Se calcula como la

suma de la altura piezométrica de velocidad, de presión y la elevación de dicho punto.

Es la línea perteneciente a la superficie de presiones, correspondiente a los valores de cada punto

sobre una trayectoria dada, en este caso una rama de la red.

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tubos, y un caudal de demanda uniforme en todos sus nudos Esas condiciones son típicamente
encontradas en redes de riego de alta frecuencia, pero no en una RIDAP o en una RDAP, por lo
que es posible que el diseño óptimo difiera de manera considerable del diseño encontrado
utilizando la aproximación de CIACUA (2011), para el caso de RIDAPs.

De esta manera, se debe considerar la fórmula completa de I Pai Wu (1975), para esa línea de
gradiente hidráulico objetivo correspondiente a la superficie de presiones objetivo evaluada en
una trayectoria única con forma topológicamente similar a la de una tubería en serie,
caracterizada como una ecuación cuadrática con una función descrita por la Ecuación 12 que
puede verse representada en la Figura 1, y así utilizar resultados de estudios posteriores a I Pai
Wu acerca de esa línea de gradiente hidráulico objetivo que minimiza los costos constructivos
(e.g., Villalba, 2004; Ochoa, 2009).

Figura 1. Esquema de asignación de Altura Piezométrica según una ecuación cuadrática.

Es importante notar que la Ecuación 12, y la posterior descripción de sus variables es aplicable
para cualquier sistema de tuberías en serie, incluyendo las trayectorias que se generan en una
RIDAP.

Ecuación 12

donde:

: Línea de gradiente hidráulico (LGH) evaluada en el punto medido desde la

entrada del sistema.

: Máximo valor de la LGH para esa trayectoria analizada. Corresponde con la

altura piezométrica disponible en la entrada del sistema.

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: Mínimo valor de la LGH para esa trayectoria. Este valor corresponde a la

mínima altura piezométrica aceptable en el nudo final de la trayectoria (el de más
aguas abajo).

: Longitud total de la trayectoria a la cual pertenece el punto analizado. Se calcula

como la distancia topológica entre la entrada del sistema y el nudo final de la rama.

  :  Flecha  de  la  ecuación  cuadrática  de  LGH.  Representa  la  diferencia  de  alturas
piezométricas  entre  una  LGH  recta  calculada  con  la  Ecuación  11,  y  la  que  se  desea
calcular con la Ecuación 12, escrita de manera porcentual respecto a la diferencia entre
la

y la

. Se considera positiva si el valor calculado con la ecuación

cuadrática es menor que el calculado con la ecuación lineal, y negativa en caso
contrario.

: Distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP y el punto en donde se
quiere calcular la LGH objetivo.

A diferencia de la Ecuación 11, la Ecuación 12 tiene un grado de libertad representado por la
variable  ,  que  implica  que  existe  una  variable  que  debe  ser  ajustada  por  el  diseñador  para
buscar  un  diseño  que  minimice  la  función  objetivo.  I  Pai  Wu  (1975)  encuentra  que,  para
sistemas de tuberías en serie con longitudes de tubos uniformes y con caudales demandados
en los nudos también uniformes, ese valor óptimo es              . Por otro lado, Ochoa
(2009) sugiere un procedimiento de cálculo del valor de   óptimo a partir de las características
de  la  demanda  de  agua  a  lo  largo  del  sistema.  Sin  embargo  en  ninguna  de  las  dos
investigaciones  se  encuentra  un  estudio  del  dominio  de  la  variable   para  el  que  la  función
        genera  valores  físicamente  posibles,  por  lo  que  dicho  análisis  se  presenta  a
continuación, a fin de hacer uso de los resultados en un futuro método de diseño de RIDAPs:

Análisis del dominio de y de

El  dominio  de  una  función  es  el  conjunto  de  valores  que  pueden  tomar  las  variables
independientes  de  manera  que  la  función  pueda  ser  evaluada.  Dado  que  la  función  descrita
por la Ecuación 12 tiene como variable independiente a  , pero tiene como parámetro para su
cálculo la variable  , que es independiente de  , ésta puede ser entendida como otra variable
independiente, haciendo que la función de asignación de línea de gradiente hidráulico objetivo
sea una función con dos variables independientes          .

Por un lado el dominio de , entendido como el conjunto de valores de la variable para los que
es posible calcular la función, es fácilmente identificable como:

[ ] [

]

Ecuación 13

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Teniendo en cuenta que, si bien la función cuadrática puede ser evaluada para cualquier valor
real de , sólo para aquellos valores que pertenezcan al sistema de tuberías en serie de
longitud

, dicha función tendría sentido físico.

Por otro lado el dominio de requiere un análisis un poco más complejo, que tiene como
principal consideración la conservación de la energía a lo largo del sistema. Así, el valor de
nunca debe implicar una ganancia de energía del flujo, dado que ello es físicamente imposible
en los sistemas analizados (series de tuberías sin bombas o elementos de aumento de la altura
piezométrica), y de hecho no puede siquiera implicar una energía constante del flujo, dado que
el trasporte a lo largo de la tubería siempre generará pérdidas de energía por fricción.

De  esta  manera  si  se  considera  un  sistema  compuesto  por  tuberías  de  longitud  diferencial
como la mostrada en la Figura 2, el dominio de   serán todos los valores de la variable que no
implican una pendiente de la LGH positiva o cero para ningún valor de     [

Figura 2. Sistema de tuberías en serie con longitudes diferenciales.

La anterior consideración puede ser expresada con la siguiente expresión:

[

]

que tiene como casos críticos y

. Así, el valor máximo de para este sistema

puede ser calculado como (la demostración completa se encuentra en el Anexo 11.1):

(

)

Ecuación 14

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Similarmente se puede plantear la desigualdad para , llegando a:

Ecuación 15

Lo que implica que el dominio de para el sistema de tuberías en serie con longitudes
diferenciales es el descrito por la Ecuación 29:

[ ]

Ecuación 16

Sin embargo cuando se considera que el sistema no está compuesto por tuberías de longitud
diferencial, sino de hecho por tuberías de longitud real y conocida, se puede presentar el caso
mostrado en la Figura 3, en donde existe un rango para el que se viola la LGH mínima y más
grave aún, un rango para el que  se viola la conservación de energía (rango en donde  la LGH
tiene  pendiente  positiva),  pero  sin  embargo  el  procedimiento  tendría  sentido  físico  y  podría
ser  implementado  teniendo  en  cuenta  que  el  algoritmo  sólo  asigna  LGH  a  los  nudos  del
sistema  y  no  a  toda  la  longitud  del  mismo,  por  lo  que  el  sistema  mostrado  en  la  Figura  3,
podría ser perfectamente diseñado cuando se asignara la LGH mínima al último y al penúltimo
nudo del sistema. Así, si se considera que la última tubería tiene longitud

, el valor máximo

de se calcularía a partir de la Ecuación 18.

Figura 3. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida.

La evaluación de la LGH para el último y el penúltimo nudo, en el caso crítico, daría como
resultado

y por lo tanto la diferencia entre las dos expresiones sería cero tal y como se

muestra a continuación (la demostración completa se encuentra en el Anexo 11.1):

(

)

Ecuación 17

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(

)

Ecuación 18

Similarmente al caso de las tuberías diferenciales, el cálculo de

consiste en plantear la

misma expresión anterior, pero considerando que la LGH se debe evaluar en el primer y en el
segundo tubo, de manera que, si la longitud de la primera tubería del sistema es

entonces se tiene que:

Ecuación 19

Lo que implica que el dominio de para el sistema de tuberías en serie con longitudes no
diferenciales y conocidas es el descrito por la Ecuación 20:

[ ] (

(

)

Ecuación 20

Tanto  para  la  deducción  de  la  Ecuación  16  como  para  la  deducción  de  la  Ecuación  20,  las
diferencias de LGH se han igualado a cero, indicando que el caso crítico es aquel en el que se
asigna cero altura piezométrica disponible al tubo más aguas abajo o más aguas arriba. Dicha
deducción  igualando  a  cero,  es  la  que  genera  que  los  intervalos  de  dominio  de    sean
abiertos, indicando que los valores allí escritos son valores           y       , pero
no         ni           .  Es  decir  que   nunca  puede  ser  exactamente  igual  a  ninguno
de estos valores, porque implicaría cero altura piezométrica disponible para mover el flujo, y
por lo tanto se requeriría un diámetro real interno infinito (ver Ecuación 3).

De esta manera, si se desea considerar que el rango de valores del diámetro, en un caso real,
tiene un máximo, la expresión de la Ecuación 17 no se debe igualar a cero, sino a una altura
piezométrica disponible mínima necesaria para mover el flujo. Teniendo en cuenta la Ecuación
3, el flujo requerirá menos altura piezométrica para su movimiento mientras más grande sea el
diámetro real interno, de manera que si

es el máximo diámetro disponible en el

mercado, y

en el caudal demandado en el último nudo del sistema, entonces la mínima

altura piezométrica requerida para mover el flujo por la última tubería será:

(

)

(

∑

)

(

)

Ecuación 21

De manera que se tendrá una condición crítica como la mostrada en la Figura 4:

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Figura 4. Sistema de tuberías en serie con longitud conocida y con diámetro máximo.

Planteando las ecuaciones para el cálculo de

en el caso de un sistema de tuberías en

serie con longitud conocida y con diámetro máximo, se tendría que (la demostración completa
se encuentra en el Anexo 11.1):

(

)

(

)

(

)

Ecuación 22

Y haciendo un análisis análogo para la primera tubería se llegaría a la Ecuación 23, suponiendo
que (

)

ahora es calculado con

en vez de

, donde

es el caudal

total demandado en el sistema y que por lo tanto tendrá que pasar por la primera tubería:

(

)

Ecuación 23

Lo que implica que el dominio de para el sistema de tuberías en serie con longitudes no
diferenciales y conocidas y con diámetro máximo disponible es el descrito por la Ecuación 24:

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[ ]

[

(

)

(

)

(

)

]

Ecuación 24

En  la  Ecuación  24  se  puede  notar  que  el  intervalo  dominio  de  la  variable   se  encuentra
descrito  como  un  intervalo  cerrado,  indicando  que  para  este  caso  los valores  que  definen el
intervalo  son  valores        y       ,  y  a  la  vez         y            de
manera que la variable   puede ser inclusive exactamente igual a dichos valores, y aun así la
función           estará  definida  y  tendrá  sentido  físico  para  su  uso  en  el  diseño  de  las
tuberías.

De esta manera se tienen tres conjuntos de dominio de   (Ecuación 16, Ecuación 20 y Ecuación
24) que describen, dependiendo del sistema a considerar, el espacio de búsqueda de ese valor
óptimo  de   para  el  que  el diseño  de  la  tubería en  serie  minimizará  los  costos  constructivos
asociados. Es decir que en el caso de la determinación de los valores de los parámetros de una
RIDAP,  una  buena  política  sería  realizar  el  procedimiento  de  diseño  sugerido  por  I  Pai  Wu
(1975)  para  tuberías  en  serie  y  extendido  a  redes  abiertas  y cerradas  por  VILLALBA  (2004) y
OCHOA (2009), pero recorriendo todo el dominio de F, hasta encontrar la solución de menor
costo.

2.3 Estimación de la demanda en el sistema con métodos modernos

Una de las ramas de investigación relativa a RDAPs se encarga de estimar el comportamiento
de la demanda de dichos sistemas, para tener valores de demanda en cada nudo de la red más
ajustados a lo que ocurre en el prototipo, a fin de simular el comportamiento hidráulico típico
de  la  red  y  así  poder  simular  el  comportamiento  de  la  calidad  del  agua  en  términos  de
concentraciones  de  diferentes  sustancias,  formación  y  desprendimiento  de  películas  en  las
tuberías  y  demás  aspectos  importantes  para  asegurar  una  potabilidad  del  agua  entregada.
Teniendo en cuenta dicho objetivo, se han desarrollado metodologías para describir y predecir
la  demanda  en  cada  nudo  de  la  red,  y  como  resultado  se  ha  llegado,  en  algunos  casos,  a
metodologías que sirven para estimar la demanda en RIDAPs.

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2.3.1 Modelo de PRP (Poisson Rectangular Pulses)

El modelo de Pulsos Rectangulares de Poisson fue propuesto por Buchberger & Wu (1995) y
toma como base la teoría de colas cuyo uso más conocido es en la descripción de la dinámica
de un sistema de atención de llamadas (callcenter).

Teoría de colas

La teoría de  colas busca analizar la dinámica de  sistemas donde  ciertas  entidades  llegan con
una  distribución  de  probabilidad  dada,  y  buscan  ser  atendidas  por  un  cierto  número  de
servidores  que  tardan  un  tiempo  aleatorio  en  atender  a  cada  entidad,  de  manera  que  se
generan filas o colas de entidades esperando para ser atendidas por los servidores. Un sistema
de  formación  de  colas  queda  completamente  definido  si  se  conocen  cuatro  características
principales del sistema y dos características de la población a la que atiende:

: Función de probabilidad del tiempo entre llegadas de las entidades que esperan ser
atendidas al sistema.

: Función de probabilidad del tiempo de atención o servicio por parte de los
servidores del sistema.

: Número de servidores en el sistema.

: Disciplina de la fila. Se refiere a la manera como se selecciona la entidad que será
servida dentro del conjunto de entidades en espera, una vez se desocupe un servidor.

: Capacidad del sistema. Se refiere al número máximo de entidades que puede haber
dentro del sistema, incluyendo las entidades que están siendo servidas y las entidades
que están en cola.

: Tamaño de la población de la cual provienen las entidades que esperan ser
atendidas.

De esta manera surgió la notación de Kendall-Lee-Taha usualmente conocida como la notación
de Kendall, en la cual cada sistema tiene asignada una cadena de caracteres como se muestra
a continuación:

Ecuación 25

donde cada letra corresponde con la descripción hecha anteriormente, y existen una serie de
códigos asignados a valores específicos de cada característica:



Los valores relacionados con distribuciones de probabilidad ( , ) pueden tomar alguno
de los siguientes valores (CIACUA, 2011):

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: Distribución exponencial. (Se asigna una M para entender el proceso como
Markoviano).

: Distribución Erlang con fases.

: Distribución hiperexponencial con fases.

: Distribución Cox con fases.

: Distribución determinística.

: Distribución general. Se refiere a una distribución de probabilidad cualquiera.

: Distribución general con tiempos entre llegadas independientes.



Los valores numéricos ( , , ) toman valores enteros positivos, o infinito ( ) entendido
como un valor suficientemente grande en comparación con las demás variables del
análisis.



La disciplina de la fila ( ) puede tomar alguno de los siguientes valores:

: Las entidades son atendidas de acuerdo con el orden de llegada. (First In First
Out).

: Las entidades son atendidas de manera inversa al orden de llegada. (Last In
First Out).

: Las entidades son atendidas en un orden aleatorio. (Service In Random Order).

: La disciplina de la fila es general. Se refiere a una disciplina de fila cualquiera.
(General Discipline).

Así, existen soluciones analíticas a una serie de posibles sistemas, y soluciones numéricas para
otros cuantos. La solución de un sistema de colas, consiste en calcular el valor de una serie de
medidas de desempeño dentro de las que se encuentran la utilización promedio del sistema, el
número de entidades en el sistema en estado estable

, el tiempo promedio de estadía de una

entidad en el sistema en estado estable, y la probabilidad de tener entidades en el sistema en
estado estable (

). La solución de un gran número de estos sistemas se basa en la utilización

de Cadenas de Markov, que es una herramienta que permite calcular cada

suponiendo que

el sistema es un proceso de nacimiento y muerte, y las distribuciones del tiempo entre llegadas
y del tiempo de servicio son exponenciales.

Se entiende que un sistema está en estado estable si el valor de cada medida de desempeño no varía

con el paso del tiempo. Para su cálculo se calcula el límite de la medida de desempeño instantánea
cuando el tiempo tiende a infinito.

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Modelo

Buchberger & Wu (1995), propusieron este modelo, también denominado sistema de pérdidas
Erlang (Erlang’s loss system), para caracterizar la demanda de agua en una RIDAP
correspondiente a una única vivienda. Para ello define los aparatos sanitarios como servidores,
de manera que el tiempo de servicio corresponde con el tiempo de uso del aparato, y los
residentes de la vivienda como entidades que entran al sistema para ser “atendidos” por los
servidores.

De la notación, se puede deducir que tanto el tiempo entre llegadas de las personas (o de sus
necesidades) como el tiempo de servicio (o de uso) de cada aparato se distribuyen
exponencialmente, indicando que éstas siguen un proceso de Poisson con tasa igual al inverso
del valor esperado del tiempo:

[ ]

Ecuación 26

[ ]

Ecuación 27

Donde:

: Tasa de llegada de las personas al sistema. Corresponde al parámetro de la
distribución de Poisson que describe las llegadas.

: Tasa de servicio de los servidores. Corresponde al parámetro de la distribución de
Poisson que describe el servicio.

Además se deduce que el sistema está compuesto por   aparatos sanitarios, que la disciplina
de la cola no es de incumbencia, que el sistema tiene una capacidad máxima de    personas, y
que  la  población  se  considera  infinita.  De  lo  anterior  es  significativo  el  hecho  de  que  la
capacidad del sistema coincide con el número de servidores en el mismo, indicando que si una
persona  llega  al  sistema  y  nota  que  todos  los  aparatos  sanitarios  están  siendo  utilizados, no
hace ningún tipo de fila (dado que ya hay    personas en el sistema y no hay capacidad para
nadie  más),  y  por  lo  tanto  se  “pierde”  esa  llegada,  (de  donde  sale  el  nombre  de  Sistema  de
Pérdidas de Erlang).

En su investigación, Buchberger & Wu (1995), aplican la solución encontrada por Erlang para la
solución  del  sistema,  implicando  que  suponen,  además  de  lo  ya  expuesto,  que  la  tasa  de
llegada de personas es independiente del número de personas en el sistema, que el tiempo de
servicio de todos los servidores es independiente e idénticamente distribuido para todos y que
la  necesidad  de  un  usuario  puede  ser  satisfecha  por  cualquiera  de  los  servidores  (aparatos).
Como resultado del proceso encuentran la probabilidad de que haya   aparatos encendidos al
tiempo  en  la  vivienda,  y  a  continuación  presentan  una  aproximación  a  la  distribución  de
probabilidad de la intensidad de cada uso de un aparato, entendido como el caudal emitido en
el momento en que hay una persona en él. Para dicho resultado, de nuevo se supone que la

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intensidad de los usos de los aparatos es independiente e idénticamente distribuida para todos
los usos.

Como se puede notar, la metodología planteada por Buchberger & Wu (1995) se basa en una
serie de suposiciones que hacen que el modelo no se ajuste de manera suficiente al
comportamiento que se desea simular, dado su difícil cumplimiento en las condiciones reales
del prototipo. Si bien en el resto del documento Buchberger & Wu, presentan otros modelos
para un nivel de agregación mayor, para el caso de la estimación de demanda en RIDAPs, sólo
el modelo acá expuesto busca cumplir con este fin.

2.3.2 Modelo de NSRP (Neyman-Scott Rectangular Pulses)

Alcocer-Yamanaka  et  Al.  (2008),  presentan  un  modelo  un  tanto  diferente  del  propuesto  por
Buchberger & Wu (1995), al suponer la frecuencia de llegadas como un proceso de Neyman-
Scott.  Este  modelo  presenta  una  ventaja  significativa  al  permitir  diferentes  intervalos  de
tiempo  para  su  obtención,  por  lo  que  la  estimación  de  sus  parámetros  resulta  más  fácil  y
robusta. Sin embargo, y al igual que las demás investigaciones presentadas en esta sección, su
objetivo es estimar la demanda en un nudo de una RDAP que representa la demanda en una
cuadra o sector de edificaciones residenciales, y no en una única vivienda.

2.3.3 Modelo estocástico de uso último (stochastic end-use model)

Blokker  &  Vreeburg  (2005)  presentan  un  modelo  completamente  diferente  a  las
aproximaciones  hasta  el  momento  desarrolladas  por  los  investigadores,  al  proponer  una
estimación de los caudales de demanda en los nudos de una RDAP basada en conocimiento del
uso último del agua. Para ello utiliza mediciones hechas por diferentes encuestas y mediciones
realizadas  en  Holanda  (e.g.,  Foekema  &  Engelsman,  2001)  que  le  permiten  definir  ocho
posibles  usos últimos, los cuales  coinciden con los aparatos utilizados para ello, así como las
funciones  de  densidad  de  probabilidad  de  su  frecuencia,  duración  e  intensidad  (caudal
emitido) (Ver Tabla 4).

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Tabla 4. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo – Datos medidos en
Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b).

En sus posteriores investigaciones  (Blokker, 2006;  Blokker, 2010a;  Blokker, 2010b;  Blokker et
Al.,  2010;  Blokker  et  Al.,  2011)  desarrollan  y  muestran  un  software  denominado  SIMDEUM
(Simulation  of  water  demand,  an  end-use  model)  desarrollado  en  MATLAB,  cuyo  principal
objetivo es generar simulaciones de los caudales a lo largo del día que serán demandados en
un sector de una zona urbana con unas características específicas. Sin embargo, para ello hace
uso de una serie de mediciones que resultan de gran utilidad a la hora de analizar la demanda
en RIDAPs, tales como patrones diarios de consumo de agua y comportamiento humano.

En la Tabla 4, Blokker logra asignar a cada uso último una distribución de probabilidad para la
frecuencia de uso, para la duración de uso y para la intensidad de uso (caudal emitido). Esta
tabla resulta de mediciones realizadas en zonas residenciales de Holanda, y tiene como ventaja
respecto  a  las  demás  metodologías  de  estimación  de  demandas,  el  hecho  de  que  estas
mediciones  no  dependen  significativamente  de  la  ubicación  geográfica  del  sistema,  como  se
puede  ver  en  la  Tabla  5,  medida  en  Milford,  Ohio,  en  donde  los  parámetros  de  las
distribuciones y las mismas distribuciones no presentan diferencias significativas respecto a las
medidas en Holanda. Ello resulta muy conveniente a la hora de predecir la demanda de agua

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en  un  escenario  hipotético,  dado  que  no  requiere  de  mediciones  en  el  prototipo  para
caracterizar la demanda (cosa que si ocurre con los otros modelos, que presentan variaciones
significativas entre sistemas, de  acuerdo  con  su ubicación geográfica).  Además  Blokker et  Al.
(2011),  muestran  cómo utilizar el mismo modelo para la caracterización y posible predicción
de demandas en zonas no residenciales a partir de una recolección de datos muy similar a la
hecha para zonas residenciales.

Tabla 5. Frecuencia, duración e intensidad para siete de los ocho usos últimos definidos en el modelo – Datos
medidos en Milford, Ohio. (Blokker, 2010a).

Si bien Blokker presenta otros resultados potencialmente útiles para caracterizar la demanda
en  RIDAPS  (tanto  residenciales  como  no  residenciales),  tales  como  patrones  diarios
(distribuciones  de  frecuencia  de  cada  actividad  en  horas)  de  variables  como  la  duración  del
sueño  de  una  persona,  la  hora  en  la  que  se  levanta,  la  hora  en  la  que  sale  del  hogar  y  la
duración  fuera  de  éste  además  de  los  porcentajes  de  hogares  que  disponen  de  los  aparatos
asociados con cada uso último y las estadísticas de tamaño de hogar y su discriminación por
edad de los ocupantes; estos datos no son presentados en este documento dado que no son
utilizados directamente.

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2.3.4 Modelo estocástico de demanda aplicado a RIDAPs

García et Al., (2004), presentan un modelo de estimación de demanda en RDAPs basado en el
modelo de PRP propuesto por Buchberger & Wu (1995). Para este modelo, se supone que la
demanda de agua está representada por pulsos rectangulares de demanda constante que
pueden ocurrir de manera tal que en un instante dado de tiempo están ocurriendo a la vez
varios de estos pulsos (ver Figura 5), y por lo tanto la demanda total en dicho instante resulta
ser la suma de las intensidades de cada uno de los pulsos que están ocurriendo.

Figura 5. Modelo de Pulsos Rectangulares de Poisson (PRP). (GARCÍA et Al, 2004).

García  et  Al.,  (2004),  suponen  que  la  duración  de  cada  pulso  de  demanda  se  distribuye  de
manera  exponencial  mientras  la  intensidad  de  cada  pulso  (caudal  emitido)  se  distribuye
Weibull. Estas dos  suposiciones  se  basan en mediciones  realizadas por otras investigaciones,
aunque  los  parámetros  de  cada  una  de  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  son
calculados para los casos de estudio presentados por García et Al. Respecto a la frecuencia de
aparición  de  los  pulsos,  el  modelo  PRP  supone  que  la  distribución  de  la  frecuencia  sigue  un
proceso de Poisson no homogéneo, de manera que el número de pulsos por unidad de tiempo
se puede calcular a partir de la Ecuación 28.

Ecuación 28

[

] [ ]

Ecuación 29

donde

: Número de pulsos por unidad de tiempo.

Basado en: CIACUA (2011) y García et Al.(2004).

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: Valor esperado del número de pulsos en un día.

: Componente aleatorio de la frecuencia. Tiene valor esperado igual a cero.

: Función que distribuye el total de pulsos diarios a lo largo del día. Cumple que:

∫

: Parámetros de la función de distribución de pulsos a lo largo del día.

: Instante de tiempo en que se desea conocer la frecuencia de aparición de pulsos.
Se mide desde el inicio de día en horas.

De esta manera García et Al. plantean una metodología de estimación de los parámetros de su
modelo, aplicándola a dos casos de estudio en Milford, Ohio y Valencia, España. Los resultados
de dicha investigación son adoptados por CIACUA (2011) para desarrollar una metodología de
diseño de RIDAPS. CIACUA plantea el problema de la estimación de demandas de diseño
considerando lo siguiente:

Si  se  supone  que  un  aparato  sólo  tiene  dos  posibles  configuraciones
(encendido/apagado),  y  se  tiene  una  RIDAP  con    nudos  de  demanda  con  solo
aparato  conectado  a  cada  uno,  entonces  el  número  de  posibles  escenarios  de
demanda

Se entiende que un escenario    es        de otro escenario    cuando el conjunto de
nudos  encendidos en  el  estado    es  subconjunto  del  conjunto  de  nudos  encendidos
en  el  estado    .  Dicha  relación  de          representa  que  el  escenario     es
indiscutiblemente  más  demandante  hidráulicamente  que  el  escenario   ,  y  por  lo
tanto un diseño que cumpla con los requerimientos hidráulicos de   , necesariamente
cumplirá  con  los  requerimientos  hidráulicos  de   .  Además  es  claro  que  la  relación
      es transitiva, es decir que si   es       de   y   es       de  , entonces   es
      de  . Haciendo posible que se puedan ordenar los

posibles escenarios de

demanda de acuerdo con la relación , de la siguiente manera:

Escenario de demanda: Configuración de aparatos encendidos y apagados que están demandando

agua a la RIDAP. Ver Sección 2.1.2.

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En el diagrama se entiende que, cada rectángulo con 5 casillas representa un escenario de demanda, en donde las
casillas con valor representan que el nudo está apagado y las casillas con valor representan que el nudo está
encendido; además una flecha que parte del escenario hacia el escenario significa que es de .

Figura 6. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una RIDAP con .

En  la  Figura  6  se  puede  notar  cómo  se  genera  una  clasificación  natural  de  los
escenarios de acuerdo con el número de nudos encendidos que tiene cada uno. Para
ello se definirá cada uno de estos conjuntos de escenarios con igual número de nudos
encendidos  como           ,  donde     es  precisamente  el  número  de  nudos
encendidos      {             } .

Utilizando el modelo y los datos encontrados por García et Al., (2004), además de una
analogía  a  la  Teoría  de  Colas,  y  más  específicamente  a  las  Cadenas  de  Markov,  se
puede  calcular  la  probabilidad  en  estado  estable  de  que  el  sistema  (la  RIDAP),  se
encuentre  bajo  un  escenario  de  demanda  perteneciente  a  un         .  Para  ello  la
cadena de Markov utilizada tiene el siguiente diagrama de transición de estados:

̅ : Probabilidad de que en el siguiente intervalo de tiempo se encienda un nudo que antes estaba apagado, en la
RIDAP. (Asociada con la frecuencia de aparición de pulsos).
̅ : Probabilidad de que en el siguiente intervalo de tiempo se apague un nudo que antes estaba encendido, en la
RIDAP. (Asociada con la duración de los pulsos).
: Probabilidad de que en el siguiente intervalo de tiempo, la RIDAP siga con la misma cantidad de nudos
encendidos.
Los círculos representan un estado con aparatos encendidos.

{ }

Figura 7. Diagrama de transición estados para una cadena de Markov asociada a una RIDAP con .

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Conociendo el diagrama de transición de estados es posible calcular las probabilidades
en  estado  estable  de  cada  uno  de  los  estados,  teniendo  en  cuenta  que  para  cada
estado se debe cumplir que todas las probabilidades salientes sumen    , haciéndose
posible  el  planteamiento  de  tantas  ecuaciones  como  estados  haya  (ecuaciones  de
balance),  pero  dado  que  estas  ecuaciones  son  linealmente  dependientes  se  debe
prescindir de una, tomando en su lugar la ecuación de normalización, que asegura que
las probabilidades de estado estable de todos los estados sumen    . De esta manera
se  tienen  tantas  ecuaciones  como  estados,  y  tantas  incógnitas  como  estados
(probabilidad en estado estable de cada uno), haciendo posible la solución del sistema
de ecuaciones.

Al  aplicar  el  cálculo  de  las  probabilidades  de  cada  estado  al  caso  de  las  RIDAPs,  es
posible asignar a cada fila de la Figura 6 una probabilidad en estado estable, y teniendo
en cuenta que  un diseño de  la RIDAP que cumpla con los requerimientos hidráulicos
para  el  estado  ,  necesariamente  cumplirá  los  requisitos  de  los  estados {
      }, se hace posible calcular la probabilidad de falla del sistema con dicho diseño
como:

∑

Ecuación 30

donde:

: Probabilidad de falla del sistema diseñado para cumplir con los

requerimientos hidráulicos de todos los escenarios de estado .

: Probabilidad de que el sistema este en el estado (bajo alguno de sus

escenarios) en estado estable.

: Máximo estado posible en la RIDAP. Coincide con el número de nudos de la
red .

: Estado para el cual el diseño cumple con los requisitos hidráulicos.

Teniendo  en  cuenta  la  posibilidad  de  calcular  la  probabilidad  de  falla  de  un  diseño
generado  a  partir  de  un                    (conjunto  de  escenarios  de  diseño
pertenecientes  a  un  mismo  estado),  es  posible  determinar  el  valor  de   para  que  la
probabilidad de falla del sistema diseñado sea igual o menor a la aceptable. Para ello
basta calcular la distribución acumulada de cada posible estado, tomando como estado
de  diseño  el  estado  de  mínimo   que  cumpla  con  que  su  probabilidad  acumulada
supera el valor (

El análisis anteriormente descrito fue hecho por CIACUA en su investigación, y en ella incluyen
el desarrollo de un software capaz de implementar la metodología propuesta (denominado
RIDAPS), en conjunto con una metodología de optimización de costos constructivos (ver

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Sección  2.2.2).  Es  importante  aclarar  que  la  metodología  propuesta  por  CIACUA  tiene  un
inconveniente  a  la  hora  de  su  implementación,  que  consiste  en  la  aproximación  de  los
caudales correspondientes al estado de diseño, dado el tamaño que pueden alcanzar algunos
estados de diseño (el número de escenarios de un estado   se calcula como           , que
en el caso de una RIDAP con         y un estado de diseño      , resulta en un tamaño de
estado  de     ,  implicando      escenarios  de  diseño  y  por  lo  tanto  un  número  de
ejecuciones  hidráulicas  y  de  cálculos  numéricos  considerablemente  grande).  Dicha
aproximación y su consecuente consideración por parte de CIACUA, puede derivar en diseños
no  ajustados  al  comportamiento  esperado  de  la  demanda,  si  se  escogen  mal  algunos
parámetros del método de aproximación.

Por otro lado tiene como desventaja conceptual, el hecho de basarse en la metodología de
García et Al., (2004), la cual es originalmente desarrollada para RDAPs, y así supone que tanto
la duración como el tiempo entre arribos de usos se distribuyen de manera exponencial

. Así

mismo la modelación con cadenas de Markov, supone que una necesidad que llega al sistema,
puede ser atendida por cualquier servidor (aparato) libre. Además, el método de aproximación
anteriormente  mencionado  fue  desarrollado  con  base  en  demandas  en  los  nudos
independientes e idénticamente distribuidas, y aunque el software RIDAPS permite diferentes
valores  esperados  para  las  duraciones  de  los  pulsos,  es  posible  que  el  algoritmo  de
aproximación  no  funcione  bien  bajo  dicha  condición  con  los  valores  de  los  parámetros
sugeridos en la investigación.

Para un proceso de Poisson, como el de apariciones de pulsos, el tiempo entre arribos se distribuye

exponencial con media igual al inverso multiplicativo del valor esperado de la frecuencia de llegada.

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3 Metodología de modelación propuesta

3.1 Modelación de los aparatos sanitarios

Una  RIDAP  típica  tiene  conectados  a  sus  nudos  aparatos  sanitarios  tales  como  lavamanos,
inodoros,  duchas, tinas,  lavaplatos,  llaves en  general  y  aparatos  como  lavaplatos eléctricos y
lavadoras. Dada la naturaleza de estos aparatos, se puede observar que el caudal de salida o
caudal emitido por cada uno de estos aparatos no es un valor constante independiente de las
condiciones del flujo en la RIDAP, o de la manera como el usuario lo configura (porcentaje de
apertura de válvula en el caso de llaves). De hecho para una configuración dada del aparato,
Acero  (2009),  encontró  que  el  caudal  emitido  se  ajusta  al  comportamiento  hidráulico  de  un
emisor, regido por la Ecuación 1.

Sin  embargo,  en  la  operación  normal  de  una  RIDAP,  cada  uso  de  un  mismo  aparato  puede
tener una configuración diferente de éste. En el caso de un lavamos, por ejemplo, la apertura
de  la  válvula  que  controla  el  caudal  emitido  no  es  igual  en  cada  ocasión  en  que  se  utiliza  el
aparato.  Ello  implica  que  el  estudio  de  Acero  (2009)  sólo  describe  el  comportamiento
hidráulico de los aparatos sanitarios bajo una configuración dada, y dado que existen aparatos
con  un  sinnúmero  de  posibles  configuraciones,  en  principio  deben  existir  un  sinnúmero  de
curvas  similares  a  las  encontradas  en  dicha  investigación  para  aquellos  aparatos  donde  la
apertura de válvula es variable. En la Figura 8 se puede ver esquemáticamente como varía la
relación  entre  caudal  emitido  y  altura  piezométrica aguas  arriba  del  aparato  para  diferentes
porcentajes de apertura de válvula.

Figura 8. Relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato, para diferentes

porcentajes de apertura de válvula de un mismo aparato.

Porcentaje de

apertura de

válvula:

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El uso práctico de un potencial estudio de las propiedades hidráulicas de un aparato sanitario
que busque ajustarse a un comportamiento similar al mostrado en la Figura 8, tendría que
incluir

una

función

densidad

probabilidad

para

variable

                          ,  de  manera  que  se  pudiese  calcular  la  probabilidad
asociada  a  cada  curva,  y  así  se  calculara  la  función  de  densidad  de  probabilidad  del
             para una altura piezométrica aguas arriba del aparato conocida.

Sin embargo para problemas como el de estimación de la demanda para diseño, es posible y
necesario simplificar el anterior modelo de manera que se tenga en cuenta el comportamiento
de  emisor  del  aparato  sin  tener  en  cuenta  todos  los  porcentajes  de  apertura  de  válvula
posibles.  Para  ello  se  propone  asignar  una  única  relación  de                  vs
                   que  represente  un  comportamiento  “típico”  de  uso  del  aparato.  La
definición de “típico” puede  resultar ambigua y por lo tanto, para esta propuesta se  plantea
considerar como ciertas las siguientes observaciones:

La reacción esperada de un usuario que nota una baja presión (Altura piezométrica) en
el  aparato,  es  abrir  la válvula  a  su  máximo  para  lograr  aumentar  el caudal  emitido y
esperar  que  dicho  caudal,  después  de  la  apertura  total,  resulte  mayor  al
                     , entendido como el mínimo caudal que el usuario espera
recibir de su aparato sanitario sin que se éste considere que el sistema de distribución
de agua potable está presentando una falla o un mal funcionamiento.

La reacción esperada de un usuario que nota una presión demasiado grande en el
aparato, es cerrar la válvula hasta un porcentaje tal, que el caudal emitido, después del
cierre parcial, resulte menor al , entendido como el
máximo caudal que el usuario está dispuesto a recibir de su aparato sanitario sin que
se éste considere incómoda la presión y velocidad del flujo emitido por dicho aparato.

A partir de estas dos suposiciones, se pueden inferir dos partes de la curva que representa la
relación única de vs típica del uso de aparatos
sanitarios con apertura de válvula variable (curva única)

. Así, para presiones inferiores a la

presión  que  asegura  que  el  caudal  emitido  por  el  aparato  sea  igual  al
                      cuando el                              es igual a     ,
se  tiene  que  la  curva única coincide con la curva del
  .  Además  para  presiones  mayores  a  una  presión  ,  la  curva  única  será  una  línea
horizontal de caudal emitido constante igual al                       (ver Figura 9).

Se debe notar que se está suponiendo, de manera implícita, que los valores de caudal mínimo

admisible y caudal máximo admisible, así como otras constantes utilizadas más adelante, son iguales
para todos los usuarios del sistema.

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Figura 9. Partes de la curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato,

para aparatos con apertura de válvula variable.

Dado que es necesario conocer la parte intermedia de la curva, así como la presión   a partir
de la cual el caudal emitido es constante, se hace necesario hacer alguna suposición adicional
respecto  al  comportamiento  típico  de  los  usuarios  o  bien  realizar  observaciones  de  uso  de
aparatos con apertura de válvula variable, notando los porcentajes de apertura más comunes
y/o necesarios para un comportamiento aceptable del aparato. Sin embargo, para el problema
de estimación de la demanda para diseño, el comportamiento crítico sería aquel en el que se
considerara un porcentaje de apertura de válvula igual al      para las presiones intermedias
de  la  curva  única.  Ello  implicaría  que  la  presión   es  la  presión  necesaria  para  que  el  caudal
emitido

por

aparato

sea

igual

al cuando

es igual a .

De  esta  manera  la  curva  única  a  considerar  para  el  problema  de  estimación  de  la  demanda
para  diseño,  en  caso  de  que  no  se  disponga  de  observaciones  de  uso  del  aparato  para
aperturas de válvula comunes, sería la curva con apertura de válvula del      hasta llegar al
                      a  partir  del  cual  la  curva  se  torna  horizontal  asegurando  que  el
caudal  emitido  no  supera  al  máximo  admisible  (ver  Figura  10).  Se  debe  tener  presente  que
dicha  curva  única  es  útil  solamente  para  los  aparatos  sanitarios  con  apertura  de  válvula
variable,  y  que  para  aparatos  con  apertura  de  válvula  constante  y/o  binaria  (o  totalmente
cerrada  o  totalmente  abierta)  no  hace  falta  realizar  ninguna  suposición  respecto  al
comportamiento  típico  de  la  demanda,  dado  que  ya  se  dispone  de  una  única  curva  que
caracteriza la relación                vs                  .

Caud

iti

Altura piezométrica aguas arriba del aparato

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

Curva única

Caudal máximo admisible

Caudal mínimo admisible

Presión X

Porcentaje de

apertura de

válvula:

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Figura 10. Curva única de relación entre Caudal Emitido y Altura piezométrica aguas arriba del aparato, para

aparatos con apertura de válvula variable, para el problema de estimación de demanda para diseño.

Independientemente de la manera como se haga, lo que se debe tener presente es que la
representación moderna de aparatos sanitarios debe asignar, no un caudal emitido constante,
sino una relación vs que según los resultados de Acero
(2009) se ajusta mucho mejor al comportamiento hidráulico observado de éstos.

3.2 Modelación de la simultaneidad de uso de los aparatos

El  diseño  de  una  RIDAP  tiene,  como  principal  problema,  la  naturaleza  estocástica  de  la
demanda  que  dificulta  la  estimación  de  escenarios  de  diseño  para  una  probabilidad  de  falla
dada.  Dicho  problema  se  ve  representado  en  la  simultaneidad  de  uso  de  los  aparatos,  dado
que la probabilidad de ocurrencia de cada posible escenario de demanda es función de cuáles
aparatos  están  encendidos,  entendiéndose  como  la  probabilidad  de  que  dichos  aparatos
encendidos estén siendo utilizados de manera simultánea por los usuarios de la edificación.

3.2.1 Modelo basado en Blokker

Utilizando  mediciones  hechas  en  Holanda  (Tabla  6)  y  Estados  Unidos,  Blokker  asigna  a  cada
aparato sanitario una función de densidad de probabilidad para la           de uso y para la
         de uso diaria por persona de dicho aparato. Si bien Blokker también asigna una
función  de  densidad  de  probabilidad  para  la            de  uso  (caudal  emitido)  de  cada
aparato, los resultados de Acero (2009) respecto al comportamiento hidráulico de los aparatos

Caud

iti

Altura piezométrica aguas arriba del aparato

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

Curva única

Caudal máximo admisible

Caudal mínimo admisible

Porcentaje de

apertura de

válvula:

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muestran que una modelación utilizando emisores representa mejor el comportamiento
observado, y por lo tanto para la representación de la variable se recomienda el
uso del análisis de la Sección 3.1.

Tabla 6. Frecuencia, duración e intensidad para los ocho usos últimos definidos en el modelo – Datos medidos en
Holanda. (Blokker, 2006, 2010a y 2010b).

Duración

Si se supone que la          de uso de un aparato depende de los posibles usos últimos que
se hagan de éste, y teniendo en cuenta las estadísticas mostradas por Blokker para cada uno
de esos usos últimos, se hace necesario estimar una división del total de usos del aparato en
esos  usos  últimos  de  manera  que  se  pueda  estimar  una  única  función  de  densidad  de
probabilidad para la duración de uso del aparato. Por ejemplo, utilizando los datos de la Tabla
6  para  un  lavamanos  (Bathroom  tap),  se  tienen  dos  duraciones  medias  de  uso  para  dos
posibles usos de un lavamanos: Lavarse y afeitarse o Cepillarse los dientes. Es decir que en este
caso  se  debe  estimar  qué  porcentaje  del  total  de  usos  de  un  lavamanos  es  para  Lavarse  y
afeitarse y qué porcentaje del total de usos de un lavamanos es para Cepillarse los dientes.

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Una vez estimados los porcentajes de cada uso último del aparato, se pueden calcular los
valores de los parámetros de la función de densidad de probabilidad que representará todos
los usos del aparato. Así, por ejemplo, si para un lavamanos se estima que el 60% de los usos
corresponde a Lavarse y afeitarse, y el 40% restante es para Cepillarse los dientes, entonces el
valor esperado de la duración de un uso puede calcularse como:

Y teniendo en cuenta que Blokker propone como Coeficiente de Variación de la duración de
uso del lavamanos un valor de , se puede calcular la desviación estándar de la
duración de uso como:

De manera que la distribución Lognormal asignada para la duración de uso de un lavamanos
queda totalmente definida y cumpliendo el requerimiento de que sea única para el aparato.

Frecuencia

Para  la             de  uso  del  aparato,  los  datos  de  Blokker  ya  vienen  asignados  con  una
única  distribución  para  cada  aparato.  Sin  embargo  dicha  distribución  está  en  unidades  de
                      o en el caso del lavaplatos en                    , y ello representa
un inconveniente a la hora de estimar escenarios de diseño, dado que esas frecuencias pueden
y,  de  hecho  usualmente, están  concentradas en  algunas  horas  del  día.  Esa concentración  de
frecuencia  es  precisamente  la  razón  por  la  que  García  et  Al.  (2004),  plantea  la  curva  de  la
Ecuación 29.

El inconveniente de la curva de García et Al. (2004) de distribución temporal de la frecuencia,
radica en que los datos medidos en dicha investigación corresponden a hogares y RIDAPs
completas, y no a aparatos sanitarios por separado. Es por ello que se requieren curvas de
distribución temporal de la frecuencia para cada tipo de aparato, entendidas como:

Del total de usos que se espera tenga el aparato sanitario , qué porcentaje se espera
que ocurra en el instante de tiempo .

Dichas curvas pueden ser diferentes entre días laborales y días no laborales, pero en principio
no existen razones para esperar una diferencia causada por otra razón. Esa posible diferencia
entre días laborales y no laborales, puede implicar la evaluación de la simultaneidad de uso

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para ambos casos, dado que es posible que los escenarios de diseño resultado de utilizar una
curva sean más o menos exigentes que si se utilizara otra, y ello podría conducir a posibles
subestimaciones del diseño.

Por  otro  lado,  la  naturaleza  de  dichas  curvas  es  la  de  representar  patrones  diarios  de
comportamiento humano tales  como horas de  sueño, horas de  bañado, horas  de  ausencia y
presencia en la edificación, horas de disponibilidad o necesidad de uso de un aparato sanitario
etcétera, y por lo tanto una buena aproximación a dichas curvas es una discretización de las
mismas  en  intervalos  de     horas  que  son  los  que  rigen  en  buena  medida,  muchos  de  los
comportamientos anteriormente descritos.

Una  ventaja  intrínseca  de  la  discretización  de  la  curva,  es  que  el  valor  asignado  a  cada  hora
corresponde al porcentaje del total de usos que se espera que ocurran a esa hora de manera
que son menores o a lo sumo iguales a    , y aseguran que la suma total sea    , a diferencia
de  una  curva  continua  donde  la  integral  total  es  igual  a    ,  pero  puede  tener  valores
superiores  a     para  algunas  horas.  Esos  porcentajes  de  la  curva  discretizada  resultan
especialmente útiles para asignar una frecuencia de uso a cada hora, dado que simplifican el
proceso a una multiplicación del parámetro de la función de frecuencia con el porcentaje de la
hora  seleccionada.  Por  ejemplo,  si  se  supone  que  la  curva  de  distribución  temporal  de  la
frecuencia para un lavamanos es la presentada en la Figura 11, y se tiene en cuenta que según
la Tabla 6, la frecuencia diaria de uso por persona es de                           , entonces
la  frecuencia  horaria  de  uso  por  persona  se  podrá  calcular  como  la  multiplicación  del
porcentaje de usos de cada hora, por la frecuencia diaria de usos, generando como resultado
para cada hora, la serie mostrada en la Figura 12.

Figura 11. Distribución temporal supuesta de la frecuencia de uso de un lavamanos.

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

:00

Por

taje

sos

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Figura 12. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona de un lavamanos.

De esta manera es posible evaluar la concentración de usos a lo largo del día, en vez de
suponer una distribución uniforme de la frecuencia que resultaría en una frecuencia horaria de

⁄

, la cual

resulta considerablemente menor que la máxima frecuencia presentada en la Figura 12

⁄

Sin  embargo  hasta  ahora  todas  las  frecuencias  encontradas  se  encuentran  en  unidades  de
frecuencia por persona, y por lo tanto para el cálculo de la frecuencia efectiva de  uso de  un
aparato sanitario, es necesario conocer el número de personas aferentes a dicho aparato. Así,
por ejemplo, si un lavamanos puede ser utilizado por un total de tres personas, las frecuencias
efectivas de  llegadas de  usos al aparato serán  el producto de  las frecuencias de  la  Figura 12
con el número de personas que lo puede utilizar (tres en este caso), llegando a una serie de
frecuencias totales mostrada en la Figura 13:

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

:00

sos/

rson

a))

Hora

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Figura 13. Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso de un lavamanos.

Probabilidad de uso

Una  vez  se  conocen  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  para  la          y  la
         de uso, es posible calcular la probabilidad de que en un instante dado el aparato
esté siendo utilizado por un usuario. Para ello se utiliza una variable de desempeño de una cola
según la Teoría de Colas, denominada             o                      , entendida como
la fracción promedio del tiempo en que el sistema de atención a la cola está siendo ocupado.
Dicha variable está relacionada con esa probabilidad mencionada anteriormente de que en un
instante dado el sistema esté en uso, según la Ecuación 31:

Ecuación 31

donde:

: Probabilidad de que en un instante dado de tiempo el aparato se encuentre en uso.

: Utilización o Factor de Utilización del aparato.

: Tasa promedio de llegadas de usos al aparato. Se calcula como:

[ ]

: Tasa promedio de servicio del aparato. Se calcula como:

[ ]

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

:00

sos/

)

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Así, se puede calcular esa probabilidad de uso de cada aparato para cada hora del día como el
producto de la duración promedio de uso del aparato y la frecuencia horaria total (incluyendo
el número de personas), de manera que en el caso de un lavamanos con duración promedio de
uso

y con frecuencias horarias totales descritas por la serie de la Figura 13, se

tiene una serie de tiempo de la utilización como la mostrada en la Figura 14:

Figura 14. Serie de tiempo de la utilización de un lavamanos.

Probabilidades conjuntas de uso (Simultaneidad)

Utilizando  los  resultados  de  cálculo  de  las  probabilidades  de  uso  de  cada  aparato,  descritas
para  cada  hora  del  día,  es  posible  calcular  las  probabilidades  conjuntas  de  un  sistema,
haciendo una serie de suposiciones que simplifican el comportamiento real del prototipo a un
modelo  fácilmente  calculable.  Así,  si  se  suponen  conocidas  las  series  de  tiempo  de  la
utilización de cada aparato presente en un sistema, se pueden calcular las probabilidades de
cada  posible  escenario  del  sistema,  suponiendo  total  independencia  entre  los  usos  de  los
todos los aparatos sanitarios.

De esta manera, si se tiene un sistema con los siguientes aparatos sanitarios:

{

}

conectados a los nudos de la RIDAP, entonces la probabilidad de un escenario cualquiera,
en una hora dada, puede ser calculada como:

(

⁄

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

:00

Uti

lizac

ió

()

Hora

Utilización Lavamanos

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∏

Ecuación 32

donde:

: Probabilidad del escenario dado en la hora .

⁄

: Posibles configuraciones de un aparato. El aparato puede estar encendido

o apagado .

: Utilización del aparato en la hora . Es igual a la probabilidad de uso del

aparato en la hora .

: Probabilidad de NO uso del aparato en la hora . Es el complemento de

la probabilidad de uso.

De la Ecuación 32, se puede concluir que se está aplicando la suposición de independencia
entre eventos al considerar la probabilidad conjunta como el producto de las probabilidades
individuales de cada aparato. Si bien esta suposición puede ser bastante discutible en el caso
de las RIDAPS, con ella se hace posible calcular la probabilidad de cada uno de los

posibles

escenarios de la RIDAP, asegurándose de que la suma de todas esas probabilidades da como
resultado . Esto quiere decir que este modelo permite una caracterización estocástica de
los escenarios de la red, permitiendo una asignación de funciones de densidad de probabilidad
diferentes a la Exponencial para la duración y la frecuencia de uso, de manera que se puede
presentar un mejor ajuste entre datos medidos y datos simulados, a partir de funciones de
densidad de probabilidad más ajustadas al comportamiento medido de los usos (e.g., Tabla 6).

Otra ventaja respecto a otros métodos de caracterización de la demanda como el planteado
por CIACUA (2011), es el hecho de no asignar una misma probabilidad de ocurrencia para
cualquier escenario con el mismo número de aparatos encendidos, lo que es una mejor
aproximación al comportamiento esperado de una RIDAP real.

Por otro lado, para pasar de escenarios de demanda a caudales en los tubos de la red, basta
simular  la  respuesta  hidráulica  de  la  red  para  cada  posible  escenario,  haciendo  uso  de  la
caracterización  del  comportamiento  hidráulico  de  los  aparatos  hecha  en  la  Sección  3.1,  y  de
esta manera, para un tubo dado, la función de densidad de probabilidad del caudal que debe
transportar,  puede  ser  calculada  relacionando  el  caudal  que  pasa  por  dicho  tubo  según  la
simulación  hidráulica  de  la  red  para  cada  escenario  con  la  probabilidad  asociada  con  la
ocurrencia del escenario simulado.

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3.2.2 Modelo basado en Blokker con simulación de eventos discretos

Si  bien  el  modelo  descrito  en  la  Sección  3.2.1  representa  un  avance  en  la  simulación  de  la
simultaneidad de uso de los aparatos sanitarios en una RIDAP, éste se basa en una suposición
bastante  discutible  para  algunos  casos  de  análisis  de  una  RIDAP  real.  Así,  suponer  total
independencia  entre  los  usos  de  los  aparatos,  puede  alejarse  de  la  realidad  en  el  caso  de
sistemas pequeños ubicados en unidades residenciales, por ejemplo.

Para entender mejor el problema de dicha suposición, se puede considerar el caso de un baño
residencial  con  un  lavamanos,  un  inodoro  y  una  ducha.  Según  el  anterior  modelo,  la
probabilidad de que los tres aparatos se encuentren descargando al tiempo, se calcula como el
producto de la probabilidad de que la ducha esté descargando, con la probabilidad de que el
inodoro  esté  descargando  y  con  la  probabilidad  de  que  el  lavamanos  esté  descargando.  Sin
embargo,  el  comportamiento  esperado  de  un  usuario  que  está  utilizando  la  ducha,  por
ejemplo,  es  el  de  cerrar  la  puerta  del  baño,  denegando  la entrada  a otro  usuario  que  desee
utilizar  el  lavamanos  o  el  inodoro.  Así,  la  probabilidad  de  que  el  lavamanos  y/o  el  inodoro
también  estén  descargando  sería  nula,  dada  la  manera  activa  en  que  se  restringe  su  uso
cuando se usa una ducha.

Para  mejorar  en  este  aspecto  el  modelo  basado  en  Blokker,  se  hace  necesario  utilizar
simulación  de  eventos  discretos,  que  es  básicamente  una  herramienta  para  el  análisis  de
sistemas  difícilmente  representables  con  modelos  analíticos.  En  estos  casos  se  prefiere  una
simulación basada en las capacidades actuales de los computadores para procesar datos  que
permiten acelerar el tiempo de simulación de un sistema y así concluir con base en resultados
numéricos  que  representan  comportamientos  del  sistema  ante  diferentes  condiciones  de
entrada.

Este tipo de modelos se basa en una representación del sistema mediante entidades, eventos
y  actividades,  que  se  asemejan  a  la  programación  mediante  el  paradigma  de  POO
(programación  orientada  a  objetos),  y  se  basa  en  interacciones  entre  diferentes  entidades  u
objetos haciendo que el resultado global sea gobernado por esas interacciones, y no por una
fórmula o planteamiento matemático explícitamente escrito. Para su implementación existen
diferentes programas que permiten realizar simulaciones de eventos discretos, pero quizás el
más utilizado en el ámbito de la investigación de operaciones (rama de la ingeniería con mayor
uso  de  estas  herramientas),  es  el  desarrollado  por  Rockwell  Automation,  Inc.  denominado
ARENA.

Programa ARENA

El programa ARENA es un programa de simulación de eventos discretos ampliamente utilizado
en diferentes problemas de la investigación de operaciones. Este programa define una serie de
procesos, que son objetos que actúan activamente con las entidades de manera que rigen la

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dinámica del sistema con sus acciones. Dentro de los principales procesos que tiene el
programa, y que resultan de alguna utilidad para la modelación de RIDAPS se encuentran:

Tabla 7. Principales procedimientos del programa ARENA para simulación de eventos discretos.

Create:

Es el procedimiento encargado de crear entidades siguiendo
algún patrón de frecuencia o alguna distribución del tiempo
entre arribos (creación de entidades).

Assign:

Es el procedimiento encargado de asignar un cierto valor a los
atributos de las entidades o a variables globales del sistema,
cada vez que alguna condición se cumple o que alguna entidad
pasa por dicho procedimiento.

Process:

Es  el  procedimiento  encargado  de  simular  un  proceso  o  tarea
que  requiere  un  cierto  tiempo  y  unos  ciertos  recursos.  Se
encarga  de  registrar  el  tiempo  de  utilización  de  un  recurso
registrándolo  como  “No  disponible”  hasta  después  de  que  la
entidad  que  ha  entrado  al  procedimiento  lo  desocupa.
También  retrasa  el  avance  de  las  entidades  que  entran,  un
tiempo  igual  al  tiempo  de  ocupación  del  recurso.  También
registra las estadísticas de una cola de entidades que se forma
para pasar por esa tarea.

Decide:

Es  el  procedimiento  encargado  de  evaluar  una  condición  de
una variable global o de un atributo de la entidad que pasa por
este procedimiento, de manera que asigna un camino a seguir
para  la  entidad  en  cuestión  dependiendo  del  resultado  del
condicional.  Puede  modelar  condiciones  de  más  de  dos
opciones, evitando la anidación de procedimientos similares.

Hold:

Es  el  procedimiento  encargado  de  retener  una  o  varias
entidades  que  pasan  por  este  procedimiento  hasta  que  se
cumpla  una  condición  dada.  Permite  registrar  estadísticas  de
una  cola  de  entidades  que  se  forma  en  espera  de  que  la
condición para ser liberadas se cumpla.

Dispose:

Es el procedimiento encargado de eliminar entidades que
llegan a este procedimiento, tomando estadísticas de tiempos
entre llegadas de entidades. Se utiliza para facilitar la liberación
de memoria del computador después de cada ejecución.

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Por  otro  lado,  el  programa  permite  seleccionar  las  condiciones  de  finalización  de  una
simulación, ya sea por el cumplimiento de una condición, o por la finalización de un periodo de
tiempo  de  análisis.  Además  permite  seleccionar  el  número  de  simulaciones  que  se  desea
realizar  en  una  misma  ejecución  del  programa,  permitiendo  así  calcular  estadísticas  de
diferentes variables de estudio del sistema.

Metodología utilizando simulación de eventos discretos

La metodología de análisis de la simultaneidad de uso de los aparatos de una RIDAP utilizando
simulación de eventos discretos consiste en una creación de un modelo para cada conjunto de
nudos que tenga una dependencia entre sus usos. Dicho modelo debe representar esa
dependencia de manera efectiva, para que las simulaciones que haga el programa sean lo más
ajustadas a la realidad.

Una vez se tenga un modelo que represente aceptablemente las condiciones de dependencia
deseadas,  se  deben  ingresar  los  parámetros  de  caracterización  de  la  demanda  de  cada
aparato,  asegurándose  de  que  cada  uso  de  un  aparato  tenga  asignada  las  funciones  de
densidad de probabilidad medidas en un estudio como el presentado en la Tabla 6. Para ello se
recomienda  poner  en  el  modelo,  tantos           como  aparatos  haya  en  el  sistema,
asignándole a cada uno la función de probabilidad que mejor describe la frecuencia de llegada
de  usos.  Una  ventaja  del  programa  ARENA,  es  que  permite  que  el        tenga  series  de
tiempo de frecuencia de llegada, de manera que es fácilmente acoplable un resultado como el
mostrado en la Figura 14.

Existen  algunas  excepciones  a  la  anterior  regla,  y  estas  tienen  que  ver  con  algunas
consideraciones analíticas que permiten reducir el número de         sin afectar la respuesta
del modelo. La primera excepción aplica cuando diferentes aparatos tienen una misma función
de  densidad  de  probabilidad  para  la  frecuencia  (no  necesariamente  con  los  mismos
parámetros, pero sí con la misma función). En estos casos se puede utilizar un único
que  en  el  caso  de  que  represente  llegadas  de  procesos  de  Poisson,  debe  tener  como
parámetro de frecuencia el siguiente valor:

∑

Ecuación 33

donde:

: Frecuencia de creación de usuarios para la simulación de uso de los aparatos del

sistema con la misma función de densidad de probabilidad .

: Frecuencia de llegada de usuarios al aparato .

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El  anterior        debe  estar  acompañado  de  un        que  asigna  a  las entidades  creadas
un atributo relacionado con el aparato que el usuario desea utilizar. Para ello se debe tener en
cuenta que el        más el        deben hacer lo mismo que una serie de         con una
misma función de densidad de probabilidad, pero diferente parámetro de frecuencia, y por lo
tanto  se  debe  encontrar  la  fracción  del  total  de  entidades  creadas  que  corresponde  a  cada
aparato resumido. Para ello existe una expresión (Ecuación 34) que permite calcular la fracción
del total de entidades creadas que corresponde con el aparato  :

Ecuación 34

donde:

: Fracción del total de entidades creadas que corresponde con el aparato .

Es importante notar que el parámetro de la Ecuación 34, debe estar en unidades de

⁄

y dicha unidad de tiempo debe ser igual para todos los parámetros

de la Ecuación 33 y la Ecuación 34. De esta manera el asignará el aparato a utilizar a la
entidad de acuerdo con esas

, siendo así consistentes con el modelo no simplificado de

asignación de varios .

La segunda excepción de la regla, es un caso especial de la primera en el que el tipo de aparato
que van a utilizar las entidades creadas es el mismo, y se supone indiferencia por parte del
usuario a cuál aparato utilizar (siempre y cuando sea del tipo que requiere). En este caso sólo
se requiere el uso de la Ecuación 33, dejando que la selección del aparato a utilizar se realice
en un posterior relacionado con la disponibilidad de cada uno de los aparatos.

Independientemente  del  método  de  creación  de  entidades  seleccionado,  es  recomendable
poner         que  asignen  a  cada  entidad  el  tipo  de  aparato  que  desean  utilizar,  a  fin  de
reducir  los  procedimientos  necesarios  en  el  modelo,  y  simular  esas  interacciones  entre  las
entidades,  sin  perder  la  información  acerca  de  cuál  aparato  desea  utilizar  cada  entidad.
Igualmente se recomiendan poner tantos         como aparatos sanitarios haya, para que
a cada uno se le asigne la función de densidad de probabilidad de la duración de descarga del
aparato, y así el aparato permanezca ocupado (encendido) durante ese intervalo de tiempo.

Esa anterior regla tiene una excepción relacionada con la operación de los inodoros, dado que
en su uso normal un inodoro es ocupado por el usuario en un intervalo de tiempo diferente al
intervalo en que ocurre la descarga efectiva del aparato. Así, un usuario que desea utilizar el
inodoro  ocupa  el  recurso  durante  un  cierto  tiempo,  y  después  de  terminar  su  uso  es  que
comienza la descarga de agua del aparato. Teniendo en cuenta que el intervalo de tiempo en
que  se  está  interesado  es  el  de  descarga  de  agua,  es  ese  el  que  necesariamente  debe  estar
incluido en el modelo, pero dado que el intervalo de ocupación del recurso puede interactuar
con las llegadas y usos de los demás usuarios y demás aparatos (durante el intervalo de tiempo
de  ocupación  del  recurso  inodoro,  es  posible  que  no  se  permita  el  uso  de  la  ducha  o  el
lavamanos  en  un  baño  residencial),  se  hace  recomendable  representar  los  inodoros con  dos

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objetos que representen: 1) La ocupación del recurso inodoro y de todos los recursos
que su ocupación implique según el modelo, y 2) La descarga efectiva del aparato, en la cual se
puede suponer que no hay ocupación de ningún aparato, inclusive del inodoro (el inodoro
puede ser ocupado por un usuario mientras está descargando).

Finalmente el modelo debe tener al menos un en donde evacuar a los usuarios del
sistema, representando así, una finalización de uso e interacción con el sistema real (RIDAP), y
además haciendo un mejor uso de los recursos computacionales disponibles para la
modelación.

Respecto  al  periodo  de  simulación,  éste  debe  analizarse  de  acuerdo  con  el  comportamiento
esperado del sistema a lo largo del tiempo. En caso de utilizarse datos como los deducidos en
la Sección 3.2.1, no se esperan variaciones significativas con una procedencia diferente que la
mera  aleatoriedad  de  los  datos  simulados,  después  de  un  día  de  simulación.  Es  decir  que  el
comportamiento  esperado  de  cualquier  variable  de  estudio,  no  debería  cambiar
sustancialmente entre el primer día de la simulación y el último día de la simulación, dado que
todos los días tendrían los mismos datos de entrada, y el sistema ya se encuentra en un estado
estable  que  se  evidencia  en  la  frecuencia  de  ocurrencia  del  escenario  en  donde  todos  los
aparatos están apagados (ver Sección 4.3). Así un periodo de simulación de un día se considera
suficiente  y  necesario  (dado  que  un  intervalo  menor  implicaría  una  pérdida  de  información
acerca de la concentración de frecuencia a lo largo del día) para el caso de modelos de RIDAPs.

Por otro lado está la decisión del número de simulaciones por ejecución del programa. Estas
simulaciones  son  denominadas  repeticiones,  y  se  deben  hacer  suficientes  para  que  las
estadísticas  extraídas  de  los  datos  sean  confiables.  Así  si  se  desea  analizar,  por  ejemplo,  el
porcentaje de tiempo que un sistema permanece en el escenario en donde todos los aparatos
están apagados, esa variable toma un valor por cada día de simulación, y para poder concluir
acerca del comportamiento de esa variable, es necesario observar el sistema   días, teniendo
así   valores del porcentaje de tiempo con todos los aparatos apagados, y permitiendo de esta
manera  el  cálculo  de  una  estimación  de  la  media  de  la  variable,  de  la  varianza  y,  si  son  de
interés,  de  los  demás  momentos  estadísticos  de  la  ésta.  Es  decir  que  en  general  se  pueden
calcular  estimaciones  de  los  parámetros  de  la  función  de  densidad  de  probabilidad  de  la
variable  estudiada,  y  de  esta  manera  se  puede  conocer  y  caracterizar  su  comportamiento
estocástico.

El cálculo del número de repeticiones entonces, es una selección del tamaño de la muestra
que se desea tener para extraer un comportamiento estadístico de una variable, y teniendo
esto en cuenta existen diversos criterios que permiten esa selección:

Criterio de la estadística acumulada: Este criterio consiste en calcular la estimación del
parámetro inmediatamente después de finalizar cada repetición y detener la ejecución
de repeticiones cuando la estadística calculada se estabilice en un valor. Así, después
de repeticiones se tienen valores de la variable estudiada, que permiten calcular la

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estimación ̂

(que tiene en cuenta los datos de las repeticiones). Si después se

realiza una repetición más, se tendrán valores de la variable estudiada, que
permitirán calcular la nueva estimación ̂

. Si se compara ̂

con ̂

, se podrá

estimar el error en el que se incurre si se toma como valor definitivo del estimador el
valor ̂

, suponiendo que el valor teórico con el cual se compara es ̂

(que es la

mejor  estimación  hecha  hasta  el  momento).  De  esta  manera  se  debe  detener  la
ejecución de repeticiones cuando ese error se mantenga lo suficientemente pequeño
para  las  últimas  repeticiones  hechas,  indicando  así,  que  se  ha  llegado  a  un  valor
aceptablemente estable del estimador  ̂.

Criterio del intervalo de confianza: Si se dispone de suficiente información estadística y
de  conocimiento  de  distribuciones  probabilísticas  y  muéstrales,  es  posible  encontrar
una  expresión  analítica  para  un  intervalo  de  confianza  del  parámetro   que  se desea
estimar. Este intervalo de confianza, es función del                    que se desea
para el intervalo según la Ecuación 35:

[

]

Ecuación 35

donde:

[

] : Probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se

encuentre en el intervalo [

: Nivel de confianza que se desea para el intervalo del parámetro. Los
valores típicos son , , y , entre otros.

De esta manera se tiene el intervalo [

], que puede ser reescrito como la Ecuación

36 quedando en términos del número del tamaño de la muestra que fue utilizada:

[

] [ ̂

( ) ̂

( )]

Ecuación 36

donde:

̂ : Mejor estimación hasta el momento del parámetro .

: Tamaño de la muestra de donde se calcula ̂.

: Funciones que representan la relación entre las

y el tamaño de la muestra, para un nivel de confianza dado.

Es decir que se puede calcular el ancho del intervalo de confianza como:

( )

( ) ( )

Ecuación 37

La Ecuación 37, relaciona el ancho del intervalo de confianza, con el tamaño de la
muestra y con el nivel de confianza del intervalo, permitiendo así, calcular el tamaño
de la muestra necesario para tener un intervalo con un nivel de confianza dado y con

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un ancho máximo dado. Ese ancho máximo es una medida del error en que se puede
incurrir si se toma el valor ̂ como valor definitivo del parámetro, y por lo tanto se
puede seleccionar con base en qué tan precisa se desea la medición (se debe tener en
cuenta que está en las misma unidades que el parámetro ).

Dada la posibilidad de que las cantidades pivotales

sean también función de la

estimación  ̂,  es  posible  que  para  implementar  esta  metodología  de  cálculo  del
tamaño  de  la  muestra  sea  necesario  tener  resultados  de  repeticiones  previas,  de
manera que  ̂

se estima con base en repeticiones, después se estima con base en

, y después se calculan las repeticiones necesarias restantes como ,

teniendo  en  cuenta  que  ya  se  dispone  de   datos,  y  por  lo  tanto  no  es  necesario
ejecutar todas las   repeticiones. Se recomienda que después de realizadas todas las
repeticiones,  se  vuelva  a  calcular  ̂

y se vuelva a calcular , para asegurarse que la

estimación ̂

, no subestimó dicho valor.

Si bien existen otras metodologías para el cálculo del tamaño de la muestra, o en este caso el
número de repeticiones a realizar, las dos anteriores se consideran suficientes para el cálculo
necesario en modelos de RIDAPs.

Acople de la metodología utilizando simulación de eventos discretos

La  metodología  de  uso  de  simulación  de  eventos  discretos  para  la  simulación  de  la
simultaneidad de uso de los aparatos, es únicamente requerida en el caso en el que se tengan
nudos  con  demandas  dependientes,  y  su  uso  en  casos  de  independencia  representa  un  uso
injustificado  de  recursos  computacionales  y  de  esfuerzo  del  modelador.  De  esta  manera,  se
requiere un acople entre los resultados de la metodología con simulación de eventos discretos
para  conjuntos  de  nudos  con  demanda  dependiente,  y  los  demás  nudos  de  la  RIDAP  con
demandas independientes.

Para ello se debe tener en cuenta que como resultado de la modelación en ARENA, se deben
tener resultados del porcentaje de tiempo que permanece el sistema en cada uno de los

posibles escenarios de demanda (donde

es el número de nudos del sistema que tiene

demanda dependiente entre ellos y que fueron simulados con eventos discretos). Es decir que
el resultado tiene la misma forma que el resultado de la metodología basada en Blokker, la
cual asigna a cada posible escenario una probabilidad de ocurrencia según la Ecuación 32. Esto
permite una forma natural de acoplar los resultados de la siguiente manera:

Una vez se dispone de las

probabilidades de ocurrencia de cada escenario para el

conjunto de nudos simulados con ARENA, se debe verificar que éstas sumen ,
indicando que reparten la totalidad del tiempo del sistema.

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Tesis II

Teniendo  en  cuenta  que  la  metodología  basada  en  Blokker  asigna  a  cada  nudo  una
probabilidad  de  encendido  y  su  complemento  como  probabilidad  de  apagado,  esto
puede  ser  entendido  como  un  sistema  “simulado”  de  un  nudo

que dio

como resultado que el escenario de encendido tiene una probabilidad de ocurrencia

y el escenario de apagado una probabilidad de ocurrencia de

, y por lo tanto la

manera como se acopla ese nudo al resto del sistema es una multiplicación de la
probabilidad correspondiente a su configuración (encendido/apagado) con las
probabilidades de las configuraciones del resto de nudos (ver Ecuación 32).

Algo similar a lo anteriormente descrito puede hacerse con los sistemas simulados con
eventos discretos, en donde los posibles escenarios no son dos, como en el sistema de
un nudo, sino

, pero dado que se tiene una probabilidad asociada con cada uno,

el  acople  consiste  en  multiplicar  la  probabilidad  correspondiente  al  escenario  del
sistema simulado con las probabilidades de las configuraciones del resto de los nudos
(los nudos no incluidos en ese sistema simulado). Así la probabilidad de un escenario
global  de  toda  la  RIDAP,  será  la  multiplicación  de  las  probabilidades  asociadas  a  los
escenarios  individuales  de  cada  nudo  (configuraciones)  y  los  escenarios  de  cada
sistema de nudos simulado con eventos discretos.

Es  decir  que  la  metodología  basada  en  simulación  de  eventos  discretos,  sólo  se  usa  para
subconjuntos  de  nudos  de  la  red,  que  después  dejarán  de  ser  caracterizados  como  nudos
individuales  con  dos  únicas  configuraciones,  para  ser  caracterizados  como  partes  de  un
sistema al que se debe evaluar la probabilidad conjunta que es precisamente el resultado de la
simulación de eventos discretos.

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4 Casos de estudio

A  fin  de  mostrar  de  manera  explícita  la  implementación  de  la  metodología  se  desarrolló  un
caso  de  estudio  simple  que  busca  mostrar  cómo  se  utiliza  cada  uno  de  los  conceptos,
algoritmos y programas mostrados en al anterior capítulo. El sistema a modelar consiste en un
baño  residencial  con  un  lavamanos,  un  inodoro  y  una  ducha  (ver  Figura  15).  Se  supone  que
todos los aparatos del baño son alimentados por una única tubería que transporta el agua fría
hasta cada uno de los nudos de demanda, y en el caso de la ducha, esta cuenta con un sistema
eléctrico propio que calienta el agua, de manera que la vivienda no dispone de calentador (ver
Figura  16).  El  número  de  personas  aferentes  a  este  baño,  y  por  lo  tanto  a  cada  uno  de  sus
aparatos, se maneja como una variable, de manera que se buscarán los resultados para  ,  ,  ,
,  ,   y   .

Figura 15. Esquema del caso de estudio correspondiente a un baño.

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Figura 16. Vista en planta del baño, con diagrama de las tuberías de la red.

Para  caracterizar  la  demanda  de  agua  en  el  baño  se  utilizan  las  ecuaciones  del
comportamiento hidráulico mostradas en la Tabla 8 que plasman lo analizado en la Sección 3.1
acerca de la curva única del aparato. También se hace uso de Tabla 9 acerca de la frecuencia y
duración de uso de cada uno de los aparatos. En esa Tabla 9 se utilizan los datos de la Tabla 6
para  todas  las  frecuencias  y  para  las  duraciones  del  lavamanos  y  del  inodoro,  pero  para  la
ducha  se  prefiere  la  distribución  encontrada  por  Blokker  (2010a)  de  forma  Lognormal,  dado
que la distribución Ji (Chi) Cuadrado

(asignada por la Tabla 6) , es una distribución de mayor

complejidad y menor ajuste a los datos observados, y además no es linealmente escalable de
manera  que  sólo  es  válida  si  se  expresa  en  minutos.  Finalmente  se  utiliza  una  distribución
temporal  de  la  frecuencia  como  la  mostrada  en  Tabla  10  para  cada  uno  de  los  aparatos
sanitarios.  Estas  distribuciones  temporales  de  la  frecuencia  se  basan  en  suposiciones  de
patrones  de  comportamiento  de  los  habitantes  de  la  edificación  en  donde  se  encuentra  el
baño analizado.

Tabla 8. Funciones de la curva única de los aparatos de un baño residencial.

Aparato sanitario

Curva única del aparato

Lavamanos

⁄ { ( )

Inodoro

⁄ ( )

Ducha

⁄ { ( )

Dado que el inodoro no dispone de una válvula de apertura variable, se rige por la ecuación del

emisor para todo el rango de presiones.

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Tabla 9. Frecuencia y Duración de uso para los aparatos de un baño residencial (basada en la Tabla 6 y en Blokker,
2010a).

Aparato

sanitario

Frecuencia

(usos/(día*persona))

Duración

Lavamanos

Lavado y afeitado:
[ ]

Cepillado de dientes:
[ ]

Inodoro

Ducha

(

)

Tabla 10. Distribuciones temporales de la frecuencia de uso para los aparatos de un baño residencial.

Aparato

sanitario

Distribución temporal de la frecuencia de uso

Lavamanos

Las duraciones son representadas por distribuciones lognormales, que tienen como inconveniente la

diversidad de sus parámetros. Así en algunos casos esta distribución es parametrizada por la media y la
desviación estándar de la variable distribuida lognormal, y en otros casos está parametrizada por la
media y la desviación estándar del logaritmo natural de la variable distribuida lognormal, cuya
distribución es normal. (Ver Anexo 11.2).

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

:00

Por

taje

sos

)

Hora

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Inodoro

Ducha

Una vez se conocen las distribuciones temporales de la frecuencia, se pueden conocer las
series de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona de cada aparato sanitario en el
sistema como el producto de la frecuencia promedio (valor esperado de las distribuciones de
frecuencia de la Tabla 9) y el valor horario del porcentaje de usos del aparato analizado, tal y
como se ve en la Tabla 11.

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

:00

Por

taje

sos

)

Hora

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

16.0%

18.0%

taje

sos

)

Hora

/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/711cff7fa64b566026507b8a1facdf61/index-html.html

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Tabla 11. Series de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona para los aparatos de un baño residencial.

Aparato

sanitario

Serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso por persona

Lavamanos

Inodoro

Ducha

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

:00

sos/

rson

Hora

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

:00

sos/

rson

Hora

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

:00

sos/

rson

Hora

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Por otro lado es necesario realizar el análisis mostrado en la Sección 3.2.1 para la duración de
los usos de los aparatos. Dado que el lavamanos es el único aparato con duraciones diferentes
según el uso último que se haga de éste, sólo para este aparato es necesario hallar una única
función de densidad de probabilidad de la duración, siguiendo el procedimiento mostrado a
continuación:

Tabla 12. Cálculo de la duración promedio total para el lavamanos de un baño residencial.

Uso

Duración: [ ]

Porcentaje del total

de usos

[ ]

Lavado y afeitado

Cepillado de dientes

Promedio total

4.1 Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en

Blokker

Para implementar la metodología basada en Blokker para la simulación de la simultaneidad de
uso de los aparatos, se deben tener todos los datos anteriormente calculados, para calcular la
utilización horaria de cada aparato, haciendo uso de la Ecuación 31. Sin embargo este cálculo
depende de un resultado previo que es la serie de tiempo de la frecuencia horaria de uso de
cada aparato, teniendo en cuenta el número de personas aferente a éste. Para ese cálculo es
necesario  multiplicar  cada  serie  de  tiempo  de  la  Tabla  11  con  ese  número  de  personas  que
puede tomar diferentes valores ( ,  ,  ,  ,  ,   y   ), de manera que existen tantas series de
utilización para cada aparato, como casos de número de personas aferentes al sistema. En la
Tabla  13

, se muestra un conjunto de esas series de tiempo para todos los aparatos del

sistema analizado, con personas aferentes al baño y por lo tanto a cada uno de los éstos.

Algunas de las gráficas mostradas en esta tabla y en adelante en el documento, tienen en el eje de las

ordenadas un valor sin dimensiones, lo cual es representado como ().

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Tabla 13. Series de tiempo de la utilización de cada aparato de un baño residencial con 4 personas aferentes.

Aparato

sanitario

Serie de tiempo de la utilización del aparato

Lavamanos

Inodoro

Ducha

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

:00

Uti

lizac

ió

()

Hora

Utilización Lavamanos

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Uti

lizac

ió

()

Hora

Utilización Inodoro

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

:00

Uti

lizac

ió

()

Hora

Utilización Ducha

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Teniendo en cuenta que el sistema tiene aparatos, el total de posibles escenarios es

(Ver Tabla 14), y por lo tanto el análisis completo de la simultaneidad incluye el

cálculo de cada una de las   probabilidades de ocurrencia. Para ello es necesario hacer uso de
la  Ecuación  32,  para  cada  posible  escenario  y  para  cada  hora  del  día.  Como  resultado  se
obtienen  series  de  tiempo  de  la  probabilidad  de  ocurrencia  de  cada  escenario a  lo  largo  del
día, tal y como se muestra en la Tabla 15, para el caso de   personas aferentes al baño.

Tabla 14. Descripción y notación de los 8 posibles escenarios para un baño residencial.

Notación

Escenario

Todos los tres aparatos del baño se encuentran
apagados

La ducha se encuentra encendida, pero el lavamanos y el
inodoro no.

El lavamanos se encuentra encendido, pero la ducha y el
inodoro no.

El inodoro se encuentra encendido (descargando), pero
el lavamanos y la ducha no.

Tanto la ducha como el lavamanos se encuentran
encendidos, pero el inodoro no.

Tanto la ducha como el inodoro se encuentran
encendidos, pero el lavamanos no

Tanto el lavamanos como el inodoro se encuentran
encendidos, pero la ducha no

Los tres aparatos del baño se encuentran encendidos
(descargando).

Tabla 15. Series de tiempo de la probabilidad de ocurrencia de cada escenario de un baño residencial con 4
personas aferentes.

Escenario

Serie de tiempo de la probabilidad de ocurrencia del escenario

8.20E-01

8.40E-01

8.60E-01

8.80E-01

9.00E-01

9.20E-01

9.40E-01

9.60E-01

9.80E-01

1.00E+00

:00

ili

()

Escenario (-)

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0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

:00

rob

abil

cia

()

Escenario D

0.00E+00

1.00E-03

2.00E-03

3.00E-03

4.00E-03

5.00E-03

6.00E-03

7.00E-03

8.00E-03

9.00E-03

1.00E-02

:00

ili

()

Escenario L

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

:00

ili

()

Escenario I

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Tesis II

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

:00

rob

abil

cia

()

Escenario DL

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

3.00E-03

3.50E-03

4.00E-03

:00

ili

()

Escenario DI

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

7.00E-04

8.00E-04

:00

ili

()

Escenario IL

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Como se puede ver en la Tabla 15, la probabilidad más alta en cualquier hora del día, es la del
escenario  en  donde  todos  los  aparatos  se  encuentran  apagados.  Esto es  una  constante  para
todos  los  casos  intentados  con  diferente  número  de  personas  aferentes,  incluyendo  el  más
extremo con    personas. De igual manera, el caso en donde los tres aparatos se encuentran
encendidos al tiempo, tiene una probabilidad de ocurrencia extremadamente baja, donde sus
mayores  probabilidades  apenas  llegan  a

representando así lo extremo de este

escenario.

Sin embargo, para este sistema es posible hacer uso de la metodología basada en Blokker con
uso de simulación de eventos discretos, teniendo en cuenta que un comportamiento esperado
de un usuario de un baño residencial, es cerrar la puerta de ingreso al baño, restringiendo el
uso de los demás aparatos, y por lo tanto bloqueando de manera activa algunos escenarios, de
manera que tienen probabilidad cero de ocurrencia.

4.2 Análisis de la simultaneidad de uso según el modelo basado en

Blokker con simulación de eventos discretos.

Haciendo uso del programa ARENA de simulación de eventos discretos, se planteó un modelo
que representa la dinámica de un baño que tiene en cuenta el comportamiento esperado de
un usuario respecto a la ocupación total del recurso baño, cuando se hace uso de un aparato.
El modelo supuso que si un potencial usuario llega al sistema y lo encuentra reservado por otro
usuario, éste hará fila hasta que el recurso sea desocupado (se abra la puerta del baño).

Así, en la Figura 17 se muestra la implementación del modelo en el programa ARENA, en el
cuál se incluyeron las series de tiempo de la frecuencia de uso del aparato para cada caso de
número de personas aferentes, así como las funciones de densidad de probabilidad de las
duraciones de uso de cada aparato. Esas duraciones requirieron un cálculo previo antes de ser

0.00E+00

5.00E-06

1.00E-05

1.50E-05

2.00E-05

2.50E-05

3.00E-05

3.50E-05

4.00E-05

:00

ili

()

Escenario DIL

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ingresados en el programa, teniendo en cuenta que la parametrización de la función
Lognormal programada en ARENA es la mostrada en la Ecuación 38 (ver Anexo 11.2).

( [ ] [ ]

⁄

)

Ecuación 38

Así, las funciones asignadas para los tiempos de duración de uso del lavamanos y de la ducha
fueron:

Ecuación 39. Duración
de uso del lavamanos.

Ecuación 40. Duración
de uso de la ducha.

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Universidad de los Andes
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados – CIACUA
Análisis de redes internas de distribución de agua potable utilizando simulación de eventos discretos

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Figura 17. Implementación del modelo de un baño residencial en el programa ARENA.

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Figura 18. Esquema del modelo de un baño residencia implementado en ARENA.

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Respecto a la duración de uso y descarga del inodoro (teniendo en cuenta que se representan
los inodoros con dos objetos , para la ocupación del recurso y para la descarga
efectiva del aparato), se supuso una función de densidad de probabilidad como se
muestra en la Ecuación 41. Para la duración de la descarga del inodoro se utilizaron los datos
de la Tabla 9, de manera que la duración es fija tal y como se muestra en la Ecuación 42.

Ecuación 41. Duración de
uso del inodoro.

Ecuación 42. Duración de
descarga del inodoro.

Teniendo  las  anteriores  funciones  de  densidad  de  probabilidad  de  las  duraciones  de  uso  y
descarga de los aparatos, se tuvieron todos los datos necesarios para la creación del modelo
esquematizado  en  la  Figura  18.  En  este  modelo,  los  primeros  componentes  son  elementos
       asignados a cada uno de los aparatos sanitarios que contienen las series de tiempo de
frecuencia de uso de  los aparatos, y son precisamente estos componentes  los que  varían de
acuerdo  con  el  caso  del  número  de  personas  aferentes  al  baño.  Estos  elementos  fueron
denominados             ,                  y             ,  para  representar  su
naturaleza de representación de llegada de usuarios al sistema.

Después de cada elemento , sigue un elemento cuya función es asignar a las
entidades un atributo relacionado con el aparato sanitario que planea utilizar. Estos elementos
fuero denominados , y , para
representar su labor de asignar como atributo a las entidades (usuarios) el nombre del aparato
que desean utilizar.

El modelo tiene una variable global denominada             que toma valor     cuando el
baño está siendo ocupado por alguna entidad y por lo tanto tiene restringida la entrada para
las  demás  entidades,  y     cuando  el  baño  está  libre,  listo  para  ser  utilizado  por  la  primera
entidad que entre al sistema. Dado que se supone que si una entidad llega al sistema y éste
está  siendo  ocupado,  la  entidad  hará  fila  hasta  que  el  sistema  se  desocupe,  se  utilizó  un
elemento      (ver Tabla 7), que permite generar y almacenar esa potencial fila de usuarios
que desea utilizar el baño, permitiendo que el primer usuario que llegó a la fila sea el primero
en utilizarlo una vez se ha desocupado. Este procedimiento se denominó
para que se entendiera que las entidades tendrían que hacer la fila del elemento      en caso
de que la variable              tuviera un valor igual a    .

El siguiente componente del modelo es un elemento de tipo        cuya función era cambiar
a     la  variable             cada  vez  que  una  entidad  pasara  por  el  procedimiento,
indicando  así,  que  el  baño  ha  sido  cerrado,  y  que  toda  entidad  que  llegue  después  de  ésta,
tendrá  que  esperar  en                  hasta  que  el  baño  sea  liberado.  Este        se
denominó            para  representar  su  función  de  cambiar  la  variable  haciendo  que  el
sistema esté ocupado.

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Una vez el usuario ha cerrado la puerta (pasar por           ), llega a un        en donde
éste  decide  cuál  aparato  usará  y  descargará  a  partir  del  atributo  signado  por  los
ubicados  inmediatamente  después  de  los       .  Dado  que  el  sistema  sólo  tiene  tres
aparatos,  el          sólo  tiene  tres  caminos  posibles  a  cada  uno  de  los         que
representan los aparatos. Si bien existe una cuarta salida del       , esta sólo se ubica para
evitar  errores  de  compilación  del  programa  ARENA.  El  objeto         fue  denominado
                 para representar ese proceso de elección del aparato a usar.

Después  del  objeto        ,  existen  tres  caminos,  cada  uno  de  los  cuales  lleva  a  un aparato
sanitario, representado por un      . Dada la versatilidad del programa ARENA, los objetos
     tienen  diferentes  posibles  configuraciones  dentro  de  la  que  se  encuentra
                    ,  cuya  función  es  ocupar  el  recurso,  durar  un  tiempo  de  servicio
ocupando el recurso y la entidad, y después liberar el recurso para otro posterior uso por parte
de otra entidad. Esta opción se considera la mejor para representar la dinámica de uso de un
aparato sanitario, y ello permite ingresar la función de densidad de probabilidad de la duración
del  “servicio”  permitiendo  así,  ingresar  las  duraciones  expresadas  en  la  Ecuación  39,  la
Ecuación 40 y la Ecuación 41.

Es importante notar que inmediatamente después de los objetos procesos de representación
de  uso  de  los  aparatos  (denominados                ,                   y
            ), vienen objetos        que modifican la variable             para que
tome el valor de     indicando así que el baño ya fue liberado y que un próximo usuario puede
hacer  uso  de  éste.  Estos  objetos        son  denominados           dada  su  función
análoga a la de           .

En  el  caso  del  inodoro,  existe  un       después  de             que  representa  la
descarga del aparato, y cuya ubicación en el modelo se pensó para representar la posibilidad
de que el baño sea utilizado, no mientras el inodoro está siendo utilizado, pero sí mientras está
descargando  después  de  un  uso,  y  es  en  este  objeto  donde  se  incorpora  la  Ecuación  42  de
duración  de  descarga  del  inodoro.  Este        se  denomina                  dada  su
función de representar la descarga efectiva del aparato.

Finalmente, cuando un usuario ha hecho uso del aparato y ha liberado el baño, se dirige a un
denominado , en donde se eliminan las entidades para así representar
una salida completa del sistema.

Respecto a las variables del programa ARENA sobre las características de las simulaciones y de
la  ejecución  del  programa,  se  seleccionó  un  periodo  de  simulación  de  un  día,  tal  y  como  se
recomendó  en  la  Sección  3.2.2.  El  número  de  repeticiones  se  calculó  con  el  Criterio  de  la
estadística  acumulada  pero  para  permitir  una  mejor  comparación  se  aumentó  ese  número
hasta el punto de poder registrar esos eventos de muy baja probabilidad como aquellos para
los que la metodología basada en Blokker asigna probabilidades de cerca de

. Esto llevó a

un total de repeticiones que fue el número que equilibró la calidad de los datos de
salida, con el tiempo de ejecución del programa.

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A continuación se muestran los resultados encontrados con esta metodología para el caso en
que el número de personas aferentes al baño es de :

Tabla 16. Series de tiempo de la probabilidad de ocurrencia de cada escenario de un baño residencial con 4
personas aferentes.

Escenario

Serie de tiempo de la probabilidad de ocurrencia del escenario

8.20E-01

8.40E-01

8.60E-01

8.80E-01

9.00E-01

9.20E-01

9.40E-01

9.60E-01

9.80E-01

1.00E+00

:00

ili

()

Escenario (-)

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

:00

ili

()

Escenario D

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Tesis II

0.00E+00

1.00E-03

2.00E-03

3.00E-03

4.00E-03

5.00E-03

6.00E-03

7.00E-03

8.00E-03

9.00E-03

:00

ili

()

Escenario L

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

:00

ili

()

Escenario I

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

9.00E-01

1.00E+00

ili

()

Escenario DL

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Tesis II

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

3.00E-03

3.50E-03

:00

ili

()

Escenario DI

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

:00

ili

()

Escenario IL

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

9.00E-01

1.00E+00

:00

ili

()

Escenario DIL

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Tesis II

En la Tabla 16 se pueden ver las probabilidades de ocurrencia horarias de cada escenario del
sistema.  Se  debe  notar  que  tanto  el  escenario           como  el  escenario           tienen
probabilidad  nula  en  cualquier  hora  del  día,  siendo  este  un  efecto  de  la  suposición  de
ocupación total del baño cuando se usa un aparato sanitario. Los escenarios con dos aparatos
encendidos, uno de los cuales es el inodoro, representan escenarios donde el lavamanos o la
ducha  fueron  utilizados  mientras  el  inodoro  descargaba  inmediatamente  después  de  haber
sido usado y por lo tanto no violan la restricción de un usuario por vez en el baño.

4.3 Análisis de caudales a partir de ambas metodologías

Una vez se ha asignado una probabilidad de ocurrencia a cada escenario de demanda del
sistema, es posible encontrar una función de densidad de probabilidad para el caudal que pasa
por cada tubería de la red. Para ello se utiliza la modelación de los aparatos sanitarios descrita
en la Sección 3.1, que para el caso del baño residencial previamente analizado, se rige por las
ecuaciones de la Tabla 8.

Así, si se  desea  conocer  la función de  densidad de  probabilidad del caudal que transporta el
tubo  que  alimenta  a  todo  el  baño  (ver  Figura  16),  es  necesario  modelar  el  comportamiento
hidráulico del sistema para cada escenario, suponiendo que en los nudos que representan a los
aparatos,  se  encuentran  emisores  con  una  curva  igual  a  la  de  la  Tabla  8  en  caso  de  que  el
escenario  los  tenga  encendidos, y en  caso  contrario,  serán  nudos  con  demanda  cero.  Así,  se
puede encontrar un caudal transportado por esa tubería para cada escenario, que en el caso
del ejemplo dio:

Tabla 17. Caudal transportado por el tubo más aguas arriba del sistema para cada escenario.

Escenario

Caudal (L/s)

0.142

0.042

0.184

0.084

0.226

Haciendo uso de la Tabla 17 que relaciona caudal en el tubo con el escenario de demanda, y la
Tabla 15 o la Tabla 16 que relacionan probabilidad de ocurrencia con cada escenario de
demanda, se pueden encontrar relaciones de caudal en el tubo con probabilidad de

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ocurrencia, que es precisamente la función de densidad de probabilidad de la variable

aleatoria

Si se utiliza la Tabla 15, y por lo tanto la metodología basada en Blokker, se llega a la función de
densidad de probabilidad mostrada en la Figura 19 para el caso de personas aferentes al
sistema lo cual permite encontrar la función de probabilidad acumulada de la variable, la cual
se muestra en la Figura 20.

Figura 19. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología

basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes.

Figura 20. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología

basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes.

Si bien esa variable es discreta según lo mostrado en la Tabla 17, estos valores son sólo estimaciones

del caudal que pasará por el tubo, y por lo tanto la variable tiene una función de densidad de
probabilidad tal como cualquier variable continua.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ili

()

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ili

ser

xce

()

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

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Tesis II

Si, por otro lado, se utiliza la Tabla 16 para dicho cálculo, las funciones de densidad de
probabilidad y de probabilidad acumulada son las mostradas en la Figura 21 y la Figura 22:

Figura 21. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología

basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 personas aferentes.

Figura 22. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo, utilizando la metodología

basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4 personas aferentes.

En  las  anteriores  figuras  se  puede  notar  que  dada  la  alta  probabilidad  del  escenario        ,
todas  las  funciones  acumuladas  de  probabilidad  para  cualquier  hora  inician  con  una
probabilidad considerablemente alta, que hace que, para un caudal cualquiera mayor a cero, la
probabilidad de no ser excedido sea cercana o superior al   .

Para permitir una mejor visualización de las probabilidades encontradas, se decidió calcular y
graficar las funciones de densidad de probabilidad y las funciones de probabilidad acumulada
del caudal transportado por el tubo tomando como dado que el sistema sí está en uso y que

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ili

()

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ili

ser

xce

()

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

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por lo tanto no se está en el escenario . Estas figuras permiten ver la forma de las
curvas para los caudales mayores a cero, y pueden ser utilizadas en un eventual análisis de
probabilidad de falla.

Figura 23. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en

uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes.

Figura 24. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en

uso, utilizando la metodología basada en Blokker para un baño con 4 personas aferentes.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ili

()

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ili

ser

xce

()

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

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Figura 25. Función de densidad de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en

uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4

personas aferentes.

Figura 26. Función acumulada de probabilidad del caudal transportado por el tubo dado que el sistema está en

uso, utilizando la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos para un baño con 4

personas aferentes.

Comparativamente,  las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  asignadas  por  ambas
metodologías  son  similares  en  forma,  pero  tienen  algunas  diferencias  en  los  valores  de  las
probabilidades,  los  cuales  pueden  resultar  poco  significativos  para  algunos  procedimientos,
pero  significativos  para  otros.  Así,  por  ejemplo,  para  una  eventual  evaluación  de  las
condiciones  de  flujo  en  la  red  en  búsqueda  de  posibles  condiciones  de  crecimiento  de
biopelículas o mineralopelículas, tendría en cuenta la recurrencia del escenario con caudal en
el tubo nulo, y en ese caso podría utilizar los resultados de las figuras entre la  Figura 19 y la

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ili

()

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

rob

abil

ser

xced

)

Caudal (L/s)

00:00

01:00

02:00

03:00

04:00

05:00

06:00

07:00

08:00

09:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

21:00

22:00

23:00

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Figura 22. Estas figuras, presentan diferencias despreciables en las probabilidades, y por lo
tanto los resultados de dicho análisis no variarían significativamente si se usa la metodología
basada en Blokker o la metodología basada en Blokker con simulación de eventos discretos.

Sin embargo, una evaluación del nivel de satisfacción promedio de los usuarios que utilizan el
sistema, sólo tendría en cuenta los escenarios donde hay una demanda efectiva, es decir que
utilizaría  los  resultados  de  las  figuras  entre  la  Figura  23  y  la  Figura  26,  y  en  ese  caso  las
diferencias  entre  las  metodologías  puede  ser  significativa,  con  diferencias  en  las
probabilidades de hasta       en valor absoluto de probabilidad, y de diferencias promedio de
  entre las probabilidades para cada hora y para cada escenario relativas al valor estimado
con la metodología con simulación de eventos discretos, para el caso de 4 personas aferentes
al baño.

Es  importante  notar  que  los  resultados  mostrados  en  las  anteriores  figuras  y  los  anteriores
cálculos,  son  similares  a  los  encontrados  para  el  resto  de  casos  del  número  de  personas
aferentes al sistema, con diferencias en valores pero no en forma. Por ejemplo en el caso de
las  funciones  de  densidad  de  probabilidad  y  de  probabilidad  acumulada,  a  medida  que
aumenta el número de personas aferentes, las probabilidades del escenario         se reducen
mientras que para los demás escenarios se aumentan, haciendo más pronunciados los picos de
las funciones de densidad de probabilidad (e.g. Figura 19 y Figura 23). Análogamente cuando
se reduce el número de personas aferentes, las probabilidades del escenario         aumentan
significativamente haciendo todas las curvas de probabilidad total más planas.

procedimiento

análisis

estocástico

hecho

para

variable

                                puede ser hecho también para otras variables del flujo
en  la  red,  tales  como  los  caudales  en  el  resto  de  las  tuberías,  las  presiones  y  alturas
piezométricas en cualquier nudo o punto de la red, los números de Reynolds, las velocidades, y
demás, teniendo en cuenta que la mayoría de los programas de simulación hidráulica de redes
con flujo presurizado entregan como resultados tablas en donde para cada nudo y para cada
tubo  presentan  características  del  flujo  en  dicho  elemento,  y  por  lo  tanto  al  realizar
simulaciones  hidráulicas  para  cada  escenario,  es  posible  tener  una  realización  de  la  variable
estudiada,  la  cual  puede  relacionarse  con  la  probabilidad  de  ocurrencia  del  escenario
simulado.

De esta manera concluye el caso de estudio correspondiente a un baño residencial, habiendo
mostrado la manera de la implementación de ambas metodologías propuestas, y mostrando
un resultado comparativo entre los resultados de ambas.

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5 Procedimiento de diseño propuesto

Con base en los resultados de la metodología propuesta para la modelación de la demanda en
RIDAPs, es posible realizar un análisis estocástico e hidráulico que permita realizar diseños que
se ajusten satisfactoriamente a las demandas modeladas, y por lo tanto a la utilización típica
del sistema prototipo. A continuación se muestra un diagrama de flujo que resume las etapas
en las que se divide el procedimiento de diseño de RIDAPs planteado en esta investigación:

Figura 27. Diagrama de flujo del procedimiento de diseño propuesto.

Inicio

Asignación de una

Línea de

Gradiente

Hidráulico (

LGH)

para toda la red.

Cálculo de

caudales emitidos

en los aparatos

sanitarios.

t = 1

t = |T|

Cálculo del caudal
de diseño del tubo

Cálculo y

redondeo del

diámetro del tubo

Asignación de una

LGH para la red

aguas abajo del

tubo

t = t + 1

Fin

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Las etapas del procedimiento de diseño mostrado en la Figura 27 son detalladas en las
siguientes secciones.

5.1 Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH)

La asignación de una LGH para toda la red, o para la red aguas abajo de una tubería cualquiera,
es un paso adoptado de algunas metodologías de diseño optimizado de RDAPs (Wu, 1975 y
Ochoa, 2009). Este paso consiste en predefinir la altura piezométrica de cada nudo de la red,
de manera que, con los caudales de diseño de cada tubo se pueden encontrar valores de los
diámetros de todas las tuberías que globalmente generan una red diseñada de costo cercano
al mínimo.

En  la  Sección  2.2.2  de  este  documento  se  presenta  un  análisis  de  la  función  típicamente
asignada como LGH para una tubería en serie (polinomio de segundo grado). Como resultado
se  encuentran  los  dominios  de  cada  una  de  las  variables  independientes  de  esta  función,
permitiendo  así  definir  completamente  la  familia  de  curvas  cuadráticas  que  pueden  ser
asignadas  como  LGH  de  una  tubería  en  serie.  Así,  para  realizar  este  subproceso  del
procedimiento de diseño se hace uso de la Ecuación 12 presentada a continuación, con la cual
es  posible  asignar  la  altura  piezométrica  objetivo  de  cada  nudo  de  la  red  o  tramo  de  red
analizado:

Ecuación 43

donde:

: LGH evaluada en el punto medido desde la entrada del sistema. En la altura

piezométrica que se asignará al nudo ubicado a una distancia de la entrada del
sistema.

: Máximo valor de la LGH para esa trayectoria analizada. Corresponde con la

altura piezométrica disponible en la entrada del sistema.

: Mínimo valor de la LGH para esa trayectoria. Este valor corresponde a la

mínima altura piezométrica aceptable en el nudo final de la trayectoria (el de más
aguas abajo).

: Longitud total de la trayectoria a la cual pertenece el punto analizado. Se calcula

como la distancia topológica entre la entrada del sistema y el nudo final de la rama.

y la

. Se considera positiva si el valor calculado con la ecuación

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cuadrática es menor que el calculado con la ecuación lineal, y negativa en caso
contrario.

: Distancia topológica entre la conexión de la RIDAP a la RDAP (entrada del sistema)
y el punto en donde se quiere calcular la LGH objetivo.

Según  Wu  (1975)  el  valor  del  parámetro  independiente   que  minimiza  los  diseños  de  una
tubería  en  serie  con  caudales  demandados  homogéneamente  distribuidos  a  lo  largo  de  la
tubería es          . Sin embargo, Wu también analiza el sobrecosto en el que se  incurre al
seleccionar  una  curva  con           que  genera  una  función  lineal,  llegando  a  un  valor  del
    ,  lo  cual  se  considera  poco  significativo  para  el  problema  de  diseño  de  RIDAPs.
Adicionalmente,  una  LGH  con         asigna  presiones  objetivo  más  altas  para  todos  los
nudos  de  la  red,  aumentando  así  la  confiabilidad  del  sistema  cuando  ésta  es  medida  con
índices como el Índice de Resiliencia (Todini, 2000) o la Potencia Unitaria (Saldarriaga, 2010).

Considerando lo anterior, se recomienda como LGH para el procedimiento de diseño, aquella
con . Sin embargo, la metodología puede ser utilizada con cualquier valor de y
eventualmente se podrían evaluar otros posibles valores para mejorar el diseño final de la red
ajustándolo a las necesidades específicas del problema respecto a costos constructivos y
confiabilidad.

5.2 Cálculo de los caudales emitidos

Teniendo en cuenta que las alturas piezométricas asignadas en el paso anterior son las alturas
piezométricas que deben registrarse cuando las condiciones de diseño son alcanzadas por la
demanda de la red, los caudales emitidos correspondientes a dichas presiones son los caudales
que deben ser tenidos en cuenta para el diseño de la misma. Para su cálculo basta evaluar la
presión correspondiente a la altura piezométrica asignada, en la curva del aparato que
relaciona el caudal emitido con la presión inmediatamente aguas arriba (ver Sección 3.1).

5.3 Cálculo del caudal de diseño de un tubo

Para poder diseñar un tubo es necesario conocer la diferencia de alturas piezométricas entre
sus dos nudos y el caudal que se espera pase por él. El paso de Asignación de LGH asigna una
altura piezométrica a cada nudo de la red, y por lo tanto la diferencia de alturas piezométricas
es conocida para cada tubo. Para determinar el caudal de diseño, es necesario realizar un
análisis estocástico de la demanda, que permita asignar como caudal de diseño, un caudal que
asegure una probabilidad de falla menor a la máxima aceptable sin incurrir en sobrecostos por
asignar caudales mayores al realmente necesario.

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5.3.1 Análisis estocástico para nudos independientes

Haciendo un análisis similar al hecho por CIACUA (2011), es posible ordenar todos los posibles
escenarios de demanda de una RIDAP de mayor a menor exigencia hidráulica como se muestra
a continuación:

posibles escenarios de

demanda de acuerdo con la relación , de la siguiente manera:

Figura 28. Ejemplo de configuración ordenada de los posibles escenarios de demanda de una RIDAP con .

En la Figura 28 se puede notar cómo se genera una clasificación natural de los
escenarios de acuerdo con el número de nudos encendidos que tiene cada uno. Para
ello se definirá cada uno de estos conjuntos de escenarios con igual número de nudos

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encendidos como , donde es precisamente el número de nudos
encendidos { } .

Dado que escenarios pertenecientes al mismo estado no pueden ser comparados respecto a su
exigencia hidráulica, teniendo en cuenta que un escenario puede ser más exigente que un
escenario para el tubo

, pero menos exigente para un tubo

; el algoritmo de selección

del caudal de diseño debe ser ejecutado para cada tubo de la red a fin de encontrar el caudal
con el que el diseño de dicho tubo asegura una probabilidad de falla menor a la máxima
aceptable.

Probabilidad de falla

Para que el procedimiento tenga validez, es necesario definir la , y así
asignarle un valor máximo admisible dependiendo de la aversión al riesgo que tenga el futuro
usuario del sistema y de los costos que pueda implicar una falla del mismo. La probabilidad de
falla de una RIDAP puede ser calculada y entendida como:

(

)

Ecuación 44

Ecuación 45

donde:

: Probabilidad de falla de la RIDAP.

: Probabilidad de falla del aparato conectado al nudo .

: Tiempo durante el cual el aparato del nudo está encendido pero el caudal

emitido es menor al de dicho aparato (ver Sección 3.1).

: Tiempo durante el cual el aparato del nudo está encendido.

Es decir que la probabilidad de falla de un aparato es la frecuencia con la que se desea hacer
uso de éste y, por las condiciones hidráulicas de la RIDAP en ese instante, el caudal emitido es
inferior al mínimo aceptable. Por otro lado, la probabilidad de falla de toda la red, podría ser
entendida como la probabilidad de que al menos un aparato esté fallando, y en ese caso la
probabilidad de falla sería la suma de las probabilidades de falla de cada aparato, suponiendo
independencia en la ocurrencia de la falla en un nudo.

Sin embargo, la ocurrencia de la falla en un nudo, no es independiente de la ocurrencia de la
falla en los demás nudos, dado que si un nudo está fallando es porque hay más aparatos
encendidos que los que el sistema puede soportar, y por lo tanto un aparato que se encienda
mientras el sistema está en dicho estado, también reportará una falla. Así, la fórmula

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planteada en la Ecuación 44, se considera una mejor representación de la ocurrencia de las
fallas en una RIDAP considerando lo siguiente:

Ecuación 46

Cuando ocurre el evento   (falla de un aparato que está encendido) es porque el sistema está
siendo sometido a una situación de demanda más exigente que la de diseño para al menos un
tubo  aguas  arriba  del  nudo  con  falla,  y  por  lo  tanto  es  muy  probable  que  también  esté
ocurriendo  el  evento   (falla  de  otro  aparato  que  está  encendido  y  que  también  está  aguas
abajo  de  dicho(s)  tubos(s)).  Es  decir  que  la  probabilidad  de  que  ocurran  los  dos  eventos  al
tiempo (        ) debe ser muy similar a la menor de las probabilidades de los dos eventos
(ver  Figura  29).  Así,  de  la  expresión  de  la  derecha  de  la  Ecuación  46  queda  reducida  a
             ,  donde  se  entiende  que  la  función       entrega  el  evento  de  mayor
probabilidad asociada.

Figura 29. Justificación de la ecuación de probabilidad de falla.

En el caso de que ocurra el evento  , pero el evento   esté relacionado con la falla de un nudo
aguas arriba del tubo o tubos con un caudal mayor al de diseño, entonces la probabilidad del
evento     será  despreciable,  y  el  resultado  de  la  probabilidad  de         seguirá  siendo
            .  Algo  similar  ocurre  cuando  el  aparato  relacionado  con  el  evento   esta
apagado. En este caso la probabilidad de que dicho nudo falle es nula, dado que la falla solo es
posible  si  se  le  exige  algo al  sistema,  de  manera  que  la  probabilidad  de  falla  sigue  siendo  la
mayor de la dos.

El anterior concepto puede ser fácilmente extendido a varios eventos (i.e. varios aparatos) de
manera que se llega a la expresión de la Ecuación 44 para cuantificar la probabilidad de falla de
una RIDAP.

Por otro lado, para determinar la máxima probabilidad de falla aceptable, se deben tener en
cuenta  detalles  como  el  costo  de  una  falla  del  sistema,  que  en  el  caso  de  una  RIDAP  no  es
usualmente  alto,  pero  pueden  existir  excepciones  como  hospitales  o  laboratorios  en  donde
una  falta  de  disponibilidad  de  agua  con  flujo  adecuado  (i.e.  caudal  mayor  al  mínimo
aceptable),  puede  implicar afectación en la integridad de  los ocupantes de  la edificación y/o
pérdidas económicas considerables. Usualmente existen entidades gubernamentales que dan
valores máximos para esa probabilidad de falla aceptable, o lo que es similar, valor mínimo de
confiabilidad del sistema y/o periodo de retorno de una falla.

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Cálculo del estado de diseño de un tubo

Una  primera  aproximación  al  procedimiento  de  cálculo  del  caudal  de  diseño  de  un  tubo
considera que una vez se conoce la probabilidad de falla aceptable, es necesario encontrar el
caudal cuya probabilidad de ser igualado o excedido es menor que ésta, siendo dicho caudal el
caudal de diseño. Es decir que el caudal de diseño de un tubo podría ser encontrado haciendo
uso  de  las  funciones  de  probabilidad  acumuladas  de  caudal  obtenidas  mediante  las
metodologías  de  modelación  de  la  demanda  (e.g.  Figura  24  y  Figura  26),  conociendo  la
probabilidad  de  no  ser  excedido  (el  complemento  de  la  probabilidad  de  ser  igualado  o
excedido) y hallando el caudal correspondiente a dicho valor de probabilidad.

Sin embargo la anterior aproximación no es consistente con la definición de probabilidad de
falla hecha anteriormente y la razón se hace evidente con el siguiente ejemplo:

Suponga que se tiene una RIDAP con dos aparatos sanitarios   y  . Las probabilidades de
uso de estos dos aparatos son tales que            , y las curvas de emisor son tales
que  siempre  se  cumple  que

. Dado que las probabilidades de uso deben ser

condicionadas  con  que  el  sistema  esté  en  uso,  entonces  se  cumple  que
   |                  |                  , y dado que la probabilidad de que   esté
siendo  utilizado  es  mucho  mayor  que  la  de   entonces,  si  el  sistema  está  en  uso,  es
mucho  más  probable  que  sea   el  (o  uno  de  los)  aparato(s)  en  uso,  y  por  lo  tanto
   |                   implicando que el caudal

tiene una probabilidad acumulada

cercana  a    ,  y  por  lo  tanto  puede  ser  utilizado  como  caudal  de  diseño  del  tubo  que
alimenta  a  los  dos  aparatos  para  probabilidades  de  falla  aceptables  mayores  a (
   |            )      , es decir cualquier probabilidad de falla.

Sin embargo si el diseño es efectivamente hecho con

, cualquier escenario de demanda

en donde el aparato esté encendido generará una falla del sistema al ocurrir una falla
en dicho aparato, teniendo en cuenta que

. Es decir que la probabilidad de falla

de será

y por lo tanto, utilizando la Ecuación 44, la probabilidad de falla

del sistema será

, implicando así, que el diseño no cumple con las

condiciones de diseño.

El anterior ejemplo muestra cómo la selección del caudal de diseño debe ser realizada de una
manera diferente a la explicada que permita incorporar la definición de probabilidad de falla
hecha en la Ecuación 44. Para ello, se plantea una aproximación similar a la hecha por CIACUA
(2011) en donde se evalúan diferentes escenarios de un mismo estado seleccionado como
estado de diseño (ver Figura 28). La diferencia radica en que, como se ha explicado
anteriormente, la evaluación del caudal de diseño puede y debe realizarse para cada tubo de
manera independiente (pág. 83) y el cálculo de las probabilidades de los estados no hace uso
de un modelo con cadenas de Markov.

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Para calcular entonces las probabilidades de cada uno de los estados de un tubo, entendidos
como los estados de la red aguas abajo del tubo analizado, se puede hacer uso de la Ecuación
47 comúnmente denominada Distribución Binomial de Poisson:

∑

(∏

∏ (

)

Ecuación 47.
Distribución
Binomial de
Poisson

donde:

: Es la probabilidad de que se esté en el estado en una red con nudos

de demanda.

: Probabilidad de que el aparato (o ) esté encendido.

Dada la difícil indexación de las sumatorias y productorias de la Ecuación 47, se presenta
un ejemplo del cálculo:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Así, la Ecuación 47 simplemente suma las probabilidades de ocurrencia de todos los posibles
escenarios  con   aparatos  encendidos,  calculando  cada  una  de  esas  probabilidades  con  el
método  descrito  en  la  Sección  3.2.1.  Es  importante notar  que  el  número  de  sumandos  de  la
Ecuación 47 se calcula como            (combinatoria de   en   ). Es fácil demostrar que el
máximo de una combinatoria            ocurre cuando     [

⁄ ]

⁄ (función

parte entera, que se define como el máximo entero que es menor que la variable
independiente para valores positivos). A continuación se muestra cómo crece la función de la
Ecuación 48 que representa la máxima combinatoria posible con aparatos en la red
analizada:

( [

])

Ecuación 48

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Figura 30. Comportamiento de la función de la Ecuación 48.

Como se puede ver en la Figura 30 el número de sumandos a tener en cuenta en la Ecuación
47, cuando supera los aparatos, supera los mil millones, implicando un esfuerzo
computacional considerable para realizar cálculo de la probabilidad del estado [

⁄ ]. Así, se

hace necesario buscar una manera más eficiente de calcular dicha probabilidad o de hacer una
estimación aceptable de su valor.

Para ello se puede hacer un análisis de las expresiones resultantes de expandir y simplificar la
Ecuación 47 para diferentes valores de y . Como resultado se llegó a la siguiente
igualdad:

∑

̅̅̅̅̅̅̅̅

Ecuación 49

(

) ∑

(

)

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅

∑

(∏

)

Ecuación 50

donde:

: Es la probabilidad de que se esté en el estado en una red con nudos

de demanda.

1.0E+00

1.0E+01

1.0E+02

1.0E+03

1.0E+04

1.0E+05

1.0E+06

1.0E+07

1.0E+08

1.0E+09

1.0E+10

1.0E+11

1.0E+12

1.0E+13

1.0E+14

1.0E+15

(NN,

[NN/2])

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̅̅̅̅̅̅̅̅ : Sumatoria de las productorias de las probabilidades de encendido de
aparatos.

número

sumandos

sumatoria,

denominado

puede ser calculado como .

Para entender su indexación se presenta el siguiente ejemplo:

(

)

∑

(

)

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

̅̅̅

Se debe notar que en caso de que todas las probabilidades

fuesen iguales a un mismo , el

término

̅̅̅ seria igual a

. Adicionalmente, si todas las probabilidades son iguales, se puede

llegar a la conocida ecuación de la distribución Binomial:

Ecuación 51

(

)

La  Ecuación  51  tiene  una  ventaja  significativa  respecto  a  la  Ecuación  47,  y  es  que  está
compuesta por un único sumando sin importar    o  , pero por otro lado tiene la desventaja
de  requerir  que  todas  las  probabilidades  de  uso  de  los  aparatos  sean  iguales.  Para  poder
reducir el efecto negativo de dicha desventaja, que imposibilitaría el uso de la Ecuación 51 en
el  cálculo  del  estado  de  diseño,  se  propone  el  uso  de  un  valor  representativo  de  las
probabilidades  de  uso  de  todos  los  aparatos.  Es  decir  que  se  busca  un  único  valor   que
minimice  la  diferencia  entre

calculado con la Ecuación 51 y

calculado con la

Ecuación 47.

Un análisis a la Ecuación 49 y la Ecuación 50 sugiere que la mejor manera de encontrar ese
valor es utilizando un promedio geométrico, teniendo en cuenta que el término

̅̅̅ puede

ser aceptablemente estimado como

. Para validar dicho postulado se realizaron cerca de

cálculos de

para diferentes valores de los

. Para cada cálculo se

computaron las probabilidades con la Ecuación 47 (valor real), y con la Ecuación 51 utilizando,
entre otros, promedios aritméticos y geométricos para el cálculo de .

Como  resultado  se  encontró  que  el  error  en  el  que  se  incurre  al  utilizar  la  Ecuación  51,
independientemente de la forma de estimar  , aumenta considerablemente cuando aumenta
la desviación estándar de las probabilidades de uso de los aparatos

(ver Figura 31).

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Figura 31. Relación entre el error en la estimación de la probabilidad de un estado y la desviación estándar de las

probabilidades de uso de los aparatos.

Si bien para el conjunto de pruebas presentado en la Figura 31 fueron probadas otras posibles
formas de estimar , las tres que presentaron mejores resultados fueron: estimación con un
promedio aritmético de las probabilidades de uso de cada aparato (Ecuación 52), estimación
con un promedio geométrico corregido (Ecuación 53) denominado

y estimación con un promedio geométrico simplificado (Ecuación 54) denominado

∑

Ecuación 52.
Promedio
Aritmético.

(∏

)

(

(∏

)

(∏

)

∏

( ∏

∏

)

Ecuación 53.
Promedio
Geometrico
(-1c).

(∏

)

(

(∏

)

(∏

)

∏

Ecuación 54.
Promedio
Geométrico
(-1).

Para realizar una comparación objetiva entre las tres posibilidades de estimación de se
realizaron diferentes cálculos de

para diferentes conjuntos de probabilidades

con diferentes rangos para la desviación estándar. Los resultados de los cálculos más

significativos se presentan de la Figura 32 a la Figura 34, en donde fueron graficadas las
funciones acumuladas del error absoluto de cada estimación respecto al valor real (Ecuación
47).

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

solut

l val

ili

(

)

Desviación estándar de p

()

Con promedio algebraico
Con promedio geométrico (-1c)
Con promedio geométrico (-1)

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Figura 32. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar entre 0.15 y 0.45.

En  la  Figura  32  se  puede  notar  como  en  el  50%  de  los  casos  las  diferentes  estimaciones
generaron  errores  menores  a  0.04,  pero  para  la  otra  mitad  de  los  datos  la  estimación  con
Promedio  geométrico  (-1)  generó  errores  considerablemente  mayores  que  los  otros  dos
métodos. Sin embargo, un procesamiento de los datos de dicha figura indicó que la estimación
con Promedio geométrico (-1) fue mejor en el 31.4% de los casos, con Promedio geométrico (-
1c)  fue  mejor  en  el  35.6%,  con  Promedio  aritmético  fue  mejor  en  el  33.0%.  Es  decir,  que  a
pesar de que el Promedio geométrico (-1) incurre en errores considerables para la mitad de los
datos, para otro tercio de éstos es la mejor estimación evaluada.

La razón de dicho fenómeno, es precisamente la dispersión de los

que al ser cuantificada

con la desviación estándar, permite notar que ese 31.4% de los casos en donde el Promedio
geométrico (-1) fue mejor que las demás estimaciones, tiene como característica común una
baja desviación estándar. Así, se decidió realizar un nuevo conjunto de cálculos de

en donde el conjunto de

’s tuviera una desviación estándar acotada con un máximo, que

en el caso de la ejecución mostrada en la Figura 33, fue de 0.20.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

solut

l val

ili

(

)

Percentil ()

Con promedio aritmético

Con promedio geométrico (-1c)

Con promedio geométrico (-1)

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Figura 33. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar entre 0.02 y 0.20.

En  la  Figura  33  se  puede  notar  como  la  estimación  con  Promedio  geométrico  (-1)  tiene  un
comportamiento  considerablemente  mejor  que  las  demás  estimaciones,  que  puede  verse
evidenciado  no  solo  en  la  menor  magnitud  de  sus  errores,  sino  en  la  frecuencia  con  la  que
estos  son  inferiores  a  los  generados  por  las  otras  estimaciones.  Esta  frecuencia  para  el  caso
graficado en la mencionada figura fue del 78.3% de los casos, en comparación con el 7.9% del
Promedio geométrico (-1c) y con el 13.8% del Promedio aritmético.

Esto quiere decir que para desviaciones estándar bajas, la Ecuación 54 representa la mejor
manera de calcular el parámetro de la distribución Binomial. Para llegar a una conclusión
parecida para desviaciones estándar altas, se realizó otro conjunto de cálculos, pero esta vez
definiendo un valor mínimo para de desviación estándar, que en el caso de la Figura 34 fue de
0.50.

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

solut

l val

ili

(

)

Percentil ()

Con promedio aritmético

Con promedio geométrico (-1c)

Con promedio geométrico (-1)

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Figura 34. Error en la estimación de la probabilidad de un estado para desviaciones estándar entre 0.28 y 0.50.

En la Figura 34  se nota que  la estimación con Promedio geométrico (-1)  presenta problemas
importantes a la hora de estimar dichas probabilidades siendo la mejor estimación solo en el
12.9%  de  los  casos,  mientras  que  el  Promedio  geométrico  (-1c)  fue  mejor  en  el  65.4%,  y  el
Promedio  aritmético  fue  mejor  en  el  21.7%.  Esta  observación,  y  unas  similares  para  otros
conjuntos  de  cálculos,  permiten  concluir  que  para  desviaciones  estándar  altas  es
recomendable utilizar la Ecuación 53.

Sin embargo, al tener en cuenta la magnitud de los errores para las desviaciones estándar
altas, se hace la recomendación adicional de dividir el conjunto de

en al menos 2

subconjuntos que minimicen las desviaciones estándar de cada uno (la forma natural de
hacerlo es definir un subconjunto con los aparatos de alta

y otro subconjunto con los

aparatos de baja

), para después calcular la representativa de cada subconjunto con el

Promedio geométrico (-1) y estimar

como la suma de las posibles combinaciones de

tal y como se muestra en el siguiente ejemplo:

Sea el conjunto de

’s: { } y se desea

calcular

. Entonces, dado que la desviación estándar de es 0.38, se hace

necesario

definir

los

subconjuntos

{ }

{ } para realizar una mejor estimación de la probabilidad del

estado 3. Teniendo en cuenta que la desviación estándar de

es 0.08 y de

es 0.07, la

estimación de los parámetros

se puede hacer utilizando la Ecuación 54:

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

solut

l val

ili

(

)

Percentil ()

Con promedio aritmético

Con promedio geométrico (-1c)

Con promedio geométrico (-1)

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Tesis II

(∏

)

(

(∏

)

(∏

)

(∏

)

(∏

)

(

(∏

)

(∏

)

(∏

)

Una vez se conocen los parámetros se puede aplicar la Ecuación 51 para calcular

y calcular

como la suma del producto de dichos términos:

(

)

(

)

0.56

0.48

0.35

0.17

0.39

0.08

0.03

0.11

8.19E-03

9.41E-04

0.02

3.14E-04

4.80E-06

7.59E-04

∑

0.1996

Si se compara el valor estimado con la metodología sugerida con el valor real calculado
con la Ecuación 47

, se llega una diferencia de 0.0015 la cual

representa  un  error  admisible  para  el  cálculo  de  dicha  probabilidad.  Así,  se  tiene  una
estimación  que  no  requiere  el  cálculo  de  las                    probabilidades  de
ocurrencia  de  cada  escenario  con  3  aparatos  encendidos  y  que  estima  de  manera
aceptable la probabilidad de este estado.

El anterior ejemplo muestra la aplicación de la metodología sugerida para el cálculo de la
probabilidad de ocurrencia de cada estado. Sin embargo no se debe olvidar que la metodología
de estimación debe ser utilizada sólo cuando el número de cálculos requerido para la
utilización de la Ecuación 47 implique un tiempo de cálculo muy alto.

Una vez se tiene una manera de calcular la probabilidad de cada estado, es posible determinar
el estado de diseño como el estado cuya probabilidad acumulada es mayor que el
complemento de la probabilidad de falla aceptable. Esa probabilidad acumulada de un estado
puede ser calculada entonces como:

∑

Ecuación 55

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Tesis II

donde:

: Probabilidad de que el sistema esté en un escenario con o menos

aparatos encendidos. Denominada como probabilidad acumulada del estado .

: Probabilidad de que el sistema esté en un escenario con exactamente

aparatos encendidos.

Así, el estado de diseño es el menor estado

que cumple que:

Ecuación 56

donde:

: Probabilidad de falla máxima que se desea para el sistema diseñado.

El anterior análisis permite identificar el estado de diseño de cada tubo de la red a partir de
una probabilidad de falla aceptable dada. Se debe notar que como datos adicionales para la
ejecución del procedimiento es necesario conocer el número de aparatos aguas abajo del tubo
analizado así como la probabilidad de uso

de cada uno de dichos aparatos. Por un

lado, las probabilidades de uso, son halladas con el procedimiento descrito en la Sección 3.2.1,
y por otro lado, el número de aparatos aguas abajo del tubo puede ser determinado mediante
simple observación a la red, en caso de ser una red con geometría abierta, es decir que sólo
existe un camino entre dos puntos cualquiera de la red. Sin embargo en el caso de que la red
tenga topología cerrada, se hace necesario hacer uso de los resultados del procedimiento de
Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH) (Sección 5.1), que permiten conocer la
altura piezométrica total en cada nudo de la red y por lo tanto el sentido de flujo de cada
tubería. Estos sentidos de flujo permiten a su vez determinar los nudos alimentados por un
tubo y así contar el número de aparatos aguas abajo de éste.

Cálculo del caudal de diseño de un tubo

Una vez se conoce el estado de diseño

se debe seleccionar un escenario de dicho estado

con el cual se pueda evaluar el caudal en el tubo a diseñar, para así proceder a calcular el
diámetro de éste. Para ello, se debe considerar que, en caso de que la probabilidad acumulada
del estado

sea exactamente igual a (

), el caudal de diseño debe ser

exactamente igual al máximo caudal requerido por un escenario con

aparatos encendidos.

Es decir que una aproximación conservadora consistiría en tomar el máximo caudal que puede
ser requerido por un escenario con

aparatos encendidos para dicho tubo. Para ello bastaría

ordenar la lista de los aparatos aguas abajo del tubo a diseñar de mayor a menor caudal
emitido, para después tomar los primeros

aparatos y sumar dichos caudales, y así tomar

ese valor como el caudal de diseño.

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Tesis II

Por otro lado, si se tiene en cuenta que el procedimiento de cálculo del estado de diseño
puede seleccionar un estado

cuya probabilidad acumulada es considerablemente mayor

que (

) en vez de seleccionar el estado anterior

cuya probabilidad

acumulada es inferior, por muy poco, a dicho valor; entonces es claro que el caudal de diseño
del tubo debería ser un valor intermedio entre el caudal máximo del estado

y el

caudal máximo del estado

. Para determinar dicho valor se podría suponer una relación

lineal  entre  la  probabilidad  acumulada  y  el  caudal  de  diseño,  al  menos  dentro  de  dicho
intervalo  de  probabilidades  acumuladas.  Así  el  valor  del  caudal  de  diseño  sería  el
correspondiente  a  una  interpolación  lineal  entre  los  caudales  de  diseño  correspondientes  al
estado

y al estado

, tal y como se muestra en el siguiente ejemplo:

Suponga que se tiene un tubo con 8 aparatos aguas abajo cuyo conjunto de

’s es:

{ } y se desea calcular su caudal de
diseño para una probabilidad de diseño de 5%. Entonces se debe calcular

hasta

que el valor acumulado de las probabilidades sea mayor a 95%.

Utilizando la Ecuación 47 para el cálculo de las probabilidades de cada estado, se llega a
las siguientes probabilidades:

1.08E-04

3.38E-03

3.49E-03

3.91E-02

4.26E-02

1.99E-01

2.42E-01

4.16E-01

6.58E-01

2.65E-01

9.23E-01

6.91E-02

9.92E-01

7.84E-03

1.00E+00

3.23E-04

1.00E+00

Es  decir  que  el  estado       es  el  que  cumple  la  condición  de  que  su  probabilidad
acumulada         es  mayor  al  complemento  de  la  probabilidad  aceptable  de  falla
        .  Si  el  conjunto  de  los  caudales  emitidos  por  los  aparatos  es
    {                                                     }    ,  entonces  el  caudal  de  diseño
según  la  aproximación  conservadora  sería          correspondientes  a  la  suma  de  los
mayores 6 caudales de

Si en cambio se utiliza la aproximación no conservadora, entonces se sabe que el caudal
de diseño estará entre correspondiente a y correspondiente a
. Suponiendo una relación lineal entre la probabilidad acumulada y el caudal para el
intervalo analizado, se tendría que el caudal de diseño para una probabilidad de falla de
exactamente 5% es:

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donde:

: Caudal de diseño del tubo analizado según la aproximación no conservadora.

: Caudales máximos con 5 y 6 aparatos encendidos, respectivamente.

: Probabilidad acumulada del estado 5 y el estado 6, respectivamente.

Como se puede ver en el anterior ejemplo, las dos formas de calcular el caudal de diseño no
difieren significativamente en el resultado, aunque esa diferencia puede llegar a verse
magnificada para tuberías con bajo número de aparatos aguas abajo, en cuyo caso se
recomienda tomar el caudal de diseño conservador.

5.3.2 Análisis estocástico para nudos dependientes

Teniendo en cuenta que se hizo la suposición de independencia entre las probabilidades de
uso de los nudos para el desarrollo de la formulación anteriormente mencionada, y dado que
existen posibles análisis en donde se considera conveniente incluir el efecto de la dependencia
entre los usos de un conjunto de aparatos, es necesario reajustar la metodología de cálculo del
caudal de diseño para nudos dependientes. Para ello es necesario notar que el análisis de los
escenarios que permite encontrar su orden según la exigencia hidráulica que implican (Figura
28) y el análisis de la probabilidad de falla, no se ven afectados por la dependencia o
independencia de los aparatos de la red. Así para realizar el cálculo del caudal de diseño de un
tubo con un conjunto de nudos dependientes aguas abajo de éste, debe realizarse la selección
de un estado de diseño y la posterior aplicación la misma metodología de cálculo de caudal de
diseño a partir de un estado de diseño que en el caso de nudos independientes.

Es decir que el único paso que se debe ver afectado por la dependencia del uso de los nudos es
aquel en el que se calculan las probabilidades de ocurrencia de cada estado, de manera que la
Ecuación 47 deja de ser válida para calcular

entendido como la probabilidad de

que se esté en el estado en una red con nudos de demanda.

Sin embargo si se analiza el caso cuando un tubo tiene un número de nudos aguas abajo con
demanda

todos independientes entre sí, y el tubo inmediatamente aguas arriba tiene los

mismos

nudos más un conjunto de

aparatos dependientes entre sí, resulta claro que

la probabilidad de que ocurra el estado para el tubo aguas arriba será:

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∑

Ecuación 57

donde:

: Probabilidad de que un tubo con

nudos independientes aguas

abajo y

nudos dependientes aguas abajo se encuentre en un escenario del estado

: Probabilidad de que un tubo con los mismos

nudos del tubo

mencionado arriba se encuentre en un escenario del estado . Dado que son
aparatos independientes, este valor puede ser calculado con la Ecuación 47 o con alguna
de sus aproximaciones mencionadas en la Sección 5.3.1.

: Probabilidad de que un tubo con los mismos

nudos del tubo

mencionado arriba se encuentre en un escenario del estado . Dado que son
aparatos dependientes entre sí, este valor debe ser calculado con base en los resultados
de la simulación con eventos discretos utilizada para la modelación de la dependencia.

: Número de nudos con demanda independiente y dependiente,

respectivamente, ubicados aguas abajo del tubo analizado.

Y si se generaliza la expresión de la Ecuación 57 para tubos con más de un conjunto de
aparatos dependientes entre sí, se llega a la Ecuación 58 y la Ecuación 59:

∑[

]

Ecuación 58

∑

(

)

Ecuación 59

donde:

∑

: Número total de nudos con alguna dependencia, aguas abajo del tubo

analizado. Corresponde a la suma de los nudos de cada uno de los conjuntos de nudos
dependientes entre sí.

: Número total de nudos con dependencia entre sí del conjunto de nudos

dependientes.

: Probabilidad de que un tubo (posiblemente hipotético) con los mismos

∑

nudos dependientes del tubo analizado se encuentre en un escenario del estado

: Probabilidad de que un tubo con los mismos

nudos

dependientes del tubo analizado se encuentre en un escenario del estado

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: Estados evaluados para cada conjunto de nudos dependientes. Las posibles

combinaciones son todas aquellas combinaciones de valores de estos valores cuya suma
es igual a .

De  esta  manera  se  pueden  incorporar  a  la  metodología  de  cálculo  del  caudal  de  diseño,  los
casos donde se presenten dependencias de uso entre los aparatos de una red. Se debe notar
que,  si  bien  la  notación  de  las  ecuaciones  anteriormente  encontradas  puede  resultar
complicada, su implementación consiste en aplicar la metodología mostrada en el ejemplo de
la página 92 dividiendo la totalidad de los aparatos en dos subconjuntos correspondientes a los
aparatos independientes y al conjunto de aparatos dependientes. De manera que se calculan
las  probabilidades  de  cada  estado  para  el  subconjunto  de  nudos  independientes  con  la
Ecuación 47, y se utilizan los resultados de la simulación hecha para calcular las probabilidades
de cada estado del subconjunto de nudos dependientes, como la adición de las probabilidades
de cada escenario de un mismo estado.

5.4 Cálculo y redondeo del diámetro del tubo

Una  vez  se  conoce  el  caudal  de  diseño  del  tubo  y  la  altura  piezométrica  ideal  en  los  nudos
aguas arriba y aguas abajo de éste, se debe calcular el diámetro que asegura que se presenten
dichas condiciones hidráulicas. Ese cálculo se basa en la ecuación de conservación de energía y
en  la  ecuación  de  fricción  de  flujo  en  una  tubería  presurizada.  Así,  cuando  la  ecuación  de
fricción  es  Hazen-Williams,  el  cálculo  del  diámetro  es  explícito,  mientras  que  cuando  la
ecuación  es  Darcy-Weisbach  en  conjunto  con  Colebrooke-White,  el  cálculo  se  hace  implícito
requiriendo de métodos numéricos para su solución.

Después de realizar el cálculo del diámetro continuo, se debe tener en cuenta una restricción
del problema de diseño que consiste en la disponibilidad de diámetros discretos en el mercado
local del sistema. Así, el diámetro hallado mediante la ecuación de fricción difícilmente estará
disponible en el mercado, y por lo tanto es necesario seleccionar uno de los disponibles. Este
paso se denomina redondeo, y puede ser realizado de diferentes maneras.

Sin embargo, Takahashi et al. (2011) presentan una manera de hacerlo en la que se selecciona
el diámetro discreto cuyo valor de caudal es más cercado al caudal de diseño. Para ello
proponen elevar el valor del diámetro continuo a un exponente de 2.6 (correspondiente a la
relación potencial entre diámetro y caudal) para después seleccionar el diámetro discreto que,
al ser elevado a la 2.6, tenga menor diferencia respecto éste valor.

Un análisis similar puede ser realizado, buscando seleccionar el diámetro cuyas pérdidas por
fricción sean las más cercanas a las ideales. En dicho caso se realizaría el mismo procedimiento
anterior, pero utilizando un exponente de -4.8655 (correspondiente a la relación potencial
entre diámetro y pérdidas por fricción).

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5.5 Asignación de una LGH para la red aguas abajo del tubo

Independientemente  de  la  manera  seleccionada  para  realizar  el  redondeo,  si  se  dispone  de
una  altura  piezométrica  fija  aguas  arriba  del  tubo  a  diseñar,  y  se  le  asigna  un  diámetro
diferente  al  diámetro  continuo  calculado  con  la  ecuación  de  fricción,  entonces  la  altura
piezométrica aguas abajo diferirá de la asignada en la Sección 5.1 (Asignación de una Línea de
Gradiente Hidráulico (LGH)) en el momento en que fluya el caudal de diseño de dicho tubo. Es
decir  que  al  redondear  el  diámetro  del  tubo  se  esta  deformando  la  LGH  y  por  lo  tanto  se
recomienda reajustar la superficie para tener en cuenta el déficit o superávit de energía que
dejó el redondeo del diámetro.

Si  bien  dicho  reajuste  puede  ser  realizado  de  diferentes  maneras,  se  recomienda  modificar
únicamente  la  LGH  del  nudo  inmediatamente  aguas  abajo  del  tubo  recién  diseñado.  Ello
implica  que  el  déficit  o  superávit  de  energía  debe  ser  asignado  en  su  totalidad  al  tubo
inmediatamente aguas abajo, procurando así que en su diseño se llegue a una LGH aguas abajo
cercana  a  la  asignada  inicialmente,  conservando  de  esta  manera  los  caudales  emitidos
calculados en el paso de la Sección 5.2.

Como inconveniente del anterior procedimiento se tiene que un posible déficit de energía
puede ser suficientemente alto como para generar una LGH del nudo aguas abajo inferior a la
LGH del siguiente nudo aguas abajo, llegando a una condición de diseño no factible en la que
se crearía energía. En dicho caso sería necesaria una modificación del diámetro del tubo recién
diseñado de manera que se tome como valor final el diámetro discreto inmediatamente mayor
al que había sido asignado.

Si por otro lado se supone que el mercado dispone de cualquier diámetro continuo encontrado
en el paso anterior, de manera que no ha sido necesario el redondeo, entonces la diferencia de
LGH con la que se diseñará el (o los) tubo(s) aguas abajo debe considerar que el caudal de
diseño del tubo a diseñar puede implicar, por conservación de la masa, que por el tubo ya
diseñado fluirá un caudal menor al de diseño de dicho tubo, haciendo que las pérdidas totales
sean menores a las de diseño y por lo tanto se dispondrá de mayor altura piezométrica para
trasportar el caudal de diseño del tubo a diseñar. Así, si se desean evitar los sobrediseños se
debe tener en cuenta esta diferencia adicional de energía, que aplica de igual manera para el
caso en donde el diámetro tuvo que ser redondeado.

5.6 Proceso iterativo

Los anteriores pasos realizan el diseño de un tubo seleccionado. Es decir que es necesario
realizar tantas veces esos pasos como tubos tenga la red. El orden en que se debe recorrer la
red diseñando sus tubos es de aguas arriba a aguas abajo, teniendo en cuenta que el redondeo
de un tubo aguas arriba afecta la superficie ideal de la red aguas abajo. Así, el diseño concluye

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100

cuando se han diseñado todos los tubos, es decir cuando se han diseñado los tubos
conectados a los aparatos.

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101

6 Comprobación de diseño propuesta

Independientemente  de  la  manera  en  que  se  diseña,  es  conveniente  poder  evaluar  el
comportamiento  hidráulico  de  una  RIDAP  bajo  diferentes  condiciones  de  demanda  para
determinar las velocidades del flujo y las presiones en cada nudo y así conocer la calidad de la
respuesta del sistema ante escenarios de demanda no necesariamente de diseño. Para ello es
necesario  poder  ejecutar  la  hidráulica  de  una  red  ya  diseñada  (todos  sus  parámetros  están
determinados) incluyendo el comportamiento de los aparatos sanitarios, que no precisamente
emiten  un  caudal  constante  independientemente  de  la  presión  en  el  nudo  al  que  están
conectados.

Así, motores de ejecución hidráulica como EPANET (Rossman, 2000) o REDES (CIACUA, 2006)
son capaces de modelar nudos con una demanda independiente de la presión y nudos con una
demanda relacionada con la presión mediante la expresión de la Ecuación 1, pero no incluyen
una modelación de curvas como la Curva Única definida en la Sección 3.1. Adicionalmente
EPANET sólo permite un único exponente para todos los nudos que se modelen con la
Ecuación 1, lo que restringe su utilidad para la modelación de RIDAPs.

A fin de disponer de un programa que permita la ejecución hidráulica de las RIDAPs incluyendo
la Curva Única, se desarrolló e implementó un algoritmo que permite definir la curva
(Caudal emitido vs. Presión en el nudo) para cada nudo de la red, de manera no
necesariamente potencial (ver Figura 35). Para ello se hizo uso del Toolkit de EPANET para su
acople a código desarrollado en MSExcel con VBA para Aplicaciones.

6.1 Discretización de las Curvas Únicas y ajuste de la función

Teniendo en cuenta la forma de las Curvas Únicas expuesta en la Sección  3.1, la función que
describe  su  comportamiento  es  una  función  a  trozos  o  por  partes.  Esto  representa  un
inconveniente a la hora de buscar un algoritmo que utilice una función continua en la cual se
represente el emisor con curva única de manera similar a los emisores típicos descritos con la
Ecuación 1.

Así,  se  considera  conveniente  discretizar  la  curva  única  (o cualquier otra  curva que  se  desee
asignar  como  caudal  emitido  dependiente  de  la  presión)  de  manera  que  se  realice  una
interpolación entre los datos de manera continua. Adicionalmente, dicha discretización aporta
versatilidad  al  programa,  teniendo  en  cuenta  que  se  desarrolló  en  MSExcel  y  en  éste  es
necesario ingresar un conjunto de puntos        para que sea graficado y reconocido como una
función.

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Figura 35. Diagrama de flujo del algoritmo de ejecución hidráulica para RIDAPs.

Inicio

Leer:

1. Curvas Únicas

discretizadas de cada nudo.

2. Exponente por defecto

para emisores:

Ajustar una función de la

forma:

Q=Q

+ k*h

para cada curva única.

Asignar el coeficiente

como el coeficiente del

emisor y el caudal

como

demanda base de cada

nudo.

Ejecutar la hidráulica

Leer la presión

y hallar el

intervalo

inf

, h

sup

)

de la

curva única discretizada al

cual pertenece la presión

encontrada, para cada nudo

de la red.

Recalcular

para el

intervalo de

haciendo que

la función:

Q=Q

+k*h

Pase por los puntos

inf ,

inf

)

sup ,

sup

)

i = 1

Leer el caudal total

emitido por cada nudo de la

red.

i = i + 1

Ejecutar la hidráulica

Leer el caudal total

emitido por cada nudo de la

red.

Max(|

-Q

i-1

|) <

Error

Admisible

Fin

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103

De  esta  manera,  el  programa  requiere  una  tabla  de  puntos        que  describa  de  manera
aceptable  la  curva  única  del  emisor  que  se  desea  simular.  Teniendo  en  cuenta  que  para  las
RIDAPs  las  curvas  de  emisores  se  repiten  dentro  de  la  red  por  cuenta  de  aparatos  iguales
asignados  a  diferentes  nudos  de  la  red  (e.g.  todos  los  lavamanos  tienen  la  misma  curva
independientemente del nudo al que se conectan), el programa permite asignar a diferentes
nudos una misma curva, evitando la reiteración en el ingreso de información.

Así, una vez se tienen definidas de manera discretizada todas las curvas únicas y éstas se han
asignado a cada nudo de demanda de la red, se puede comenzar a resolver la ejecución
hidráulica de la misma. Para ello se hace una primera ejecución hidráulica asignándole a cada
nudo una función como la presentada en la Ecuación 60:

Ecuación 60

Dicha ecuación corresponde a la función que el programa EPANET puede ejecutar, en
donde

corresponde con la denominada demanda base, corresponde con el coeficiente de

emisor y corresponde con el exponente global del emisor que debe ser igual para todos los
nudos.

A fin de que la función inicial asignada a cada nudo sea representativa de la curva única
asignada, se pueden calcular los parámetros

y que minimizan el Error Cuadrático Medio

(ECM) respecto a todos los puntos que representan la curva única discretizada. El resultado del
cálculo analítico de la expresión para estos dos parámetros es entonces:

∑

Ecuación 61

̅̅̅̅

Ecuación 62

donde:

̅ : Estimación del parámetro que minimiza el ECM para los puntos de la curva única
discretizada.

̅̅̅̅ : Estimación del parámetro

que minimiza el ECM para los puntos de la curva única

discretizada.

: Valores de caudal y presión, respectivamente, que definen el punto de la curva

única discretizada.

: Valor del exponente del emisor que tenga por defecto el archivo de EPANET
(usualmente 0.5).

: Número de puntos que tiene la curva única discretizada.

: Caudal que se le ha asignado al nudo como demanda independiente
de la presión.

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Como resultado se tiene entonces una par de parámetros que ajustan una función a cada
curva única y que, por lo tanto, deben ser asignados a todos los nudos con esa curva única. Así,
al ejecutar la hidráulica se tendrá una primera aproximación de la presión y el caudal emitido
en cada nudo.

6.2 Interpolación e iteración

Teniendo  en  cuenta  que  como  resultado  de  los  pasos  anteriores  se  tiene  una  primera
aproximación  de  la  presión  y  del  caudal  emitido  por  cada  nudo,  se  puede  calcular  el  par  de
puntos de la curva única discretizada cuyas presiones

son menor o igual y mayor,

respectivamente, que la presión encontrada en la primera ejecución hidráulica, para cada
nudo. Esto permite conocer el intervalo (

) (

) tentativo en donde puede

estar el punto que cumple con todas las ecuaciones de la ejecución hidráulica de la red.

Una vez se conoce este intervalo, es posible mejorar la estimación de los parámetros y

para que generen una función que cruce exactamente por los puntos (

) y

(

). Así, el cálculo de estas nuevas estimaciones se hace mediante la Ecuación 63 y la

Ecuación 64.

(

)

(

)

Ecuación 63

̅̅̅̅

(

)

(

)

Ecuación 64

Esta estimación  genera  una  manera  natural  de  interpolación  en  la  curva  única,  regida  por la
Ecuación 60.  Así, si después  de dos iteraciones seguidas todos los nudos siguen en el mismo
intervalo de sus respectivas curvas, entonces se ha encontrado la solución a las ecuaciones de
ejecución  hidráulica  y  el  error  en  el  caudal  y  la  presión  será  cero  respecto  a  la  curva  única
discretizada,  dado  que,  para  esos  intervalos  caracterizados  con  esas  curvas  de  emisor,  la
solución  dada  por  EPANET  resuelve  las  ecuaciones  mediante  el  método  del  gradiente  (ver
Saldarriaga, 2007) con una precisión mucho mayor a la requerida.

Sin  embargo,  el  procedimiento  resulta  más  eficiente  si  sólo  se  almacena  como  resultado  de
cada  iteración  el  caudal  emitido  en  cada  nudo,  de  manera  que  iteración  a  iteración  se
comprara  únicamente  el  caudal  emitido  en  cada  nudo  y  no  el  intervalo  de  la  curva  única
discretizada en el que se encuentra el nudo. Así la solución completa de la ejecución hidráulica
debe  cumplir  con  que  todos  sus  nudos  tengan  una  diferencia  entre  iteraciones  menor  a  la
mínima admisible, y por lo tanto se pueden calcular las diferencias y se compara únicamente la
mayor de todas éstas.

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6.3 Cálculo de los demás resultados hidráulicos

Una  vez  se  ha  llegado  a  una  caracterización  de  la  curva  de  cada  nudo  que  representa
aceptablemente  su comportamiento para el rango de  caudales y presiones que  éste  emite y
tiene, respectivamente, se tiene una solución de toda la hidráulica de la red, de manera que se
pueden  conocer  otras  variables  resultado  de  la  ejecución  como  velocidades  y  esfuerzos
cortantes en las tuberías, alturas piezométricas totales en los nudos y demás.

Para  ello  basta  tomar  los  resultados  hidráulicos  de  la  última  ejecución  hidráulica,  calculados
por  EPANET,  y  presentarlos  como  los  resultados  finales  de  la  red.  El  programa  desarrollado
para  implementar  este  algoritmo  y  permitir  la  simulación  hidráulica  de  RIDAPs  mediante  la
curva única, incluye entonces tablas de resultados de todas las variables disponibles para cada
nudo y tubo.

6.4 Software desarrollado

A  fin  de  implementar  el  algoritmo  desarrollado  y  disponer  de  un  software  que  facilite  la
comprobación de diseño para una RIDAP modelada mediante la  curva única se desarrolló un
libro  en  MSEXCEL  con  VBA  para  Aplicaciones  que  en  conjunto  con  el  Toolkit  de  EPANET  2.0
(Rossman, 2000) permite conocer los resultados hidráulicos de una red con emisores variables
y no necesariamente potenciales.

El procedimiento para hacer uso del programa se divide en 5 subprocesos cada uno de los
cuales está listado en la interfaz principal del programa (ver Figura 36). El primer paso consiste
en limpiar todo el libro de EXCEL reiniciando cada una de las secciones. A continuación se debe
seleccionar un modelo de la red ya creado mediante EPANET, permitiendo al programa
conocer la lista de nudos y de tubos, así como la ubicación del archivo.

Una vez se tiene ingresado el modelo de la red se procede a ingresar las curvas únicas que
existen en el modelo. Así, se deben ingresar tantas curvas como aparatos sanitarios diferentes
se tengan, describiendo para cada una la lista de puntos

que describen, de manera

discretizada, la función . Es en este paso donde se nota la conveniencia de la
discretización, la cual permite definir curvas de funciones a trozos como la curva única de las
RIDAPs.

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Figura 36. Interfaz principal del software.

Teniendo disponible una lista de curvas únicas definidas en el paso 2 del programa (sin incluir
la limpieza), se debe asignar a cada nudo una de estas curvas de manera que se caracterice el
comportamiento de la demanda en función de la presión en el nudo. Para ello el programa
genera una lista de las curvas exitosamente leídas para que el usuario seleccione de la lista el
nombre que corresponde a cada nudo. Adicionalmente se definen hipervínculos en las celdas
para que el usuario pueda revisar los datos ingresados en cada curva y así asegurar la correcta
asignación de curvas.

Finalmente  el  programa  permite  ejecutar  la  hidráulica,  haciendo  uso  del  algoritmo
anteriormente descrito y llamando a EPANET para cada ejecución hidráulica requerida. Así, es
posible presentar los resultados de la ejecución hidráulica final que para los nudos incluye los
datos de entrada y la altura piezométrica total, la presión, el caudal total de salida y de emisor
y  el  error  en  los  caudales  respecto  a  la  iteración  anterior.  Asimismo  para  los  tubos  se
presentan  los  datos  de  entrada,  y  datos  de  salida  como  pérdidas  totales  en  la  tubería,
velocidad y caudal transportado.

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107

7 Casos de estudio

A  fin  de  mostrar  de  manera  explícita  la  implementación  de  la  metodología  de  diseño
propuesta, se presentan 2 ejemplos de su uso en diferentes redes internas correspondientes a
sistemas reales ubicados en la ciudad de Bogotá, Colombia. Para ambos casos se supondrán los
mismos valores de los parámetros y funciones que caracterizan la demanda en los aparatos de
la red. Los parámetros de funcionamiento hidráulico de los aparatos presentes en los ejemplos
se  basan  en  los  resultados  de  Acero  (2009)  y  en  las  recomendaciones  de  la  Norma  Técnica
Colombiana  NTC  1500  (ICONTEC,  2004),  mientras  que  los  parámetros  de  caracterización
estocástica de la demanda se basan en los datos y mediciones de Blokker (2010a):

Tabla 18. Funciones de la curva única de los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con base en Acero (2009).

Aparato sanitario

Curva única del aparato

Lavamanos

⁄ { ( )

Inodoro

⁄ ( )

Ducha

⁄ { ( )

Lavaplatos

⁄ { ( )

Fregadero/Llave
manguera/Lavadora

⁄ ( )

Tabla 19. Funciones de la curva única de los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con base en ICONTEC (2004).

Aparato sanitario

Curva única del aparato

Lavamanos

⁄ { ( )

Inodoro

⁄ ( )

Ducha

⁄ { ( )

Lavaplatos

⁄ { ( )

Fregadero/Llave
manguera/Lavadora

⁄ ( )

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Tabla 20. Frecuencia y Duración de uso para los aparatos sanitarios en las redes ejemplo con base en Blokker
(2010a).

Aparato sanitario

Frecuencia

(usos/(día*persona))

Duración

Lavamanos

Lavado y afeitado:
[ ]

Cepillado de dientes:
[ ]

Inodoro

Ducha

(

)

Lavaplatos

Consumo:
[ ]

Lavado de platos:
[ ]

Lavado de manos:
[ ]

Otros: [ ]

Fregadero/Llave
manguera/Lavadora

Tabla 21. Cálculo de la duración promedio total para los lavamanos de las redes ejemplo.

Uso

Duración: [ ]

Porcentaje del total

de usos

[ ]

Lavado y afeitado

Cepillado de dientes

Promedio total

Las duraciones son representadas por distribuciones lognormales, que tienen como inconveniente la

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Tabla 22. Cálculo de la duración promedio total para los lavaplatos de las redes ejemplo.

Uso

Duración: [ ]

Porcentaje del total

de usos

[ ]

Consumo

Lavado de platos

Lavado de manos

Otros

Promedio total

Por otro lado las condiciones de diseño seleccionadas con base en el comportamiento
hidráulico de los aparatos, las recomendaciones de ICONTEC (2004) y la confiabilidad deseada
del sistema

, se definieron los siguientes valores de los parámetros:

Tabla 23. Presiones mínimas aceptables y frecuencias de diseño.

Aparato sanitario

Presión correspondiente al

caudal mínimo admisible

(mca)

Frecuencia de diseño

(usos/(hora*persona))

Lavamanos

Inodoro

Ducha

Lavaplatos

Fregadero/Llave
manguera/Lavadora

Ecuación 65

Se debe notar que, si bien la frecuencia de uso tiene una distribución temporal en ciclos diarios
(e.g. Tabla 10 y Tabla 11), es necesario tomar un único valor de esta distribución para el cálculo
de las probabilidades de uso (utilización) que se asignaran a los aparatos para el cálculo de las
probabilidades  de  los  estados.  En  este  caso  se  han  seleccionado  las  frecuencias
correspondientes a la hora en donde el caudal demandado esperado de toda la red es mayor a
lo largo del día, teniendo en cuenta la cercanía de los picos de cada distribución temporal. Para
distribuciones  temporales  muy  diferentes  entre  lo  aparatos,  se  recomienda  la  aproximación
hecha por CIACUA (2011) en donde se toma el percentil     de la curva de distribución horaria
de la demanda, como valor de la frecuencia de uso de cada aparato.

Se entenderá confiabilidad como el complemento de la probabilidad de falla. Su definición para un

diseño se debe evaluar con base en un análisis de las pérdidas que implica una falla del sistema, tal y
como se explica en la Sección 5.3.1.

La frecuencia de uso del lavaplatos se encuentra en (usos/(hora*hogar)).

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7.1 Caso de estudio 1: Red Interna Conjunto OASIS IV

Ubicado en la ciudad de Bogotá, Colombia, se encuentra un conjunto residencial con 183 casas
divididas en cuatro tipos de unidad: A, AA, C y CC. Teniendo en cuenta la complejidad de las
redes internas de cada una de las casas, se seleccionó la casa tipo C como la casa a modelar y
diseñar, ya que corresponde a una extensión de las casas tipo CC y a una red de mayor
exigencia hidráulica que las casas tipo A y AA.

Figura 37. Modelo casa OASIS IV tipo C - Vista en perfil. Aparatos conectados a la red.

Agua Caliente

Agua Fría

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7.1.1 Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH)

Para la asignación de una LGH ideal para toda la red se hizo uso de la Ecuación 43 con un
, quedando escrita como:

(

)

Ecuación 66

Teniendo  en  cuenta  que  la  Empresa  de  Acueducto  de  Bogotá  (EAAB),  asegura  una  presión
mínima de        en cualquiera de las conexiones que se hagan a la red, y suponiendo un
diseño  de  la  red  de  distribución  interna  del  conjunto  residencial  que  asegura  una  presión
similar  a  la  entrada  de  las  casas  (ya  sea  mediante  bombeo,  mediante  almacenamiento  en
tanques elevados, o mediante diferencias topográficas dentro del conjunto), entonces la altura
piezométrica  total  disponible  en  la  conexión  se  supone  de        es  decir

Si por otro lado se nota que existen tantas trayectorias como sumideros

tenga la red,

entonces  se  notará  que  la  Ecuación  66  deberá  ser  evaluada  al  menos  10  veces  para  la  red
OASIS  IV  tipo  C,  y  se  requerirá  una  ejecución  adicional  por  cada  trayectoria  en  donde  a  un
nudo  intermedio  (no  sumidero)  se  le  asigne  una  LGH  inferior  a  su  LGH  mínima
(correspondiente a la suma de su elevación y la presión mínima admisible de su aparato). Dado
que la red dispone de una válvula que representa el medidor de consumo y de un tubo con un
alto coeficiente de pérdidas menores que representa el calentador de agua, es necesario tener
en cuenta las pérdidas objetivo de estos dos accesorios a la hora de hacer la asignación de LGH
objetivo. Así el medidor de consumo siempre generará unas pérdidas de 3.0 mca, mientras que
el calentador generará pérdidas de 2.8 mca. En la Figura 38 se muestran los resultados de este
paso,  presentando  tanto  la  LGH  asignada,  como  las  presiones  que  corresponden  con  estas
alturas piezométricas.

7.1.2 Cálculo de los caudales emitidos

Haciendo  uso  de  las  curvas  únicas  de  los  aparatos  descritas  en  la  Tabla  18  para  aparatos
ahorradores y en la Tabla 19 para aparatos de alto consumo, se calculó el caudal emitido por
cada  aparato  de  la  red  de  ejemplo  cuando  las  presiones  son  iguales  a  las  asignadas  por  el
procedimiento  de  la  Sección  7.1.1  y  presentadas  en  la  Figura  38.  Los  resultados  de  este
procedimiento se muestran en la Figura 39.

Se entenderá como sumidero cualquier nudo que cumpla con que sus nudos adyacentes tienen mayor

LGH que él. Dada la geometría abierta de las RIDAPs, los sumideros deben ser aquellos nudos sin
tuberías o nudos aguas abajo.

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Figura 38. Modelo casa OASIS IV tipo C – LGH ideal en mca (izquierda) y Presión ideal correspondiente en mca (derecha).

Agua Caliente

Agua Fría

Agua Caliente

Agua Fría

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Figura 39. Modelo casa OASIS IV tipo C – Caudal emitido en L/s para el caso basado en Acero (izquierda) y para el caso basado en ICONTEC. (derecha).

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7.1.3 Cálculo de los caudales de diseño

Haciendo uso de los parámetros de caracterización estocástica de la demanda de los aparatos
mostrados en la Tabla 20 y suponiendo un total de 6 habitantes en la casa, se puede hacer uso
de la Ecuación 31 para encontrar el conjunto de probabilidades de uso de los aparatos:

Tabla 24. Probabilidades de uso de los aparatos para el diseño de la RIDAP.

Aparato sanitario

Probabilidad de uso

para diseño ()

Lavamanos

Inodoros

Duchas

Lavaplatos

Fregadero/Llave
manguera/Lavadora

Una vez se dispone del conjunto de probabilidades de uso y del conjunto de caudales
emitidos, es posible comenzar el procedimiento de cálculo del caudal de diseño para el primer
tubo aguas arriba. Teniendo en cuenta que la válvula que representa el medidor de consumo
de la red tiene fijado el valor de las pérdidas que genera, el primer tubo a diseñar
efectivamente es el ubicado aguas abajo de esta válvula, extendiendo después su diámetro al
tramo que incluye el medidor.

Dicho tubo tiene entonces 10 aparatos sanitarios aguas abajo, consistentes en 1 lavaplatos, 3
lavamanos, 3 inodoros, 2 duchas y 1 fregadero/lavadora. Así, se debe calcular la probabilidad
de ocurrencia de cada posible estado de la red aguas abajo del tubo a diseñar. Para ello se
hace uso de la Ecuación 47 llegando a los siguientes resultados:

Tabla 25. Probabilidades de ocurrencia de los estados.

Estado

Probabilidad

de ocurrencia

Probabilidad de ocurrencia dado

que el sistema está en uso

5.11E-14

1.01E-13

1.64E-11

3.26E-11

2.16E-09

4.29E-09

1.51E-07

2.99E-07

6.07E-06

1.20E-05

1.46E-04

2.91E-04

2.19E-03

4.34E-03

2.04E-02

4.04E-02

1.16E-01

2.29E-01

3.66E-01

7.26E-01

4.96E-01

Suma

1.00E+00

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A partir de los resultados de la Tabla 25, se puede concluir que el primer tubo de la red tiene
como estado de diseño , dado que la probabilidad acumulada para dicho estado supera
al complemento de la probabilidad de falla aceptable

. Si se tiene en

cuenta que la red se considera pequeña y que se recomienda tomar el caudal correspondiente
al caudal máximo del estado de diseño como caudal final de diseño, entonces éste será igual a
la suma de los dos mayores caudales emitidos aguas abajo del tubo.

Así, utilizando los valores de la Figura 39, se llega a que en el caso del diseño basado en Acero
(2009), el caudal de diseño es de

correspondiente a encender la llave del

fregadero/lavadora  y  una  de  las  duchas  de  la  casa.  Similarmente  el  caudal  de  diseño  según
ICONTEC  (2006)  corresponde  a  encender  la  llave  del  fregadero/lavadora  y  el  lavamanos  del
segundo piso:

7.1.4 Cálculo y redondeo del diámetro del tubo

Haciendo uso de la ecuación de Darcy-Weisbach (Ecuación 3) en conjunto con la ecuación de
Colebrooke-White (Ecuación 4), es posible hallar el diámetro continuo necesario para que el
caudal de diseño fluya por la tubería haciendo uso de la energía asignada en la Sección 7.1.1. El
procedimiento numérico necesario para su cálculo, puede ser revisado en Saldarriaga (2007).

Para el cálculo se tomó una aceleración de gravedad de

, una viscosidad cinemática

correspondiente a la del agua a , una rugosidad absoluta de

correspondiente a una tubería de PVC y un coeficiente de pérdidas menores de
que representa un codo estándar.

Como resultado se encuentra que para el caso basado  en Acero el diámetro necesario es de
          equivalente a         , mientras que para el caso basado en ICONTEC se obtiene
un diámetro de           equivalente a         . Dado que en el mercado local no existen
tuberías  de  dicho  diámetro,  se  hace  necesario  redondear  el  valor  a  uno  de  los  comerciales
(Tabla 26). Si se utiliza el criterio de redondeo potencial con un exponente de 2.6, se tiene que
para  el  caso  basado  en  Acero,  el  diámetro  asignado  a  dicho  tubo  es  de        mientras  que
para el caso basado en ICONTEC es de       .

Tabla 26. Diámetros disponibles para las tuberías de la red.

Diámetro (in)

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

2.00

4.00

6.00

8.00

Diámetro (mm)

12.70

19.05

25.40

31.75

38.10

50.80

101.60

152.40

203.20

7.1.5 Asignación de una LGH para la red aguas abajo del tubo

Para el tubo inmediatamente aguas abajo del recién diseñado se debe considerar, por un lado
que el diámetro que efectivamente fue asignado al tubo difiere del que asegura la LGH ideal en
su nudo aguas abajo de manera que, para el caso de estudio, se tendrá una LGH menor a la

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ideal  cuando  el  caudal  de  diseño  pase  por  el  tubo,  y  por  otro  lado  que  por  el  tubo  recién
diseñado no siempre está fluyendo su caudal de diseño. Así, la manera de calcular la LGH en el
nudo  aguas  arriba  del  nuevo  tubo  a  diseñar  consiste  en  hacer  fluir  su  caudal  de  diseño  por
toda  la  red  aguas  arriba  (ya  diseñada)  encontrando  la  altura  piezométrica  con la  que  llega a
dicho nudo.

7.1.6 Resultados para toda la red

El anterior procedimiento fue aplicado para toda la res OASIS IV llegando a los siguientes
resultados:

Figura 40. Modelo casa OASIS IV tipo C - Resultados del cálculo del estado de diseño para cada tubería de la red.

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Figura 41. Modelo casa OASIS IV tipo C - Resultados del diseño para el caso basado en Acero (izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). Diámetros en pulgadas.

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Se debe notar que los resultados para el estado de diseño a utilizar no dependen del
comportamiento hidráulico del sistema, sino únicamente del comportamiento estocástico de
la demanda, que para los dos casos de análisis de la red OASIS IV tipo C, se considera igual. Así
el procedimiento de diseño sólo difiere en el cálculo del caudal de diseño de cada tubo y los
posteriores pasos basados en este resultado.

En el caso especial de este caso de estudio, existen dos tuberías con un estado de diseño igual
a cero, que presentan un requisito adicional para el diseño de la red, en el cual se desea dejar
tuberías disponibles para un potencial tanque de reserva de agua, pero que no es considerado
activamente en la metodología de diseño implementada. Así, dichas tuberías deben ser
diseñadas con otro criterio, y si bien por defecto se les asignó el diámetro mínimo, su
determinación juiciosa requiere información adicional a la disponible.

Un resultado esperado del cálculo del estado de diseño consiste en notar que un tubo aguas
arriba siempre tendrá un estado de diseño mayor o igual al estado de diseño de cualquiera de
sus tubos aguas abajo, teniendo en cuenta que se consideran únicamente redes abiertas, y que
al avanzar hacia aguas abajo por cualquier ruta, sólo se pueden estar reduciendo los aparatos a
alimentar.  Este  resultado  permite  agregar  eficiencia  al  procedimiento  dado  que  una  vez  se
llega a un tubo cuyo estado de diseño es      , se puede asegurar que el estado de diseño de
todos  sus  tubos  aguas  abajo  será  también  ,  considerando  que,  a  excepción  de  casos
especiales como el del futuro tanque de almacenamiento, ninguna tubería puede tener estado
de diseño igual a cero.

Respecto al procedimiento de cálculo de los caudales de diseño, se puede hacer una
conclusión similar, al notar que su cálculo consiste en tomar los

caudales mayores de los

nudos aguas abajo, y dado que un tubo nunca tiene un estado de diseño mayor que cualquiera
de sus tubos aguas abajo, los caudales con los que se diseña este tubo serán a lo sumo iguales
a los de diseño de cualquiera de sus tubos aguas arriba sino mayores.

Por otro lado, la conclusión similar respecto al diámetro no siempre puede aplicarse, dado que
el cálculo de los diámetros depende no sólo del caudal de diseño, sino también de la
disponibilidad de energía asignada por la LGH ideal. Adicionalmente, dada la manera de
recorrer la red para calcular el diámetro y redondearlo, es posible que se afecte la superficie
de alturas piezométricas aguas abajo de un tubo recién diseñado, de manera que se disponga
de menos energía y por lo tanto se requieran mayores diámetros.

La anterior observación resulta inconveniente para la mayoría de las redes, dada la restricción
adicional que incluyen algunos diseñadores y constructores sobre la posibilidad de permitir
tuberías más grandes aguas abajo de tuberías más pequeñas. Si bien este problema no ocurre
en ninguno de los dos casos de estudio, se hizo evidente en un paso del redondeo en donde la
aproximación de un diámetro continuo presento valores iguales para el ponderador que
decide a cuál de los diámetros discretos se debe aproximar.

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Adicionalmente  se  deben  notar  las  diferencias  en  los  resultados  finales  de  los  dos
procedimientos de diseño, en los cuales difieren las curvas únicas de los emisores asignadas a
cada aparato. Esto permite ver la sensibilidad del procedimiento a variaciones en los caudales
de  diseño  de  los  aparatos  de  la  red,  que  para  estos  resultados  indica  que  conocer  bien  el
comportamiento hidráulico de los aparatos puede generar diferencias de costos de USD$26.40
en las redes hidráulicas de cada casa. Esta diferencia representa un 33% del costo de la red, y
teniendo  en  cuenta  que  se  tiene  un  conjunto  con  183  casas,  esto  representaría  un  total  de
cerca  USD$4800  que  puede  llegar  a  justificar  el  estudio  hidráulico  de  los  aparatos  que  se
utilizarán en la red.

Figura 42. Prototipo casa OASIS IV tipo C – Diámetros reales del sistema en pulgadas.

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Finalmente,  vale  la  pena  notar  que  para  ambos  casos  de  estudio,  la  red  resultado  del
procedimiento  de  diseño  presenta  diámetros  más  grandes  para  la  mayoría  de  tubos  que
aquellos presentes en el sistema real de las casas de OASIS IV (ver Figura 42), lo cual resulta
consistente  con  el  estado  actual  de  las  casas,  en  donde  se  conocen  quejas  por  parte  de  los
usuarios por la calidad del servicio en términos específicos de presión y caudal emitido en los
aparatos. Es decir que, dado que el prototipo tiene diámetros menores que los encontrados en
este documento como necesarios para una confiabilidad de 95%, entonces el prototipo debe
tener una probabilidad de falla considerablemente mayor al 5%, lo cual es verificado al notar la
frecuencia de las quejas presentadas por los usuarios del sistema.

7.2 Caso de estudio 2: Red Interna APTOS ACERO

En Acero (2009) se muestran 4 redes internas diferentes correspondientes a los 4 tipos de
apartamentos que existen en un mismo edificio ubicado en Bogotá, Colombia. De estos, el más
complejo resulta ser el Tipo 1 cuya longitud total de tubería es de más de 85.5m, y tiene un
total de 17 aparatos sanitarios, de los cuales 10 tienen llaves de agua caliente y fría (ver Figura
43).

A  fin  de  modelar  los  accesorios  que  existen  en  esta  red  (27  Tees  y  67  Codos  de  90°),  Acero
propone  distribuir los coeficientes de  pérdidas menores uniformemente  entre  la longitud de
las  tuberías,  lo  cual  implica  un  coeficiente  de  pérdidas  menores  por  unidad  de  longitud  de

. Adicionalmente propone modelar el calentador de paso como una tubería con un

coeficiente de pérdidas menores de .

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Figura 43. Modelo APTO ACERO tipo 1 - Vista en planta. Aparatos conectados a la red.

7.2.1 Asignación de una Línea de Gradiente Hidráulico (LGH)

Para la asignación de la LGH ideal se utilizó la misma relación lineal utilizada en los anteriores
casos de estudio y cuya función es la descrita en la Ecuación 66. Para ello se definió como

una altura piezométrica total iguala correspondiente a la altura piezométrica

asignada por Acero a la red. Este valor puede ser resultado de un análisis de los sistemas de
bombeo del edificio, o de una alta disponibilidad de energía en la conexión de edificio a la red
de acueducto.

Por otro lado, las presiones mínimas de operación de cada aparato son las mismas utilizadas
en el anterior caso de estudio, las cuales son expuestas en la Tabla 23. Los resultados de este
procedimiento se muestran en la Figura 44.

Agua Caliente

Agua Fría

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122

Figura 44. Modelo APTO ACERO tipo 1 – LGH ideal en psi.

7.2.2 Cálculo de los caudales emitidos

Similarmente  al  caso  de  estudio  anterior,  el  cálculo  de  los  caudales  emitidos  se  realiza
remplazando las presiones correspondientes a las alturas piezométricas totales mostradas en
la  Figura  44.  De  nuevo  son  utilizados  dos  conjuntos  de  curvas  únicas  de  los  aparatos
correspondientes  a  los  resultados  de  Acero  (2009)  y  de  ICONTEC  (2006).  Los  resultados  son
presentados en la Figura 45.

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Figura 45. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Caudal emitido en L/s para el caso basado en Acero (izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha).

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124

7.2.3 Cálculo de los caudales de diseño

Haciendo uso de los parámetros de caracterización estocástica de la demanda de los aparatos
mostrados en la Tabla 20 y suponiendo un total de 6 habitantes en la casa, se tienen las
mismas probabilidades de diseño de la Tabla 24 calculadas para los casos de estudio ya
presentados. Esto permite comenzar el cálculo del caudal de diseño del tubo más aguas arriba
de la red APTO ACERO tipo 1 que tiene 17 aparatos sanitarios aguas abajo de éste.

Los 17 aparatos consisten en 5 lavamanos, 5 inodoros, 4 duchas, 1 lavaplatos y 2 fregaderos, y
sus probabilidades de uso para el diseño (ver Tabla 24) generan un conjunto de probabilidades
cuya desviación estándar es de . Dado que esta desviación estándar se considera
relativamente pequeña, es posible aproximar los resultados de la Ecuación 47 calculando una
única probabilidad conjunta de ocurrencia mediante la Ecuación 54 para así utilizar la Ecuación
51 que resulta considerablemente más fácil de utilizar.

Sin  embargo,  a  fin  de  ilustrar  la  precisión  de  esta  aproximación,  fueron  calculados  los
resultados de las probabilidades de ocurrencia de cada estado mediante ambas metodologías.
Así,  la  metodología  exacta,  requirió  el  cálculo  de           probabilidades  conjuntas,  lo  que
implica  el  procesamiento  de            probabilidades  individuales  que  dan  como  resultado
las probabilidades mostradas en la Tabla 27:

Tabla 27. Probabilidades de ocurrencia de los estados – Metodología Exacta.

Estado

Probabilidad

de ocurrencia

Probabilidad de ocurrencia dado

que el sistema está en uso

1.39E-22

1.93E-22

6.82E-20

9.48E-20

1.49E-17

2.06E-17

1.90E-15

2.64E-15

1.59E-13

2.21E-13

9.18E-12

1.28E-11

3.80E-10

5.28E-10

1.15E-08

1.60E-08

2.59E-07

3.60E-07

4.39E-06

6.10E-06

5.64E-05

7.84E-05

5.51E-04

7.65E-04

4.05E-03

5.63E-03

2.21E-02

3.07E-02

8.66E-02

1.20E-01

2.31E-01

3.21E-01

3.75E-01

5.22E-01

2.80E-01

Suma

1.00E+00

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Por  otro  lado,  el  cálculo  de  las  probabilidades  de  ocurrencia  de  los  estados  mediante  la
aproximación  detallada  en  la  Sección  5.3.1,  en  la  cuál  es  necesario  el  cálculo  de  una  única
probabilidad representativa mediante la Ecuación 54, y el posterior uso de la Ecuación 51 un
total de    veces, genera como resultados las probabilidades mostradas en la Tabla 28:

Tabla 28. Probabilidades de ocurrencia de los estados – Metodología Aproximada.

Estado

Probabilidad de

ocurrencia

Probabilidad de ocurrencia dado

que el sistema está en uso

2.69E-20

3.77E-20

6.01E-18

8.45E-18

6.33E-16

8.90E-16

4.17E-14

5.86E-14

1.92E-12

2.70E-12

6.58E-11

9.24E-11

1.73E-09

2.43E-09

3.58E-08

5.03E-08

5.89E-07

8.28E-07

7.76E-06

1.09E-05

8.17E-05

1.15E-04

6.85E-04

9.62E-04

4.51E-03

6.33E-03

2.28E-02

3.21E-02

8.58E-02

1.21E-01

2.26E-01

3.17E-01

3.72E-01

5.22E-01

2.88E-01

Suma

1.00E+00

Así, ambos resultados indican que para una probabilidad de falla aceptable de , el estado
de diseño es (dado que

para el caso exacto y para el

caso aproximado), y por lo tanto el caudal de diseño del tubo más aguas arriba se calcula como
la suma de los aparatos sanitarios con mayor caudal de consumo, lo cual da como resultado
un caudal de para el caso basado en Acero (2009) y para el caso basado
en ICONTEC (2006).

7.2.4 Cálculo y redondeo del diámetro del tubo

De  nuevo  haciendo  uso  de  la  ecuación  de  Darcy-Weisbach  (Ecuación  3)  en  conjunto  con  la
ecuación de Colebrooke-White (Ecuación 4), es posible hallar el diámetro continuo necesario
para  que  el  caudal  de  diseño  fluya  por  la  tubería  haciendo  uso  de  la  energía  asignada  en  la
Sección 7.2.1.

Para el cálculo se tomó una aceleración de gravedad de

, una viscosidad cinemática

correspondiente a la del agua a , una rugosidad absoluta de

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correspondiente a una tubería de PVC y un coeficiente de pérdidas menores
consistente con la suposición de Acero (2009) de

pérdidas por unidad de longitud

Como resultado se obtuvo que, para el caso basado en Acero, el diámetro continuo necesario
es de o , mientras que para el caso basado en ICONTEC, es de o
. Así, al redondearlos se tiene que la diferencia entre

menor que la diferencia entre

y por lo tanto se toma como

diámetro de diseño el para el caso basado en Acero.

Algo  análogo  ocurre  para  el  caso  basado  en  ICONTEC,  en  donde  se  calcula  la  diferencia  del
diámetro  continuo  y  los  diámetros  de         y       ,  encontrando  que  el  diámetro  que  se
debe asignar, según el criterio anteriormente mostrado, es de        .

7.2.5 Resultados para toda la red

Una vez diseñado el primer tubo de la red, se procedió a diseñar los demás tubos aguas abajo,
siguiendo  el  mismo  procedimiento  para  cada  uno.  Los  resultados  del  cálculo  del  estado  de
diseño  de  cada tubo son mostrados en la  Figura 46, en donde  se  pueden apreciar un par de
tubos  en  los  cuales  el  estado  de  diseño  da  cero,  por  cuenta  de  la  condición  del  modelo
desarrollado  por  Acero  (2009)  en  el  cual  no  se  asigna  ningún  aparato  sanitario  al  nudo  que
éstos alimentan, de manera que  su número de  aparatos aguas abajo es  nulo y así mismo su
estado de diseño. Dado que no se conoce la naturaleza de la conexión que se hace a los dos
tubos  mencionados,  en  el  procedimiento  de  diseño  se  decidió  asignar  como  diámetro
definitivo el diámetro mínimo disponible en el mercado         .

A partir de la Figura 46 se puede verificar la conclusión hecha en el anterior caso de estudio
acerca  de  la  manera  como  siempre  decrece  el  estado  de  diseño  mientras  se  avanza  hacia
aguas abajo. Esta conclusión puede verse afectada por el uso de un procedimiento de cálculo
aproximado  como  el  expuesto  en  la  Sección  5.3.1  dado  que  para  cada  tubería  se  calcula  la
probabilidad  equivalente,  y  ello  hace  que  no  sea  posible  afirmar  sin  ningún  grado  de
incertidumbre  que  los  estados  de  diseño  efectivamente  son  menores  o  iguales  para  tubos
aguas  abajo.  Sin  embargo en  este  ejemplo  fue  utilizada  la  metodología  aproximada,  dado  el
tamaño  del  problema  para    aparatos  sanitarios  aguas  abajo  de  un  tubo,  y  la  cantidad  de
tuberías presentes en la red, y se evidenció que esto efectivamente se cumple.

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Figura 46. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Resultados del cálculo del estado de diseño para cada tubería de la red.

Respecto  a  los  resultados finales  para  los  diámetros,  se  puede  notar  que  en ambos  casos  se
evidencian  diámetros  mayores  para  tuberías  más  aguas  abajo.  Esto  se  genera  por  la
variabilidad  de  los  coeficientes  de  pérdidas  menores  asignados  a  cada  tubería  y  por  el
procedimiento de redondeo que genera déficits y superávits de energía, que pueden afectar la
disponibilidad de la misma al punto de requerir diámetros cuyo posterior redondeo difiere del
valor  asignado  aguas  arriba,  en  algunos  casos  de  manera  que  aumenta  el  diámetro  que  se
tiene (ver Figura 47).

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Figura 47. Modelo APTO ACERO tipo 1 – Resultados del diseño para el caso basado en Acero (izquierda) y para el caso basado en ICONTEC (derecha). Diámetros en pulgadas.

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Para  el  caso  de  estudio  presentado  no  fue  tenida  en  cuenta  la  restricción  de  no  considerar
factibles  diseños  que  impliquen  tubos  con  diámetros  mayores  que  algunas  de  sus  tuberías
aguas arriba. Esto, debido a que la metodología de redondeo planteada en esta investigación
no  considera  esta  restricción,  y  por  lo  tanto  incluirla  implicaría  un  replanteamiento  del
procedimiento  sugerido.  Así  en  el  caso  de  querer  considerarla,  los  resultados  del  diseño
siguiendo la metodología desarrollada deberían ser tenidos en cuenta sin realizar el redondeo
en el paso descrito en la Sección 5.4.

Se debe notar que, dada la manera de modelación del calentador de paso sugerida por Acero
(2009), la tubería que lo representa resulta con un diámetro de diseño mayor que los demás
diámetros de la red. Así mismo las dos tuberías sin aparatos sanitarios aguas abajo, resultaron
con  un  diámetro  asignado  de        correspondiente  al  diámetro  mínimo  disponible.  Esto
evidencia  que  la  metodología  está  diseñada  para  diseños  cuyas  consideraciones  incluyan  la
incertidumbre  de  la  demanda  de  manera  estocástica  y  el  comportamiento  hidráulico  de
emisores  de  los  aparatos  conocidos  que  se  conectarán  a  la  RIDAP,  pero  no  consideraciones
adicionales  como  posibles  ampliaciones  de  la  red,  nudos  con  comportamiento  diferente  al
descrito en la Sección 3.1 y demás.

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8 Conclusiones

8.1 Conclusiones de la modelación de RIDAPs

A partir de lo observado en el caso de estudio, se encuentra que la selección de la metodología
de simulación de la simultaneidad debe realizarse con base en el uso que se vaya a hacer de
los  resultados  entregados  por  estos  procedimientos,  y  así,  en  el  caso  de  considerarse  poco
ajustada  y  muy  relevante  la  suposición  de  independencia  entre  usos  de  diferentes  aparatos
sanitarios, se puede considerar el uso de una herramienta de simulación de eventos discretos
que  tenga  en  cuenta,  de  manera  simplificada,  las  posibles  correlaciones  existentes  entre  los
usos de los diferentes aparatos.

También se puede concluir que, al menos en el caso de sistemas pequeños como el del caso de
estudio  de modelación (baño de  tres aparatos), el escenario donde  todos los aparatos están
apagados  es  significativamente  probable  y  frecuente,  indicando  así,  que  el  sistema
constantemente  está  en  dicho  escenario,  y  que  por  lo  tanto,  condiciones  de  demanda
periódicas  pueden  ser  representadas  y  analizadas  con  base  en  la  observación  de  un  único
periodo,  dado  que  el  sistema  se  encuentra  en  un  estado  estable,  que  puede  ser  entendido
como un equilibrio estable del cual es sacado cuando se hace uso del sistema (de al menos uno
de  sus  aparatos),  pero  siempre  éste  tenderá  a  volver  a  su  condición  estable  (escenario  con
todos los aparatos apagados).

Según lo observado en las funciones de densidad de probabilidad del caudal transportado por
el tubo, inclusive para el caso en el que se da como dado que el sistema está en uso, éstas no
tienen un único pico de probabilidad como las funciones típicas de densidad de probabilidad
tanto de variables continuas como discretas, indicando así, que un ajuste de una distribución
de probabilidad teórica puede ser poco representativo de la realidad, al menos para sistemas
pequeños como el del caso de estudio, y más teniendo aparatos sanitarios sin porcentaje de
apertura de válvula variable o con porcentaje de apertura de válvula variable pero con muy
poca influencia en la curva final del aparato.

Para  una  efectiva  implementación  de  las  metodologías  desarrolladas,  se  hace  necesario  un
conocimiento  detallado  de  parámetros  como  los  mostrados  en  la  Tabla  4  y  la  Tabla  5  que
caractericen la demanda de agua para cada aparato tanto en su frecuencia de uso como en su
duración.  Si  bien  esto  puede  resultar  poco  viable  desde  el  punto  de  vista  económico,  los
resultados de la Tabla 4 y la Tabla  5  no difieren significativamente en sus valores  a  pesar de
provenir  de  mediciones  en  lugares  geográficamente  distintos  y  distantes  (Holanda  y  Ohio,
Estados Unidos), indicando que tomar valores de sitios aceptablemente parecidos al lugar de
estudio es una buena aproximación para la implementación de las metodologías.

También se hace necesario el conocimiento de las curvas de distribución temporal de la
frecuencia de uso de cada aparato sanitario, las cuales pueden ser determinadas con base en
observaciones a sistemas ya construidos y utilizados, o mediante suposiciones razonables

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acerca del comportamiento de los usuarios del sistema. Finalmente es necesario conocer y
caracterizar el comportamiento hidráulico de los aparatos sanitarios presentes o esperados en
la edificación a analizar, y para ello se requieren estudios como los desarrollados por Acero
(2009) para diferentes aparatos, de manera que sería ideal que los mismos fabricantes de los
aparatos se encargaran de entregar a los ingenieros encargados del análisis (y posible diseño)
las curvas de emisor de sus aparatos, así como las presiones mínimas y máximas aceptables de
operación de éstos.

8.2 Conclusiones del diseño y comprobación de diseño de RIDAPs

Respecto al análisis hecho acerca de la definición y cálculo de la probabilidad de falla de una
RIDAP,  se  puede  concluir  que  las  distribuciones  de  probabilidad  encontradas  mediante  la
aplicación de  la metodología de modelación de  RIDAPs  desarrollada en esta  investigación no
pueden  ser  utilizadas  directamente  como  un  criterio  para  diseñar  un  tubo  con  una
probabilidad  de  falla  aceptable  dada.  Es  por  ello  que  se  considera  conveniente  en  esta
investigación el desarrollo de una metodología que pueda ser consistente con la metodología
de modelación mencionada.

Para caracterizar la demanda de una RIDAP se puede utilizar la distribución Binomial de
Poisson en donde los parámetros

son las probabilidades de uso de los aparatos

(utilización). Adicionalmente se encontró que el cálculo de los valores de probabilidad
asignados por esta distribución puede requerir un alto esfuerzo computacional que lo hace de
difícil uso e implementación en casos reales. Sin embargo en esta investigación se dedujo una
aproximación aceptable para su cálculo que requiere que el conjunto de parámetros sea de
poca dispersión para la aceptable estimación de las probabilidades finales. Esta aproximación
se explica en la Sección 5.3.1 y hace uso de promedios geométricos ponderados.

Adicionalmente, para calcular las probabilidades de ocurrencia de conjuntos de escenarios de
demanda con igual número de aparatos encendidos en casos donde el conjunto de parámetros
de  la  distribución  Binomial  de  Poisson  tiene  alta  dispersión,  se  dedujo  una  manera  de
aproximación  que  implica  un  mayor  esfuerzo  computacional  que  la  solución  para  el  caso  de
poca  dispersión  de  los

pero menor que el cálculo exhaustivo y exacto de dicha

probabilidad  mediante  la  Ecuación  47.  Además  se  encontró  que  la  misma  metodología  que
soluciona  el  anterior  problema,  resulta  útil  para  acoplar  al  problema,  resultados  de
probabilidades  conjuntas  de  ocurrencia  encontradas  mediante  simulación  de  eventos
discretos,  permitiendo  así  el  uso  de  esta  herramienta  para  condiciones  de  demanda
claramente dependientes entre aparatos.

Respecto al algoritmo desarrollado para la ejecución hidráulica de las RIDAPs con curvas únicas
asignadas a sus nudos, se encontró que la interpolación potencial entre los datos de la curva
discretizada resulta mucho más conveniente que otros tipos de interpolación, dada la manera
en que motores de cálculo como EPANET (Rossman, 2000) o Redes (CIACUA, 2006) resuelven

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las ecuaciones que gobiernan la hidráulica en redes presurizadas con emisores o nudos de
demanda constantes. Asimismo se encontró que la convergencia del algoritmo es
considerablemente buena al realizar la comprobación de diseño de redes reales en menos de
10 iteraciones.

Sobre el procedimiento de diseño desarrollado se puede concluir que el paso de asignación de
LGH  ideal  a  los  nudos  puede  hacer  uso  de  cualquier  función  descrita  por  la  Ecuación  12
siempre  y  cuando  los  parámetros  que  la  describen  se  encuentren  dentro  de  los  dominios
hallados  en  la  Sección  2.2.2.  Esto  resulta  especialmente  útil  para  un  futuro  análisis  de
sensibilidad de la metodología a los valores de estos parámetros, especialmente en lo relativo
a los costos constructivos de la red.

Por  otro  lado,  y  con  base  en  los  resultados  de  los  casos  de  estudio  para  la  metodología  de
diseño  propuesta,  y  de  un  análisis  metódico  del  procedimiento,  se  concluyó  que  la
metodología  resulta  consistente  con  lo  esperado  en  términos  de  que  un  tubo  aguas  arriba
siempre  tendrá un estado de  diseño mayor o igual al estado de  diseño de  cualquiera de  sus
tubos aguas abajo, teniendo en cuenta que se consideran únicamente redes abiertas, y que al
avanzar hacia aguas abajo por cualquier ruta, sólo se pueden estar reduciendo los aparatos a
alimentar.

Similarmente se evidenció que los caudales de diseño también resultan menores o iguales para
cualquier tubería aguas abajo, mostrando así un decremento del caudal de diseño. Sin
embargo respecto a los diámetros no se puede concluir lo mismo, dado que su valor depende
de la asignación de LGH, que dependiendo de la función utilizada puede asignar más o menos
energía a una tubería, y del redondeo previo que se haya hecho a las tuberías aguas arriba. Si
bien esto puede representar un inconveniente para algunas edificaciones, se espera que la
solución consista en omitir el paso de redondeo tubo a tubo, y realizar este procedimiento una
vez se tenga toda la red diseñada con diámetros continuos.

Finalmente  se  puede  concluir  que  la  metodología  de  diseño  sí  es  consecuente  con  la
metodología de modelación de  las RIDAPs, tanto en su parte  hidráulica (comportamiento de
emisores con curva única) como en su parte estocástica (cálculo de las probabilidades de uso
de cada aparato y probabilidades conjuntas de escenarios). Además es una metodología que
permite definir las probabilidades de falla aceptables de cada RIDAP, de manera que se puede
incluir  en  consideración  la  aversión  o  propensión  al  riego  de  los  dueños  de  un  proyecto  de
construcción dependiendo del carácter del mismo.

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9 Recomendaciones

Con  base  en  los  resultados  encontrados  para  el  caso  de  estudio  de  modelación  de
simultaneidad  y  los  casos  de  estudio  del  procedimiento  de  diseño,  se  recomienda  realizar
futuras investigaciones y mediciones que permitan conocer los parámetros de caracterización
estocástica de la demanda, similares a los mostrados en la Tabla 4 para Holanda y la Tabla 5
para  Ohio,  pero  para  la  población  específica  de  la  región  donde  se  planee  implementar  la
metodología desarrollada. El valor de una investigación como la sugerida no sólo aplicaría para
la población encuestada sino también para otras poblaciones, dada la aparente tendencia de
los  datos  medidos  en  Holanda  y  Ohio  que  presenta  similitudes,  y  que  a  la  luz  de  más  datos
permitiría verificar la variabilidad de  estos parámetros y el error en el que  se  puede  llegar a
incurrir  al  tomar  datos  de  una  población  para  realizar  modelaciones  y  diseños  en  otras
poblaciones sin mediciones disponibles.

Similarmente, para el caso de la modelación y eventualmente del diseño se recomiendan
investigaciones que permitan conocer las curvas de distribución de frecuencia de los usos de
cada aparato, a fin de conocer picos de uso y su simultaneidad de ocurrencia con los picos de
otros aparatos. Dada la naturaleza de una investigación como la sugerida en la recomendación
anterior, se podrían incluir dentro de los datos a medir las series de tiempo de uso de los
aparatos y así deducir las series de distribución temporal de la frecuencia.

Así  mismo,  conocer  mejor  las  curvas  únicas  de  los  aparatos  puede  representar  una  mayor
exactitud  en  los  diseños  de  las  RIDAPs con  lo  cual  se  puede  llegar  a  un ahorro en  los  costos
constructivos, o a un mejor ajuste del sistema a la probabilidad de falla deseada. Para ello se
recomienda realizar estudios similares a los conducidos por Acero (2009) para otros aparatos
sanitarios típicamente utilizados en las construcciones actuales, con la necesidad adicional de
incluir una evaluación de la posibilidad de controlar el porcentaje de apertura de válvula y de
los  parámetros  adicionales  del  aparato  como  caudal  máximo  admisible  y  caudal  mínimo
admisible.

Respecto  al  procedimiento  de  diseño,  se  recomienda  un  análisis  de  sensibilidad  del  diseño
generado mediante la metodología ante cambios en el parámetro   (flecha) de la función de
LGH ideal dado el potencial de la asignación de LGH de generar diseños más o menos costosos.
Además se pueden llegar a considerar externalidades al procedimiento de asignación de la LGH
como  pendientes  de  fricción  máximas  y  mínimas  para  un  caudal  dado  de  manera  que  se
tengan mejores estimativos de las presiones en los nudos para las condiciones de diseño.

Adicionalmente  se  recomiendan  futuras  investigaciones  relacionadas  con  el  redondeo  de
diámetros  para  un  diámetro  continuo  encontrado  por  la  metodología,  a  fin  de  posibilitar  la
consideración  de  una  restricción  posiblemente  impuesta  por  algunos  diseñadores  y
constructores acerca de considerar no factibles diseños donde algún tubo aguas abajo de otro
pueda tener un diámetro más grande que éste.

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Finalmente se  recomienda  evaluar  la  aplicabilidad  del  algoritmo  de  comprobación  de  diseño
con  nudos  cuyo  caudal en  función  de  la  presión  no necesariamente  se  rige  por  una  relación
potencial. Asimismo se considera conveniente implementar el algoritmo de diseño de RIDAPs
en  este,  u  otro  programa  de  cálculo  hidráulico,  a  fin  de  facilitar  su  uso  en  el  ambiente
profesional y la investigación en estos temas.

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/var/www/pavco.com.co/public/site/pdftohtml/711cff7fa64b566026507b8a1facdf61/index-html.html

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Diego Alejandro Páez Ángel

Tesis II

138

11 Anexos

11.1 Demostraciones del dominio de la variable

Sea el grado de libertad de una ecuación cuadrática asignada a un sistema de tuberías en
serie como representación de la altura piezométrica total en cada punto de la trayectoria del
flujo:

Según  la  siguiente  figura,  la  variable   toma  valores  positivos  cuando  la  curva           se
encuentra por debajo de la curva          , y negativos en caso de que la curva
se encuentre por encima de la curva          :

Entonces existen tres posibles casos para los que se puede evaluar el dominio de la variable
a saber:



Dominio de suponiendo tubería diferencial y diámetros continuos infinitos:

Cálculo de

(

)

(

)

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Tesis II

139

Cálculo de

(

)



Rango de suponiendo tubería con longitudes dadas y diámetros continuos infinitos:

Sea

la longitud del último tramo del sistema de tuberías en serie.

Sea

la longitud del primer tramo del sistema de tuberías en serie.

Cálculo de

(

)

(

)

(

)

(

)

Notar que si

, entonces .

Cálculo de

(

)

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Tesis II

140

Notar que si

, entonces .



Rango de suponiendo tubería con longitudes dadas y diámetro máximo conocido:

Sea

el diámetro máximo disponible.

Sea

la longitud del último tramo del sistema de tuberías en serie.

Sea

el caudal demandado en

Sea

la longitud del primer tramo del sistema de tuberías en serie.

Sea

el caudal demandado en todo el sistema (caudal que pasa por el primer tramo del

sistema de tuberías en serie).

Cálculo de

Sea:

(

)

(

∑

)

(

)

Entonces la ecuación para hallar

es:

(

)

(

)

(

)

) (

)

(

)

(

)

Notar que si

, entonces (

)

, y entonces

(

)

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Tesis II

141

Cálculo de

Sea:

(

)

(

∑

)

Entonces la ecuación para hallar

es:

(

)

(

)

(

)

Notar que si

, entonces (

)

, y entonces

(

)

11.2 Parametrizaciones de la distribución Lognormal

Sea una variable aleatoria distribuida Lognormal. Entonces su función de densidad de
probabilidad será:

√

(

)

(

)

donde:

: Media o valor esperado de la variable aleatoria .

: Desviación estándar de la variable aleatoria .

Y tendrá como valor esperado y varianza las siguientes expresiones:

[ ]

(

)

[ ] (

(

)

(

)

Basado en: http://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

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Tesis II

142

De manera que podrá ser parametrizado como:

(

)

O como:

( [ ] [ ]

⁄

)

Y en caso de ser utilizada la segunda expresión, los otros parámetros se podrán calcular como:

[ ]

(

[ ]

)

( (

[ ]

))

Análisis de redes internas de distribución

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